Μεταπτυχιακό πρόγραµµα Σπουδών. Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων. Μάθηµα «ιαχείριση Υδατικών Πόρων»

Transcript

1 Μεταπτυχιακό πρόγραµµα Σπουδών Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων Μάθηµα «ιαχείριση Υδατικών Πόρων» Σηµειώσεις Κεφαλαίου Υπόγεια Νερά και η ιαχείριση τους Αριστοτέλης Μαντόγλου Απρίλιος 00 1

2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

11 11

12 1

13 13

14 14

15 15

16 16

17 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΝΕΡΩΝ Εισαγωγή Κάθε σύστηµα που µπορεί να αναπαραγάγει την συµπεριφορά και απόκριση ενός υπογείου υδροφορέα ονοµάζεται «µοντέλο» ή «οµοίωµα» του πραγµατικού συστήµατος. Η διαδικασία λειτουργίας του µοντέλου και επεξεργασίας των αποτελεσµάτων λέγεται «προσοµοίωση» του φυσικού συστήµατος. Υπάρχουν διάφορες κατηγορίες µοντέλων όπως τα φυσικά µοντέλα, τα αναλογικά µοντέλα, καθώς και τα µαθηµατικά µοντέλα (αναλυτικά και αριθµητικά). Φυσικά (εργαστηριακά) µοντέλα όπως τα κουτιά άµµου, Helleshaw (κίνηση γλυκερίνης µεταξύ δύο παραλλήλων πλακών) και τα αναλογικά µοντέλα (πχ. Ανάλυση δικτύων αντιστάσεων, µεταφορά θερµότητας, κλπ.) έχουν χρησιµοποιηθεί πολύ στο παρελθόν. Τα µαθηµατικά µοντέλα προσοµοίωσης βασίζονται στην εξίσωση Darcy, καθώς και στις διαφορικές εξισώσεις ροής, οριακές και αρχικές συνθήκες, κλπ. ιακρίνονται σε αναλυτικά µοντέλα όπως αυτά που εξετάστηκαν στην µονοδιάστατη ροή, υδραυλική πηγαδιών (κυκλική συµµετρία) καθώς και τα αριθµητικά µοντέλα (που προκύπτουν από τη µέθοδο πεπερασµένων διαφορών ή τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων) Στόχος του παρόντος κεφαλαίου είναι η παρουσίαση µαθηµατικών µοντέλων υπογείων υδροφορέων µε έµφαση σε αριθµητικές επιλύσεις. 17

18 18

19 Αριθµητικά Μοντέλα Υπόγειων Υδάτων: Μοντέλα ενός κυττάρου Τύποι αριθµητικών µοντέλων που θα εξεταστούν στο κεφάλαιο αυτό είναι τα µοντέλα ενός κυττάρου, µοντέλα πολλών κυττάρων, πεπερασµένες διαφορές και πεπερασµένα στοιχεία. Σχήµα 0.1 Μοντέλο υπόγειας υδρολογικής λεκάνης Σχήµα 0. Η εξίσωση διατήρησης µάζας ρευστού στην λεκάνη (κύτταρο) δίνει: 19

20 dh AS A( N q) Qr Qp dt = + (1) όπου A είναι η επιφάνεια λεκάνης L S είναι η µέση αποθηκευτικότητα του υδροφορέα (για φρεάτιους υδροφορείς η αποθηκευτικότητα είναι ίση µε το ενεργό πορώδες: S = S < n) h είναι το µέσο βάθος ροής στον φρεάτιο υδροφορέα την χρονική στιγµή t [ L ] y N φυσική τροφοδοσία υδροφορέα από βροχοπτώσεις κατανεµηµένη στην επιφάνεια L T Q r τεχνητή τροφοδοσία υδροφορέα 3 L T Q p απόληψη νερού από πηγάδια και γεωτρήσεις q Απορροή από πηγές και υδατορεύµατα L T. 3 L T = L T Για γραµµική δεξαµενή ισχύει: ( ) q a h h 0 Ανάλογα µε τις εξισώσεις που περιγράφουν τα N, Q, Q, q η παραπάνω εξίσωση µπορεί να επιλυθεί είτε µε αναλυτικές µεθόδους είτε µε αριθµητικές µεθόδους, Για παράδειγµα όταν Q = Q = 0 και για γραµµική δεξαµενή, η (1) γράφεται r p p r dh S ah N ah dt + = + 0 Η λύση της εξίσωσης αυτής δίνεται αναλυτικά από t t τ th () = τ + 0 h t Ne d h () S όπου th =. a Στην γενικότερη περίπτωση η εξίσωση µπορεί να επιλυθεί µε αριθµητικές µεθόδους διακριτοποιώντας ως προς τον χρόνο. Χρησιµοποιώντας εµπροσθοδροµικές διαφορές η (1) γράφεται ( h h ) ( ) t t t AS = A N q + Qr Qp + t t (3) 0

21 οπότε t h = A( N ah + ah ) + Q Q + h t+ t t t 0 r p t AS t (4) Αν είναι γνωστή η αρχική συνθήκη h t = 0, τα h t προκύπτουν διαδοχικά από την (4). Οι παράµετροι Sa, µπορούν να υπολογιστούν µε βαθµονόµηση του µοντέλου. Μοντέλα πολλαπλών κυττάρων Σχήµα 0.3 Υποθέτουµε ότι η ροή είναι µεταξύ κυττάρων και όχι µέσα στο κάθε κύτταρο. 1

22 Χρησιµοποιούµε µέσες οµοιόµορφες συνθήκες σε κάθε κύτταρο Γράφουµε την εξίσωση διατήρησης µάζας για κάθε κύτταρο Προσεγγίζουµε την ροή προς και από το κύτταρο µε τον νόµο του Darcy Καθώς ο αριθµός των κυττάρων Μ γίνεται µεγάλος, τα σφάλµατα λόγω διακριτοποίησης ελαττώνονται και πλησιάζουµε σε «ακριβέστερη» παράσταση του συστήµατος Οι όγκοι νερού που βρίσκονται αποθηκευµένοι στα κύτταρα του συστήµατος δίνονται από τις σχέσεις V1 = S1Ah 1 1 V = SAh V3 = S3A3h 3 (5) Η εξίσωση διατήρησης της µάζας σε κάθε κύτταρο δίνεται από (πχ. για κύτταρο 3) dh3 SA 3 3 = NA Qr3 Qp3+ Q3 (6) dt όπου Q 3 είναι η παροχή που διέρχεται από το κύτταρο προς το κύτταρο 3 και Comment: Page: 14 προσεγγίζεται από την εξίσωση του Darcy από τη σχέση h h Q T W L 3 3 = 3 3 (7) 3 όπου T 3 είναι µια µέση αντιπροσωπευτική µεταφορικότητα µεταξύ των κυττάρων και 3, W 3 είναι το πλάτος του υδροφορέα στην θέση όπου ενώνονται τα κύτταρα και 3 και L 3 είναι η απόσταση µεταξύ των κέντρων των κυττάρων όπως στο σχήµα Σχήµα 0.4. Κάτοψη κυττάρων και 3 όπου ορίζονται τα µήκη W 3 και L 3 Όταν ο υδροφορέας είναι οµοιογενής η αντιπροσωπευτική µεταφορικότητα T3 = T όπου T η οµοιογενής µεταφορικότητα του υδροφορέα. Συνήθως όµως ο υδροφορέας είναι ανοµοιογενής δηλαδή το T είναι συνάρτηση των (x,y). Στην περίπτωση αυτή σαν αντιπροσωπευτική µεταφορικότητα T 3

23 λαµβάνεται ο µέσος όρος των µεταφορικοτήτων των κελιών και 3. Ανάλογα µε τον τύπο του µέσου όρου που επιλέγεται έχουµε για την αντιπροσωπευτική µεταφορικότητα µεταξύ κυττάρων T 3 T + T3 TT 3 = T + T3 TT 3 αριθµητικος αρµονικος γεωµετρικος όπου T i είναι η µέση τιµή της µεταφορικότητας στο κύτταρο i, δηλαδή i Ai (8) 1 Ti = T( x) da A (9) Συνήθως επιλέγεται ο αρµονικός µέσος όρος επειδή δίνει καλύτερες προσεγγίσεις. Αντικαθιστώντας την (7) στην (6) και προσεγγίζοντας την χρονική παράγωγο της (6) µε πεπερασµένες διαφορές παίρνουµε h h h h SA NA Q Q T W (10) t+ t t = 3 3 r3 p3 3 3 t + + L3 tη t+ t Το δεξιό σκέλος της (10) υπολογίζεται στην χρονική στιγµή t (εµπροσθοδροµική διαφορά) ή στην χρονική στιγµή t+ t (οπισθοδροµική διαφορά). Εφαρµόζοντας ανάλογες εκφράσεις για τα κύτταρα 1, και 3 έχουµε το σύστηµα εξισώσεων t+ t t h3 h 3 T3W 3 SA 3 3 = NA Qr3 Qp3+ ( h h3) t L 3 t η t+ t t+ t t h h T3W3 T1 W 1 SA = NA + Qr Qp + ( h3 h) + ( h1 h) t L3 L 1 t+ t t h1 h 1 T1W1 T01W 01 S1A1 = N1A1+ Qr1 Qp1+ ( h h1) + ( h0 h1) t L1 L 01 (11) t η t+ t t η t+ t όπου h 0 είναι οριακή συνθήκη πρώτου τύπου (γνωστό πιεζοµετρικό φορτίο στο ποτάµι). Ανάλογα του αν έχει επιλεγεί εµπροσθοδροµική ή οπισθοδροµική διαφορά καταλήγουµε σε ένα ρητό (explicit) ή πεπλεγµένo (implicit) σύστηµα εξισώσεων. Η γενική έκφραση της (10) για το κύτταρο i γράφεται 3

24 t+ t t hi h Ti 1, iwi 1, i Ti, i 1 W i + i, i+ 1 SA i i = NA i i + Qri Qpi + ( hi 1 hi) + ( hi+ 1 hi) t Li 1, i Li, i+ 1 t η t+ t (1) Χρησιµοποιώντας εµπροσθοδροµικές διαφορές, δηλαδή υπολογίζοντας τις εξισώσεις (1) την χρονική στιγµή t έχουµε το ακόλουθο ρητό σύστηµα SA h 1 1 h SA t t i i t+ t t t t i 1 t i+ 1 i i t hi = Ai Ni + Qri Qpi + + hi + + hi t R i 1, i Ri 1, i R i, i+ 1 Ri, i+ 1 t όπου R L i 1, i i 1, i = ονοµάζεται ειδική αντίσταση. Ti 1, iwi 1, i (13) Χρησιµοποιώντας οπισθοδροµικές διαφορές δηλαδή υπολογίζοντας το δεξιό σκέλος των εξισώσεων (1) την χρονική στιγµή t+ t, παίρνουµε το ακόλουθο πεπλεγµένο σύστηµα t+ t t t SA i i t t h i t+ t hi+ 1 t+ t t+ t t+ t SA i i t hi + + hi = Ai Ni + Qri Qpi + hi t R i 1, i Ri 1, i R i, i+ 1 Ri, i+ 1 t (14) Το σύστηµα (13) γράφεται υπό µορφή πινάκων ως εξής B t+ t t B t h = f + C h t t (15) όπου B διαγώνιος πίνακας µε στοιχεία Bii = SA i i, C τριδιαγώνιος συµµετρικός πίνακας που περιλαµβάνει τις ειδικές αντιστάσεις του υδροφορέα, f στήλη που περιλαµβάνει τις διεγέρσεις του συστήµατος λόγω N, Q, Q καθώς και τις οριακές συνθήκες h 0. Ειδικεύοντας στην περίπτωση του σχήµατος 3 οι όροι του συστήµατος (18) δίνονται από r p 4

25 t t t t h0 AN 1 1 Qr1 Q t p1 h R 01 t t t t t t h = h ; f = AN + Qr Q p t t t t h 3 A3N3 + Qr3 Qp3 (16) R01 R1 R1 SA B 0 SA 0 = ; C = + R1 R1 R3 R SA R3 R3 R34 Αν τα ως εξής t h τη χρονική στιγµή t είναι γνωστά τα t t h + υπολογίζονται από την (15) t+ t 1 t B t h = tb f + C h t (17) Η αντιστροφή του πίνακα B είναι εύκολη επειδή ο πίνακας αυτός είναι διαγώνιος και απλώς πρέπει να αντιστραφούν τα στοιχεία του. Αν και το σχήµα (17) εύκολο από υπολογιστική άποψη δεν είναι πάντα σταθερό σχήµα και απαιτεί το t να είναι σχετικά µικρό για να είναι σταθερό. Για το λόγο αυτό προτιµάται η πεπλεγµένη µορφή που βασίζεται στις εξισώσεις (14) η οποία είναι πάντα σταθερή ανεξαρτήτως του t. Το σύστηµα (14) γράφεται υπό µορφή πινάκων ως εξής B B + C h = f + h t t όπου οι πίνακες ορίζονται πάλι από τις εξισώσεις (16). Αν τα ως εξής t+ t t+ t t t h τη χρονική στιγµή t είναι γνωστά τα (18) t t h + υπολογίζονται από την (18) 1 t+ t B t+ t B t h = + C f + h t t (19) 5

26 Το σχήµα αυτό χρειάζεται αντιστροφή ενός µη διαγώνιου πίνακα. Αν και σχήµα αυτό έχει περισσότερες υπολογιστικές απαιτήσεις από το ρητό σχήµα (17), συνήθως προτιµάται επειδή είναι σταθερό ανεξαρτήτως του χρονικού βήµατος t. Φυσική κατασκευή εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών (ολοκληρωµένες πεπερασµένες διαφορές) Έστω το µέσο πιεζοµετρικό φορτίο στο ορθογώνιο ij είναι φ ij και το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι Aij = xi yj. Η εξίσωση διατήρησης της µάζας για το ορθογώνιο ij γράφεται όπου t t t φ + ij φij ij ij = 1ij + ij 3ij 4ij + rij pij + ij ij A S Q Q Q Q Q Q N A t φ φ = φ φ = i 1, j ij Q1 ij T 1 y i, j j xi 1 + xi ij i+ 1, j Q3 ij T 1 y i+, j j xi + xi+ 1 (0) (1) 6

27 Σχήµα 0.5 και T είναι η µεταφορικότητα αριστερά του i στη σύνδεση µεταξύ των 1 i, j ορθογωνίων i 1, j και ij, ενώ T είναι η µεταφορικότητα δεξιά του i στη + 1 i, j σύνδεση µεταξύ των ορθογωνίων ij και i+ 1, j. Το δεξιό σκέλος της εξίσωσης (0) υπολογίζεται σε χρόνο t (εµπροσθοδροµική διαφορά, ρητό σχήµα), ή t+ t (οπισθοδροµική διαφορά, πεπλεγµένο σχήµα). Αντικαθιστώντας στην (0) παίρνουµε µια εξίσωση της µορφής για το ορθογώνιο ij. φ φ φ φ φ φ AS = T y+ T y+ t+ t t ij ij i 1, j ij i+ 1, j ij ij ij i 1, j j i+ 1, j j t x i 1+ xi xi+ 1+ xi φ φ φ φ + T x + T x + Q Q + N A i, j 1 ij i, j+ 1 ij 1 1 i, j i i, j+ i rij pij ij ij y j 1+ yj yj+ 1+ yj () 7

28 Η σχέση αυτή γράφεται για όλα τα ορθογώνια. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται για την εφαρµογή αυτής της σχέσης στα κελιά που βρίσκονται στα όρια αφού µε την µορφή που έχει γραφεί η () ισχύει µόνο για εσωτερικά κελιά. Οι εξισώσεις αυτές µπορούν γραφούν υπό µορφή πινάκων όπως και προηγουµένως και το σύστηµα επιλύεται µε διαδοχικά χρονικά βήµατα. Οι τιµή της µεταφορικότητας µεταξύ δύο κελιών υπολογίζεται χρησιµοποιώντας συνήθως τον αρµονικό µέσο όρο, δηλαδή T 1 i+, j x + x x + T T i = xi i+ 1 i+ 1 ij i+ 1, j (3) Για xi = x i + 1, η σχέση αυτή γράφεται T i+ 1, j = T TT ij i + 1, j + T ij i+ 1, j (4) T Για φρεάτιους υδροφορείς ισχύει η σχέση () όπου η µεταφορικότητα: = Kh, ( h = βάθος ροής). Η εξάρτηση από το βάθος ροής δηµιουργεί ένα µη γραµµικό σύστηµα και οι τιµές του T = Kh πρέπει να υπολογιστούν µε επαναλήψεις σε κάθε χρονικό βήµα. Η σχέση για τις υδραυλικές αγωγιµότητες K είναι + 1 παρόµοιας µορφής µε τις (3) και (4). i, j Τα πολυκυτταρικά µοντέλα όπως και οι ολοκληρωµένες πεπερασµένες διαφορές δεν µας δίνουν εκτίµηση των σφαλµάτων. Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών που παρουσιάζεται παρακάτω βασίζεται στις διαφορικές εξισώσεις ροής, είναι περισσότερο ακριβής από µαθηµατική άποψη, και έχει τη δυνατότητα να µας δώσει εκτίµηση των σφαλµάτων. 8

29 Εφαρµογές Γραµµικού Προγραµµατισµού στη ιαχείριση Υπόγειων Υδροφορέων Βέλτιστη Χρήση Υπόγειου Υδροφορέα Για ένα συγκεκριµένο υδροφορέα µε γνωστή την συνάρτηση επίδρασης (τεχνολογική συνάρτηση) ij a να καθοριστούν οι βέλτιστες τιµές των αντλήσεων j P σε M πηγάδια ώστε 1) Να µεγιστοποιούνται τα οφέλη (να ελαχιστοποιούνται τα κόστη) ) εν δηµιουργεί σε N κρίσιµα σηµεία πτώσεις στάθµης πάνω από κάποια επιτρεπόµενα όρια 3) Οι αντλήσεις πρέπει να καλύπτουν τις ανάγκες κατανάλωσης 4) Οι αντλήσεις δεν πρέπει να υπερβαίνουν τα όρια των εγκαταστάσεων άντλησης 5) Κλπ. 9

30 Στόχος είναι η βελτιστοποίηση της λειτουργίας του συστήµατος ώστε να καλύπτονται ορισµένοι περιορισµοί που στόχο έχουν την προστασία του συστήµατος Η αντικειµενική συνάρτηση καθώς και οι περιοριστικές συνθήκες είναι γραµµικής µορφής Χρησιµοποιείται η διαφορική εξίσωση κίνησης νερού στον υδροφορέα ή κάποια απλοποίηση της (πχ. Αναλυτική λύση, τεχνολογική συνάρτηση, κλπ). Για M µεταβλητές απόφασης και N περιορισµούς το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού γράφεται max ( η min) z = c1x1+ cx+... cm xm ax i1 1+ ax i +... ax ir r bi, i= 1,... N xj 0, j = 1,..., M x µεταβλητές αποφάσεων (πχ. Ποσότητες άντλησης j από συγκεκριµένες θέσεις του υδροφορέα c j παράµετροι που σχετίζονται µε τις µεταβλητές x j. (πχ. Κόστος άντλησης ανά µονάδα άντλησης από τη θέση j. Στην περίπτωση αυτή το z εκφράζει συνολικό κόστος για όλες τις αντλήσεις) (1.5) 30

31 Οι περιορισµοί προστατεύουν τον υδροφορέα απαγορεύοντας την πτώση στάθµης σε ορισµένα (m ) σηµεία κλειδιά (πχ. διατηρώντας κατάλληλες υδραυλικές κλίσεις δεν επιτρέπουν την διείσδυση στον υδροφορέα νερού χαµηλότερης ποιότητας όπως υφαλµύρωση υδροφορέα). Επίσης επιβάλουν x j 0 Πρέπει a ij να εκφραστούν συναρτήσει υδραυλικής συµπεριφοράς υδροφορέα. 31

32 Αρχή Επαλληλίας Σε ορισµένες περιπτώσεις (πχ. Μόνιµη ροή, γραµµικό πρόβληµα οµογενείς οριακές συνθήκες) ισχύει η αρχή επαλληλίας: λύνουµε υδραυλικό πρόβληµα για µοναδιαίες ποσότητες άντλησης στα σηµεία j = 1,... r και έστω a ij η πτώση στάθµης λόγω άντλησης στη θέση i Έστω P j οι αντλήσεις του υδροφορέα στις θέσεις j = 1,... M Η συνολική πτώση στάθµης στη θέση i είναι το άθροισµα s i M = P και η νέα πιεζοµετρική στάθµη j= 1 j M είναι: hi = hi0 si = hi0 Pa j ij όπου h i0 η στάθµη j= 1 στον υδροφορέα πριν την έναρξη άντλησης Ο περιορισµός σαν h i h µπορεί τώρα να εκφραστεί min, i M M M h Pa h Pa h h Pa b i0 j ij min, i j ij i0 min, i j ij i j= 1 j= 1 j= 1 όπου bi hi0 hmin, i =. Έχει δηλαδή εκφραστεί υπό την µορφή της εξίσωσης (1.5). 3

33 Η επιλογή κατάλληλων περιορισµών (τιµών h min,i ) στόχο έχει την προστασία του υδροφορέα από τις επιπτώσεις της άντλησης. Παραδείγµατα o Οι πιεζοµετρικές στάθµες δεν µπορούν να πέσουν κάτω από τον φυσικό πυθµένα του υδροφορέα o Αποφυγή δηµιουργίας θετικών υδραυλικών κλίσεων και µεταφορά νερού από υδροφορείς µε χαµηλότερη ποιότητα νερού (πχ. Υφαλµύρωση) o Τα πιεζοµετρικά φορτία δεν µπορεί να πέσουν σε υψόµετρα κάτω από τις θέσεις των αντλήσεων. Θεωρήσεις ως προς το κόστος ενέργειας άντλησης που απαιτείται να ανασύρει το νερό από µεγάλα βάθη Υπολογισµός Τεχνολογικής Συνάρτησης Υδροφορέα Όταν ισχύει η αρχή της επαλληλίας η πιεζοµετρική στάθµη στο σηµείο i δίνεται από M h h Pa = i i0 j i, j j= 1 h i η στάθµη του νερού στο σηµείο i µετά από την έναρξη της άντλησης, 33

34 h i0 η στάθµη του νερού στο σηµείο i πριν από την έναρξη της άντλησης P j η ποσότητα άντλησης στο σηµείο j a i, jείναι η πτώση στάθµης στο σηµείο i λόγω µοναδιαίας άντλησης του πηγαδιού j (τεχνολογική συνάρτηση). Οι τιµές των 0 i h περιλαµβάνουν την επίδραση των οριακών συνθηκών, φυσικής τροφοδοσίας και όλες τις µη ελεγχόµενες αντλήσεις και τροφοδοσίες του υδροφορέα. 34

35 Αναλυτικές σχέσεις Για υδροφορέα οµοιογενή και ισοτροπικό και όταν τα πηγάδια άντλησης είναι µακριά από το όρια του υδροφορέα ισχύει από την υδραυλική πηγαδιών s 1 ij R aij = = ln, rij R Pj π T r ij T είναι η µεταφορικότητα του υδροφορέα r ij είναι η απόσταση του θεωρούµενου σηµείου i από το σηµείο άντλησης j R ακτίνα επιρροής πηγαδιού (1.6) Με επίλυση διαφορικών εξισώσεων ροής µε αριθµητικές µεθόδους πεπερασµένες διαφορές πεπερασµένα στοιχεία Με απλά µοντέλα πολλαπλών κυττάρων (παράδειγµα) Άντληση από ένα υδροφορέα που αποτελείται από δύο κύτταρα Οι εξισώσεις διατήρησης µάζας για συνθήκες µόνιµης ροής γράφονται Κύτταρο 1, P1 = 0, P = 0: WT WT NA + ( h 0 h10 ) ( h10 0) 0 L L = 35

36 Κύτταρο, P1 0, P 0 WT = L = = : NA ( h h ) Κύτταρο 1, P1 = 1, P = 0 : WT WT NA 1+ ( h0 a1) ( h10 a11) ( h10 a11 ) = 0 L L Κύτταρο, P1 = 0, P = 1: WT NA 1 ( h0 a ) ( h10 a1 ) = 0 L 36

37 Από τις δύο πρώτες εξισώσεις έχουµε τις αρχικές NL NL συνθήκες: h10 =, h0 = T T Από τις επόµενες εξισώσεις προκύπτουν: L 3L a11 = a1 = a1 =, a = WT WT Εποµένως οι στάθµες νερού µετά την άντληση είναι: ( ) ( ) h1 = h10 Pa Pa 1 h = h0 Pa 1 1+ Pa Πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού Έστω ότι η αντικειµενική συνάρτηση δίνεται από: z = cp + c P 1 1 Όπου c 1, c τα κόστη άντλησης ανά µονάδα άντλησης από τις θέσεις 1 και. 37

38 Ελαχιστοποίηση της: z = cp 1 1+ cp P1+ P D Pa Pa 1 h10 hmin,1 = b1 Με περιορισµούς: Pa + Pa h h = b P 0, P min, 1 Οι περιορισµοί ορίζουν της περιοχή όπου βρίσκεται η λύση του προβλήµατος Για c 1 < c η βέλτιστη λύση είναι το σηµείο Β. Η * * βέλτιστη λύση είναι P1 = D, P = 0 * (οι ανάγκες καλύπτονται εξ ολοκλήρου από άντληση P 1. Για c 1 > c η λύση είναι στο σηµείο Α µε βέλτιστες τιµές * * άντλησης P, P που προκύπτουν από το σχήµα. 1 38

39 Παράδειγµα ιαχείριση αντλήσεων σε ένα υδροφορέα µε 5 κύτταρα Σχήµα υδροφορέα: 10km 10km. Ορθογώνιο µε πλευρές 39

40 Οριακές συνθήκες: Τα τρία όρια του υδροφορέα είναι αδιαπέρατα, Το τέταρτο όριο είναι όριο σταθερού φορτίου (λίµνη) Τροφοδοσία: Από βροχόπτωση N = 100 mm yr Ιδιότητες υδροφορέα: Οµοιογενής µεταφορικότητα T = 1000 m, µόνιµη ροή day hi 0 = m, i= 1,...5 hi 0 = 1.77 m, i= 6,...10 Αρχικές συνθήκες: hi 0 = m, i= 11,...15 πριν hi 0 = 7. m, i= 16,...0 hi 0 =.79 m, i= 1,...5 την έναρξη άντλησης Περιορισµοί: Λόγω της χαµηλής ποιότητας νερού της λίµνης στο όριο πρέπει να διατηρηθούν ορισµένα ελάχιστα όρια στάθµης στον υδροφορέα ώστε να µην έχουµε εισροή νερού από την λίµνη στον υδροφορέα: hmin = m σε απόσταση 1km και hmin =+ 0.95m σε απόσταση 3km Ανάγκες νερού: Οι ανάγκες είναι 6 3 D = m και είναι yr συγκεντρωµένες στη θέση του κυττάρου

41 Κόστος άντλησης: 1 MU 3 m Κόστος µεταφοράς: 0.5 MU 3 m 1000m Λοιπά στοιχεία: Οι πιθανές γεωτρήσεις άντλησης βρίσκονται στις θέσεις j = 6,

42 Ελαχιστοποίηση z = c6p6 + c7p c0p0 Περιορισµοί: P6 + P7 + P P0 = P P P P P P P P0.15 Pj 0, j = 6,7,...0 Λύση (πχ µε πρόγραµµα Solver του excel): 6 3 P13 = m yr 6 3 P16 = m yr 6 3 P17 = m yr 6 3 P18 = m yr 6 3 P19 = m yr 6 3 P 0 = m yr 4

43 43

44 44

45 45

46 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΝΤΛΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ Υ ΡΟΦΟΡΕΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΛΗΨΗ ΥΦΑΛΜΥΡΩΣΗΣ Αριστοτέλης Μαντόγλου Επ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Παναγιώτης Γιαννουλόπουλος ρ. Υδρογεωλόγος Οι ανάγκες για νερό στις παράκτιες περιοχές και τα νησιά αυξάνονται συνεχώς λόγω της βελτίωσης του βιοτικού επιπέδου και της µεγάλης αύξησης του πληθυσµού κατά τους θερινούς µήνες λόγω του τουρισµού. Οι αντλήσεις των υδροφορέων κατά τους θερινούς µήνες είναι εντατικές, πολλές φορές πάνω από τα όρια βιωσιµότητας, µε αποτέλεσµα την υφαλµύρωση των παράκτιων υδροφορέων. Επίσης η τροφοδοσία των υδροφορέων µεταβάλλεται ανάλογα µε τις βροχοπτώσεις και σε περιόδους παρατεταµένης ξηρασίας δεν επαρκεί για την επαναπλήρωση τους. Λόγω των περιορισµένων διαθεσίµων υδατικών πόρων στις παράκτιες περιοχές και τα νησιά, οι υπάρχοντες υδατικοί πόροι είναι πολύτιµοι και θα πρέπει να χρησιµοποιούνται όσο το δυνατό καλύτερα ώστε να προστατευτούν και να συνεχίσουν να καλύπτουν και στο µέλλον τις ανάγκες µε βιώσιµο τρόπο. Η χρήση και αποκατάσταση παράκτιων υδροφορέων πρέπει να αποτελεί µέρος ενός γενικότερου πλαισίου ολοκληρωµένης διαχείρισης των υδατικών πόρων του νησιού ή της παράκτιας περιοχής η οποία περιλαµβάνει τα επιφανειακά καθώς και τα υπόγεια νερά, εξετάζει τα ποσοτικά και ποιοτικά χαρακτηριστικά των υδάτινων πόρων και θεωρώντας τις υπάρχουσες αλλά και τις µελλοντικές ανάγκες καθώς και τη µεταβλητότητα και διαρκή αύξηση των αναγκών ιδιαίτερα κατά τους θερινούς µήνες. Αυτού του είδους η διαχείριση απαιτεί επιστηµονική έρευνα, ανάλυση, µελέτες και σχεδιασµό, κατάλληλη νοµοθεσία και διατάξεις, καθώς και καλή πληροφόρηση και συνεργασία φορέων και πληθυσµού. Στο πλαίσιο της ολοκληρωµένης διαχείρισης υπάρχει ανάγκη να καθοριστούν οι βέλτιστες ποσότητες που µπορούν να αντληθούν από τους υδροφορείς και να καθοριστεί η σχέση αυτή σαν συνάρτηση των γεωµετρικών και υδραυλικών χαρακτηριστικών και παραµέτρων του υδροφορέα καθώς και της κατείσδισης. Για να υπολογιστεί µε ακρίβεια η µέγιστη βιώσιµη άντληση σαν ποσοστό της τροφοδοσίας του υδροφορέα, πρέπει να κατανοηθεί καλά τη λειτουργία του φυσικού συστήµατος και να περιγραφεί µε µαθηµατικά µοντέλα προσοµοίωσης. υστυχώς το σύστηµα είναι πολύπλοκο και είναι πολύ δύσκολο αν όχι αδύνατο να το κατανοήσουµε πλήρως και να το περιγράψουµε επακριβώς µε µαθηµατικές εξισώσεις. Η πολυπλοκότητα του προβλήµατος υφαλµύρωσης παράκτιων υδροφορέων οφείλεται σε παράγοντες όπως οι ακόλουθοι: Α) Ύπαρξη δύο φάσεων ρευστών καθώς και µιας ευρείας ζώνης ανάµιξης (ζώνη υφαλµύρωσης) µεταξύ των δύο υγρών φάσεων, Β) Η κίνηση καθώς και η διασπορά του ενός ρευστού στο άλλο εξαρτάται από την πυκνότητα των ρευστών στην ζώνη υφαλµύρωσης η οποία µεταβάλλεται σαν συνάρτηση του χώρου και χρόνου και εξαρτάται από τις συνθήκες ροής. Αυτή η αλληλεξάρτηση κάνει τις αντίστοιχες εξισώσεις µη γραµµικές και είναι πολύ δύσκολο να επιλυθούν µε αριθµητικές µεθόδους αφού απαιτούνται διαδοχικές προσεγγίσεις και επαναλήψεις. 46

47 Γ) Η περιγραφή του φυσικού φαινοµένου περιπλέκεται ακόµα περισσότερο λόγω της ανοµοιογένειας των υδραυλικών παραµέτρων του υδροφορέα. Ιδιαίτερα σε καρστικούς υδροφορείς η ανάµιξη του γλυκού και αλµυρού νερού είναι εντελώς διαφορετικής φύσης από αυτήν σε οµοιογενείς και ισοτροπικούς πορώδεις υδροφορείς. Η ροή σε καρστ συχνά δεν ακολουθεί το νόµο του Darcy αφού γίνεται σε κοιλότητες και σε ανοίγµατα που είναι συχνά είναι µεγάλων διαστάσεων µε αποτέλεσµα να είναι πολύπλοκη και να µην µπορεί να περιγραφεί µε γενικές διαφορικές εξισώσεις ροής αφού κάθε ιδιαίτερο σύστηµα έχει τη δική του ιδιότυπη συµπεριφορά. Εποµένως, εκτός από τα φυσικά µοντέλα που βασίζονται σε φυσικούς νόµους και διαφορικές εξισώσεις ροής και διασποράς, συχνά αρκούµαστε και σε εµπειρικές σχέσεις ή και σε απλά στατιστικά µοντέλα (µοντέλα µαύρου κουτιού). Είναι χρήσιµο πάντως όπου είναι δυνατόν να χρησιµοποιούµε τα φυσικά µοντέλα αφού βοηθούν να κατανοήσουµε την λειτουργία του συστήµατος. Στόχος της παρούσης εργασίας είναι να παρουσιάσει ένα µοντέλο το οποίο στηρίζεται σε ένα γενικό φυσικό µοντέλο της λειτουργίας παρακτίων υδροφορέων και να το χρησιµοποιήσει στον υπολογισµό ενός βέλτιστου και βιώσιµου προτύπου άντλησης τους. Το µοντέλο περιγράφει τα χαρακτηριστικά κίνησης του νερού στον υδροφορέα σαν συνάρτηση της γεωµετρίας, των υδραυλικών παραµέτρων και της τροφοδοσίας του υδροφορέα και στηρίζεται στη θεωρία του Strack (1976) µε σηµαντικές γενικεύσεις και βελτιώσεις ώστε να µπορούν να περιγραφούν και υδροφορείς µε πεπερασµένο πλάτος και όρια. Στόχος της βελτιστοποίησης είναι η µεγιστοποίηση της συνολικής άντλησης από τον υδροφορέα υπό τον περιορισµό ότι δεν θα κινδυνεύουν από υφαλµύρωση οι γεωτρήσεις ή κάποιες άλλες επιλεγµένες περιοχές του υδροφορέα. Στο Κεφάλαιο παρουσιάζεται συνοπτικά το φυσικό µοντέλο κίνησης υδάτων σε παράκτιους υδροφορείς. Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφεται το µοντέλο βελτιστοποίησης το οποίο ανάλογα µε τους περιορισµούς που έχουν επιλεχτεί είναι ένα πρόβληµα µη γραµµικού ή γραµµικού προγραµµατισµού. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται εφαρµογές του µοντέλου και τα αποτελέσµατα σε έναν τυπικό υδροφορέα στον Ελληνικό χώρο και τέλος στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται τα συµπεράσµατα της έρευνας.. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΚΙΝΗΣΗΣ Υ ΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΚΤΙΟΥΣ Υ ΡΟΦΟΡΕΙΣ Το γενικό πρόβληµα της κίνησης υπογείων υδάτων σε παράκτιους υδροφορείς είναι πολύπλοκο και απαιτεί πάρα πολλές παραµέτρους που δεν είναι δυνατόν να καθοριστούν λόγω της ανοµοιογένειας των παραµέτρων στο χώρο. Εποµένως υπάρχει ανάγκη για κατάλληλες απλοποιήσεις του προβλήµατος ώστε να βγουν ορθά συµπεράσµατα µε βάση τα υπάρχοντας κάθε φορά δεδοµένα. Έχουν προταθεί διαφόρων ειδών προσεγγίσεις στην βιβλιογραφία για την απλοποίηση του προβλήµατος και η συνηθέστερη παραδοχή, που ακολουθήσαµε και στην παρούσα εργασία, είναι παραδοχή του ευδιάκριτου ορίου (sharp interface) µεταξύ αλµυρού και γλυκού νερού θεωρώντας ότι το µέτωπο του αλµυρού νερού έχει πρακτικά σταθεροποιηθεί και δεν µετακινείται. Η προσέγγιση αυτή ισχύει σε συνθήκες που προσεγγίζουν συνθήκες µόνιµης ροής ή µετά από µεγάλους χρόνους από την έναρξη µιας µεταβολής. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την σχέση των Ghyben-Herzberg. Θεωρούµε επίσης ότι ο 47

48 υδροφορέας έχει µια απλή και γνωστή γεωµετρία και γνωστές παραµέτρους και ότι η υδραυλική αγωγιµότητα είναι ισοτροπική και οµοιογενής. Θεωρούµε τον φρεάτιο υδροφορέα µε ελεύθερη επιφάνεια όπως του Σχήµατος 1 και έστω ότι η ροή είναι µόνιµη. Λόγω της κίνησης του νερού από τα ορεινά προς την θάλασσα, το γλυκό νερό πιέζει το θαλασσινό και δεν του επιτρέπει την δίοδο σε µεγάλη απόσταση εντός του υδροφορέα. Θεωρούµε ότι υπάρχει µια διακριτή οριακή επιφάνεια που διαχωρίζει το γλυκό από το θαλασσινό νερό όπως φαίνεται στην κάθετη τοµή του σχήµατος και έστω x τ το σηµείο όπου η επιφάνεια αυτή τέµνει τον αδιαπέρατο πυθµένα του υδροφορέα. Ακολουθώντας την ανάλυση των Stark (1976) και Cheng and Ouazar (1999) έστω bxy (, ) το συνολικό βάθος του γλυκού νερού, ξ ( xy, ) το βάθος του γλυκού νερού ως προς τη στάθµη της θάλασσας, και hf ( x, y ) το πιεζοµετρικό φορτίο στη θέση ( xy., ) Οι µεταβλητές b, ξ, hf είναι εν γένει συναρτήσεις της θέσης ( xy., ) Σχήµα 6. Σχηµατική παράσταση φρεατίου υδροφορέα για τον καθορισµό των παραµέτρων. Στο Σχήµα 1 διακρίνουµε τρεις ζώνες µε διαφορετικά χαρακτηριστικά. Στη ζώνη 1 ο υδροφορέας συµπεριφέρεται ακριβώς όπως ένας φρεάτιος υδροφορέας µε αδιαπέρατο υπόβαθρο. Στη ζώνη θεωρούµε ότι το γλυκό νερό επιπλέει πάνω από το θαλασσινό νερό λόγω διαφοράς βάρους. Η ζώνη 3 περιλαµβάνει τις περιοχές τροφοδοσίας του υδροφορέα στα ορεινά πετρώµατα που θεωρούνται ότι έχουν µεγάλη διαπερατότητα (καρστικά πετρώµατα). Έστω E το εµβαδόν της ζώνης 3 και I η βαθιά διήθηση ανά µονάδα επιφάνειας στην ζώνη αυτή. Η οριζόντια παροχή q ανά µονάδα πλάτους του υδροφορέα που προέρχεται από την τροφοδοσία της ζώνης 3 και κατευθύνεται προς τη θάλασσα είναι q= I Lcatch. Θεωρούµε ότι δεν υπάρχει ανάµιξη µεταξύ γλυκού και θαλασσινού νερού στη ζώνη, δηλαδή ότι υπάρχει µια διακριτή διαχωριστική επιφάνεια µεταξύ γλυκού και θαλασσινού νερού η οποία περιγράφεται από την εξίσωση Ghyben-Herzberg δηλαδή hf d = δ ξ (1.1) 48

49 ρs ρ f ρ όπου δ = = 0.05, και ρ s είναι η πυκνότητα του θαλασσινού νερού ρ f ρ f και ρ f η πυκνότητα του γλυκού νερού. Εξετάζουµε αρχικά την περίπτωση που δεν υπάρχουν αντλήσεις του υδροφορέα. Εφαρµόζοντας την υπόθεση Dupuit, η διαφορική εξίσωση ροής στον φρεάτιο υδροφορέα της ζώνης 1 γράφεται hf hf hf + hf = 0 x x y y (1.) ενώ στη ζώνη η εξίσωση ροής γράφεται hf hf b + b = 0 x x y y (1.3) όπου b είναι το βάθος ροής και ισχύει b= hf ; ζωνη1 b= hf d + ξ ; ζωνη (1.4) οι εξισώσεις (1.) και (1.3) µπορούν να περιγραφούν από τη γενική εξίσωση hf hf b + b = 0 x x y y (1.5) και για τις δύο ζώνες 1 και. Ακολουθώντας τις εργασίες των Strack (1976) και Cheng and Ouazar (1999) ορίζουµε νέο δυναµικό ροής ως εξής 1 φ = hf ( 1 + s) d ; ζωνη1 ( 1+ s) ( hf d ) φ = s ; ζωνη (1.6) Στη θέση του σηµείου επαφής τ όπου η διαχωριστική επιφάνεια γλυκούθαλασσινού νερού συναντά το αδιαπέρατο υπόβαθρο του υδροφορέα ισχύει ξ = d οπότε η (1.1) δίνει ( 1) h = s+ d και οι εξισώσεις (1.6) γράφονται f φ φ ( 1 s) αρ = s d = d δεξ 1+ s + s s 1 ( 1+ s) s = ( 1 + s) d ( 1 + s) d = d (1.7) 49

50 Εποµένως στη θέση τ ισχύει φαρ = φδεξ = φτ, οπότε η νέα συνάρτηση δυναµικού που ορίζεται από τις εξισώσεις (1.6) είναι συνεχής στο όριο µεταξύ των ζωνών 1 και. Από τις εξισώσεις (1.), (1.3) και (1.6) προκύπτει ότι η συνάρτηση δυναµικού φ ικανοποιεί την εξίσωση Laplace φ x φ y + = 0 (1.8) Στο όριο για x = 0 ισχύει ξ = 0, οπότε φ = 0. Η εξίσωση (1.8) µπορεί να επιλυθεί αν γνωρίζουµε τις οριακές συνθήκες του προβλήµατος µε αναλυτικές ή αριθµητικές µεθόδους. Το δυναµικό στο σηµείο επαφής τ προκύπτει εύκολα από τη σχέση (1.7), δηλαδή φ τ ( 1+ s) s = d (1.9) και η θέση του σηµείου επαφής τ υπολογίζεται σαν ο γεωµετρικός τόπος των ( 1+ s) s σηµείων ( xy, ) όπου φ( xy, ) = φ τ = d. Στην περίπτωση που ο υδροφορέας περιορίζεται στην µια πλευρά του από την θάλασσα, αλλά µπορεί να θεωρηθεί ότι στις άλλες κατευθύνσεις είναι απείρων διαστάσεων, και αντλείται από µια µόνο γεώτρηση µε σταθερή παροχή Q w η οποία βρίσκεται σε απόσταση x από την ακτή, προκύπτει σύµφωνα µε τον Strack (1976) και Cheng and Ouazar (1999) το δυναµικό ( xy, ) σχέση w φ δίνεται από τη φ ( xy) ( w ) ( ) q Q x x + y w, = x+ ln K π K x+ xw + y (1.10) όπου Κ είναι η υδραυλική αγωγιµότητα του υδροφορέα. Θέτοντας ( 1+ s) s φ( xy, ) = φ τ = d, προκύπτει ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων επαφής από τη σχέση ( τ w ) ( ) ( 1 ) q Q x x + y s s w τ + xτ + ln d = φ τ = K π K x x τ + w + yτ (1.11) Η εξίσωση (1.11) µπορεί να επιλυθεί ως προς x τ συναρτήσει του y τ µε αριθµητικές µεθόδους. Για µηδενική παροχή άντλησης Q w = 0 η (1.11) δίνει ( 1+ s) sd K xτ = xmin =. Καθώς η παροχή άντλησης αυξάνει έχουµε q µετατόπιση των σηµείων επαφής προς τη θέση του πηγαδιού. Σύµφωνα µε τον 50

51 Cheng and Ouazar (1999), υπάρχει µια κρίσιµη τιµή της παροχής άντλησης Qw = Qc για την οποία δηµιουργείται µια ασταθής κατάσταση των σηµείων επαφής και για µια ελαχίστη αύξηση της παροχής άντλησης Q w, προκύπτει πολύ γρήγορη µετακίνηση της θέσης του σηµείου επαφής σε σηµεία γύρω από το πηγάδι, δηλαδή για Qw Qc επέρχεται γρήγορη υφαλµύρωση του πηγαδιού και καταστροφή του. Η κρίσιµη τιµή της παροχής αυτής είναι και η µεγίστη δυνατή χωρίς να υφαλµυρωθεί το πηγάδι και δίνεται από τον Strack (1976) και Cheng and Ouazar (1999) από τη σχέση Qc 1 1 qxw Qc Q π qx c φτ = 1 + ln K π qxw π K Qc 1+ 1 π qx w w (1.1) όπου το φ τ δίνεται από τη σχέση (1.9). Η (1.1) µπορεί να επιλυθεί ως προς Q c µε αριθµητικές µεθόδους και κατόπιν η κρίσιµη απόσταση x max που αντιστοιχεί στην Q c δίνεται από την σχέση Qc x = τ,max xw 1 π qx (1.13) Όταν τα πηγάδια άντλησης είναι περισσότερα του ενός και αντλούν ταυτόχρονα η λύση προκύπτει σύµφωνα µε τους Cheng and Ouazar (1999) από την αρχή επαλληλίας φ όπου i 1,..., n ( xy) w ( x xi) + ( y yi) ( + ) + ( ) n q Q i, = x+ ln (1.14) K i= 1 4π K x xi y yi = είναι τα πηγάδια στις θέσεις (, ) x y τα οποία αντλούν µε παροχές Q i αντίστοιχα. Αν οι παροχές άντλησης Q i είναι γνωστές µπορούµε να υπολογίσουµε µε αριθµητικές µεθόδους τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων επαφής (x συναρτήσει του y ), θέτοντας στην (1.14) ( xy, ) ( 1+ s) s φ = φ τ = d. Οι παραπάνω σχέσεις των Cheng and Quasar έχουν ισχύ όταν ο υδροφορέας είναι ηµι-απείρων διαστάσεων και το µόνο όριο του υδροφορέα είναι το όριο της θάλασσας. Επειδή στον Ελληνικό χώρο και ιδιαίτερα στα νησιά οι διαστάσεις των υδροφορέων είναι περιορισµένες, έγινε επέκταση του παραπάνω µοντέλου (η εργασία αυτή θα παρουσιαστεί σε επόµενη δηµοσίευση) ώστε να µπορεί να εφαρµοστεί και σε περιπτώσεις όπου οι διαστάσεις του υδροφορέα είναι περιορισµένες. Το γενικευµένο αυτό µοντέλο χρησιµοποιήθηκε στην βελτιστοποίηση του συστήµατος που θα περιγραφεί στο επόµενο κεφάλαιο. Στο Σχήµα φαίνεται ένα παράδειγµα της θέσης του ορίου υφαλµύρωσης όπως προκύπτει από το µοντέλο καθώς και οι ισοϋψείς του διαχωριστικού ορίου i i 51

52 γλυκού-αλµυρού νερού την οριακή στιγµή λίγο πριν και αµέσως µετά την υφαλµύρωση των πηγαδιών ενός υδροφορέα όταν ο υδροφορέας αντλείται από 4 πηγάδια. Παρατηρούµε ότι για µικρή αύξηση της συνολικής ποσότητας άντλησης επέρχεται γρήγορη υφαλµύρωση των πηγαδιών 1 και 4. Σχήµα. Θέση των σηµείων επαφής τ για παροχές αντλήσεων υδροφορέα: 3 Q 1 = 05.00, Q = 5.18, Q 3 = , Q m 4 = και συνολική ηµερα 3 παροχή Q m total = λίγο πριν την έναρξη υφαλµύρωσης των ηµερα πηγαδιών. Σχήµα 3. Θέση των σηµείων επαφής για παροχές αντλήσεων υδροφορέα: 3 Q 1 = 05.00, Q = 5.18, Q 3 = 45.00, Q m 4 = και ηµερα 3 Q m total =, αµέσως µετά την υφαλµύρωση των πηγαδιών. ηµερα 5

53 4. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΝΤΛΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΛΗΨΗ ΥΦΑΛΜΥΡΩΣΗΣ Οι παροχές άντλησης Q i δεν είναι συνήθως γνωστές αλλά πρέπει να υπολογιστούν ώστε να µην υπάρχουν προβλήµατα υφαλµύρωσης στα αντίστοιχα πηγάδια και στον υδροφορέα γενικότερα. Στόχος είναι η µεγιστοποίηση της n συνολικής παροχής άντλησης Qi των πηγαδιών µε τους περιορισµούς xτ,i < xi i= 1 καθώς και ορισµένους περιορισµούς ως προς την βιωσιµότητα και min max λειτουργικότητα εκάστου πηγαδιού Q Q Q, i = 1,..., n. Τα Q και i i i max Q i προκύπτουν από τον τύπο και εξοπλισµό της κάθε µιας γεώτρησης και διάφορα άλλα στοιχεία που µπορεί να είναι γνωστά για τον υδροφορέα και τις υπάρχουσες ανάγκες. Η αντικειµενική συνάρτηση είναι γραµµικής µορφής, όµως οι περιοριστικές συνθήκες xτ,i < xi είναι µη γραµµικές, αφού το x τ,i προκύπτει από την επίλυση ( 1+ s) s µιας εξίσωσης της µορφής ( xy, ) = = d όπου ( xy, ) φ φ τ min i φ δίνεται από την (1.14) Η επίλυση της εξίσωσης αυτής απαιτεί επαναλήψεις σε κάθε διαδοχικό βήµα βελτιστοποίησης της αντικειµενικής συνάρτησης. Όταν ο αριθµός των πηγαδιών είναι µικρός (πχ. µικρότερος του 6-10), η µέθοδος βελτιστοποίησης συγκλίνει σχετικά γρήγορα στην βέλτιστη λύση. Για µεγαλύτερο αριθµό πηγαδιών όµως η σύγκλιση είναι αργή και επειδή η αντικειµενική συνάρτηση έχει πολλαπλά µέγιστα η τελική λύση εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. Για αντιµετώπιση του προβλήµατος αυτού έχει αναπτυχθεί µια νέα µέθοδος η οποία στηρίζεται σε τροποποιηµένες περιοριστικές συνθήκες που απλοποιούν το πρόβληµα βελτιστοποίησης σε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού και το οποίο επιλύεται εύκολα για οποιονδήποτε αριθµό πηγαδιών. Για ένα δίκτυο πηγαδιών που βρίσκεται ήδη σε λειτουργία οι µεταβλητές σχεδιασµού αφορούν µόνο τις παροχές άντλησης Q i. Για σχεδιασµό νέων γεωτρήσεων θα πρέπει να υπολογιστούν ο αριθµός και η θέση των νέων πηγαδιών καθώς και η παροχή άντλησης κάθε πηγαδιού. Το πρόβληµα στην περίπτωση αυτή είναι πιο σύνθετο. 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η µέθοδος βελτιστοποίησης αντλήσεων που περιγράφηκε παραπάνω εφαρµόστηκε σε έναν υδροφορέα του οποίου η γεωµετρία και οι παράµετροι προσεγγίζουν αυτές του υδροφορέα στο Βαθύ της Καλύµνου. Ο υδροφορέας θεωρείται ότι έχει ορθογώνιο σχήµα µε µήκος L = 7000m, και πλάτος b= 3000m, η επιφάνεια τροφοδοσίας είναι Ε= m, και η ετήσια κατείσδιση είναι Ι= 0.15 m. Το βάθος µέχρι το αδιαπέρατο στρώµα είναι d = 5m, και η ετος υδραυλική αγωγιµότητα είναι K = 100 m. Θεωρούµε σε ένα πρώτο ηµερα παράδειγµα ότι υπάρχουν 5 γεωτρήσεις άντλησης στις θέσεις ( x, y ) = (640, 400), (500, 100 ), ( ), (5700, 1350), και (4800, 1350) αντίστοιχα. Οι βέλτιστες παροχές άντλησης που προκύψαν από τη βελτιστοποίηση του συστήµατος φαίνονται στο Σχήµα 4. Και οι 5 γεωτρήσεις είναι εν ενεργεία (δηλαδή 53

54 3 Qi > 0, i = 1,...5 ), και η συνολική άντληση είναι Q m total =. Το Σχήµα ηµερα 5 περιλαµβάνει τρία επιµέρους σχήµατα. Το πάνω σχήµα δείχνει τον φακό του γλυκού νερού που περιορίζεται στο πάνω µέρος του από την από την φρεάτια στάθµη και στο κάτω µέρος του από το διαχωριστικό όριο µεταξύ αλµυρού και γλυκού νερού. Το µεσαίο σχήµα δείχνει τη θέση του σηµείου επαφής τ καθώς και τις ισοϋψείς της διαχωριστικής επιφάνειας. Τέλος το κατώτερο σχήµα δείχνει τις ισοϋψείς του πιεζοµετρικού φορτίου του υδροφορέα ως προς την στλαθµη της θάλασσας. Σχήµα 4. Συµπεριφορά του υδροφορέα για 5 γεωτρήσεις άντλησης µε βέλτιστη παροχή αντλήσεων και µε τροφοδοσία Ι= 0.15 m. Και οι 5 γεωτρήσεις είναι ετος 3 εν ενεργεία και η συνολική άντληση είναι Q m total = ηµερα Σε ένα δεύτερο παράδειγµα θεωρούµε ότι έχουµε 0 γεωτρήσεις άντλησης και ίδια τροφοδοσία Ι= 0.15 m. Τα αποτελέσµατα της βελτιστοποίησης του ετος συστήµατος φαίνονται στο Σχήµα 5 και από τις 0 γεωτρήσεις µόνο 16 είναι εν 3 ενεργεία ενώ η συνολική άντληση είναι Q m total =, είναι δηλαδή ηµερα µεγαλύτερη αυτής του Σχήµατος 4. Αυτό είναι αναµενόµενο αφού στην περίπτωση αυτή το πρόγραµµα βελτιστοποίησης έχει µεγαλύτερη ευελιξία στο να επιλέξει καλύτερη λύση αφού οι γεωτρήσεις είναι περισσότερες. Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση αυτή το όριο µεταξύ γλυκού και αλµυρού νερού έχει µετακινηθεί προς το 54

55 εσωτερικό του υδροφορέα, χωρίς όµως να παραβιάζει (οριακά) την συνθήκη µη υφαλµύρωσης όλων των πηγαδιών. Σχήµα 5. Συµπεριφορά του υδροφορέα µε 0 γεωτρήσεις άντλησης και για βέλτιστη παροχή αντλήσεων, µε τροφοδοσία Ι= 0.15 m. Από τις 0 ετος γεωτρήσεις µόνο 16 είναι εν ενεργεία και η συνολική άντληση είναι 3 Q m total =. ηµερα Σε ένα τρίτο παράδειγµα έγινε διερεύνηση ευαισθησίας του συστήµατος σε ξηρασία. Κρατώντας σταθερές τις αντλήσεις όπως στο Σχήµα 5 που είναι οι βέλτιστες για Ι= 0.15 m και για ελάχιστη µείωση της τροφοδοσίας του υδροφορέα σε ετος Ι= 0.14 m, παρατηρούµε από το Σχήµα 6 ότι το µέτωπο υφαλµύρωσης έχει ετος προχωρήσει αρκετά εντός του υδροφορέα. Καθώς η µείωση της τροφοδοσίας αυξάνεται σε Ι= 0.1 m έχουµε αυξανόµενη εισβολή εντός του υδροφορέα του ετος µετώπου υφαλµύρωσης. Για καταστραφεί. Ι= 0.1 m ο υδροφορέας έχει πρακτικά ετος 55

56 Σχήµα 6. ιερεύνηση ευαισθησίας του συστήµατος σε ξηρασία. Για αντλήσεις όπως στο Σχήµα 5 και για ελάχιστη µείωση της τροφοδοσίας σε Ι= 0.14 m ετος το µέτωπο υφαλµύρωσης έχει προχωρήσει αρκετά εντός του υδροφορέα. 56

57 Σχήµα 7. ιερεύνηση ευαισθησίας του συστήµατος σε ξηρασία. Για αντλήσεις όπως στο Σχήµα 3 και για µείωση της τροφοδοσίας σε Ι= 0.1 m το µέτωπο ετος υφαλµύρωσης έχει προχωρήσει και έχει καταστρέψει τον υδροφορέα. Στο επόµενο παράδειγµα θεωρήσαµε µειωµένη τιµή της τροφοδοσίας Ι= 0.1 m ετος και υπολογίσαµε νέες βέλτιστες τιµές αντλήσεων. Οι τιµές των νέων παροχών άντλησης φαίνονται στο Σχήµα 7. Όπως φαίνεται και από το σχήµα παρά την µείωση της τροφοδοσίας σε Ι= 0.1 m αν οι αντλήσεις µειωθούν ετος 3 ( Q m total = ) µπορεί να προστατευτεί ο υδροφορέας από υφαλµύρωση. ηµερα 57

58 Σχήµα 7. ιερεύνηση ευαισθησίας του συστήµατος σε ξηρασία. Παρά την µείωση της τροφοδοσίας σε Ι= 0.1 m αν οι αντλήσεις µειωθούν ετος 3 ( Q m total = ) ηµερα µπορεί να προστατευτεί ο υδροφορέας από υφαλµύρωση. 5. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το άρθρο παρουσίασε µια µέθοδο για τον υπολογισµό των βέλτιστων αντλήσεων σε παράκτιους υδροφορείς ώστε να έχουµε µέγιστες αντλήσεις και χωρίς κίνδυνο υφαλµύρωσης του υδροφορέα. Η µέθοδος εφαρµόστηκε σε έναν παράκτιο υδροφορέα µε παραµέτρους και χαρακτηριστικά που προσεγγίζουν αυτές του υδροφορέα στο Βαθύ της Καλύµνου. Εξετάστηκαν οι περιπτώσεις 5 και 0 πηγαδιών άντλησης και βρέθηκε ότι από άποψη συνολικής παροχής είναι καλύτερα να έχουµε περισσότερα πηγάδια µικρότερης δυναµικότητας απ ότι λιγότερα πηγάδια µεγάλης δυναµικότητας. Κατόπιν διερευνήθηκε η ευαισθησία του συστήµατος ως προς την τροφοδοσία του υδροφορέα και βρέθηκε ότι αν η τροφοδοσία του υδροφορέα µειωθεί λόγω ξηρασίας κάτω απ αυτήν για πού χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό των βέλτιστων παροχών ενώ οι αντλήσεις συνεχιστούν µε τον ίδιο ρυθµό, το µέτωπο της υφαλµύρωσης εισβάλει πολύ γρήγορα στο εσωτερικό του υδροφορέα και υπάρχει κίνδυνος να τον καταστρέψει. Στις περιπτώσεις αυτές ο ρυθµός αντλήσεων πρέπει να µειωθεί ώστε να προστατευτεί ο υδροφορέας. Επίσης βρέθηκε ότι για µείωση της τροφοδοσίας κατά 0% θα πρέπει οι αντλήσεις να µειωθούν κατά 18% για να προστατευτεί ο υδροφορέας. Η βελτιστοποίηση πρέπει να αφήνει και κάποιο σηµαντικά περιθώρια ασφάλειας και ο υδροφορέας να µην αντλείται εντατικά στο όριο µη υφαλµύρωσης 58

59 αφού στην περίπτωση αυτή κινδυνεύει να υφαλµυρωθεί πολύ γρήγορα µετά από ελάχιστη αύξηση της άντλησης ή µικρή µείωση της τροφοδοσίας. Για να επανέλθει ο υδροφορέας στην αρχική κατάσταση µετά από τοπική ή µικρής κλίµακας υφαλµύρωση θα πρέπει τα πηγάδια άντλησης να σταµατήσουν την δραστηριότητα τους για µια περίοδο ή ακόµα και για πάντα. Στην πρώτη περίπτωση η άντληση µπορεί να ξαναρχίσει µετά από µια περίοδο αλλά µε µικρότερες παροχές άντλησης. Μια µεγάλης κλίµακας υφαλµύρωση του υδροφορέα λόγω υπεράντλησης µπορεί να καταστρέψει τον υδροφορέα για πάντα. Επίσης υπάρχει η δυνατότητα µετεγκατάστασης των πηγαδιών άντλησης (van Dam 1999). Η εγκατάσταση προς το εσωτερικό της παράκτιας ζώνης είναι συνήθως καλύτερη από την εγκατάσταση κοντά στις ακτές ιδίως όταν η επιφανειακή τροφοδοσία προέρχεται κυρίως από τα ορεινά πολύ διαπερατά πετρώµατα. Αυτό επειδή προς το εσωτερικό της ξηράς το πάχος του φακού γλυκού νερού αυξάνεται και ο κίνδυνος υφαλµύρωσης ελαττώνεται αντίστοιχα. Η προς το εσωτερικό εγκατάσταση των πηγαδιών άντλησης επιτρέπει στα πηγάδια να αντλήσουν από µεγαλύτερο βάθος αφού το πάχος της ζώνης γλυκού νερού είναι µεγαλύτερο. Επίσης, λόγω της µείωσης από τις αντλήσεις της υδραυλικής κλίσης του πιεζοµετρικού φορτίου του γλυκού νερού, οι ποσότητες γλυκού νερού που χάνονται προς τη θάλασσα ελαττώνονται. Για τον καθορισµό της βέλτιστης θέσης και των παροχών των γεωτρήσεων θα πρέπει να επιλέξουµε µεταξύ µιας µεγαλύτερης και συνεχούς παροχής πηγαδιών µε µεγαλύτερο ρίσκο να έχουµε προβλήµατα υφαλµύρωσης κάτω από συνθήκες ξηρασίας ή το αντίθετο µιας περισσότερο συντηρητικής και ευέλικτης τακτικής όπου οι αντλήσεις ελαττώνονται όταν η τροφοδοσία του υδροφορέα είναι ελαττωµένη. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Das A. and B. Datta (1997), Development of Management Models for Sustainable use of Coastal Aquifers, J. of Irrigation and Management, Vol. 1, no4, pg Cheng A.H.-D. and Οuazar D. (1999), Analytical Solutions, in Seawater Intrusion in Coastal Aquifers Concepts, Methods and Practices, J. Bear, et al. (eds), Kluwer Academic Publishers, pg Cheng A.H.-D., Halhal D., A. Naji and Οuazar D. (000), Pumping Optimization in Saltwater-Intruded Coastal Aquifers, Water Resour. Res., Vol. 36, No. 8, pg Essaid, H.I. USGS SHARP Model, in Seawater Intrusion in Coastal Aquifers Concepts, Methods and Practices, J. Bear, et al. (eds), Kluwer Academic Publishers, pg Strack, O.D.L., A single Potential Solution for Regional Interface Problems in Coastal Aquifers, Water Resour. Res., 1, , 1976 van Dam J. C. Exploitation, Restoration and Management in Seawater Intrusion in Coastal Aquifers Concepts, Methods and Practices, J. Bear, et al. (eds), Kluwer Academic Publishers, pg