Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου"

Αοιδή Κεδίκογλου
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέµα 1 Α) Να αποδείξετε την σχέση: Ρ(Α ) 1 Ρ(Α) Β) Να δώσετε τον ορισµό της νιοστής ρίζας ενός µη αρνητικού αριθµού α. Γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση. α. Αν α < β και γ < δ τότε αγ < βδ Σ Λ β. Μια εξίσωση ου βαθµού έχει ρίζες αντίθετες όταν Ρ 0 Σ Λ γ. Ισχύει ότι d (x, 4) 4 x Σ Λ δ. Η απόσταση των σηµείων Α(x 1,y 1 ) και B(x,y ) δίνεται από τον τύπο Σ Λ (Μονάδες ανά ερώτηµα) Δ) Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας τις παρακάτω σχέσεις και να της συµπληρώσετε. α. Ρ(Ω)... β. Ρ( )... γ.... Ρ(Α)... Θέµα (ΑΒ) x 1 y 1 ( ) + ( x y ) Δίνεται η συνάρτηση f (x) x 3x x Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) Β) Να απλοποιήσετε την συνάρτηση f(x) Γ) Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες: P(A) 6 f (0), P(B) f ( ) 7 f (4) και P(A B) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες να πραγµατοποιείται: α. Ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α, Β β. Μόνο το ενδεχόµενο Α γ. Κανένα από τα Α και Β (Μονάδες 3)

2 Θέµα 3 Δίνεται η εξίσωση: λ (x 1) 3(3x 1) + λ (1) Α) Να λύσετε την εξίσωση (1) για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ Β) Για την τιµή του λ που βρήκατε ώστε η εξίσωση (1) να είναι αδύνατη, να λύσετε την ανίσωση: x λ 1 + ( 5λ 5x) λ + 7 Γ) Για την τιµή του λ που βρήκατε ώστε η εξίσωση (1) να είναι αόριστη, να λύσετε την εξίσωση: (3x + λ) 8 x Δ) Αν x 0 είναι η µοναδική λύση της εξίσωσης (1) και λ, να δείξεις ότι τα ( ) σχηµατίζουν σηµεία Α( x 0, 4), Β(6x 0, 3) και Γ ( x 0 + ) 01, 0 ορθογώνιο τρίγωνο. Θέµα 4 Δίνεται η εξίσωση: λx (λ+)x + λ + 1 0,λ 0 (1) Α) Για ποιές τιµές του πραγµατικού αριθµού λ η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες; Β) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις συναρτήσει του λ. S x 1 + x και P x 1 x, όπου x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης (1) Γ) Να βρείτε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ έτσι ώστε ο αριθµός 5 να είναι αριθµητικός µέσος των S και Ρ που βρήκατε στο ερώτηµα β). Δ) Έστω ενδεχόµενο Α δειγµατικού χώρου Ω και η πιθανότητα του Ρ(Α) x 1 x + x 1 x (), όπου x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης (1). Για ποιές τιµές του πραγµατικού αριθµού λ ορίζεται η ισότητα ()

3 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Θέµα 1 Α) Σχολικό βιβλίο σελ. 33 Β) Σχολικό βιβλίο σελ. 70 Γ) α. Λ β. Λ γ. Σ δ. Λ Δ) α. Ρ(Ω) 1 β. Ρ( ) 0 γ. 0 Ρ(Α) 1 Θέµα Α) Εφόσον έχουµε κλάσµα πρέπει ο παρονοµαστής να είναι διάφορος από το µηδέν. Δηλ. 1 x 0 x 1. To πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι Β) Παραγωγίζουµε το τριώνυµο: x 3x + 5 Με α, β 3 και γ 5 Δ ( 3) 4 ( ) x 1, 3 ± Α { 1} Οπότε η συνάρτηση f(x) γίνεται: x 1 f (x) x 3x x x 1 ( ) x + 5 ( ) x + 5 x + 5 Γ) Έχουµε f(0) f( ) ( ) f(4) Οπότε P(A) 6 f (0) 6 5 P(A B) 3 7 f (4) f ( ), P(B) και α. β. γ. P(A B) P(A) + P(B) P(A B) P(A B) P(A) P(A B) P ( A B) 1 P(A B) 1 1 1

4 Θέµα 3 Α) λ (x 1) 3(3x 1) + λ λ x λ 9x 3 + λ λ x 9x λ + λ 3 (λ 3)(λ + 3)x (λ 1)(λ + 3) Διακρίνουµε περιπτώσεις για τον συντελεστή του αγνώστου Αν (λ 3)(λ + 3) 0 λ 3 και λ 3 Τότε έχουµε µοναδική λύση την: x λ 1 λ 3 ( )( λ + 3) ( )( λ + 3) x λ 1 λ 3 Αν (λ 3)(λ + 3) 0 λ 3 και λ 3 (ι) Για λ 3 έχουµε: 0x (3 1)(3 + 3) 0x 1 Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη (ιι) Για λ 3 έχουµε: 0x ( 3 1)( 3 + 3) 0x 0 Άρα η εξίσωση είναι αόριστη Β) Η εξίσωση (1) είναι αδύνατη για λ 3 οπότε µε αντικατάσταση η ανίσωση γίνεται: x λ 1 + 5λ 5x x 3 1 ( ) λ + 7 λ3 x ( 15 5x) x 16 x x 3 11 x 3 33 x x x x 14 Γ) Η εξίσωση (1) είναι αόριστη για λ 3 οπότε µε αντικατάσταση η εξίσωση γίνεται: (3x 3) 8 x (x 1) 8 x Θέτω x 1 ω 0 και έχουµε 9ω 8ω 1 0 Με α 9, β 8 και γ 1 ( ) 4 9 ( 1) Δ 8 ω 1, 8 ± Για ω 1 1 έχουµε x 1 1 x 1 1 ή x 1 1 x ή x 0 Το ω 1/9 απορρίπτεται Δ) Έχουµε: x 0 λ 1 λ λ Οπότε x 0 1 1, 6x 0 6 ( 1) 6 και ( ) 01 ( 1+ ) x 0 + Αρά τα σηµεία είναι Α(1,4), Β( 6, 3) και Γ(, 0) Για να είναι το τρίγωνο ορθογώνιο θα πρέπει να ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήµατος.

5 ( ΑΒ) ( 6 1) + ( 3 4) ( ΑΓ) ( 1) + ( 0 4) ( ΒΓ) ( + 6) + ( 0 3) Θέµα 4 ( ) ( ΑΓ) + ( ΒΓ) Από το Π.Θ. έχουµε: ΑΒ Πράγµατι είναι ορθογώνιο τρίγωνο µε Γ 90 ο Α) Για να έχει η εξίσωση (1) πραγµατικές ρίζες πρέπει Δ 0 Δ (λ + ) 4λ(λ+1) Δ λ + 4λ + 4 4λ 4λ Δ 3λ + 4 Ελέγχουµε που µηδενίζεται η διακρίνουσα για τον πίνακα προσήµων Δ 0 3λ λ λ 4 λ 3 4 λ ± 3 4 λ ± 3 Πίνακας Προσήµων: λ λ Όµως λ 0 άρα λ 3, 0 0, 3 (3) B) S x 1 + x β α λ + λ P x 1 x γ α λ +1 λ Γ) Εφόσον το 5 είναι ο αριθµητικός µέσος των S και Ρ ισχύει: β α + γ 5 λ + λ + λ +1 λ λ λ + 3 λ λ 8λ 3 λ 3 8

6 Δ) Έχουµε Ρ(Α) Ρ(Α) λ + 3λ + λ x 1 x + x 1 x x 1 x ( x 1 + x ) λ +1 λ λ + ( )( λ + ) λ λ +1 Για να ισχύει η παραπάνω ισότητα πρέπει να ισχύει: 0 Ρ(Α) 1 0 λ + 3λ + 1 λ + 3λ + λ + 3λ + 0 και 1 λ λ λ λ λ + 3λ + λ 0 Όµως λ 0 οπότε λ > 0 Άρα έχουµε λ + 3λ + 0 Με α1, β3 και γ Δ λ 1, 3 ±1 1 Πίνακας Προσήµων: λ 1 + λ +3λ Πρέπει λ 0 Άρα λ (, ] [ 1, 0) ( 0, + ) (4) λ + 3λ + λ 1 λ + 3λ + λ 1 0 λ + 3λ + λ λ 0 3λ + λ 0 Όµως λ 0 οπότε λ > 0 Άρα έχουµε 3λ + 0 λ (5) 3 λ, 3 Η κοινή λύση των (3), (4) και (5) είναι: λ (, ] 1, 3

Σχετικά έγγραφα

42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο

42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. Να βρεθούν 4 αριθµοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου αν το άθροισµα τους είναι και το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι 166 i Αν ο µικρότερος