ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισµός ( Ανάλυση )

Transcript

1 Κεφάλαιο 7ο ιαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισµός ( Ανάλυση ) Πραγµατικές Συναρτήσεις µιας Μεταβλητής. Ορισµός και γραφική παράσταση συναρτήσεων µιας µεταβλητής Ας θυµηθούµε τις δύο βασικές πράξεις στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών, Ñ, -αυτές της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού. Η πρώτη, από οποιοδήποτε ζευγάρι (x,y) πραγµατικών αριθµών, οδηγεί σε συγκεκριµένο πραγµατικό αριθµό που ονοµάζουµε άθροισµα των x, y και συµβολίζουµε µε x+y. Η δεύτερη οδηγεί στον αριθµό που ονοµάζουµε γινόµενο των x, y και συµβολίζουµε µε x y. Οι βασικές ιδιότητες αυτών των πράξεων καθώς και του συνδυασµού τους, όπως οι x+y=y+x, x y=y x και x (y+z)=x y+x z, θεωρούνται κάτι παραπάνω από οικείες. Από τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού αποκτούν νόηµα και εκφράσεις της µορφής x+, x, 3x-, x, x x, x,, κ.λ.π., στις οποίες το x x παριστάνει έναν πραγµατικό αριθµό. Aς σταθούµε για λίγο στην έκφραση x. Aυτή η έκφραση µου επιτρέπει, κάθε φορά που σκέφτοµαι κάποιο συγκεκριµένο αριθµό x, να φέρνω στο µυαλό µου έναν άλλο συγκεκριµένο αριθµό, τον διπλάσιο του x. Για συντοµία, ας περιγράψουµε αυτή τη νοητική διαδικασία µε την αλυσίδα των συµβόλων x-φ-x ( ο x φέρνει τον x). Αν, στη συνέχεια, αποµονώσουµε το φέρσιµο στο νου του x και το δούµε σα µια νοητική δράση ή πράξη φ που οδηγεί από το x στο x, ας πούµε από το 3 στο 6, είναι καλύτερο να το εκφράσουµε µε την αλυσίδα φ : x T x. Αυτή η νοητική πράξη συχνά ονοµάζεται απεικόνιση του πραγµατικού αριθµού x στον x. Τότε, το αποτέλεσµα της δράσης φ ονοµάζεται εικόνα του x και συµβολίζεται µε φ(x). Επειδή η έκφραση x έχει νόηµα για οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό x, µπορούµε να υποθέσουµε ότι το x που απεικονίζεται στο x είναι ένα τυχαίο στοιχείο κάποιου υποσύνολου του Ñ. Mπορούµε εύκολα να κατασκευάσουµε πολλές άλλες απεικονίσεις πραγµατικών αριθµών σε πραγµατικούς, σαν την παραπάνω φ : x T x. Το ότι µιλάµε για µια απεικόνιση φ αυτού του είδους δηλώνεται µε το να γράψουµε αρχικά φ : Ñ T Ñ. Στη συνέχεια, η απεικόνιση συγκεκριµενοποιείται µε το να δώσουµε (α) Το πεδίο ορισµού της, D(φ) (από τον αγγλικό όρο domain), δηλ. τα στοιχεία του Ñ που υφίστανται την απεικόνιση και 49

2 (β) Τον τύπο της, δηλαδή την έκφραση φ(x) που καθορίζει την εικόνα του τυχαίου στοιχείου x του πεδίου ορισµού. Μια απεικόνιση ονοµάζεται και συνάρτηση. Μάλιστα, πολλές φορές δίνουµε µόνο τον τύπο φ(x) µιας απεικόνισης φ : Ñ T Ñ και λέµε "δίνεται η συνάρτηση φ(x)". Κάτι τέτοιο µπορεί να οδηγήσει σε σύγχυση, αφού ένας τύπος δεν αρκεί για να είναι η απεικόνιση σαφώς ορισµένη. Ας δούµε γ.π. τον τύπο φ(x)= x. Σε αντίθεση µε την x που εξετάσαµε νωρίτερα, η έκφραση x δέν αντιπροσωπεύει κάποιον πραγµατικό αριθµό για κάθε x œ Ñ. Για να είναι ο x πραγµατικός αριθµός, θα πρέπει ο ίδιος ο x να είναι µη αρνητικός. Συνακόλουθα, αν θέλουµε ο τύπος φ(x)= x να εκφράζει µιαν απεικόνιση πραγµατικών αριθµών σε πραγµατικούς, θα πρέπει να θεωρήσουµε σαν πεδίο ορισµού της απεικόνισης κάποιο υποσύνολο του διαστήµατος [0, ). Οι δυνατότητες είναι άπειρες, όσες και τα υποσύνολα της ηµιευθείας [0, )! Γι αυτό υιοθετούµε τον ακόλουθο κανόνα. Αν για µια απεικόνιση φ : Ñ T Ñ δίνουµε µόνο τον τύπο της, φ(x), τότε ως πεδίο ορισµού της, D(φ), θεωρούµε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών για καθέναν από τους οποίους η έκφραση φ(x) ορίζει µονοσήµαντα έναν πραγµατικό αριθµό. To σύνολο των αριθµών που προκύπτει από την απεικόνιση όλων ανεξαιρέτως των στοιχείων του πεδίου ορισµού ονοµάζεται πεδίο τιµών της απεικόνισης. Το πεδίο τιµών συνήθως συµβολίζεται µε R(φ) (από το αγγλικό range). Αν στο παράδειγµα φ : x T x πάρουµε σαν πεδίο ορισµού το διάστηµα [0, ), τότε θα βρούµε ότι και R(φ)=[0, ). Ας υποθέσουµε, τώρα, ότι θέλουµε να µελετήσουµε µε τη βοήθεια του Maple τη συνάρτηση f(x)=x 3, όπου x τυχαίος πραγµατικός αριθµός. Για το σκοπό αυτό, θα πρέπει να γνωρίζουµε τον τρόπο µε τον οποίο ορίζεται µια συνάρτηση στο συµβολισµό του Maple. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα αρκεί να δώσουµε την ακόλουθη εντολή. > f:=x->x^3; f := x x 3 Τα σύµβολα που χρησιµοποιούνται στη σύνταξη αυτής της εντολής τα βρίσκουµε ένα προς ένα στο πληκτρολόγιο, εκτός από το βέλος. Αυτό είναι συνδυασµός του πλην (παύλα) µε το σύµβολο > του "µεγαλύτερο από". Ωστόσο, είναι καλύτερο να συνηθίσουµε να ορίζουµε µια συνάρτηση µε τον τρόπο του επόµενου παραδείγµατος. 50

3 > restart: f:='f': f:=x->x^*(x-); f := x x ( x ) Η εντολή " restart " χρησιµεύει στο να καθαρίσουµε τη µνήµη του υπολογιστή, έτσι ώστε να µην προκύψει µπέρδεµα της τωρινής µας εργασίας µε τ' αποτελέσµατα κάποιας προηγούµενης. H δεύτερη εντολή, f := ' f ', αποσυνδέει το γράµµα f από κάθε προηγούµενη χρήση του σα σύµβολο. Αποτρέπει τη σύγχυση που µπορεί να προκύψει ανάµεσα σε διαφορετικά µαθηµατικά αντικείµενα (γ.π. συναρτήσεις) που σε µία σύνθετη εργασία, σαν αυτή που ακολουθεί, αναγκαστικά συµβολίζουµε µε το ίδιο γράµµα. > f:='f': f:=x->*x+3*x^; > f:='f': f := x x + 3 x f:=x->(x-)*(x+)^/(x+3)^4; f := x ( x ) ( x + ) ( x + 3) 4 Με τις επόµενες εντολές παίρνουµε τιµές της συνάρτησης του τελευταίου παραδείγµατος στο τυχαίο σηµείο x=a, καθώς και στα συγκεκριµένα σηµεία x=, x=3. > f(a); f(); f(3); ( a ) ( a + ) ( a + 3) Υπάρχουν πολλοί τρόποι γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης. Ο πιο συνηθισµένος στηρίζεται στην έννοια του γραφήµατος. Για να τον κατανοήσουµε, θα πρέπει να θυµηθούµε ότι, αν ο αριθµός x ανήκει στο πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f : Ñ T Ñ, 0 τότε το f(x) παριστάνει έναν συγκεκριµένο πραγµατικό αριθµό. Συνακόλουθα, το ζευγάρι (x, f(x)) αποτελεί ένα συγκεκριµένο στοιχείο του Ñ. Το σύνολο των ζευγαριών αυτού του είδους ονοµάζεται γράφηµα της συνάρτησης f : Ñ T Ñ και συχνά συµβολίζεται µε graph(f). Με άλλα λόγια, graph(f):={(x, y)œ Ñ : xœd(f), y=f(x)}. 5

4 To Μaple µας επιτρέπει να κατακευάζουµε χωρίς κόπο τα γραφήµατα και των πιο περίπλοκων συναρτήσεων - τµηµατικά, τουλάχιστον. Για το σκοπό αυτό χρειαζόµαστε το πακέτο "plots (=σχέδια)" που το φέρνουµε στο προσκήνιο µε την εντολή with(plots) (Αγνοείστε την προειδοποίηση (warning) που εµφανίζεται στην περιοχή των αποτελεσµάτων (output) ): > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined Το βασικό πρότυπο για την κατασκευή ενός γραφήµατος δίνεται στο επόµενο παράδειγµα. Το µέρος x=-.. της εντολής plot(f(x), x=-..) δηλώνει ότι, σ' αυτή την περίπτωση, µας ενδιαφέραι µόνο το τµήµα του γραφήµατος που αντιστοιχεί στο διάστηµα [-, ] του πεδίου ορισµού της f. > f:='f': f:=x->x^3; plot(f(x),x=-..); f := x x 3 f:='f': f:=x->*x+3*x^; plot(f(x),x=-..); f := x x + 3 x 5

5 > f:='f': f:=x->(x-)*(x+)^/(x+3)^4; plot(f(x),x=-..); f := x ( x ) ( x + ) ( x + 3) 4 Πάρα πολλές συναρτήσεις είναι εκ των προτέρων ορισµένες στο Maple. Eίναι καταχωρηµένες στον κατάλογο " Initially Known Functions " του πακέτου "Help" και περιλαµβάνουν τις γνωστές µας τριγωνοµετρικές συναρτήσεις sin, cos, tan, cot, τις αντίστροφές τους arcsin, arccos, arctan, arccot, την εκθετική συνάρτηση exp, τη λογαριθµική log, τις υπερβολικές sinh, cosh, tanh, coth, τις αντίστροφές τους, κ.λ.π. > f:='f': f:=x->sin(x); plot(f(x),x=-0..0); f := sin 53

6 > f:='f': f:=x->cos(x); plot(f(x),x=-0..0); f := cos Υπάρχει µια ποικιλία εντολών που συνοδεύουν τη βασική εντολή plot, οι οποίες µας επιτρέπουν να δίνουµε στα γραφήµατα που κατασκευάζουµε ειδικά χαρακτηριστικά που τα καθιστούν πιο εύχρηστα. Απ' αυτές τις εντολές θα παρουσιάσουµε αρχικά εκείνη που δίνει ονόµατα στους άξονες. > f:='f': f:=x->log(x); plot(f(x),x=0..0,labels=[x,y]); f := log Μια άλλη χρήσιµη εντολή στα πλαίσια του plot είναι αυτή που προσδιορίζει το χρώµα της καµπύλης που παριστάνει τη συνάρτηση. 54

7 > f:='f': f:=x->exp(x); plot(f(x),x=-..,labels=[x,y],color=blue); f := exp Στο ίδιο σχήµα µπορούµε να παρουσιάσουµε τα γραφήµατα δύο ή και περισσότερων συναρτήσεων ταυτόχρονα. Σ' αυτή την περίπτωση η εντολή "legend" µας βοηθάει στο να διακρίνουµε τις καµπύλες που αντιστοιχούν στις διάφορες συναρτήσεις. > f:='f': g:='g': f:=x->sin(x);g:=x->x-x^3/6; plot([f(x),g(x)], x=0..3,labels=[x,y],color=[red,blue],legend=[f,g]); f := sin g := x x 6 x3 Στα παραδείγµατα που εξετάσαµε ως τώρα οι συναρτήσεις ορίζονταν µε ένα µόνο τύπο σε όλο το πεδίο του ορισµού τους. Οσο χρήσιµα κι αν είναι τα παραδείγµατα αυτού του τύπου, στις πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις η προς ανάλυση συνάρτηση ορίζεται 55

8 τµηµατικά (piecewise). Στα παραδείγµατα που ακολουθούν διευκρινίζεται ο τρόπος µε τον οποίο η εντολή "piecewise" χρησιµοποιείται στον ορισµό συναρτήσεων µε διαφορετικό τύπο σε διαφορετικές περιοχές του πεδίου ορισµού τους. Στο παρόν παράδειγµα f(x)= για x 0 και f(x)=x 3 για x>0. Στη σύνταξη της εντολής piecewise προσέχουµε να εισάγουµε πρώτα τη συνθήκη που ορίζει ένα τµήµα του πεδίου ορισµού της f κι αµέσως µετά τον τύπο της f σ' αυτό το τµήµα. Στο µέρος "plot" του παραδείγµατος προσδιορίζουµε και το διάστηµα τιµών του άξονα y µε την εντολή y=0..8. > f:='f': f:=x->piecewise(x<=0,,x>0,+x^3); plot(f(x),x=-..,y=0..8,labels=[x,y]); f := x piecewise ( x 0,, 0 < x, + x 3 ) Στο παρόν παράδειγµα f(x)= για x θετικό και f(x)=x διαφορετικά. Προσέξτε την εντολή "discont=true" στο µέρος "plot" του παραδείγµατος. Χρησιµεύει στο να µην κάνει ο υπολογιστής τεχνητή σύνδεση των δύο τµηµάτων της καµπύλης του γραφήµατος µιας ασυνεχούς συνάρτησης (βλ. παρακάτω). f:='f': f:=x->piecewise(x<=0,x^,x>0,); plot(f(x),x=-..,y=0..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( x 0, x, 0 < x, ) 56

9 Σ' αυτό το παράδειγµα f(x)= -x για x µη θετικό και f(x)= x για x µη αρνητικό. Ισοδύναµα, f(x)= x. > f:='f': f:=x->piecewise(x<=0,-x, x>=0,x); plot(f(x),x=-..,y=0..,labels=[x,y]); f := x piecewise ( x 0, x, 0 x, x) > f:='f': f:=x->piecewise(x<0,/x,x>0,+x^3); plot(f(x),x=-3..3,y=-6..6,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise x < 0,, 0 < x, + x 3 x 57

10 Σ' αυτό το παράδειγµα f(x)= για x, f( x ) = x για x και f(x)= για < x. > f:='f': f:=x->piecewise(x<-,, x>- and x<=,-x^, x>,); plot(f(x),x=-..,y=0..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( x < -,, - < x and x, x, < x, ) > f:='f': f:=x->piecewise(x<-,x+,-<=x and x<=,,x>,x); plot(f(x),x=-3..3,y=-4..4,labels=[x,y]); f := x piecewise ( x < -, x +, - x and x,, < x, x) 58

11 Αν το πεδίο ορισµού της f(x) αποτελείται µόνο από δύο τµήµατα, τότε αρκεί να γράψουµε ρητά τη συνθήκη που καθορίζει το ένα µόνο απ' αυτά τα τµήµατα. Σ' αυτό το παράδειγµα η f( x ) = + x 3, όταν το x είναι θετικό και f( x ) = + x για κάθε άλλο x. > f:='f': f:=x->piecewise(x>0,+x^3,+x); plot(f(x),x=-..,y=-..8,labels=[x,y] ); f := x piecewise ( 0 < x, + x 3, x + ) Τέλος, αν σε ένα τµήµα Τ του πεδίου ορισµού της συνάρτησης δεν προσδιορίσουµε εµείς τον τύπο της, τότε το Maple αυτόµατα θέτει f(x)=0 για κάθε x που ανήκει στο Τ: > f:='f': f:=x->piecewise(x>0,+x^3); plot(f(x),x=-..,y=-..8,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( 0 < x, + x 3 ) 59

12 Στο παρόν παράδειγµα f(x)= για x θετικό και f(x)=0 διαφορετικά. > f:='f': f:=x->piecewise(x>0,); plot(f(x),x=-..,y=0..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( 0 < x, ) > f:='f': f:=x->piecewise(abs(x)<=,exp(-/(-x^))); plot(f(x),x=-..,y=0..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise x, e x 60

13 . Ορια και συνέχεια Ας υποθέσουµε ότι r>0 κι ότι η συνάρτηση f( x ) ορίζεται σε κάθε σηµείο του υποσύνολου (a-r,a)»(a, a+r) της πραγµατικής ευθείας. Tότε µπορούµε να µιλήσουµε για το όριο της f(x) καθώς το x πλησιάζει το σηµείο x=a. Λέµε, λοιπόν, ότι η f(x) έχει όριο τον αριθµό l, ή ότι η f(x) τείνει στον l, καθώς το x τείνει ή πλησιάζει στο σηµείο x=a και γράφουµε lim f( x) = l x a αν ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Για κάθε θετικό αριθµό ε, οσοδήποτε µικρό, υπάρχει ένας θετικός αριθµός δ, τέτοιος που η συνθήκη 0< x-a <δ συνεπάγεται ότι f(x)-l < ε. Με άλλα λόγια, διαλέγοντας το x να είναι αρκετά κοντά στο a, µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι η αντίστοιχη τιµή f(x) της συνάρτησης θα διαφέρει από τον αριθµό l λιγότερο από ε. Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x)={ x x < 0 x 0 < x > f:='f': f:=x->piecewise(x<0,-x,x>0,x); f(x); with(plots): plot(f(x),x=-..,y=0..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( x < 0, x, 0 < x, x) { x x < 0 x 0 < x Aυτή δεν ορίζεται στο x=0, όµως το όριό της, καθώς το x πλησιάζει το σηµείο x=0, υπάρχει και είναι ίσο µε το µηδέν. Γιατί, αν πάρουµε το δ=ε, τότε για κάθε x τέτοιο που 0< x-0 = x <δ θα έχουµε ( f x )-0 = f( x ) = x <δ=ε. Εύκολα δείχνεται ότι για κάθε άλλο σηµείο του πεδίου ορισµού της δοσµένης συνάρτησης, ας πούµε το x=a, ισχύει ότι lim f( x ) = f( a ). Αρκεί να πάρουµε δ=min{ a x a,ε}, αφού η συνθήκη 0< x a <δ συνεπάγεται ότι ( f x )-( f a ) = x a <δ<ε. Αυτά τα συµπεράσµατα επιβεβαιώνονται από το Maple, µέσω των ακόλουθων εντολών. 6

14 limit(f(x),x=0); limit(f(x),x=a); 0 { a a 0 a 0 < a > f:='f': f:=x->piecewise(x<=0,-,x>0,+x); limit(f(x),x=0); plot(f(x),x=-..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( x 0-,, 0 < x, x + ) undefined Σ' αυτό το παράδειγµα εξετάζουµε "τη συνάρτηση f(x)=/x". Tα εισαγωγικά υποδηλώνουν ότι, µε βάση τον τύπο, η δοσµένη συνάρτηση έχει για πεδίο ορισµού το υποσύνολο (-,0)»(0, ) του Ñ. Θα πρέπει να είναι φανερό ότι αυτή η συνάρτηση δεν έχει όριο καθώς πλησιάζουµε το x=0. To Μaple επιβεβαιώνει αυτή τη διαπίστωση, τόσο γραφικά όσο και αναλυτικά: > f:='f': f:=x->/x; plot(f(x),x=-..,y=-0..0,labels=[x,y],discont=true); Limit(f(x),x=0); limit(f(x),x=0); Παρατήρηση: Η εντολή Limit(f(x),x=a) είναι η αδρανής µορφή της limit(f(x),x=a) και, σε αντίθεση προς την τελευταία, δεν προκαλεί τον υπολογισµό του ορίου. Απλώς παριστάνει αυτό το όριο. f := x x 6

15 lim x 0 x undefined H συνάρτηση g(x)= x ={ x x 0 x 0 < x διαφέρει από την f(x)={ x x < 0 x 0 < x µόνο ως προς το ότι ορίζεται και στο σηµείο x=0. Eπειδή g(0)=0 και συνάµα lim g( x ) = 0, λέµε ότι η g(x) είναι συνεχής στο x=0. x 0 Γενικότερα, αν µια συνάρτηση f : Ñ T Ñ ορίζεται σε κάποιο ανοιχτό διάστηµα που περιέχει το σηµείο x=a και συνάµα lim f( x ) = f( a ), τότε λέµε ότι η f(x) είναι συνεχής στο σηµείο x=a. x a Ασκηση Αποδείχτε ότι (i) H συνάρτηση f(x)=/x είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του συνόλου (-,0)»(0, ). (ii) H συνάρτηση f(x)= x είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του συνόλου (0, ). Αλγεβρα των ορίων Οταν ο τύπος µιας συνάρτησης είναι περίπλοκος, ο υπολογισµός του ορίου της καθώς πλησιάζουµε κάποιο σηµείο της πραγµατικής ευθείας είναι αρκετά δύσκολος - αν αυτός ο υπολογισµός γίνεται µε βάση τον αρχικό ορισµό. Για ν' αντιµετωπίσουµε αυτό το πρόβληµα, στηριζόµαστε στις έννοιες της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασµού και της σύνθεσης δύο συναρτήσεων. Αυτές µας επιτρέπουν να αναλύουµε τον τύπο µιας περίπλοκης συνάρτησης σε απλούστερα στοιχεία και να καταλήγουµε στο επιθυµητό αποτέλεσµα συνθέτοντας τους απλούς υπολογισµούς που αφορούν τα επιµέρους στοιχεία. Θυµίζουµε, λοιπόν, ότι (α) Με άθροισµα των συναρτήσεων f : Ñ T Ñ και g : Ñ T Ñ που έχουν κοινό πεδίο ορισµού, εννοούµε τη συνάρτηση h : Ñ T Ñ που έχει ως πεδίο ορισµού εκείνο των f, g και τύπο τον h(x)=f(x)+g(x). 63

16 (β) Με γινόµενο των συναρτήσεων f : Ñ T Ñ και g : Ñ T Ñ που έχουν κοινό πεδίο ορισµού, εννοούµε τη συνάρτηση Η : Ñ T Ñ που έχει ως πεδίο ορισµού εκείνο των f, g και τύπο τον Η(x)=f(x)g(x). (γ) Αν το πεδίο τιµών, R(f), της συνάρτησης f : Ñ T Ñ ταυτίζεται µε το πεδίο ορισµού, D(g), της συνάρτησης g : Ñ T Ñ, τότε µπορούµε να ορίσουµε τη συνάρτηση S: Ñ T Ñ που έχει ως πεδίο ορισµού εκείνο της f και τύπο τον S(x)=g(f(x)). H συνάρτηση S ονοµάζεται σύνθεση της f µε την g και συµβολίζεται µε gëf. Από τον ορισµό της S έπεται ότι η σειρά των γραµµάτων f και g στην έκφραση gëf είναι σηµαντική. Τα παραδείγµατα που ακολουθούν στοχεύουν στη διευκρίνηση των παραπάνω εννοιών. Σηµειώστε ότι, στο Maple, η σύνθεση gëf αντιστοιχεί στην εντολή g@f και τα πεδία ορισµού και τιµών µιας συνάρτησης δεν προσδιορίζονται. Αρα, σε όσα από τα παρακάτω παραδείγµατα δεν αναφέρονται αυτά τα σύνολα ρητά, ο αναγνώστης θα πρέπει να τα προσδιορίσει µόνος του. > f:='f': g:='g': f:=x->x+: g:=x->x-: h:=f+g; h(x); H:=f*g; H(x); S:=g@f; S(x); S_:=f@g; S_(x); > f:='f': g:='g': f:=x->x^: g:=x->x-: h:=f+g; h(x); H:=f*g; H(x); S:=g@f; h := f + g x H:= f g ( + x ) ( x ) S := g@ f x S_ := f@ g x 64

17 S(x); S_(x); h := f + g x + x H:= f g x ( x ) S := g@ f x S_ := f@ g ( x ) Σ' αυτό το παράδειγµα, οι τύποι των συναρτήσεων f και g είναι f(x)=x+ και g(x)=/(x-) αντίστοιχα. Αρα, ως κοινό πεδίο ορισµού µπορεί να θεωρηθεί το υποσύνολο Α:=(-,)» (, ) του Ñ. Συνεπώς, για κάθε xœa, (f+g)(x)= x και (f g)(x)= x + x. Επειδή ο αριθµός f(0)= δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού, Α, της g(x), ως πεδίο ορισµού της σύνθεσης g ë f µπορεί να θεωρηθεί µόνο το υποσύνολο Β:=(-,0)»(0, ) του Ñ. Για κάθε xœβ, (g ë f )(x)=g(f(x)=g( x + )= (x+) = x. Aνάλογα, επειδή το x= δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της g(x), αλλά R(g)=D(f)=Ñ, η σύνθεση fëg ορίζεται για κάθε xœa από τον τύπο (fëg)(x)=f(g(x))=f( x )= x += x x. > f:='f': g:='g': f:=x->x+: g:=x->/(x-): h:=f+g; h(x); H:=f*g; H(x); S:=g@f; S(x); S_:=f@g; S_(x); h := f + g x + x + x H:= f g + x x 65

18 S := f x S_ := f@ g + x > f:='f': g:='g': f:=x->x^: g:=x->sin(x): h:=f+g; h(x); H:=f*g; H(x); S:=g@f; S(x); S_:=f@g; S_(x); h := f + sin x + sin( x ) H := f sin x sin( x ) S := sin@ f sin( x ) S_ := f@ sin sin( x ) > f:='f': g:='g': f:=x->sqrt(x): g:=x->sin(x): h:=f+g; h(x); H:=f*g; H(x); S:=g@f; S(x); S_:=f@g; S_(x); h := sqrt + sin x + sin( x ) H := sqrt sin 66

19 x sin( x ) S := sin@ sqrt sin( x ) S_ := sqrt@ sin sin( x ) Από τη σκοπιά των ορίων, το άθροισµα, το γινόµενο και η σύνθεση δύο συναρτήσεων παρουσιάζουν την ακόλουθη συµπεριφορά. (α) Αν h=f+g, και lim f( x) = l, lim g( x) = m, τότε lim h( x ) = l + m. x a x a x a (β) Αν H=f g, και lim f( x) = l, lim g( x) = m, τότε lim H( x) = l m. x a x a x a (γ) Αν S=g ë f, lim f( x) = l και η g είναι συνεχής στο x = l, τότε lim S( x ) = g( l ). x a Ασκηση Αποδείχτε ότι (i) Αν f(x)=c=κάποια σταθερή, τότε lim ( ) = x a (ii) Αν g(x)=cf(x) και lim f( x) = l, τότε lim g( x) = C l. x a (iii) Tις παραπάνω ιδιότητες (α), (β) και (γ). x a f x C, ανεξάρτητα από την τιµή του a. x a (iv) Αν g(x)=/f(x) και lim f( x) = l 0, τότε lim g( x ) = x a x a (v) Αν lim f( x) = l, lim g( x) = m και υπάρχει r>0 τέτοιο που f( x ) g( x ) για κάθε xœ x a x a (a-r,a)»(a, a+r), τότε l m. (vi) Αν για κάθε xœ (a-r,a)»(a, a+r) ισχύει ότι f( x ) g( x ) h( x ) και lim f( x) = l = lim x a h( x ), τότε και lim g( x) = l. x a l. x a Από τις παραπάνω ιδιότητες των ορίων του αθροίσµατος, του πολλαπλασιασµού και της σύνθεσης δύο συναρτήσεων µπορούµε αµέσως να συναγάγουµε συµπεράσµατα σαν τα εξής.. Για κάθε ακέραιο n και οποιοδήποτε στοιχείο, a, του πεδίου ορισµού της συνάρτησης f( x) = x n, lim f( x) = a n. x a. Για κάθε πολυώνυµο f( x ) = a 0 + a x + a x a n x n, lim f( x ) = a 0 + a a+ a a a n a n. x a 3. Aν f( x ) = a 0 + a x + a x a n x n, g( x ) = b 0 + b x + b x b m x m και f( x ) a 0 + a a+ a a a n a n g( a ) 0, τότε lim = x a g( x ) b 0 + b a+ b a b m a. m 4. Aν g( x ) = b 0 + b x + b x b m x m και 0 < g( a ), τότε 67

20 lim x a g( x ) = b 0 + b a+ b a b m a m. > f:='f': f:=x->3-*x+x^3+5*x^4; limit(f(x),x=a); r:=x->f(x)/(x^-); limit(r(x),x=a); limit(r(x),x=); s:=x->(sqrt(x)-sqrt(x-))/(x-sqrt()); limit(s(x),x=a); f := x 3 x + x x 4 3 a+ a a 4 r := x f( x ) x 3 a+ a a 4 s := x a undefined x x x a a a 68

21 > f:='f': f:=x->piecewise(x>0,,x<=0,x^); Limit(f(x),x=0); limit(f(x),x=0); plot(f(x),x=-..,y=0..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( 0 < x,, x 0, x ) lim x 0 { 0 < x x x 0 undefined Μονόπλευρα όρια Μια συνάρτηση f : Ñ T Ñ µπορεί να ορίζεται µόνο στα δεξιά ενός σηµείου x=a, γ.π. σ' ένα διάστηµα της µορφής (a, b). Tότε δεν έχει νόηµα το όριο της f καθώς το x πλησιάζει το σηµείο x=a, όπως το ορίσαµε παραπάνω. Μπορούµε, ωστόσο να µιλήσουµε για το όριο της f καθώς το x πλησιάζει το σηµείο x=a από τα δεξιά. Λέµε, λοιπόν, ότι η f(x) έχει από δεξιά όριο τον αριθµό l, ή ότι η f(x) τείνει στον l καθώς το x τείνει ή πλησιάζει στο σηµείο x=a από τα δεξιά και γράφουµε lim f( x) = l, αν ισχύει η x a+ ακόλουθη πρόταση. Για κάθε θετικό αριθµό ε, οσοδήποτε µικρό, υπάρχει ένας θετικός αριθµός δ, τέτοιος που η συνθήκη 0<x-a<δ συνεπάγεται ότι f(x)-l < ε. Μια συνάρτηση f : Ñ T Ñ που ορίζεται σ' ένα διάστηµα της µορφής [a, b) λέγεται συνεχής στο σηµείο x=a, αν lim f( x ) = f( a ). x a+ Στο Maple, η εύρεση του από δεξιά ορίου γίνεται µε την εντολή limit(f(x),x=a,right). 69

22 > f:=x->sqrt(x); plot(f(x),x=0..9,y=0..3,labels=[x,y]); Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); f := sqrt lim x 0+ x = 0 To σηµείο x=a στην εντολή limit(f(x),x=a) µπορεί να είναι και το µείον άπειρο ( ). Aυτό σηµαίνει ότι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) είναι της µορφής (, b) ή (, b] και µας ενδιαφέρει η συµπεριφορά της f(x) καθώς το x γίνεται πάρα πολύ µεγάλο σε απόλυτη τιµή, αλλά αρνητικό. Τότε η έκφραση lim f( x) = l σηµαίνει ότι, για κάθε x ( ) θετικό αριθµό ε, οσοδήποτε µικρό, υπάρχει ένας θετικός αριθµός R, τέτοιος που η συνθήκη x<-r συνεπάγεται ότι f(x)-l < ε. > plot(-/x,x= ,labels=[x,y]); limit(-/x,x=-infinity); 0 70

23 > plot(exp(x),x=-5..,labels=[x,y]); Limit(exp(x),x=-infinity)=limit(exp(x),x=-infinity); lim x ( ) e x = 0 > limit(tanh(x),x=-infinity); plot(tanh(x),x=-5..5,labels=[x,y]); - Αλλοτε πάλι, µια συνάρτηση f : Ñ T Ñ ορίζεται µόνο στ' αριστερά ενός σηµείου x=a γ.π. σ' ένα διάστηµα της µορφής (c, a). Tότε µπορούµε να ορίσουµε το όριο της f καθώς το x πλησιάζει το σηµείο x=a από τ' αριστερά. Λέµε, λοιπόν, ότι η f(x) έχει από αριστερά όριο τον αριθµό r, ή ότι η f(x) τείνει στον r, καθώς το x τείνει ή πλησιάζει στο σηµείο x=a από τ' αριστερά και γράφουµε lim f( x) = r x a-, αν ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Για κάθε θετικό αριθµό ε, οσοδήποτε µικρό, υπάρχει ένας θετικός αριθµός δ, τέτοιος που η συνθήκη 0<a-x<δ συνεπάγεται ότι f(x)-r < ε. Μια συνάρτηση f : Ñ T Ñ που ορίζεται σ' ένα διάστηµα της µορφής (c, a] λέγεται συνεχής στο σηµείο x=a, αν lim f( x ) = f( a ). x a- Στο Maple, η εύρεση του από αριστερά ορίου γίνεται µε την εντολή limit(f(x),x=a,left). 7

24 > f:='f': f:=x->sqrt(-x); limit(f(x),x=,left); plot(f(x),x=-3..3,y=0..,labels=[x,y],numpoints=00); f := x x 0 Aν το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) είναι της µορφής (c, ) ή [c, ), τότε µπορούµε να εξετάσουµε τη συµπεριφορά της f(x) καθώς το x γίνεται πάρα πολύ µεγάλο. Η έκφραση lim f( x) = r σηµαίνει ότι, για κάθε θετικό αριθµό ε, οσοδήποτε µικρό, υπάρχει x ένας θετικός αριθµός R, τέτοιος που η συνθήκη x>r συνεπάγεται ότι f(x)-r < ε. > f:=x->/x; Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); plot(/x,x=0...0,labels=[x,y]); f := x x lim x = 0 x 7

25 > f:=x->exp(-x); Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); plot(exp(-x),x=-..5,labels=[x,y]); f := x e ( x) lim e ( ) x x = 0 > f:=x->tanh(x); Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity); plot(tanh(x),x=-5..5,labels=[x,y]); f := tanh lim tanh( x ) = x Τέλος, για µια συνάρτηση f : Ñ T Ñ που ορίζεται σ' ένα υποσύνολο του Ñ της µορφής (a-r,a)»(a, a+r), όπου r>0, µπορούµε να µιλήσουµε τόσο για το από δεξιά όσο και για το απ' αριστερά όριό της στο x=a. Σηµειώστε ότι, ακόµα κι αν υπάρχουν και τα δύο, αυτά τα όρια µπορεί να είναι διαφορετικά. Είναι ίδια, εάν και µόνο όταν η f είναι συνεχής στο x=a. Από το γράφηµα που κατασκευάσαµε παραπάνω, είναι φανερό ότι η συνάρτηση f(x)={ x 0 + x 0 < x τείνει σε συγκεκριµένα αλλά διαφορετικά όρια καθώς πλησιάζουµε στο x=0 από τ' αριστερά κι από τα δεξιά, αντίστοιχα. Το Maple επιβεβαιώνει αυτή την παρατήρηση µε τη βοήθεια των ακόλουθων εντολών. 73

26 > f:=x->piecewise(x<=0,-,x>0,+x); Limit(f(x),x=0,left)=limit(f(x),x=0,left); Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); plot(f(x),x=-..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( x 0-,, 0 < x, x + ) lim x 0- lim x 0+ { - x 0 = - + x 0 < x { - x 0 = + x 0 < x > f:='f': f:=x->piecewise(x<0,+x^,x>0,x^); Limit(f(x),x=0,left)=limit(f(x),x=0,left); Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); plot(f(x),x=-..,y=0..,labels=[x,y],discont=true); f := x piecewise ( x < 0, x +, 0 < x, x ) lim x 0- lim x 0+ { { x + x < 0 = x 0 < x x + x < 0 = x 0 0 < x Συχνά συναντάµε εκφράσεις της µορφής lim f( x ) =, lim f( x ) =, lim f( x ) = και lim f( x ) =, x a+ x a+ x a- x a- 74

27 όπως στο ακόλουθο > f:=x->/x; Limit(f(x),x=0,left)=limit(f(x),x=0,left); Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right); f := x x lim x 0- lim x 0+ = x = x Θα πρέπει να είναι φανερό ότι η έκφραση lim f( x ) = σηµαίνει ότι, για κάθε M>0, x a+ υπάρχει ένας θετικός αριθµός ε, τέτοιος που η συνθήκη a<x<a+ε συνεπάγεται την ανισότητα f(x)>m. Ανάλογα, η έκφραση lim f( x ) = σηµαίνει ότι, για κάθε M>0, υπάρχει ένας θετικός x a+ αριθµός ε, τέτοιος που η συνθήκη a<x<a+ε συνεπάγεται την ανισότητα f(x)<-m. Η ερµηνεία των υπόλοιπων εκφράσεων αυτού του είδους αφήνεται για άσκηση του αναγνώστη. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων Μια συνάρτηση f : Ñ T Ñ λέγεται συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της, D(f). Αυτός ο ορισµός είναι σαφής όταν το D(f) είναι ένα διάστηµα της πραγµατικής ευθείας, αφού έχουµε ήδη ορίσει τη συνέχεια µιας συνάρτησης σε τυχαίο σηµείο ενός διαστήµατος της µορφής (a, b), [a, b), (a, b] και [a, b]. Μάλιστα, ο πιο πάνω ορισµός είναι και επαρκής, όχι µόνο γιατί εµείς θα περιοριστούµε στην περίπτωση όπου το D(f) είναι ένα διάστηµα, αλλά και γιατί αυτή είναι η µόνη ενδιαφέρουσα περίπτωση. Για να πεισθείτε, θεωρείστε γ.π. την περίπτωση στην οποία D(f)=(-, )»(, 5]»{9}»(0, ). Προφανώς, το σηµείο x=9 του πεδίου ορισµού είναι αποµονωµένο, µε την έννοια ότι µπορούµε να βρούµε ένα ανοιχτό διάστηµα, ας πούµε το (8.9, 9.), που δεν περιέχει κανένα σηµείο του D(f) εκτός από το ίδιο το x=9. Αφού, λοιπόν, η δοσµένη συνάρτηση δεν ορίζεται ούτε δεξιά ούτε αριστερά του x=9, είναι αδύνατο να ορίσουµε κάποια έννοια ορίου της f(x) καθώς πλησιάζουµε το σηµείο x=9. Μπορούµε, αν θέλουµε, να πούµε ότι σ' ένα αποµονωµένο σηµείο κάθε συνάρτηση είναι εξ ορισµού συνεχής. Τα άλλα υποσύνολα του Ñ που απαρτίζουν το δοσµένο D(f) είναι διαστήµατα ανάµεσα στα οποία επίσης παρεµβάλλονται διαστήµατα. που δεν ανήκουν στο ίδιο το D(f). Αν, λοιπόν, η συνάρτησή µας είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήµατα που ανήκουν στο D(f), είναι φυσικό να τη χαρακτηρίσουµε ως συνεχή σε όλο το D(f). To σύνολο των συναρτήσεων που είναι συνεχείς στο διάστηµα Ι συµβολίζεται µε C(I). Οταν το Ι είναι κλειστό, τα µέλη του συνόλου C(I) έχουν µια σειρά από ξεχωριστές ιδιότητες που αναφέρονται στη συνολική συµπεριφορά τους. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αυτών των ιδιοτήτων είναι το γεγονός ότι µια συνάρτηση αυτού του είδους παίρνει τόσο τη µέγιστη όσο και την ελάχιστη τιµή της µέσα στο διάστηµα Ι. Παρόλο που o νόηµα των 75

28 όρων µέγιστη και ελάχιστη τιµή είναι προφανές, θα το περιγράψουµε και αναλυτικά ως εξής. Ας υποθέσουµε ότι το πεδίο ορισµού, D(f), της συνάρτησης f(x) περιέχει ένα σηµείο x=a, τέτοιο που f( x ) f( a ) για κάθε xœd(f). Τότε ο αριθµός f( a ) λέγεται µέγιστο (maximum) ή µέγιστη τιµή της f(x) και το x=a σηµείο µεγίστου. Ανάλογα, αν υπάρχει σηµείο bœd(f), τέτοιο που f( b ) f( x ) για κάθε xœd(f), ότε ο αριθµός f( b ) λέγεται εάχιστο (minimum) ή ελάχιστη τιµή της f(x) και το x=b σηµείο ελαχίστου. Η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή µιας συνάρτησης αναφέρονται συλλογικά σαν ακρότατα ή ακρότατες τιµές της συνάρτησης και τα σηµεία µέγιστου κι ελάχιστου σαν κρίσιµα σηµεία. Συναφείς είναι οι έννοιες του πάνω και κάτω φράγµατος µιας συνάρτησης. Αυτές µπορούν να οριστούν µε τη βοήθεια των φραγµάτων ενός υποσύνολου της πραγµατικής ευθείας, τα οποία εξηγήσαµε στο κεφάλαιο για τα σύνολα. Πιο συγκεκριµένα, θα λέµε ότι η f(x) είναι άνω (κάτω) φραγµένη αν το πεδίο τιµών της, R(f), είναι ένα άνω (κάτω) φραγµένο υποσύνολο του Ñ. Συνακόλουθα, το ελάχιστο άνω φράγµα, sup(f), και το µέγιστο κάτω φράγµα, inf(f), της f(x) ταυτίζονται µε τις αντίστοιχες ποσότητες για το R(f). Λέµε ότι η f(x) είναι (σκέτα) φραγµένη αν το πεδίο τιµών της, R(f), είναι ένα φραγµένο υποσύνολο του Ñ. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει αριθµός Μ τέτοιος που y M για κάθε yœ R(f). Ισοδύναµα, f( x) M για κάθε xœd(f). Επανερχόµαστε στη συµπεριφορά των συνεχών συναρτήσεων και αναδιατυπώνουµε το θεώρηµα για τα ακρότατα που αναφέραµε παραπάνω. Θεώρηµα Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b], τότε υπάρχουν σηµεία x και x του [a, b] τέτοια που f( x ) f( x ) f( x ) κάθε xœ[a, b]. (α) Η συνάρτηση f( x) = x είναι συνεχής στο διάστηµα [-, ] και άρα πρέπει να δείχνει τη συµπεριφορά που προβλέπει το θεώρηµα. Πραγµατικά, η f( x) = x παίρνει την ελάχιστη τιµή της στο x=0, όπου f(0)=0, και τη µέγιστη στα σηµεία x=- και x=, όπου f(-)=f()=. (β) Η ίδια συνάρτηση είναι συνεχής και στο ανοιχτό διάστηµα (-, ), αλλά σ' αυτό το διάστηµα παίρνει µόνο την ελάχιστη τιµή της (στο x=0). (γ) Επιµένοντας στο παράδειγµα της f( x) = x, παρατηρούµε ότι αυτή είναι συνεχής και στο ανοιχτό διάστηµα (0, ), αλλά σ' αυτό το διάστηµα δεν έχει ούτε ελάχιστη ούτε µέγιστη τιµή. Για να µην παρεξηγηθεί το περιεχόµενο του θεωρήµατος λόγω του τελευταίου παραδείγµατος, σπεύδουµε να τονίσουµε ότι η συµπεριφορά που προβλέπει το θεώρηµα για τις συνεχείς συναρτήσεις που ορίζονται σε κλειστό διάστηµα δε σχετίζεται µε τη συµπεριφορά εκείνων που ορίζονται σε άλλου είδους διαστήµατα. Για παράδειγµα, η f( x ) = µε πεδίο ορισµού ολόκληρη την πραγµατική ευθεία είναι συνεχής και + x παίρνει τη µέγιστη τιµή της στο x=0. Θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής. Μια συνάρτηση f(x) που είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b] 76

29 παίρνει κάθε τιµή µεταξύ των f(a) των και f(b). Με άλλα λόγια, αν ο αριθµός C περιέχεται στο διάστηµα που ορίζουν οι f(a) και f(b), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο x œ (a, b) τέτοιο που f( x ) = C. 3. Παράγωγοι συναρτήσεων Ας υποθέσουµε ότι η f(x) ορίζεται σ' ένα ανοιχτό διάστηµα (a-r,a+r) γύρω από το σηµείο x=a. Τότε στο σύνολο (-r,0)»(0,r) ορίζεται η συνάρτηση R(h):=(/h) [f(a+h)-f(a)]. Αν το όριο αυτής της συνάρτης καθώς το h τείνει στο µηδέν υπάρχει, τότε λέµε ότι η f(x) είναι διαφορίσιµη στο x=a. To όριο f ' (a) της R(h) ονοµάζεται παράγωγος της f(x) στο x=a. Η f ' (a) συνήθως συµβολίζεται µε df (a). Έτσι, dx f '(a)= df dx (a):= lim Aν f( x) = x, τότε R( h) := h 0 f '(a)= df dx = lim R( h ) =a. h 0 restart: f:=x->x^; R:=h->(f(a+h)-f(a))/h; R(h); limit(r(h),h=0); ( a+ h) a h R( h ) = lim h 0 f ( a + h ) f( a). h. Συνεπώς, R( h) = f := x x f ( a + h ) f( a) R := h h ( a + h) a h + ah h = h + a, και άρα h a Στο Maple η παράγωγος της f(x) στο σηµείο x=a συµβολίζεται µε diff(f(a),a) ή µε D(f)(a). > f:=x->x^; diff(f(a),a); D(f)(a); f := x x a a H συνάρτηση f(x)= x περιέχεται στον κατάλογο των γνωστών στο σύστηµα Maple 77

30 συναρτήσεων, όπου συµβολίζεται µε abs(x). Χρησιµοποιώντας τον αντίστοιχο ορισµό, εύκολα διαπιστώνουµε ότι η παράγωγος της f(x)= x δεν υπάρχει στο x=0, ενώ για x διάφορο του µηδενός f '(x)= { x < 0 0 < x Aντίθετα, η προσπάθεια υπολογισµού της παραγώγου της f(x)= x µε τη βοήθεια του Maple, οδηγεί στο εξής δυσνόητο αποτέλεσµα. > f:=x->abs(x); diff(f(a),a); f := abs abs (, a) Για να καταλάβουµε αυτό το αποτέλεσµα, θα πρέπει να αναζητήσουµε βοήθεια στο θέµα (topic) "abs". Εκεί θα βρούµε την ακόλουθη παράγραφο. The derivative of abs is denoted by abs(, x). This is signum(x) for all non-0 real numbers, and is undefined otherwise. Εδώ πληροφορούµαστε ότι το Maple δίνει ως παράγωγο της abs(x)= x την abs(,x) που ταυτίζεται µε τη συνάρτηση signum(x)=πρόσηµο του x. Η τελευταία είναι ίση µε - για κάθε αρνητικό x, είναι ίση µε για κάθε θετικό x και δεν ορίζεται για x=0. Οπως παρατηρήσαµε στη συζήτηση των ορίων, µια συνάρτηση µπορεί να έχει ως πεδίο ορισµού ένα διάστηµα της µορφής [a, b). Σ' αυτή την περίπτωση, η έννοια της παραγώγου που ορίσαµε παραπάνω δεν έχει νόηµα στο σηµείο x=a. Ωστόσο, η συνάρτηση R(h):=(/h) [f(a+h)-f(a)] που χρησιµοποιήσαµε στον ορισµό της παραγώγου ορίζεται σε κάποιο διάστηµα της µορφής (0, r). Συνεπώς, µπορούµε να εξετάσουµε αν υπάρχει το όριο της R(h) καθώς πλησιάζουµε το µηδέν από τα δεξιά. Οταν αυτό το όριο υπάχει, το ονοµάζουµε δεξιά παράγωγο της f(x) στο x=a και το συµβολίζουµε µε f + '(a). Mε άλλα λόγια f ( a + h ) f( a ) f + '(a):= lim. h 0+ h Mε ανάλογο τρόπο, η ποσότητα f ( b + h ) f( b ) f( b ) f ( b h) f - '(b):= lim = lim, h 0- h h 0+ h όταν υπάρχει, ονοµάζεται αριστερή παράγωγος της f(x) στο x=b. Αποτελεί την κατάλληλη έννοια της παραγώγου για το άκρο x=b ενός πεδίου ορισµού της µορφής (a, b]. Aς σηµειωθεί ότι (α) Οι έννοιες της παραγώγου που έχουµε πλέον στη διάθεσή µας καλύπτουν όλα τα σηµεία κάθε τύπου διαστήµατος και (β) Οταν το x είναι εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού µιας συνάρτησης, όταν δηλαδή υπάρχει ανοιχτό διάστηµα (x-r, x+r) που περιέχεται στο σύνολο D(f), τότε f '(x)=f - '(x)=f + '(x), στο βαθµό βέβαια που αυτές οι παράγωγοι υπάρχουν. Κανόνες παραγώγισης Από τον ορισµό της παραγώγου και τις ιδιότητες των ορίων που µελετήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο συνάγονται εύκολα οι εξής "κανόνες παραγώγισης".. Αν f(x)=c=σταθερή, τότε f '(x)=0 (σε κάθε x).. Αν f(x)=cg(x), τότε f '(x)=cg '(x) σε κάθε x όπου η g(x) είναι διαφορίσιµη. 78

31 3. Αν h(x)=f(x)+g(x), τότε h '(x)=f '(x)+g '(x) σε κάθε x όπου οι f(x) και g(x) είναι διαφορίσιµες. 4. Αν p(x)=f(x)g(x), τότε p '(x)=f '(x)g(x)+f(x)g '(x) σε κάθε x όπου οι f(x) και g(x) είναι διαφορίσιµες. 5. Αν r(x)=f(x)/g(x), τότε r '(x)=[f '(x)g(x)-f(x)g '(x)]/[g(x)] σε κάθε x όπου οι f(x) και g(x) είναι διαφορίσιµες και η g(x) δε µηδενίζεται. 6. Αν s(x)=(gëf)(x), αν δηλαδή s(x)=g(f(x)), η f(x) είναι διαφορίσιµη στο x και η g(x) στο f(x), τότε s '(x)=g '(f(x))f '(x). (Αυτός ο τύπος για την παράγωγο της σύνθεσης δύο συναρτήσεων ονοµάζεται κανόνας της αλυσίδας.) Χρησιµοποιώντας τους παραπάνω κανόνες, µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα την παράγωγο όχι µόνο συγκεκριµένων περίπλοκων συναρτήσεων, αλλά και οικογενειών συναρτήσεων που τα µέλη τους έχουν ενιαίο τύπο. µιας τέτοιας οικογένειας είναι οι ακέραιες δυνάµεις του x. Aν λοιπόν f(x)=x n, όπου n τυχαίος ακέραιος, τότε χωρίς καµία δυσκολία βρίσκουµε ότι f '(x)=n x n-. > f:='f': f:=x->*x-x^3; diff(f(a),a); diff(f(x),x); D(f)(x); f := x x x 3 3 a 3 x 3 x > f:='f': f:=x->a+b*x+c*x^+d*x^3+e*x^4; diff(f(x),x); D(f)(x); > f:='f': f:=x->(a+b*x)^; diff(f(x),x); D(f)(x); f := x a + b x+ c x + dx 3 + ex 4 b + cx+ 3 dx + 4 ex 3 b + cx+ 3 dx + 4 ex 3 f := x ( a + b x) ( a + b x) b 79

32 > f:='f': f:=x->sqrt(x); diff(f(x),x); D(f)(x); > f:='f': f:=x->sqrt(x); diff(f(x),x); D(f)(x); ( a + b x) b f := sqrt x x f := sqrt x x Προσέξτε την τελευταία εντολή, simplify(%), αυτού του παραδείγµατος. Με αυτή την εντολή ζητείται η απλοποίηση του αποτελέσµατος της προηγούµενης. > f:='f': f:=x->(-x^)/(3+x^3); diff(f(x),x); D(f)(x); simplify(%); f := x x 3 + x 3 x 3( x ) x 3 + x 3 ( 3 + x 3 ) x 3( x ) x 3 + x 3 ( 3 + x 3 ) x ( 6 + x 3 6 x ) ( 3 + x 3 ) 80

33 > f:='f': f:=x->piecewise(x<,*(x-), x>=,(x-)*(3*x-)); diff(f(x),x); D(f)(x); plot(f(x),x=-..); f := x piecewise ( x <, x, x, ( x )( 3 x ) ) x { 6 x 4 < x x { 6 x 4 < x Θα πρέπει να είναι φανερό ότι µια συνάρτηση που έχει παράγωγο στο σηµείο x=a είναι υποχρεωτικά και συνεχής στο ίδιο σηµείο. (Το αντίστροφο, βέβαια, δεν ισχύει, όπως φαίνεται και από το παράδειγµα της f(x)= x που εξετάσαµε παραπάνω.) Μάλιστα, µπορούµε να πούµε και κάτι που αφορά τη συµπεριφορά της συνάρτησης σε µια γειτονιά του x=a : Το θεµελιώδες λήµµα της παραγώγισης (Protter-Murray 86) Αν η f έχει παράγωγο στο x=a, τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση Η, µε πεδίο ορισµού µια γειτονιά του µηδενός, τέτοια που f(a+h)=f(x)+hf'(a)+hh(h), H(0)=0. Απόδειξη Θεωρούµε τη συνάρτηση H, µε τύπο H(h)=R(h)-f'(a), όταν h 0, και H(0)=0. Από τον ορισµό της R αµέσως προκύπτουν οι ιδιότητες της Η. Ας υποθέσουµε ότι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f : Ñ T Ñ είναι κάποιο διάστηµα Ι κι ας ονοµάσουµε Α το υποσύνολο του Ι που αποτελείται από τα σηµεία όπου η f είναι διαφορίσιµη. Tότε µπορούµε να κατασκευάσουµε µια συνάρτηση g : Ñ T Ñ µε πεδίο ορισµού το Α, θέτοντας g(a)=f '(a) σε κάθε aœα. Η g(x) συνήθως ονοµάζεται παράγωγος (συνάρτηση) της f(x). Οταν Α=Ι, λέµε ότι η f είναι διαφορίσιµη ή παραγωγίσιµη. To σύνολο των συναρτήσεων που είναι διαφορίσιµες σε κάποιο διάστηµα Ι συµβολίζεται µε D(I). Αφού µια διαφορίσιµη συνάρτηση είναι υποχρεωτικά και συνεχής σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της, έπεται ότι το D(I) είναι γνήσιο υποσύνολο του C(I). > f:='f': 8

34 f:=x->x^; f':=x->diff(f(x),x); Error, unexpected single forward quote Το προηγούµενο παράδειγµα δείχνει ότι το Maple δε δέχεται τον τόνο σαν τµήµα ενός συµβόλου! Γι αυτό στο επόµενα θα δηλώνουµε την παράγωγο µιας συνάρτησης f(x) µε g(x), ή µε κάποιο άλλο γράµµα. > f:='f': f:=x->x^; g:=x->diff(f(x),x); g(x); > h:=x->d(f)(x); h(x); f := x x g := x diff ( f( x), x) x h := x x x H συνάρτηση h(x)=x είναι προφανώς συνεχής σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της. Γι αυτό λέµε ότι η f(x)=x είναι συνεχώς παραγωγίσιµη. Tο ίδιο ισχύει και για την ( x ) x < παραγωγίσιµη συνάρτηση f( x ) = { ( x ) ( 3 x ) x που µελετήσαµε παραπάνω: > f:='f': f:=x->piecewise(x<,*(x-), x>=,(x-)*(3*x-)); g(x):=d(f)(x); plot(g(x),x=-..,y=0..8); f := x piecewise ( x <, x, x, ( x )( 3 x ) ) x g( x ):= { 6 x 4 < x Ωστόσο, αυτό δεν ισχύει για κάθε µέλος της οικογένειας D(I), όπως αποδείχνεται απο το, εξωτικό οµολογουµένως, παράδειγµα που ακολουθεί. 8

35 Aν f( x ) = x sin x 0 x 0 x = 0 τότε f '(x)=g(x), όπου g( x ) = x sin cos x 0 x x 0 x = 0 Οµως, το όριο της g(x) καθώς το x τείνει στο µηδέν δεν υπάρχει. f:=x->piecewise(x<>0,x^*sin(/x)); g:=x->d(f)(x); limit(g(x),x=0); plot(f(x),x= ,numpoints=00); plot(g(x),x= ,numpoints=00); g := x lim x 0 f := x piecewise x 0, x sin x piecewise x = 00,, x sin cos x x 0 x = 0 x sin cos otherwise x x Οι συναρτήσεις που είναι συνεχώς παραγωγίσιµες σε κάποιο διάστηµα Ι αποτελούν, λοιπόν, ένα γνήσιο υποσύνολο του D(I). Αυτό το υποσύνολο συµβολίζεται µε C (Ι). ύο επιπλέον µέλη της οικογένειας C (Ñ) παρουσιάζονται στα αµέσως επόµενα παραδείγµατα. 83

36 > f:=x->piecewise(x>0,x^); g:=x->d(f)(x); plot([f(x),g(x)],x=-..); f := x piecewise ( 0 < x, x ) g := x piecewise ( x 00,, 0 < x, x ) > f:=x->piecewise(x<-,,-<=x and x<=,+(-x^)^,x>,); g:=x->d(f)(x); plot([f(x),g(x)],x=-..); f := x piecewise ( x < -,, - x and x, + ( x ), < x, ) g := x piecewise ( x -, 0, x, 4 ( x ) x, < x, 0 ) Παράγωγοι ανώτερης τάξης Η παράγωγος, f '(x), µιας συνάρτησης, f(x), µπορεί να είναι κι αυτή παραγωγίσιµη σε κάποιο υποσύνολο του πεδίου ορισµού της. Αν το x=a ανήκει σ' αυτό το υποσύνολο, τότε η παράγωγος της f '(x) σ' αυτό το σηµείο ονοµάζεται παράγωγος δεύτερης τάξης της f(x) στο x=a, ή, απλούστερα, δεύτερη παράγωγος της f(x) στο x=a. Με ανάλογο τρόπο ορίζεται η παράγωγος τρίτης, τέταρτης,..., και n-στής τάξης µιας συνάρτησης f(x). > f:='f': f:=x->x^; g:=x->d(f)(x); h:=x->d(g)(x); f := x x g := x x h := 84

37 Αρα η συνάρτηση h(x)= είναι η παράγωγος δεύτερης τάξης της f(x)=x. Στο Maple η η παράγωγος δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x) συµβολίζεται µε diff(f(x),x,x), diff(f(x),x$), D[,](f)(x). > restart: f:=x->x^; diff(f(x),x,x); diff(f(x),x$); f := x x Aνάλογος είναι ο συµβολισµός και των παραγώγων µεγαλύτερης τάξης. > f:=x->x^3; diff(f(x),x,x,x); diff(f(x),x$3); D[,,](f)(x); D[$3](f)(x); f := x x 3 > f:='f': f:=x->a+b*x+c*x^+d*x^3; h:=x->d(f)(x); h:=x->d[$](f)(x); h3:=x->d[$3](f)(x); h4:=x->d[$4](f)(x); f := x a + b x+ c x + dx h := x b + cx+ 3 dx h := x c + 6 dx h3 := x 6 d h4 := 0 Το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν συνεχή παράγωγο µέχρι και τάξης n σε κάποιο διάστηµα Ι συµβολίζεται µε C n (I). Οι συναρτήσεις που έχουν παράγωγο κάθε τάξης αποτελούν το σύνολο C (I). : Ενα γενικό και αντιπροσωπευτικό παράδειγµα συνάρτησης που ανήκει στην κλάση C n (Ñ ) είναι το εξής. 85

38 > f:=x->piecewise(x<=a,0,a<x and x<b,((x-a)*(x-b))^(n+),x>=b,0); f := x piecewise ( x a, 0, a < x and x < b, (( x a ) ( x b )) ( n + ), b x, 0 ) Ειδικό παράδειγµα του παραπάνω είδους : > f_ :=x->subs(a=,b=,n=3,f(x)); f_(x); plot(f_(x),x=0..3); f_:=diff(f_(x),x); plot(f_(x),x=0..3); f_(x):=diff(f_(x),x$); plot(f_(x),x=0..3); f_ := x subs ( a =, b =, n = 3, f( x )) 0 x ( x ) 4 ( x ) 4 x < - and x < 0 x f_ := 4( ) x 3 ( ) 0 x x 4 + 4( x ) 4 ( x ) 3 x 0 < x f_( x ) := ( x ) ( ) 0 x + x 3 ( x ) 3 + ( x ) 4 ( x ) x 0 < x x 4 3 ( ) 86

39 Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις ανήκουν στην κλάση C (R). To ίδιο ισχύει γενικότερα για την κατηγορία των συναρτήσεων που ονοµάζουµε αναλυτικές (βλ. παρακάτω). Οµως, υπάρχουν και συναρτήσεις που είναι C (R) χωρίς να είναι αναλυτικές. Αντιπροσωπευτικό παράδειγµα τέτοιας συνάρτησης είναι η παρακάτω. : Ενα γενικό και αντιπροσωπευτικό παράδειγµα συνάρτησης που ανήκει στην κλάση C (R) είναι το εξής. > f:=x->piecewise(x<=a,0,a<x and x<b,exp(((x-a)*(x-b))^(-)),x>=b,0); ( x a ) ( x b) f := x piecewise x a, 0, a < x and x < b, e, b x, 0 Ειδικό παράδειγµα του παραπάνω είδους : > f_ :=x->subs(a=,b=,n=3,f(x)); f_(x); plot(f_(x),x=0..3); f_ := x subs ( a =, b =, n = 3, f( x )) 0 x ( x ) ( x ) e x < - and x < 0 x > diff(f_(x),x); f_3:=x->diff(f_(x),x$3);f_3(x);plot(f_3(x),x=0..3); 87

40 ( x ) ( x ) 0 x ( x ) ( x ) e x < ( x ) ( x ) 0 x f_3 := x d 3 f_ ( x ) dx 3 { 0, x ( x ) 4 ( x ) ( x ) 3 ( x ) ( x ) ( x ) 3 ( x )( x ) 4 ( x ) ( x ) e + 3 ( x ) ( x ) ( x ) 3 ( x ) e ( x )( x ) + + ( x ) ( x ) ( x )( x ) 3 ( x )( x ) ( x ) ( x ) + e, x < ( x ) ( x ) ( x )( x ) 0, x 3 88

41 4. Αόριστο Oλοκλήρωµα Με τον όρο αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x) εννούµε µια συνάρτηση F(x) της οποίας η παράγωγος, F'(x), ισούται µε f(x). Με άλλα λόγια, αόριστο ολοκλήρωµα δοσµένης συνάρτησης f(x) λέγεται οποιαδήποτε συνάρτηση F(x) ικανοποιεί την εξίσωση F'(x)=f(x) για κάθε x στο πεδίο ορισµού, D(f), της f(x). To αόριστο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f(x) συµβολίζεται µε f( x) dx. Συνακόλουθα, F( x) = f( x) dx <=> F '(x)=f(x) Αφού (x )'= x, έπεται ότι x dx = x. Ωστόσο, και ( x + )'= x. Αρα µπορούµε να γράψουµε ότι x dx = x +. Γενικότερα, για οποιαδήποτε σταθερή C, ισχύει ότι ( x + C)'= x. Συνεπώς, θα ισχύει και ότι x dx = x + C. Aυτό που υποδηλώνει τούτο το παράδειγµα, ότι δηλαδή το αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης δεν ορίζεται µονοσήµαντα, ισχύει γενικά. Από το γεγονός ότι η παράγωγος µιας σταθερής C µηδενίζεται, αµέσως έπεται το ακόλουθο συµπέρασµα. Αν µια συγκεκριµένη συνάρτηση F(x) είναι αόριστο ολοκλήρωµα της f(x), τότε το ίδιο ισχύει και για κάθε συνάρτηση G(x)=F(x)+C, όπου C τυχαία σταθερή. Στο Maple η εύρεση ενός αόριστου ολοκληρώµατος της συνάρτησης f(x) επιτυγχάνεται µε την εντολή int(f(x),x). Με τη λεγόµενη αδρανή µορφή αυτής της εντολής, Ιnt(f(x),x), εισάγεται η έκφραση f( x) dx. > restart: Int(x^,x); int(x^,x); x dx 3 Παρατήρηση: Οπως επισηµάναµε παραπάνω, αυτό το αποτέλεσµα δεν είναι µοναδικό. x 3 Κάθε συνάρτηση της µορφής F(x)= + C, όπου C τυχαία σταθερή, είναι αόριστο 3 ολοκλήρωµα της f(x)=x. Aπόδειξη: > F:=x->x^3/3+C; x 3 89

42 diff(f(x),x); F := x + 3 x3 C x Η εξίσωση F'(x)=f(x), στην οποία το άγνωστο αντικείµενο είναι η συνάρτηση F(x), ονοµάζεται διαφορική. Συνεπώς, η κατασκευή αόριστων ολοκληρωµάτων της συνάρτησης f(x) ισοδυναµεί µε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης F'(x)=f(x). Οπως θα δούµε αναλυτικότερα στο αντίστοιχο κεφάλαιο, το Maple διαθέτει έναν ισχυρότατο µηχανισµό αυτόµατης επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Αυτός ο µηχανισµός ενεργοποιείται µε την εντολή dsolve.πιο συγκεκριµένα, η εντολή dsolve(ε, F(x)) oδηγεί στις λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Ε για τη συνάρτηση F(x), όπως στο παράδειγµα που ακολουθεί. > restart: F:='F': f:=x->x^; E:=diff(F(x),x)=f(x); dsolve(e,f(x)); > f:=x->sin(x): f := x x d E := = dx F( x) x 3 x F( x ) = + _C 3 int(f(x),x); F:='F': eq:=diff(f(x),x)=f(x); dsolve(eq,f(x)); cos( x ) d eq := = dx F( x ) sin( x ) F( x ) = cos( x ) + _C Για να παρουσιάσουµε το αποτέλεσµα αυτών των υπολογισµών, χρησιµοποιούµε την εντολή print, µ' έναν από τους ακόλουθους δύο τρόπους. Στον δεύτερο, η εντολή rhs( ) προκύπτει από τα αρχικά της έκφρασης right hand side = δεξιά πλευρά. > print(int(f(x),x)= int(f(x),x)+c); print(int(f(x),x)=rhs( dsolve(eq,f(x)))); 90

43 sin( x) dx = cos( x) + C sin( x) dx = cos( x ) + _C > restart: F:='F': f:=x->a+b*x+c*x^; E:=diff(F(x),x)=f(x); sol:=dsolve(e,f(x)); print(int(f(x),x)=rhs(sol)); f := x a + b x+ c x > f:=x->a/x+b*x+c*tan(x); F:='F': d E := = dx F( x ) a + b x+ c x cx 3 bx sol := F( x ) = + + a x + _C 3 a + b x + c x cx 3 bx dx = + + a x + _C 3 eq:=diff(f(x),x)=f(x): λύση:=dsolve(eq,f(x)): print(int(f(x),x)=rhs(λύση)); a f := x + bx+ c tan( x ) x a d = + + bx bx c tan( x) x a ln( x ) + c ln ( cos( x )) + _C x Στα πιο πάνω παραδείγµατα παρουσιάσαµε ένα ή περισσότερα αόριστα ολοκληρώµατα κάποιων συναρτήσεων, αλλά σε καµία περίπτωση δεν αναφέραµε αν εξαντλήσαµε το σύνολο των δυνατών ολοκληρωµάτων της αντίστοιχης συνάρτησης. Αυτό ισχύει ακόµα και για την απλούστερη όλων των συναρτήσεων, την ταυτοτικά µηδενική συνάρτηση! Πιο συγκεκριµένα, έχουµε αφήσει αναπάντητο το ακόλουθο, πολύ σηµαντικό, ερώτηµα. Ποιο είναι το σύνολο των αόριστων ολοκληρωµάτων της συνάρτησης f : Ñ T Ñ µε πεδίο ορισµού κάποιο διάστηµα της πραγµατικής ευθείας και τύπο f(x)=0; Είναι φανερό και το έχουµε ήδη αναφέρει ότι κάθε σταθερή συνάρτηση, δηλαδή κάθε 9

44 συνάρτηση µε τύπο F(x)=C=κάποια σταθερή, αποτελεί αόριστο ολοκλήρωµα της παραπάνω f(x). Μήπως, όµως, υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις µε αυτή την ιδιότητα; Η αρνητική απάντηση φαίνεται να είναι προφανής. Ωστόσο, η απόδειξή της δεν είναι και τόσο εύκολη υπόθεση. Προϋποθέτει τη γνώση του ακόλουθου βασικού θεωρήµατος. Θεώρηµα µέσης τιµής. Αν η f : Ñ T Ñ είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b] και f( b ) f( a) διαφορίσιµη στο (a, b), τότε υπάρχει σηµείο c, τέτοιο που f '(c)=. b a Aπόδειξη. Θα δώσουµε την απόδειξη τµηµατικά, αποδείχνοντας µια σειρά από αυτόνοµα αποτελέσµατα. Ας υποθέσουµε πρώτα ότι το σηµείο x=c ανήκει στο πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f(x) και µπορούµε να βρούµε κάποιο ανοιχτό διάστηµα (a, b) που περιέχει το c, τέτοιο που f( x ) f( c ) για κάθε xœ(a, b). Τότε ο αριθµός f(c) ονοµάζεται τοπικό µέγιστο της f(x) και το c σηµείο τοπικού µεγίστου. Ανάλογα, στην περίπτωση που f( c ) f( x ) για κάθε xœ(a, b), ο αριθµός f(c) ονοµάζεται τοπικό ελάχιστο της f(x) και το c σηµείο τοπικού ελαχίστου. Συλλογικά, τα σηµεία τοπικού ελάχιστου και µέγιστου ονοµάζονται κρίσιµα σηµεία και οι αντίστοιχες τιµές τοπικά ακρότατα της f(x). Λήµµα. Αν το x=c είναι είναι κρίσιµο σηµείο της συνάρτησης f(x) και η f(x) είναι παραγωγίσιµη στο c, τότε f '(c)=0. Aπόδειξη. Ας υποθέσουµε ότι το x=c είναι τοπικό µέγιστο. Τότε υπάρχει κάποιο r>0, τέτοιο που f( x ) f( c ) για κάθε xœ(a-r, a+r). Συνεπώς, για κάθε θετικό αριθµό h<r, θα f ( c + h ) f( c ) ισχύει ότι 0. Αυτή η σχέση διατηρείται και στο όριο h T0, πράγµα που h f( c ) f ( c h) σηµαίνει ότι f + '(c) 0. Aνάλογα, στα αριστερά του x=c θα ισχύει ότι 0 h. Στο όριο h T0 αυτή η σχέση γίνεται 0 f - '(c). Οµως, η υπόθεση ότι η η f(x) είναι παραγωγίσιµη στο c συνεπάγεται ότι f - '(c)= f + '(c)=f '(c). Ετσι καταλήγουµε στην 0 f '(c) 0, που ισοδυναµεί µε την f '(c)=0. Λήµµα ( Θεώρηµα Rolle). Αν η f : Ñ T Ñ είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b], διαφορίσιµη στο (a, b), και τέτοια που f(a)=f(b), τότε υπάρχει σηµείο c, τέτοιο που f '(c)=0. Aπόδειξη. Θυµηθείτε τη βασική (και µη αποδειγµένη) ιδιότητα των συναρτήσεων που είναι συνεχείς σ' ένα κλειστό διάστηµα να παίρνουν τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή τους. Υποθέτουµε, λοιπόν, ότι η δοσµένη συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιµή της στο σηµείο x του [a, b] και τη µέγιστη στο x. Συνεπώς, f( x ) f( x ) f( x ) για κάθε xœ[a, b]. Ανάλογα µε τη θέση των x και x στο διάστηµα [a, b], διακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις. (i) x =x =a ή x =x =b. Τότε η f(x) είναι αναγκαστικά σταθερή και ίση µε f(a). Αρα f '(x)=0 για κάθε xœ(a, b). (ii) x œ(a, b) και το x œ[a, b]. Tότε το x είναι τοπικό ελάχιστο και από το προηγούµενο λήµµα έπεται ότι f '(x )=0 (iii) x œ[a, b] και το x œ(a, b). Tότε το x είναι τοπικό µέγιστο και άρα f '(x )=0. Απόδειξη του θεωρήµατος µέσης τιµής. Οταν η f(x) είναι τέτοια που f(a)=f(b), το 9

45 θεώρηµα µέσης τιµής ταυτίζεται µε το θεώρηµα του Rolle που µόλις αποδείξαµε. Γι αυτό υποθέτουµε ότι f( a ) f( b ) και θεωρούµε την ευθεία που ενώνει τα σηµεία (a, f(a)) (b, f(b)). Aυτή η ευθεία περιγράφεται από την εξίσωση f( b ) f( a) y= g( x ):= f( a) + ( x a) b a Είναι φανερό ότι η συνάρτηση h(x):=f(x)-g(x) είναι διαφορίσιµη στο (a, b), µε παράγωγο f( b ) f( a ) h '(x)=f '(x)- στο τυχαίο σηµείο xœ(a, b), και συνάµα h(a)=h(b). Συνεπώς, η b a h(x) ινανοποιεί τις απαιτήσεις του θεωρήµατος Rolle και άρα υπάρχει σηµείο cœ(a, b), f( b ) f( a) τέτοιο που h '(c)=0. Αυτό σηµαίνει ότι f '(c)=. b a > g:=x->piecewise(x> and x<3,(x+)/): h:=x->piecewise(x> and x<3,(x-)*(3-x)^): f:=x->g(x)+h(x): with(plots): plot({g(x),f(x)},x=0..4,discont=true,labels=[x,y],color=[r ed,blue],legend=[f,g]); Warning, the name changecoords has been redefined 93

46 Πόρισµα. Αν η f : Ñ T Ñ είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b] και f '(x)=0 σε κάθε xœ(a, b), τότε η f είναι µια σταθερή συνάρτηση. Απόδειξη. Θεωρούµε το τυχαίο σηµείο xœ(a, b]. Από το θεώρηµα µέσης τιµής έπεται ότι υπάρχει κάποιο cœ(a, x) τέτοιο που f(x)=f(a)+(x-a)f '(c). Οµως, σύµφωνα µε την υπόθεση, f '(x)=0 σε κάθε xœ(a, b). Αρα, f '(c)=0, οπότε f(x)=f(a). Αφού αυτό ισχύει για οποιοδήποτε xœ(a, b], έπεται ότι f(x)=f(a) για κάθε xœ[a, b] κι αυτό σηµαίνει ότι η f είναι σταθερή. Παρατήρηση. Τούτο το πόρισµα απαντάει στο αρχικό µας ερώτηµα, λέγοντας ότι οι µόνες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης F '(x)=0 είναι οι σταθερές συναρτήσεις. Συνακόλουθα, αν µια συγκεκριµένη συνάρτηση F(x) είναι αόριστο ολοκλήρωµα της f(x), τότε το σύνολο των αόριστων ολοκληρωµάτων της συνάρτησης f(x) αποτελείται από τις συναρτήσεις της µορφής G(x)=F(x)+C, όπου C τυχαία σταθερή. 5. Ορισµένο Oλοκλήρωµα Help-Calculus-Integration-Approximations leftbox leftsum middlebox middlesumf:='f': rightsum(f(x),x=a..b,n); Θεωρούµε το κλειστό διάστηµα [a, b]. Το µήκος του είναι ίσο µε b-a και άρα, αν το χωρίσουµε σε n ίσα τµήµατα, το καθένα από αυτά θα έχει µήκος (b-a)/n. Τα σηµεία x(i)=a +[(b-a)/n]i, i=0,,,...,n, ορίζουν τα άκρα αυτών των διαστηµάτων, αφού (x(0), x(), x(),..., x(n-), x(n))=(a, a +(b-a)/n, a+(b-a)/n,..., a+(n-)(b-a)/n, b). Υποθέτουµε, τώρα, ότι η συνάρτηση f(x) ορίζεται σε κάθε σηµείο του διαστήµατος [a, b] 94

47 και είναι φραγµένη. Η τιµή της στο πάνω άκρο του διαστήµατος [x(i-), x(i)] είναι f(x(i)). Συνακόλουθα, αν f(x(i))= f(x(i)), τότε ο αριθµός [(b-a)/n]f(x(i)) είναι ίσος προς το εµβαδό, E i, του ορθογώνιου παραλληλόγραµµου που έχει βάση το διάστηµα [x(i-), x(i)] και ύψος f(x(i)). Αν f(x(i))=- f(x(i)), τότε [(b-a)/n]f(x(i))=- E i. Η συνάρτηση h ( x, i ) := { f ( x( i )) x ( i ) < x and x x( i ) 0 διαφορετικά είναι σταθερή και ίση µε f(x(i)) στο διάστηµα (x(i-), x(i)] και µηδενίζεται για κάθε άλλο x. Aν γ.π. f(x)=x-3/, n=0 και [a, b]=[,3], τότε το ακόλουθο γράφηµα των h(x,) και h(x,5) είναι αντιπροσωπευτικό όλων των συναρτήσεων h(x,i), i=,,...,n. 95

48 > x:=i->subs(a=, b=3, n=0,a+(b-a)*i/n): f:=x->x-.5: h:=(x,i)->piecewise(x>x(i-) and x<=x(i),f(x(i))): plot([h(x,),h(x,8),x-.5],x=0..3,labels=['x','y']); Το άθροισµα g( x ) := n i = h ( x, i ) αποτελεί µια κλιµακωτή συνάρτηση το γράφηµα της οποίας κατασκευάζεται εύκολα: > g:=x->sum(h(x,i),i=..0): plot(g(x),x=0..3.5,labels=['x','y']); plot([h(x,),h(x,8),g(x)],x=0..3.5,labels=['x','y']); Aς θεωρήσουµε την περιοχή Π(g(x),[a,b]) του επίπεδου x-y που ορίζεται από τις ευθείες x=a, x=b, τον άξονα x και το γράφηµα της g(x). Οπως φαίνεται και στο τελευταίο 96

49 διάγραµµα, αυτή η περιοχή αποτελείται,γενικά, από τµήµατα που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x και άλλα πού βρίσκονται κάτω απ' αυτόν τον άξονα. Aν E + είναι το εµβαδόν των πάνω από τον άξονα x τµηµάτων και E - εκείνο των από κάτω, τότε E + -E - = RS ( f, n ) όπου n ( b a) f ( x( i )) i = RS ( f, n) :=. n Ο αριθµός RS ( f, n ) ονοµάζεται άθροισµα Riemann για τη συνάρτηση f(x) στο διάστηµα [a, b]. Αποτελεί ένα αντιπρο- σωπευτικό παράδειγµα άπειρων άλλων αριθµών που προκύπτουν από κατασκευές σαν αυτή που µόλις περιγρά- ψαµε. Για την ακρίβεια, στις κατασκευές αυτού του τύπου, (α) Τα σηµεία x(i) δεν είναι απαραίτητο να βρίσκονται σε ίση απόσταση το ένα από το άλλο. Αρκεί να επιλέγονται µε τρόπο ώστε a=x 0 <x <x <...<x n <x n =b. (β) εν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε την τιµή της συνάρτησης f(x) στο πάνω άκρο, x i, του διαστήµατος [, ]. Μπορούµε να κατασκευάζουµε το άθροισµα x i x i * * χρησιµοποιώντας την τιµή f(x i ), όπου xi οποιοδήποτε σηµείο του διαστήµατος [ x i, x i ]. Θέτοντας x i := x i x i, γράφουµε το αντίστοιχο άθροισµα Riemann σαν RS ( f, n) := n i = * f( x i ) xi Eάν κάθε ακολουθία { RS ( f, n )}συγκλίνει σε κάποιον αριθµό καθώς το n τείνει στο άπειρο, αυτός ο αριθµός ονοµάζεται ορισµένο ολοκλήρωµα Riemann της f(x) στο b διάστηµα [a, b] και συµβολίζεται µε f( x) dx. a Οταν το ορισµένο ολοκλήρωµα Riemann της φραγµένης συνάρτησης f(x) στο διάστηµα [a, b] υπάρχει, η f(x) λέγεται ολοκληρώσιµη κατά Riemann στο διάστηµα [a, b]. Η γενική µορφή των σηµείων x i του διαστήµατος [a, b] και της συνάρτησης RS ( f, n ) που ορίσαµε παραπάνω εισάγεται µε τις εξής εντολές: x:=i->a+(b-a)*i/n; f:=x->f(x); RS(f,n):=(b-a)/n*Sum(f(x(i)),i=..n); ( b a) i x := i a + n f := f ( b a) n i = f a + ( b a) i n RS ( f, n) := n Για τον υπολογισµό ενός συγκεκριµένου αθροίσµατος Riemann, κάνουµε τις απαραίτητες αντικαταστάσεις:f:=x->x-3/; E:=subs(a=, b=3,n=0,rs(f,n)); 97

50 value(e); evalf(e); 3 f := x x 0 E := i 5 f + 5 i = Εναλλακτικά, µπορούµε να υπολογίσουµε πρώτα το άθροισµα Riemann για τυχαίο n και στη συνέχεια να βρούµε την τιµή του αθροίσµατος για κάποιο συγκεκριµένο n. Αυτός ο τρόπος µας επιτρέπει να υπολογίσουµε εύκολα και το ορισµένο ολοκλήρωµα Riemann της συνάρτησης που µας ενδιαφέρει. Αρκεί να βρούµε το όριο του αθροίσµατος Riemann καθώς το n τείνει στο άπειρο. restart: f:='f': x:='x': RS(f,n):=((b-a)/n)*Sum(f(x(i)),i=..n); x:=i->subs(a=, b=3,a+(b-a)*i/n): f:=x->x-3/: s:=value(subs(a=, b=3,rs(f,n))); subs(n=0,s); limit(s,n=infinity); n ( b a) i = RS ( f, n) := n n ( n + ) + n s := n 6 5 f ( x( i) ) n + Στο Maple η συνάρτηση R(f,n) που ορίσαµε παραπάνω ονοµάζεται rightsum(f(x), x=a..b, n), δηλαδή δεξί άθροισµα Riemann, και περιέχεται στο πακέτο student: > with(student): f:='f': rightsum(f(x),x=a..b,n); n 98

51 ( b a) rightsum(x-3/,x=..3,0); value(%); evalf(%); n i = f a + n ( b a) i n 0 i i = Με την εντολή rightbox κατασκευάζεται η κλιµακωτή συνάρτηση g(x) rightbox(x-3/,x=..3,0); To άθροισµα Riemann που κατασκευάζεται χρησιµοποιώντας την τιµή της f(x) στο αριστερό άκρο του διαστήµατος [ x i, x i ] ονοµάζεται leftsum(f(x), x=a..b, n) και η αντίστοιχη κλιµακωτή συνάρτηση leftbox(f(x), x=a..b, n): > leftsum(f(x),x=a..b,n); leftsum(x-3/,x=..3,0); value(%); evalf(%); leftbox(x-3/,x=..3,0); n ( b a) i ( b a) f a + n i = 0 n 9 i i =

52 Τέλος, το άθροισµα Riemann που κατασκευάζεται χρησιµοποιώντας την τιµή της f(x) στο µεσαίο σηµείο του διαστήµατος [ x i, x i ] ονοµάζεται middlesum(f(x), x=a..b, n) και η αντίστοιχη κλιµακωτή συνάρτηση middlebox(f(x), x=a..b, n): > middlesum(f(x),x=a..b,n); middlesum(x-3/,x=..3,0); value(%); evalf(%); middlebox(x-3/,x=..3,0); n i + ( b a) ( b a) f a + n i = 0 n 9 i i = 0. Για οποιαδήποτε ολοκληρώσιµη συνάρτηση µπορούµε, τώρα, να συγκρίνουµε τα διάφορα αθροίσµατα Riemann που ορίσαµε παραπάνω, καθώς και τα όριά τους για nt µε το το αντίστοιχο ολοκλήρωµα Riemann που υπολογίζεται µε την εντολή int(f(x),a..b). l:=value(leftsum(x-3/,x=..3,n)); limit(s,n=infinity); m:=value(middlesum(x-3/,x=..3,n)); limit(m,n=infinity); 00

53 r:=value(rightsum(x-3/,x=..3,n)); limit(r,n=infinity); int(x-3/,x=..3); r := l := n n m := n ( n + ) + n n n + > print(int('(x-3/)',x=..3)=int(x-3/,x=..3)); 3 x d = x > restart: with(student): a:=0: b:=pi: f:=x->sinx: n='n'; l:=value(leftsum(f(x),x=a..b,n)); limit(l,n=infinity); m:=value(middlesum(f(x),x=a..b,n)); limit(m,n=infinity); r:=value(rightsum(f(x),x=a..b,n)); limit(r,n=infinity); int(f(x),x=a..b); print(int(f(x),x=a..b)=int(f(x),x=a..b)); n = n l := π sinx π sinx m := π sinx π sinx 3 n 0

54 r := π sinx π sinx π sinx sinx dx = π sinx 0 > restart: with(student): a:=0: b:=pi: f:=x->sin(x): n='n'; ls:=leftsum(f(x),x=a..b,n); l:=value(ls); limit(l,n=infinity); int(f(x),x=a..b); print(int(f(x),x=a..b)=int(f(x),x=a..b)); n = n n π sin i π n i = 0 ls := n π sin π n l := n cos π n sin( x) dx = 0 > restart: with(student): a:=0: b:=pi: f:=x->sin(x): n='n'; ms:= middlesum(f(x),x=a..b,n); m:=value(ms); limit(m,n=infinity); π π 0

55 int(f(x),x=a..b); print(int(f(x),x=a..b)=int(f(x),x=a..b)); = n n := ms π = i 0 n sin + i π n n m := π cos π n sin π n sin π n cos π n sin π n n cos π n = d 0 π ( ) sin x x > restart: with(student): a:=0: b:=pi: f:=x->sin(x): n='n'; rs:=rightsum(f(x),x=a..b,n); r:=value(rs); limit(r,n=infinity); int(f(x),x=a..b); print(int(f(x),x=a..b)=int(f(x),x=a..b)); = n n := rs π = i n sin i π n n r := π + + sin ( ) + n π n sin π n cos ( ) + n π n cos π n sin π n sin π n cos π n cos π n n 03

56 π sin( x) dx = 0 Από τον ορισµό του ορισµένου ολοκληρώµατος έπεται ότι το εµβαδόν της περιοχής που ορίζεται από τις καµπύλες y = f( x ), y = g( x ) και τις ευθείες x = a, x = b>a, δίνεται από b την έκφραση f( x ) g( x) dx. a > f:=x->x^; g:=x->6/(+x^); plot([f(x),g(x)],x=0..4); plot(abs(f(x)-g(x)),x=0..4,filled=true); f := x x g := x 6 x + > abs(f(x)- g(x)); int(abs(f(x)-g(x)),x=0..4); evalf(%); x 6 x arctan( ) 6 arctan( 4)

57 > with(student); [ D, Diff, Doubleint, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, changevar, completesquare, distance, equate, integrand, intercept, intparts, leftbox, leftsum, makeproc, middlebox, middlesum, midpoint, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent, simpson, slope, summand, trapezoid ] > with(student[calculus]): > f:=x->sin(x); g:=x->cos(x); plot([f(x),g(x)],x=0..pi); plot(abs(f(x)-g(x)),x=0..pi,filled=true); abs(f(x)- g(x)); int(abs(f(x)-g(x)),x=0..pi); evalf(%); f := sin g := cos sin( x ) cos( x ) Ανάλογα, το µήκος της καµπύλης y = f( x ) από το σηµείο x = a ως το σηµείο x = b>a δίνεται από το ορισµένο ολοκλήρωµα a:=0: b:=pi: a b d + dx f( x ) dx. 05

58 f:=x->sin(x): sqrt(+(diff(f(x),x))^); int(sqrt(+(diff(f(x),x))^),x=a..b); evalf(%); + cos( x ) EllipticE > a:=-: b:=: f:=x->sqrt(-x^); sqrt(+(diff(f(x),x))^); int(sqrt(+(diff(f(x),x))^),x=a..b); evalf(%); f := x x + x x π Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Riemann Τα βασικά θεωρήµατα που αφορούν τις ολοκληρώσιµες συναρτήσεις είναι τα εξής.. Αν οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι ολοκληρώσιµες στο διάστηµα [a, b], τότε το ίδιο ισχύει και για κάθε γραµµι- κό συνδυασµό τους, δηλαδή για κάθε συνάρτηση της µορφής c f(x)+c g(x). Επιπλέον, b { c + } d f( x) c g( x) x=c f( x) dx+c g( x) dx a a a. Αν a<b<c, τότε η συνάρτηση f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [a, c], εάν και µόνο όταν είναι ολοκληρώσιµη και στα δύο διαστήµατα [a, b], [b, c]. Σ' αυτή την περίπτωση c f( x) dx= f( x) dx+ f( x) dx a a b 3. Αν η συνάρτηση f(x) είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [a, b] και f( x) M για κάθε x œ[a, b], τότε b f( x) dx M( b a) a 4. Αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστηµα [a, b], τότε είναι και ολοκληρώσιµη στο ίδιο διάστηµα. Σ' αυτή την περίπτωση ισχύουν, ειδικότερα, τα εξής: (α) b m ( b a ) f( x) dx M( b a ), a b c b b 06

59 όπου m, M η ελάχιστη και µέγιστη, αντίστοιχα, τιµή της f(x) στο διάστηµα [a, b]. (β) Υπάρχει κάποιο σηµείο cœ[a, b], τέτοιο που b f( x) dx = f( c )( b a ). a (γ) Το θεµελιώδες θεώρηµα του (διαφορικού και ολοκληρωτικού) λογισµού. H συνάρτηση x F( x) := f( y) dy, a είναι συνεχής στό διάστηµα [a, b] και τέτοια που F '(x)=f (x) για κάθε xœ[a, b]. (Εξυπακούεται ότι, στα άκρα a, b του διαστήµατος [a, b], η F '(x) δηλώνει την πλευρική παράγωγο της συνάρτησης F(x)). (δ) Αν η συνάρτηση G(x) είναι ένα αόριστο ολοκλήρωµα της f(x) στο διάστηµα [a, b], τότε b f( x) dx = G( b ) G( a ). a Παρατήρηση. Πρακτικά, ο υπολογισµός των ορισµένων ολοκληρωµάτων συνεχών συναρτήσεων γίνεται, κυρίως, µε τη χρήση του τελευταίου τύπου. Απόδειξη του θεµελιώδους θεωρήµατος. Αν xœ[a, b) και το h είναι θετικό και αρκετά µικρό, τότε το x+hœ[a, b]. Aπό τον ορισµό της F(x) και τη δεύτερη από τις ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος που αναφέραµε παραπάνω έπεται ότι x+ h F ( x + h ) F( x ) = f( y) dy f( y) dy= a x x a x + h f( y) dy+ f( y) dy- f( y) dy= f( y) dy. a x a x Aπό την 4(β) συνάγεται ότι υπάρχει cœ[x, x+h], τέτοιο που Συνεπώς, και, αφού η f(x) είναι συνεχής, x+ h x F ( x + h ) F( x ) h f( y) dy = f( c) h. = x f( c ) F ( x + h ) F( x ) lim = f( x ). h 0 h Aυτό σηµαίνει ότι η από δεξιά παράγωγος της F(x) υπάρχει για κάθε xœ[a, b) και είναι ίση προς την f(x). Με ανάλογο τρόπο, η επιλογή h<0 oδηγεί στο συµπέρασµα ότι η από αριστερά παράγωγος της F(x) υπάρχει για κάθε xœ(a, b] και είναι ίση προς την f(x). > trapezoid(f(x),x=a..b,n); trapezoid(x-3/,x=..3,0); value(%); evalf(%); x+ h 07

60 n i = > simpson(f(x),x=a..b,n); simpson(x-3/,x=..3,0); value(%); evalf(%); + n 9 i =. + i n i 0 n n 4 ( i ) i n + i = n i = 3 n i i 5 5 i = i =. > display({area,area}); rightbox(x^4*ln(x), x=..4, color=magenta); rightbox(sin(x)*x+sin(x), x=0..*pi, 5, color=cyan); rightbox(sin(x)*x+sin(x), x=0..*pi, 5, shading=blue); display ({ area, area }) 08

61 09

62 6. Το πακέτο Student Σε νεότερες εκδόσεις του Maple, το πακέτο εντολών student έχει υπερκεραστεί από το πολύ πλουσιότερο Student. To τελευταίο περιέχει δεκάδες αυτόµατες κατασκευές γραφικών που δείχνουν παραστατικά τα διάφορα ποιοτικά χαρακτηριστικά των συναρτήσεων. Το "υποπακέτο" (subpackage) Calculus καλύπτει όλη την ύλη του καθιερωµένου κύκλου µαθηµάτων διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισµού που βρίσκει κανείς στα προγράµµατα προπτυχιακών σπουδών των σχολών θετικών επιστηµών. Για παράδειγµα, η εντολή FunctionChart οδηγεί σ' ένα διάγραµµα που αναδείχνει τη συµπεριφορά µιας συνάρτησης σε διάφορα τµήµατα του πεδίου ορισµού της, όπως τα διαστήµατα στα οποία είναι αύξουσα ή φθίνουσα, είναι κυρτή ή κοίλη, τα κρίσιµα σηµεία της κ.λ.π. Τα παραδείγµατα που ακολουθούν αποτελούν µόνο ένα δείγµα της ποιοτικής ανάλυσης που µπορούµε να παραστήσουµε γραφικά µέσω της εντολής FunctionChart. Λεπτοµέρειες για τα ειδικότερα στοιχεία αυτής της εντολής βρίσκονται στο Help. Ανάδειξη των διαστηµάτων όπου η f( x) = x είναι φθίνουσα και αύξουσα: with(student[calculus]): FunctionChart(x^,x=-6..6, concavity=[],slope=color(blue,red)); Το ίδιο για τη συνάρτηση f( x ) = 0 + x ( 6 x ) είναι φθίνουσα και αύξουσα: with(student[calculus]): FunctionChart(0+x^*(6-x^),x=-5..5, concavity=[],slope=color(blue,red),pointoptions=[symbolsize= 5]); 0

63 Προσδιορισµός -µε βέλη- των διαστηµάτων όπου η προηγούµενη συνάρτηση f( x ) = 0 + x ( 6 x ) είναι κυρτή ή κοίλη.φθίνουσα: with(student[calculus]): FunctionChart(0+x^*(6-x^),x=-5..5,slope=color(blue,red)) ; > FunctionChart(sin(x),x=-*Pi..*Pi,sign=filled(cyan, wheat), slope=color(blue,red));

64 Πραγµατικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. Ορισµός και γραφικές παραστάσεις Τα παραδείγµατα που ακολουθούν δείχνουν τον τρόπο µε τον οποίο ορίζονται συναρτήσεις δύο ή περισσότερων µεταβλητών. > restart: u:=(x,y)->+x^+y^; u := ( x, y ) + x + y > f:=(x,y,z)->sqrt(-x^-y^-z^); f := ( x, y, z ) x y z Γράφηµα µιας συνάρτησης f(x,y) ονοµάζουµε το σύνολο των σηµείων (x,y,z) του Ñ 3 για τα οποία ισχύει η σχέση z=f(x,y). Στο Maple, η γραφική παράσταση ενός γραφήµατος κατασκευάζεται µε την εντολή "plot3d". with(plots): plot3d(u(x,y),x=-..,y=-..); Warning, the name changecoords has been redefined Aν, µετά την εµφάνιση του γραφήµατος, φέρουµε τον δείχτη (cursor) πάνω στο γράφηµα, τότε τη θέση της δεύτερης σειράς εντολών (bar) στην κορυφή της οθόνης παίρνει µια σειρά εντολών που αφορούν την επεξεργασία του γραφήµατος. Με αυτές τις εντολές

65 µπορούµε να εισαγάγουµε άξονες, να στρίψουµε το γράφηµα δεξιά-αριστερά, πάνω-κάτω, να αλλάξουµε την υφή του κ.λ.π. plot3d(u(x,y),x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y","z" ],orientation=[-65,66]); > v:=(x,y)->sin(sqrt(x^+y^))/sqrt(x^+y^); plot3d(v(x,y),x=-0..0,y=-0..0,axes=frame,labels=["x"," y","z"],orientation=[-65,66]); v := ( x, y) sin ( x + y ) x + y > f:=(x,y)->(x^+y^)/(x-y); plot3d(f(x,y), x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y","z"],orientatio n=[-7,56]); f := ( x, y) x + y x y 3

66 > h:=(x,y)->cos(+x^+y^); plot3d(h(x,y),x=-3..3,y=-3..3,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-36,37]); h := ( x, y ) cos ( + x + y ) > g:=g; g:=(x,y)->piecewise(y>=0,x*y, y<=0,0); plot3d(g(x,y),x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-48,58]); g := g g := ( x, y ) piecewise ( 0 y, y x, y 00, ) > g:='g': g:=(x,y)->piecewise(x*y>=0,x*y,x*y<=0,0); plot3d(g(x,y),x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y"," 4

67 z"],orientation=[-7,56]); g := ( x, y ) piecewise ( 0 yx, yx, yx 00, ) > g:=g; f:=f; f:=(x,y)->exp(-/(-x^-y^)); g:=(x,y)->piecewise(x^+y^<=,f(x,y)); plot3d(g(x,y),x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-47,55]); g := g f := f f := ( x, y) e x y g := ( x, y ) piecewise ( x + y, f ( x, y) ) Με την εντολή "implicit plot" µπορούµε να κατασκευάσουµε άλλου είδους γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων όχι µόνο δύο αλλά και τριών µεταβλητών. > f:='f': f:=(x,y)->x^-y^-; implicitplot(f(x,y),x=-..,y=-..); f := ( x, y ) x y 5

68 > f:='f': f:=(x,y,n)->x^-y^-n: s:={seq(f(x,y,n),n=..4)}; implicitplot(s,x=-4..4,y=-4..4); s := { x y 3, x y, x y 4, x y } > f:='f': f:=(x,y,z)->x^+y^+z^-; implicitplot3d(f(x,y,z),x=-...,y=-...,z=-...,axes=frame,labels=["x","y","z"],orientation=[-47,55]); f := ( x, y, z ) x + y + z 6

69 >. Ορια και συνέχεια Ας υποθέσουµε ότι στο Ευκλείδειο επίπεδο έχουµε εισαγάγει ένα Καρτεσιανό σύστηµα αξόνων που µας επιτρέπει να αντιστοιχούµε κάθε του σηµείο σε ένα και µοναδικό ζευγάρι πραγµατικών αριθµών. Με αυτό τον τρόπο η φράση "θεωρούµε το σηµείο Α=(, )" αποκτάει σαφέστατο νόηµα : ηλώνει ότι µιλάµε για το σηµείο Α του επίπεδου το οποίο, στους άξονες που επιλέξαµε, αντιστοιχεί στο ζευγάρι (, ). Ας θεωρήσουµε, λοιπόν, τα σηµεία Α=(a,b) και Γ=(x,y) του Ευκλείδειου επίπεδου. Για ευκολία υποθέτουµε ότι x>a και y>b. Τότε τα σηµεία Α=(a,b), Β=(x,b) και Γ=(x,y) αποτελούν τις κορυφές ενός ορθογώνιου τριγώνου µε βάση το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και υποτείνουσα το ΑΓ. Προφανώς, το µήκος της βάσης είναι x-a και το ύψος του τριγώνου y-b. Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα έπεται ότι το µήκος της υποτείνουσας ΑΓ είναι ίσο µε ( x a) + ( y b). Θυµίζουµε ότι, αυτή η παρατήρηση µας οδήγησε στον ακόλουθο ορισµό. Ονοµάζουµε απόσταση των στοιχείων (a,b) και (x,y) του Ñ τον αριθµό ( x a) + ( y b). Συνακόλουθα, η απόσταση του (x,y) από το (0, 0) είναι ίση µε x + y. Αυτή την απόσταση ονοµάζουµε και µήκος του διανύσµατος (x,y). Το σύνολο των σηµείων του Ñ που βρίσκονται σε απόσταση µικρότερη του r>0 από ένα συγκεκριµένο σηµείο (a,b) ονοµάζεται ανοιχτός δίσκος ακτίνας r µε κέντρο το (a,b). Θα λέµε ότι µια συνάρτηση f(x,y) ορίζεται στη γειτονιά του σηµείου (a,b), αν το πεδίο ορισµού της περιέχει κάποιον ανοιχτό δίσκο ακτίνας r µε κέντρο το (a,b), µε εξαίρεση, ίσως, το ίδιο το σηµείο (a,b). Ας υποθέσουµε, λοιπόν, ότι η f(x,y) ορίζεται στη γειτονιά του (a,b) και ότι υπάρχει ένας αριθµός L, τέτοιος που, για οποιοδήποτε ε>0, µπορεί να βρεθεί ένα δ>0, τέτοιο που f(x,y)-l <ε για κάθε σηµείο (x,y) που απέχει λιγότερο του δ από το (a,b). Τότε θα λέµε 7

70 ότι η f(x,y) έχει όριο, τον αριθµό L, καθώς πλησιάζουµε το σηµείο (a,b) και θα γράφουµε lim f ( x, y) = L (x,y) (a,b) Στην περίπτωση που η f(x,y) ορίζεται στο (a,b) και συνάµα lim f ( x, y ) = f ( ab,, ) (x,y) (a,b) θα λέµε ότι η f(x,y) είναι συνεχής στο σηµείο (a,b). Θα λέµε ότι η δοσµένη συνάρτηση είναι συνεχής, αν είναι συνεχής σε όλα τα σηµεία του πεδίου ορισµού της. Tα παραδείγµατα που ακολουθούν δείχνουν ότι το Maple τα καταφέρνει στον υπολογισµό των ορίων µόνο όταν η δοσµένη συνάρτηση είναι πολυωνυµική ή ρητή, δηλαδή κλάσµα πολυωνυµικών συναρτήσεων. Στις πιο σύνθετες συναρτήσεις... σηκώνει τα χέρια. > restart: with(student): f:=(x,y)->x^+y^; limit(f(x,y),{x=a,y=b}); f := ( x, y ) x + y a + b > f:=(x,y)->x*y; plot3d(f(x,y),x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-56,59]); limit(f(x,y),{x=a,y=b}); f := ( x, y) y x ba > f:=(x,y)->x*y/(x^+y^); plot3d(f(x,y),x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-46,]); limit(f(x,y),{x=a,y=b}); f := ( x, y) xy x + y 8

71 > f:=(x,y)->x*y/(x^+y^); limit(f(x,y),{x=0,y=0}); ba a + b f := ( x, y) xy x + y xy limit, x + y { x = 0, y = 0} > u:=(x,y)->(x^+y^)^(/); limit(u(x,y),{x=a,y=b}); u := ( x, y ) x + y limit ( x + y, { x = a, y = b} ) > u:=(x,y)->(x^+y^)^(/); limit(limit(u(x,y),x=a),y=b); > limit(u(x,y),{x=0,y=0}); u := ( x, y ) x + y a + b limit ( x + y, { x = 0, y = 0} ) > limit(sin(x)*y,{x=a,y=}); limit ( sin( x) y, { x = a, y = } ) > v:=(x,y)->sin(sqrt(x^+y^))/sqrt(x^+y^); plot3d(v(x,y),x=-0..0,y=-0..0,axes=frame,labels=["x"," y","z"],orientation=[-56,59]); limit(v(x,y),{x=0,y=0}); v := ( x, y) sin ( x + y ) x + y 9

72 sin ( x + y ) limit, { x = 0, y = 0} x + y 3. Μερικές παράγωγοι Ας υποθέσουµε ότι ο τύπος της συνάρτησης g : Ñ TÑ είναι g(x,y)= x + y. Θεωρούµε ένα συγκεκριµένο σηµείο Α του πεδίου ορισµού της g, ας πούµε το σηµείο µε συντεταγµένες (x, y)=(, ). H συνθήκη y= ορίζει µιαν ευθεία του επίπεδου η οποία διέρχεται από το σηµείο Α. Πάνω στα σηµεία αυτής της ευθείας η έκφραση g(x,y)= x + y παίρνει τη µορφή f(x):=g(x,)= x + 4, που ορίζει µια συνάρτηση µιας µεταβλητής, δηλαδή απεικόνιση του τύπου f : Ñ TÑ. Οπως γνωρίζουµε, η παράγωγος αυτής της συνάρτησης στο σηµείο x= ορίζεται από τύπο f '()= df dx ():= lim f ( + h ) f ( ), h 0 h που, στην προκείµενη περίπτωση, δίνει f '()=. Αυτή η παράγωγος ονοµάζεται µερική παράγωγος της g(x,y) ως προς τη µεταβλητή x στο σηµείο (, ) και συµβολίζεται µε D g (., ) Γενικεύοντας, υποθέτουµε ότι το σηµείο (x, y)=(a, b) ανήκει στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης g(x,y) και πως το ίδιο ισχύει για κάποιο ανοιχτό διάστηµα της ευθείας y=b το οποίο περιέχει το σηµείο (a, b). Tότε, το όριο g ( a + h, b ) g ( ab, ) D g ( ab:=, ) lim, h 0 h αν υπάρχει, ονοµάζεται µερική παράγωγος της g(x,y) ως προς τη µεταβλητή x στο σηµείο (a, b). Στο Maple η D g ( ab, ) υπολογίζεται µέσω της εντολής D[](g)(a,b). > restart: with(student): 0

73 g:=(x,y)->x^+y^; D[](g)(a,b); g := ( x, y ) x + y a Ανάλογα, στην περίπτωση που ένα ανοιχτό διάστηµα της ευθείας x=a περιέχει το σηµείο (a, b) και περιέχεται στο πεδίο ορισµού της συνάρτησης g(x,y), το όριο, g ( a, b + h ) g ( ab, ) D g ( ab:=, ) lim, h 0 h αν υπάρχει, ονοµάζεται µερική παράγωγος της g(x,y) ως προς τη µεταβλητή y στο σηµείο (a, b). Στο Maple η D g ( ab, ) υπολογίζεται µέσω της εντολής D[](g)(a,b). > g:=(x,y)->x^+y^; D[](g)(a,b); g := ( x, y ) x + y b Παρατήρηση Ας υποθέσουµε ότι η µερική παράγωγος της g(x,y) ως προς τη µεταβλητή x υπάρχει σε κάθε σηµείο του υποσύνολου S του πεδίου ορισµού, D(g), της g(x,y). Τότε το S αποτελεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης D g :Ñ TÑ µε τύπο D g(x,y) που ονοµάζεται µερική παράγωγος της g(x,y) ως προς τη µεταβλητή x. g Η συνάρτηση D g(x,y) συχνά συµβολίζεται µε (x,y) ή µε x x g ( x, y ). Στο Maple η έκφραση x g ( x, y ) αντιστοιχεί στην εντολή diff(g(x,y),x), που συνήθως δίνει το ίδιο αποτέλεσµα µε την D[](g)(x,y). > g:=(x,y)->x^+y^; g:=d[](g); g(x,y); diff(g(x,y),x); g := ( x, y ) x + y g := ( x, y) x x x Aνάλογα, αν η µερική παράγωγος της g(x,y) ως προς τη µεταβλητή y υπάρχει σε κάθε σηµείο του υποσύνολου S του D(g), τότε το S αποτελεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης D g : Ñ TÑ µε τύπο D g(x,y) που ονοµάζεται µερική παράγωγος της g(x,y) ως προς τη µεταβλητή y. Γενικά, τα σύνολα S και S είναι διαφορετικά και αποτελούν γνήσια υποσύνολα του

74 D(g). H συνάρτηση D g(x,y) συµβολίζεται και µε g (x,y) ή µε y y g ( x, y ). Στο Maple η έκφραση y g ( x, y ) αντιστοιχεί στην εντολή diff(g(x,y),y), που συνήθως δίνει το ίδιο αποτέλεσµα µε την D[](g)(x,y). > g:=(x,y)->x^+y^; g:=d[](g); g(x,y); diff(g(x,y),y); g := ( x, y ) x + y > g:=(x,y)->x^+y^; g:=d[](g); g(a,b); g := ( x, y) y y y g := ( x, y ) x + y g := ( x, y) y b Σ' αυτό το παράδειγµα το Maple δίνει το σωστό αποτέλεσµα για όλα τα άλλα σηµεία, εκτός από το (0,0), αφού οι µερικές παράγωγοι της u ( x, y ) = x + y δεν ορίζονται σ' αυτό το σηµείο (γιατί;). > restart: u:='u': u:=(x,y)->sqrt(x^+y^); plot3d(u(x,y), x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y","z"],orientatio n=[-56,59]); u:=d[](u); u(a,b); diff(u(x,y),x); u:=d[](u); u(a,b); u := ( x, y ) x + y

75 u := ( x, y) a a + b x x + y u := ( x, y) b x x + y y x + y a + b Ασκηση. Μπορείτε να εξηγήσετε τη διαφορά των αποτελεσµάτων που δίνει το Maple στα επόµενα δύο παραδείγµατα; > u:='u': u:=(x,y)->sqrt(x^+y^); diff(g(x,y),x); diff(diff(g(x,y),x),x); > g:='g': g(x,y):=x^+y^; diff(g(x,y),x); diff(diff(g(x,y),x),x); u := ( x, y ) x + y x g ( x, y) g ( x, y) x g ( x, y ):= x + y x 3

76 Σ' αυτό και στο επόµενο παράδειγµα φαίνονται καθαρά οι περιορισµένες δυνατότητες του Maple. > g:=(x,y)->piecewise(x>=0,x, x<0,0); plot3d(g(x,y),x=-9..9,y=-9..9,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-48,55]); g:=d[](g); g(a,b); g:=d[](g); g(a,b); diff(g(x,y),x); diff(g(x,y),y); g := ( x, y ) piecewise ( 0 x, x, x < 00, ) g := ( x, y ) piecewise ( x < 00,, x = 0, undefined, 0 < x, ) 0 a < 0 undefined a = 0 0 < a g := ( x, y ) FAIL FAIL 0 x < 0 undefined x = 0 0 < x 0 Ασκηση. Ελέγξτε τα αποτελέσµατα που δίνει το Maple στα επόµενα παραδείγµατα. > g:=(x,y)->piecewise(y>=0,x*y, y<=0,0); plot3d(g(x,y),x=-9..9,y=-9..9,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-56,59]); g:=d[](g); 4

77 > g(a,b); g:=d[](g); g(a,b); diff(g(x,y),x); diff(g(x,y),y); g := ( x, y ) piecewise ( 0 y, x y, y 00, ) g := ( x, y ) FAIL FAIL g := ( x, y ) piecewise ( y < 00,, y = 0, undefined, 0 < y, x) 0 b < 0 undefined b = 0 a 0 < b { y 0 y 0 y 0 0 y < 0 undefined y = 0 x 0 < y > v:=(x,y)->sin(sqrt(x^+y^))/sqrt(x^+y^); diff(v(x,y),x); diff(v(x,y),y); v := ( x, y) sin ( x + y ) x + y cos ( x + y ) x sin ( x + y ) x x + y ( x + y ) ( 3 / ) cos ( x + y ) y sin ( x + y ) y x + y ( x + y ) ( 3 / ) > g:=(x,y)->piecewise(x*y>=0,x*y,x*y<=0,0); 5

78 diff(g(x,y),x); diff(g(x,y),y); plot3d(g(x,y),x=-6..6,y=-6..6,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-37,54]); g := ( x, y ) piecewise ( 0 xy, xy, xy 00, ) { y 0 xy 0 xy 0 { x 0 xy 0 xy 0 > g:=(x,y)->piecewise(x>=0 and y>=0,x^*y^ ); diff(g(x,y),x); diff(g(x,y),y); plot3d(g(x,y),x=-6..6,y=-6..6,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-46,5]); g := ( x, y ) piecewise ( 0 x and 0 y, x y ) { xy x 0 and y 0 0 otherwise { x y x 0 and y 0 0 otherwise 6

79 > f:=(x,y)->exp(-/(-x^-y^)); g:=(x,y)->piecewise(x^+y^<=,f(x,y)); diff(g(x,y),x); plot3d(g(x,y),x=-..,y=-..,axes=frame,labels=["x","y"," z"],orientation=[-35,48]); 7

80 f := ( x, y) e x y g := ( x, y ) piecewise ( x + y, f ( x, y) ) 0 x < y undefined x = y x e x y x < y ( x y ) undefined x = y 0 y < x > 4. ιπλά και τριπλά ολοκληρώµατα Θεωρούµε το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο που ορίζεται από τις συνθήκες xœ[a, b] και y œ[c, d], όπου x, y Καρτεσιανές συντεταγµένες του Ευκλείδειου επίπεδου Ñ. Οπως στον ορισµό του ολοκληρώµατος Riemann µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής, επιλέγουµε τα m+ σηµεία {x i } του διαστήµατος [a, b], µε τρόπο ώστε a=x 0 <x <x <...<x m <x m =b. Με ανάλογο τρόπο επιλέγουµε τα n+ σηµεία {y j } του διαστήµατος [c, d], oπότε c=y 0 < y <y <...<y n <y n =d. Aυτές οι διαµερίσεις των διαστηµάτων [a, b] και [c, d] ορίζουν αυτόµατα µια διαµέριση του ορθογώνιου παραλληλόγραµµου [a, b] x [c, d] σε mxn µικρότερα ορθογώνια παραλληλόγραµµα µε τυπικό αντιπρόσωπό τους το P ij := [ x i, x i ] x [ y j, y j ], όπου iœ{,,..., m}και jœ{,,..., n}. Aν θέσουµε x i := x i x i, y j := y j y j, τότε το γινόµενο x i y j µας δίνει το εµβαδό του P ij. Υποθέτουµε, τώρα, ότι η συνάρτηση f(x,y) ορίζεται σε κάθε σηµείο του 8

81 παραλληλόγραµµου [a, b]x[c, d] και είναι φραγµένη. Αν, λοιπόν, το ζευγάρι (x i *, yj * ) παριστάνει ένα τυχαίο σηµείο του παραλληλόγραµµου P ij, τότε ο αριθµός f(x i *, yj * ) xi y j µας δίνει τον όγκο του ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου που έχει για βάση το P ij και ύψος f(x i *, yj * ). Συνακόλουθα, ο αριθµός n m RS ( fmn,, ) := * * f ( x i, yj ) x i y j j = i = έχει την ακόλουθη σηµασία. Ας συµβολίσουµε µε O + το συνολικό όγκο εκείνων των ορθογώνιων παραλληλεπίπεδων που έχουν ως βάση ένα P ij όπου η αντίστοιχη f(x i *, yj * ) = f(x i *, yj * ). Ανάλογα, ας πούµε ότι O- είναι ο συνολικός όγκος των παραλληλεπίπεδων * * * * που έχουν ως βάση ένα P ij όπου f(x i, yj ) =- f(xi, yj ). Τότε, RS ( fmn=o,, ) + O -. Ο αριθµός RS ( fmn,, ) ονοµάζεται άθροισµα Riemann για τη συνάρτηση f(x,y) στο διάστηµα ή την περιοχή [a, b]x[c,d] του Ñ. Ο αριθµός P:= max{ x i y j : iœ{,,..., m}, jœ{,,..., n} }ονοµάζεται πλάτος της (αντίστοιχης) διαµέρισης του διαστήµατος [a, b]x[c,d]. Στην περίπτωση που το άθροισµα RS ( fmn,, ) τείνει σε συγκεκριµένο αριθµό καθώς το πλάτος της διαµέρισης τείνει στο µηδέν, o αριθµός αυτός ονοµάζεται ορισµένο ολοκλήρωµα Riemann της συνάρτησης f(x,y) στο διάστηµα ή την περιοχή [a, b]x[c,d] του d b Ñ και συµβολίζεται µε f ( x, y) dx dy. Συνεπώς, c a f ( x, y) dx dy:= lim c d a b P 0 > restart: x:=i->subs(a=, b=3, n=80,a+(b-a)*i/n); y:=j->subs(c=, d=3, n=80,c+(d-c)*j/n); f:=(x,y)->+x+y: f(x(i),y(j)); n j = m i = * * f ( x i, yj ) x i y j x := i subs a =, b = 3, n = 80, a + ( b a) i n ( d c) j y := j subs c =, d = 3, n = 80, c + n i j > h:=(x,y,i,j)->piecewise(x>x(i-) and x<=x(i) and y>y(j-) and y<=y(j),f(x(i),y(j))); with(plots): plot3d(h(x,y,,),x=...,y=...,numpoints=000); 9

82 h := ( x, y, i, j ) piecewise ( x ( i ) < x and x xi ( ) and y ( j ) < y and y yj ( ), f ( xi ( ), yj ( ))) > h:=(x,y)->piecewise(x>= and x<=.4 and y>= and y<=.4,3); plot3d(h(x,y),x=..3,y=..3,numpoints=000); h := ( x, y ) piecewise ( x and x.4 and y and y.4, 3) > restart: with(student): Doubleint(f(x,y),x=a..b,y=c..d); f ( x, y) dx dy c a > Doubleint(f(x,y),x=0..,y=..3); d b f ( x, y) dx dy 0 > f(x,y):=x*y; Doubleint(f(x,y),x,y); Doubleint(f(x,y),x=0..,y=..3); 3 30