Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: ιαγράµµατα Nyquist & Nichols

Transcript

1 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: ιαγράµµατα Nyquist & Nichols 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 6: Ενότητα 6.5 Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 8: Ενότητα 8.5 Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 6 - Ενότητα 6. Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 8 Ενότητα 8. DiStefano [995]: Chapters & 7 Tewari [5]: Chapter : Sections. &. 6 Nicolas Tsapatsoulis

2 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή Τα διαγράµµατα Nyquist και Nichols είναι τεχνικές ανάλυσης συστηµάτων στο πεδίο της συχνότητας. Μας δίνουν πληροφορίες σχετικά µε: το εύρος ζώνης ΒW, την τιµή και συχνότητα συντονισµού Mp και ωp αντίστοιχα, την ευστάθεια τη σχετική ευστάθεια (περιθώρια κέρδους G m και φάσης Φ PM ), ενός συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου Ειδικά τα διαγράµµατα Nyquist παρουσιάζουν τα κατωτέρω πλεονεκτήµατα σε σχέση µε τα αλγεβρικά κριτήρια µελέτης της ευστάθειας ενός συστήµατος: ίνουν πληροφορίες για τη σχετική ευστάθεια (ευρωστεία robustnes του συστήµατος ίνουν πληροφορίες για τη χρονική συµπεριφορά του συστήµατος Μπορούν να χρησιµοποιηθούν και για τη µελέτη ευστάθειας µη γραµµικών συστηµάτων όπως και συστηµάτων µε χρονικές καθυστερήσεις 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή (ΙΙ) Υπάρχουν και κάποια µειονεκτήµατα της χρήσης των διαγραµµάτων Nyquist για τη µελέτη της ευστάθειας κλειστών (κυρίως συστηµάτων) εν µας δίνουν πληροφορίες σχετικά µε πιθανά πολλαπλά µηδενικά της συνάρτησης + στο s. Η ύπαρξη τέτοιων µηδενικών οδηγεί σε αστάθεια το κλειστό σύστηµα (µε συνάρτηση µεταφοράς H ( ) + Σε περίπτωση που το διάγραµµα Nyquist της συνάρτησης βρόχου περνά από το κρίσιµο σηµείο (-,j) τότε το κριτήριο Nyquist δεν µπορεί να εφαρµοστεί για ο αριθµός που το διάγραµµα Nyquist περικλείει το κρίσιµο σηµείο (-,j) είναι απροσδιόριστος 6 Nicolas Tsapatsoulis

3 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήµατα Έστω το κλειστό σύστηµα του σχήµατος: Ως γνωστό το κλειστό σύστηµα έχει συνάρτηση µεταφοράς: H ( + θεωρούµε τη συνάρτηση µεταφοράς: W ( + Έστω ότι η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου είναι ρητή συνάρτηση και έχει τη µορφή: K s ( s + z )( s + z )...( s + z j ( s + p )( s + p )...( s + p ) ) m k τότε η συνάρτηση W ( + θα έχει τη µορφή: j s ( s + p)( s + p)...( s + pk ) + K ( s + z)( s + z)...( s + zm ) W ( ( s + p )( s + p )...( s + p ) k 6 Nicolas Tsapatsoulis Είναι φανερό ότι: ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήµατα (ΙΙ) Η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου και η συνάρτηση W( έχουν διαφορετικούς πόλους. Η συνάρτηση µεταφοράς H( του κλειστού συστήµατος έχει πόλους τα µηδενικά της συνάρτησης W( Αν η συνάρτηση βρόχου έχει πόλους στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο αυτό δεν σηµαίνει υποχρεωτικά ότι και το κλειστό σύστηµα έχει πόλους στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο (και εποµένως είναι ασταθές) Η συνάρτηση W( µηδενίζεται όταν η συνάρτηση βρόχου παίρνει τη τιµή - Στις διαγραµµατικές τεχνικές ανάλυσης κλειστών συστηµάτων διερευνάται συνήθως η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου και η συµπεριφορά της ως προς το σηµείο (-, j) το οποίο ονοµάζεται κρίσιµο σηµείο επειδή µηδενίζει τη συνάρτηση µεταφοράς βρόχου Παράδειγµα: ( s + ) Έστω, s + εποµένως, H ( s( s.5) s( s.5) s +.5s + Η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου έχει πόλους στο s και στο s.5 (δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο). Αντίθετα το κλειστό σύστηµα έχει πόλους στο s-.5 + j.97 και στο s-.5 - j.97, αµφότερες στο αριστερό µιγαδικό επίπεδο (ευσταθές κλειστό σύστηµα) 6 Nicolas Tsapatsoulis

4 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήµατα (ΙΙΙ) Για τη διατύπωση του κριτηρίου του Nyquist καθώς και για τη µελέτη των διαγραµµάτων Nyquist χρειάζονται κάποια βασικά θεωρήµατα για τις µιγαδικές συναρτήσεις: Θεώρηµα : ( s + z Έστω µια µιγαδική ρητή συνάρτηση W( της µορφής )( s + z)...( s + zm) W( K ( s + p )( )...( ) η οποία είναι αναλυτική (δηλαδή ορίζεται η παράγωγος της) s + p s + pk για όλα τα σηµεία ενός τυχαίου κλειστού δρόµου Γ( (βλέπε σχήµα επόµενη σελίδα) τότε:. Η συνάρτηση W( διαγράφει επίσης ένα κλειστό δρόµο Γw στο επίπεδο (Im(W(, Re(W(). Ο κλειστός δρόµος Γw περικλείει την αρχή των αξόνων Ν Ζ-P φορές, όπου Z ο αριθµός των µηδενικών της συνάρτησης W( που περικλείονται από τον κλειστό δρόµο Γ( P ο αριθµός των πόλων της συνάρτησης W( που περικλείονται από τον κλειστό δρόµο Γ(. Αν Ν> τότε η φορά διαγραφής του κλειστού δρόµου Γw συµπίπτει µε τη φορά διαγραφής του Γs ενώ αν Ν< ο κλειστός δρόµος Γw έχει αντίστροφη φορά διαγραφής από τον Γs 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Μιγαδικές Συναρτήσεις & Θεωρήµατα (ΙV) An example of a closed path Γ( in s-plane C losed path Γw of complex function W( in W-plane Γ( Γw Im(W() - s σ Re(W () 6 Nicolas Tsapatsoulis 4

5 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα.8.6 C losed path Γw of complex function W( in W-plane Η απεικόνιση του κλειστού δρόµου Γ(: s (βλέπε σχήµα κάτω) στο επίπεδο της συνάρτησης W( δίνεται στο σχήµα δίπλα. Im(W( ) Η µορφή της συνάρτησης W( είναι: as + bs + c W ( s + 6.5s + Να βρεθούν ο αριθµός των µηδενικών της συνάρτησης W( που έχουν µέτρο µικρότερο από. -.4 Closed path Γ( in s-plane Re(W () Nicolas Tsapatsoulis σ ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα (συν) Με βάση το διάγραµµα της W( στο επίπεδο W (κλειστός δρόµος Γw) παρατηρούµε ότι η αρχή των αξόνων περικλείεται µια φορά από τον κλειστό δρόµο Γw. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα ο αριθµός ΝΖ-P θα είναι ίσος µε (αφού έχουµε ίδια φορά διαγραφής του Γw µε το Γ( το Ν θα είναι θετικό). Ζ είναι το πλήθος των µηδενικών της W( που περικλείονται από τον κλειστό δρόµο Γ(: s (δηλαδή µηδενικά µε µέτρο µικρότερο από ) P είναι το πλήθος των πόλων της W( που περικλείονται από τον κλειστό δρόµο Γ(: s (δηλαδή πόλοι µε µέτρο µικρότερο από ) Από τον παρονοµαστή της W( βλέπουµε ότι έχουµε δύο πόλους τους p -6 και p -.5. Άρα ένας πόλος έχει µέτρο µικρότερο από εποµένως P. Εφόσον ΝΖ-P > Ζ, δηλαδή έχουµε δύο µηδενικά µε µέτρο µικρότερο από. 6 Nicolas Tsapatsoulis 5

6 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Κριτήριο Ευστάθειας του Nyquist Το κριτήριο ευστάθειας του Nyquist χρησιµοποιεί το Θεώρηµα για να αποφανθεί για την ευστάθεια ενός κλειστού συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς: H ( + W ( Επειδή ένα σύστηµα είναι ευσταθές όταν δεν έχει πόλους στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο ο δρόµος Γ( ορίζεται έτσι ώστε να περιλαµβάνει δεξιόστροφα όλο το δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο. Ο κλειστός δρόµος που περιγράφηκε παραπάνω ονοµάζεται δρόµος Nyquist και συµβολίζεται µε Γ Ν. Ο δρόµος Nyquist σχηµατίζεται ως εξής: Ξεκινά από s-j και καταλήγει σε s+j Από το s+j διαγράφει ηµικύκλιο µε ακτίνα R-> επιστρέφοντας στο s-j Ο δρόµος Γw της W( (στο επίπεδο W) που αντιστοιχεί στον δρόµο Γ N αποτελεί το διάγραµµα Nyquist της W( 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Κριτήριο Ευστάθειας του Nyquist (ΙΙ) Το κριτήριο ευστάθειας του Nyquist διατυπώνεται ως εξής: Έστω ότι η συνάρτηση W( + δεν έχει πόλους στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο τότε για να είναι το κλειστό σύστηµα H ( + W ( ευσταθές πρέπει το διάγραµµα Nyquist της W( διαγραφόµενο κατά τη φορά διαγραφής του δρόµου Nyquist Γ Ν (ωρολογιακή φορά) να µην περικλείει (δεξιόστροφα) την αρχή των αξόνων. Ισοδύναµα: Για να είναι το κλειστό σύστηµα µε συνάρτηση H( ευσταθές θα πρέπει το διάγραµµα Nyquist της συνάρτησης µεταφοράς βρόχου (η οποία δεν περιέχει πόλους στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο) διαγραφόµενο κατά τη φορά διαγραφής του δρόµου Nyquist να µην περικλείει (δεξιόστροφα) τo κρίσιµο σηµείο (-,j) 6 Nicolas Tsapatsoulis 6

7 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Im() R e() Το διάγραµµα Nyquist της συνάρτησης µεταφοράς βρόχου του διπλανού κλειστού συστήµατος δίνεται στο διάγραµµα του σχήµατος. Να διερευνηθεί η ευστάθεια του συστήµατος. Λύση: Το διάγραµµα Nyquist δεν περιέχει (δεν περικλείεται στα δεξιά του διαγράµµατος) το κρίσιµο σηµείο. Εποµένως το κλειστό σύστηµα θα είναι ευσταθές αν οι πόλοι της δεν βρίσκονται στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο Οι πόλοι της είναι p και p -. Κανένας εκ των δύο δεν βρίσκεται εντός του δεξιού µιγαδικού ηµιεπίπεδου, άρα το σύστηµα είναι ευσταθές 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙ Im( ) R e(s )) Το διάγραµµα Nyquist της συνάρτησης µεταφοράς βρόχου του διπλανού κλειστού συστήµατος (Κ5* 6 ) δίνεται στο διάγραµµα του σχήµατος. Να διερευνηθεί η ευστάθεια του συστήµατος. Να βρεθεί το πλήθος των µηδενικών της συνάρτησης W(+ που βρίσκονται στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο. Λύση: Το διάγραµµα Nyquist περικλείει το κρίσιµο σηµείο (-,j) δύο φορές (Ν). Εποµένως το κλειστό σύστηµα θα είναι ευσταθές αν οι πόλοι της δεν βρίσκονται στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο Οι πόλοι της είναι p p p - και κανένας εξ αυτών δεν βρίσκεται εντός του δεξιού µιγαδικού ηµιεπίπεδου, άρα το σύστηµα είναι ασταθές και η συνάρτηση W(+ έχει δύο µηδενικά στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο 6 Nicolas Tsapatsoulis 7

8 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Συστήµατα Ελάχιστης Φάσης Imaginary Axis Pole-Zero Map Real Axis Ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς H( είναι ελάχιστης φάσης όταν δεν έχει ούτε πόλους ούτε µηδενικά στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο Το διάγραµµα του σχήµατος φαίνεται απεικονίζει τους πόλους (+) και τα µηδενικά (ο) της συνάρτησης µεταφοράς s.5s H ( s + Η παραπάνω συνάρτηση µεταφοράς δεν είναι ελάχιστης φάσης γιατί έχει ένα µηδενικό στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο 6 Nicolas Tsapatsoulis Im() R e(s )) ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Γενικό Θεώρηµα Nyquist (ΙΙ) Αν η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου ενός κλειστού συστήµατος δεν είναι ελάχιστης φάσης και έχει P πόλους στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο τότε το κλειστό σύστηµα είναι ευσταθές αν το διάγραµµα Nyquist της συνάρτησης βρόχου περικλείει το κρίσιµο σηµείο (-,j) P φορές (δηλαδή το περικλείει P φορές εξ αριστερών κατά τη διαγραφή του κλειστού δρόµου Γ Ν ) Έστω, s + εποµένως s( s.5) ( s + ) s( s.5) Η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου δεν είναι ελαχίστης φάσης καθώς έχει ένα πόλο στο s.5 (δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο). Το κλειστό σύστηµα είναι όµως ευσταθές γιατί περικλείει µια φορά αριστερόστροφα το σηµείο (-,j) 6 Nicolas Tsapatsoulis 8

9 .6.4 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Γενικό Θεώρηµα Nyquist: Παράδειγµα Έστω, s + εποµένως ( s + )( s.) ( s + ) ( s + )( s.) Im() Η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου δεν είναι ελαχίστης φάσης καθώς έχει ένα πόλο στο s. (δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο). Το κλειστό σύστηµα είναι ασταθές γιατί δεν περικλείει µια φορά αριστερόστροφα το σηµείο (-,j) (το περιέχει µια φορά αλλά εξ δεξιών) Re() 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιαγράµµατα Nyquist Τα διαγράµµατα Nyquist δεν είναι εύκολο να κατασκευαστούν στη πράξη. Στη συνέχεια δίνουµε τις µορφές των διαγραµµάτων για διάφορες µορφές της συνάρτησης µεταφοράς βρόχου Σηµειώνεται ότι τα διαγράµµατα Nyquist είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα του πραγµατικού µέρους της συνάρτησης που απεικονίζεται. Συνάρτηση µεταφοράς βρόχου της µορφής: s + K.5.8 K K-. K...5 Im() -. K. Im() R e() Nicolas 5 Tsapatsoulis R e() 9

10 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιαγράµµατα Nyquist (ΙΙ) Συνάρτηση µεταφοράς βρόχου της µορφής: s ω + ζω s + ω.5.5 -ωo zita z.5, ωo.5 System: h Real:.949 Imag: Frequency (rad/sec): -.5 z.5, ωo.5.5 Im() -.5 Im() -.5 z.75, ωo System: h Real:.6 Imag: - Frequency (rad/sec): ωo R e(s )) R e(s )) 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Να εξεταστεί η ευστάθεια του κλειστού συστήµατος του σχήµατος αν: R( s + s s + Im() Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου είναι: s + R( s s + Παρατηρούµε ότι δεν είναι ελαχίστης φάσης καθώς έχει δύο συζυγείς µιγαδικούς πόλους στα s.5+j. και s.5-j. (δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο). Το κλειστό σύστηµα είναι όµως ευσταθές γιατί περικλείει δύο φορές αριστερόστροφα το σηµείο (-,j) R e() 6 Nicolas Tsapatsoulis

11 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Περιθώριο Κέρδους και Φάσης Από τα διαγράµµατα Nyquist µπορούµε να εξάγουµε συµπεράσµατα σε σχέση µε τη σχετική ευστάθεια (ευρωστία) του κλειστού συστήµατος µε τη βοήθεια του περιθωρίου κέρδους G m (Gain Margin) και του περιθωρίου φάσης Φ PM (Phase Margin) Έστω ω c η συχνότητα κατά την οποία το διάγραµµα Nyquist τέµνει τον άξονα Re(). Η συχνότητα ω c ονοµάζεται κρίσιµη συχνότητα. Το Περιθώριο κέρδους G m (Gain Margin), δίνεται από τη σχέση G m log c ) c ) Έστω ω η συχνότητα κατά την οποία το διάγραµµα Nyquist τέµνει τον µοναδιαίο κύκλο ( ) ) ) και έστω φ η αντίστοιχη γωνία (φarg( ) )) της συνάρτησης )) στο συγκεκριµένο σηµείο. Το Περιθώριο φάσης Φ PM (Phase Margin), δίνεται από τη σχέση Φ ( ) )) 8 + φ 8 arg PM + 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να υπολογίσετε τα περιθώρια κέρδους και φάσης για K.5x 6. ΑΠ. Η συνάρτηση βρόχου είναι K R( ( s + ) Οι πόλοι της είναι p p p - (δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπδο), µηδενικά δεν έχει, εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου είναι ελαχίστης φάσης, άρα τα περιθώρια κέρδους και φάσης µπορούν να µας δώσουν πληροφορίες για τη σχετική ευστάθεια του συστήµατος 6 Nicolas Tsapatsoulis

12 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι (συν): Περιθώριο φάσης 4 Phase Margin Η συχνότητα ω στην οποία το διάγραµµα της συνάρτησης βρόχου τέµνει τον µοναδιαίο κύκλο είναι περίπου ω 54 rad/sec. Im() - System: h Real: -.96 Imag: -.8 Frequency (rad/sec):.54e+ Η φάση στη συχνότητα ω 54, είναι φ arg( ) ))-6 ο Άρα το περιθώριο φάσης είναι Φ PM o ( ) )) 8 8+ arg R e(s )) 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι (συν): Περιθώριο κέρδους 4 Gain Margin Η συχνότητα ω c στην οποία το διάγραµµα τέµνει τον άξονα Re() είναι ω c 8 rad/sec. Im() - System: h Real: -.65 Imag: Frequency (rad/sec):.8e+ To πλάτος της συνάρτησης µεταφοράς βρόχου στη συχνότητα ω c είναι G ( c )F ( c ).65 Άρα το περιθώριο κέρδους είναι: Gm log c ) c ) 4. db R e(s )) 6 Nicolas Tsapatsoulis

13 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙI Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να υπολογίσετε τα περιθώρια κέρδους και φάσης αν: s s + R( s + Λύση s + Η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου είναι: R( s s + Παρατηρούµε ότι δεν είναι ελαχίστης φάσης καθώς έχει δύο συζυγείς µιγαδικούς πόλους στα s.5+j. και s.5-j. (δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο). Το κλειστό σύστηµα είναι όµως ευσταθές γιατί περικλείει δύο φορές αριστερόστροφα το σηµείο (-,j) Για συστήµατα µη ελάχιστης φάσης τα περιθώρια κέρδους και φάσης δεν µπορούν να µας δώσουν ασφαλείς ενδείξεις για τη σχετική ευστάθεια του συστήµατος 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙI(συν): Περιθώριο φάσης.5.5 Phase Margin Η συχνότητα ω στην οποία το διάγραµµα της συνάρτησης βρόχου τέµνει τον µοναδιαίο κύκλο είναι περίπου ω 66 rad/sec. Η φάση στη συχνότητα ω 66, είναι Im(s )s )) System: h Real: Imag: -.66 Frequency (rad/sec):.66 φ arg( ) ))-9 ο Άρα το περιθώριο φάσης είναι Φ PM o ( ) )) 4 8+ arg R e(s )) 6 Nicolas Tsapatsoulis

14 Im() System: h Real: - Imag:.454 Frequency (rad/sec):.7 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙ (συν): Περιθώριο κέρδους Gain Margin R e() Η συχνότητα ω c στην οποία το διάγραµµα τέµνει τον άξονα Re() είναι ω c 7 rad/sec. To πλάτος της συνάρτησης µεταφοράς βρόχου στη συχνότητα ω c είναι G ( c )F ( c ) Άρα το περιθώριο κέρδους είναι: G log ) ) db m c c 6 από το οποίο προκύπτει ότι το σύστηµα είναι ασταθές κάτι που όµως δεν ισχύει. Στη πραγµατικότητα όµως το περιθώριο κέρδους είναι: G m 6db 6 Nicolas Tsapatsoulis 4