ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ 1

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΙΙ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 ΘΕΜΑ Δύο συζευγμένα πραγματικά πηνία συνδέονται εν παραλλήλω, όπως στο Σχ.. Να βρεθούν () οι ενδείξεις των τριών βατομέτρων, () η ισχύς που μετατρέπεται σε θερμότητα σε κάθε αντίσταση, () η ισχύς που αποθηκεύεται στο μαγνητικό πεδίο, (4) η ισχύς που επιστρέφει στην πηγή, (5) η ισχύς που ανταλλάσεται με την πηγή και (6) ο συντελεστής ισχύος του κυκλώματος. Δίνονται V =0+j0 Volt, =0 Ω, =0 Ω, X =80 Ω, Χ =50Ω και X =40 Ω. V I I W W W I Σχήμα ΛΥΣΗ Θέτοντας jx 0 j80 Ù, jx 0 j50 Ù, jx j40 Ù οι εξισώσεις του κυκλώματος είναι V I I () Από τις Εξ.() και () προκύπτουν τα ρεύματα I V I I () V j90 () και I V j 45 (4) I II j 56.4 (5) H μιγαδική ισχύς της πηγής είναι οπότε S VI ( 0 j0)( j) 80 j V (6) pf P (7) S 7. 0 H μιγαδική ισχύς του πηνίου είναι S V I ( 0 j0)( j) 0 j0 (8)

2 Επειδή η πραγματική ισχύς είναι αρνητική, το πηνίο επιστρέφει στο κύκλωμα ισχύ ίση με 0 W. Στο πηνίο μετατρέπονται σε θερμότητα και στο μαγνητικό του πεδίο αποθηκεύονται P I W 0 0 (9) P P P W (0) Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι το πηνίο παρέχει στο κύκλωμα 40 W. Αφού καταναλώνονται 0W στην αντίσταση, τα υπόλοιπα 0 W επιστρέφουν στο κύκλωμα. H μιγαδική ισχύς του πηνίου είναι S V I ( 0 j0)( j)} 00 j40 () Από την Εξ.() προκύπτει ότι το πηνίο απορροφά 00 W. Σε αυτό το πηνίο μετατρέπονται σε θερμότητα και στο μαγνητικό του πεδίο αποθηκεύονται P I W 0 60 () P P P W ()

3 ΘΕΜΑ Να βρεθεί η τάση εξόδου της ενισχυτικής βαθμίδας του Σχ. και στη συνέχεια να προσδιοριστούν οι τιμές των αντιστάσεων, ώστε το κέρδος τάσης να είναι ίσο με. o Σχήμα ΛΥΣΗ o i Από τη μη αναστρέφουσα συνδεσμολογία προκύπτει Ακόμη, έχουμε όπου Έτσι, προκύπτει ή ( ) o () i () i i i o () (4) (5) Εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας η έξοδος προκύπτει και τελικά o (6)

4 o ( ) (7) ΘΕΜΑ Το κύκλωμα του Σχ. διεγείρεται από την πηγή τάσης () t 00 óõí000 t V. Nα βρεθεί η τιμή της χωρητικότητας, ώστε να μεταφέρεται στο φορτίο η μέγιστη δυνατή ισχύς. Πόση είναι η ισχύς αυτή και πως σχετίζεται με τη διαθέσιμη ισχύ της πηγής; Πόση είναι η τάση στα άκρα της χωρητικότητας και της αυτεπαγωγής; Πως σχετίζονται οι τάσεις αυτές με τη μέση τιμή της ενέργειας που αποθηκεύεται στα αντίστοιχα στοιχεία; Ù 4mH 4Ù Σχήμα ΛΥΣΗ Ù j4ù 4Ù V j Το ρεύμα που διαρρέει τους κλάδους του κυκλώματος είναι Η ισχύς που μεταφέρεται στο φορτίο P I V I j( X X ) V ( ) ( X X ) () () γίνεται μέγιστη, όταν ικανοποιείται η συνθήκη δηλαδή, όταν P X V ( X X ) [( ) ( X X ) ] X 0 () X (4) Για να ισχύει η Εξ.(4) πρέπει η χωρητικότητα του πυκνωτή να είναι F 50 ìf (5) Κάτω από την παραπάνω συνθήκη προσαρμογής, η ισχύς που μεταφέρεται στο φορτίο είναι 4

5 P V ( ) ( W) (6) Η διαθέσιμη ισχύς της πηγής είναι V 00 P max ( W) (7) αλλά δεν μεταφέρεται όλη στο φορτίο, επειδή στο συγκεκριμένο κύκλωμα δεν υπάρχει προσα ρμογή των πραγματικών μερών των σύνθετων αντιστάσεων. Το ρεύμα που διαρρέει τους κλάδους του κυκλώματος προκύπτει V I ( ) (8) 5 Η τάση που αναπτύσσεται στο πηνίο και στον πυκνωτή είναι αντίστοιχα και V V jx I j6 ( V) (9) jx I6 j ( V) (0) 5

6 ΘΕΜΑ 4 Ένα συμμετρικό τριφασικό φορτίο σε συνδεσμολογία τριγώνου με Ζ (jω)=9+j9ω συνδέεται με τριφασική πηγή με τάση γραμμής V =46V. Να βρεθεί το ρεύμα γραμμής και η ολική ισχύς που παρέχεται στο φορτίο. Ποιο είναι το ρεύμα γραμμής, όταν συνδεθούν πυκνωτές με ίση χωρητική αντίδραση στις τρεις φάσεις, ώστε ο συντελεστής ισχύος του φορτίου να γίνει 0,95 (επαγωγικός); Ποιά είναι η χωρητικότητα των πυκνωτών αυτών, όταν η συχνότητα του συστήματος είναι 50Hz. Με ποιόν τρόπο πρέπει να συνδεθούν (σε αστέρα ή σε τρίγωνο) οι πυκνωτές; Σχολιάστε τις διαφορές των δύο συνδέσεων. ΛΥΣΗ I ' I =56.57<-45 o V B V N N' B V B I B I B' ' I B B I (α) (β) I' = 4.<-8.9 o I =56.57<-45 o I' = 4.<-8.9 o I =56.57<-45 o B I' B I B B I' B I B I' I I' I Y Y Ä Ä Y Ä (γ) Σχήμα 4 (δ) Το φορτίο μετασχηματίζεται σε συνδεσμολογία αστέρα, οπότε Η φασική τάση είναι και το ρεύμα γραμμής προκύπτει Η ολική μιγαδική ισχύς είναι Y Æ j 45 Ù () I V V p Y ( V) () 400o () 45 S V I j (4) και ο συντελεστής ισχύoς του συστήματος προκύπτει pf P (5) S Αφού το τριφασικό κύκλωμα είναι συμμετρικό, για να υπολογιστούν οι χωρητικότητες, που θα μεταβάλλουν τον συντελεστή ισχύος από σε 0.95, θα καταφύγουμε στο ισοδύναμο μο-νοφασικό 6

7 κύκλωμα. Η μιγαδική ισχύς του ισοδύναμου μονοφασικού κυκλώματος είναι το ένα τρί-το της μιγαδικής ισχύος του τριφασικού συστήματος. Επειδή åöö Q (6) P η ανά φάση άεργος ισχύς που αντιστοιχεί σε συντελεστή ισχύος 0.95 (φ=8.9 o ) είναι Q Påöö åö ( V) (7) 'Ετσι, ο πυκνωτής που θα παρεμβληθεί πρέπει να παρέχει άεργο ισχύ Επειδή Q ( V) (8) Q ùv (9) p για τη συχνότητα των 50 Hz προκύπτει Q F ìf (0) ùv 4( 40) p Μετά την τοποθέτηση των πυκνωτών με τη χωρητικότητα που υπολογίστηκε, το ρεύμα γραμμής από την πλευρά της πηγής προκύπτει ως εξής. Η ανά φάση μιγαδική ισχύς είναι S V I () j οπότε και j j ( ) () 400 I ( ) () I Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι το ρεύμα γραμμής μετά το σημείο παρεμβολής της χωρητικότητας παραμένει ίσο με το αρχικό ρεύμα γραμμής. Ακόμη, πρέπει να σημειωθεί ότι οι χωρητικότητες που υπολογίστηκαν αναφέρονται σε συνδεσμολογία αστέρα, όπως φαίνεται στο Σχ.4(γ). Έτσι, η τάση στα άκρα κάθε πυκνωτή είναι ίση με τη φασική τάση. Συνεπώς, κάθε πυκνωτής θα συμβολίζεται ως Y =56.4 μf/40v. Αυτό σημαίνει ότι κάθε πυκνωτής θα πρέπει να αντέχει στα άκρα του 40 V. Όμως, για λόγους ασφαλείας, η τάση αντοχής του πυκνωτή θα πρέπει να αυξηθεί κατά 0% περίπου. Έτσι, για τη συγκεκριμένη περίπτωση διόρθωσης του συντελεστή ισχύος θα πρέπει να αναζητηθεί στο εμπόριο πυκνωτής με τα στοιχεία Y =56.4 μf00 V. Κατά κανόνα στο εμπόριο δεν θα βρεθεί η ακριβής τιμή της χωρητικότητας. Έτσι, θα πρέπει να καταφύγει κανείς στον κατάλληλο συνδυασμό εν σειρά ή και εν παραλλήλων των τυποποιημένων χωρητικοτήτων του εμπορίου. Οι τρείς χωρητικότητες μπορούν να συνδεθούν και σε τρίγωνο, όπως φαίνεται στο Σχ.4(δ). Επειδή, προκύπτει οπότε Y Æ (4) ù ù Y Y (5) (6) Με άλλα λόγια, αν οι χωρητικότητες συνδεθούν σε τρίγωνο, πρέπει να έχουν υποτριπλάσια χωρητικότητα. Όμως, όπως φαίνεται στο Σχ.4(δ), πρέπει να αντέχουν την πολική και όχι τη φασική τάση. Έτσι, για το συγκεκριμένο πρόβλημα, οι χωρητικότητες που συνδέονται σε τρίγωνο πρέπει να είναι 7

8 ή για λόγους ασφάλειας Δ =8.8 μf/46 V (7) Δ =8.8 μf/500 V (8) Από τα παραπάνω προκύπτει το ερώτημα: Ποιά είναι η καταλληλότερη συνδεσμολογία των πυκνωτών για την αντιμετώπιση του προβλήματος της διόρθωσης του συντελεστή ισχύος. Η απάντηση στο ερώτημα αυτό θα δοθεί, αν ληφθεί υπόψη το κόστος των πυκνωτών. Με το σημερινό τεχνολογικό επίπεδο η χωρητικότητα επιδρά περισσότερο στην τιμή ενός πυκνωτή παρά η τάση αντοχής. Έτσι, το σημερινό τεχνολογικό επίπεδο μας οδηγεί στην επιλογή της συνδεσμολογίας τριγώνου, επειδή απαιτεί πυκνωτές με μικρότερη χωρητικότητα. 8