Vee liikumise võrrandid

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Vee liikumise võrrandid"

Transcript

1 bimatejale lainetuse dünaamika kususe juude Teema & Hajutus : edeliku liikumise võandid (isand), Tamo Soomee ee liikumise võandid ee liikumine, ükskõik kui keeukas see ka paistab, toimub meie univesumis kehtivate loodusseaduste jägi Seetõttu on loogiline kasutada vastavate võandite tuletamiseks algpintsiipe Neid on vaid vaid väike av Meid huvitavate nähtuste kijeldamiseks saab neist kasutada massi jäävuse seadust ja Newtoni teist seadust (mille kohaselt impulsi muutumise kiius on võdne kehale mõjuva jõuga) Need seadused võimaldavad kijeldada koektselt ideaalsete punktmasside liikumist seni, kuni kehad omavahel kokku ei puutu Kehade põkumise ehk inteaktsiooni koal tuleb avestada ka kehade muude omadustega nagu nende geomeetia ja matejali omadused ee liikumine eineb ideaalsete kehade dünaamikast selle poolest, et veeosakesed paiknevad tavatingimustes alati üksteisega kontaktis Seetõttu kõneldakse vee liikumise puhul pideva keha mehaanikast ja dünaamikast Nii nagu mehaaniliste kehade põgete puhul, on tavis mingil moel kijeldada veeosakeste omavahelist mõju Nimelt see asjaolu teeb hüdodünaamika (ja selle võandid) mõnevõa keeulisemaks, kuid kogu valdkonna mäksa põnevamaks Massi jäävuse seadus: pidevuse võand aatleme suvalist fikseeitud piikonda Olgu see piiatud ajaga Kahemõõtmelisel juhul on selle piikonna ajaks mingi joon Kolmemõõtmelisel juhul on tegemist mingi uumalaga, mis paikneb teatava pinna sees llpool eeldame, et tegemist on suhteliselt lihtsa kujuga piikondade ja nende ajadega ning et matemaatilistes autlustes kasutatud valemid on konkeetse piikonna jaoks akendatavad Kui aine tihedus on ρ(, y, z, Massi muutumise kiius on ρ =, siis aine kogumass valitud piikonnas on M = ρ d dm = d ρ d Kui piikond (jäelikult ka selle aja ) on fikseeitud, siis Leibnizi teoeemi (vt allpool) kohaselt võib difeentseeida integaalialust funktsiooni Öeldakse samuti, et sel puhul on integeeimise ja difeentseeimise opeaatoid kommuteeuvad; teisisõnu, integeeimise ja difeentseeimise jäjekoda võib vabalt valida llpool näeme, et selline omaduse on pigem eand kui eegel Niisiis on mingis fikseeitud piikonnas paikneva ainehulga (aine kogumassi) muutumise kiius d ρ () ρ d = d vaadeldaval euhul võdne integaaliga funktsiooni ρ(, y, z, aine tiheduse muutumise keskmise kiiusega ρ = tuletisest aja jägi ehk ine tihedus ei muutu aga iseenesest Kui ainet ei teki ega kao ning aine enda omadused ei muutu, saab tihedus vaieeuda vaid piikonna ja ümbitseva keskkonna vahel toimuva Me ei vaatle siin nn aktiivseid keskkondi, kus näiteks keemiliste eaktsioonide või intensiivse kiigumise tõttu võib aine tihedus muutuda

2 ainevahetuse tõttu See toimub läbi piikonna aja Fikseeitud uumala koal ei toimu ainevahetust siis, kui aine seisab paigal ehk aineosakeste kiiused on kõikjal nullid Kui aga mingi aineosakese kiius pinna mingis punktis on u (, y, z, = ( u, v, w), siis piikonnas paikneva massi muutumise kiius tänu läbi pinna mingi lõpmata väikese osa d liikuvale ainele on ρ u cos β d = ρ u nd, () kus β on nuk kiiusvektoi u (, y, z, ja pinnast väljapoole suunatud nomaalühikvektoi n vahel ektoi mäk aja diefentsiaali kohal on pandud lihtsalt tuletamaks meelde, et kolmemõõtmelisel juhul on tegemist pinna difeentsiaaliga Kui vektoite u ja n vaheline nuk on alla 90 kaadi, liigub aine piikonnast välja; kui aga üle 90 kaadi, on tegemist aine sissevooluga piikonda ine massi muutumise summaane kiius ainevahetuse tõttu piikonna ja seda ümbitseva keskkonna vahel on niisiis integaal üle piikonna aja ehk ρ u d, kus pinna ühikvekto on ühendatud pinna difeentsiaaliga Miinusmäk viimases valemis on seotud vektoi n suuna valikuga ning kajastab lihtsalt tõsiasja, et aine väljavoolu koal on suuus u cos β = u n > 0, kuid piikonnas asuva aine hulk väheneb Massi jäävuse seadus tähendab vaadeldaval juhul lihtsalt seda, et aine massi muutus piikonnas on alati võdne ainevahetuse bilansiga selle piikonna ajal ehk sisse- ja väljavoolu bilansiga: ρ (3) d = ρu d Saadud seose lihtsustamiseks on tavis teisendada integaalid võandi (3) einevatel pooltel nõnda, et integeeimine toimuks üle sama piikonna Seda saab teha Gauss-Ostogadski teoeemi alusel, mille jägi on mingi (vekto)funktsiooni voog läbi piikonna ajapinna (teisisõnu, ainevahetuse bilanss) võdne integaaliga selle funktsiooni divegentsist üle piikonna selle piikonna ajal v v Fd = divf d ; ekvivalentsel kujul Fd = F d (4) alemi (4) akendamine seosele (3) annab tulemuseks: ρ (5) d = div ( ρu) d, Nüüd on võimalik ühendada võandi (5) einevatel pooltel paiknevad integaalid, mis annab tulemuseks ρ (6) + div( ρu) d = 0, Tuletatud seos kehtib iga piikonna jaoks, mille puhul autluses toodud integaalid eksisteeivad, näiteks pideva funktsioonide funktsioonide ja ühelisidusate tükati pidevate ajadega kehade puhul nagu kea või koapäased hulktahukad Kindlasti kehtib see iga ainega täidetud uumi punkti (, y, z) ümbitseva lõpmata väikese kea jaoks See on võimalik, y, z vaid siis, kui viimase seose integaalialune funktsioon on null igas punktis ( ) Kui see nõnda poleks, oleks võimalik määatleda nii väike punkti ( y, z), ümbus, milles ρ + div ( ρu) oleks kas kõikjal positiivne või negatiivne Matemaatilise analüüsi kususes näidatakse, et pideva funktsiooni puhul on selline valik alati võimalik Tulemuseks oleks nullist einev kolmekodse integaali väätus, mis on vastuolus võandiga (6)

3 Seega tähendab massi jäävuse seadus pideva keha mehaanikas, et igas punktis kehtib seos ρ ρ (7) + div ( ρu ) = 0 ; sageli antud vektokujul + ρ u = 0 Saadud seost hüütakse pidevuse võandiks difeentsiaalkujul Lainetuse dünaamika aames, aga ka madamee (annikumee) dünaamikas tevikuna (va veealune akustika) analüüsil loetakse vesi kokkusuumatuks: ρ (, y, z, = const Sellisel juhul on pidevuse võandil eiti lihtne kuju: div u v w (8) = 0 ehk + + = 0 bimatejal: Integaalide tuletised Liikumisvõandite tuletamisel on sageli tavis leida tuletisi mitmemõõtmelistest integaalidest, näiteks d d (9) F( y z ddydz F( y z d,,, =,,,, kus F on mingi funktsioon (ka vekto-funktsioon või tenso) ning ( on mingi vedeliku piikond, mis võib olla kas fikseeitud (liikumatu) või kulgeda koos ülejäänud vedelikuga Selles valemis on teadlikult kijutatud d, kuna päast kolmekodset integeeimist üle uumala on tulemuseks funktsioon, mis sõltub ainult ajast Juhul, kui ( on mingi fikseeitud piikond, mille kuju ja asend uumis ei muutu, ning F (, y, z, ahuldab teatavaid tingimusi (mida me siinkohal ei vaatle, kuid mis loetakse üldiselt täidetuiks), võib difeentseeida funktsiooni F (, y, z, integaali mägi all, seega d (0) F( y z d F( y z d,,, =,,, = const Sel puhul öeldakse, et integeeimise ja difeentseeimise opeatsioonid kommuteeuvad Liikuvas vedelikus piikond ( üldiselt defomeeub ja/või liigub Seejuues ei puugi piikonna aja liikuda vedelikuosakeste kiiusega Selliste integaalide puhul ei tohi lihtsalt niisama difeentseeimise ja integeeimise jäjekoda vahetada Ka lihtsaimal ühemõõtmelisel juhul on sellise integaali avutamine keeukas Matemaatilise analüüsi kususes näidatakse, et muutuvate ajadega integaali tuletis avaldub valemiga (Fihtengoltz, II kd, 509): d b( b( db( da( F(, d = F(, d + F[ b(, t] F[ a(, t] a( a( () Toodud seost kutsutakse sageli Leibnizi valemiks Selle tuletamiseks piisab, kui seose vasakul pool olevat integaali funktsioonina G [, t, a(, b( ] ning akendada liitfunktsiooni difeentseeimise eegleid (Kango, Matemaatiline analüüs, I kd) Leibnizi valemi paema poole esimene liige väljendab kõvetapetsi pindala muutumist ajavahemiku [ t o,t ] vältel joone F (, asendi muutumise tõttu Teine ja kolmas liige iseloomustavad sama pindala muutumist ülemise ja alumise integeeimisaja muutumise tõttu Mitmemõõtmelisel juhul on Leibnizi teoeem esitatav kujul 3

4 d F (, d = F d + ( t ) ( t ) ( t ) u d F, kus on valitud uumala pind ja u selle pinna ehk uumala aja liikumise kiius () F F(,t + d F(, b(t+d a(t+d F d daf(a, a a + da b( a( F(,d Joonis Leibnizi teoeemi geomeetiline intepetatsioon b b + db dbf(b, Newtoni teine seadus: impulsi jäävuse seadus ja liikumisvõandid Newtoni (teine) seadus, üks klassikalise füüsika alustalasid tema kuulsast teosest Pincipia, ütleb, et mingi keha kiiendus on võdeline kehale mõjuva jõuga õdeteguiks on seejuues v keha mass jagatisega Taditsiooniliselt pannakse see kija kujul F = ma Kuna kiiendus du a = on lihtsalt kiiuse tuletis, on du d (3) F = m = ( mu), ning Newtoni teine seadus väljendab tegelikult mäksa univesaalsemat pintsiipi keha impulsi jäävuse seadust välisjõudude puudumisel (ehk Newtoni esimese seaduse analoogi) kombineeituna sellega, et keha impulsi muutumise kiius on võdne kehale mõjuvate välisjõudude summaga Idealiseeitud lõpmata väikeste mõõtmetega tahkete kehade (punktmasside) puhul, mis ei puutu kokku teiste kehadega, on tekkiv liikumine täielikult määatud kehale mõjuva välisjõuga (või välisjõudude summaga) Pideva keskkonna mehaanikas on olukod põhimõtteliselt teistsugune: keskkonna iga punkt (osake) on kogu aeg kokkupuutes naabeosakestega Seetõttu mõjub osakestele samaaegselt nii otsene välisjõud kui ka selle kaudne mõju teiste osakeste kaudu Pideva keskkonna osakesele mõjuvad jõud on mugav jaotada kolme liiki: (i) Mahujõudusid tekitavad vaadeldavast keskkonna piikonnast väljaspool paiknevad allikad ilma otsese kokkupuuteta Taoliselt tekivad mitmesugused keskkonnale mõjuvad jõuväljad: gavitatsioonõud, magnetjõud, elektostaatiline või elektomagnetiline jõud Sellised jõud võivad olla eineva tugevusega vaadeldava keskkonna einevates punktides Üldiselt mõjuvad need keskkonna kõigile osistele võdeliselt osiste massiga Neid jõudusid väljendatakse massi- või uumalaühiku kohta Nagu klassikalises mehaanikaski, pole oluline, kui mitu välise 4

5 jõu allikat mõjutavad keskonna liikumist Keskkonna käitumine on määatud väliste jõuväljade vektosummaga Lainetuse ja annikumee dünaamikas on üldiselt domineeiv askusjõud; suuemastaabiliste liikumiste puhul moodustavad olulise komponendi Maa pöölemisest tingitud efektid nagu Coiolisi jõud Selliseid mahujõudusid, mis esituvad teatava funktsiooni gadiendina, nimetatakse konsevatiivseteks Konsevatiivse mahujõu klassikaline näide on askusjõud (ii) Pinnajõudusid tekitavad mingi (mõttelise) pinna osakese seda ümbitseva keskkonna elemendid otsese kokkupuute kaudu Need jõud on jämedalt võdelised kontaktpinna pindalaga ning neid väljendatakse pinnaühiku kohta Pinnaühikule d akenduv pinnajõu võib, nagu klassikalises mehaanikas, jagada nomaal- ja tangentsiaalkomponendiks, mis on suunatud vastavalt elemendiga d isti ja paalleelselt Öeldakse, et need komponendid df tekitavad vastavalt nomaalpinge τ = n n d ja nihkepinge (või puutepinge) df τ s s = d Nomaalpinge on skalaane suuus (suunatud isti pinna elemendiga) Kahemõõtmelise aja(pinna) puhul on ka nihkepinge skalaane suuus, kuid kolmemõõtmelise pinna puhul kahest komponendist koosnev vekto Joonis Pinnajõud ja joonjõud (iii) Joonjõud ei ilmne tavaliselt pideva keskkonna liikumisvõandites, kuid neid tuleb sageli avestada ajatingimuste fomuleeimisel (nt pindpinevusjõud) Pideva keskkonna osakest mõjutavad pinnajõud Pideva keskkonna osakesele mõjuvad (välised) mahujõud (näiteks gavitatsioonõud) on keskkonna dünaamika seisukohalt enamasti ette antud välistingimuste poolt Pideva keskkonna mehaanika keskne (ja sageli väga keeukas) pobleem seisneb keskkonna konkeetse osakese liikumist mõjutavate jõudude kijeldamises Klassikalistes käsitlustes lahendatakse see vaadeldavat punkti ümbitseva lõpmata väikese kuubi tahkudele mõjuvate jõudude analüüsi kaudu Selle käigus tehakse tavaliselt hulk lihtsustusi, mis peegeldavad konkeetse keskkonna spetsiifilise omadusi Selle kuubi igale tahule mõjub keskkonna naabeelementide poolt tekitatud pinge, mis on kijeldatav kolme suuusega tahule mõjuva nomaalpinge suuuse ja nihkepinge kahe komponendiga, so kokku kolme suuusega Kuna kuup on ideaaljuhul lõpmata väike, on kuubi vastastahkude paaid vituaalselt identsed, mistõttu pinged kuubi vastastahkudel võib lugeda võdseteks (kuid vastasmägilisteks) Seega on igale vastastahkude paaile mõjuvad 5

6 pinged kijeldatavad kolme avuga ning punktis mõjuvate pingete täielik komplekt kijeldatav üheksa suuusega Joonis 3 Pingetensoi komponendid y z Puutepinge -komponent τ τ z S τ y = τ τ y τ z τ τ + y τ Pingetenso 9 komponenti τ + z Kõik need suuused on loomulikult sõltuvad konkeetsest punktist ( y, z), ning ajast t, olles seega nelja muutuja funktsioonid Nendest suuuste komplekti nimetatakse pingetensoiks Τ Nende suuuste väätustest koostatud 33-maatiksi τ elemente τ mingis koodinaatsüsteemis nimetatakse pingetensoi komponentideks (ka koodinaatideks; levinud on mitmesugused nimetused) Üldiselt on levinud seisukoht, et klassikalises pideva keha mehaanikas on pingetenso sümmeetiline, so vastavad maatiksid τ on sümmeetilised τ = τ ji (lati see nõnda pole; näiteks J Heinloo aendatud pöödeliselt anisotoopse mehaanika aames on sellest omadusest taganetud) Seetõttu on tegelikult vajalik teada vaid kuut pingetensoi komponenti äike lohutus seegi Cauchy võandid Pideva keskkonna mingis punktis mõjuvate jõudude summat on võimalik täielikult kijeldada pingetensoi kaudu Põhimõtteline eelis sellisel kijeldusel on, et vaadeldava punkti dünaamikat mõjutavate mitmesuguste (sise)jõudude mõju on nüüd väljendatav teatavate üheselt määatletud suuuste pingetensoi komponentide kaudu Esialgu pole sellest teadmisest palju kasu; siiski võimaldab taoline käsitlus paljudel juhtudel jõuda mõistlike ja selge füüsikalise tagapõhjaga agumentide ja lihtsustuste kaudu eaalselt kasutavate võanditeni Tuleme tagasi punkti ümbitseva lõpmata väikese kuubi juude Tähistame sellegi tähega ja selle pinna tähega Pinnajõud selle pinnaühiku kohta on n τ, kus τ on vastavate nihkepingete vekto ja n on pinna nomaal Pinnajõud pinna elemendi kohta on jäelikult d τ Newtoni seadus lõpmata väikese keskkonna piikonna (vedela elemendi) puhul tähendab, et selle impulsi muutumise kiius (mis ongi kiiendus massiühiku kohta) on võdne sellele elemendile mõjuvate mahujõudude ja pinnajõudude summaga Detailsemates pideva keha mehaanika ja dünaamika käsitlustes vaadeldakse iga tahu puutepingeid ealdi 6

7 Toodud loogikat on mugav akendada koodinaattelgede suunas Olgu näiteks g kõigi mahujõudude summa pojektsioon -teljele Sama telje suunas mõjuvate mahujõudude summa on integaal F, mahu = ρg d ja pinnajõudude summa integaal du d F, pinna = ( τ 3 ) d Newtoni seadus (3) F = m = ( mu) ütleb, et kuubis paikneva veehulga -telje suunalise summaase impulsi ρ ud muutumise kiius D ρ ud on võdne kõigi sellele kuubile -telje suunas mõjuvate jõudude summaga Dt Teisisõnu, D Du (4) ρ ud = ρ d = ρg d + ( τ 3) d Dt Dt D Siin on taotluslikult kasutatud täistuletise sümbolit tuletamaks meelde, et üldiselt Dt muutuvad pideva keskkonna osakeste omadused nii nende muutumise tõttu ajas kui ka nende liikumisest tingitud muutuste tõttu Gauss-Ostogadski teoeemi (4) saab muidugi kasutada ka skalaafunktsioonide jaoks, v F = F,0,0 intepeteeides valemis (4) kaht funktsiooni komponenti nullidena; näiteks ( ) Nõnda saame, et ( τ + + ) d τ τ 3 = τ d ning seos (4) 3 taandub kujule Du (5) ρ ρg τ 3 d = 0 Dt Kuna seos (5) kehtib suvalise pideva keskkonna elemendi kohta, peab integaalialune funktsioon olema null, seega kehtib võand Du (6) ρ = ρg + τ 3 = 0 Dt igas vaadeldava keskkonna punktis Täpselt samasugused seosed saab tuletada y- ja z-telje suunaliste liikumiste kohta õandeid (6) nimetatakse vahel Cauchy liikumisvõanditeks Need väljendavad lihtsalt Newtoni klassikaliste pintsiipide üht komponenti - (impulsi ehk liikumishulga) muutumise seadust niiöelda pideva keha sisesel mikotasandil naloogiliste agumentide alusel saab tuletada ka võandid vedelikuosakeste pöödemomendi jaoks Kombineeides massi jäävuse seaduse ja Newtoni seaduse alusel tuletatud Cauchy liikumisvõandid, on tulemuseks neli võandit nelja tundmatu funktsiooni (tihedus ρ, kiiuse komponendid u, v, ja w) suhtes õandid sisaldavad veel üheksat pingetensoi komponenti Kuigi need on hetkel tundmatud, peegeldavad need konkeetse keskkonna omadusi ning paljudel juhtudel on neid võimalik võdlemisi lihtsalt leida 3 Olekuvõandid Konkeetse keskkonna omadustel baseeuvaid seoseid pingetensoi komponentide ja pideva keskkonna muid omadusi peegeldavate suuuste vahel nimetatakse olekuvõanditeks 7

8 (constitutive equations) Edasi kontsenteeume vedeliku euhule, mida iseloomustavad suhteliselt väikesed sisepinged Suhteliselt lihtne kuju on pingetensoil juhul, kui pidev keskkond on tasakaaluasendis See sünnib näiteks siis, kui vedelik on kas paigal (sh hüdostaatilises tasakaalus) või kogu vedelikumass liigub ühtlaselt ja sigjooneliselt iimase juhu saab sobiva koodinaatide teisendusega taandada paigalseisvale vedelikule Siis võivad nullist eineda vaid pinge nomaalkomponendid vedeliku pinnal astasel juhul tekivad nullist einevate pingete tõttu mingid liikumised (voolamised) ning vedelik ei saa olla tasakaalus Nende komponendide väätused mistahes suuna jaoks peavad samuti olema võdsed; vastasel juhul hakkaks vedelik mingis suunas liikuma Teisi sõnu, pingetenso on siis isotoopne (so ei sõltu suuna valikus Sellise tensoi komponendid on p (7) τ = 0 p 0 = p 0 0 = pδ, isot 0 0 p 0 0 kus δ on nn Koneckei delta ning kus miinusmäk on valitud seetõttu, et positiivne nomaalpinge on suunatud keskkonna elemendi paisumisele Suuust p nimetatakse temodünaamiliseks õhuks See suuus on seotud keskonna tiheduse ja tempeatuuiga T olekuvõandi kaudu (mis näiteks ideaalse gaasi jaoks on p = ρrt ) Liikuvas eaalses vedelikus esinevad paktiliselt alati 3 viskoossuse poolt põhjustatud vedelate elementide omavahelise pinged Pingetensoi diagonaali komponendid ei puugi enam olla võdsed Sageli lahutatakse pingetenso kaheks komponendiks τ = pδ + σ, millest üks ( pδ ) vastab teoeetilisele tasakaaluolekule ning on isotoopne ja teine ( σ ) kajastab vedeliku liikumist Rakendustes eeldatakse sageli, et suuus p ka selles lahutuses on temodünaamiline õhk Päis täpne selline eeldus pole, kuna temodünaamilisele tasakaalule vastavad suuused on üldiselt defineeitud vaid tasakaaluseisundi(te) jaoks, kuid voolav vedelik või gaas võib olla tasakaaluseisundist võdlemisi kaugel Siiski, nõnda toimides tekkivad ebatäpsused on väikesed tingimusel, et üksikute molekulide elaksatsiooniaeg on palju väiksem voolamise enese tüüpilisest ajamastaabist Pingetensoi mitteisotoopne osa σ on kijeldatud lähenduses põhjustatud ainuüksi vedeliku liikumise ebaühtlusest tingitud (lokaalsetes pingetest Selle komponentide apoksimeeimisel kasutatakse klassikaliste vedelike hüdodünaamikas äa asjaolu, et vedelike viskoossus on sageli üsna väike See asjaolu võimaldab kasutada lähendust, mille kohaselt lõpmata väikeste vedelikuelementide vahelised pinged on võdelised nende elementide voolamise kiiuste einevustega Pinged avaldatakse siis kiiuse difeentsiaalide kaudu analoogiliselt sellele, kuidas funktsiooni muut avaldub funktsiooni difeentsiaali kaudu Selline lähendus on teatavas mõttes lineaase lähenduse analoog Samuti on siis analoogia mitmemõõtmeliste funktsioonide Tayloi itta aendamisega Temodünaamiline õhk vastaks siis funktsiooni väätusele vaadeldavas punktis ning funktsiooni muutumist selle punkti ümbuses iseloomustavad osatuletiste väätused Tensois σ on 9 komponenti Kiiuse kolme komponendi muudud (piijuhul tuletised) koodinaattelgede suunas kujutavad üldjuhul endast samuti üheksat sõltumatut funktsiooni 3 Me ei vaatle siin üluhtivaid vedelikke 8

9 Tensoi σ iga komponent võib niisiis sõltuda üheksast muutujast ning kogu süsteemi täielikuks kijeldamiseks tuleb analüüsida 8 einevat funktsiooni i Kiiuse komponentide osatuletised moodustavad samuti tensoi, mida on mugav esitada j kujul i u i j u (8) i j = + + j j i j i Selle nn antisümmeetiline osa i j peegeldab vedeliku elemendi pöölemist j i Pöölemine ei mõjuta elemendi defomatsiooni ega sellele mõjuvaid pingeid, mistõttu viimased saavad sõltuda ainult suuustest i j e = + Teisisõnu, tensoi σ j i komponendid sõltuvad vaid tensoi e komponentidest Siinkohal tehakse üks klassikalise hüdodünaamika keskseid ja põhimõttelisi lihtsustusi, millest ülal juttu Nimelt eeldatakse, et tensoite σ ja e vahel eksisteeib lineaane seos (olekuvõand) σ = K e, (9) mn kus K mn on neljandat jäku konstantsete komponentidega tenso, mis peegeldab keskkonna fundamentaalseid omadusi Nagu ülal mainitud, on taoline lähendus üldiselt aktsepteeitav suhteliselt väikese viskoossusega keskkondade puhul Tegemist ei ole siiski lineaasetele süsteemidele omaste lihtsustuste sisseviimisega 4, vaid eeldusega, et teatavate keeukate funktsioonide peede vahel on lineaane seos Teine fundamentaalne lihtsustus, mis siinkohal sisse viiakse, koosneb kahest omavahel seotud eeldusest: nii vaadeldav keskkond kui ka pingetenso on isotoopsed See lähendus on täiesti aktsepteeitav enamuse mee hüdodünaamika ülesannete juues Meevesi on lokaalselt isotoopne, so selle omadused paktiliselt ei sõltu suunast; samuti ei ole mingit põhjust, miks peaks pingetenso olema mitteisotoopne Siiski eksisteeivad paljud keskkonnad, kus need eeldused ei kehti Isotoopses keskkonnas on kõik suunad ekvivalentsed, mistõttu peab ka seos (8) kiiuse osatuletiste ja pingetensoi vahel olema sõltumatu valitud koodinaadistikust Teisi sõnu, tenso K peab olema isotoopne Tensoanalüüsi kususes näidatakse, et kõik neljandat mn jäku isotoopsed tensoid avalduvad kujul K = λδ δ + µδ δ + γδ δ, (0) mn mn im jn in jm 4 Lineaaseteks hüütakse selliseid süsteeme või hulkasid, mille elementide või osiste iga lineaakombinatsioon kuulub samasse süsteemi Mingi võand on lineaane paajasti siis, kui selle lahendite mistahes lineaakombinatsioon ahuldab võandi homogeenset vesiooni Mingi nähtuse, stuktuui või laine lineaasus ei tähenda seega, et näiteks laine pofiil oleks laudsile õandite keeles tähendab see hoopis, et vastavat nähtust kijeldavad lineaased (difeentsiaal)võandid Lineaases süsteemis levivad kõik (laine)komponendid üksteisest sõltumatult ning ei mõjuta teiste käitumist Nõnda on lineaases süsteemis tevik alati võdne komponentide lihtsa summaga ning süsteemi kui teviku toime identne tema osade toimete summaga Hüdodünaamikas on see enamasti teisiti 9

10 kus λ, µ, γ on teatavad konstandid, mis käsitletaval juhul sõltuvad vaid vaadeldava keskkonna omadustest Kuna σ on vastavalt tehtud eeldustele samuti sümmeetiline, peab seda seose (9) kaudu esitav tenso olema sümmeetiline K mn indeksite i ja j suhtes õandist (0) jäeldub siis aga, et γ = µ Tehtud ekskusioon tensoite teooiasse ja kijeldatud füüsikaliselt hästi mõistetavad lihtsustused on seega võimaldaud peaaegu täielikult määatleda olekuvõandite tundmatud funktsioonid vaid kahe koefitsiendi kaudu Niisiis, äkitselt on 8-st tundmatust koefitsiendist jäele jäänud vaid kaks Seoste (0) ja γ = µ abil saab olekuvõandi ja pingetensoi avaldised taandada jägmisele kujule: v v σ = µ e + λdivuδ, τ = pδ + µ e + 3λdivuδ () Lihtsustused pole sellega veel lõppenud Tensoi τ diagonaali elementide summa jaoks saame viimasest seosest v τ ii = 3p + ( µ + λ) divu, () millest saab avaldada õhu v p = τ + µ + λ div (3) 3 Tensoi ( ) ( ) u 33 3 τ diagonaali elemendid ei puugi olla võdsed Seetõttu defineeitakse keskmine õhk (einevalt temodünaamilisest õhus nende keskväätusena ~ p = τ (4) 3 Suuust ( ) 33 κ = 3 µ + λ kutsutakse coefficient of bulk viscosity (summaane viskoossus) Reaalsete vedelike kijeldamisel kasutatakse Stokes i lähendust 3 µ + λ = 0 Teatavas mõttes toetab seda lähendust üheaatomiliste gaaside kineetiline teooia; siiski ei ole see lähendus kooskõlas temodünaamika teise seadusega Stokes i lähenduses on olekuvõanditel kuju v (5) τ = p δ + µ divu δ + µ e 3 Kokkusuumatu vedeliku jaoks on div u v = 0 (massi jäävuse seadus), koefitsient λ langeb olekuvõandist välja (so Stokesi lähendust pole tavis vaadeldagi) ning see taandub otsekohe kujule τ = p δ + µ e (6) Selliselt väljendatud pingetensoi τ ja tensoi i j e = + komponentide lineaane j i seos kodaja µ kaudu kujutab endast tasapaalleelse voolamise u = u( y) jaoks Newtoni poolt antud nihkepinge lineaase määatluse τ = µ üldistust kolmemõõtmelisele juhule Seetõttu nimetatakse vedelikke, mille puhul selline lineaane seos kehtib (so Stokes i lähendus kehtib, summaane viskoossus on null), Newtoni vedelikeks Kodaja µ väljendab konkeetse keskkonna viskoossust ning seda nimetatakse viskoossuse koefitsiendiks või kodajaks Kokkusuumatu vedeliku ja tehtud lihtsustuste puhul väljenduvad vedeliku voolamise kõik sisemised omadused viskoossuse kodaja kaudu Kijeldatud seose füüsikaline mõte pingetensoi komponentide i j jaoks on lihtsalt selles, et vedelale elemendile akenduv lokaalne pinge loetakse võdeliseks voolamise uumilise muutlikkuse poolt põhjustatud lokaalse defomatsiooniga selle elemendi naabuses Selle 0

11 tensoi diagonaali komponentide mõte on natuke keeukam Kijutades aga näiteks τ kujul v w τ = p + µ + + +, 3 on selge, et viskoossuse poolt tingitud nomaalpinge -telje suunas on võdeline selle telje suunalise venituse määa ja vedela elemendi üldise paisumise määa einevusega Teisi sõnu, vaid üldise paisumise või kokkusuumise einevused põhjustavad viskoosseid nomaalpingeid 4 Navie-Stokes i ja Eulei võandid Lõviosa vedeliku liikumist kijeldavate võandite tuletamisest on nüüd tehtud olekuvõandite fomuleeimise näol meevee omadustega vedelike jaoks sendades eelmises jaotuse leitud olekuvõandid (5) Cauchy liikumisvõanditesse, saame tulemuseks nn Navie-Stokes i võandid: Dui p (7) ρ = + ρgi + µ e - µ divuδ Dt, i i 3 Üldiselt sõltub keskkonna viskoossus mägatavalt temodünaamikast, so tempeatuuist Suhteliselt väikeste objektide vaatlemisel on tempeatuui einevused paktikas võdlemisi väikesed ning µ võib lugeda konstandiks Sellisel juhul on Navie-Stokesi võanditel kuju Du i p (8) ρ = + ρgi + µ u + µ divu Dt i 3 i Meevesi on üldiselt kokkusuumatu, mistõttu div u = 0 ning võandid on veel lihtsamad Dui p Du (9) ρ = + ρgi + µ u, vektokujul ρ = p + ρg + µ u Dt i Dt Paljudel juhtudel on vee viskoossus hüljatav Näiteks väikese amplituudiga lainete liikumisel, aga ka suhteliselt aeglaste hoovuste koal, on see nõnda Siis lihtsustuvad Navie-Stokes i võandid veelgi: Dui p Du (30) ρ = + ρgi ehk vektokujul ρ = p + ρg Dt i Dt Saadud võandeid nimetatakse Eulei võanditeks Sisuliselt peegeldavad nii Navie- Stokesi kui ka Eulei võandid vedelikuosakeste impulsi jäävuse seadust (meenutame, et mehaanilise keha impulss on mv ) Need ütlevad, et konkeetse liikuva veeosakese impulss muutub välis- ja sisejõudude mõjul (sh liikumist käivitb õhu gadien, kusjuues viskoossus pidudab liikumist Seejuues võib veeosakese impulss muutuda nii tema enda kiiuse muutumise kaudu kui ka selle tõttu, et osake liigub koosmõjus teiste osakestega 4 Eulei võandite tuletamine Newtoni seadustest Eulei võandid saab põhimõtteliselt samadel eeldustel tuletada ka otse Newtoni seadusest aatleme ideaalset vedelikku juhul, mil mahujõududest on süsteemis esindatud vaid gavitatsioonõud F(, ( 0,0, g), mida loeme konstantseks kogu vaadeldavas alas eeosakesele mõjuv lokaalne jõud on sellisel juhul vaid gavitatsioonõu poolt tekitatud õhk P (mis on teatavasti skalaane suuus) aatleme jälle mingit suvalist uumala, mille pind (aja) on Ruumalas paiknevale veele mõjuv summaane jõud on siis ρ F d Pn d, (3)

12 kus n on piikonna aja nomaalvekto Selles piikonnas paikneva vee impulss on ρ u d, selle muutus d ρ u d ning impulsi voog läbi aja on u( u n) (3) ρ d Newtoni teine seadus piikonnas paikneva vee jaoks tähendab, et piikonnas paikneva vee impulsi muutus avaldub piikonda mõjutavate mahujõudude ja piikonna aja läbiva impulsi voo summana: d (33) ρ u d = ρf d Pn d ρu( u n) d Seose (33) paema poole teisele ja kolmandale liikmele saame akendada Gauss- Ostogadski teoeemi (vt pidevuse võandi tuletamis, misjäel d (34) ρ u d = ( ρf P) d ρu( u) d Kasutades nüüd massi jäävuse seadust / pidevuse võandit ja täistuletise definitsiooni, saame võandi (34) teisendada kujule Du (35) ρ ρf + P d = 0 Dt Kuna võand (35) peab olema ahuldatud mistahes piikonna jaoks, tuleneb sellest võandist, et Du (36) = P F Dt ρ Niisiis jäelduvad Eulei võandid vahetult Newtoni seadustest See on ka loomulik, sest nendes võandites ei kajastu mitte mingil moel keskkonna sisemised omadused tänu puuduvale viskoossusele Seevastu Navie-Stokes i võandite tuletamisel tuleb keskkonna omadused mingil moel kajastada 4 õandid enegia jaoks õandid enegia jaoks on mugav tuletada üldkujul Cauchy liikumisvõanditest (6) Du (37) ρ = ρg + τ 3 = 0 Dt Sama võand kehtib kiiuse y- ja z-komponentide jaoks Lõpmata väikese veeosakese (mille puhul saab eeldada, et selle kõik komponendid liiguvad sama kiiusega) kineetiline enegia on ˆ E k = mu Kui selles võandis kasutame massi m asemel tihedust ρ, saame seose enegiatiheduse jaoks Kuna u = u + v + w, siis selle osakese kineetiline enegia on ( u + v w ) Eˆ k = ρ + Cauchy võandid on kijutatud välja kiiuse komponentide tuletiste jaoks Neid saab lihtsalt Du Du teisendada võanditeks kiiuse komponentide tuletiste uutude jaoks samasuse = u Dt Dt kasutamise abil Selleks tuleb näiteks Cauchy võand kiiuse -suunalise komponendi u jaoks koutada funktsiooniga u ja kasutada seda samasust Nõnda saame:

13 D (38) ρ u = ρug + u τ 3 Dt Summeeides võandid (38) kõigi kolme kiiuse komponendi jaoks, saame ρ D (39) u = ρ ug + ui τ i i i3 Dt, y, z i=,,3 õand (39) ütleb, et mingi vedelikuosakese enegia võib muutuda kas (a) mahujõu töö tulemusena, või (b) vedelikuosakestele mõjuvate pinnajõudude (sisejõudude) töö tulemusena edeliku kineetilise või potentsiaalse enegia muutumist kijeldavatele võanditele võib anda veel mitmesuguseid einevaid kujusid näiteks pidevuse võandi kaasamise kaudu naloogiliselt on võimalik tuletada veeosakeste impulsi võandid Kõigil neil on suhteliselt keeukas kuju 5 Benoulli võand Pideva keskkonna liikumist kijeldavate võandite oluline lihtsustamine on võimalik juhul, kui viskoossust ei puugi avestada Sellisel juhul kijeldavad liikumisi Eulei võandid Kuna selles võandis esinevad mittelineaaliikmed saab kijutada samasusena (40) u + u y + u z = ( u ( u) ) + u, Du Du saab selle võandi ρ = p + ρg täistuletise saab esitada kujul Dt Dt Du (4) = u ( u) + u = u ( u) + Ek Dt Suuus E on siin kineetilise enegia tihedus u Jagades Eulei võandi läbi tihedusega, k saab sellele anda kuju p (4) + u u + + F = u ( u), ρ v kus F = ( 0,0, g) õandites (40) (4) on eeldatud, et ainus mahujõud on gavitatsioonõud, mis mõjub vaid vetikaalsuunas Seega esineb liige g vaid kiiuse vetikaalkomponendi võandis Sooitatud teisendused on võimalik sõnastada üldisemas vomis pööise mõiste kaudu edeliku liikumise pööiseks (voticity) nimetatakse kiiuse välja vektokoutist osatuletiste v vektoiga u Pööis on samuti kolmemõõtmeline väli nagu kiiuski ning väljendab v veeosakese lokaalset pöölemist oolamisi, mille puhul u = 0, nimetatakse pööisevabadeks ehk mittepööiselisteks Lõviosa looduslikest voolamistest on pööiselised ning pööisevabadeks saab neid lugeda vaid euhtudel Siiski on mitmetel akendustes olulistel juhtudel pööis võdlemisi väike ning neid voolamisi saab piisava täpsusega lugeda pööisevabadeks Edasi tehakse oluline lihtsustus: eeldatakse, et vedeliku tihedus ρ = ρ( p) on ainult õhu funktsioon Selliseid vedeliku liikumisi nimetatakse baotoopseteks Pinnalainete puhul on see lähendus üldkasutatav Ka annikumees on veemassid üldiselt suhteliselt hästi läbisegunenud ning see lähendus aktsepteeitav Teisiti on see näiteks siselainete puhul 3

14 oolamiste puhul, kus tiheduse muutumine muudel põhjustel (soolsus, tempeatuu) on oluline, on vaja tuletuskäiku modifitseeida Baotoopsete liikumiste puhul on võandi (4) kolmas liige võimalik teisendada kujule p dp (43) = ρ, ρ Samasugused võandid kehtivad y- ja z-telje suunaliste komponentide jaoks Saab näidata, et selles valemis esinev integaal sõltub vaid uumi koodinaatidest Selline tikk on põhimõtteliselt vajalik vaid selleks, et kõnesolev liige kijutada tuletisena koodinaatide jägi mingist kindlasti funktsioonist Muidugi saaks veel lihtsamalt: kui eeldada näiteks, et vedeliku tihedus on konstant, siis võiks tiheduse lihtsalt tuletise mägi alla viia Tegelikult on oluline, et saame nüüd defineeida Benoulli funktsiooni dp B = u + + gz = u + P( ) + gz, ρ mille kaudu saab Eulei võandid esitada kujul: + B = u ( u) (44) (45) Sageli kasutatakse selle võandi ühe- ja kahmõõtmelisi vaiante õandi (45) -telje suunaline komponent on näiteks jägmine: dp (46) + u gz = ( u ( u) ) t + + ρ õandeid (45) (aga ka nende võandite üksikuid komponente nagu võand (46)) hüütakse Benoulli võanditeks Sisuliselt kujutavad need endast liikumisvõandite spetsiifilist kombinatsiooni, mille jaoks on teatavatel tingimustel võimalik leida ühest paameetist sõltuv täpne lahend keeuka difeentsiaalvõandite süsteemi nn esimene integaal 5 Benoulli võandi integeeimine mõnedel euhtudel Statsionaane voolamine ei sõltu ajast t, seega taanduvad Benoulli võandid kujule B = u ( u) (47) õandi (47) vasak pool on pinna B = const nomaalvekto õandi (47) paemal poolel on aga vekto, mis on isti nii vektoiga u kui ka vektoiga u Kuna voolujooned on oma igas punktis samasihilised vektoiga u, siis esimene tingimus sisuliselt ütleb, et pind B = const sisaldab iga voolujoont, millel on ühiseid punkte selle pinnaga Tõepoolest, oletame, et mingi voolujoon lõikab pinda B = const edeliku liikumine toimub piki voolujoont, mis, nagu just selgus, on isti selle pinna nomaalvektoiga ning seega suunatud piki selle pinna mingit puutujat mööda Sama autlus on õige iga selle voolujoone punktis; seega ei saa (pidev) voolujoon kuidagi enam pinnalt B = const lahkuda Täpselt samuti sisaldab pind B = const kõiki pööisjooni, millel on vähemalt üks ühine punkt selle pinnaga Seega statsionaase hõõdevaba ning baotoopse voolamise puhul on Benoulli funktsioon konstantne mistahes voolujoonel või pööisjoonel: dp (48) u + + gz = const voolujoonel või pööisjoonel ρ 4

15 Meenutame, et lisaks on tehtud eeldus, et mahujõududest mõjub vedelikule vaid gavitatsioonõud Seda eeldust on võimalik nõgendada: piisab sellest, et kõik mahujõud oleksid konsevatiivsed Statsionaase hõõdevaba baotoopse ja pööisevaba voolamise koal on 0 u = ning võand (48) kehtib kogu vedelikuga täidetud alas: dp (49) u + + gz = const ρ Oluline on mäkida, et (mittepöölevas taussüsteemis) on baotoopsed voolamised pööisevabad seni, kuni viskoossus on hüljatav Mee hüdodünaamika ülesannetes on viskoossus enamasti oluline vaid meepõhja vahetus läheduses, nn viskoosses piiikihis Tegelikult ei ole ka pinnalainetes toimuvad voolamised päiselt pööisevabad, kuid enamuse paktiliste ülesannete puhul võib pööiselisuse jätta avestamata Mittestatsionaane pööisevaba voolamine Mittestatsionaasete liikumiste jaoks saab Benoulli võandit lihtsalt integeeida vaid pööisevabade voolamiste euhul Sellisel juhul on 0 u = Fundamentaalne jäelduse sellest omadusest on, et eksisteeib mingi skalaane funktsioon φ = φ(, y, z, nõnda, et u = φ Funktsiooni φ nimetatakse kiiuse potentsiaaliks astupidi, kui selline funktsioon eksisteeib, siis on voolamine pööisevaba sendades funktsiooni φ mittestatsionaasesse võandisse (45), saame selle kijutada kujul: φ (50) + B = φ + B = + B = 0 Teisisõnu, φ φ φ (5) + B = + B = + B = 0 Seega funktsioon φ + B ei sõltu ühestki uumi koodinaadist ning on vaid aja funktsioon: φ + B = F( Seega taandub Benoulli võand vaadeldaval juhul kujule φ dp (5) + u + + gz = F( ρ 5 Benoulli võandi integaalide akendusi Pitot tou Heny Pitot (695-77), pantsuse matemaatik, kasutas Seine i jõe voolukiiuse mõõtmiseks Benoulli võandi omadustel baseeuvat lihtsat seadet, mida paegu nimetatakse tema jägi Pitot tou on lihtsalt 90-kaadise nuga all painutatud tou, mis pannakse vette nõnda, et tou painutatud ots paikneks täpselt vastuvoolu, so hoisontaalselt ja piki jõesängi Eeldame, et Benoulli võandi akendamise tingimused on täidetud setsegu punkt Pitot tou otsa sügavusel h vabas voolus, mida Pitot tou ei mõjuta, kuid just sellel voolujoonel, mis tabab Pitot tou otsa, ning punkt samal voolujoonel just Pitot tou otsas, kus voolu kiius on null Siis saame võandist (33) dp dp (53) u + + gz = u + + gz ρ ρ Siin on ilmselt z = z (sh jões z = z = h ), ρ = const (kuna on tegemist samade veeosakestega) ja u = 0 ; seega 5

16 p u + = p, millest vee kiius u = ρ ρ ( p ) p ρ (54) Rõhud punktides ja on võdsed nende vastavate veesammaste kõgusega: p = ρgh, p = ρgh Jäelikult vee kiius on u = g( h h ) (55) Pitot tou Pitot tou h: veetase jões või siges vetikaalses tous h: veetase painutatud tous Seine i jõgi Punkt : vaba voolamine Punkt : vesi seisab Joonis 4 oolu kiiuse mõõtmine Pitot tou abil Kui nüüd tahta päis täpne olla, siis peaks avesse võtma ka vee viskoossust, õhuõhku, võimalikke kapillaajõudusid ja toude hüdaulisi takistusi Paktikas tuleb ilmselt toimda nõnda, et mõõta mõned koad muude meetoditega täpselt vee kiius ja siis kasutada vastavaid paandustegueid Meetodi ilu seisneb aga selles, et fomaalselt pole oluline kui sügaval Pitot tou asub; seega on võimalik kiiesti hinnata vee kiiust einevatel sügavustel Pitot tou on hoolimata oma lihtsusest ka tänapäeval üsna laialt kasutusel, vt aamat Hüdaulika ja pumbad Ülesanne : Millised on Pitot touga mõõtmiseks vajalikud tingimused vee voolamisele? Ülesanne : Leida vee kiiustele 0 cm/s, 5 cm/s, 50 cm/s, m/s, m/s ja 5 m/s vastavad veesamba kõgused Pitot tous Milliste kiiuste juues on selline meetod mõistlik ja kegesti kasutatav? uk paagis Teine klassikaline ülesanne on seotud väikeste avadega anuma seintes või põhjas Loomulikult hakkab vedelik (vesi, bensiin jne) avast välja voolama edeliku väljavool põhjustab üldiselt vedeliku taseme alanemise, mistõttu päis angelt võttes pole tegemist statsionaase voolamisega Piisavalt suue anuma ja piisavalt väikese augu koal ei pea seda aga avestama ning võib lugeda, et veetaseme laskumise kiius on null See oleks päis õige juhul, kui kogu aeg natuke vett peale kallataks 6

17 numast välja voolab ikka see vesi, mis on ava tekkimise (kaani avamise vms) hetkel ava tasapinnast ülalpool Suhteliselt väikese ava koal võib lugeda vee tasapinna laskumist (ehk vee voolamist allapoole anuma ülaosas) ühtlaselt allapoole suunatuks Mida voolujooned ja veeosakesed vahepeal teevad, see meid selle ülesande juues ei huvita Oluline on see, et Benoulli funktsioon B on konstant kõikidel voolujoontel Kuna kõik voolujooned lähevad lõpuks tagasi vee pinnale, kus Benoulli funktsioonil on sama väätus igas pinna punktis, on kogu anumas B=const vast natuke eemal, kus juga on juba täielikult fomeeunud ning liigub edasi inetsist, mõjub sellele igast küljest ainult atmosfääi õhk Tegelikult pole see päis õige, sest juga ei ole ühtlane (vt väikest joonis ning joa sees õhk veidi vaieeub Jättes joa ebaühtluse kõvale, on esimeses lähenduses joa kiiust võimalik hinnata Benoulli võandi alusel: p ρ + gh = patm ρ atm + u, millest Toicelli valem u = gh (56) uk paagis patm h patm Joonis 5 edeliku väljavool anumast entui tou ee jm vedelike vooluhulka on võimalik mõõta voolu ahenemisel tekkiva suvevahe kaudu Suvetoustikes on sellistest mõõteiistadest kasutusel entui tou, mõõtediafagma e mõõteava ning mõõtedüüs, avasängides entui ja Pashalli ennid entui tou konstueeis US-s Clemens Heschel (84-930), kes andis oma mõõteiistale vooluahendusi uuinud Giovanni entui (746-8) nime entui tou istlõige aheneb sujuvalt ja laineb siis uuesti algistlõikeni Tou kitsamas osas on kiius suuem kui laiemas osas ning Benoulli teoeemi tõttu õhk väiksem Rõhkude vahet mõõdetakse enamasti difeentsiaalmanoneeti abil 7

18 Rõhtsa entui tou ( z = z ) ning konstantse tihedusega vedeliku jaoks saame Benoulli võandist dp dp p p (57) u +, + gz = u + + gz u + = u + ρ ρ ρ ρ millest p ( ) p (58) u u = ρ Rõhkude vahe saame määata veesammaste kõguste h ja h vahe abil p p = ( ρ ρ) g( h h ) (59) Siit selgub, et nõnda mõõtmisel peab kasutama mõõdetavast eineva tihedusega vedelikku Õhuvoolu mõõtmisel kõlbab teiseks vedelikuks vesi, kuid vee voolu mõõtmisel on tavis vee tihedusest eineva tihedusega vedelikku muidu ei teki difeentsiaalmanomeetis veesammaste kõguste vahet iimase vajaliku seose saame asjaolust, et vool on statsionaane, seega läbib iga istlõiget võdne vedelikuhulk Kui vooluhulk ajaühikus on, siis 4 π D u u = = 4 πd, millest u ( ) = u d D (60) Nüüd kasutame Benoulli võandit (4), millest (43) ja (44) abil 4 ( ( ) ) ( ρ ρ) g( h h ) ( ρ ρ) g( h h ) (6) u d D u = u = 4 ρ ρ[ ( d D) ] ning vooluhulk ( ρ ρ) g( h h ) (6) Q = π d u = πd ρ[ ( d D) ] ooluhulk võib üldiselt ajas muutuda entui tou mingi aja jooksul läbinud vedeliku uumala saame avutada integaalina vooluhulgast Joonis 6 eemõõtja entui tou baasil 8

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

9. LIIKUMISVÕRRAND. Hüdrodünaamikas jaotatakse vedelikes või gaasides mõjuvad jõud massijõududeks ja pinnajõududeks.

9. LIIKUMISVÕRRAND. Hüdrodünaamikas jaotatakse vedelikes või gaasides mõjuvad jõud massijõududeks ja pinnajõududeks. 07-05-04, 09:9, \\Cumulus\NETDATA\Mei-atm_NETDATA\A-mf-9_liik_vo.doc 9.1. Massi- ja pinnajõud 9. LIIKUMISVÕRRAND Hüdodünaamikas jaotatakse vedelikes või gaasides mõjuvad jõud massijõududeks ja pinnajõududeks.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

; y ) vektori lõpppunkt, siis

; y ) vektori lõpppunkt, siis III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise.

Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise. KOOLIÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). DÜNAAMIKA. Newtoni seadused. Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu avutada keha liikumise. Newtoni

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

Deformatsioon ja olekuvõrrandid

Deformatsioon ja olekuvõrrandid Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass

2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass 2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

3. Peatükk. KLASSIKALISE ÜLDFÜÜSIKA MÕISTED LIIKUMINE: KINEMAATIKA

3. Peatükk. KLASSIKALISE ÜLDFÜÜSIKA MÕISTED LIIKUMINE: KINEMAATIKA 3. Peatükk. KLASSIKALISE ÜLDFÜÜSIKA MÕISTED LIIKUMINE: KINEMAATIKA Füüsika osa nimega mehaanika on teadus mis käsitleb kehade liikumist ja tasakaalu jõudude mõjul. Klassikaline mehaanika põhilähendused:

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks

4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΔΕΙΞΗ ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟΥ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ

ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΔΕΙΞΗ ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟΥ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Ε Κ Λ Ο Γ Ε Σ 2 0 1 3 Δ Ε Κ Ε Μ Β Ρ Ι Ο Σ 2 0 1 3 55 ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΔΕΙΞΗ ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟΥ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ 1ο ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,

Διαβάστε περισσότερα

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria põhivõrrandid,

Elastsusteooria põhivõrrandid, Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele) 3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA 3. Impulss Impulss, impulsi jääus Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Mehaanikas nimetatakse

Διαβάστε περισσότερα

2 tähendab siin ühikuid siduvat

2 tähendab siin ühikuid siduvat 5. Eneia 5.1. Eneia ja eneia jäävuse seadus Eneia (k. k. eneos: aktiivne) on füüsika keskne mõiste, mis ühendab kõiki füüsika valdkondi. Tänu Newtoni autoiteedile oli sellel väljapaistval positsioonil

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 17-07-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 17-07-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 17-07-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884 ΤΜΗΜΑ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ ΙΑΤΡΟΙ 08:00 20.00 20.00 08.00 ΓΕΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika täiendusõpe YFR0080

Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsikainstituut Marek Vilipuu marek.vilipuu@ttu.ee Füüsika täiendusõpe [4. loeng] 1 Loengu kava Dünaamika Inerts Newtoni I seadus Inertsiaalne taustsüsteem Keha mass, aine

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

Ι Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο - Α Π Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο Μ Η Ν Ο Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Ι Ο Υ 2 0 1 5

Ι Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο - Α Π Ο Λ Ο Γ Ι Μ Ο Μ Η Ν Ο Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Ι Ο Υ 2 0 1 5 Μ Ρ : 0 9 / 0 1 / 2 0 1 6 Ρ. Ρ Ω. : 7 Λ Γ Μ - Λ Γ Μ Μ Η Γ Δ Κ Δ Μ Β Ρ Υ 2 0 1 5 Δ Γ Ρ Ϋ Λ Γ Θ Δ ΚΔ Μ Β Δ Β Ω Θ Δ Δ Ρ Υ Θ Δ 0111 Χ / Γ Δ Θ Μ Θ Δ Ρ Ω Κ - - - 0112 Χ / Γ Λ Ρ Γ Κ Δ 2 3. 2 1 3. 0 0 0, 0 0-2

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria tasandülesanne

Elastsusteooria tasandülesanne Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 27-03-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 27-03-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ 1 η Υ.ΠΕ ΑΤΤΙΚΗΣ Γ.Ν.Α. «Ο ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΣ- ΟΦΘΑΛΜΙΑΤΡΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ- ΠΟΛΥΚΛΙΝΙΚΗ»-Ν.Π.Δ.Δ. ΑΘΗΝΑ 27-03-2015 ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1884 ΤΜΗΜΑ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ ΙΑΤΡΟΙ 08:00 20.00 20.00 08.00 ΓΕΝΙΚΗ ΕΦΗΜΕΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ Α Π Ο Φ Α Σ Η

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ Α Π Ο Φ Α Σ Η ΤΜΗΜΑΤΑΡΧΗΣ : Δ. ΓΡΟΥΖΗΣ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ : Ν. ΚΟΡΔΑΛΗ ΤΗΛ.210-3332973 (kordali@mnec.gr) ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

θέλοντας να προσφέρουμε και στον άνθρωπο της πόλης ξεχασμένες γεύσεις από την περίφημη Κρητική διατροφή, εγκαινιάσαμε το πρώτο μας κατάστημα στη Βάρη Αττικής. Εκεί θα βρίσκετε πλέον εκλεκτά Κρητικά προϊόντα

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ Σ.Δ.Ο. ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2015-2016

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ Σ.Δ.Ο. ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2015-2016 Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ Σ.Δ.Ο. ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 2015-2016 1 2 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΙI (ΝΕΟ Δ. Ε.) Μ. Πιπιλιαγκόπουλος ΜΑΝΑTZMENT

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge

Füüsika. Mehaanika alused. Absoluutselt elastne tsentraalpõrge 9.09.017 Füüsika Mehaanika alused Absoluutselt elastne tsentraalpõrge Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Kui seejuures ei teki jääkdeformatsioone, nimetatakse

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α 3 o ΔΑΓΩΝΣΜΑ ΜΑΡΤOΣ 03: ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΦΥΣΚΗ ΘΕΤΚΗΣ ΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΑΓΩΝΣΜΑ (ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ) ΕΝΔΕΚΤΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΣ ΘΕΜΑ Α β δ 3 δ 4 β 5 Λ βσ γλ δσ ελ ΘΕΜΑ Β Σωστή είνι η πάντηση γ Ο ρυθμός

Διαβάστε περισσότερα

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults

Teaduskool. Alalisvooluringid. Koostanud Kaljo Schults TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Alalisvooluringid Koostanud Kaljo Schults Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi õpilasi, kes on

Διαβάστε περισσότερα

ΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ. «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ ά κ ι» της Γ ω γ ώ ς Α γ γ ε λ ο π ο ύ λ ο υ

ΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ. «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ ά κ ι» της Γ ω γ ώ ς Α γ γ ε λ ο π ο ύ λ ο υ ΤΑ Π ΥΧΡΩΜΑ ΜΟΛΥΒΙΑ Εφη μ ε ρ ί δ α τ ο υ τ μ ή μ α τ ο ς Β τ ο υ 1 9 ου Δ η μ ο τ ι κ ο ύ σ χ ο λ ε ί ο υ Η ρ α κ λ ε ί ο υ Α ρ ι θ μ ό ς φ ύ λ λ ο υ 1 Ι ο ύ ν ι ο ς 2 0 1 5 «Γ λ υ κ ό κ α λ ο κ α ι ρ

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

Indrek Peil. Mehaanika. Õpik gümnaasiumile

Indrek Peil. Mehaanika. Õpik gümnaasiumile Indek Peil Mehaanika Õpik gümnaasiumile Indek Peil. MEHAANIKA. Füüsika õpik gümnaasiumile. Õpik asab gümnaasiumi iiklikule õppekaale. Resenseeinud: Henn Voolaid, Heli Toi Keeleoimeajad: Siina Kisal, Anu

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

2 Hüdraulika teoreetilised alused 2.1 Füüsikalised suurused

2 Hüdraulika teoreetilised alused 2.1 Füüsikalised suurused 2 2.1 Füüsikalised suurused Mass m Inertsi ja gravitatsiooni iseloomustaja ning mõõt. Keha mass on SI-süsteemi põhiühik. Massi mõõtühikuks SIsüsteemis on kilogramm. Jõud F Kehade vastastikuse mehaanilise

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ ΑΕΙ 2009 Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Κρήτης

ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ ΑΕΙ 2009 Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Κρήτης ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ ΑΕΙ 2009 Χρηστίδης Δ. Ανωγιάτη Χ. Κοκκολάκη Α. Λουράντου Α. Χασάπης Φ. Σταυροπούλου Ε. Αλωνιστιώτη Δ. Καρκασίνας Α. Μαραγκουδάκης Θ. Κεφαλάς Γ. Μπαχά Α. Μπέζα Γ. Μποραζέλης Ν. Χίνης Π. Λύτρα

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Η ύπαρξη μεταπτυχιακού τίτλου σπουδών θα συνεκτιμηθεί.

Η ύπαρξη μεταπτυχιακού τίτλου σπουδών θα συνεκτιμηθεί. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΑΠΟΣΠΑΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2012 2013 ΤΜΗΜΑ ΑΠΟΦΑΣΗ Γ.Σ. ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν

Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν Π Ι Ν Α Κ Α Σ Α Μ Ο Ι Β Ω Ν Ε Π Ι Δ Ο Σ Ε Ω Ν ΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΜΕΛΗΤΩΝ ΕΦΕΤΕΙΩΝ ΑΘΗΝΩΝ & ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΔΙΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΑ ΑΘΗΝΩΝ & ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΜΕ ΕΔΡΑ ΤΗΝ ΑΘΗΝΑ Η χιλιομετρική απόσταση υπολογίσθηκε με σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών

ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ Εκλογικών Χρήσιμο Β Ο Η Θ Η Μ Α Ο Δ Η Γ Ο Σ του Αντιπροσώπου της Δικαστικής Αρχής (Περιέχονται σχέδια και έντυπα για διευκόλυνση του έργου των Αντιπροσώπων της Δικαστικής Αρχής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΥΜΒΑΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (1) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΜΕ ΣΥΜΒΑΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (1) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 2 3 4 6 7 8 Φορέας : ΗΜΟΣ ΣΑΡΩΝΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΤΑΤΑΞΗΣ & Σ () () sort ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΜΟΣΧΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΗΜΗΤΡ ΡΕΠΠΑΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΛΕΞΑΡΟΣ ΜΙΧΑΗΛ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΕΛΙΟΥ ΜΑΡΙΑ ΘΕΟ ΩΡΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΥΡΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΥΡΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ AΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ Π.Υ. ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΠΑΛ.ΑΔΕΙΑΣ ΥΒΕΤ ΕΠΩΝΥΜΙΑ - ΤΙΤΛΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΠΥΡΟΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ Που συντάχθηκε σύμφωνα με.... από τον.... Α. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ 1. Είδος επιχείρησης 2. Κατάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Η / Τ, Δ Κ Σ Τ Π Ω Σ Ω Ν & Π Δ Ρ Ι Φ Δ Ρ Δ Ι Α Κ Ω Ν Τ Σ Η Μ Α Σ Ω Ν

Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Η / Τ, Δ Κ Σ Τ Π Ω Σ Ω Ν & Π Δ Ρ Ι Φ Δ Ρ Δ Ι Α Κ Ω Ν Τ Σ Η Μ Α Σ Ω Ν ΑΤΣΟΣΔΛΔ ΣΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΓΙΑΦΑΝΔΙΑ Απ. Μελέηηρ Απεςθείαρ Ανάθεζηρ 5/20 Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Η / Τ, Δ Κ Σ Τ Π Ω Σ Ω Ν & Π Δ Ρ Ι Φ Δ Ρ Δ Ι Α Κ Ω Ν Τ Σ Η Μ Α Σ Ω Ν ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΣ 1 581 / 4 06 2007 ΑΒΔΕΛΙΩΔΗ ΖΑΦΕΙΡΑ ΜΑΡΚΟΣ ΑΒ 652777 2 634 / 4 06 2007 ΑΓΓΕΛΗ ΕΛΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ Ρ 988582 ΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ 3 587 / 4 06 2007 ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΣΟΦΙΑ ΧΡΗΣΤΟΣ Π 171794 ΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Ανυπόγραφη Υπεύθυνη

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.

Διαβάστε περισσότερα

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT 14. NEWTONI RÕNGAD

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT 14. NEWTONI RÕNGAD 4. NEWTONI RÕNGAD. Töö eesmäk Tasakumea läätse kõveusaadiuse määamine.. Töövahendid Mõõtemikoskoop, suue kõveusaadiusega tasakume lääts, monokomaatiline valgusallikas. 3. Töö teoeetilised alused Valguse

Διαβάστε περισσότερα

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise

Διαβάστε περισσότερα

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33

(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 (Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΙ Α Περιφερειακή Ανάπτυξη-Αποκέντρωση-Αυτοδιοίκηση και η Αριστερά Λαµία Φθιώτιδας, Ξενοδοχείο Σαµαράς, Κυριακή ώρα 9. 30 π.µ. 2-11-2008 Νοµαρχιακές Επιτροπές ΣΥΝΑΣΠΙΣΜΟΥ Περιφέρειας Στ. Ελλάδας Τµήµατα

Διαβάστε περισσότερα

2012-2013 Πειραιάς:17/10/2012

2012-2013 Πειραιάς:17/10/2012 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ (ΕΞΑΜΗΝΟ: 1) ΨΣ-001-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I 08:15 08:15-10:00, 103 ΚΑΤΣΙΚΑΣ Σ., _ ΔΙΔΑΣΚΩΝ Π.Δ. 11:15 11:15-13:00, 103 ΨΣ-003-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 10:15 10:15-12:00, 103 ΚΑΤΣΙΚΑΣ Σ., _ ΔΙΔΑΣΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Πριν α ό την έναρξη της συνεδρίασης ο Πρόεδρος δια ίστωσε ότι α ό τα εννέα (9) µέλη της Οικονοµικής Ε ιτρο ής ήταν:

Πριν α ό την έναρξη της συνεδρίασης ο Πρόεδρος δια ίστωσε ότι α ό τα εννέα (9) µέλη της Οικονοµικής Ε ιτρο ής ήταν: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΛΑΜΙΕΩΝ Α Α 7ΝΠΡΩΛΚ-9Ρ3 Α όσ ασµα α ό το ρακτικό της 34 ης συνεδρίασης της Οικονοµικής Ε ιτρο ής. ΑΡΙΘΜ. ΑΠΟΦ. : 462 /2015 Θ Ε Μ Α : «Χαρακτηρισµός θέµατος, µη συµ εριλαµβανοµένου

Διαβάστε περισσότερα

Λεσ οργανισατευρσ χηοισισσεντ παρµι χεττε λιστε, λεσ πρευϖεσ δε λευρ χοµπ τιτιον.

Λεσ οργανισατευρσ χηοισισσεντ παρµι χεττε λιστε, λεσ πρευϖεσ δε λευρ χοµπ τιτιον. Λα ρ γλεµεντατιον δε λα πλονγ ε εν Φρανχε οβλιγε λα ΦΦΕΣΣΜ µοδιφιερ, ϖοιρε ιντερδιρε, χερταινεσ πρευϖεσ ΧΜΑΣ παρ µεσυρε δε σ χυριτ. αυτρεσ πρευϖεσ σοντ εν αττεντε δε λ αγρ µεντ φ δ ραλ. πρευϖεσ Ινδιϖιδυελλεσ

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα