ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Transcript

1 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του Α είναι ίσο µε το µισό της λευράς ΒΓ. να αοδείξετε ότι ισχύει εφβ + εφγ εφβ εφγ και σφβ + σφγ Αό το τρ. Α Β έχουµε εφβ A Α Β Β A (1) εϕβ Β Αό το τρ. Α Γ έχουµε εφγ A Γ Γ A () εϕγ (1) + () Β + Γ Α ( 1 εϕβ + 1 εϕγ ) ΒΓ Α εϕγ+εϕβ εϕβεϕγ Α Α εϕγ+εϕβ εϕβεϕγ εϕγ+εϕβ εϕβεϕγ εφβ + εφγ εφβ εφγ Γ Αό το τρ. Α Β έχουµε σφβ Β Α Αό το τρ. Α Γ έχουµε σφγ Γ Α () + () σφβ + σφγ Β +Γ Α () () ΒΓ Α

2 . Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές. εϕβ εϕγ ηµ Β ηµ Γ εφβ ηµ Γ εφγηµ Β ηµβ ηµγ ηµ Γ συνβ συνγ ηµγ συνγ ηµβ συνβ ηµγ συνγ ηµβ συνβ ηµγ ηµβ εϕβ εϕγ ηµ Β, να αοδείξετε ότι ηµ Γ ηµ Β Γ Β ή Γ + Β 180 ο Γ Β ή Γ + Β 90 ο Γ Β ή Α 90 ο. Να αοδείξετε ότι τα σηµεία Μ(, y) του ειέδου µε 1 + συνt, y + ηµt, βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(1, ) και ακτίνας ρ. (ΚΜ ) ( 1 ) + (y ) (1 + συνt 1 ) + ( + ηµt ) συν t + ηµ t ( συν t + ηµ t ).1 (ΚΜ) Άρα το σηµείο Μ αέχει αό το Κ αόσταση, εοµένως βρίσκεται σε κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας ρ.

3 .i) Να λύσετε την εξίσωση 1+ηµ + συν συν 1+ηµ Περιορισµοί : συν 0 και 1 + ηµ 0 1+ηµ + συν (1 + ηµ ) + συν συν 1+ηµ 1 + ηµ + ηµ + συν (1 + ηµ) συν 1 + ηµ + 1 συν (1 + ηµ) + ηµ συν (1 + ηµ) 1 + ηµ συν (1 + ηµ) (1 + ηµ) συν (1 + ηµ) 0 (1 + ηµ)(1 συν) 0 1 συν 0 1 συν συν (1 + ηµ) συν 1 συν συν k ±, k Z.ii) συν σϕ Να λύσετε την εξίσωση 1 ηµ Περιορισµοί : ηµ 0 για να ορίζεται η σφ και 1 ηµ 0 για να ορίζεται το κλάσµα. συν σϕ 1 ηµ συν σφ ηµ συν συν ηµ ηµ συν ηµ 1 ηµ ηµ ηµ + ηµ 0 ηµ ηµ , ηµ ± 1 1 ή 1 ( η ρίζα 1 αορρίτεται αό τον εριορισµό) ηµ 1 ηµ ηµ 6 k + 6 ή k + 6 k + 6 ή k + 5 6, k Z

4 5.i) Αν 0 < <, να αοδείξετε ότι εφ + σφ εφ + σφ εφ + εϕ 1 εϕ + 1 εφ εϕ εφ (εφ 1 ) 0 ου ισχύει. 5.ii) Αν 0 α < β < ηµα+ηµβ, να αοδείξετε ότι εφα < συνα+συνβ < εφβ εφα < ηµα+ηµβ συνα+συνβ ηµα+ηµβ συνα+συνβ ηµα συνα < ηµα+ηµβ συνα+συνβ ηµα συνα + ηµα συνβ < συνα ηµα + συνα ηµβ συνα ηµβ > ηµα συνβ συνα ηµβ ηµα συνβ > 0 ηµ(β α) > 0 ου ισχύει αφού 0 < β α < < εφβ (Ακολουθούµε τον ίδιο τρόο)

5 5 6. Να λύσετε την εξίσωση συν( ) 1 στο διάστηµα (, 5) συν( ) 1 συν( ) 1 συν( ) συν k + ή k ή k k k ή k +, k Z Για k < < 5 < k < 5 5 < k < αδύνατο Για k + < k + < 5 < k + 1 < 5 1 < k< < k < 1 1 < k < 11 k Άρα ( ) + + 1

6 6 7. Σε ένα λούνα αρκ ο εριστρεφόµενος τροχός έχει ακτίνα m, το κέντρο του αέχει αό το έδαφος 10m και όταν αρχίζει να κινείται εκτελεί µια λήρη εριστροφή σε 8 δευτερόλετα µε σταθερή ταχύτητα. Να βρείτε το ύψος του βαγονιού Α αό το έδαφος ύστερα αό χρόνο 1 sec, sec, 5 sec και γενικότερα ύστερα αό χρόνο t sec. Να λύσετε το ίδιο ρόβληµα για το βαγόνι Β. Για το βαγόνι Α. Έστω Κ η θέση του βαγονιού κατά τη χρονική στιγµή t 0. Θεωρούµε σύστηµα αξόνων µε αρχή Ο, άξονα των οριζόντιο και άξονα των y κατακόρυφο. Έστω Μ(, y) η θέση του βαγονιού σε χρόνο t sec αό την εκκίνηση και φ η γωνία Κ ÔΜ. Τότε συνφ και y ηµφ (1) Είναι φ σε χρόνο t 8 sec. Άρα y O Γ Β O Α 10 M(, y) φ y K 10 είναι φ 8 σε χρόνο t 1 sec και φ t (1) y ηµ σε χρόνο t sec. t. Το ύψος του βαγονιού σε t sec είναι h(t) 10 + y 10 + ηµ Εοµένως h(1) 10 + ηµ m h() 10 + ηµ ηµ m h(5) 10 + ηµ ( ) 10 m t. Για το βαγόνι B. Έστω Λ η θέση του βαγονιού κατά τη χρονική στιγµή t 0, όου Κ ÔΛ και Σ(, y) η θέση του βαγονιού σε χρόνο t sec αό την εκκίνηση. Ονοµάζουµε Κ ÔΣ ω, οότε y ηµω () Θα είναι Λ ÔΣ Κ ÔΜ t. Άρα ω + t ). Εοµένως h(t) 10 + y 10 + ηµ( + t y Σ(, y) y ω O Λ K 10

7 7 8. Να αοδείξετε ότι i) σφ εφ σφ ii) σφ εφ εφ 8σφ8 εφ Λύση i) σφ εφ σφ συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν συν ου ισχύει ii) Αρκεί να δειχθεί ότι σφ εφ εφ εφ 8σφ8 Είναι σφ εφ εφ εφ (σφ εφ) εφ εφ (i) σφ εφ εφ (i) (σφ εφ) εφ σφ εφ (σφ εφ) (i) σφ8 8σφ8

8 8 9. Με τη βοήθεια του τύου ηµ α ηµα ηµ α να λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) Λύση i) Θέτουµε ηµα. Τότε ηµα ηµ α ηµ α ηµ α ηµ 5 ο α 60 ο k +5 ο ή α 60 ο k +180 ο 5 ο α 10 ο k + 15 ο (1) ή α 10 ο k + 15 ο (), k Z Για k 0 η (1) α 15 ο ηµα ηµ15 ο Ελέγχουµε αν ο εαληθεύει τη δοσµένη εξίσωση, δηλαδή αν είναι ρίζα της είναι ρίζα. Για k 0 η () α 15 ο ηµα ηµ15 ο ηµ5 ο Ελέγχουµε αν ο εαληθεύει τη δοσµένη εξίσωση, δηλαδή αν είναι ρίζα της , είναι ρίζα. 8 Για k 1 η (1) α 10 ο + 15 ο 105 ο ηµα ηµ( 105 ο ) ηµ105 ο ηµ75 ο 6 +. Όως ροηγουµένως, αοδεικνύουµε ότι είναι ρίζα. Έχουµε βρει τρεις ρίζες της εξίσωσης και εειδή είναι ου βαθµού, δεν έχει άλλες.

9 9 ii) Mε τον ίδιο τρόο. 10. Να αοδείξετε ότι το σύνολο των σηµείων Μ(, y) µε συνθ και y συνθ +1, όου θ [0, ], είναι το τόξο της αραβολής y µε [ 1, 1]. 1 συνθ [ 1, 1]. συνθ συν θ συν θ 1 + συνθ y Αντίστροφα. Έστω Μ(, y) τυχαίο σηµείο της αραβολής y µε [ 1, 1]. Θέτουµε συνθ, όου θ [0, ] συν θ. Η εξίσωση y γίνεται y συν θ y 1 + συνθ

10 εϕα Με τη βοήθεια των τύων ηµ α 1+εϕ α και συνα 1 εϕ α 1+εϕ α 1+ηµ να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f(), (, ) αίρνει τιµές 5+ συν στο διάστηµα 0, εϕ 1+εϕ + εϕ ( 1+εϕ 1 + ηµ 1 + ) ( 1+ t ) 1+εϕ 1+εϕ 1+εϕ 1+ t Θέσαµε εφ t 5 + συν εϕ 1+εϕ 5+ 5εϕ + εϕ 1+εϕ 9+εϕ 9+ t 1+εϕ 1+ t (1) ( 1+ t) : f(t) Αρκεί να αοδείξουµε ότι 0 ( 1+ t ) 10 () 9+ t 9+ t 9 Η αριστερή ανίσωση είναι ροφανής. Οότε αρκεί να αοδείξουµε ότι ( 1+ t) 9+ t (1 + t + t ) t t + 9 t t () t 18t (t 9 ) 0 ου ισχύει. (1)

11 11 1. Να λύσετε την εξίσωση ηµ +συν ηµ 1 ηµ ηµ +συν + 1 συν ( ) ηµ ηµ +συν + 1 συν συν + ηµ ηµ +συν ηµ+ 1 συν + ηµ ηµ +συν ηµ+ 1 ( συν + ηµ ) ηµ +συν ( συν + ηµ ) ηµ + 1 ( ηµ +συν )(1 ) ηµ + 1 ( συν + ηµ ) ηµ + 1 ( συν + ( συν + ( συν + ( συν + ηµ ηµ )( )( + 1) ηµ ηµ )( + ) ηµ ηµ ) ηµ ηµ ) συν + συν +συν ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ + συν ( ) ηµ ηµ ( + ) ηµ + k + ή + k + k ή k +, k Z

12 1 1. Ένα γκαράζ σχήµατος ορθογωνίου έχει σχεδιασθεί, έτσι ώστε να αοτελείται αό ένα τετράγωνο ΑΒΓ και ένα ορθογώνιο ΟΑ Ε µε Ο 0m, όως εριγράφει το διλανό σχήµα. Για οια τιµή της γωνίας θ rad το εµβαδόν S m του γκαράζ γίνεται µέγιστο; O Α θ 0 y Ε Υόδειξη i) Να δείξετε ότι S 00συν θ + 00ηµθ συνθ ii) Να εκφράσετε το S στη µορφή Σ ρηµ(θ + φ) + c Β Γ iii) Να βρείτε την τιµή του θ, για την οοία το S αίρνει τη µέγιστη τιµή, την οοία και να ροσδιορίσετε. Έστω ΒΓ και Ε y. Αό το τρίγωνο Ε Ο έχουµε 0συνθ και y 0ηµθ S (ABΓ ) + (ΟΑ Ε) + y 00συν θ + 00συνθ 00ηµθ 00συν θ + 00ηµθ συνθ S συν θ + 00 ηµ θ 00(1 + συνθ ) + 00 ηµ θ συνθ + 00 ηµ θ ( συνθ + ηµ θ ) ( συνθ ( ηµ συνθ ηµ ( + θ ) ηµ θ ) συν ηµ θ ) To S γίνεται µέγιστο όταν το ηµ ( ) ηµ ( ) + θ + θ 1 + θ γίνεται µέγιστο, δηλαδή όταν θ θ 8

13 1 1. ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ και η διάµεσός του ΑΜ. Αν Μ ˆΑΒ, Μ ˆΑΓ y και Α ˆΜ Γ ω, να αοδείξετε ότι σφω σφ σφy Φέρνουµε ΒΚ και ΓΛ ΑΜ. Τότε τρ.μκβ τρ.μλγ, άρα ΒΚ ΛΓ Αό το τρίγωνο ΚΑΒ είναι σφ ΑΚ ΒΚ Αό το τρίγωνο ΛΑΓ είναι σφy ΑΛ ΛΓ Άρα σφ σφy ΑΚ ΒΚ ΑΛ ΛΓ ( ΑΛ ΛΓ ΑΚ ΒΚ ) ( ΑΛ ΒΚ ΑΚ ΒΚ ) ΑΛ ΑΚ ΒΚ ΚΛ ΚΜ ΒΚ ΒΚ σφκ ˆΜ Β σφω Β Α y Κ ω M Λ Γ

14 1 15. Να υολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του διλανού σχήµατος, αν ισχύει Γ Β. Β Γ Β (1) Γ Νόµος ηµιτόνων στο τρίγωνο Α Γ : Γ 0 ηµ 5 Νόµος ηµιτόνων στο τρίγωνο Α Β : Β 0 ηµ 0 (1) Α ηµγ. Α ηµβ. 1 Α ηµγ Α ηµβ Β + Γ 180 ο 75 ο 105 ο Β 105 ο Γ Β Α Γ Α ηµγ. Β Α ηµβ. 1 ηµβ ηµγ () ηµβ ηµ(105 ο Γ) ηµβ ηµ105 ο συνγ συν105 ο ηµγ Γ ηµβ ( + 1) συνγ + ( 1) ηµγ () [ ( + 1) συνγ + ( 1) ηµγ] ηµγ [ ( + 1)συνΓ + ( 1)ηµΓ ] ηµγ ( + 1)συνΓ + ( 1)ηµΓ ηµγ ( + 1)συνΓ ηµγ ( 1)ηµΓ ( + 1)συνΓ ( + 1)ηµΓ ( + 1)συνΓ ( + 1)ηµΓ συνγ ηµγ εφγ 1 Γ 5 ο Β 105 ο Γ 105 ο 5 ο 60 ο