ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ε ΤΑΞΗΣ ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ (ΣΕ ΕΥΡΥΤΕΡΟ ΠΛΑΙΣΙΟ)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΚΟΛΕΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ ΖΑΒΡΑΚΑ ΔΗΜΗΤΡΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2008 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ε ΤΑΞΗΣ ΓΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ (ΣΕ ΕΥΡΥΤΕΡΟ ΠΛΑΙΣΙΟ) ΕΝΟΤΗΤΕΣ: 41: ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ (ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ) 42: ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ (ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ) 43: ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ (ΣΥΝΔΕΣΗ ΜΕ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ) 44: ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ- ΥΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1

2 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 41. ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ 1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ 42. ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ 2 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΩΡΕΣ 43. ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ 2 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΩΡΕΣ 44. ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ- ΥΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΤΕΣΤ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ PROJECT 1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΣΤΟΧΟΙ ΕΝΟΤΗΤΩΝ Οι μαθητές θα πρέπει να είναι ικανοί: Να μην ταυτίζουν τη γωνία με τις πλευρές της ή την κορυφή αλλά με το «άνοιγμα». Να συγκρίνουν τις γωνίες ως προς την ορθή με χρήση του γνώμονα και του μοιρογνωμόνιου. Να χρησιμοποιούν το μοιρογνωμόνιο για να μετρούν και να φτιάχνουν γωνίες. Να ονομάζουν γωνίες χρησιμοποιώντας τα μικρά γράμματα της αλφαβήτας και να χρησιμοποιούν σωστά την ορολογία που αφορά τις γωνίες. Να χρησιμοποιούν τη σωστή ορολογία που αφορά τα τρίγωνα ως προς τις γωνίες τους. Να γνωρίζουν τα είδη γωνιών που περιέχονται σε κάθε διαφορετικό είδος τριγώνου. Να γνωρίζουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 και να εφαρμόζουν τη γνώση αυτή σε προβλήματα. Να χρησιμοποιούν τη σωστή ορολογία που αφορά τα τρίγωνα ως προς τις πλευρές τους. Να αναλύουν ένα σύνθετο σχήμα σε επιμέρους, χρησιμοποιώντας τρίγωνα. Να γνωρίζουν την έννοια της απόστασης σημείου από ευθεία και να την ταυτίζουν με το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος που διέρχεται και από το συγκεκριμένο σημείο. Να μετρούν την απόσταση σημείου από ευθύγραμμο τμήμα. 2

3 Να χαράζουν κάθετες ημιευθείες ή ευθύγραμμα τμήματα από σημείο σε άλλη ημιευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα με τη χρήση του γνώμονα και του χάρακα. Να γνωρίζουν την έννοια του ύψους τριγώνου ως προς την απόσταση μιας κορυφής από την απέναντι πλευρά. Να χαράζουν τα ύψη του τριγώνου με τη χρήση του γνώμονα. ΑΦΟΡΜΗΣΗ Κάθε ενότητα ανοίγει με μια σειρά από ενδιαφέρουσες ερωτήσεις ή πληροφορίες που σχετίζονται άμεσα με το μαθηματικό περιεχόμενο της ενότητας. Σε αυτό το στάδιο της διδασκαλίας δεν προσδοκούμε από τους μαθητές να μας απαντήσουν σωστά. Σκοπός μας είναι να τους προβληματίσουμε και να ακούσουμε τί πιστεύουν γύρω από κάποιες μαθηματικές έννοιες που θα πραγματευτούμε παρακάτω. Δεν διορθώνουμε τυχόν λάθη των μαθητών, αλλά τα έχουμε υπόψη μας και τα αξιοποιούμε αργότερα κατά την επεξεργασία της ενότητας. Ο κεκλιμένος Πύργος της Πίζας είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα μνημεία της Ιταλίας. Είναι γνωστός γιατί δεν σχηματίζει ορθή γωνία με το έδαφος αλλά γέρνει όπως φαίνεται και στη φωτογραφία. Πώς θα τη ζωγράφιζε ένας ζωγράφος; 3

4 Στην παραπάνω ζυγαριά πόσα τρίγωνα σχηματίζονται και τί είδους τρίγωνα είναι; Οι σκεπές των σπιτιών στο χωριό Συρράκο του νομού Ιωαννίνων έχουν τριγωνικό σχήμα. Μια σιδερόπορτα σε αρχαιολογικό χώρο. Τί είδους σχήματα βλέπετε; 4

5 Δραστηριότητα 1: Η Έλενα παρατηρεί τη γωνία που σχηματίζουν ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης στο ρολόι της. Να τη βοηθήσετε να βρει αν η γωνία αυτή είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία στις παρακάτω ώρες: α) 01:15 β)12:05 γ)17:20 β) 03:50 ε)06:42 στ)11:10 ζ) 12:15 Αν τώρα η ώρα είναι τρεις, μετά από πόση ώρα θα σχηματιστεί ορθή γωνία μεταξύ του ωροδείκτη και του λεπτοδείκτη; Δραστηριότητα 2: Σύγκριση γωνιών των πυραμίδων της παραπάνω φωτογραφίας. Με τη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές διαπιστώνουν ότι για να συγκρίνουμε γωνίες δεν μπορούμε εύκολα να το πραγματοποιήσουμε με το μάτι αλλά πρέπει να τις μετρήσουμε με τη βοήθεια του μοιρογνωμόνιου ή με κάποιο τρόπο να τοποθετήσουμε τη μια γωνία πάνω στην άλλη με την κορυφή τους και τη μια πλευρά να συμπίπτουν. Μόνο τότε μπορούμε με ασφάλεια να συγκρίνουμε γωνίες και να διαπιστώσουμε ότι μεγαλύτερη γωνία είναι αυτή που έχει μεγαλύτερο άνοιγμα και όχι μακρύτερες πλευρές. Δραστηριότητα 3: Να βρείτε ποιες από τις επόμενες τιμές αντιστοιχούν σε οξείες και ποιες σε αμβλείες γωνίες: 55, 42, 131, 89, 97, 91, 150, 110, 31, 17, 105 Δραστηριότητα 4: Ζητάμε από ένα παιδί να σταθεί μπροστά στον πίνακα. Τα υπόλοιπα παιδιά εκτιμούν την απόστασή του από τον τοίχο. Χρησιμοποιούμε το σπάγκο στη μέτρηση. Χωρίζουμε τους μαθητές σε ομάδες. Η μία ομάδα μετρά από το μαθητή που στέκεται στον πίνακα προς την αριστερή άκρη του τοίχου, η δεύτερη ομάδα ακριβώς απέναντι (κάθετα) και η τρίτη ομάδα προς την άλλη άκρη. Συγκρίνουμε τα μήκη των τριών σπάγκων. Στη συνέχεια συζητάμε τις διαφορές των αποτελεσμάτων. 5

6 Δραστηριότητα 5: Στην παραπάνω φωτογραφία που απεικονίζεται ο Πύργος της Πίζας να μετρήσετε με το μοιρογνωμόνιό σας τις δύο γωνίες αριστερά και δεξιά που σχηματίζονται μεταξύ του Πύργου και του εδάφους. Τί είδους γωνίες σχηματίζονται; Μπορείτε να σχεδιάσετε δύο τρίγωνα από τις ευθείες που σχεδιάσατε προηγουμένως; Τί είδους τρίγωνα είναι ως προς τις γωνίες και ως προς τις πλευρές; Σχεδιάστε και μετρήστε το ύψος του Πύργου στη φωτογραφία. Δραστηριότητα 6: Στη ζυγαριά της παραπάνω εικόνας σχηματίζονται δύο μεγάλα τρίγωνα (τί είδους τρίγωνα είναι ως προς τις πλευρές;) και τέσσερα μικρότερα (τί είδους τρίγωνα είναι ως προς τις γωνίες;) Δραστηριότητα 7: Σχεδιάστε ποια θα είναι η συντομότερη διαδρομή, αν θέλετε να περάσετε από το ένα πεζοδρόμιο στο άλλο. Δραστηριότητα 8: Ο Ερμής είναι ένας αθλητής του βάδην. Καθημερινά πηγαίνει σ ένα άλσος για να κάνει προπόνηση. Το άλσος έχει σχήμα ισοσκελούς τριγώνου και έχει περίμετρο 206 μέτρα και η μια πλευρά του έχει μήκος 60 μέτρα. Ποια είναι τα μήκη των άλλων δύο ίσων πλευρών; Δραστηριότητα 9: Σε ποια γράμματα του αλφάβητου υπάρχει καθετότητα; Προβληματισμός i)πώς βρίσκω το μέτρο μιας γωνίας ενός τριγώνου, όταν γνωρίζω τις άλλες γωνίες του; ii)πώς βρίσκω το μέτρο δύο γωνιών ενός τριγώνου, όταν γνωρίζω την τρίτη γωνία του και κάποια σχέση που συνδέει μια από τις άγνωστες γωνίες με τη γνωστή; iii) Πώς βρίσκω το μέτρο δύο γωνιών ενός τριγώνου, όταν γνωρίζω την τρίτη γωνία του και κάποια σχέση που συνδέει τις δύο άγνωστες γωνίες; 6

7 Παρατήρηση: Ο Πυθαγόρας βρήκε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με δύο ορθές γωνίες (180 ). Ακολουθούν μερικές διερευνητικές δραστηριότητες. Δουλεύοντας με αυτές οι μαθητές αναπτύσσουν εννοιολογική κατανόηση, παραγωγικό συλλογισμό και διαδικαστική ικανότητα. Κάθε δραστηριότητα χτίζεται σε σχέση με τους μαθηματικούς στόχους και είναι με τέτοιο τρόπο διατυπωμένη, ώστε να ευνοεί το μαθηματικό συλλογισμό και την επικοινωνία μεταξύ των μαθητών. Υπάρχουν επίσης συνδέσεις ενδομαθηματικές ή μεταξύ των Μαθηματικών και άλλων περιοχών γνώσεις που στοχεύουν στην καλύτερη κατανόηση του θέματος. Οι συνδέσεις αυτές εμφανίζονται κάτω από τον τίτλο «το ήξερες αυτό;» ή «Σκέψου κι αυτό». Πρόβλημα 1: Οι αρχιτέκτονες σχεδιάζουν σε κλίμακα τα κτίσματά τους. Για την κατασκευή μιας πλατείας σχήματος τριγώνου γνωρίζουμε το εμβαδόν του που είναι 30 τετραγωνικά μέτρα. Γνωρίζουμε επίσης ότι ότι το ύψος του προς τη βάση του τριγώνου είναι 12 μέτρα ενώ οι δύο ίσες πλευρές του τριγώνου είναι 2 μέτρα μεγαλύτερες. Μπορείς να βρεις την άλλη πλευρά του τριγώνου; Σχεδίασε την πλατεία σε χαρτί μιλιμετρέ, έτσι ώστε κάθε μέτρο να αντιστοιχεί σε ένα εκατοστό. Μέτρησε με το μοιρογνωμόνιό σου τις γωνίες του τριγώνου που σχεδίασες. Τί τρίγωνο είναι ως προς τις γωνίες και τις πλευρές; Για να εκτιμήσεις την περίμετρο της πλατείας που σχεδίασες: - Περικύκλωσε την πλατεία με μια κλωστή και μέτρησε το μήκος της κλωστής. Αφού έχεις βρει το μήκος όλων των πλευρών του τριγώνου, επαλήθευσε το αποτέλεσμα που βρήκες προηγουμένως. Πρόσεξε τις μονάδες μέτρησης. Στο σχέδιο έχουμε σαν μονάδα μέτρησης το εκατοστό, ενώ στην πραγματικότητα μετράμε σε μέτρα. Υπόδειξη: Το εμβαδόν τριγώνου ισούται με το γινόμενο της βάσης επί του ύψους του τριγώνου διά του δύο. 7

8 Εμβαδόν Βάση Ύψος 30 ; 12 Βάση* Ύψος /2 ;* 12 /2 ;*6 Άρα ψάχνω ποιος είναι ο αριθμός που αν τον πολλαπλασιάσω με το έξι θα κάνει 30. ( οι μαθητές της Ε τάξης δεν έχουν μάθει να λύνουν εξισώσεις γι αυτό τους υποδεικνύουμε τον παραπάνω πίνακα για να διευκολυνθούν). Σημείωση: Ο Θαλής ο Μιλήσιος ήταν αυτός που ανακάλυψε ότι οι παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Το ήξερες αυτό; Ερατοσθένης και η περιφέρεια της Γης Ο Ερατοσθένης ήταν από τους πρώτους αρχαίους Έλληνες που κατόρθωσε να μετρήσει την περιφέρεια (και κατ' επέκταση την ακτίνα) της Γης, με καταπληκτική ακρίβεια. Ο τρόπος με τον οποίο εργάστηκε, δείχνει τη μεγαλοφυΐα του. Μια πληροφορία, η μέτρηση μιας απόστασης και ένα ραβδί, ήταν υπεραρκετά για τον 8

9 Ερατοσθένη. Έχοντας πρόσβαση στην βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, κάπου διάβασε ότι την θερινή ισημερία και στις 12 το μεσημέρι, όλα τα αντικείμενα που υπήρχαν στην περιοχή της Συήνης (σημερινό Ασσουάν), δεν σχημάτιζαν σκιά. ότε οι ακτίνες του ηλίου καθρεπτίζονταν στο νερό ενός πηγαδιού, το οποίο ήταν και ιερό για τους ντόπιους. Ο Ερατοσθένης αναρωτήθηκε αν την ίδια ημέρα, συνέβαινε κάτι παρόμοιο και στην Αλεξάνδρεια (που ήταν βορειότερα της Συήνης). Διαπίστωσε ότι κάτι τέτοιο ήταν αναληθές και το ερμήνευσε με την καμπυλότητα της Γης. Η Γη ήταν σφαιρική επιβεβαιωμένα (αν ήταν επίπεδη και δεχόμενοι ότι οι ακτίνες του Ηλίου πέφτουν κάθετα, θα έπρεπε να συμβαίνει κάτι αντίστοιχο και στην Αλεξάνδρεια). Την θερινή ισημερία στην Αλεξάνδρεια, κάρφωσε ένα ραβδί στο έδαφος και μέτρησε τη γωνία της σκιάς, που σχηματιζόταν στις 12 το μεσημέρι. Αυτή ήταν 7,2 0. Αφού η Αλεξάνδρεια και η Συήνη βρίσκονται πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (αυτό προκύπτει από αστρονομικές μετρήσεις, που πιθανόν έκανε ο Ερατοσθένης ή τις βρήκε στην βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας και τις επιβεβαίωσε) οι 7,2 0 αντιστοιχούν στο 1 / 50 του πλήρη κύκλου ( 360 / 7,2 = 50). Το μόνο που χρειάζεται είναι η απόσταση της Συήνης από την Αλεξάνδρεια. Ο Ερατοσθένης μέτρησε αυτήν την απόσταση, χρησιμοποιώντας ένα είδος οδομέτρου με γρανάζια και την βρήκε ίση με 5040 στάδια. Επομένως η περιφέρεια της Γης είναι = στάδια. Αυτή είναι η μεσημβρινή περιφέρεια, αλλά δεχόμενοι τη Γη σαν μια σφαίρα, θα ισούται και με την Ισημερινή περιφέρεια (Σήμερα γνωρίζουμε ότι η Γη δεν είναι τελείως σφαιρική και η ακτίνα της στους πόλους είναι λίγο μικρότερη από την ακτίνα στον ισημερινό). Το ένα στάδιο ήταν ίσο με 159 μέτρα, την Ελληνιστική εποχή στην Αίγυπτο (το στάδιο διέφερε από περιοχή σε περιοχή, αλλά και από εποχή σε εποχή). Άρα η περιφέρεια της Γης σε μέτρα είναι μέτρα. Η πραγματική Ισημερινή ακτίνα της Γης είναι Κm, με αποτέλεσμα η περιφέρεια να ισούται περίπου με μέτρα. Το σφάλμα που έκανε ο Ερατοσθένης είναι απειροελάχιστο (φτάνει το 0,02 %). Βέβαια στην πραγματικότητα ο Ερατοσθένης υπολόγισε την μεσημβρινή περιφέρεια, η οποία σήμερα υπολογίζεται σε μέτρα. Έτσι το σφάλμα ανέρχεται περίπου στο 0,3 %. Εκπληκτικά μικρό για εκείνη την εποχή, όπου δεν υπήρχαν οι υπολογιστές και τα Laser. Πρόβλημα 2: Μπορεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο να είναι ισόπλευρο; Γιατί ναι ή γιατί όχι; Μπορεί ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο να είναι ισόπλευρο; Γιατί ναι ή γιατί όχι; Πειραματιστείτε εξετάζοντας ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο. Πρόβλημα 3: Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες είναι ίσα; Δύο τρίγωνα που έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία είναι ίσα; 9

10 Πρόβλημα 4: Από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρνουμε το κάθετο και ένα πλάγιο ευθύγραμμο τμήμα. Αποδείξτε ότι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα είναι μικρότερο από το πλάγιο. Το ήξερες αυτό; Για τους Πυθαγορείους, ο αριθμός δέκα ήταν ο πιο ιερός αριθμός και τον παρουσίαζαν ταυτόχρονα με τους άλλους πρωταρχικούς αριθμούς, που είναι οι αριθμοί ένα ως εννέα που κατέληγαν στο δέκα, σε ένα ιερό σύμβολο. Ξέρουμε ότι οι Πυθαγόρειοι είχαν ένα μυστικό σύμβολο για να αναγνωρίζουν ο ένας τον άλλον. Αυτό το σύμβολο ήταν ένα σχέδιο δέκα σημείων γνωστό ως Τετρακτύς. Το σύμβολο αποτελούταν από τέσσερα επίπεδα που διαμόρφωναν σε ένα τρίγωνο με μια βάση τεσσάρων σημείων, ακολουθούσε ένα επίπεδο τριών σημείων, μετά ένα με δύο και τελικά ένα σημείο στο ανώτερο επίπεδο του συμβόλου. Αυτό το ιερό σύμβολο στους πυθαγορείους εκφράστηκε έτσι: Η ανάγλυφη παράσταση της Τετρακτύος μπορεί να είχε την προέλευσή της σε μια παράσταση χαλικιών που χρησιμοποιούταν στη μελέτη των μαθηματικών, καθώς επίσης και στο πρώτο γράμμα της λέξης "Δεκάς" που είναι ένα τρίγωνο, το Δ είναι ένα τρίγωνο. 10

11 Το ήξερες αυτό; Ο Θαλής και το ύψος των πυραμίδων Όπως οι περισσότεροι άνθρωποι της εποχής του, έτσι και αυτός μαγεύτηκε από τις μεγάλες πυραμίδες στην Γκίζα της Αιγύπτου. Όταν ταξίδεψε στην Αίγυπτο και είδε τις πυραμίδες, θέλησε να μάθει πόσο ύψος έχουν. Δυστυχώς όμως ακόμα και οι ίδιοι οι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν το ύψος τους. Έτσι όταν τους ρώτησε, του απάντησαν ότι θα κάνουν χρησμό στους θεούς για να τους απαντήσουν. Ευτυχώς βέβαια δε χρειάστηκε να περιμένουμε τους θεούς των Αιγυπτίων, αφού ο Θαλής μέτρησε το ύψος της κάθε πυραμίδας και απέσπασε το θαυμασμό του βασιλιά της Αιγύπτου Άμασι. Για τη μέτρηση του ύψους των πυραμίδων χρησιμοποίησε ένα ραβδί, το οποίο στήριξε κάθετα στο έδαφος δίπλα από τις πυραμίδες. Στη συνέχεια περίμενε μέχρι το μήκος της σκιάς του ραβδιού να γίνει ίσο με το ύψος του. Όταν συνέβη αυτό μέτρησε το μήκος της σκιάς της κάθε πυραμίδας. Προφανώς, τη χρονική στιγμή όπου το μήκος της σκιάς του ξύλινου ραβδιού γινόταν ίσο με το ύψος του, τότε όλα τα αντικείμενα (που ήταν κάθετα τοποθετημένα στο έδαφος) σχημάτιζαν μια σκιά, με μήκος ίσο με το ύψος τους. Οι πυραμίδες δεν αποτελούσαν εξαίρεση και έτσι το ύψος μπορούσε να μετρηθεί από το μήκος της σκιάς τους. Από τότε οι Αιγύπτιοι κατέγραψαν το αποτέλεσμα και δεν βρέθηκαν ποτέ ξανά στη δύσκολη θέση να μην μπορούν να απαντήσουν στο ερώτημα, πόσο ύψος έχουν οι πυραμίδες. 11

12 ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ( ΣΥΝΔΕΣΗ ΜΕ ΣΥΝΘΕΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ) Οι επεκτάσεις/ συνδέσεις βοηθούν τους μαθητές να σταθεροποιήσουν την κατανόησή τους εφαρμόζοντας ιδέες και στρατηγικές που έχουν ήδη μάθει. Επιπλέον θέτουν κάποιους προβληματισμούς που ξεπερνούν την απλή αλγοριθμική εφαρμογή. Οι επεκτάσεις περιλαμβάνουν δραστηριότητες που απαιτούν κριτική στάση απέναντι στη νέα γνώση. Παραπάνω παρουσιάσαμε κάποια προβλήματα που συνδέουν την «είδη των τριγώνων» με την «περίμετρο και το εμβαδόν τριγώνου». Ακολουθεί η σύνδεση των ενοτήτων που πραγματεύονται τα είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και ως προς τις πλευρές με σύνθετα γεωμετρικά σχήματα και γεωμετρικά στερεά. Πώς χαρακτηρίζετε τα τρίγωνα που σχηματίζονται στα παρακάτω σχήματα ως προς τις πλευρές και τις γωνίες τους; Ποιο είναι το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος; 12

13 Δίνονται τα Πλατωνικά στερεά σε σχέση με τα πέντε στοιχεία ή ριζώματα (φωτιά, γη, νερό, αέρας, αιθέρας).τα πρώτα τέσσερα πολύεδρα συμβολίζουν τα τέσσερα δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Η πέμπτη σύσταση δεν φαίνεται να παίζει κάποιο ρόλο κατά τη φάση της δημιουργίας του σύμπαντος και ορίζεται ως Θεϊκή και εμπεριέχουσα των ριζωμάτων ή των παραγόμενων από αυτά στερεών, καθώς τα περιβάλλει και τα ενσωματώνει. Είναι η αρχή της κυκλικής κίνησης των άστρων και της ανθρώπινης ψυχής. - Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο πέμπτο σχήμα; Πυραμίδα που σχηματίζει η σκιά του Ταύγετου κατά την ανατολή αλλά και κατά τη δύση του ηλίου. (Δύση) 13

14 (Ανατολή) Στην σκιά της δύσης σχηματίζεται απλά μια κορυφή με δυο μόνο πλευρές ενώ στην ανατολή έχουμε μια κανονική πυραμίδα ισοσκελή να ίπταται πάνω από την θάλασσα! Γιατί νομίζεις ότι συμβαίνει αυτό; Γνωρίζεις το αστέρι των Πυθαγορείων; Το σύμβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων ήταν το «πεντάγραμμο», το αστέρι δηλαδή που σχηματίζεται από τις πέντε διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου. Αποδεικνύεται ότι κάθε πλευρά του «πενταγράμμου» διαιρεί τις δύο άλλες σε χρυσή τομή. Κάθε γωνία του «πενταγράμμου» είναι Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται μέσα στο αστέρι με κορυφή την γωνία Α; - Πόσα με κορυφή τη γωνία Β; Πόσα με κορυφή τη γωνία Γ; - Ποιο είναι το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών των τριγώνων που βρήκες; 14

15 ΤΕΣΤ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Περιλαμβάνει προβλήματα που επιτρέπουν στους μαθητές να δείξουν τί έχουν κατανοήσει, να εξηγήσουν το συλλογισμό τους, να συνοψίσουν και να συνδέσουν όσα έχουν μάθει. 1. Να ονομάσετε και να μετρήσετε με το μοιρογνωμόνιο τις παρακάτω γωνίες: 2. Να ονομάσετε τις οξείες γωνίες του σχήματος: 15

16 3. Πόσες μοίρες έχουν οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου; 4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία å είναι 80 και η B είναι ίση με τη γωνία Γ. Πόσες μοίρες είναι η Β και η Γ; 5. Η περίμετρος ενός ισόπλευρου τριγώνου ΚΛΜ είναι 24 εκ. Ποιο είναι το μήκος των πλευρών του; 6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 120 και η γωνία Β είναι 90 μικρότερη από τη γωνία Α. Ποιο είναι το μέτρο της γωνίας Γ; 7. Να φέρετε και να μετρήσετε με το χάρακα την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε. 8. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β. Ποιο είναι το μέτρο των γωνιών του τριγώνου; 16

17 9. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΗΘΙ η γωνία Η είναι ίση με το μισό της Ι. Ποιο είναι το μέτρο κάθε γωνίας του τριγώνου; 10. Να σχεδιάσετε τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα και να βρείτε το σημείο τομής των υψών τους. 17

18 11. Να κατασκευάσεις το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΑΒ= 4 εκ, ΑΓ= 3 εκ, Α= Να κατασκευάσεις το ορθογώνιο τρίγωνο ΠΡΣ, το οποίο έχει γωνίες Π=90, Ρ=45 και ΠΡ= 4 εκ. Μόλις το κατασκευάσεις μέτρησε την πλευρά ΠΣ και τη γωνία Σ. Τί παρατηρείς; Εκπόνηση Project Τα project είναι ανοιχτό- κλειστα προβλήματα που δίνουν την ευκαιρία στους μαθητές να εργαστούν ανεξάρτητα, δημιουργικά, με φαντασία και κρίση και να επιδείξουν το βαθμό κατανόησης των θεμάτων που διαπραγματεύεται η ενότητα. Σχεδιασμός περιβολιού Η γιαγιά του Παύλου ψώνισε σπόρους για να φυτέψει άνθη και λαχανικά. Έχει ένα περιβολάκι σχήματος εξαγώνου που η πλευρά του έχει μήκος 6,82 μέτρα. Θέλει να φυτέψει τριανταφυλλιές, μαργαρίτες, μελιτζάνες, κολοκυθάκια, ντομάτες, μαρούλι και σπανάκι. Η γιαγιά πήρε λιγότερους σπόρους για τις τριανταφυλλιές και για τις μαργαρίτες. Ζήτησε από τον εγγονό της, τον Παύλο να τη βοηθήσει να χωρίσει το χώρο του περιβολιού σε ίσες ποσότητες για να φυτέψει τα άνθη και τα λαχανικά. Ο Παύλος χώρισε το περιβολάκι σε έξι ίσες ποσότητες. Αποφάσισε στο 1/6 του περιβολιού να 18

19 φυτέψει τις τριανταφυλλιές και τις μαργαρίτες. Έτσι στο 1/12 του εξαγώνου θα φυτευτούν οι τριανταφυλλιές και στο άλλο 1/12 οι μαργαρίτες. Κάθε 1/6 του περιβολιού που περισσεύει θα φυτευτεί το κάθε λαχανικό ξεχωριστά. - Βοήθησε τον Παύλο να σχεδιάσει το περιβολάκι σε χαρτί μιλιμετρέ. - Με ποιο τρόπο θα χωρίσετε το εξάγωνο σε έξι ίσες ποσότητες; - Τί είδους σχήμα ως προς τις γωνίες και τις πλευρές αντιστοιχεί το κάθε τμήμα γης που έχουμε χωρίσει για να φυτέψουμε τα άνθη και τα λαχανικά; - Πόσα μέτρα συρματοπλέγματος θα χρειαστεί η γιαγιά για να περιφράξει το περιβολάκι; - Ποιο είναι το μέτρο των γωνιών (εσωτερικών) του περιβολιού; - Ποιο είναι το μέτρο των γωνιών (εσωτερικών) κάθε 1/6 του περιβολιού; - Ποιο είναι το μέτρο των γωνιών (εσωτερικών) κάθε 1/12 του περιβολιού; - Στο κέντρο του περιβολιού η γιαγιά θέλει να βάλει μια βρύση για να ποτίζει τα φυτά της. Θεωρήστε τη βρύση σαν σημείο στο χαρτί μιλιμετρέ και σχεδιάστε την απόσταση από τη βρύση μέχρι την άκρη του περιβολιού. Αυτοαξιολόγηση 1. Σχετικά με τα είδη τριγώνων ως προς γωνίες και τις πλευρές, έμαθα ότι Σχετικά με την καθετότητα και το ύψος τριγώνου, έμαθα ότι.. 3. Εδώ είναι κάποια σημεία μα τα οποία ακόμα δυσκολεύομαι Έξυπνες ιδέες/ απορίες/ λάθη που διατύπωσα στην τάξη... 19