ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
|
|
- Ῥέα Παυλόπουλος
- 2 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πρόχειρες Σημειώσεις για τις ανάγκες του μαθήματος «Φυσική Ι (Μηχανική και Εισαγωγή στην Κυματική)» της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του ΕΜΠ Ιωάννη Σ. Ράπτη Καθηγητή ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ Αθήνα, 1 1
2 Τοπικό κέντρο καμπυλότητας x Εφαπτομενική και ακτινική συνιστώσα επιτάχυνσης σε καμπυλόγραμμη τροχιά z C Όταν ένα κινητό εκτελεί κίνηση κατά μήκος μίας καμπύλης C, με τυχαία μεταβαλλόμενη ταχύτητα, κατά μέτρο και διεύθυνση, τότε μπορούμε να δείξουμε ότι η επιτάχυνσή της μπορεί να επιμεριστεί, τοπικά, σε δύο χαρακτηριστικές συνιστώσες, μία εφαπτομενική της τροχιάς και μία ακτινική (κατά μήκος της τοπικής ακτίνας καμπυλότητας). Η ανάλυση αυτή υποδηλώνει ότι μελετάμε τοπικά την κίνηση, σε ένα τμήμα της τροχιάς, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί επίπεδη καμπύλη, ώστε να μπορεί να ορισθεί η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της και το τοπικό κέντρο καμπυλότητας (ως σημείο τομής των καθέτων σε δύο γειτονικές εφαπτόμενες) στο τμηματικώς επίπεδο τμήμα της τροχιάς. Στην ανάλυση που ακολουθεί θα χρησιμοποιήσουμε, για οικονομία συμβόλων, την σύμβαση df / dt f για κάθε συνάρτηση f f t. n ˆ ˆ Αν και είναι η ταχύτητα και το μέτρο της ταχύτητας, αντίστοιχα, σε κάποιο σημείο της τροχιάς, οπότε ˆ / είναι το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα στην τροχιά, d ˆ τότε για την επιτάχυνση μπορούμε να γράψουμε a ˆ ˆ (1), δεδομένου ότι και dt το μοναδιαίο διάνυσμα ˆ, παρ ότι διατηρεί το μέτρο του, μεταβάλλει την διεύθυνσή του. d ˆ Για να υπολογίσουμε την χρονική παράγωγο ˆ, υπολογίζουμε την ταχύτητα σε δύο dt γειτονικές θέσεις, που απέχουν χρονικά κατά t, καθώς και τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα ˆ και ˆ. Με αναφορά το τοπικό κέντρο καμπυλότητας (βλ. ανωτέρω) οι δύο αυτές ds θέσεις διαφέρουν γωνιακά κατά d, όπου ds το αντίστοιχο διαφορικό μήκος τόξου και η τοπική ακτίνα καμπυλότητας. Την ίδια γωνιακή διαφορά έχουν και τα δύο μοναδιαία εφαπτομενικά διανύσματα ˆ και ˆ. d ˆ nˆˆ d d 1 ds 1 Επομένως: ˆ nˆ nˆ nˆ ˆ nˆ. dt dt dt dt [Η διαφορική γωνία d, που ξεκινάει από το τοπικό κέντρο καμπυλότητας, είναι ίση με την d που σχηματίσουν τα ˆ και ˆ, διότι έχουν κάθετες τις αντίστοιχες πλευρές τους]. Όσον αφορά στο μοναδιαίο διάνυσμα ˆn, είναι παράλληλο στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου που οι δύο άλλες πλευρές του είναι τα μοναδιαία ˆ και ˆ. Καθώς το d τείνει προς το μηδέν, οι δύο παρά την βάση γωνίες αυτού του ισοσκελούς τριγώνου τείνουν στις 9 ο, άρα το μοναδιαίο ˆn είναι κάθετο στην τοπική εφαπτομένη και, επομένως, είναι παράλληλο προς την τοπική ακτίνα καμπυλότητας με κατεύθυνση προς το τοπικό κέντρο καμπυλότητας, δηλ., nˆ ˆ. d ˆ Επομένως, η παράγωγος του μοναδιαίου διανύσματος ˆ γράφεται ˆ nˆ d. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή, για την παράγωγο του μοναδιαίου διανύσματος, στην αρχική σχέση (1). έχουμε τελικά: a ˆ ˆ ˆ y a ˆ nˆ Άρα, κατά την γενική καμπυλόγραμμη κίνηση, σε κάθε σημείο της τροχιάς έχουμε μία επιτρόχια (ή, εφαπτομενική) συνιστώσα επιτάχυνσης, ίση με το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας ˆ, και μια ακτινική (ή, εγκάρσια) συνιστώσα επιτάχυνσης, που είναι η τοπική κεντρομόλος επιτάχυνση /.
3 Γενικές (τοπικά Ορθογώνιες) Καμπυλόγραμμες Συντεταγμένες [Η ενότητα αυτή αφιερώνεται σε μερικούς φανατικούς των μαθηματικών χωρίς να είναι απαραίτητη για: Πολικές, Κυλινδρικές, Σφαιρικές συντεταγμένες, που ακολουθούν,] Ανάλογα με την συγκεκριμένη εφαρμογή και (κυρίως) τα χαρακτηριστικά συμμετρίας ενός προβλήματος, (δηλ., το γεωμετρικό τόπο των σημείων επί των οποίων κάποιο μέγεθος διατηρεί την τιμή του αν είναι βαθμωτό, ή την τιμή του και το σχετικό του προσανατολισμό ως προς τον γεωμετρικό τόπο αν είναι διανυσματικό), είναι λογιστικά απλούστερο να επιλέξει κανείς, για την διατύπωση και την επίλυση του προβλήματός του, αντί των καρτεσιανών συντεταγμένων x, y, z κάποιες άλλες συντεταγμένες, με τις οποίες μπορεί να εκμεταλλευτεί το πλεονέκτημα της συμμετρίας. Για παράδειγμα, για ένα κινητό που κινείται στην περιφέρεια ενός κύκλου, (ενδεχομένως, με μεταβλητό μέτρο ταχύτητας), θα αρκούσε η γνώση του πως μεταβάλλεται η γωνία θ (ως προς κάποιον άξονα αναφοράς, π.χ. τον x-άξονα) με τον χρόνο, t x x t, y y t. Επίσης, ένα φορτισμένο, αντί της περιγραφής μέσω των σωματίδιο, το οποίο εισέρχεται σε περιοχή με ομοιόμορφο μαγνητικό πεδίο B., με τυχαία αρχική ταχύτητα εισόδου, είναι γνωστό ότι εκτελεί ελικοειδή κίνηση, με άξονα της έλικας παράλληλο στο μαγνητικό πεδίο ενώ η τομή της έλικας αποτελεί κύκλο κάθετο στο μαγνητικό πεδίο, οπότε, το σωματίδιο ευρίσκεται μονίμως σε μία κυλινδρική επιφάνεια. Σε αυτή την περίπτωση, είναι επίσης λογιστικά οικονομικότερο να περιγραφεί η κίνηση του φορτίου μέσω μία γωνιακής συντεταγμένης, t z z t, 3, και μέσω της συντεταγμένης κατά μήκος του άξονα της ελικοειδούς κίνησης, αντί των τριών καρτεσιανών συντεταγμένων x x t, y y t, z z t. Θα προταχθεί μία πολύ συνοπτική παρουσίαση του μαθηματικού πλαισίου που ισχύει για τις γενικές (τοπικά ορθογώνιες) καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, [μπορεί να παραλειφθεί σε πρώτη ανάγνωση], και στη συνέχεια θα δοθούν, ως παραδείγματα, οι πολικές, οι κυλινδρικές και οι σφαιρικές συντεταγμένες. Ορίζουμε ως ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, τρεις ανεξάρτητες μεταξύ τους συναρτήσεις, u1, u, u 3, των x, y, z : u1 u1 x, y, z, u u x, y, z, u3 u3 x, y, z (1) που είναι συνεχείς, έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, και έχουν μονό-τιμες αντίστροφες συναρτήσεις, τέτοιες ώστε: x f1 u1, u, u3, y f u1, u, u3, z f3 u1, u, u3, () Με αυτή την ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των x, y, z και u1, u, u 3, μπορούμε να ορίζουμε τη θέση ενός σημείου είτε μέσω των καρτεσιανών συντεταγμένων x, y, z, είτε μέσω των ορθογώνιων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων u1, u, u 3. [Μαθηματική παρένθεση: Ορίζουμε ως μερική παράγωγο, ως προς μία μεταβλητή x, μίας f συνάρτησης f πολλών μεταβλητών f f x1, x,..., xn, και την συμβολίζουμε ως, το x,,..,,...,,,..,,..., f f x1 x x x xn f x1 x x x n lm x x x Ανατρέχοντας στην παράγωγο διανύσματος, όπως ορίστηκε σε προηγούμενη παράγραφο, μπορούμε να ορίσουμε αντίστοιχα μερικές παραγώγους και διανυσματικών μεγεθών, ως διανυσματικό άθροισμα των μερικών παραγώγων των συνιστωσών τους, όπως αυτές (οι μερικές παράγωγοι των βαθμωτών-συνιστωσών) ορίζονται ανωτέρω] Από το διάνυσμα θέσης xf ˆ 1 u1, u, u3 yf ˆ u1, u, u3 zf ˆ 3 u1, u, u3 u u u κατά στοιχειώδεις μεταβολές των 1,, 3, αν προκαλέσουμε du1, du, du 3, παίρνουμε μεταβολή d :
4 d du du du. Αν, h u u u u, ορίζουμε ως εφαπτομενικά μοναδιαία διανύσματα (των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων u1, u, u 3 ), τα eˆ u u d h1 du1eˆ 1 h ˆ ˆ due h3du 3e3 Οι ποσότητες h1, h, h 3 ονομάζονται και συντελεστές ή παράγοντες κλίμακας. Το στοιχειώδες μήκος και ο στοιχειώδης όγκος υπολογίζονται, αντίστοιχα: και ds d d h du h du h du, x, y, z dv h du eˆ h du eˆ h du eˆ du du du u1, u, u3, οπότε: x u1 x u x u3 x, y, z όπου y u1 y u y u3 : η Ιακωβιανή ορίζουσα (Jacoan detemnant) u1, u, u3 z u1 z u z u3 του μετασχηματισμού των x, y, z ως προς τα u1, u, u 3. Όσον αφορά στις στοιχειώδεις (διαφορικές) επιφάνειες, όπως και στην περίπτωση των καρτεσιανών συντεταγμένων, (όπου ορίζεται, π.χ., η ds xdx ˆ, ydy ˆ zˆ xy dxdy και κυκλικά οι άλλες δύο, αντίστοιχα), έτσι και στις ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες ορίζονται διαφορικές επιφάνειες κάθετα σε κάθε μία από τις καμπύλες-u 1,,3, π.χ., ds ˆ ˆ du1, du du1 du e1 du1 e du, και με τη βοήθεια των h 1,,3 u1 u u1 u ds h h du du eˆ eˆ eˆ h h du du, και κυκλικά για τις άλλες δύο., du du Με βάση τον φορμαλισμό που αναπτύχθηκε συνοπτικά σε αυτή την παράγραφο, θα μπορούσαν να εξαχθούν όλα τα αποτελέσματα, που θα παρουσιαστούν ως παραδείγματα στις επόμενες παραγράφους. Εν τούτοις, θεωρείται σκόπιμο να παρουσιαστεί και η γεωμετρική παραγωγή αυτών των αποτελεσμάτων, για την διαισθητικά πληρέστερη κατανόησή τους. Ταχύτητα και Επιτάχυνση σε Επίπεδες Πολικές Συντεταγμένες y ŷ ˆ ˆx ˆ x Ορίζουμε τις επίπεδες πολικές συντεταγμένες, και τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα ˆ, ˆ καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο,, ως προς τις διπλανό σχήμα και τις σχέσεις x cos x y (1α,β) y sn actan y/ x xy, σύμφωνα με το Το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί σε μία συντεταγμένη ορίζεται (παράγεται) ως εξής: διατηρούνται σταθερές όλες οι υπόλοιπες συντεταγμένες και μεταβάλλεται η συγκεκριμένη συντεταγμένη, έτσι ώστε η απόσταση ανάμεσα στην τελική και στην αρχική θέση 4
5 να έχει μοναδιαιο μέτρο. Το διάνυσμα από την αρχική μέχρι την τελική θέση είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη συντεταγμένη. Ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του συστήματος συντεταγμένων, τα μοναδιαία διανύσματα μπορούν να διατηρούν (π.χ., καρτεσιανές συνεταγμένες) ή όχι (π.χ., σφαιρικές συντεταγμένες), τον προσανατολισμό τους. Επίσης, υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες, σε ένα σύστημα συντεταγμένων, μερικές διατηρούν τον προσανατολισμό των μοναδιαίων τους διανυσμάτων και μερικές όχι (π.χ., βλ. παρακάτω, κυλινδρικές συντεταγμένες) Για τα μοναδιαία των καρτεσιανών και των πολικών συντεταγμένων, ισχύουν οι σχέσεις μετασχηματισμού xˆ ˆ cos ˆ sn ˆ xˆ cos yˆ sn (α,β) yˆ ˆ sn ˆ cos ˆ xˆ sn yˆ cos Ξεκινώντας από το διάνυσμα θέσης γραμμένο σε πολικές συντεταγμένες ˆ, υπολογίζουμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση με διαδοχικές παραγωγίσεις. Σημειώνουμε ότι, ενώ στις καρτεσιανές συντεταγμένες, ακόμη και αν x x( t), y y( t) xy ˆ, ˆ παραμένουν ανεξάρτητα του χρόνου, ως διανύσματα, τα μοναδιαία συνολικά, για τις πολικές συντεταγμένες δεν ισχύει το ίδιο. Τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα ˆ, ˆ, ενώ έχουν σταθερό μέτρο ίσο με τη μονάδα, έχουν προσανατολισμός που είναι συνάρτηση των,, άρα αν ( t), ( t), τότε και τα μοναδιαία ˆ, ˆ είναι συναρτήσεις του χρόνου, και αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά τον υπολογισμό των χρονικών παραγώγων. Επομένως, έχουμε: ˆ ˆ ˆ ˆ xˆcos yˆsn ˆ xˆsn yˆcos ˆ ˆ ˆ xˆsn yˆcos ˆ xˆcos yˆsn ˆ ˆ [Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να προκύψει και με ένα σκεπτικό ανάλογο αυτού που d ˆ d ˆ d ˆ ˆ d παρουσιάστηκε στην προηγούμενη παράγραφο: ˆ ˆ ˆ dt d dt d ] Άρα, η προηγούμενη σχέση δίνει ˆ ˆ (ακτινική και γωνιακή συνιστώσα) Για την επιτάχυνση έχουμε: a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Με σκεπτικό αντίστοιχο με τα προηγούμενα, υπολογίζουμε την χρονική παράγωγο του d ˆ ˆ ˆ d μοναδιαίου διανύσματος ˆ ˆ ˆ. dt dt Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση, και ομαδοποιώντας ακτινικές και γωνιακές συνιστώσες, παίρνουμε a ˆ ˆ Ακτινική επιτάχυνση Κεντρομόλος Cools Επιτρόχιος επιτάχυνση 5
6 Οι χαρακτηρισμοί, των συνιστωσών της επιτάχυνσης, με τους όρους «ακτινική», «κεντρομόλος», «Cools» και «γωνιακή» θα εξηγηθούν πιο αναλυτικά στην ενότητα με τίτλο «Μη-αδρανειακά Συστήματα Αναφοράς», με αναφορά και στις αντίστοιχες αδρανειακές (ή, ψευδο-) δυνάμεις. Για την ώρα, μπορούμε να σχολιάσουμε τις επιμέρους συνιστώσες της επιτάχυνσης ως εξής: ˆ : έχει τη διεύθυνση της τοπικής ακτίνας καμπυλότητας και είναι a ˆ ανάλογη με το ρυθμό μεταβολής της ακτινικής ταχύτητας a : έχει τη διεύθυνση της τοπικής ακτίνας καμπυλότητας και είναι acools a η γενίκευση της γνωστής κεντρομόλου επιτάχυνσης ˆ : έχει εφαπτομενική διεύθυνση και είναι ανάλογη της ακτινικής ταχύτητας και του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής συντεταγμένης ˆ : έχει εφαπτομενική διεύθυνση και είναι ανάλογη της δεύτερης παραγώγου της γωνιακής συντεταγμένης Γεωμετρικά μεγέθη (μήκος, επιφάνεια) σε επίπεδες πολικές συνταταγμένες y ds d d ŷ ˆx ds d x R Όσον αφορά στο στοιχειώδες μήκος ds και στη στοιχειώδη επιφάνεια ds, που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις μετατοπίσεις d, d, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, μπορούν να υπολογιστούν με γεωμετρικά επιχειρήματα, ως εξής: ds d d ds d d dd Τα ίδια αποτελέσματα θα μπορούσαν να προκύψουν μέσω των συντελεστών κλίμακας και της Ιακωβιανής ορίζουσας του μετασχηματισμού (ως άσκηση). Ταχύτητα και Επιτάχυνση σε Κυλινδρικές Συντεταγμένες Ορίζουμε τις κυλινδρικές συντεταγμένες,,z, και τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα ˆ, ˆ,zˆ, ως προς τις καρτεσιανές συντεταγμένες στο χώρο,, y x x y z, σύμφωνα με τις σχέσεις x cos x y y sn actan / (1α,β) z z z z Από τις παραπάνω σχέσεις γίνεται φανερό ότι η τρίτη συντεταγμένη είναι ταυτόσημη με την αντίστοιχη καρτεσιανή συντεταγμένη, οπότε οι εκφράσεις για τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, αποτελούν εύκολες γενικεύσεις των αντίστοιχων εκφράσεων των πολικών συντεταγμένων (στο βαθμό, μάλιστα, που η τρίτη συντεταγμένη είναι ανεξάρτητη από τις άλλες δύο). Άρα: ˆ ˆ ˆ ˆ zz zzˆ (αφού το ẑ είναι ανεξάρτητο του χρόνου) Επομένως: ˆ ˆ zzˆ, 6
7 και a ˆ ˆ zzˆ Το σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων είναι χρήσιμο στις περιπτώσεις προβλημάτων τα οποία παρουσιάζουν κυλινδρική συμμετρία, με αποτέλεσμα να απλοποιούνται εξαιρετικά οι εκφράσεις των κινητικών μεγεθών. Όσον αφορά στα γεωμετρικά μεγέθη, μήκος και όγκος, τα οποία προκύπτουν από τις στοιχειώδεις μεταβολές d, d, dz, εύκολα προκύπτει ότι: ds d d dz dv d d dz dddz Για τις επιφάνειες διακρίνουμε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις ds d d dd d, d d, dz d, dz ds d dz ddz ds d dz ddz Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν (ως άσκηση) και μέσω των συντελεστών κλίμακας και της Ιακωβιανής ορίζουσας του μετασχηματισμού. Ταχύτητα και Επιτάχυνση σε Σφαιρικές Συντεταγμένες z ˆ ˆ Ορίζουμε τις σφαιρικές συντεταγμένες,,, ως προς τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y, z, σύμφωνα με το διπλανό σχήμα και τις σχέσεις sn cos x y z x y sn sn accos z / x y z z cos actan y/ x Τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα ˆ, ˆ, ˆ, περιγράφονται, συναρτήσει των μοναδιαίων x ˆ xˆ, yˆ, z ˆ από τις σχέσεις: y ˆ xˆ sn cos yˆ sn sn zˆ cos ˆ xˆcos cos yˆcos sn zˆ sn ˆ xˆsn yˆcos Ξεκινώντας από τη σχέση ˆ, παραγωγίζουμε ως προς το χρόνο, (θεωρώντας ότι ( t), ( t), ( t) είναι γνωστές συναρτήσεις του χρόνου, καθώς και τα αντίστοιχα μοναδιαία, σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις ()), και ομαδοποιούμε κατάλληλα ως προς τα () (1) 7
8 μοναδιαία διανύσματα, οπότε καταλήγουμε στις εξής σχέσεις για την ταχύτητα και την επιτάχυνση, σε σφαιρικές συντεταγμένες: Ταχύτητα: ˆ ˆ snˆ, (3) Επιτάχυνση: ˆ a sn sn cos 8 sn sn cos ˆ Τα γεωμετρικά μεγέθη (μήκη και επιφάνειες) σε σφαιρικές συντεταγμένες μπορούν να υπολογισθούν με ανάλογο τρόπο Αν,, : οι συντεταγμένες ενός τυχαίου σημείου, και προκαλέσουμε διαφορικές μεταβολές: d, d, d, τότε, όπως φαίνεται από το διπλανό σχήμα, οι τρεις στοιχειώδεις d, d, d δημιουργούν στοιχειώδη μήκη μεταβολές d, d, sn d ˆ (4), τα οποία σχηματίζουν, ανά δύο, αντίστοιχες διαφορικές επιφάνειες, και επίσης έναν στοιχειώδη διαφορικό όγκο. Υπολογίστε (ως άσκηση), (α) το διαφορικό διάστημα ds, που αντιστοιχεί στη «διαγώνιο» του διαφορικού όγκου, (β) το εμβαδόν των τριών διαφορικών επιφανειών (που ορίζουν, με τις απέναντί τους, τον διαφορικό όγκο), καθώς και (γ) τον διαφορικό όγκο. [Για φανατικούς: συγκρίνεται με το φορμαλισμό των h, h, h ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 3 Παράδειγμα Τρεις μέλισσες βρίσκονται στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά a. Τη χρονική στιγμή t = ξεκινάνε ταυτόχρονα και οι τρεις με ταχύτητα ίδιου μέτρου υ, έτσι ώστε η καθεμία να κατευθύνεται προς την επόμενη (αριστερόστροφα). Στη συνέχεια διατηρούν το μέτρο της ταχύτητάς τους αλλά μεταβάλλουν τον προσανατολισμό τους έτσι ώστε, σε κάθε χρονική στιγμή, να εξακολουθεί η καθεμία να κατευθύνεται προς την επόμενη (αριστερόστροφα). (α) Εξηγήστε γιατί, η ταχύτητα της καθεμίας, αν γραφεί σε πολικές συντεταγμένες, έχει σταθερές προβολές στα τοπικά μοναδιαία ˆ ˆ διανύσματα. (β) Από τη σχέση που προκύπτει από το ερώτημα (α), απαλείψτε το χρόνο και υπολογίστε την εξίσωση τροχιάς, ˆ της καθεμίας, σε πολικές συντεταγμένες. (γ) a ˆ Συνδυάζοντας το αποτέλεσμα του (α) με την σταθερότητα του μέτρου της ταχύτητας, ολοκληρώστε την κατάλληλη διαφορική t. (δ) εξίσωση και υπολογίστε τη συνάρτηση Υπολογίστε τη συνολική διάρκεια της κίνησης μέχρι να συναντηθούν και οι τρεις στο κέντρο βάρους του τριγώνου. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Με δεδομένο ότι η διάταξη των κινητών είναι αρχικά στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου και ότι η κίνησή τους είναι απόλυτα συμμετρική (διατηρούν το μέτρο της ταχύτητάς τους και, κάθε στιγμή, το κάθε κινητό κινείται προς το αριστερόστροφα επόμενό του), συμπεραίνουμε ότι
9 θα βρίσκονται πάντα στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου και η ταχύτητα του καθενός θα είναι παράλληλη στην πλευρά του τριγώνου. Επομένως, αν περιγράψουμε την κίνηση ενός από τα κινητά με τη βοήθεια των πολικών συντεταγμένων,, τότε, σε κάθε χρονική στιγμή, η ταχύτητα θα έχει ίδιο προσανατολισμό ως προς τα τοπικά μοναδιαία διανύσματα ˆ, ˆ : o tan3 3 / 3. (β) Σε πολικές συντεταγμένες, ˆ ˆ, επομένως, η σταθερότητα του πηλίκου γράφεται: d d d d d 1 / d ln e dt dt Η / καμπύλη e είναι γνωστή ως λογαριθμική έλικα ή σπείρα (βλ., (γ) Ταχύτητα σταθερού μέτρου: ˆ ˆ / / Από το ερώτημα (β) έχουμε e e Αντικαθιστώντας το τελευταιο αποτέλεσμα στην προηγούμενη σχέση (ταχύτητα σταθερού d μέτρου): dt 1 [ d d Αλλά από την προηγούμενη σχέση:, επομένως επιλέγουμε το dt dt αρνητικό πρόσημο στην παράγωγο της ακτίνας, οπότε: t d t d dt t dt Όπου είναι η αρχική απόσταση της κορυφής από κέντρο βάρους του τριγώνου, δηλ.: a 3 a. Η συνολική διάρκεια της κίνησης t max προκύπτει από τη σχέση 3 3 tmax 1 tmax t max 1 Από τις σχέσεις a. Αντικαθιστώντας : tmax. 3 και t μπορούμε να υπολογίσουμε την t / 1 ln ln ln t tmax t e t 1 Επίσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το συνολικό μήκος της τροχιάς κάθε κινητού tmax tmax tmax tmax s ds dx dy x y dt dt t s a 3 max max max, πράγματι: Από τις δύο τελευταίες σχέσεις παρατηρούμε ότι ενώ το μήκος της τροχιάς και ο χρόνος της διαδρομής είναι πεπερασμένος, εντούτοις, η τιμή της συνολικά διαγραφόμενης γωνίας τείνει (λογαριθμικά) στο άπειρο, t t max!!!. 9
10 Το αποτέλεσμα αυτο συσχετίζεται και με το γεγονός ότι, στο όριο, η γωνία δεν είναι καλά ορισμένη. Επίσης από την t προκύπτει ότι και, επομένως, στο t t όριοt t max, και η γωνιακή ταχύτητα (ως κυκλική συχνότητα) τείνει στο άπειρο. Εντούτοις, η γωνιακή ταχύτητα t t tmax t., που 1 tmax t 1 είναι σε συνέπεια και με το αποτέλεσμα 1 max, οπότε : Παράδειγμα 1.3. (α) Επίπεδη καμπύλη-τροχιά περιγράφεται από τη συνάρτηση y f x. Θεωρήστε ένα στοιχειώδες τόξο ds της τροχιάς, ( τα άκρα του οποίου αντιστοιχούν στα σημεία x και x+dx), φέρετε εφαπτόμενες στα άκρα του, χαράξτε σε κάθε εφαπτόμενη κάθετο στο αντίστοιχο σημείο επαφής. Ορίστε το σημείο τομής των δύο καθέτων ως τοπικό κέντρο καμπυλότητας της τροχιάς και, μέσω της σχέση dφ=ds/ρ, (όπου dφ: η γωνία των δύο καθέτων στα άκρα του ds), δείξτε ότι η τοπική ακτίνα καμπυλότητας είναι ΑΠΑΝΤΗΣΗ y f x d actan f. ds x x dx d Επομένως d / dx actan f Θεωρούμε ένα στοιχειώδες τόξο ds dx dy 1 f dx 1 f 3/ Χαράσσοντας εφαπτόμενες στα άκρα του ds, υπολογίζουμε την αντίστοιχη στοιχειώδη γωνία dφ. Η τοπική ακτίνα καμπυλότητας ρ ορίζεται από τη σχέση ds ds 1 f dx 1 f d, όπου d d d / dx f παίρνουμε για την τοπική ακτίνα καμπυλότητας: x f f. Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση, 1 1 f 3/ (β) Αυτοκίνητο ακολουθεί την επίπεδη τροχιά: y Acos kx, κινούμενο με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ. (β1) Αν ο συντελεστής τριβής αυτοκινήτου-τροχιάς είναι μ, υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητας υ, έτσι ώστε η κίνηση να γίνεται με ασφάλεια (στα σημεία μέγιστης καμπυλότητας, δηλ. στα σημεία ελάχιστης ακτίνας καμπυλότητας). (β) Υπάρχουν σημεία όπου η ακτίνα καμπυλότητας είναι άπειρη; (τοπικά «ευθύγραμμα τμήματα» μηδενικού μήκους!) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η κίνηση είναι ασφαλής όσο η μέγιστη τιμή της τριβής είναι επαρκής ως κεντρομόλος δύναμη στα σημεία της τροχιάς με τη μικρότερη τοπική ακτίνα καμπυλότητας: m T mg,mn gmn g f 1 f 3/ f mn. 1
11 Για την συγκεκριμένη συνημιτονοειδή τροχιά, η μέγιστη ταχύτητα ασφαλούς πορείας υπολογίζεται 1 f 1 A k sn kx 3/ 3/,mn gmn g g f Ak cos kx mn Όπου, στον δεξιό όρο αυτής της παράστασης πρέπει να υπολογιστεί η μικρότερη τιμή της ακτίνας καμπυλότητας, η οποία λαμβάνεται για την μικρότερη τιμή του αριθμητή και την μεγαλύτερη τιμή του παρονομαστή, οι οποίες λαμβάνονται «ταυτόχρονα», για x τέτοιο ώστε: kx n x n / k, n,1,,..., n Επομένως, η μέγιστη τιμή ασφαλούς ταχύτητας είναι,max g / Ak (γ) Αυτοκίνητο ακολουθεί την επίπεδη τροχιά: y Acos kx έτσι ώστε η συνιστώσα της ταχύτητας κατά τον άξονα των x να έχει τη σταθερή τιμή υ. (γ 1 ) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του κινητού συναρτήσει του x και των A, k, υ. (γ ) Να γραφεί το ολοκλήρωμα υπολογισμού του μήκους της τροχιάς 1 / x1 x1 x1, και να x x x mn s ds dx dy dy dx dx βρεθούν τα κατάλληλα όρια του ολοκληρώματος προκειμένου το ολοκλήρωμα να αντιστοιχεί στο τμήμα της τροχιάς ανάμεσα στις δύο πρώτες διελεύσεις από τον άξονα των x. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (γ 1 ) dx dy dx dy dx 1 dy dt dt dt dx dt dx Αντικθιστώντας την y=y(x), παίρνουμε: 1 Ak sn kx dy dy dx dy Επίσης: y y x y Ak sn kx dt dx dt dx a dx d y d d x y dx d y dt dt dt dx dt dx d y Τελικά: a a Ak cos kx dx x1 x1 x1 /k (γ ) 1 / 1 sn s ds dx dy dy dx dx A k kx dx x x x Αν θέλαμε να υπολογίσουμε τις προβολές της κίνησης του κινητού στους δύο άξονες, έχουμε: dx dy dx dy dx dy x 1 x dt dt dt dx dt dx dy 1 dx dy dy dx dy dy / dx y x y dt dx dt dx dy 1 dx 11
12 e n 1 lm n n 1 k 1 k k 1...κι όμως : e 1!!! 1
1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
Διαβάστε περισσότεραΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Διαβάστε περισσότερα = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
Διαβάστε περισσότεραΗ επιτάχυνση και ο ρόλος της.
Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Το μέγεθος «επιτάχυνση» το συναντήσαμε κατά τη διδασκαλία στην Α Λυκείου, όπου και ορίσθηκε με βάση την εξίσωση: t Όπου η παραπάνω μαθηματική εξίσωση μας λέει ότι η επιτάχυνση:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότεραΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ. t 1 (x 1,y 1 ) Η αρχή ενός οποιουδήποτε ορθογωνίου xy συστήματος συντεταγμένων
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 1 ( 1, 1 ) ορθογωνίου συστήματος r1 1 1 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ (, ) ορθογωνίου συστήματος r ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 3 ( 3, 3 ) ορθογωνίου συστήματος r3 3 3 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 4 ( 4, 4
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΗ Επιτάχυνση. η τα- χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει (3)
Η Επιτάχυνση η τα- Έστω r ( t ) ( t ) i ( t ) j z ( t ) k το διάνυσμα θέσης του κινητού Μ και ( t ) χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει r ( t ) r ( t ) ή πιο απλά (1) t t Άρα
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότεραΔιάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά
Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).
Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το
Διαβάστε περισσότεραTo θετικό πρόσημο σημαίνει ότι το πεδίο προσφέρει την ενέργεια για τη μετακίνηση αυτή.
Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου, Ηλεκτρικό Δυναμικό 23.21.Δύο σημειακά φορτία q 1 =+2,4 nc q 2 =-6,5 nc βρίσκονται σε απόσταση 0,1 m το ένα από το άλλο. Το σημείο Α βρίσκεται στο μέσον της απόστασής τους και το
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι
Διαβάστε περισσότεραdv 2 dx v2 m z Β Ο Γ
Μηχανική Ι Εργασία #2 Χειμερινό εξάμηνο 218-219 Ν Βλαχάκης 1 Στην άσκηση 4 της εργασίας #1 αρχικά για t = είναι φ = και η ταχύτητα του σώματος είναι v με φορά κάθετη στο νήμα ώστε αυτό να τυλίγεται στον
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ
Διαβάστε περισσότεραlim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση
Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΤα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική
Διαβάστε περισσότερα8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.
1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου
Διαβάστε περισσότεραΑκτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα
Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί
Διαβάστε περισσότεραΓενική Φυσική. Ενότητα 1: Κινητική. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών
Γενική Φυσική Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Τι είναι το διαφορικό (1 από 2) Η μεταβολή μίας συνάρτησης f(x), όταν το x αυξάνεται κατά Δx γράφεται : Δy AΔx B( Δx ) 2 Αν οι
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να ιδωθεί ως κίνηση σε δυο (αντί
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος - Κύλιση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής αντιμετωπίζαμε κάθε σώμα που μελετούσαμε την κίνηση του ως υλικό
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,
Διαβάστε περισσότερα10. Παραγώγιση διανυσµάτων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραπάχος 0 πλάτος 2a μήκος
B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.
Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΜηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη
Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων
Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς
Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ
Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραd dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο
Διαβάστε περισσότερα) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A
[Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών
Διαβάστε περισσότεραΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού
ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης
Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.
Διαβάστε περισσότεραF mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται
6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να ιδωθεί
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015
ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12
Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ
Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κεφ. 1, Κινηματική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 10 Απριλίου 2012 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα
Διαβάστε περισσότερα2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης
Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις
Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με
Διαβάστε περισσότερα117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση
η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)
Διαβάστε περισσότεραΚαρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A
Στη γενική περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε άπειρα συστήµατα συντεταγ- µένων τα οποία να µας επιτρέπουν να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου. Στη Φυσική χρησιµοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, Στυλιάρης
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 08-9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.
Διαβάστε περισσότερα