Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Transcript

1 Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα x y= x y δεν ορίζει πράξη επί του. 3. Η ισότητα x y = x+y/x y δεν ορίζει πράξη επί του. Ορισµός 2 Έστω * µια πράξη επί του E Η πράξη * είναι µεταθετική ανν a*b=b*a για κάθε a,b E. Η πράξη * είναι προσεταιριστική ανν (a*b) *c=a* (b*c) για κάθε a,b,c E. Η πράξη * έχει ουδέτερο στοιχείο ανν υπάρχει e E τέτοιο ώστε για κάθε a E να είναι a*e=e*a=a Το στοιχείο e είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης. Το στοιχείο b E είναι συµµετρικό του a E ως προς την πράξη * ανν b*a=a* b=e (e είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης). Σελίδα από 32

2 Παραδείγµατα: o * o Να ελεγχθεί η αντιµεταθετικότητα των κάτωθι πράξεων επί του. x y=(x+y)² 2. x y=x y Να εξετασθούν η προσεταιριστικότητα, η µεταθετικότητα, η ύπαρξη ουδετέρου και αντιστρόφου στοιχείου για τις κάτωθι πράξεις επί του.. x y=x+y+ 2. x y=x+2y+4 3. xi y=x+2y-xy x y 4. x y = x + y 5. x y = x + y 3 6. xi y = x y B. ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός 3 Έστω E και Ω δυο µη κενά σύνολα. Κάθε απεικόνιση f: Ω x E E λέγεται εξωτερική πράξη επί του E µε σύνολο τελεστών το Ω προς τα αριστερά. Τα στοιχεία του Ω λέγονται τελεστές. Ορισµός 4 Ένα µη κενό σύνολο E επί του οποίου έχουν ορισθεί εσωτερικές ή και εξωτερικές πράξεις ονοµάζεται αλγεβρική δοµή ή απλά δοµή. Σελίδα 2 από 32

3 Παραδείγµατα:. Επί του 3 ορίζεται η εξωτερική πράξη µε σύνολο τελεστών το, προς τα αριστερά, ως εξής: λ, ( x, x, x ), λ ( x, x, x ) = ( λx, λx, λx ) Έστω * {}. Επί του ορίζονται : a) Η εξωτερική πράξη µε σύνολο τελεστών το προς τα αριστερά ως εξής: λ, ( x, x,..., x ), λ ( x, x,..., x ) = ( λx, λx,..., λx ) b) Και η εσωτερική πράξη + ως εξής: ( x, x,..., x ), ( y, y,..., y ) 2 2 ( x, x,..., x ) + ( y, y,..., y ) = ( x + y, x + y,..., x + y ) Θεώρηµα Θεώρηµα 2 Ορισµός 5 Ορισµός 6 Σελίδα 3 από 32

4 ΟΜΑ ΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 5. Εστω ένα µη κενό σύνολο G και η εσωτερική πράξη επί του G. Η δοµή (G, ) λέγεται οµάδα αν και µόνο αν. η πράξη είναι προσεταιριστική, 2. υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, 3. για κάθε a G υπάρχει το συµµετρικό του a G. Μια οµάδα (G, ) λέγεται Αβελιανή ή αντιµεταθετική αν και µόνο αν a b = b a για κάθε a, b G. Μια οµάδα λέγεται πεπερασµένη αν και µόνο αν το σύνολο G είναι πεπερασµένο. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Το σύνολο των ακεραίων µέτρου είναι οµάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης µέτρου. Είναι Z = {0,, 2,..., } και Z 6 = {0,, 2, 3, 4, 5} Για κάθε j > 0, j Z, το συµµετρικό του j είναι το j. Η οµάδα (Z, +) συνήθως καλείται οµάδα των ακεραίων µέτρου. Ο όρος Αβελιανή Οµάδα εισήχθη το 870 από τον Camille Jorda προς τιµήν του Νορ- ϐηγού µαθηµατικού NIELS HENRIK ABEL, ενός από τους σηµαντικότερους µαθηµατικούς του 9 ου αιώνα, που πέθανε το 829 σε ηλικία 26 ετών από ϕυµατίωση, ϕτωχός και µόνος. Ο ϑάνατός του συνέβη δύο µόλις µέρες πριν ϕθάσουν τα νέα για το διορισµό του ως Καθηγητού των Μαθηµατικών στο Πανεπιστήµιο του Βερολίνου.

5 ΘΕΩΡΗΜΑ. ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΕΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ α. Κάθε οµάδα έχει ακριβώς ένα ουδέτερο στοιχείο. ϐ. Σε κάθε οµάδα, κάθε στοιχείο έχει ακριβώς ένα συµµετρικό. Απόδειξη. α. Εστω e και e 2 τα ουδέτερα στοιχεία της (G, ). Τότε e = e e 2 = e 2. ϐ. Εστω a G και a, a 2 G τα συµµετρικά του. Τότε a = a e = a (a a 2 ) = (a a) a 2 = e a 2 = a 2. Σηµείωση Σκοπός της αφηρηµένης άλγεβρας είναι η µελέτη των ιδιοτήτων των αλγεβρικών δοµών που είναι ανεξάρτητες της ϕύσης των πράξεων. Το µόνο που χρειάζεται κάποιος να γνωρίζει για αυτές τις πράξεις, οποιεσδήποτε κι αν είναι, είναι οι συγκεκρι- µένες ιδιότητες που αυτές έχουν. Εδώ πρέπει να επισηµάνουµε πως όταν µελετάµε τις ιδιότητες µιας συγκεκριµένης οµάδας τότε πρέπει να είναι συγκεκριµένη και η σχετική πράξη. Στις εφαρµογές οι πράξεις των οµάδων συµβολίζονται συνή- ϑως µε την πρόσθεση (προσθετική οµάδα) και τον πολλαπλασιασµό (πολλαπλασιαστική οµάδα).

6 Για την πολλαπλασιαστική οµάδα (G, ) µε ουδέτερο στοιχείο το e, το συµµετρικό στοιχείο του a G συµβολίζεται µε a και το γινόµενο a } a {{ a a} µε a ενώ a 0 = e. ϕορές Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα επόµενα : Για κάθε a G, (a ) = a. Για κάθε a, a 2,..., a G, (a a 2 a ) = a Για κάθε Z, e = e. a 2 a. Για κάθε Z και για κάθε a G, (a ) = (a ) = a. Για κάθε m, Z και για κάθε a G, a m a = a m+, (a m ) = a m. Για την προσθετική οµάδα (G, +) µε ουδέτερο στοιχείο το 0, το συµµετρικό στοιχείο του a G συµβολίζεται µε a και το άθροισµα a } + a + {{ + a } µε a ενώ a 0 = 0. ϕορές Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα επόµενα : Για κάθε a G, ( a) = a. Για κάθε a, a 2,..., a G, (a + a a ) = a + ( a 2 ) + + ( a ). Για κάθε Z, 0 = 0 = 0. Για κάθε Z και για κάθε a G, a = ( a) = ( )a. Για κάθε m, Z και για κάθε a G, ma + a = (m + )a και (ma) = (m)a.

7 ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Εστω η οµάδα (G, ) και a, b, c G, τότε α. ab = ac b = c. ϐ. ba = ca b = c. γ. ab = e a = b και b = a. δ. (ab) = b a. ε. (a ) = a. στ. (a a 2 a ) = a a 2 a, a i G, i =, 2,...,. ΟΡΙΣΜΟΣ 6. Αν η οµάδα (G, ) είναι πεπερασµένη, τότε το πλήθος των στοιχείων του G λέγεται τάξη της οµάδας και συµ- ϐολίζεται συνήθως µε G.

8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Να δείξετε ότι η δοµή (R, ) µε x y = x + y xy + οµάδα. είναι αβελιανή Λύση x (y z) = x y + z yz + = x + x y+z y+z yz+ yz+ + = xyz+x+y+z yz+ xy+xz+yz+ yz+ = xyz + x + y + z xy + xz + yz +. (x y) z = x + y xy + z = Άρα x (y z) = (x y) z. x+y xy+ + z x+y xy+ z + = x+y+z+xyz xy+ xz+yz+xy+ xy+ = xyz + x + y + z xy + xz + yz +. x e = x x + e xe + = x x + e = x2 e + x e(x 2 ) = 0 e = 0. 0 x = 0 + x 0x + = x = x. Άρα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο e = 0. x x = 0 x + x xx + = 0 x = x. x ( x) = x + ( x) x( x) + = 0. ( x) x = Άρα υπάρχει συµµετρικό το x. Τέλος, για κάθε x, y R, x y = x+y οµάδα (R, ) είναι αβελιανή. x + x ( x)x + = 0. xy+ = y+x yx+ = y x, δηλαδή η

9 2. Για κάθε >, ορίζουµε µε U () το σύνολο όλων των ϑετικών ακεραίων που είναι µικρότεροι του και είναι πρώτοι προς αλλήλους µε το. Να εξετάσετε αν το U (0) = {, 3, 7, 9} µε πίνακα Caley τον πίνακα είναι ϕορέας οµάδας. mod(0) Πίνακας. 3. Το σύνολο {0,, 2, 3} δεν είναι ϕορέας οµάδας ως προς τον πολλαπλασιασµό mod(4). mod(4) Εστω η οµάδα (G, ) µε ουδέτερο στοιχείο το e και για κάθε a G, a 2 = e. Να αποδειχθεί ότι η (G, ) είναι αβελιανή. Απόδειξη. Για κάθε a, b G είναι ab G και (ab) 2 = e. ab = abe = ab(ba) 2 = abbaba = ab 2 aba = aeaba = = aaba = a 2 ba = eba = ba.

10 5. Ο απλούστερος τρόπος µετάδοσης πληροφοριών είναι αυτός της κωδικοποίησής τους σε µια σειρά (strig) µε 0 ή, π.χ. 000, 000 κτλ. Οι σειρές αυτές λέγονται δυαδικές λέξεις και το πλήθος των στοιχείων κάθε λέξης µήκος της λέξης. Μια πολύ ενδιαφέρουσα εφαρµογή είναι η ανακάλυψη και η διόρθωση λαθών που µπορεί να προκύψουν κατά τη διάρκεια µιας µετάδοσης. Αν a = a a 2 a είναι η λέξη που µεταβιβάζεται και b = b b 2 b είναι η λέξη που λαµβάνεται τότε ο τύπος του λάθους είναι η λέξη { 0, ai = b e = e e 2 e, e i = i, a i b i Η πράξη πρόσθεσης των λέξεων ορίζεται ως εξής : = 0, 0 + =, + 0 =, + = 0. Αν a = a a 2 a (a, a 2,..., a ) και b = b b 2 b (b, b 2,..., b ) τότε a + b = (a + b, a 2 + b 2,..., a + b ). () ηλαδή το άθροισµα a + b είναι το λάθος e. Για παράδειγµα, αν a = 0000 και b = 0000, τότε e = Αν B είναι το σύνολο των δυαδικών λέξεων µήκους, τότε για κάθε a, b, c B ισχύουν : (a + b) B. a + b = b + a. (a + b) + c = a + (b + c). Υπάρχει 0 B τέτοιο ώστε 0 + a = a + 0 = a. Υπάρχει συµµετρικό για κάθε a B. ηλαδή το σύνολο B είναι οµάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης όπως αυτή ορίστηκε στην ().

11 ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ Ορισµός 7 Έστω η ομάδα ( G, ) και S G. Αν ορίζεται η δομή ( S, ) και είναι ομάδα τότε λέμε ότι η ( S, ) είναι μια υποομάδα της ( G, ). Παραδείγματα: Το σύνολο των ακεραίων είναι ομάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Η ομάδα αυτή είναι υποομάδα της ομάδας (,+). Το σύνολο {,} είναι ομάδα ως προς τον πολ/σμό. Η ομάδα αυτή είναι υποομάδα της ( *, ). Σηµείωση: Κάθε ομάδα είναι υποομάδα του εαυτού της. Αν e είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας ( G, ) τότε το ζεύγος ({ e}, ) είναι υποομάδα της (, ) (, ) Οι υποομάδες ( G, ) και { e} G. γνήσιες υποομάδες της οµάδας ( G, ). λέγονται τετριμμένες ή μη Σελίδα 4 από 33

12 Θεώρηµα 3 Αν ( S, ) είναι υποομάδα της (, ) G τότε: ) Αν f είναι το ουδέτερο στοιχείο της ( S, ) και e το ουδέτερο της ( G, ), τότε f = e. 2) Αν a S, τότε το συμμετρικό του a στο S είναι το ίδιο με το συμμετρικό του a στο G. Απόδειξη: ) Είναι f f = f και f e= f αφού f S G και e το ουδέτερο στοιχείο της ( G, ). Άρα f f = f e. (Ι) Αφού όμως κάθε στοιχείο ομάδας είναι απλοποιήσιμο από την (Ι) προκύπτει ότι: f = e. Σελίδα 5 από 33

13 2) Έστω ότι a είναι το συμμετρικό του a S στο S και a το συμμετρικό του a στο G. Τότε: a a = e και 2 a a = e. 2 Δηλαδή a a = a a2. (ΙΙ) Από την (ΙΙ) και το θεώρημα 2 προκύπτει ότι: a = a2. Θεώρηµα 4 Έστω η ομάδα ( G, ) και S G υποομάδα της ( G, ) αν και μόνον αν :. Το ζεύγος (, ) S είναι ) Το S είναι κλειστό ως προς την πράξη. 2) Για κάθε α S, α' S. (α' το συμμετρικό του α). Απόδειξη: Αν το ζεύγος ( S, ) είναι υποομάδα της (, ) και (2) ικανοποιούνται. G, τότε τα () Αντιστρόφως. Έστω ότι ικανοποιούνται τα () και (2) τότε: Η προσεταιριστικότητα της πράξεως στο S ικανοποιείται γιατί αν ( ) = ( ) a b c a b c για κάθε Σελίδα 6 από 33

14 abc,, S. Τούτο θα ισχύει και για τα στοιχεία του S αφού S G. Έστω e το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας ( G, ), τότε για κάθε a S υπάρχει (λόγω 2), a S τέτοιο ώστε, λόγω της, a a S (Ι) Αλλά a a = e το ουδέτερο στοιχείο της (, ) G. Άρα λόγω της (Ι) e S, δηλαδή υπάρχει ουδέτερο στοιχείο. Θεώρηµα 5 Οι συνθήκες () και (2) του θεωρήματος 2 μπορούν να αντικατασταθούν με την συνθήκη : για κάθε ab, Απόδειξη: Έστω ότι a = b, τότε: a b = a a = e S. S, a b S. Άρα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο. Τώρα εξ υποθέσεως για κάθε b S, δηλαδή: e b S δηλαδή b S. Άρα υπάρχει συμμετρικό. Επίσης για κάθε a, b υπόθεση ( ) a b = a b S. S, έχουμε ότι και a, b S και από Σελίδα 7 από 33

15 Άρα το S είναι κλειστό προς την πράξη. Τέλος λόγω του ότι η προσεταιριστικότητα ισχύει αφού S G και ( G, ) ομάδα. Άρα το ζεύγος ( S, ) είναι υποομάδα της (, ) G. Θεώρηµα 6 Σελίδα 8 από 33

16 ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Εστω η οµάδα (G, ) και H ένα πεπερασµένο µη κενό υποσύνολο του G. Το H είναι ϕορέας υποοµάδας της (G, ) αν το H είναι κλειστό ως προς την πράξη. Απόδειξη Από το Θ.4 αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε a H ισχύει a H. Αν a = e, τότε προφανώς ισχύει αφού e = e. Αν a e, ϑεω- ϱούµε την ακολουθία a, a 2, a 3, a 4,... Από την υπόθεση για κάθε a H ισχύει a H για κάθε Z. Το H είναι πεπερασµένο άρα ϑα υπάρχουν i j µε a i = a j δηλαδή a i j = e. Αλλά επειδή a e, ϑα ισχύει i j > και εποµένως a i j = aa i j = e. Άρα a = a i j. Αλλά i j συνεπάγεται ότι a = a i j H.

17 Θεώρηµα 7 Αν ( H, ) και ( K, ) είναι υποομάδες της ομάδας (, ) το ζεύγος ( H K, ) είναι υποομάδα της (, ) G. G τότε και Απόδειξη: H K αφού e H και e K. Έστω x, y H K. Τότε x, y ( K, ) ομάδα του, H και x, y K και αφού ( H, ) και x y H και x, y K. Άρα x, y H K. Επίσης x H K συνεπάγεται x H και x K, επομένως x H και x K. Δηλαδή x H K. Άρα για κάθε x H K, x H K. Εποµένως το σύνολο H K της ( G, ). είναι φορέας υποοµάδας Παρατήρηση abc είναι στοιχεία μιας ομάδας (, ) Αν,, G και S το σύνολο όλων των στοιχείων του G που μπορούν να γραφτούν σαν γινόμενα δυνάμεων των a, b, c, a, b, c (π.χ. 2 3 ab ab cc, a bcb κ.τ.λ) τότε το (, ) της ( G, ). S είναι υποομάδα Σελίδα 9 από 3

18 Πράγματι αν x, y S τότε και x y S και αν x S τότε και x S. Λέμε ότι η (, ) S είναι η υποομάδα της (, ) G που γεννάται από τα στοιχεία abc.,, Θεώρηµα 8 Έστω ομάδα ( G, ) και A G. Αν < A> είναι το σύνολο εκείνων των στοιχείων του G που μπορούν να γραφούν σαν γινόμενα δυνάμεων στοιχείων του A με ακέραιους εκθέτες τότε το ( < A >, ) είναι υποομάδα της (, ) Αν ( H, ) είναι υποομάδα της (, ) ( A, ) G που γεννάται από το A. H με τότε( H, ), δηλαδή η < > είναι η μικρότερη ομάδα της οποίας ο φορέας περιέχει το A. Απόδειξη: A < A >, γιατί αν a A τότε: 0 a = a e= a a < A>. Θα δείξουμε ότι η ( < A >, ) είναι υποομάδα της (, ) G. Πράγματι αν x, y < A > τότε και x y < A > αφού το στοιχείο x y είναι και αυτό γινόμενο δυνάμεων στοιχείων του Σελίδα 0 από 3

19 A με ακέραιους εκθέτες. Άρα το < A > είναι φορέας υποομάδας της οµάδας ( G, ). Έστω τώρα ότι ( S, ) είναι μια υποομάδα της (, ) θα δείξουμε ότι S < A>. G με S A, Πράγματι αν x < A > τότε a κ, 2 a κ 2,, a κ, άρα a A, κ, i =, 2,..., άρα ai i i S και επειδή ( S, ) ομάδα θα είναι ai S. Άρα και a, a,..., a = x S κ κ2 κ 2 Πόρισμα: Αν ( G, ) ομάδα και A = a τότε A { a : a G, } < >=. Το ( < A>, ) είναι η μικρότερη υποομάδα της (, ) φορέας της περιέχει το { } a και συμβολίζεται ( a, ) G που ο < >. Το a λέγεται γεννήτορας της ( < a >, ) και λέμε ότι η ομάδα ( < a >, ) γεννάται από το στοιχείο a. Δηλαδή κάθε στοιχείο u της ομάδας ( G, ) γεννά μια υποομάδα της (, ) { :, } < u >= u u G. G την ( u, ) < > με Σελίδα από 3

20 Ορισµός 8 G. Η ομάδα ( < u >, ) λέγεται κυκλική υποομάδα της (, ) Από όσα έχουν αναφερθεί μέχρι τώρα γίνεται φανερό ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα ( G, ) γεννάται από ένα ή περισσότερα στοιχεία της. Τα στοιχεία αυτά λέγονται γεννήτορες της ομάδας. Ορισµός 9 Σελίδα 2 από 3

21 Παρατήρηση Χρησιµοποιούµε το συµβολισµό H G για να πούµε ότι η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). Οταν η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ) αλλά H G γράφουµε H < G και σε αυτή την περίπτωση η (H, ) είναι µια γνήσια υποοµάδα της (G, ). Η υποοµάδα ({e}, ) είναι η τετριµµένη υποοµάδα της (G, ). Κάθε άλλη υποοµάδα της (G, ) λέγεται µη τετριµµένη υποοµάδα της (G, ). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 5. Εστω η αβελιανή οµάδα (G, ) και e το ουδέτερο στοιχείο της. Αν H = {x G, x 2 = e}, να αποδειχθεί ότι η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). Απόδειξη Είναι e G και e 2 = e άρα e H, δηλαδή H. Εστω a, b H, τότε a 2 = b 2 = e. Είναι (ab ) 2 = ab ab = a 2 (b ) 2 = a 2 (b 2 ) = ee = e. Άρα ab H, δηλαδή η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). 6. Εστω η αβελιανή οµάδα (G, ) µε ουδέτερο στοιχείο το e και H = {x 2, x G}. Να αποδειχθεί ότι η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ). Απόδειξη Είναι e 2 = e, άρα e H, δηλαδή H. Εστω a, b H, τότε a = x 2, b = y 2, µε x, y G. Είναι ab = x 2 (y 2 ) = (xy ) 2 H. Άρα η (H, ) είναι υποοµάδα της (G, ).

22 Παρατήρηση Αν H είναι υποσύνολο του G και η (G, ) είναι οµάδα, τότε προκειµένου να αποδείξουµε ότι το H δεν είναι ϕορέας υποοµάδας, είναι αρκετό να διαπιστώσουµε ένα από τα επόµενα : το ουδέτερο στοιχείο δεν ανήκει στο H, ένα στοιχείο του H δεν έχει συµµετρικό στο H, το H δεν είναι κλειστό ως προς την πράξη. Παράδειγµα Εστω η οµάδα (R, ), H = {x R, x = ή x άρρητος} και K = {x R, x }. Είναι 2 H αλλά 2 2 = 2 / H. Άρα το H δεν είναι ϕορέας υποοµάδας της (R, ). Επίσης το ίδιο ισχύει και για το σύνολο K, αφού 2 K αλλά 2 / K, αφού 2 <. ΟΡΙΣΜΟΣ 9 (ΤΑΞΗ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΟΜΑ ΑΣ) Εστω η οµάδα (G, ), e το ουδέτερο στοιχείο της και g G. Ονοµάζεται τάξη του g ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος τέτοιος ώστε g = e. (Αν η οµάδα είναι προσθετική g = 0, όπου 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της (G, +).) Παραδείγµατα. Για την οµάδα (U (5), ) είναι U (5) = {, 2, 4, 7, 8,, 3, 4} και 7 = 4, = 2, =, 2 = 4, 4 = 2, 8 = 4, 3 = 4, 4 = Για την οµάδα (Z 0, +) είναι 2 = 2, 2 2 = 4, 3 2 = 6, 4 2 = 8, 5 2 = 0. Άρα 2 = 5. Επίσης 0 =, 7 = 0, 5 = 2, 6 = 5. Για την οµάδα (Z, +) κάθε µη µηδενικό στοιχείο έχει άπει- ϱη τάξη, αφού για κάθε a 0, a 0, N.

23 Παραδείγµατα και Ασκήσεις. Αν ( G, ) ομάδα τότε: Για κάθε ab, Gκαι για κάθε Z, ( a ba) = a b a. Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουμε ότι η αποδεικτέα ισχύει για κάθε. N. Πράγματι για = 0 είναι: ( ) 0 0 a ba a b a a a a a = = = = =. Αληθής Έστω ότι η () ισχύει για = κ δηλαδή ότι: ( a b a) = a b κ a. Τότε: κ+ κ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) κ κ κ+ a b a = a b a a b a = a b a a b a = a b a a b a= a b a Άρα η () ισχύει για κάθε N. Έστω τώρα ότι Z τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a a b a a b a a b a a b a a b a = = = = = Σελίδα 3 από 3

24 2. Το σύνολο Z των ακεραίων είναι ομάδα ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Πράγματι το ζεύγος (Z,+) είναι ομάδα αφού: Το Z είναι κλειστό ως προς την πράξη + γιατί για κάθε α, b Z, (α+b) Z Η πράξη + είναι προσεταιριστική στο Z. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο το 0 Z. Για κάθε a Z είναι -a Z με a ( a) 0 + =. Επιπλέον είναι a+ b= b+ a για κάθε α, b Z. Δηλαδή η ομάδα είναι Αβελιανή. 3. Το ζεύγος (Q,+) όπου Q το σύνολο των ρητών είναι Αβελιανή ομάδα. 4. Το ζεύγος (R,+) όπου R το σύνολο των πραγματικών είναι Αβελιανή ομάδα. 5. Το ζεύγος (C,+) όπου C το σύνολο των μιγαδικών είναι Αβελιανή ομάδα. Σελίδα 4 από 3

25 6. Το ζεύγος (R, +) με R = {(x, x2,,x), xi R και( x, x,..., x ) ( y, y,..., y ) ( x y, x y,..., x y ) + = Είναι ομάδα ως προς αυτήν την πράξη. 7. Αν [α], [b] Z ορίζουμε [ a] + [ b] = [ a+ b]. Η ανωτέρω πράξη είναι καλώς ορισμένη στο Z. Πράγματι αν, [ a ] = [ a ] και [ b ] [ b ] 2 =, τότε υπάρχουν ακέραιοι u 2 και y τέτοιοι ώστε a = a 2 + u και b = b2 + y. Οπότε: ( ) Δηλαδή : a + b = a + b u+ y. 2 2 ( ) a + b = a + b. 2 2 mod Άρα [ a b ] [ a b ] + = Αποδεικνύουμε τώρα ότι το ζεύγος (Z,+) είναι Αβελιανή ομάδα. Πράγματι για κάθε[α], [b], [c] Ζ είναι: [ a] + ([ b] + [ c] ) = [ a] + [ b+ c] = a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c = [ a+ b] + [ c] = ([ a] + [ b] ) + [ c] Δηλαδή η πράξη είναι προσεταιριστική. Το στοιχείο [ο] [ο] Z είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης αφού: [ 0] + [ a] = [ 0+ a] = [ a] και [ a] [ 0] [ a 0] [ a] + = + =. Σελίδα 5 από 3

26 Αν [α] Z τότε και. [η-α] Z. Είναι [ a] + [ a] = [ a+ a] = [ ] και [ a] + [ a] = [ a+ a] = [ ] Όμως [ ] είναι το σύνολο των ισοϋπολοίπων προς το ακεραίων. Το υπόλοιπο αυτό είναι 0. Άρα [ ] = [ 0]. Άρα για κάθε [α] Z υπάρχει το συμμετρικό του[ η-α] Z. Τέλος είναι [ a] + [ b] = [ a+ b] = [ b+ a]. Για κάθε [α], [b] Z. Άρα το ζεύγος (Z,+) είναι Αβελιανή. Παρατήρηση: Από το παράδειγμα 7 προκύπτει ότι για κάθε: Z+ υπάρχει μια ομάδα με στοιχεία. Η ομάδα αυτή είναι η (Z,+) 8. Το ζεύγος (Z2,+) είναι ομάδα. 9. Το ζεύγος (Z6,+) είναι ομάδα 0. Το ζεύγος (R, ) όπου R το σύνολο των πραγματικών και η πράξη του συνήθους πολ/μου δεν είναι ομάδα. Σελίδα 6 από 3

27 . Το ζεύγος (R*, ) είναι ομάδα. 2. Το ζεύγος (C*, ) είναι ομάδα. 3. Το ζεύγος (, ) Μ, όπου Μ είναι το σύνολο των πραγματικών μητρών με ορίζουσα διάφορη από το μηδέν και η πράξη του πολλαπλασιασμού μητρών είναι ομάδα. 4. Είναι το ζεύγος (R*, ) με a a b= ομάδα; b Το σύνολο R* είναι κλειστό ως προς την πράξη αφού για κάθε α, b R* είναι α b R. b a a c a b c = a = = c b b c ( ) a a c a a b c= c= =. b b b c ( ) Δηλαδή εν γένει ( ) ( ) a b c a b c. Άρα η δεν είναι προσεταιριστική. Επομένως η δομή (R*, ) δεν είναι ομάδα. Σελίδα 7 από 3

28 5. Έστω Z2 {( a, a2,..., a )} =, ai Z2. Δηλαδή το σύνολο Z 2 έχει στοιχεία -άδες με 0 και. Επί του Ζ2 ορίζουμε την πράξη + ως εξής: ( a, a2,..., a) ( b, b2,..., b) {( a b, a2 b2,..., a b) } + = π.χ. ( 00) + ( 00) = ( 000) Το ζεύγος ( Z, 2 ) 5 Z 2. + είναι Αβελιανή ομάδα. Υπόδειξη: Κάθε στοιχείο του Z 2 είναι συμμετρικό του εαυτού του. 6. Να εξετασθεί αν η δομή (Q+*, ) με x y x y = είναι 2 ομάδα. Λύση: Η πράξη είναι αντιμεταθετική αφού για κάθε x,y Q+* x y y x x y = = = y x. 2 2 για κάθε x,y,z Q+*, ( ) Και ( ) x y x y z x y z = z =. 2 4 y z x y z x y z = x =. 2 4 Δηλαδή η πράξη είναι προσεταιριστική. Σελίδα 8 από 3

29 Έστω ότι η πράξη δέχεται ουδέτερο στοιχείο e, τότε για xe e κάθε x Q+*, x e= x = x = e= x x Έστω ότι για κάθε x + τέτοιο ώστε x x = 2 = 2 x = 4x. 2 Άρα η δομή (Q+*, ) είναι Αβελιανή ομάδα. ) Εδώ αντί του [0] και [] γράφουμε αντίστοιχα 0 και 2) Τα κόμματα συνήθως παραλείπονται 7. Αν ( G, ) είναι ομάδα με G = 2 να δειχθεί ότι η ( G, ) είναι Αβελιανή Αν ( G, ) είναι ομάδα και g δειχθεί ότι η ομάδα είναι Αβελιανή. = e για κάθε g G να Λύση: Για κάθε b 2 G, a 2 = e, b 2 Άρα ( ) 2 = e και ( ab) = c. a b= e e= e= a b aa bb= ab ab ab= ba. Σελίδα 9 από 3

30 9. Το ζεύγος (, ) με = { p/ q, p, q } της ομάδας (, ). Πράγματι, και είναι υποομάδα Το είναι κλειστό ως προς την πράξη, αφού για κάθε a b α c, c d, b d α c =. b d Το ουδέτερο στοιχείο ανήκει στο αφού =. Για κάθε p q είναι q p q p και q p = q p p q =. Άρα κάθε στοιχείο του πράξη στο 20. Το ζεύγος (, ) οµάδας (, ). έχει το συμμετρικό του ως προς την S, S { 3, κ κ }. = είναι υποοµάδα της 2. Το ζεύγος ( E ), +, E, το σύνολο των άρτιων ακεραίων είναι υποοµάδα της (, + ). 22. Το ζεύγος ( S, + ), S = { x, x< } της (, + ) δεν είναι υποομάδα. Πράγματι το σύνολο S δεν είναι κλειστό ως Σελίδα 20 από 3

31 3. dfdf 4. hg 5. hgpo 6. fg 7. fg 8. gf 9. gf 0. f. fg 2. gf 3. gf 4. fg 5. fg 6. fg 7. fg 8. fg 9. fg 20. fg 2. fg 22. trg 23. dfgrdg Παν. Πειραιώς, Τµήµα Πληροφορικής προς την πράξη + γιατί π.χ, S αλλά = = 5 4 S Έστω {[ 2,6,0 ] [ ] [ ]} T = ένα υποσύνολο του Z 8. Να εξετασθεί αν το ζεύγος ( T, + ) είναι υποομάδα της ( Z ) 8, +. Η απάντηση είναι όχι γιατί το σύνολο T δεν είναι κλειστό ως προς την πράξη αφού [ 2] + [ 2] = [ 2+ 2] = [ 4] T. 24. Το κέντρο της ομάδας ( G, ) είναι το σύνολο { C = c G: c x c= x, για κάθε x G}. Το ζεύγος ( C, ) είναι υποομάδα της ( G, ). Λύση: Το σύνολο C είναι διάφορο του κενού αφού e x e= x για κάθε x G, e το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας (, ) άρα e C. G, Σελίδα 2 από 3

32 Έστω τώρα ότι, κάθε x Είναι: G. ab C, τότε a x a x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = και b x b= x για ab x ab = b a x ab = b a x a b = b x b = x για κάθε x G. Άρα ab C. Δηλαδή το C είναι κλειστό ως προς την πράξη. Επίσης για κάθε a C, a C αφού: ( ) ( ) ( ) ( ) a x a = a x a = a a x a a = aa x aa = x. Άρα το ζεύγος ( C, ) είναι υποομάδα της ομάδας (, ) G. 25. Έστω η ομάδα ( G, ) και a G. Το σύνολο a { : } { : } C = g G ga = ag = g G gag = λέγεται κεντροποιητής του στοιχείου a G. Δηλαδή ο κεντροποιητής του στοιχείου a G είναι το σύνολο των στοιχείων g G που μετατίθενται με το στοιχείο g G Το ζεύγος ( C, a ) είναι υποομάδα της (, ) Λύση: G.. Αν e είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας ( G, ) και a G, τότε ea ae a = =. Άρα e Ca, δηλαδή Ca. Σελίδα 22 από 3

33 Έστω τώρα ότι, xy C a, τότε: ( x y) a = x ( y a) = x ( a y) = ( x a) y = ( a x) y = a ( x y). Δηλαδή το σύνολο C a είναι κλειστό ως προς την πράξη της ομάδας. Επίσης για κάθε x Ca είναι και x C a αφού: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x = x a x= x x a x x= x x a x x = e a e= a Άρα το ζεύγος ( C, a ) είναι υποομάδα της (, ) G. 26. Έστω η ομάδα ( G, ) και a G. Να δειχθεί ότι το κέντρο (βλέπε εφαρµογή 24) ( C, ) της ομάδας ( G, ) είναι υποομάδα του κεντροποιητή ( C, a ) για κάθε a G. Λύση: Είναι C = { c G: c x c= x για κάθε x G} και a { : } C = g G g ag = a. Έστω ότι c C, εξ ορισμού είναι c x c= x για κάθε x G. Άρα και για x = a, θα έχουμε ότι c a c = a. Δηλαδή C C και αφού ( C, ) και ( C, ) a a είναι ομάδες, η ( C, ) θα είναι υποομάδα της ( ) C. a, Σελίδα 23 από 3

34 27. Έστω η ομάδα ( S ). Να βρεθεί το κέντρο της και ο 3, κεντροποιητής (cetralizer) του στοιχείου a = (32). Λύση: ( S ) () (23) (32) (23) (3) (2) 3, () () (32) (32) (23) (3) (2) (23) (23) () () (3) (2) (23) (32) (32) (2) (23) (2) (23) (3) (23) (23) (2) (3) () (32) (23) (3) (3) (23) (2) (23) () (32) (2) (2) (3) (23) (32) (23) () Με την βοήθεια του πίνακα βλέπουμε ότι το μόνο στοιχείο του S 3 που μετατίθεται με κάθε στοιχείο του S 3 είναι το ουδέτερο στοιχείο (). Άρα C = {( a) }. Επίσης τα μόνα στοιχεία που μετατίθενται με το a = ( 32) είναι τα στοιχεία (), ( 23 ) και ( 32 ), δηλαδή a {( )(, 23 )(, 32) } C =. Σελίδα 24 από 3

35 28. Αν G = {,, i, i} να δειχθεί ότι το ζεύγος ( G, ) είναι ομάδα και να εξετάσετε αν τα ζεύγη ({, }, ) και ({, i}, ) και ({, i}, ) είναι υποομάδες της (, ) G. 29. Να εξετάσετε αν το σύνολο H = { z : z 4 = } = {, i,, i} είναι φορέας της υποομάδας της (, ). Λύση: H αφού H. για κάθε ab, H είναι a = b = και a b ( ab) = =, άρα ab H. για κάθε a H: ( a ) ( a ) = = =, άρα a H. Επομένως το H είναι φορέας υποομάδας της (, ). 30. Έστω E = {()(, 23 )(, 32 ),( 23 ),( 3) }. Να εξετασθεί αν το ζεύγος ( E, ) είναι υποομάδα της (, ) Λύση: Όχι γιατί: ( 23) ( 3) = ( 2) E. G. Σελίδα 25 από 3

36 3. Mπορεί να υπάρχει υποομάδα ( H, ) της ( S ) τέτοια ώστε: ( 32) H και ( ) Λύση: 23 H ; Όχι, γιατί αν υπήρχε τέτοια υποομάδα θα έπρεπε: ( 23) 2 2 H, αλλά ( 23) = ( 32)( 32) = ( 23) που δεν ανήκει στο H. 3, 32. Έστω ότι ( H, ) υποομάδα της ( G, ). Αν η ( G, ) είναι Αβελιανή ισχύει το αυτό για την ( H, ); Αν η ( H, ) είναι Αβελιανή ισχύει το ίδιο για την ( G, ) ; Να δικαιολογηθούν οι απαντήσεις. 33. Να δειχθεί ότι αν ( K, ) υποομάδα της ( H, ) και ( H, ) υποομάδα της ( G, ) τότε ( K, ) υποομάδα της (, ) G. 34. Να βρεθούν οι κεντροποιητές των στοιχείων: ()(, 2 )& ( 23 ) της ομάδας ( ) S. 3, 35. Έστω η ομάδα ( G, ), H G, H = { G: = }. Σελίδα 26 από 3

37 i. Αν η ομάδα ( G, ) είναι Αβελιανή τότε ( H, ) υποομάδα της ( G, ). ii. Αν G = S3 να εξετασθεί αν το ζεύγος ( H, ) είναι υποομάδα της ( G, ). Λύση: i. Έστω, ab, τότε a= a και b= b. Άρα ab a = b H και ab b = a. Αλλά ( G, ) Αβελιανή ομάδα, επομένως ab = b a = ( ab), δηλαδή, ab H. Επομένως το σύνολο H είναι κλειστό ως προς την πράξη. Για κάθε a H, a H και a a = H. Άρα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο. Για κάθε a H εξ ορισμού a H. Δηλαδή υπάρχει συμμετρικό. ii. Το ζεύγος ( H, ) δεν είναι υποομάδα της ( S ) αφού: ( 2) ( 3) = ( 23) H. Το αποτέλεσμα δεν είναι 3, Σελίδα 27 από 3

38 ασυμβίβαστο με το (i) αφού η ομάδα ( S ) δεν είναι Αβελιανή. 3, 36. Έστω η ομάδα (, ) G, a G και H { a, } ότι το ζεύγος ( H, ) είναι υποομάδα της (, ) =. Να δειχθεί G. 37. Έστω η ομάδα (, ) G και H { h G, h 3 e} = =. Αν η ομάδα ( G, ) είναι Αβελιανή το ζεύγος ( H, ) είναι υποομάδα της ( G, ). 38. Ένα γινόµενο αρτίου αρτίου πλήθους αντιμεταθέσεων λέγεται άρτια μετάθεση. Ένα γινόμενο περιττού πλήθους αντιµεταθέσεων λέγεται περιττή μετάθεση. Αν A είναι το σύνολο όλων των αρτίων μεταθέσεων των στοιχείων τότε το ζεύγος (, ) υποομάδα της ( S, ). Η ομάδα ( ) εναλλασσόμενη ομάδα των στοιχείων. Λύση:, A είναι A είναι η Σελίδα 28 από 3

39 Έστω ab, A. Τότε η μετάθεση a μπορεί να γραφτεί σαν γινόμενο 2r αντιμεταθέσεων και η b σαν γινόμενο 2r+ 2s = 2( r+ s) αντιμεταθέσεων, άρα ab, A Α είναι κλειστό ως προς την πράξη. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο το ( ) ( ) ( ) = 2 2 A.. Δηλαδή το Για κάθε a A, a A. Πράγματι το συμμετρικό της αντιμετάθεσης ( ab ) είναι η ίδια αντιμετάθεση ( ab ). Τώρα αν a A και a είναι το γινόμενο των αντιμεταθέσεων a, a2,..., a κ κ άρτιος έχουμε ότι: ( ) a, a,..., a = a, a,..., a. Δηλαδή το συμμετρικό μιάς 2 κ 2 κ άρτιας μετάθεσης είναι άρτια μετάθεση. Δηλαδή ( A, ) είναι υποομάδα της ( S, ). 39. Έστω η ομάδα ( G, ) και η συνάρτηση f : G G. Μια περίοδος της συναρτήσεως f είναι κάθε στοιχείο a G για το οποίο f ( ax) f ( x) = για κάθε x G. Να δειχθεί οτι το σύνολο P όλων των περιόδων της f είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). Σελίδα 29 από 3

40 Για τις επόμενες ασκήσεις η ομάδα ( G, ) είναι Αβελιανή 40. Αν H { x G: x x } ( G, ). = = το H είναι φορέας υποομάδας της 4. Αν ένας σταθερός ακέραιος και H { x G: x e} = =, να δειχθεί ότι το H είναι φορέας υποομάδας της ( G, ) Αν H = { x G: x= y για κάποιο y G} να δειχθεί ότι το H είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). 43. Αν ( H, ) είναι υποομάδα της (, ) G και K = { x G: x 2 H} να δειχθεί ότι το K είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). 44. Αν ( H, ) υποομάδα της ( G, ) και { :, } K = x G x H, να δειχθεί ότι το K είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). Σελίδα 30 από 3

41 45. Αν ( H, ) και ( K, ) είναι υποομάδες της ( G, ) και HK = { xy : x H και y K} να δειχθεί ότι το ΗΚ είναι φορέας υποομάδας της ( G, ). Λύση: e H και e K άρα ee = e HK, δηλ. HK. Έστω wz HK τότε w= x y, z = x2 y2 και x, x2 και H, y y, y 2 K. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) wz = x y x y = x y x y = x x y y = x x y y HK Δηλαδή το σύνολο HK είναι κλειστό ως προς την πράξη. Έστω x y HK τότε ( ) x y = y x HK Άρα η δομή ( HK, ) είναι υποομάδα της ομάδας (, ) G. Σελίδα 3 από 3