ΚΕΦΑΛΑΙΟ V. x, y R n <x, y> = x T y = x 1 y x ny n (5.1.1) x R n : z C n :

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ V Ανάλυση Σφαλµάτων στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες Στo Κεφάλαιο παρουσιάζονται θέµατα που σχετίζονται µε µετρικές µητρώων τις λεγόµενες νόρµες, όπως και την ανάλυση σφαλµάτων στα γραµµικά συστήµατα κάτω από διαφορετικές θεωρήσεις τύπου σφάλµατος. Η ενότητα 5. είναι εισαγωγική και δίνει µια ανασκόπηση των Ευκλείδειων χώρων και των εννοιών του εσωτερικού γινοµένου και του µέτρου, εννοιών που είναι απαραίτητες για να κατανοήσει κανείς θέµατα ανάλυσης σφαλµάτων σε διανυσµατικά µεγέθη και µητρώα. 5. Ευκλείδειοι Χώροι - Εσωτερικό Γινόµενο και Μέτρο Στον Ευκλείδειο διανυσµατικό χώρο R, το σύνηθες (ευκλείδειο) εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων ορίζεται: x, y R <x, y> = x y = x y + + x y (5..) Το ευκλείδειο µέτρο (ή νόρµα ή στάθµη) διανύσµατος επί του R-χώρου R () ορίζεται µε βάση το εσωτερικό γινόµενο (5..): x R : x = x x (5..), x = x = x + x + x Το µέτρο ενός διανύσµατος υποδηλώνει το µήκος του κάτω από τη συγκεκριµένη θεώρηση του εσωτερικού γινοµένου και ως προς το θεωρούµενο σύστηµα συντεταγµένων, δηλ. ως προς τη συνήθη (προκαθορισµένη) βάση {e, e,, e }. Ανάλογη είναι η θεµελίωση του συνήθους εσωτερικού γινοµένου και του µέτρου ή νόρµας διανυσµάτων επί του C-χώρου C () : x,y C * : < x, y>= x y= x y= x y (x * είναι ο ανάστροφος συζυγής) (5..3) z C : * z = z z = z z = z ( z είναι το µέτρο µιγαδικού αριθµού) (5..4) Κ-χώρος V είναι ο δ.χ. που ορίζεται επί ενός (οποιουδήποτε) σώµατος Κ. o Κ παρεµβαίνει στη πράξη του βαθµωτού γινοµένου : : ΚxV V, : (α, v) α v. O R-χώρος των πραγµατικών R σηµειώνεται πιο τυπικά V(R), και ο C-χώρος C, µε V(C). O δείκτης στο V(C) υποδηλώνει τη διάσταση. Ένας άλλος συµβολισµός είναι R x και C x αντίστοιχα. Οι δ.χ. των πραγµατικών και µιγαδικών µητρώων m σηµειώνονται µε Μmx(R) και Mmx(C) αντίστοιχα, ενώ αν m= σηµειώνονται µε Μm(R) και Mm(C). Ένας άλλος δόκιµος συµβολισµός είναι R mx και C mx αντίστοιχα. Ο C, ως C-χώρος, έχει διάσταση και η τυπική του (και ορθοκανονική) βάση είναι {e,e,,e}, η ίδια µε αυτήν του R x. Μπορούν φυσικά να ορισθούν βάσεις του µε διανύσµατα µε µιγαδικές συνιστώσες. Ας σηµειωθεί ότι ο C µπορεί να ορισθεί και ως R-χώρος, µε διάσταση και µε βαθµωτά από το σώµα R. Για παράδειγµα, η τυπική βάση του C θεωρούµενου ως R- χώρου είναι η {e, e, e =(, 0), e =(0, )}. Κάθε διάνυσµά του z γράφεται: z=(a+b, a+b)=ae+ae+be +be. o ίδιο διάνυσµα, θεωρούµενο ως στοιχείο του C-χώρου C, γράφεται: z=(a+b, a+b)= (a+b)e+(a+b)e. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

2 V- Ανάλυση Σφάλµατος Οι ορισµοί (5..3) και (5..4) αποτελούν γενίκευση του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου και του µέτρου αντίστοιχα πάνω και στους δύο χώρους, αφού οι τύποι (5..) και (5..) συµπίπτουν µε αυτούς, για z R. Ο χώρος R, εφοδιασµένος µε το εσωτερικό γινόµενο (5..3), αποτελεί περίπτωση ενός Ευκλείδειου χώρου, ενώ ο χώρος C, µε τη θεώρηση του εσωτερικού γινοµένου (5..3), αποτελεί περίπτωση Utary χώρου. Η νόρµα (5..4) ονοµάζεται Ευκλείδεια νόρµα. Η βασική της ιδιότητα είναι: * z =< z,z>= z z, όπου z * = z (συζυγής ανάστροφος του z, z * =z όταν z R) Ισχύουν όλες οι γνωστές από τη Γραµµική Άλγεβρα ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου και του µέτρου επί ενός διανυσµατικού R-χώρου ή ενός C-χώρου V. Συγκεκριµένα, αν µε Κ συµβολίσουµε το R ή το C, και µε V τον R-χώρο R ή τον C-χώρο C, τότε οι ιδιότητες διατυπώνονται: Ιδιότητες Εσωτερικού Γινοµένου. Οι 5 ρώτες είναι αξιωµατικές. ) <x,x> 0 για κάθε x V (5..5) ) <x,x>=0 αν και µόνον αν x=0 ) < x, y>=< y, x> για κάθε x,y V (<x,y>=<y,x> για κάθε x,y R ) v) <x, cy>= c <y,x> για κάθε x,y V, c K (<cx,y>=c<x,y> για κάθε x,y R, c R) v) <x ± y, z>=<x,z>±<y,z> για κάθε x,y,z V v) <cx+dy, z>=c<x, z>+d<y, z> για κάθε x,y,z V, και c,d K v) <x, cy+dz>= c <x, y>+ d <x, z> για κάθε x,y,z V, και c,d K Ιδιότητες Μέτρου. ) x > 0 για x 0 και x =0 αν και µόνον αν x=0 (5..6) ) λx = λ x για κάθε x V, λ K ) x+y x + y για κάθε x,y V v) <x, y> x y για κάθε x,y V (ανισότητα Cauchy-Schwarz) v) x - y x ± y x + y για κάθε x,y V (τριγωνικές ανισότητες) Σηµείωση: Για λ R, λ είναι η απόλυτη τιµή του λ, ενώ για λ C, είναι το µέτρο του µιγαδικού λ=a+b : λ = a + b. Κάθε διάνυσµα v µε v = καλείται µοναδιαίο. Κάθε διάνυσµα αφού u u = ( u ) u = είναι µοναδιαία. u u, µε u 0, είναι µοναδιαίο,. Τα διανύσµατα της τυπικής βάσης {e,e,,e } των χώρων R και C Στον Ευκλείδειο χώρο R ορίζεται η γωνία φ µεταξύ των διανυσµάτων u, και v ως ο αριθµός θ, µε 0 θ π, τέτοιος ώστε: < u, v> u v συν(φ ) = = (5..7) u v u v Η ανισότητα Cauchy-Schwarz, <x, y> x y, εξασφαλίζει ότι - συν(φ). Η (5..7) χρησιµοποιείται και για τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου: < u, v>= u v συν( φ ) = u v Ειδικά για τους χώρους R και R 3 η παραπάνω σχέση µπορεί να δειχθεί και αυτοτελώς (τύπος συνηµίτονου). Ευκλείδειος λέγεται ένας R-χώρος εφοδιασµένος µε εσωτερικό γινόµενο. Utary λέγεται ένας C- χώρος, εφοδιασµένος µε εσωτερικό γινόµενο. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

3 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V-3 Οι έννοιες του εσωτερικού γινοµένου και του µέτρου γενικεύονται για όλους τους Ευκλείδειους και Utary χώρους, όπως και για κάθε πεπερασµένα παραγόµενο διανυσµατικό χώρο V (βλ. []). 5.. Καθετότητα Αν <u,v> = u Τ v = 0, ή ισοδύναµα αν φ = π/, τα u και v λέγονται ότι είναι κάθετα µεταξύ τους ή ορθογώνια. Η έννοια της καθετότητας επεκτείνεται και στον C-χώρο C, στον οποίο ισχύει το εσωτερικό γινόµενο (5..4). Επειδή όµως εδώ δεν µπορεί να ορισθεί η γωνία φ, ως συνθήκη καθετότητας παραµένει η <z,z>=z * z =0. Η καθετότητα γενικεύεται σε κάθε διανυσµατικό χώρο εφοδιασµένο µε εσωτερικό γινόµενο. Ένα σύνολο διανυσµάτων λέγεται ορθογώνιο όταν όλα τα στοιχεία του είναι ορθογώνια µεταξύ τους και ορθοκανονικό όταν είναι ορθογώνιο και περιέχει µόνον µοναδιαία διανύσµατα. Ένα σηµαντικό θεωρητικό αποτέλεσµα είναι ότι σε κάθε χώρο πεπερασµένης διάστασης εφοδιασµένο µε εσωτερικό γινόµενο µπορεί να ορισθεί µια ορθοκανονική βάση (Θ. Gram Schmdt, βλ. [9],[0]). Συγκεκριµένα για τους χώρους R και C, πέραν των απείρων βάσεων που µπορούν να οριστούν, τα {e,e,,e } συνιστούν ορθοκανονική βάση: e e =0, και e = e e = Τα z =(, ), z =(, ) είναι επίσης ορθοκανονική βάση για τον C : z *z = ( * + () * ) = / ( -) = 0, z = z z = z = z z = ( * + () * ()) = /( + ) =, (() * + * ) =/( + ) = Παρατήρηση 5.. Η έκφραση ενός διανύσµατος ή ενός συνόλου διανυσµάτων ως προς µια ορθοκανική βάση (ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων) βοηθά στην αναπαράσταση και στους υπολογισµούς. Θα ήταν για παράδειγµα τουλάχιστο άβολο ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στον χώρο R 3 να αναπαρίσταται σε µια µη ορθοκανονική βάση. Η µετάβαση σε ορθοκανονικό σύστηµα πραγµατοποιείται µε τον µετασχηµατισµό QR (βλ. [],[]). Συχνό µέληµα, τόσο στην θεωρία όσο και στις εφαρµογές, είναι να τον εφαρµόζουµε. Παρατήρηση 5.. Το εσωτερικό γινόµενο µε το οποίο εφοδιάζεται ένας χώρος, καθορίζει την καθετότητα σ αυτόν και τους αναγκαίους µετασχηµατισµούς, όπως τις προβολές. Κατά συνέπεια, διέπει τη «γεωµετρία» του. Το µέτρο ή νόρµα ενός διανύσµατος γεωµετρικά εκφράζει το µήκος του κάτω από την «λογική» που επιβάλλει το θεωρούµενο εσωτερικό γινόµενο. 5.. Νόρµα ιανύσµατος Σε πολλές εφαρµογές παρουσιάζεται συχνά το πρόβληµα να µελετηθεί η µεταβολή ενός διανυσµατικού µεγέθους όταν αυτό υφίσταται την επίδραση άλλων διανυσµατικών ποσοτήτων ή και µητρώων. Η έννοια της νόρµας διανύσµατος σε ένα διανυσµατικό χώρο απαντά στην ανάγκη εισαγωγής και θεµελίωσης ενός µέτρου που να παρέχει πληροφορία για το «µέγεθος» ενός διανύσµατος ή ενός µητρώου (όπως η απόλυτη τιµή και το µέτρο είναι ενδεικτικά του µεγέθους ενός πραγµατικού και ενός µιγαδικού αριθµού αντίστοιχα). Η νόρµα διανύσµατος µπορεί να νοηθεί σαν γενίκευση του Ευκλείδειου µήκους του στους χώρους R, R 3 και είναι εξαιρετικά χρήσιµη στα Μαθηµατικά και στην Αριθµητική Ανάλυση. Η συνήθης χρήση της είναι στη µέτρηση σφαλµάτων και αποκλίσεων διανυσµατικών µεγεθών, αλλά και αλλού, όπως στον έλεγχο της σύγκλισης επαναληπτικών αριθµητικών αλγορίθµων (βλ. Κεφ. VI). Η έννοια της νόρµας διανύσµατος γενικεύεται από τον παρακάτω ορισµό. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

4 V-4 Ανάλυση Σφάλµατος Ορισµός 5.. Νόρµα (Μέτρο) ιανύσµατος Έστω ο διανυσµατικός χώρος V πάνω στο σώµα Κ (R ή C). Καλούµε νόρµα (ή µέτρο) στο V, µια συνάρτηση. : V K, µε τις εξής ιδιότητες: (α) v 0, v V (β) v = 0 εάν και µόνον εάν v=0 (5..8) (γ) cv = c v, v V, c K (δ) u+v u + v, u,v V (τριγωνική ανισότητα) Εστιάζοντας τώρα στους χώρους R και C, οι πλέον συνήθεις νόρµες (ή µέτρα) που ορίζονται σε αυτούς είναι οι εξής: Νόρµα-ά ειρο, ή:. : = max( x ) Νόρµα-, ή:. : x (5..9),..., Νόρµα-, ή Ευκλείδειο µέτρο, ή:. : x = x (5..0) x = x (5..) όπου x K. Για όλες τις παραπάνω συναρτήσεις µπορεί εύκολα να δειχθεί ότι πληρούν τις ιδιότητες (5..8) του µέτρου επί των R και C. Οι νόρµες (5..9)-(5..) αποτελούν ειδικές περιπτώσεις µιας γενικευµένης νόρµας, της p-νόρµας µε βάρη: v / p p a p w w, = (5..) όπου w R σταθερό διάνυσµα µε θετικές συνιστώσες και p ακέραιος µεταξύ και. Η νόρµα αυτή «µετρά» ένα διάνυσµα κατανέµοντας «βάρη» w στις επί µέρους συνιστώσες του. Όλες οι νόρµες (5..9) λαµβάνονται για w=(,, ). Η νόρµα. προκύπτει από την p-νόρµα για p=, η νόρµα. για p=, ενώ η νόρµα. για p=. Παρατήρηση 5..3 Στους Ευκλείδειους χώρους ισχύει το Ευκλείδεια µέτρο (5..). Σύµφωνα µε αυτό, για την απόκλιση d=s -s -=[0.00, 0.00, -0.3] µεταξύ δύο διαδοχικών όρων µιας ακολουθίας διανυσµάτων είναι d = Και για το διάνυσµα απολύτου σφάλµατος E=[.03e-06,.45e-6, 3.0e-06] ενός επαναληπτικού αλγορίθµου είναι E =3.496e-006. Τα παραπάνω µεγέθη φαίνονται λογικά. Όλες οι συνιστώσες επιδρούν πάνω στο µέτρο, µε τρόπο ισοβαρή, πράγµα που καθιστά τη νόρµα αυτή πολύ χρήσιµη σε πολλές εφαρµογές. Παρατήρηση 5..4 Η νόρµα. είναι ιδιαίτερα χρήσιµη στη µέτρηση σφαλµάτων, αφού παρέχει το µέγιστο σφάλµα ε µεταξύ των συνιστωσών: ε = x-v =max(x,-v,,x -v ) Για τα διανύσµατα της Παρατήρησης 5..3 είναι: d = 0.3 και E =3.0e-06 αντίστοιχα. 5. Νόρµες Μητρώων Το «µέγεθος» των πραγµατικών και µιγαδικών τετραγωνικών µητρώων µετράται από τη νόρµα ή στάθµη µητρώου. Ορισµός Νόρµα Μητρώου Νόρµα µητρώου καλείται µια συνάρτηση. α ό το χώρο των ραγµατικών ή µιγαδικών τετραγωνικών µητρώων Μ (Κ) (K=R ή C) στον R: ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

5 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V-5. : Μ (R) R + {0} ή:. : Μ (C) R + {0} µε τις ακόλουθες ιδιότητες: για κάθε Α,Β Μ (Κ) και κάθε c Κ ισχύουν: () 0 () =0 εάν και µόνον εάν Α=0. (5..) () c = c (v) + Β + Β (v) Β Β Οι τριγωνικές ανισότητες ισχύουν και στην περίπτωση της νόρµας µητρώου, όπως µπορεί να δειχθεί: - Β ± Β + Β για κάθε,β Μ (Κ) O ορισµός 5.. επεκτείνεται και για µητρώα m. Τότε οι ιδιότητες () και (v) ισχύουν για µητρώα συµβατών µεγεθών τόσο για την πρόσθεση, όσο και για τον πολλαπλασιασµό. Μπορούν να ορισθούν διάφορες συναρτήσεις µε τις παραπάνω ιδιότητες. Παρατήρηση 5.. Κατ αντιστοιχία µε τη νόρµα διανύσµατος, µια νόρµα µητρώου είναι φυσικό να δίνει ένα «µέγεθος» για την περιλαµβανόµενη πληροφορία: να παρέχει δηλαδή ένα µέτρο για το σύνολο των στοιχείων του, σε συνδυασµό µε τη δισδιάστατη δοµή και το µέγεθός του. Έτσι, όταν τα στοιχεία του είναι σχετικά µικρά, όπως π.χ. συµβαίνει µε δυνάµεις των µητρώων Markov (που συγκλίνουν στο µηδενικό µητρώο), ή µε τη διαφορά δύο κοντινών προσεγγίσεων Β k, Β k- ενός µητρώου, η νόρµα θα πρέπει να δίνει τιµή κοντά στο 0. Επίσης θα πρέπει να δίνει στο ταυτοτικό µητρώο Ι την τιµή ή τουλάχιστον κοντά σ αυτήν, και σε ένα µητρώο µε όλα του τα στοιχεία (oes()), µια τιµή κοντά στο. Η λογική της µεγέθυνσης ενός διανύσµατος µε πολλαπλασιασµό του µε ένα βαθµωτό, ακολουθείται ήδη από τη θεµελίωση της έννοιας της νόρµας, µε τις αντίστοιχες ιδιότητες (5..6). Μια αντίστοιχη λογική λοιπόν θα πρέπει να χαρακτηρίζει τον πολλαπλασιασµό µητρώων µε διανύσµατα. Το γινόµενο Αv ως απεικόνιση του R σε ένα «µικρότερο» χώρο, το χώρο στηλών του Α, µεταβάλλει το µέγεθος v ενός διανύσµατος v στο µέγεθος (νόρµα) Αv της εικόνας Αv. H λογική αυτή αντανακλά τη δισδιάστατη δοµή και συµπεριφορά ενός µητρώου και είναι αυτή ακριβώς που ακολουθείται από την κατηγορία των λεγόµενων φυσικών νορµών. Αυτό που αποµένει φυσικά, είναι να προσδιοριστεί ο χώρος εφαρµογής, δηλ. η νόρµα διανύσµατος και το εσωτερικό γινόµενο που θα εφαρµοσθούν. Ο σχεδιασµός των νορµών επηρεάζεται σε µεγάλο βαθµό από τις ιδιαίτερες περιοχές εφαρµογών. 5.. Φυσικές Νόρµες Την πιο σηµαντική κατηγορία νορµών αποτελούν οι λεγόµενες φυσικές νόρµες, οι οποίες είναι οι πλέον διαδεδοµένες στις εφαρµογές. Η φυσική νόρµα δίνει τη µέγιστη µεγέθυνση που µπορεί να υποστεί ένα πραγµατικό ή µιγαδικό µητρώο Α πολλαπλασιαζόµενο µε όλα τα διανύσµατα του χώρου R ή του C : Ορισµός 5.. Φυσική Νόρµα Μητρώου Έστω µια νόρµα. ορισµένη στο V=R ή στο V=C και Α Μ (Κ) (K=R ή C). Τότε η συνάρτηση: v = max v 0, v V v ορίζει µια νόρµα στο Μ (Κ), η οποία λέγεται φυσική νόρµα. Αποδεικνύουµε στη συνέχεια ότι η (5..) αποτελεί νόρµα: Θεώρηµα 5.. Φυσική Νόρµα (5..) ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

6 V-6 Ανάλυση Σφάλµατος Η (5..) ορίζει μια νόρμα στο Μ(Κ). Α όδειξη. Οι ιδιότητες ()-() προκύπτουν άµεσα από την (5..). Θα δείξουµε τις (v) και (v). Από την (5..) προκύπτει επίσης άµεσα: v v, Α Μ (Κ), v V (5..3) Αν v R, τότε είναι v/ v =(/ v ) v = και v v = max = max = max u v 0, v V v v 0, v V v u = ( ) Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι για κάθε φυσική νόρµα. και για κάθε µητρώο Α υπάρχει x V µε x =, τέτοιο ώστε = x. Συνεπώς, υπάρχει z V µε z = τέτοιο ώστε +B = (+B)z. Εφαρµόζοντας τώρα τις ιδιότητες (5..8.(δ)) και (5..3), λαµβάνουµε: +B = (+B)z = z+bz z + Βz Α + Β Όµοια, αν y V µε y =, για το οποίο Bz = (B)z, προκύπτει: B = (Bz) Bz Α Β Αρκετές νόρµες υπολογίζουν το µέγεθος ενός µητρώου Α σε συνάρτηση µε τις ιδιοτιµές ή τις ιδιάζουσες τιµές του. Για τον λόγο αυτό, παραθέτουµε στο σηµείο αυτό έναν ορισµό, χρήσιµο για τη συνέχεια. Ορισµός 5..3 Φάσµα και Φασµατική Ακτίνα Έστω λ,,, είναι οι ιδιοτιµές ενός µητρώου Α Μ (K) (υπάρχουν ακριβώς, συµπεραλαµβανοµένων των πολλαπλοτήτων και των ζευγών µιγαδικών συζυγών). Τότε ονοµάζεται φάσµα το σύνολο των ιδιοτιµών και φασµατική ακτίνα ρ() του Α η ποσότητα: ρ ( λ ) ( ) = max (5..4) Ιδιότητες της Φυσικής Νόρµας Οι σηµαντικότερες ιδιότητες της φυσικής νόρµας είναι οι εξής: ) Η πιο βασική ιδιότητα είναι άµεση συνέπεια του Ο5..: Αv v για κάθε v V ) Οµοίως, άµεση συνέπεια του ίδιου ορισµού είναι: ( ) ( ) I = max Ix / x = max x / x = (5..5) x 0 x 0 ) Για κάθε µητρώο Α και κάθε φυσική νόρµα. µητρώου, ισχύει από (5..) ιδ. (v): k < k (5..6) όπου k θετικός ακέραιος. Η ανισότητα επεκτείνεται και στους αρνητικούς ακέραιους. Ειδικά, για k=- και αν το είναι αντιστρέψιµο, τότε: - - Ι =, δηλ. / - (5..7) v) Αν λ (,,) είναι ιδιοτιµές ενός µητρώου, τότε για κάθε φυσική νόρµα. ισχύει: λ, ή ρ( ) (5..8) ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

7 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V-7 Αιτιολόγηση: Αν θέσουµε στην (5..3) όπου v ένα µοναδιαίο ιδιοδιάνυσµα u µε αντίστοιχη ιδιοτιµή λ, παίρνουµε u = λ u = λ u u =, δηλ. λ. Αν το Α είναι αντιστρέψιµο, θα είναι και /λ -, δηλ. λ / -. v) Αν για ένα µητρώο είναι <, τότε η ακολουθία δυνάµεων του, { k } k=,,, τείνει k στο µηδενικό µητρώο 0: lm = 0 (βλ. και Π6.4). k 5.. Συνήθεις Φυσικές Νόρµες Οι πλέον συνήθεις φυσικές νόρµες µητρώων βασίζονται στα συνήθη µέτρα διανυσµάτων (5..9)- (5..) που ορίζονται πάνω στους χώρους R και C. Για τον προσδιορισµό των αντίστοιχων φυσικών νορµών ισχύουν απλοί κανόνες υπολογισµού: = λ ( ) = ρ( ) = max( σ ) (σ : ιδιάζουσα τιµή του Α) max max,..., a = j j=,..., = (µέγιστο άθροισµα α ολύτων τιµών γραµµών) = max,..., a j (µέγιστο άθροισµα α ολύτων τιµών στηλών) j= που αποτελούν αντικείµενο των Π που ακολουθούν. Η πλέον διαδεδοµένη είναι η ή νόρµα (Ευκλείδεια), που βασίζεται στα συνήθη εσωτερικά γινόµενα που ορίζονται επί των χώρων R και C. Πρόταση 5.. Νόρµα- µητρώου Η νόρμα ενός πραγματικού μητρώου Α είναι η τετραγωνική ρίζα της φασματικής ακτίνας του γινομένου Α Τ Α, δηλ. η μέγιστη ιδιάζουσα τιμή του Α max,..., ( ) = λ ( ) = ρ( ) = max σ ι ( ) (5..9) Α όδειξη Από τον ορισµό της φυσικής νόρµας είναι: ( ) x x x x x = max max max x = x = x (5..0) x x x x x Το µητρώο Α Τ Α είναι συµµετρικό και σύµφωνα µε το φασµατικό θεώρηµα έχει ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα q,.,q και πραγµατικές ιδιοτιµές λ, λ,, λ, έτσι ώστε ΑΑ Τ =QΛQ Τ, όπου Q=[q q ] περιέχει την ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσµάτων. Κάθε πραγµατικό ή µιγαδικό διάνυσµα x µπορεί να εκφραστεί ως προς τη βάση αυτή: x=c q + +c q =Q [c,,c ], µε c R ή c C (5..) Οι νέες συντεταγµένες βρίσκονται: [c,,c ] =Q - x=q Τ x Από τον τύπο διαγωνοποίησης προκύπτει τώρα: c λ 0 c x= QΛQ x= QΛ = [ q,, q] = λc q+ λcq + + λcq c 0 λ c Από την πιο πάνω σχέση και επειδή q q j=0 για j και q q =, ο λόγος της (5..0) γράφεται: ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

8 V-8 Ανάλυση Σφάλµατος x x ( + + ) ( λ + + λ ) = x x x ( cq + + cq) ( cq + + cq) ( + + )( λ + + λ ) λ + + λ x c q c q c q c q = = c q c q c q c q c c = = c + + c c + + c Όµως, το Α Α είναι τουλάχιστον θ.η.ο. και σύµφωνα µε το Πορ.4.4., όλες οι ιδιοτιµές του είναι µη αρνητικές, δηλ. λ 0. Εποµένως, αν λ max είναι η µεγαλύτερη ιδιοτιµή µε λ max λ 0,, είναι ρ(α Α)=λ max. Επίσης θα ισχύει η ανισότητα: λc 0 c + + λ + + c c = λ max ( λ λ ) c + + ( λ λ ) max c + + c Αν k, k, η πολλαπλότητα της λ max, το παραπάνω πηλίκο µεγιστοποιείται αν θέσουµε c k=0 για λ k λ max. Το µέγιστο παρουσιάζεται, σύµφωνα µε την (5..), στον ιδιοχώρο V(λ max), δηλαδή στο γραµµικό συνδυασµό των ιδιοδιανυσµάτων του Α Τ Α που αντιστοιχούν στην λ max: x= c q + + c q V ( λ ) = N( λ I) k k max max µε k=πολλαπλότητα(λ max) και λ λ max, k. Όταν k=, θα είναι x=c q µε λ λ max, οπότε το µέγιστο θα βρίσκεται στο ιδιοδιάνυσµα του Α Τ Α που αντιστοιχεί στην λ max. Συνοψίζοντας λοιπόν, δείξαµε ότι: x = ρ( ) = λmax( ) = maxx 0 x Παρατήρηση 5.. Νόρµα- Πραγµατικών µητρώων Από την (5..9) προκύπτει ότι: Για τα συµµετρικά µητρώα ισχύει: ( ) ( ) max ρ ρ ρ ρ λ = = = ( ) = ( ) = ( ) max ηλαδή η Ευκλείδεια νόρµα «µετρά» τα συµµετρικά µητρώα µε τη µέγιστη α ολύτως ιδιοτιµή τους. Τα θ.ο. και θ.η.ο. συµµετρικά µητρώα έχουν µη αρνητικές ιδιοτιµές, δηλ. ρ(α) 0 και συνεπώς είναι: = λ ( ) max = ρ δηλ. η Ευκλείδεια νόρµα των θ.ο. και θ.η.ο. µητρώων δίνεται α ό τη µέγιστη ιδιοτιµή τους. Παρατήρηση 5..3 Νόρµα- Μιγαδικών µητρώων Για µιγαδικά µητρώα το αποτέλεσµα της Π5.. διαµορφώνεται: Αν * * Z M (C) : Z = l max(z Z) = r(z Z) c λ Αν Z είναι ερµιτιανό (Ζ=Ζ * ), τότε έχει πραγµατικές ιδιοτιµές και ισχύει: Z = r(z ) = λ (Z) = ρ(z)= max λ max,..., Αν Z είναι ερµιτιανό και θετικά ορισµένο, τότε έχει θετικές ιδιοτιµές και ισχύει: Z = λ (Z ) = λ (Z) = λ max max max Φυσικά ισχύει πάντα: Z ρ(z) max ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

9 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V-9 Παρατήρηση 5..4 Πηλίκο του Raylech Ο λόγος που είδαµε στην απόδειξη της Π5..: x x x x λc = c + + λ + + c c καλείται ηλίκο του Raylech και είναι πάντα θετικός ή 0. Φράσσεται δε ως εξής: x x λm ( ) λmax ( ) = ρ( ) x x (5..) Η παραπάνω ανισότητα ισχύει για κάθε διάνυσµα x των χώρων R και C. Υπενθυµίζεται ότι οι συντελεστές c είναι οι συντεταγµένες του x ως προς την ορθοκανονική βάση {q }: x=c q + +c q. Παρατήρηση 5..5 Νόρµα- m µητρώων Η Π5.. γενικεύεται για µη τετραγωνικά πραγµατικά ή µιγαδικά µητρώα: αν Α ένα m µητρώο, τότε ή νόρµα- του Α είναι η µέγιστη ιδιάζουσα τιµή του Α, max(svd())): m( m, ) ( σ ) λmax( ) = max = (5..3) Πρόταση 5.. Νόρµα-«ά ειρο» µητρώου Η νόρµα «ά ειρον» ενός ραγµατικού ή µιγαδικού µητρώου Α είναι το µέγιστο του αθροίσµατος των α ολύτων τιµών των στοιχείων των γραµµών του. Α όδειξη: = max aj (5..4),..., j= Αναζητούµε που και για ποιο x µεγιστοποιείται ο λόγος x. Ο λόγος αυτός γράφεται: x max a x j j max a x j j,...,,..., x = = j j x = = j = = = max a max a j j x x x,...,,..., j x = = j= Η ανισότητα ισχύει διότι x x j, j=,,, ή x j / x. Η µεγιστοποίηση γίνεται όταν λαµβάνεται x = x j και sg(x j)=sg(a kj), για j=,,, όπου k η γραµµή µε το µέγιστο x άθροισµα akj. ηλ. όλα τα x που µεγιστοποιούν την είναι τη µορφής x=c(±, ±,, j= x ±, ±) µε c Κ (Κ=R ή C). Εποµένως: x = = x 0,.., j x = j= max max a Πρόταση 5..3: Νόρµα- µητρώου Η νόρµα ενός ραγµατικού ή µιγαδικού µητρώου Α είναι το µέγιστο του αθροίσµατος των α ολύτων τιµών των στοιχείων των στηλών του. = max a j (5..5),..., j= ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

10 V-0 Ανάλυση Σφάλµατος Α όδειξη: Έστω α (:,) η στήλη του Α ( ). Τότε α νόρµας έχουµε: = j= a j. Εφαρµόζοντας ιδιότητες της x = xα x α x ( ( )) ( ) ( ),...,,...,,..., x x x x x x α x max α = max α = max α Αν k είναι η στήλη µε α k = max α, τότε η ποσότητα x α µεγιστοποιείται για x µ=0,,..., µ k και x k= max α. Εποµένως δείξαµε ότι,..., max a j max,..., x 0 j= x x x = = Παρατήρηση 5..6 Οι τρεις συνήθεις φυσικές νόρµες συµπίπτουν για τα διαγώνια µητρώα. Αν D διαγώνιο µε D=dag([d, d,., d ]):,..., ( ) D = D = max d, = ( ) = ( ) = ( ) =,..., ( ) D ρ D D ρ D ρ D max d Επίσης, για συµµετρικά µητρώα οι νόρµες και «άπειρο» συµπίπτουν: = = j = j,...,,..., j= j= max a max a Αν Α τυχαίο µητρώο, γενικά είναι: Α Α Τ, Α Α Τ. Τέλος, επειδή τα µητρώα Α Τ Α και ΑΑ Τ έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές, είναι ρ(α Τ Α)=ρ(ΑΑ Τ ), εποµένως Α Μ (C): Α = Α *. Παράδειγµα 5.. Θα υπολογίσουµε τις νόρµες, και του µητρώου: 0 = Υπολογίζουµε εύκολα τις δύο πρώτες νόρµες: = max(, 4, 3) = 4, = max(,, 4) = 4 Για να βρούµε την υπολογίζουµε τις ιδιοτιµές του Τ : 0 = Βρίσκουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α: φ Α (λ) = det( Τ -λι) = ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

11 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V- = λ 0 6 λ λ = -λ 3 + 6λ - 6λ + 39 Οι ιδιοτιµές είναι λύσεις της εξίσωσης φ Α (λ) = 0. Καθώς δεν προκύπτει αναλυτική λύση (παραγοντοποίηση), εφαρµόζουµε µια κατάλληλη επαναληπτική µέθοδο (άσκηση), π.χ. τη µέθοδο Newto ή την Newto- Horer, (βλ. Κεφ. ΙΙ). Υπολογίζουµε µε ακρίβεια 5 σ.ψ. τις προσεγγίσεις: Εποµένως: λ 0.798, λ 4.67, λ Τ = ρ( Α Α ) = λ3 = [Matlab] Επαληθεύουµε:» =[ 0;0 0;0 3];» orm(,) % Νόρµα- as = 4» orm(,f) % Νόρµα-άπειρο as = 4» S=svd()' % Ιδιάζουσες τιµές του Α S = » max(s) % Νόρµα- as = 3.988» orm() % Νόρµα- (ισοδύναµα: orm(,) as = Άλλες Νόρµες Οι νόρµες µητρώου επεκτείνονται και σε µητρώα m. Έχουν ορισθεί, οµαδοποιηθεί και εφαρµόζονται αρκετά µοντέλα βάσης τέτοιων νορµών, τα οποία εξειδικεύονται ανάλογα µε το πεδίο εφαρµογής. Χαρακτηριστικά αναφέρεται µια κατηγορία νορµών ( Etrywse ) που θεωρεί όλα τα µητρώα m ως διανύσµατα. Στη θεώρηση αυτή εµπίπτουν αρκετές κλασσικές νόρµες διανυσµάτων όπως οι νόρµες maxmum, mmum, Ευκλείδια νόρµα, οι p-νόρµες, κλπ. Η θεµελίωση κάθε τέτοιας νόρµας προσαρµόζεται και γενικεύεται ώστε να επιτρέπει πράξεις µεταξύ συµβατών µητρώων. Ειδικότερα, όλες οι συνήθεις φυσικές νόρµες ορίζονται (και υποστηρίζονται στα περιβάλλοντα υπολογισµού) και για µητρώα m. Ήδη είδαµε πως γενικεύεται η νόρµα για µητρώα m. Με ανάλογο τρόπο γενικεύονται και οι νόρµες και, έτσι ώστε να δίνουν αντίστοιχες τιµές (µέγιστο άθροισµα απολύτων στοιχείων γραµµών και στηλών αντίστοιχα). Ειδικό ενδιαφέρον έχει η νόρµα Frobeus (ενίοτε καλούµενη και Ευκλείδια νόρµα). Η νόρµα αυτή ορίζεται για όλα τα µητρώα Α Κ m από το άθροισµα των τετραγώνων των απόλυτων τιµών των στοιχείων τους: F m j= j = a (5..6) Η νόρµα αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως νόρµα διανύσµατος στο χώρο R (m ). Η βασική της ιδιότητα είναι ότι ισούται µε την τετραγωνική ρίζα του ίχνους του γινοµένου Α * Α, δηλ. του αθροίσµατος των ιδιαζόντων τιµών του Α: m( m, ) * * = race( ) = sum( dag( )) = σ F (5..7) όπου σ είναι οι ιδιάζουσες τιµές του Α. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

12 V- Ανάλυση Σφάλµατος Για παράδειγµα, είναι I = +.44 και oes( ). Επίσης για το µητρώο Α του Παρ.4.3. λαµβάνουµε: = F = trace( ) = 70 = > = 5.680< = 6 F = Η νόρµα Frobeus είναι ειδική περίπτωση των νορµών Etrywse, η οποία θεωρεί τα µητρώα ως διανύσµατα του χώρου R (m ). Αν χρησιµοποιήσουµε ενδεικτικά την p-νόρµα για διανύσµατα, προκύπτει η νόρµα: p / p m p aj (5..8) j= = Τονίζεται ότι η παραπάνω µορφή είναι διαφορετική από τη γνωστή φυσική p-νόρµα, αφού αναφέρεται στη µονοδιάστατη µορφή του µητρώου. Από την (5..8), για p= προκύπτει η νόρµα Frobeus, ενώ για p= η νόρµα maxmum: max, j ( j ) = max a (5..9) F = Παρατήρηση 5..7 Σχέσεις µεταξύ Νορµών Αποδεικνύεται ότι οι φυσικές νόρµες, «άπειρο» και ικανοποιούν την ανισότητα: (5..0) Γενικότερα, υπάρχουν κανόνες ισοδυναµίας µεταξύ των νορµών µητρώων. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε νόρµα µπορεί να φραχθεί σε σχέση µε µια άλλη ως εξής: α µ ν β α β όπου µ και ν κατάλληλοι πραγµατικοί. Έτσι, αναφορικά µε τις p-νόρµες που ορίζονται σε πραγµατικά m µητρώα, αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: β m F m max m max (5..) [Matlab] Παράδειγµα 5.. Υπολογίζουµε στο Matlab τις συνήθεις φυσικές νόρµες και τη Νόρµα Frobeus δύο µητρώων.» =[ 0;0 0;0 3]» Β=[.000; ] Β = » [ orm(), orm(,), orm(,f) ] % Νόρµα-, Νόρµα-, Νόρµα-άπειρο as = » '* as = 0 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

13 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V trace('*) as = 6» orm(, 'fro') % Νόρµα Frobeus = sqrt(sum(dag('*))) as = 4» orm(β, ) % χρησιµοποιούµε format log για το Β. as = %η νόρµα- έχει την µικρότερη τιµή από τις υπόλοιπες νόρµες» orm(β, ) as = » orm(β, f) as = » Β'*Β as = » trace(β'*β) as = » orm(β, 'fro') as = [Matlab] Παράδειγµα 5..3 Ως ανασκόπηση των ιδιοτήτων των νορµών, υπολογίζουµε στο Matlab τις φυσικές νόρµες και επαληθεύουµε τις ιδιότητες του παρακάτω µητρώου Α.» =[ 0; 0 -; 0] = 0 0-0» for k=:3, u(k)=det((:k,:k)) ; ed; % o είναι µη αντιστρεπτό και θετικά ηµιορισµένο» u u = 0» v=eg() % Η ίδια διαπίστωση και µε ιδιοτιµές v = » chol() % Εφαρµογή µεθόδου Cholesk: αποτυγχάνει??? Error usg ==> chol Matrx must be postve defte wth real dagoal.» F='* % '* : συµµετρικό, µη αντιστρεπτό και θετικά ηµιορισµένο F = » eg(f) % µια ιδιοτιµή 0, υπόλοιπες θετικές, άρα θ.η.ο. as = » [V,D]=eg(F) % Μητρώα ιδιοδιανυσµάτων και ιδιοτιµών του Α'*Α V = D = ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

14 V-4 Ανάλυση Σφάλµατος U=chol(F)' U = % H µέθοδος Cholesk επιτυγχάνει» svd() % ιδιάζουσες τιµές του Α από svd as = » max(svd()) as = » orm() % orm(,)= max(σ()) as = [U,S,V] = svd() U = S = V = % αποτελέσµατα ανάλυσης svd» sqrt(max(abs(eg('*)))) % orm(,)=sqrt(ρ('*)) as = max(abs(eg(α *Α))) % ρ('*))=(orm(,))^ as = » orm(α *Α) as = % orm(α *Α,)=φασµατική ακτίνα του '*» orm(,) % υπολογισµός υπόλοιπων φυσικών νορµών του as = 6» orm(, f) as =3» orm(, 'fro') as = » ^5 % 5η δύναµη του as = » orm(^5) as = » orm()^5 as = » max(abs(eg())) as =.0000» orm()^ as = » orm(,)*orm(,f) as =8 % επαλήθευση σχέσης orm(^k)<orm()^k % ρ()=, µικρότερη από όλες τις φυσικές νόρµες του % επαλήθευση σχέσης orm()^<orm(,)*orm(,f) ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

15 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V Ανάλυση Σφάλµατος και είκτης Κατάστασης Θεωρούµε τους γνωστούς τύπους σφαλµάτων (.4) κατά την επίλυση ενός συστήµατος x=b σε ένα υπολογιστικό σύστηµα: σφάλµατα στρογγύλευσης που υπεισέρχονται στους υπολογισµούς (και προξενούν απώλεια ακρίβειας) και σφάλµατα λόγω µη ακριβούς ανα αράστασης των δεδοµένων. Αρχικά µελετάµε την επίδραση του πρώτου τύπου σφάλµατος, υποθέτοντας συγχρόνως ότι τα Α και b έχουν ακριβή αναπαράσταση στη µνήµη. Λόγω στρογγύλευσης κατά τους υπολογισµούς, η υπολογιστική λύση x * ενός οµαλού συστήµατος (Α: αντιστρέψιµος)διαφέρει από τη θεωρητική λύση x. Έτσι ορίζεται το απόλυτο σφάλµα που µετράται από µια νόρµα διανύσµατος: ε = x - x * (5.3.) ε = x - x * Το ε είναι φυσικά άγνωστο. Επίσης ορίζεται και το υ όλοι ο ή resdual: που είναι γνωστό, αφού: r := ε (5.3.) r := ε = (x - x * ) = x-x * = b-x * (5.3.3) Αν είναι r=0, τότε ε=0 και το x * συµπίπτει µε την ακριβή λύση. Ένα ενδιαφέρον ερώτηµα που τίθεται για τον προσδιορισµό του αγνώστου σφάλµατος ε είναι, αν το µέγεθος του r είναι ενδεικτικό για το µέγεθος του ε. Η απάντηση είναι αρνητική, όπως δείχνει το παράδειγµα που ακολουθεί. Παράδειγµα 5.3. Έστω το σύστηµα µε θεωρητική λύση: x=[, ] : x = x Θεωρούµε τώρα ότι κάποια µέθοδος επίλυσης (Gauss, LU µε ή χωρίς οδήγηση, επαναληπτική κλπ.) έδωσε µια προσεγγιστική λύση, έστω την x * =[, 0]. Υπολογίζουµε το σφάλµα διατηρώντας 5 σ.ψ.: e = x - x * = [-, ] που είναι µεγάλο, της τάξης µεγέθους των δεδοµένων της λύσης. Αντίθετα, το υπόλοιπο είναι σχετικά µικρό. r = b - x * = [-0.0, 0.0] Αλλάζουµε τώρα το διάνυσµα του β µέλους και θεωρούµε το σύστηµα: x = x το οποίο έχει θεωρητική λύση: x = [00, -00]. Θεωρούµε τώρα την προσεγγιστική λύση x * = [0, -00]. Τώρα το σφάλµα γίνεται: ε = [-, 0] και είναι σχετικά µικρό (δύο τάξεις µεγέθους µικρότερο των λύσεων). Αντίθετα, το υπόλοιπο r είναι µεγάλο: r = [-.0, -0.99] αφού η πρώτη συνιστώσα του είναι της ίδιας τάξης µεγέθους µε την πρώτη συνιστώσα του b. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

16 V-6 Ανάλυση Σφάλµατος Το συµπέρασµα είναι λοιπόν ότι το µέγεθος του r δεν συµβαδίζει µε το µέγεθος του ε. Αυτό σηµαίνει ότι δεν µπορούµε να εµπιστευθούµε το r για να έχουµε µια εκτίµηση του ε. Μπορούµε µάλιστα να θεωρήσουµε ότι η µεγέθυνση των r και ε οφείλεται ακριβώς στην επίδραση των µεγεθών των µητρώων και - αντίστοιχα, αφού συµβαίνει: ε= - r, r =ε (5.3.4) Εισάγοντας νόρµες, οι σχέσεις (5.3.3) γίνονται: r = ε ε, ε = - r - r (5.3.5) Οι (5.3.4) δείχνουν ότι τα µεγάλα µεγέθη των r και ε οφείλονται ακριβώς στα µεγάλα µεγέθη των Α και Α - αντίστοιχα. Επίσης, δείχνουν ότι τα µεγέθη των r και ε δεν µπορούν να εκτιµηθούν το ένα από το άλλο, όταν τα µεγέθη Α και Α - είναι µεγάλα. Μπορούµε να επαληθεύσουµε τα παραπάνω στο επόµενο παράδειγµα: Παράδειγµα 5.3. Υπολογίζουµε τα εµπλεκόµενα µεγέθη για τα δύο συστήµατα του Παρ α) Για το µητρώο Α είναι: = = max(,) = (Α συµµετρικό) = = - = - = 50 Για το πρώτο σύστηµα είχαµε: ε=[-, ] και r=[-0.0, 0.0]. Υπολογίζουµε: ε =, r = 0.04, ε =, r = 0.0 ε =.44, r = Παρατηρούµε εδώ ότι: r = 0.04 ε = = 4 r = 0.0 ε = = r = ε =.44 =.884 ε = = - r = = ε = = - r = = ε =.44 - r = =.450 Παρατηρούµε ότι για τις νόρµες. και. ισχύει εδώ η οριακή περίπτωση: ε = - r. β) Για το δεύτερο σύστηµα είναι: ε = [-, 0], r=[-.0, -0.99] Τ απ όπου: Παρατηρούµε εδώ: ε =, r = ε =, r =.0 ε =, r =.443 r = = ε = = r =.0 ε = = r =.443 ε = = ε = - r = 50 = 00 ε = - r = 50.0 = 50.5 ε = - r = = Συνοψίζοντας, συµπεραίνουµε ότι υπεύθυνα για τη µεγέθυνση των ε και r είναι και τα δύο µεγέθη Α και Α -. Θα πρέπει συνεπώς να συµπεριληφθούν και τα δύο στην ανάλυση σφάλµατος. Ως µέτρο του σχετικού σφάλµατος, χρησιµοποιούµε και πάλι νόρµα διανύσµατος, θεωρώντας τον λόγο: ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

17 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V-7 ε δ = (5.3.6) x Στην ανάλυση σφάλµατος στα γραµµικά συστήµατα, ενδιαφερόµαστε να δώσουµε µια εκτίµηση για το δ, δηλ. να προσδιορίσουµε την τάξη µεγέθους του. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί αναζητώντας ένα διάστηµα «εµπιστοσύνης» στο οποίο να φράσσει το δ. Ως ένα σχετικό µέτρο απόκλισης στην χρησιµοποιούµε το σχετικό υ όλοι ο, που είναι και αυτό γνωστό, και ορίζεται ως ο λόγος: r R ε r = = (5.3.7) x b Στο πνεύµα των παραπάνω, για την εκτίµηση του σφάλµατος θεµελιώνεται µια χρήσιµη ποσότητα, ο δείκτης κατάστασης, που παρέχει πληροφορία για το µέγεθος του σχετικού σφάλµατος δ. Ορισµός 5.3. είκτης Κατάστασης Έστω Α ένα αντιστρέψιμο μητρώο και. μια φυσική νόρμα μητρώου. Τότε, δείκτης κατάστασης καλείται το μέγεθος (μη αρνητικός πραγματικός αριθμός) Κ() = - (5.3.8) Θεώρηµα 5.3. Εκτίµηση Σφάλµατος σε γραµµικό σύστηµα Το σχετικό σφάλμα δ= ε / x της λύσης ενός γραμμικού συστήματος φράσσεται μέσω του σχετικού υπολοίπου r R ως εξής: K ( ) r δ K( ) r R R (5.3.9) Α όδειξη: Συνδυάζοντας τις ανισότητες r < ε και ε < - r παίρνουµε: r ε r Από τη σχέση και την (5..3), οµοίως έχουµε: b x b (5.3.0) Συνδυάζοντας τώρα τις σχέσεις (3.3.0) και (3.3.) λαµβάνουµε την ζητούµενη ανισότητα: r ε r b x b (5.3.) Η (5.3.9) εκφράζει ότι όσο πιο µεγάλος είναι ο δείκτης κατάστασης Κ(Α), τόσο µικρότερη πληροφορία παρέχει το σχετικό υπόλοιπο για το µέγεθος του σχετικού σφάλµατος της λύσης. Αντίθετα όταν ο Κ(Α) πλησιάζει στο, τα µεγέθη δ και r R γίνονται περίπου ίσα και συνεπώς το σχετικό υπόλοιπο r R µ ορεί να χρησιµο οιηθεί ως εκτίµηση για το δ. Τότε θα λέµε ότι το σύστηµα, ή το µητρώο Α, έχει καλή κατάσταση. Αν Κ(Α)>>, θα λέµε ότι το σύστηµα (ή το µητρώο Α) έχει κακή κατάσταση. Παρατήρηση 5.3. Για τις φυσικές νόρµες ως γνωστόν ισχύει I =. Το µοναδιαίο Ι είναι το «καλύτερο» δυνατό µητρώο. Πράγµατι, για κάθε µητρώο Α και για κάθε νόρµα ισχύει Κ(Α) = Α Α - ΑΑ - = I = (5.3.) Η (5.3.) δείχνει δύο βασικά σηµεία: (α) Κ(Α) για κάθε Α και (β) Ι είναι το ιδανικό υπολογιστικά µητρώο µε I =. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

18 V-8 Ανάλυση Σφάλµατος Παρατήρηση 5.3. Γενικές ια ιστώσεις Συµπερασµατικά, ο δείκτης κατάστασης ενός µητρώου µετρά την ευαισθησία της λύσης ενός γραµµικού συστήµατος σε σφάλµατα των δεδοµένων. Παρέχει ένδειξη για την ακρίβεια των α οτελεσµάτων ου λαµβάνονται α ό την αριθµητική ε ίλυση γραµµικών συστηµάτων, ό ως και την αντιστροφή µητρώου. Μεγάλοι δείκτες κατάστασης υ οδηλώνουν ερί ου ιδιάζοντα µητρώα. Μητρώα µε καλή κατάσταση αρέχουν αξιο ιστία για ακριβείς λύσεις. Για το λόγο αυτό ε ιδιώκεται η χρήση τους στις εφαρµογές. Συνήθως στις εφαρµογές - αν και δεν υπάρχει απόλυτος κανόνας και το θέµα εξαρτάται από τη φύση του εκάστοτε προβλήµατος -, τα µητρώα µεγάλων µεγεθών µε δείκτη Κ(Α) 0, χαρακτηρίζονται ως κακής κατάστασης. Όταν Κ(Α)<0, το Α έχει συνήθως έχει καλή κατάσταση. Παρατήρηση είκτες κατάστασης ως ρος τις συνήθεις νόρµες Είναι φανερό ότι για διαφορετικές φυσικές νόρµες ο δείκτης κατάστασης διαφέρει. Πάντως γενικά διατηρεί την ίδια τάξη µεγέθους. Ο τρόπος υπολογισµού του εξειδικεύεται για κάθε συνήθη νόρµα και για ειδικές κατηγορίες µητρώων ως εξής: Νόρμα : Σύµφωνα µε τη νόρµα είναι: K ( ) = = max( σ ( ) ) max( σ ( )) = max( σ ( ) ) max = ( ) ( ),...,,...,,...,,..., σ ( ) λm Άρα: K ( ) max ( σ ( ) ),..., = (5.3.) m,..., ( σ ( ) ) Συνεπώς για τον υπολογισµό του δείκτη κατάστασης ως προς τη νόρµα δεν χρειάζεται ο υ ολογισµός του αντιστρόφου. Ας σηµειωθεί ότι η σχέση (5.3.) ορίζει το δείκτη κατάστασης για µη τετραγωνικά µητρώα (όπου δεν ορίζεται ο αντίστροφος). Ο ορισµός (5.3.8) εξακολουθεί πάντως να ισχύει, αν αντικατασταθεί ο αντίστροφος Α - µε τον ψευδοαντίστροφο Α + του Α (βλ. [9]): Κ () = + (5.3.3) Στα διάφορα περιβάλλοντα υλοποίησης ο αλγόριθµος υπολογισµού του δείκτη κατάστασης ως προς νόρµα (όπως π.χ. η fucto cod(, p) στο Matlab) βασίζεται στην ανάλυση ιδιαζουσών τιµών - SVD, (βλ. [9, 5]). Νόρμες και : Για τον υπολογισµό των Κ (Α), Κ (Α) απαιτείται ο υπολογισµός του αντιστρόφου. Ας σηµειωθεί επίσης ότι ο δείκτης κατάστασης δεν ορίζεται για µη τετραγωνικά) µητρώα. Συμμετρικά Μητρώα: Για τα συµµετρικά µητρώα εύκολα διαπιστώνουµε: όπως και K ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( λm( ) ) σ λ λ λ = = = = (5.3.4) max,..., max max max ( ) m( σ ( ) ) λ λm,..., m ( ) ( ) K ( ) = K ( ) K ( ) (5.3.5) Επίσης ισχύει Κ(Α)=Κ(Α Τ ) για όλες τις συνήθεις φυσικές νόρµες, δηλ. η αναστροφή δεν επηρεάζει την τιµή του δείκτη κατάστασης. Θετικά Ορισμένα Συμμετρικά Μητρώα: Για τα µητρώα αυτά προφανώς είναι: ( ) ( ) ( ) λmax K = (5.3.6) λ m ρ ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

19 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V-9 Παρατήρηση Το Matlab για τον υπολογισµό του δείκτη κατάστασης υποστηρίζει τη συνάρτηση cod σε δύο µορφές: Η c=cod(x) επιστρέφει το δείκτη κατάστασης ως τον λόγο της µέγιστης ιδιάζουσας τιµής του Χ προς την ελάχιστη. (Εδώ ισχύει ο υπολογισµός σύµφωνα µε τη σχέση (5.3.)). Η συνάρτηση c=cod(x,p) επιστρέφει το δείκτη κατάστασης ως γινόµενο p-νορµών: orm(x,p)* orm(v(x),p), όπου p=,, f (νόρµα ά ειρο), fro (νόρµα Frobeus). Παράδειγµα Για το µητρώο του Παρ.5.3. επαληθεύουµε: Κ()= - = - = 50=00 Και για τα δύο συστήµατα είναι b =4 και b =. Εφαρµόζοντας τώρα την (5.3.9), παίρνουµε: r R /00 δ 00 r R Για το πρώτο σύστηµα είναι και για τις τρεις νόρµες r R = r / b = 0.000, άρα:.0000e-004 δ δηλ. το σχετικό σφάλµα αγγίζει το φράγµα του. Για το δεύτερο σύστηµα είναι ( r R ) =( r R ) = r / b = και ( r R ) =0.5050, οπότε παίρνουµε αντίστοιχα: δ δ δ 50 Είναι φανερό λοιπόν ότι το Α έχει κακή κατάσταση. [Matlab] Παράδειγµα Υπολογίζουµε στο Matlab τους δείκτες κατάστασης για τα µητρώα Α, Β του Παρ.5..:» =[ 0; 0 0; 0 3]» v() as = » orm(v(),) as =.479» K=orm()*orm(v(),) K = » cod(,) as = » orm(v(),) as =.667» cod(,) as = » orm(v(),f) as =.5000» cod(,f) as = 6» orm(v(b)) as =.000e+004» cod(b) as = 4.000e+004» orm(v(b),) as =.000e+004» cod(b,) as = e+004» orm(v(b),f) ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

20 V-0 Ανάλυση Σφάλµατος as =.000e+004» cod(b,f) as = e+004 Παράδειγµα ίνεται το µητρώο Α και το διάνυσµα b: 0 0 = 0 0, b=[0; 40; 60] 0 0 Θεωρούµε τώρα το µητρώο Β=Α Α, και το σύστηµα Βx=b. Επίσης θεωρούµε σφάλµατα οφειλόµενα σε ανακριβείς πράξεις και ότι οι υπολογισµοί γίνονται µε ακρίβεια 4 σηµαντικών ψηφίων. Θα υπολογίσουµε το δείκτη κατάστασης του Β ως προς τη νόρµα, καθώς και φράγµατα για το σχετικό σφάλµα µιας προσέγγισης της λύσης x* του συστήµατος Βx=b. α) Υπολογίζουµε τη νόρµα του Β ( Β ): Προφανώς είναι Α=Α Τ, εποµένως Β Τ Β=Β =Α 4. Άρα η φασµατική ακτίνα: ρ(β Τ Β)=max((σ(Β)) )=λ max (Β )=λ max (Α 4 )=(ρ()) 4 (από γνωστή ιδιότητα των ιδιοτιµών) Τ B = max( σ ) = ρ( Β Β) = ( ρ( Α)),,3 Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουµε την ρ(α). Οι ιδιοτιµές του Α προφανώς είναι λ = και οι ιδιοτιµές του µπλοκ C=Α(:3, :3). Οι τελευταίες προκύπτουν από την χαρακτηριστική εξίσωση: det(c-λι)=0, δηλ. (λ+) -0 =0 ή (λ-8)(λ+)=0, απ όπου λ =8 και λ 3 =-. Συνεπώς ρ(α)= και Β =44. β) Υπολογίζουµε τo δείκτη κατάστασης Κ (B) του Β µε χρήση της νόρµας. Είναι φανερό ότι για τον υπολογισµό της νόρµας δεν χρειάζεται να υπολογισθεί ο αντίστροφος του Β. Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα που βρέθηκαν πιο πάνω, ισχύει: ( λmax ) ( λ ( ) ) max( σ ( B)) ( ) λmax ( ) K ( B) = B B = = = = m( ( B)) λm ( ) σ m max(,, 8) 9 = = = =.5 m(,,8) 8 4 Συνεπώς το µητρώο Β έχει καλή κατάσταση. Σηµείωση: είναι σαφές εδώ ότι Β =max(σ(β))=(λ max ()) και Β - =/(m(σ(β)))=/(λ m ()). γ) Υποθέτουµε ότι µε εφαρµογή µιας αριθµητικής µεθόδου (π.χ. Cholesk) έχει υπολογισθεί η προσέγγιση x*=[0.653; 0.78; ] της λύσης του Bx=b. Θα υπολογίσουµε φράγµατα για το σχετικό σφάλµα της (πάντα µε χρήση της νόρµας ). Τα ζητούµενα φράγµατα προκύπτουν από την ανισότητα: R k( B) e k( B) σ R όπου R το σχετικό υπόλοιπο του Β, ε σ το σχετικό σφάλµα και Κ(B) o δείκτης κατάστασης του Β. Υπολογίζουµε διαδοχικά: () R r = = b b * b Bx b-bx*= [0; 40; 60] Τ [0.653; 0.78; ] Τ = 04 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

21 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V- = [0; 40; 60] - [ ; ; ]= = [0.000 ; ; ] * b Bx = ( ) / = b = ( ) / =5600 / = R =0.0039/74.833=5.6e-005 Έτσι η () διαµορφώνεται: 5.6e-005/.50 ε σ.50 * 5.6e e-005 ε σ.76e-004 () Το Β έχει καλή κατάσταση όπως προκύπτει από την (): το διάστηµα όπου φράσσεται το σχετικό σφάλµα είναι στενό. Μπορούµε συνεπώς να χρησιµοποιήσουµε το R σαν εκτίµηση για το ε σ. 5.4 Ευστάθεια Γραµµικών Συστηµάτων Θεωρούµε τώρα τα σφάλµατα κατά την επίλυση του γραµµικού συστήµατος x=b που οφείλονται στην ανακριβή αναπαράσταση δεδοµένων του µητρώου Α των συντελεστών και του διανύσµατος του β µέλους b. Η προέλευση των σφαλµάτων αυτών κυρίως είναι: Απώλεια ακρίβειας λόγω στρογγύλευσης και δυαδικής µετατροπής των δεδοµένων κατά την είσοδο (π.χ. άρρητοι αριθµοί, αριθµοί µε πολλά δεκαδικά ψηφία κλπ). Αποκλίσεις που εµφανίζονται στα δεδοµένα που προέρχονται από φυσικές ή πειραµατικές µετρήσεις. Προέλευση των δεδοµένων από προηγούµενους υπολογισµούς, οι οποίοι προκαλούν απώλεια ακρίβειας λόγω στρογγύλευσης. Θεωρούµε επίσης ότι στην υπολογιστική διαδικασία της επίλυσης δεν υπάρχουν σφάλµατα στρογγύλευσης κατά τις πράξεις, δηλαδή ότι οι υπολογισµοί γίνονται µε απεριόριστη ακρίβεια. Με τις παραπάνω υποθέσεις, ενδιαφερόµαστε να έχουµε µια εκτίµηση της επίδρασης του αρχικού σφάλµατος στο τελικό αποτέλεσµα, δηλαδή στην προσεγγιστική λύση. Ένα σύστηµα στο οποίο µικρές µεταβολές στα αρχικά δεδοµένα προκαλούν µικρές µεταβολές στην υπολογιζόµενη λύση, καλείται ευσταθές. ιαφορετικά, θα λέγεται ασταθές. Η παραπάνω θεώρηση µας οδηγεί να δεχθούµε ότι λόγω ανακριβούς αναπαράστασης, αντί του αρχικού συστήµατος x=b θα έχουµε το σύστηµα: (+δα)x * =b+δb (5.4.) Υποθέτουµε ότι είναι και αυτό οµαλό. Τα δα και δb είναι τα σφάλµατα αναπαράστασης για τα Α και b αντίστοιχα. Γι αυτά ορίζονται τα σχετικά σφάλµατα δ Α = δ δb δ = (5.4.) b, b που αντιπροσωπεύουν µικρά αριθµητικά µεγέθη. Ας τονισθεί ότι µπορούν γι αυτά να προσδιορισθούν άνω φράγµατα που σχετίζονται µε το µέγεθος της αναπαράστασης κινητής υποδιαστολής (α.κ.υ.) του συγκεκριµένου υπολογιστικού συστήµατος (σύµφωνα και µε την.4). Με την έννοια αυτή, τα παραπάνω σφάλµατα µπορούν να θεωρηθούν γνωστά και να προσεγγισθούν κατάλληλα. Αν x * είναι η προσεγγιστική λύση του συστήµατος (5.4.), θεωρούµε το σχετικό σφάλµα δ: * x x δ = (5.4.3) x ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

22 V- Ανάλυση Σφάλµατος του οποίου επιδιώκουµε να έχουµε µία εκτίµηση. Τότε αποδεικνύεται ότι και στην περίπτωση αυτή παρεµβαίνει ο δείκτης κατάστασης του Α. Συγκεκριµένα ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσµα: Θεώρηµα Εκτίµηση σφάλµατος σε γραµµικό σύστηµα Έστω ένα γραμμικό σύστημα x=b, μία νόρμα διανύσματος. και η αντίστοιχη φυσική νόρμα μητρώου στο σύνολο Μ(R). Τότε αν ισχύει δ <, το σχετικό σφάλμα δ= ε / x φράσσεται ως εξής: K( ) δ δb δ + δ b K( ) όπου Κ(Α) ο δείκτης κατάστασης του Α. Α όδειξη: Βλ. βιβλιογραφία, αναφ. [3] και [4]. (5.4.4) Η συνθήκη - δα < συνήθως ικανοποιείται, αφού στα περισσότερα υπολογιστικά συστήµατα το σχετικό σφάλµα δα µπορεί να γίνει αρκετά µικρό, έτσι ώστε να ισχύει - δα - δ <. Το Θ5.4. δείχνει ότι όταν ο δείκτης κατάστασης Κ(Α) είναι κοντά στο, τόσο µειώνεται η τιµή στο δεξιό µέλος της (5.4.3), άρα τόσο στενεύει το διάστηµα στο οποίο φράσσεται το σχετικό σφάλµα δ. Υπενθυµίζεται ότι οι λόγοι δα= δ / και δb= δb / b αντιπροσωπεύουν µικρούς αριθµούς. Αυτό σηµαίνει ότι στην περίπτωση αυτή το σύστηµα είναι ευσταθές. Αντίθετα αν Κ(Α)>>, δεν έχουµε πληροφορία για την ευστάθεια του συστήµατος, αν και συνήθως αυτό είναι ασταθές. Παρατήρηση Συνήθως γραµµικά συστήµατα στα οποία οι γραµµές (στήλες) τείνουν να γίνουν γραµµικά εξαρτηµένες, χαρακτηρίζονται από αστάθεια. Τότε το µητρώο συντελεστών τείνει να γίνει ιδιάζον. Αυτό συµβαίνει όταν κάποιος οδηγός είναι κοντά στο 0. Η διαίρεση µε πολύ µικρούς οδηγούς προκαλεί αλµατώδη αύξηση των στοιχείων του αντιστρόφου, άρα και της νόρµας του, και κατά συνέπεια και του δείκτη κατάστασης. Π.χ. στο µητρώο B=[ ; ; 3; 3 ] οι δύο πρώτες γραµµές είναι σχεδόν εξαρτηµένες. Είναι Β =6.78, ενώ Β - =.367e+004. Ο δείκτης κατάστασης είναι Κ (Β)=8.880e+004. Για τον λόγο αυτό οι µέθοδοι που χρησιµοποιούν ως µοντέλα τέτοια συστήµατα χαρακτηρίζονται ως ασταθείς και δεν είναι υπολογιστικά αξιόπιστες (βλ. και Παρ.5.4.3). Παράδειγµα 5.4. Θεωρούµε το σύστηµα: x + y = 3 x +.000y = το οποίο έχει θεωρητική λύση: x=(,). Θεωρούµε τώρα ότι λόγω σφαλµάτων αναπαράστασης στα δεδοµένα, λαµβάνουµε το ελαφρά τροποποιηµένο σύστηµα: x + y = 3 x +.999y = Το σύστηµα αυτό έχει λύση x*=(7,-) που διαφέρει σηµαντικά από την πρώτη. Πράγµατι, το σχετικό σφάλµα για κάθε συνήθη νόρµα είναι: =6 / (,) ( -7,+ ) = δ δ = (-6,3) / (,) =9/=4.5 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

23 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V-3 δ = (-6,3) / (,) = Είναι φανερό ότι το σύστηµα είναι ασταθές. ιαπιστώνουµε τώρα κατά πόσον αυτό αντανακλάται στο δείκτη κατάστασης. Υπολογίζουµε τον αντίστροφο του µητρώου συντελεστών: Α - = [000, -000; ] και στη συνέχεια, διαδοχικά τις νόρµες: Α = Α - = 3000 K () = 000 >> (δείκτης κακός) = 3.63 Α - = 363 Κ () = >> (δείκτης κακός) Τέλος, για να επαληθεύσουµε την ανισότητα (5.4.4), βρίσκουµε συµπληρωµατικά: δα = [0, 0; 0-0,000] δb = [0, 0.000] b = δα = δb = Αντικαθιστώντας, επαληθεύουµε την πιο πάνω ανισότητα. Παράδειγµα 5.4. Θεωρούµε το σύστηµα: x+5y=8 x y= το οποίο έχει προφανείς λύσεις τις x=3 και y=-, δηλ. η θεωρητική λύση του συστήµατος χωρίς σφάλµατα είναι x=[3, -]. Έστω τώρα το ελαφρά τροποποιηµένο σύστηµα λόγω σφαλµάτων στα δεδοµένα: x+5y=8 x+5.000y=8.000 το οποίο έχει λύση την x*=[8 -] Το σχετικό σφάλµα για κάθε συνήθη νόρµα είναι: δ = (3-8, -+) / (3,-) = (-5, ) / (3, -) δ = 5/3= δ = 6/4=0.485 δ = ( 5) ( ) = = 0, Προφανώς το σύστηµα είναι ασταθές. Επαληθεύουµε βρίσκοντας το δείκτη κατάστασης. Υπολογίζουµε: Α= [,5 ;,4.9997] - =[-6666, 6667 ; 3333, -3333] Α = 6 Α - = 3333 Κ () = Α Α - = 9999 >> Άρα το µητρώο Α έχει κακή κατάσταση. Για τις άλλες δύο νόρµες βρίσκουµε: Α = = 0000 k () = Α - = 99990>> (κρατάµε 5 σ.ψ. - δείκτης κακός) Α = = 4036 k () = Α Α - = 7330 >> (κρατάµε 5 σ.ψ. - δείκτης κακός) Το µητρώο συντελεστών Α του τροποποιηµένου συστήµατος είναι: ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

24 V-4 Ανάλυση Σφάλµατος Α = [,5 ;,5.000] Υπολογίζουµε επίσης: δα = Α-Α = [,5 ;,5.000] - [,5 ;,4.9997] = [0,0 ; 0,0.0004] δb= [0, ] b = δα = δb = Αντικαθιστώντας, επαληθεύουµε τέλος την ανισότητα (5.4.4). Παράδειγµα Στο πρόβληµα της απλής πολυωνυµικής παρεµβολής µιας συνάρτησης f σε + σηµεία x 0, x,,x, προκύπτει το παρακάτω σύστηµα µε αγνώστους τους συντελεστές α του πολυωνύµου παρεµβολής. Το µητρώο του είναι το µητρώο Gram των συναρτήσεων B k (x )=x k, k=0,,,. x x x a f ( x ) a x x x f ( x ) = x a f ( x ) x x Μπορεί να δειχθεί ότι το πιο πάνω µητρώο B έχει κακή κατάσταση για µεγάλες τιµές του. Για παράδειγµα, αν θέσουµε =4 και x =+, για 0,,3,4, θα είναι: B =88, B - =6.884, K (B)= 6.065e+003 Κ (Β)=3.748e+003 (!!!) Για το λόγο αυτό, η µέθοδος απλή αυτή δεν παρέχει αξιοπιστία για ακριβή λύση και δεν χρησιµοποιείται στις εφαρµογές. Ασκήσεις 5. Να υπολογισθούν οι τρεις συνήθεις νόρµες και η Νόρµα Frobeus για τα µητρώα (α) Α=[ 0.000; ] και (β) Α=[4-7 0; 0 4; -6 3]. 5. ίνεται το ταινιακό συµµετρικό µητρώο «,3,» µεγέθους 3 3. Υπολογίστε το δείκτες κατάστασης ως προς τη νόρµας και. 5.3 Να υπολογισθούν οι δείκτες κατάστασης µε χρήση όλων των συνήθων νορµών για τα µητρώα της Άσκησης Να υπολογισθούν ο δείκτης κατάστασης για το µητρώο της Άσκησης 3. µε χρήση της νόρµας. Αφού βρεθεί προσέγγιση της µα ακρίβεια 3.σ.ψ., να δοθούν στη συνέχεια φράγµατα για το σχετικό σφάλµα της λύσης του συστήµατος. 5.5 Με χρήση α.κ.υ. 5 σ.ψ. και µε τη βοήθεια της νόρµας, υπολογίστε το δείκτη κατάστασης του µητρώου Pascal µεγέθους 5 5. Να γίνει χρήση της νόρµας «άπειρο». 5.6 ίνεται το µητρώο =[.00 0; 0; ]. (α) Με χρήση α.κ.υ. 5 σ.ψ., να υπολογίσετε το δείκτη κατάστασης δ (Α) σύµφωνα µε τη νόρµα (. ), χωρίς να υπολογισθεί ο αντίστροφος. (β) Τι συµπεραίνετε για την ευστάθεια των γραµµικών συστηµάτων µε µητρώο συντελεστών το Α; 5.7 ίνεται το µητρώο =[,, ;, 3, - ;, -, ] και b=[; 4 ; ]. Με χρήση α.κ.υ. 6 σ.ψ.: (α) Υπολογίστε µέσω του αλγόριθµου Gauss-Jorda τον αντίστροφο του Α. (β) Υπολογίστε τη φυσική νόρµα µητρώου του Α. Με ποιο άλλο µέγεθος ισούται? (γ) Αν µε κάποια µέθοδο υπολογίσθηκε η προσέγγιση x*=(-3.6, 4.0, 4.3) Τ της λύσης του Αx=b, τότε να υπολογισθούν φράγµατα για το σχετικό σφάλµα. Να γίνει χρήση παντού της νόρµας, και να υπολογισθούν όλα τα απαραίτητα µεγέθη. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04

25 Ανάλυση Σφάλµατος στα Γραµµικά Συστήµατα - Νόρµες V Σύνοψη και Βιβλιογραφία Σύνοψη Τα πιο βασικά σηµεία που είδαµε στο κεφάλαιο αυτό είναι: Τα µεγέθη διανυσµάτων και µητρώων (πραγµατικών και µιγαδικών αριθµών) µετρούνται από ειδικές συναρτήσεις, τις λεγόµενες νόρµες ή µέτρα (στάθµες) που χρησιµοποιούνται ευρύτατα στη θεωρία και στις εφαρµογές. Οι νόρµες διανυσµάτων θεµελιώνονται στην έννοια του εσωτερικού γινοµένου. Τυπική περίπτωση είναι το Ευκλείδειο µέτρο, το οποίο αντιστοιχεί στο σύνηθες εσωτερικό γινόµενο που ορίζεται πάνω στους διανυσµατικούς χώρους R και C. Οι νόρµες µητρώων συνήθως βασίζονται πάνω σε γνωστά µέτρα διανυσµάτων προκειµένου να διατυπώσουν κριτήρια µέτρησης µεγεθών µητρώων. Οι πλέον διαδεδοµένες θεµελιώνονται πάνω στη λεγόµενη φυσική νόρµα µητρώου, ενώ συγχρόνως βασίζονται σε συγκεκριµένα µέτρα διανυσµάτων (και κατά συνέπεια εσωτερικών γινοµένων) στους χώρους R και C. Οι πλέον συνήθεις και διαδεδοµένες φυσικές νόρµες µητρώων είναι η νόρµα «άπειρο», ή νόρµα και η νόρµα, ή Ευκλείδεια νόρµα. Η τελευταία δίνει ως µέγεθος ενός µητρώου τη µέγιστη ιδιάζουσα τιµή του Α. Οι φυσικές νόρµες ορίζονται και για µη τετραγωνικά µητρώα. Τα συµµετρικά µητρώα έχουν Ευκλείδειο µέτρο (νόρµα ) ίσο µε τη µεγαλύτερη κατ απόλυτη τιµή ιδιοτιµή τους. Στην αριθµητική επίλυση γραµµικών συστηµάτων υπεισέρχονται σφάλµατα που οφείλονται στους υπολογισµούς και στην ανακριβή αναπαράσταση των δεδοµένων. Για την εκτίµηση του απόλυτου και σχετικού σφάλµατος χρησιµοποιούνται απόλυτα και σχετικά µεγέθη που εκφράζονται µε τη βοήθεια της νόρµας διανύσµατος. Στον λογισµό των µεγεθών αυτών χρησιµοποιούνται νόρµες µητρώων. Στη µελέτη των σφαλµάτων που οφείλονται σε απώλεια ακρίβειας κατά τους υπολογισµούς, ο δείκτης κατάστασης Κ(Α)= Α Α - αποτελεί κριτήριο του κατά πόσον µπορούµε να εµπιστευτούµε το σχετικό υπόλοιπο (resdual) ως καλή προσέγγιση του σχετικού σφάλµατος. Όταν K()>> το σχετικό σφάλµα δεν µπορεί να εκτιµηθεί από το σχετικό υπόλοιπο και συνήθως είναι µεγάλο. Το αντίθετο συµβαίνει όταν η τιµή του Κ(Α) είναι κοντά στο. Τότε το Α έχει καλή κατάσταση. Στις εφαρµογές επιδιώκουµε να διαµορφώνουµε συστήµατα όπου το µητρώο συντελεστών έχει καλή κατάσταση. Όταν υπάρχουν σφάλµατα που οφείλονται στην ανακριβή αναπαράσταση των δεδοµένων Α και b ενός συστήµατος, τότε µελετάµε την ευστάθειά του, δηλ. το βαθµό µετάδοσής τους στην υπολογιζόµενη προσεγγιστική λύση. Τότε, όταν ο δείκτης κατάστασης είναι σχετικά µικρός (κοντά στο ), το σύστηµα είναι ευσταθές, δηλαδή το σχετικό σφάλµα της υπολογιζόµενης λύσης είναι µικρό. Σε αντίθετη περίπτωση η ευστάθειά του είναι αµφίβολη, αν και συνήθως είναι το σύστηµα είναι ασταθές. Βιβλιογραφία και Χρήσιµες Αναφορές Οι αναφορές που ακολουθούν κατηγοριοποιούνται ως εξής σε σχέση µε την ύλη του κεφαλαίου αυτού: Μελέτη σφαλµάτων σε γραµµικά συστήµατα και Νόρµες: []-[6] (Αριθµητική Ανάλυση) [9], [7] (Αριθµητική Γραµµική Άλγεβρα). Ασκήσεις, παραδείγµατα, θέµατα και εφαρµογές σε νόρµες και ανάλυση σφάλµατος στα γραµµικά συστήµατα: [3], [7], [8]. Ιδιοτιµές, διαγωνιοποίηση, χώροι µε εσωτερικό γινόµενο, καθετότητα, SVD: [0]-[0], [3]-[4] (Γραµµική Άλγεβρα), [0]-[] (Θεωρία Μητρώων). ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 6/5/04