5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

Transcript

1 Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται από την κίνηση του παρατηρητή σε ένα ΑΣΑ Σ Οπότε είναι εύλογο να υποθέσουμε ότι και η μάζα είναι ένα μέγεθος που εξαρτάται από την κίνηση του παρατηρητή Ας θεωρήσουμε ένα σωματίδιο με μάζα m, που κινείται με ταχύτητα u ως προς ένα ΑΣΑ Σ Όπως καταγράφεται από έναν παρατηρητή στο Σ η μάζα m του σωματιδίου εξαρτάται απο την ταχύτητα u με την οποία κινείται, δηλαδή m = m(u), Θέλουμε να βρούμε ποιά ακριβώς είναι η εξάρτηση της m, σε συνάρτηση της ταχύτητας u και της μάζας ηρεμίας του σωματιδίου m 0 = m(0), δηλαδή την μάζα που έχει το σωματίδιο όταν αυτό ακινητεί στο Σ Για το σκοπό αυτό θα εκτελέσουμε ένα απλό νοητό πείραμα Θεωρούμε ένα ΑΣΑ Σ στο οποίο κινούνται κατά μήκος μιας ευθείας δυο όμοια σωματίδια με την ίδια αλλά αντίθετη ταχύτητα u (σχήμα 1α) Τότε υπάρχει ένα άλλο ΑΣΑ Σ, ως προς το οποίο το Σ κινείται με ταχύτητα u, και άρα στο Σ ένα από τα σωματίδια ακινητεί (σχήμα 1β) Στο Σ Πριν Μετά α) u u m(u) m(u) M 0 Στο Σ β) U u m(u) m 0 M(u) Σχήμα 1: Τελείως ανελαστική κρούση ανάμεσα σε δυο όμοια αντικείμενα όπως παρατηρούνται α) στο ΑΣΑ Σ μηδενικής ορμής Σ και β) στο ΑΣΑ Σ όπου το ένα αντικείμενο είναι αρχικά ακίνητο Όπως παρατηρείται στο Σ, η αναπόφευκτη μετωπική σύγκρουση των δυο σωματιδίων είναι τελείως ανελαστική, δηλαδή τα δυο σωματίδια ενσωματώνονται μετά την κρούση, και σαν αποτέλεσμα σχηματίζεται ένα νέο σύνθετο σωματίδιο που είναι ακίνητο Συνεπώς στο άλλο ΑΣΑ Σ το σύνθετο σωματίδιο πρέπει να κινείται με ταχύτητα u Ας υποθέτουμε ότι το σωματίδιο που αρχικά κινείται στο Σ έχει ταχύτητα U, και ότι τόσο η κρούση όσο και η κίνηση του Σ ως προς το Σ, λαμβάνουν χώρα στον x-άξονα Ο αντίστοιχος νόμος σύνθεσης ταχυτήτων (4), που για 13

2 Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα ευκολία παραθέτουμε αμέσως u 1 = u 1 + v 1 + v u 1 /c, για τα δεδομένα του νοητού πειράματος u 1 = U, u 1 = v = u, γίνεται u U = 1 + u /c (53) Θεωρούμε τώρα την κρούση στο Σ κι ας καταγράψουμε τις αρχές διατήρησης ορμής και διατήρησης μάζας Αρχή διατήρησης ορμής: Αρχή διατήρησης μάζας: m(u) U + 0 = M(u) u (54) m(u) + m 0 = M(u), (55) όπου m 0 = m(0) Απαλείφοντας την M(u) από τις εξισώσεις (54), (55) βρίσκουμε ότι m(u) m 0 = u U u (56) Όμως, από την εξίσωση (53) έχουμε ότι η u συνδέεται με τη U, οπότε μπορούμε να γράψουμε τον λόγο m(u)/m 0 στην (56) σαν μια συνάρτηση της ταχύτητας U μόνο Πράγματι, η (53) είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού ως προς u με λύσεις u (c /U)u + c = 0, u = c U ( 1 ± 1 U /c ) Μόνο η λύση με το αρνητικό πρόσημο είναι αποδεκτή, αφού όταν U << c γνωρίζουμε ότι θα πρέπει u U/ και η τετραγωνική ρίζα στην παραπάνω σχέση είναι περίπου ίση με 1 U /(c ) όταν U << c ¹ Συνεπώς έχουμε και γι αυτή την τιμή της u, έχουμε u = c U ( 1 1 U /c ), U u = c U U [ c (1 1 U c ) = c U ] U [ 1 c U (1 c ) = c ] U Αντικαθιστώντας τις δυο προηγούμενες σχέσεις στην (56) παίρνουμε m(u) m 0 = u U u = 1 1 U /c = γ(u), 1 U c [ 1 1 U c ] κι έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για να είμαστε συνεπείς πρέπει να ορίσουμε την σχετικιστική μάζα m(u) ενός σωματιδίου που κινείται με ταχύτητα U σε ένα ΑΣΑ Σ ως εξής m(u) = γ(u) m 0 ¹Iσχύει το ανάπτυγμα (1 x ) 1/ = 1 x / + O(x 4 ), γύρω από το x = 0 14

3 Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική ενέργεια - τετραδιάνυσμα ορμής 6 Σχετικιστική ενέργεια - τετραδιάνυσμα ορμής Ας θεωρήσουμε ότι η ταχύτητα u << c είναι πολύ μικρότερη από την ταχύτητα c του φωτός και ας αναπτύξουμε την σχετικιστική μάζα m(u) = 1 1 u c m 0 (61) σε δυνάμεις της ταχύτητας u, γύρω από την μηδενική ταχύτητα Έχουμε ² m(u) = m c ( 1 m 0 u ) + O( u4 c 4 ) Αν πολλαπλασιάσουμε με c και τα δυο μέλη της προηγούμενης ισότητας, παρατηρούμε ότι ο δεύτερος όρος στο δεξί μέλος παριστάνει την κλασική κινητική ενέργεια του σωματιδίου m(u) c = m 0 c + 1 m 0 u + σταθερή + κινητική ενέργεια Οπότε η σχετικιστική μάζα ενσωματώνει στον ορισμό της την έκφραση για την κλασική κινητική ενέργεια, και ως συνέπεια η αρχή διατήρησης της μάζας συνεπάγεται την αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας στην Νευτώνεια προσέγγιση Οπότε οδηγούμαστε σε μια από τις πιο περίφημες εξισώσεις της Φυσικής, ορίζοντας την σχετικιστική ενέργεια E ενός σωματιδίου ως E = m c (6) Θα πρέπει να επισημανθεί όμως ότι η παραπάνω σχέση δεν πρόκειται για μια μαθηματική ισότητα που συνδέει δυο διαφορετικά μεγέθη, την ενέργεια και την μάζα, αλλά ο ορισμός αυτός δηλώνει ότι η ενέργεια και η μάζα είναι δυο ισοδύναμες έννοιες Σε συμβατικές μονάδες το c είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός και η ισοδυναμία μάζας ενέργειας δηλώνει ότι μια σχετικά μικρή αλλαγή στην μάζα ισοδυναμεί με μια τεράστια αλλαγή στην ενέργεια Η αλήθεια του γεγονότος αυτού επιδείχθηκε στην Ιαπωνία το 1945 με τις πιο δραματικές επιπτώσεις Επεκτείνοντας τις προηγούμενες διαπιστώσεις στις τρεις χωρικές διαστάσεις, ένα σωματίδιο που κινείται με ταχύτητα u ως προς ένα ΑΣΑ Σ έχει σχετικιστική μάζα m, ενέργεια E και ορμή p που δίνονται από τις σχέσεις m = γ m 0, E = mc, p = m u, γ = 1 u ( c ) 1/ (63) όπου δηλώνει το μέτρο ενός διανύσματος στον Ευκλείδιο χώρο R 3 Παρατηρούμε ότι (E/c) + p = m c + m u = m c (1 u /c ) = m 0 c γ γ = (m 0 c), (64) ²Iσχύει το ανάπτυγμα (1 x ) 1/ = 1 + x / + O(x 4 ), γύρω από το x = 0 15

4 Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική ενέργεια - τετραδιάνυσμα ορμής όπου η ποσότητα m 0 c είναι αναλλοίωτη, αφού είναι σταθερή σε όλα τα ΑΣΑ Αν θυμηθούμε ότι κάτω από τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz η ποσότητα (c t) + x + y + z = s, είναι αναλλοίωτη, τότε οι δυο προηγούμενες σχέσεις υποδηλώνουν ότι οι ποσότητες (E/c, p x, p y, p z ) και (c t, x, y, z) μετασχηματίζονται κάτω από τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz με τον ίδιο τρόπο Δηλαδή στην συνηθισμένη διάταξη όπου του ΑΣΑ Σ κινείται με ταχύτητα v κατά μήκος του x-άξονα του ΑΣΑ Σ, οι μετασχηματισμένες ποσότητες (E /c, p x, p y, p z ) δίνονται από τους τύπους E = γ (E vp x ), p x = γ (p x ve/c ), p y = p y, p z = p z, όπου γ = (1 v /c ) 1/ Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται με την γνωστή εναλλαγή των μεταβλητών με τόνο με τους αντίστοιχους χωρίς τόνο και θέτοντας στην θέση της v την v Ας συνοψίσουμε τις βασικές έννοιες της σχετικιστικής δυναμικής Το διάνυσμα P = (P 0, P 1, P 3, P 3 ) με τις τέσσερις συνιστώσες P i, i = 0, 1,, 3, όπου P 0 = E/c, (P 1, P, P 3 ) = p = (p x, p y, p z ), ονομάζεται τετραδιάνυσμα της ορμής Αν ένα σωματίδιο έχει μη μηδενική μάζα ηρεμίας m 0, και κινείται με ταχύτητα u ως προς ένα ΑΣΑ Σ, τότε η 4-ορμή P, και το 3-διάνυσμα της ταχύτητας u, συνδέονται με τις σχέσεις P = γ m 0 (c, u ), όπου γ = 1 u ( c ) Το τετράγωνο, ή αλλιώς το μέτρο του P, με την μετρική του Minkowski, είναι αναλλοίωτο σε όλα τα ΑΣΑ, δηλαδή P = P P = (P 0 ) + (P 1 ) + (P ) + (P 3 ) = (E/c) + p = (m 0 c) Η κινητική ενέργεια T του σωματιδίου ορίζεται ως T = E m 0 c Ο θεμελιώδης νόμος της δυναμικής για την αλληλεπίδραση n σωματιδίων σ i, i = 1,, n, είναι ότι σε κάθε ΑΣΑ, το διανυσματικό άθροισμα των 4-ορμών P σi όλων των σωματιδίων είναι σταθερό στον χρόνο, δηλαδή n 1/ i=1 P σi = (C 0, C 1, C, C 3 ) P ολικό πριν = P ολικό μετά, όπου C i, i = 0, 1,, 3 σταθεροί αριθμοί 16

5 Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Τα φωτόνια 7 Τα φωτόνια Στις αρχές του προηγούμενου αιώνα για να αποφευχθούν μεγάλες αντιθέσεις μεταξύ θεωρίας και πειράματος στην διερεύνηση της ακτινοβολίας σε περιορισμένους όγκους, ο Max Planck πρότεινε ότι τόσο η ενέργεια του φωτός, όσο κι άλλων μορφών της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας μπορεί να υπάρχει μόνο με την μορφή μικρών διακριτών ποσοτήτων, ή κβάντων, ενέργειας Πιο συγκεκριμένα ο Planck έκανε την υπόθεση ότι η ενέργεια E για κάθε κβάντο εξαρτάται από την αντίστοιχη συχνότητα ν, κι έδωσε έναν απλό τύπο για την ενέργεια E = h ν, όπου h είναι μια παγκόσμια σταθερή που είναι γνωστή ως σταθερή του Planck Την ιδέα του Planck επέκτεινε ο Einstein, διατυπώνοντας την πρόταση ότι η απορρόφηση της ενέργειας γίνεται μόνο με μικρά διακριτά ποσά (πακέτα ή κβάντα) αυτής Έτσι ο Einstein κατάφερε να εξηγήσει το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο κατά το οποίο όταν προσπίπτει φως (ιδίως υπεριώδες) σε μια μεταλλική πλάκα εκπέμπονται από αυτήν ηλεκτρόνια Οι σύγχρονες αντιλήψεις της φυσικής προσδίδουν στο φως δυϊκή υπόσταση Ορισμένες ιδιότητες του φωτός όπως η διάθλαση και η συμβολή, εξηγούνται καλύτερα θεωρώντας το φως ως μια διαταραχή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που διαδίδεται με την μορφή κύματος μέσα στο πεδίο, ενώ οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ του φωτός και στοιχειωδών σωματιδίων, όπως το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, περιγράφονται καλύτερα θεωρώντας το φως να αποτελείται από σωματίδια Η σωματιδιακή περιγραφή του φωτός είναι ότι αποτελείται από μια ροή κβάντων ενέργειας, τα φωτόνια Οι πειραματικές μετρήσεις δείχνουν με πάρα πολύ μεγάλη ακρίβεια ότι από τα φωτόνια της ραδιοφωνικής μετάδοσης (Ε 10 7 ev), τα φωτόνια του ορατού φάσματος (E eV), μέχρι τα φωτόνια των ακτίνων γάμμα (E 100 MeV), όλα τα φωτόνια κινούνται με σταθερή ταχύτητα c = m s 1 στο κενό³ Χρησιμοποιώντας την σχέση (61) και αντικαθιστώντας u = c, βρίσκουμε ότι m 0 = γ 1 m = (1 u /c ) 1/ m = (1 1) 1/ m = 0, δηλαδή η μάζα ηρεμίας του φωτονίου είναι μηδέν Όμως αυτό δεν είναι και τόσο περίεργο γιατί κανένας αδρανειακός παρατηρητής δεν βλέπει ένα φωτόνιο σε ηρεμία, το φωτόνιο κινείται πάντα με ταχύτητα c Οπότε η μάζα ηρεμίας του φωτονίου είναι μια μάλλον νοητή ποσότητα Αν σημειώσουμε με το μοναδιαίο διάνυσμα n την κατεύθυνση που διαδίδεται ένα φωτόνιο τότε p = p n, όπου n = 1, ³Δεν πρέπει να δημιουργεί εντύπωση το γεγονός ότι η ταχύτητα του φωτός είναι ακέραιος αριθμός, γιατί το 1983 καθιερώθηκε στο σύστημα SI η μονάδα ενός μέτρου (1m) να είναι η απόσταση που διανύει το φως στο κενό σε χρονικό διάστημα 1/ του ενός δευτερολέπτου Για τις ανάγκες του μαθήματος, αν υπάρχουν ασκήσεις που απαιτούν αριθμητική αντικατάσταση της c, μπορούμε να θέτουμε c = m/s 17

6 Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Τα φωτόνια και p είναι το μέτρο της ορμής του φωτονίου Η σχέση (64) με αυτά τα δεδομένα γίνεται (E/c) + p = (m 0 c) (E/c) + p n = 0 (E/c) = p Παίρνοντας τετραγωνικές ρίζες στην τελευταία σχέση έχοντας κατά νου ότι c και p είναι θετικές ποσότητες, συμπεραίνουμε ότι η ενέργεια ενός φωτονίου και το μέτρο της ορμής του συνδέονται με την σχέση E = p c Χρησιμοποιώντας την ισοδυναμία μάζας ενέργειας E = m c, βρίσκουμε ότι η μάζα ενός φωτονίου είναι μη-μηδενική και ίση με m = p/c Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω με την σχέση της ενέργειας E = h ν από την υπόθεση του Planck έχουμε ότι για το φωτόνιο ισχύουν τα εξής: E = h ν, m = h ν/c, p = (hν/c) n, n = 1 Ισοδύναμα, για το διάνυσμα της 4-ορμής έχουμε P φ = h ν h ν (1, n ) = c c (1, n x, n y, n z ), όπου n x + n y + n z = 1 Σε όλα τα ΑΣΑ ισχύει ότι P φ = P φ P φ = (P 0 ) + (P 1 ) + (P ) + (P 3 ) = ( h ν c ) + ( h ν c ) n = 0, όπου το εσωτερικό γινόμενο P φ P φ, καθώς και όλα τα εσωτερικά γινόμενα που αφορούν 4-ορμές και άλλα 4-διανύσματα υπολογίζεται ως προς την μετρική του Minkowski d s = d(c t) + dx + dy + dz 18

7 Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σκέδαση Compton Σκέδαση Compton: Ένα φωτόνιο με μήκος κύματος λ 1 χτυπά ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο με μάζα ηρεμίας m e και σκεδάζεται με ένα μήκος κύματος λ σε μια γωνία θ Να αποδειχθεί ότι λ λ 1 = h (1 cos θ) m e c Πριν Μετά λ n n 1 λ 1 θ ω m e u Σχήμα : Σκέδαση Compton Απόδειξη: Από την αρχή διατήρησης της 4-ορμής έχουμε ότι P φ + P e = P φ + P Μας ενδιαφέρει τι συμβαίνει στο φωτόνιο μετά την σκέδασή του στο ηλεκτρόνιο Οπότε διατηρούμε στο δεξί μέλος την 4-ορμή P e και τετραγωνίζουμε ⁴ (P φ + P e P φ) (P φ + P e P φ) = P Όμως για το φωτόνιο έχουμε ότι P φ P φ = 0, και P φ P φ = 0 Συνεπώς η παραπάνω σχέση γίνεται αναλυτικά P e P e + P φ P e P φ P φ P φ = P Λαμβάνοντας υπόψη ότι για το ηλεκτρόνιο ισχύει P e P e = P e = (m e c), η προηγούμενη γίνεται Στο ΑΣΑ του εργαστηρίου που γίνεται η σκέδαση έχουμε P e P φ P e P φ P φ P φ = 0 (*) P e = (m e c, 0), P φ = h ν 1 c (1, n 1 ), n 1 = 1, P φ = h ν c (1, n ), n = 1, ⁴Ο λόγος που διατηρούμε την 4-ορμή P e στο δεξί μέλος γίνεται κατανοητός παρακάτω όταν αφού έχουμε τετραγωνίσει την ΑΔΟ εμφανίζονται μόνο γνωστές ποσότητες κι όχι άγνωστες ποσότητες όπως η γωνία σκέδασης ω του ηλεκτρονίου κι η ταχύτητά του u 19

8 Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σκέδαση Compton οπότε η σχέση (*) γίνεται m e c h ν 1 c + m e c h ν c ( h ν 1 ν c + h ν 1 ν c n 1 n ) = 0 Μετά από τις απλοποιήσεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι n 1 n προηγούμενη σχέση γίνεται = n 1 n cos θ = cos θ, η m e (ν 1 ν ) = h ν 1 ν (1 cos θ) m c e ( 1 1 ν ν ) = h (1 cos θ) (**) 1 c Οι σχέσεις που συνδέουν τις συχνότητες ν 1, ν με τα αντίστοιχα μήκη λ 1, λ είναι συνεπώς η σχέση (**) γίνεται c = λ 1 ν 1, c = λ ν, m e c (λ λ 1 ) = h c (1 cos θ) λ λ 1 = h (1 cos θ) m e c Άσκηση: Να δειχθεί ότι είναι αδύνατο ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο να εκπέμψει ή να απορροφήσει ένα φωτόνιο Απάντηση: Η αρχή διατήρησης της 4-ορμής για την διαδικασία εκπομπής-απορρόφησης είναι P φ + P e = P Αν το ηλεκτρόνιο απορροφά το φωτόνιο το πριν-μετά της διαδικασίας εκφράζεται διαβάζοντας την προηγούμενη σχέση από αριστερά προς δεξιά, ενώ με την αντίστροφη φορά αν το ηλεκτρόνιο εκπέμπει το φωτόνιο Τετραγωνίζοντας την προηγούμενη σχέση έχουμε (P φ + P e ) (P φ + P e ) = P e P φ P φ + P e P e + P e P φ = P Όμως P φ P φ = 0 και P e P e = P e = (m e c), συνεπώς η προηγούμενη σχέση γίνεται P e P φ = 0 Υπάρχει ΑΣΑ Σ πριν την απορρόφηση (ή μετά την εκπομπή) του φωτονίου στο οποίο το ηλεκτρόνιο είναι ακίνητο, οπότε στο Σ οι 4-ορμές του ηλεκτρονίου και του φωτονίου είναι αντίστοιχα Η σχέση P e P φ = 0 γίνεται P e = (m e c, 0), P φ = (E/c, n), n = 1, m e E = 0 E = 0, δηλαδή η ενέργεια του φωτονίου θα πρέπει να είναι μηδέν, που σημαίνει ότι θα πρέπει να μην υπάρχει φωτόνιο Συνεπώς η διαδικασία εκπομπής-απορρόφησης ενός φωτονίου από ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο είναι αδύνατη 0