= T 2. AgBr (s) + ½ Cl 2(g) + ½ Br 2(g) = AgCl (s) O (l) O (g) +1/2O 2(g) H 2(g) =H 2. značaj navođenja agregatnog stanja

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= T 2. AgBr (s) + ½ Cl 2(g) + ½ Br 2(g) = AgCl (s) O (l) O (g) +1/2O 2(g) H 2(g) =H 2. značaj navođenja agregatnog stanja"

Transcript

1 TERMOEMIJA

2 Termohemija proučava toplotne promene koje prate hemijske reakcije, fazne prelaze (topljenje, isparavanje, sublimacija, polimorfne promene), rastvaranje supstance, razblaživanje rastvora itd. Bazira se na I zakonu termodinamike. Toplotni efekat hemijske reakcije je toplota izdvojena ili apsorbovana u reakciji pod sledećim uslovima: -pritisak ili zapremina su konstantni (P=const. ili V=const.) -ne vrši se nikakav rad, osim rada širenja ili sabijanja -temperatura produkata i reaktanata je ista (T 1 = T 2 ) Termohemijska jednačina-hemijska jednačina koja sadrži podatke o toplotnom efektu hemijske reakcije Mora se naznačiti agregatno stanje svih učesnika u reakciji: l (liquid) tečno, s (solid) čvrsto, g (gas) gas, aq (aqueous) vodeni rastvor kao i pritisak i temperatura. AgBr (s) + ½ Cl 2(g) = AgCl (s) + ½ Br 2(g) 2(g) +1/2O 2(g) = 2 O (l) 2(g) +1/2O 2(g) = 2 O (g) značaj navođenja agregatnog stanja Razlika od 44,1 kjmol -1 je količina toplote potrebna za isparavanje 1 mola vode. Razlomljeni brojevi molova reaktanta da bi promena entalpije odgovarala jednom molu produkta

3 Standardno stanje fizički najstabilnije stanje pri pritisku od Pa (nula iznad oznake za entalpiju). Uglavnom se standardno stanje daje na temperaturi od 298K pa se kaže da je to referentno stanje. za tečnosti standardno stanje je čista tečnost za gasove čist gas za čvrsta tela stabilna kristalna modifikacija (grafit, beli kalaj, rombični sumpor itd.) za rastvore hipotetičko stanje supstance u idealnom rastvoru standardne molalnosti 1mol kg -1 U egzotermnim reakcijama dolazi do oslobađanja toplote, a u endotermnim toplota se apsorbuje iz okoline. Za egzotermne reakcije Δ <, a za endotermne reakcije >. M g(s) + ½ O 2(g) MgO (s) CaCO 3(s) CaO (s) + CO 2(g) entalpija produkata manja nego entalpija reaktanata entalpija produkata veća nego entalpija reaktanata

4 TERMOEMIJSKI ZAKONI (u saglasnosti sa I zakonom termodinamike) Lavoazje Laplas-ov zakon : toplota koja se oslobodi kada se jedno jedinjenje nagradi iz elemenata jednako je toploti koja je potrebna da se to jedinjenje razloži na elemente, pod istim uslovima, ali suprotnog znaka. Zasniva se na principu održanja energije. ½ 2(g) + ½ Cl 2(g) =Cl (g) istu količinu toplote, Δ r = 92,31 kjmol -1, treba dovesti da bi se Cl razložio na Cl 2 i 2 esov zakon (zakon konstantnosti toplotnog zbira, odnosno aditivnosti toplota) -bez obzira u koliko stupnjeva se neka hemijska reakcija odigravala na P=const. ili V=const. promena standardne entalpije odnosno unutrašnje energije je uvek ista i zavisi isključivo od početnog i krajnjeg stanja sistema.

5 Primenom esovog zakona može se odrediti toplotni efekat jedne reakcije ako su poznati toplotni efekti drugih reakcija kombinacijom termohemijskih jednačina: Ova se reakcija može odigrati drugim putem, sa obrazovanjem međuprodukta: 2 x druga jednačina +treća jednačina=prva jednačina 2Δ 2 + Δ 3 = Δ 1 2Δ 2 + Δ 3 = ( - 294) = - 821kJ/mol Ako bi toplotni efekat na putu II bio manji (Δ 2 + Δ 3 ) od toplotnog efekta na putu I (Δ 1 ), to bi značilo da se energija na putu I stvorila, što bi bilo u suprotnosti sa I zakonom termodinamike.

6 Prva posledica esovog zakona je da se termohemijske jednačine mogu sabirati, oduzimati i množiti, tj. sa njima se može postupati kao i sa algebarskim jednačinama. Druga posledica je da se primenom esovog zakona mogu izračunati toplotni efekti reakcija i toplote nastajanja jedinjenja koje nisu pristupačne direktnom merenju. Npr. nije moguće izmeriti toplotu formiranja CO jer sagorevanjem C u određenoj količini O 2 nastaje smeša CO i CO 2 nepoznatog sastava, ali je moguće meriti toplotu sagorevanja C u višku O 2 kao i toplotu sagorevanja CO: toplotni efekat može da se meri toplotni efekat ne može da se meri ali može da se izračuna prva jednačina-druga jednačina=treća jednačina (-11,53 kjmol -1 )

7 ENTALPIJE RAZLIČITI PROCESA -standardna entalpija fazne transformacije odnosno faznog prelaza (transition)δ tr o (toplotni efekat koji prati proces fazne transformacije-isparavanje, topljenje, sublimaciju, prelaz iz jednog u drugi kristalni oblik). Procesi fazne transformacije praćeni su oštrim odnosno naglim promenama toplotnog sadržaja; -standardna entalpija sublimacije (sublimation) sub o jednaka je sumi standardnih entalpija topljenja (fusion) fus o i isparavanja (vaporization) vap o na odgovarajućim temperaturama; 2 O s = 2 O l fus o 273K = 6,1kJmol 1 2 O l = 2 O g vap o 373K = 44,66 kjmol 1 -standardna entalpija jonizacije (ionization) Δ ion o predstavlja promenu entalpiju koja prati jonizaciju jednog mola supstance, tj. uklanjanje jednog elektrona; A g = A + g + e g -standardna entalpija vezivanja elektrona (electron gain) Δ eg o je promena entalpije koja prati vezivanje elektrona za atom, jon, molekul; A g + e g = A g

8 -standardna entalpija disocijacije veze Δ o (A-B) je standardna promena entalpije procesa u kome se raskida veza A-B; -standardna entalpija atomizacije (atomization) Δ at o separaciju svih atoma neke supstance. je promena entalpije koja prati vrsta s,l,g = atomi s,l,g - standardna entalpija mešanja (mixing) mix o -standardna entalpija solvatacije (solvation) s o ; hidratacije (hydration) hyd X ± ± g = X aq -standardna entalpija rastvaranja (solution) sol o -standardna entalpija aktiviranja (activation) o reaktanti = aktivirani kompleks

9 TOPLOTA EMIJSKI REAKCIJA i stehiometrijski koeficijenti i i j j r V U U U U U U U Q i i j j r P Q Određivanje apsolutne vrednosti entalpije nije moguće, moguće je meriti samo razliku entalpija između dva stanja. Usvojeno je konvencijom da su entalpije stvaranja hemijskih elemenata pod standardnim uslovima jednake nuli. tzv. stehiometrijski broj-pozitivan za produkte a negativan za reaktante

10 emijska jedinjenja imaju standardne entalpije koje odgovaraju promeni entalpije hemijske reakcije kojom se ona grade od elemenata: Vrednosti Δ r za reakcije 1 i 2 mogu se eksperimentalno odrediti, pa se tako mogu odrediti vrednosti entalpija nastajanja čvrstog Al 2 O 3 i Mg 2 C 3

11 Promena entalpije koja prati obrazovanje (nastajanje) jednog mola jedinjenja iz elemenata, pod uslovom da su elementi u svom standardnom stanju naziva se standardna molarna entalpija obrazovanja, formiranja ili nastajanja (formation) i obeležava se sa Δ f (298K) nadalje Δ f. Promena entalpije bilo koje reakcije može se izračunati na osnovu poznavanja toplota nastajanja produkta i reaktanata. Prema šemi saglasno esovom zakonu nalazi se da je entalpija hemijske reakcije jednaka razlici sume entalpije obrazovanja produkata i reaktanata

12 1. 2(g) + ½ O 2(g) 2 O (g) Δ r = - 241,82 kjmol (g) + ½ O 2(g) 2 O (l) Δ r = - 285,83 kjmol C grafit + O 2(g) CO 2(g) Δ r = - 393,51 kjmol C dijamant + O 2(g) CO 2(g) Δ r = -395,4 kjmol CO (g) + 1/2O 2(g) CO 2(g) Δ r = -282,98 kjmol -1 Reakcije od 1 do 5 predstavljaju reakcije nastajanja različitih jedinjenja. U reakcijama od 1 do 3 toplotni efekat reakcije Δ r jednak entalpiji nastajanja jedinjenja Δ f jer su reaktanti u svom standardnom, stabilnom stanju sa Δ f o =. Takođe se zapaža da toplotni efekat zavisi od agregatnog stanja nastalog proizvoda (reakcije 1 i 2 koje se razlikuju za toplotni efekat koji prati isparavanje vode Δ vap o =44 kjmol -1 ). U reakcijama 4 i 5 toplotni efekat reakcije nije istovremeno i toplota nastajanja zato što u reakciji 4 jedan reaktant (ugljenik) nije u svom standardnom stanju (Δ f o dijamanta je =1,895 kjmol -1 ), a u reakciji 5 reaktant CO nije prosta supstanca odnosno Δ f o i iznosi -11,53 kjmol -1.

13 ENTALPIJA EMIJSKE VEZE Promena entalpije u reakciji disocijacije je mera jačine veze kojom se atomi A drže zajedno. Za disocijaciju molekula potrebno je utrošiti energiju. U obrnutom procesu obrazovanja molekula izdvaja se ista količina energije. Pošto se pri tome obrazuje hemijska veza ta energija se naziva energija veze. U višeatomnim molekulima (N 3 ; C 4 ), energija potrebna za raskidanje prve veze nije ista kao i energija za raskidanje sledeće veze. Energija veze uglavnom opada pri sukcesivnom raskidanju veze mada ima i izuzetaka. Sabiranjem svih entalpija i deljenjem sa brojem veza dobija se srednja entalpija ili srednja energija veze. Entalpija veze može se dobiti iz entalpije nastajanja jedinjenja ili se izračunava iz termohemijskih jednačina. Npr: entalpija C- veze iz entalpije formiranja C 4: 1. C grafit g = C 4 g r 298 = 74,81 kjmol 1 = f o (C 4 ) 2. C grafit = C g 298 = 716,68 kjmol g = 2 g 298 = 432 kjmol x3 dobija se termohemijska jednačina nastajanja C 4 iz slobodnih atoma C i u gasnoj fazi čiji toplotni efekat ne može da se izmeri ali može da se izračuna: C g + 4 g = C 4 g f 298 = 1655,5 kjmol 1 Entalpija C- veze je f = 413,9 kjmol 1

14 Entalpija veze C-C može se izračunati iz entalpije formiranja etana C 2 6 iz atoma C i : 1. 2C grafit g = C 2 6 g r 298 = 84,68 kjmol 1 = f o (C 2 6 ) 2. C grafit = C g 298 = 716,68 kjmol g = 2 g 298 = 432 kjmol 1 1-(2x2+3x3) dobija se termohemijska jednačina nastajanja C 2 6 iz atoma C i : 2C g + 6 g = C 2 6 f 298 = 2814,1 kjmol 1 Oduzimanjem 6 entalpija C- veze dobija se entalpija C-C veze. Iz entalpija pojedinačnih veza može se izračunati ukupna entalpija veze bilo kog jedinjenja. Npr. C 2 5 O: 5 C- veza; 1 C-C veza; 1 C-O veza i 1 O- veza. Entalpije veza mogu se iskoristiti za izračunavanje promene entalpije bilo koje reakcije uzimajući u obzir sve veze koje se raskidaju (sa znakom +) i koje se formiraju (sa znakom -): ClF g + Cl g = Cl 2 g + F g Raskidaju se Cl-F i -Cl a formiraju Cl-Cl i -F. Jedna ista veza npr. C=O u raznim molekulima ima različite vrednosti (CO 2 ; aldehid; keton).

15 TOPLOTA SAGOREVANJA Toplotni efekat ili promena entalpije koja prati sagorevanje jednog mola neke supstance u velikom višku čistog kiseonika, pod uslovom da supstanca izgori potpuno (na primer vodonik pređe u vodu, ugljenik u ugljendioksid, sumpor u sumpordioksid) pri standardnim uslovima naziva se standardna molarna entalpija sagorevanja (combustion) Δ c o. Određuje se eksperimentalno u kalorimetrijskoj bombi. Poznavanjem toplote sagorevanja učesnika u reakciji (koje mogu eksperimentalno da se odredе) može se izračunati toplotni efekat bilo koje reakcije za koju je eksperimentalno određivanje toplotnog efekta neizvodljivo.

16 : 1+2x2-3 (COO) 2(s) + ½ O 2(g) + 2C 3 O (l) + 3O 2(g) - (COOC 3 ) 2(l) -7/2 O 2(g) = 2CO 2(g) + 2 O (l) + 2CO 2(g) +4 2 O (l) - 4CO 2(g) -3 2 O (l) (COO) 2(s) + 2C 3 O (l) (COOC 3 ) 2(l) O (l) Δ r 298 = - 245,65 + (- 1528) - ( ,6) = -95,5 kj

17 U mnogim slučajevima toplota obrazovanja jedinjenja ne može se eksperimentalno odrediti. U tom slučaju na osnovu poznavanja toplote sagorevanja učesnika u reakciji moguće je odrediti toplotu nastajanja jedinjenja. Npr. 6C (s) + 6 2(g) + 3O 2(g) = C 6 12 O 6(s) Primenom esovog zakona posmatrana reakcija može se dobiti sabiranjem i oduzimanjem jednačina (6x1 + 6x2 3) = , 1714,8 ( - 281,8) = kjmol -1

18 TOPLOTA NEUTRALIZACIJE Toplota neutralizacije Δ neut je promena entalpije koja prati neutralizaciju jednog mola kiseline ekvivalentnom količinom baze u beskonačno razblaženom rastvoru. Reakcije neutralizacije razblaženih rastvora jakih kiselina i jakih baza praćene su oslobađanjem uvek iste količine toplote odnosno ne zavise od prirode jake baze i jake kiseline. Cl (ag) + NaO (aq) NaCl (aq) + 2 O 2 SO 4(ag) + 2NaO (aq) Na 2 SO O NO 3(ag) + NaO (aq) NaNO 3(aq) + 2 O Promena entalpije svake od ovih reakcija je ista i iznosi: Δ neut (298K) = - 55,92 kjmol -1 Potpuna disocijacija polaznih supstanci i nagrađene soli pa se ne menja količina katjona i anjona pa toplotni efekat može da potiče jedino od reakcije jona O - i + : + (aq) + O - (aq) 2 O (l) Δ neut (298K) = - 55,92 kjmol -1

19 Promena entalpije neutralizacije slabe kiseline jakom bazom, odnosno jake kiseline slabom bazom manja je od vrednosti 55,9 kjmol -1 zbog toplote disocijacije slabe baze odnosno kiseline (endoterman proces). Slabe kiseline i slabe baze su delimično disosovane i pri reakciji neutralizacije sa jakom bazom, odnosno jakom kiselinom, deo toplote se troši na disocijaciju slabe kiseline, odnosno slabe baze. CN (aq) + NaO (aq) NaCN (aq) + 2 O Δ r o 298 = x Ova reakcija odigrava se u dva stupnja: 1. endoterman proces CN (aq) + (aq) + CN - (aq) Δ dis o 298 = 43,82 kj 2. egzoterman proces + (aq) + O - (aq) 2 O (l) Δ neut o 298 = -55,92 kj Δ r = Δ dis + Δ neut o = 43,82 55,92 = -12,1 kj

20 TOPLOTA NASTAJANJA JONA U RASTVORU Za reakcije u rastvoru bitno je poznavati entalpije nastajanja jona. Toplote obrazovanja vodonikovog i hidroksidnog jona mogu se dobiti posmatranjem dva procesa: 1. jonizacija vode u beskonačno razblaženom rastvoru 2. stvaranje vode iz elemenata 2 O (l) + (aq) + O - (aq) Δ ion o = 55,9 kjmol -1 2(g) + ½ O 2(g) 2 O (l) Δ r o = -285,8 kjmol -1 2(g) + ½ O 2(g) + (aq) + O - (aq) Δ r o 298 = -229,9 kjmol -1 Eksperimentalno se može odrediti samo ukupna entalpija oba jona pa je dogovorno uzeto da je toplota obrazovanja vodoničnog jona u beskonačno razblaženom rastvoru jednaka nuli: Δ f ( + ) aq = ½ 2(g) + aq + (aq) + e - (aq) Δ f o ( + ) aq = kjmol -1

21 kombinacijom prethodnih jednačina (prva-druga) dobija se: ½ 2(g) + ½ O 2(g) + aq + e - (aq) O - (aq) Δ r o ( O - ) aq = -229,99 kjmol -1 Δ f o ( O - ) aq = - 229,99 kjmol -1 Sada se mogu odrediti i toplote obrazovanja drugih jona u rastvoru, na primer: toplota obrazovanja Cl - jona. Obrazovanje Cl iz elemenata i njegovo rastvaranje u vodi, može se predstaviti jednačinom: ½ 2(g) + ½ Cl 2(g) + aq + (aq) + Cl - (aq) Δ r o = -167,16 kjmol -1 Kako je po konvenciji toplota obrazovanja + jona jednaka nuli, onda je toplota reakcija obrazovanja hloridnog jona data jednačinom: ½ Cl 2(g) + aq + e - (aq) Cl - (aq) Δ f o (Cl - )aq = -167,16 kjmol -1 = Δ r što znači da je toplota obrazovanja hloridnog jona jednaka toploti reakcije.

22 TOPLOTA RASTVARANJA Rastvaranje supstance u nekom rastvaraču može biti praćeno apsorpcijom ili oslobađanjem toplote. Količina toplote koja se oslobodi ili apsorbuje zavisi od prirode rastvarača, prirode rastvorene supstance kao i od toga da li se rastvarač nalazi u gasnom, tečnom ili čvrstom stanju. Toplota rastvaranja takođe zavisi od koncentracije dobijenog rastvora. U vezi sa tim razlikuju se četiri pojma: 1. Promena entalpije koja prati rastvaranje jednog mola supstance u n molova rastvarača predstavlja integralnu toplotu rastvaranja ili standardnu molarnu entalpiju rastvaranja Δ sol o. A + nr [AnR] Δ sol o 2 SO 4(l) O (l) [ 2 SO 4,6 2 O], Δ sol o = -6,71 kjmol -1 Integralna toplota rastvaranja daje ukupan toplotni efekat koji prati stvaranje rastvora određene koncentracije. Zavisi od koncentracije rastvora pa se uvek mora naznačiti na koju koncentraciju rastvora se odnosi.

23 pri beskonačnom razblaženju raste sa razblaživanjem Zavisnost toplote rastvaranja od broja molova vode

24 2. Promena entalpije koja prati dodavanje n molova rastvarača, tako da se koncentracija rastvora menja (rastvor se razblažuje) naziva se integralna toplota razblaživanja. Rastvaranje određenog broja molova supstance u nekom broju molova rastvarača praćeno je integralnom toplotom rastvaranja (Δ sol ) 1. Kada se ovom rastvoru doda n molova rastvarača dobija se rastvor manje koncentracije, ali veće integralne toplote rastvaranja (Δ sol ) 2. (Δ sol ) raz = (Δ sol ) 2 - (Δ sol ) 1 2 SO 4(l) O (l) [ 2 SO 4, 6 2 O] (Δ sol ) 1 = - 6,71 kjmol -1 2 SO 4(l) O (l) [ 2 SO 4, 1 2 O] (Δ sol ) 2 = -73,22 kjmol -1 (Δ sol ) raz = (Δ sol ) 2 - (Δ sol ) 1 = - 73,22 - ( - 6,71) = - 12,51 kjmol -1

25 3. Kada se postigne takvo razblaženje da se ne proizvodi više nikakav toplotni efekat, ta integralna toplota rastvaranja naziva se integralna toplota pri beskonačnom razblaženju. 2 SO 4(l) + 2 O (l) = 2 SO 4(aq) Δ sol = - 96,77 kjmol -1 Rastvaranjem jednog mola 2 SO 4 u 1 5 molova vode oslobađa se 96,77 kjmol -1. Daljim dodavanjem vode više se ne proizvodi nikakav toplotni efekat. beskonačno razblažen rastvor Integralna toplota rastvaranja pri beskonačnom razblaženju definiše se kao količina toplote koju sistem razmeni sa okolinom pri rastvaranju jednog mola supstance u tolikoj količini rastvarača, da dalje razblaživanje ne izaziva nikakav toplotni efekat. 4. Diferencijalna toplota rastvaranja definiše se kao količina toplote koja prati rastvaranje jednog mola rastvorka u tolikoj količini rastvarača, da ne dolazi do promene koncentracije i toplote rastvaranja. Ova toplota rastvaranja ima teorijski značaj.

26 Rastvaranje jako polarnih supstanci npr. jonskih kristala u rastvaraču velike dielektrične konstante može se razložiti u dva procesa: 1. Razlaganje kristalne rešetke. Ovaj proces je endoterman, što znači da se apsorbuje toplota, Δ discr - entalpija disocijacije kristalne rešetke. 2. Solvatacija (hidratacija ako je voda rastvarač). Solvatacija je egzoterman proces i dovodi do stabilizacije jona u rastvoru ( Δ s ili Δ hid ). Ukupna promena entalpije rastvaranja jednaka je algebarskom zbiru endotermnog prevođenja čvrste supstance u rastvor i egzotermnog procesa solvatacije: Δ sol = Δ discr + Δ s U zavisnosti od pojedinačnih vrednosti Δ discr i Δ s reakcija rastvaranja biće egzotermna ili endotermna. Ukupna promena entalpije rastvaranja može eksperimentalno da se odredi, kalorimetrijski, a entalpija disocijacije kristalne rešetke pomoću energetskih dijagrama kao entalpija kristalne rešetke suprotnog znaka, pa je: Δ s = Δ sol - Δ discr teško se eksperimentalno određuje

27 Entalpija solvatacije definiše se kao promena entalpije koja prati prenošenje jednog mola nekog jonskog jedinjenja iz stanja nezavisnih jona u vakuumu u stanje nezavisnog jona u rastvoru. rastvaranjem kristalnog NaCl uz toplotni efekat-entalpija rastvaranja Δ sol rastvaranjem nezavisnih jona, što je praćeno entalpijom solvatacije Δ s Δ discr (NaCl)=787kJmol -1 ; (NaCl)= 5,2 kjmol -1 Δ hidr o (NaCl)=5,2 kjmol kJmol -1 =-782 kjmol -1 Entalpiju hidratacije za NaCl (s) moguće je odrediti ako su poznate entalpije hidratacije jona kao sumu entalpija hidratacije jona.

28 ENTALPIJA KRISTALNE REŠETKE Za izračunavanje entalpije kristalne rešetke vrlo često se koristi termodinamički ciklus, poznat kao Born aberov.termodinamički ili termohemijski ciklusi zasnovani su na I zakonu termodinamike. Sam ciklus podrazumeva određen hemijski proces razložen na elementarne stupnjeve i prikazan u energetskom dijagramu. Npr. nastajanje alkalnog halogenida: M (s) + ½ X 2(g) = M + X - (s) Δ r = Δ f (MX) s -sublimacija metala M (Δ sub ) -atomizacija molekula halogena, Δ at -jonizacija atoma M u M + ( Δ ion ) -preuzimanje elektrona od strane atoma halogena (Δ eg ) -obrazovanje jonskog kristala M + X - iz gasnih jona (Δ cr )

29 Suma svih promena entalpija u termodinamičkom ciklusu je jednaka nuli: f sub 1/ 2 at ion eg cr cr f sub 1/ 2 at ion eg iz termodinamičkih merenja napona pare u funkciji od temperature iz molekulskih spektara kalorimetrijski iz atomskih spektara izračunavanjem upotrebom kvantne mehanike Standardna entalpija kristalne rešetke Δ cr je merilo jačine veze, a definiše se kao promena entalpije koja prati nastajanje jednog mola kristalne supstance iz elemenata u jonskom (gasnom) stanju, a koji su prisutni u standardnim uslovima. Ona je negativna (Δ cr o <). Standardna entalpija disocijacije kristalne rešetke Δ discr je promena entalpije koja prati disocijaciju jednog mola kristalne supstance do gasnih jona. Ona je pozitivna (Δ discr o >).

30 ODREĐIVANJE TOPLOTE RASTVARANJA Količinu toplote Q koja se u toku eksperimenta oslobodila, primio je rastvor i kalorimetar pa je: m r masa rastvarača m s M c C r K dt masa rastvorene supstance m m s m s toplotni kapacitet kalorimetra specifični toplotni kapacitet rastvora c C Toplotni kapacitet kalorimetra može se odrediti na dva načina: -Merenjem Δt procesa poznatog toplotnog efekta - Metodom mešanja K dt za 1 mol supstance

31 Q m2c O t2 2 2 t s količina toplote koju je predala toplija voda Q t t C t 1 m1c 2O s 1 K s t1 količina toplote koju je primila hladnija voda i kalorimetar Izjednačavanjem ove dve toplote dobija se izraz za toplotni kapacitet kalorimetra:

32 ZAVISNOST TOPLOTE REAKCIJE OD TEMPERATURE Različiti toplotni efekti kao što su toplota obrazovanja, toplota sagorevanja, toplota rastvaranja i dr. izračunate su ili određene pri standardnim uslovima, tj. na pritisku od Pa i na temperaturi od 25 o C Zavisnost entalpije produkata i reaktanata od temperature

33 Zavisnost toplote reakcije od temperature daje zakon Kirhofa Diferenciranjem po temperaturi: U T V C V

34 Kirhofov zakon-temperaturski koeficijent toplotnog efekta nekog procesa jednak je razlici toplotnih kapaciteta za krajnje i početno stanje. Integraljenjem jednačina: 2 r T r T CpdT U r T ru T C 2 1 T T T T 1 1 V dt da bi se odredio toplotni efekat na T 2 treba znati toplotni efekat na T 1 i toplotni kapacitet za sve učesnike u reakciji u intervalu temperatura od T 1 do T 2

35 Promena sa temperaturom zavisi od toga kako se pri tome menja ΔC P. 1. Ako je ΔC P = const, tada je: r T 2 r T C T 1 p 2 T1 je linearna funkcija temperature ( a nagib prave zavisi od znaka ΔC P ) 2. U nekim slučajevima ΔC P =, onda toplotni efekat procesa ne zavisi od temperature 3. Kada je toplotni kapacitet funkcija temperature: a j ja j 1 i 1 a i i C p a bt ct 2... b j jb j 1 i 1 b i i c j jc j 1 i 1 c i i

36 r b T 2 c T T at 2 r T1... Ako u posmatranom temperaturskom intervalu dolazi do fazne transformacije bilo kog učesnika u reakciji, onda je neophodno uzeti u obzir toplotu faznog prelaza. U tom slučaju za izračunavanje zavisnosti Δ r od temperature koristi se jednačina: temperatura fazne transformacije T tr r T r T C pdt tr C 2 1 T 1 dt promena entalpije transformacije (dodaje se ako se ako se dešava na produktima, a oduzima ako se dešava na reaktantima) promena toplotnih kapaciteta posle fazne transformacije T T 2 tr p

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku

Διαβάστε περισσότερα

Termohemija. Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima

Termohemija. Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima Termohemija Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima Poglavlje 2.2 Termohemija Termohemija je deo termodinamike i bavi se proučavanjem toplotom razmenjenom pri hemijskim i fizičkim promenama,

Διαβάστε περισσότερα

Termohemija. Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima

Termohemija. Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima Termohemija Energetske promene pri fizičkim i hemijskim procesima Poglavlje 2.2 Termohemija Termohemija je deo termodinamike i bavi se proučavanjem toplotom razmenjenom pri hemijskim i fizičkim promenama,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj

Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj Termohemija Termodinamika proučava energiju i njene promene Termohemija grana termodinamike odnosi izmeñu hemijske reakcije i energetskih promena koje se pri tom dešavaju C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Rastvori rastvaračem rastvorenom supstancom

Rastvori rastvaračem rastvorenom supstancom Rastvori Rastvor je homogen sistem sastavljen od najmanje dvije supstance-jedne koja je po pravilu u velikom višku i naziva se rastvaračem i one druge, koja se naziva rastvorenom supstancom. Rastvorene

Διαβάστε περισσότερα

Kiselo bazni indikatori

Kiselo bazni indikatori Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

Rastvori Osnovni pojmovi i izračunavanja

Rastvori Osnovni pojmovi i izračunavanja Rastvori Osnovni pojmovi i izračunavanja Disperzni sistem je smeša u kojoj su jedna ili više supstanci raspršene u nekoj drugoj supstanci u obliku sitnih čestica. Disperzni sredstvo je supstanca u kojoj

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c.

HEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c. II RAČUNSKE VEŽBE HEMIJSKE RAVNOTEŽE TEORIJSKI DEO I POJAM AKTIVNOSTI JONA Razblaženi rastvori (do 0,1 mol/dm ) u kojima je interakcija između čestica rastvorene supstance zanemarljiva ponašaju se kao

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA I RAD, PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

TOPLOTA I RAD, PRVI ZAKON TERMODINAMIKE TOPLOTA I RAD, PRI ZAKON TERMODINAMIKE Mehanički rad u termodinamici uvek predstavlja razmenu energije izmedju sistema i okoline. Mehanički rad se javlja kao rezultat delovanja sile duž puta: W Fdl W Fdl

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Kiselo-bazne ravnoteže

Kiselo-bazne ravnoteže Uvod u biohemiju (školska 2016/17.) Kiselo-bazne ravnoteže NB: Prerađena/adaptirana prezentacija američkih profesora! Primeri kiselina i baza iz svakodnevnog života Arrhenius-ova definicija kiselina i

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Gibbs-ova slobodna energija

Gibbs-ova slobodna energija ibbs-ova slobodna energija Reakcija će se odvijati spontano ili ne, zavisno od toga de li je praćena porastom entropije univerzuma ili ne: ri = const: S S S univerzuma sistema okruzenja S univerzuma H

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA.

TERMODINAMIKA. TERMODINAMIKA http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html 1 Termodinamika naučna disciplina koja proučava energetske promene koje prate univerzalne procese u prirodi kao i vezu tih promena sa osobinama

Διαβάστε περισσότερα

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

H T. C P,m C V,m = R C P C V = nr U T U V T H P. Izotermski procesi: I zakon termodinamike. Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S.

H T. C P,m C V,m = R C P C V = nr U T U V T H P. Izotermski procesi: I zakon termodinamike. Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S. I zakon termodinamike du dq dw dh du pd C U dw e C,m C,m = R C C = nr C H du C d U d C d d u dh C p d H d Izotermski procesi: w nr ln R ln w p Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S. Izotermski

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA. Sistem i okruženje

TERMODINAMIKA. Sistem i okruženje TERMODINAMIKA Sistem i okruženje SISTEM je deo sveta koji nas zanima; to je bilo koji objekat, bilo koja količina materije, bilo koji deo prostora, izabran za ispitivanje i izdvojen (misaono) od svega

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas ,4,4, Odreñivanje promene entropije,4,4,, romena entropije pri promeni faza Molekular ularna interpretacija entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: čvrsto

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje

za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje ENROPIJA Spontani procesi u prirodi se uvek odvijaju u određenom smeru (npr. prelazak toplote sa toplijeg na hladnije telo) što nije moguće opisati termodinamičkim funkcijama do sad obrađenim. Nulti zakon

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

C P,m C V,m = R C P C V = nr

C P,m C V,m = R C P C V = nr I zakon termodinamike du dq + dw + dw e dh du + pd du C U U C d + d C d + u d C,m C,m R C C nr dh Izotermski procesi: C p C d + H H d w nr ln R ln Izotermski reverzibilni zapreminski rad gasa u I.G.S.

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

REAKCIJE ELIMINACIJE

REAKCIJE ELIMINACIJE REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

II RASTVORI. Borko Matijević

II RASTVORI. Borko Matijević Borko Matijević II RASTVORI Rastvori predstavljaju složene disperzne sisteme u kojima su fino usitnjene čestice jedne supstance ravnomerno raspoređene između čestica druge supstance. Supstanca koja se

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K 1 Zadatak temperatura K- C Telo A se nalazi na temperaturi 50 C i zagreje se za 50 K. Telo B se nalazi na temperaturi 313 K.i zagreje se za 40 C. Koje je telo toplije posle zagravanja i kolika je razlika

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Primer: gas ili smeša gasova p = 1 tečnost ili smeša mešljivih tečnosti p = 1 dve delimično mešljive ili nemešljive tečnosti p = 2 kristal p = 1

Primer: gas ili smeša gasova p = 1 tečnost ili smeša mešljivih tečnosti p = 1 dve delimično mešljive ili nemešljive tečnosti p = 2 kristal p = 1 RAVNOTEŽA FAZA 1 Faza, p svaki homogeni deo sistema, uniforman po svojim fizičkim osobinama i hemijskom sastavu u celoj zapremini, koji od ostalih homogenih delova razdvajaju granice, tj. površine na kojima

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα