ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πρόχειρες Σημειώσεις για τις ανάγκες του μαθήματος «Φυσική Ι (Μηχανική και Εισαγωγή στην Κυματική)» της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του ΕΜΠ Ιωάννη Σ. Ράπτη Καθηγητή ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ Αθήνα, 1 1

2 1. Εισαγωγή Θεμελιώδη και Παράγωγα Μεγέθη Μαθηματικά Εργαλεία (ΒΛΕΠΕ: ENOTHTA_1). Νόμοι του Νεύτωνα.1 Διατύπωση των νόμων του Νεύτωνα και γενικά σχόλια Για την ανάλυση της ισορροπίας, της κίνησης, και της δυναμικής των μαζών, το πλαίσιο της κλασσικής μηχανικής, όπως διατυπώθηκε από τον Νέυτωνα, αποτελεί μία εξαιρετικά καλή προσέγγιση, (σύμφωνα με το σημερινό επίπεδο γνώσεων), με την προϋπόθεση ότι μελετάμε κινήσεις με ταχύτητες σημαντικά μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός (c31 8 /s), και αλληλεπιδράσεις σωματιδίων σημαντικά μεγαλύτερων από την ατομική κλίμακα. Κεντρική έννοια, στο Νευτωνικό πλαίσιο περιγραφής, αποτελεί η έννοια του αδρανειακού συστήματος αναφοράς, το οποίο θα μπορούσε να οριστεί ως το σύστημα αναφοράς στο οποίο ένα μεμονωμένο σώμα (δηλ., ένα σώμα που δεν αλληλεπιδρά με άλλα σώματα), είτε ακινητεί είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα (θεωρώντας την ταχύτητα με τα διανυσματικά της χαρακτηριστικά). Η ανάλυση της ισορροπίας, της κίνηση,ς και της δυναμικής των μαζών, στο πλαίσιο της κλασικής μηχανικής, διέπονται από τα παρακάτω τρία αξιώματα, αναφερόμενα ως «Νόμοι του Νεύτωνα»: 1. Ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, κάθε σώμα είτε ακινητεί, είτε κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα, εκτός αν ασκείται πάνω του κάποια δύναμη.. Ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, ένα σώμα μάζας, στο οποίο ασκείται κάποια δύναμη F, εκτελεί κίνηση η οποία διέπεται από τη σχέση dp F. Στην περίπτωση που η μάζα δεν εξαρτάται από το χρόνο, η d r σχέση αυτή γράφεται ως: F 3. Όταν ένα σώμα 1 ασκεί σε ένα σώμα μία δύναμη F 1, κατά μήκος της ευθείας που τα συνδέει, τότε και το σώμα ασκεί στο σώμα 1 δύναμη F1 F1. Το σύστημα των τριών αυτών αξιωμάτων δεν είναι απαλλαγμένο από κάποιου είδους αυτοαναφορικότητα, στο βαθμό που το πρώτο αξίωμα αποτελεί και έναν ορισμό του αδρανειακού συστήματος αναφοράς. Εναλλακτικά, ο χαρακτηρισμός ενός συστήματος αναφοράς ως «αδρανειακού» μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: (α) ένα σύστημα αναφοράς χαρακτηρίζεται ως αδρανειακό όταν είτε ακινητεί είτε κινείται με σταθερή (διανυσματική) ταχύτητα ως προς τον «απόλυτο χώρο» (για τον οποίο, όμως, δεν προτείνεται κάποια λειτουργική μέθοδος επιβεβαίωσης [απλανείς αστέρες?]), (β) ένα σύστημα αναφοράς χαρακτηρίζεται ως αδρανειακό όταν η κίνηση των σωμάτων σε αυτό διέπεται από το δεύτερο νόμο, (μόνο που, σε αυτή την περίπτωση, αφ ενός οι νόμοι (1) και () φαίνεται να αλληλοεξαρτώνται, αφ ετέρου ο νόμος (), ενώ γίνεται κριτήριο της αδρανειακότητας ενός συστήματος αναφοράς, ταυτόχρονα αποτελεί και τη μόνη μέθοδο υπολογισμού της δύναμης F, μέσω των θεμελιωδών μεγεθών Αυτά τα στοιχεία «κυκλικότητας» του συστήματος των αξιωμάτων του Νέυτωνα, έγιναν αντικείμενο κριτικής και, σε συνδυασμό με την απαίτηση του αναλλοίωτου των

3 φυσικών νόμων (Μηχανικής και Ηλεκτρομαγνητισμού) σε μετασχηματισμούς, από το ένα αδρανειακό σύστημα στο άλλο, οδήγησαν στη διατύπωση των νόμων της Ειδικής και της Γενικής Σχετικότητας. Παρ όλα αυτά, για ένα μεγάλο σύνολο φαινομένων της μηχανικής, όπου οι σχετικές ταχύτητες είναι μικρές σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός, η παραδοχή ότι κάποια συστήματα αναφοράς, (που έχουν σχετικά μικρές επιταχύνσεις ως προς, π.χ., το σύστημα αναφοράς των απλανών αστέρων), είναι αδρανειακά συστήματα, αποτελεί μία καλή προσέγγιση, στο πλαίσιο της οποίας οι παραπάνω Νόμοι του Νεύτωνα οδηγούν σε συμπεράσματα αρκετά ακριβή ως προς τα αντίστοιχα πειραματικά αποτελέσματα. Στο πλαίσιο αυτών των συστημάτων, με βάση το πρότυπο μοναδιαίας μάζας ( =1kg) προσδιορίζουμε τις άλλες μάζες ( ) εφαρμόζοντας την ίδια δύναμη F σε αμφότερες, οπότε, σύμφωνα με το ο νόμο του Νεύτωνα, a F a a a a a Όσον αφορά στις δυνάμεις, σύμφωνα με το σημερινό επίπεδο γνώσεων, φαίνεται ότι υπάρχουν τέσσερα είδη διαφορετικών δυνάμεων. Κάθε μία από τις τέσσερις γνωστές δυνάμεις έχει τα δικά της χαρακτηριστικά, όσον αφορά την ένταση, τα υλικά συστήματα μέσω των οποίων εκδηλώνεται και την τυπική απόσταση ανάμεσα σε αυτά τα υλικά συστήματα, πέραν της οποίας παύει να εκδηλώνεται (βεληνεκές), και συνοπτικά καταγράφονται στον Πίνακα.Ι, που ακολουθεί. Πίνακας. Ι. Οι τέσσερις γνωστές αλληλεπιδράσεις, στην φύση. Δύναμη Ενταση Εμβέλεια Φαινόμενα Εκδηλώσεις 1 Ισχυρή Σταθερότητα πυρήνων Ηλεκτρομαγνητική 1 (1/r ) Ατομική-μοριακή δομή της ύλης Βιολογικές δομές - Οργανισμοί 3 Ασθενής 1-4 < 1-17 Πυρηνική διάσπαση 4 Βαρυτική 1-36 (1/r ) Σημερινή Δομή του Σύμπαντος σε μεγάλη κλίμακα -4 Δύναμη (σε 1 Ν) ανάμεσα σε δύο πρωτόνια, που απέχουν όσο η διάμετρός τους (1-15 ) Παράδειγμα.1.1. Δείξτε ότι η κίνηση ενός σώματος μάζας, ως προς δύο συστήματα αναφοράς, Oyz και O y z που διατηρούν το σχετικό προσανατολισμό τους, περιγράφεται, με βάση το ο Νόμο του Νεύτωνα, από την ίδια δύναμη F F, με την προϋπόθεση ότι το ένα σύστημα κινείται ως προς το άλλο με σταθερή ταχύτητα. Αν υποθέσουμε ότι η θέση της αρχής του συστήματος O y z περιγράφεται, ως προς το σύστημα Oyz από το διάνυσμα R R t, τότε, τα διανύσματα θέσης r, r του κινητού, z O r z R r O y y ως προς τα συστήματα αναφοράς, Oyz και O y z, r t R t r t αντίστοιχα, συνδέονται με τη σχέση Παραγωγίζοντας δύο φορές ως προς τον χρόνο, και πολλαπλασιάζοντας επί την μάζα του κινητού, έχουμε: d r t d R t d r t d r t d r t d R t d Rt F F 3

4 Επομένως, το σώμα φαίνεται να κινείται υπό την επίδραση της ίδιας δύναμης F F και ως προς τα δύο συστήματα αναφοράς, αν d Rt drt F F V., όπου V., η σταθερή σχετική ταχύτητα των δύο συστημάτων αναφοράς. d R t Αντίθετα, αν A F F A, δηλαδή, παρατηρούμε ότι, στην περίπτωση που το σύστημα (O y z ) επιταχύνεται ως προς το (Oyz) με μία επιτάχυνση A, τότε, για να ερμηνεύεται η κίνηση της μάζας, ως προς το (O y z ), με το νόμο του dr Νεύτωνα, απαιτείται η προσθήκη μίας «αδρανειακής» ψευδο-δύναμης A. Στην Ενότητα των μη-αδρανειακών συστημάτων αναφοράς θα μελετήσουμε και άλλα είδη ψευδοδυνάμεων, ή αδρανειακών δυνάμεων που είναι γνωστές και ως δυνάμεις d'alebert. Οι δυνάμεις αυτές δεν είναι πραγματικές δυνάμεις που προκύπτουν ως αποτέλεσμα αλληλεπίδρασης της μάζας με κάποιες άλλες μάζες, αλλά είναι πλασματικές δυνάμεις που προκύπτουν ως αποτέλεσμα της περιγραφής της κίνησης ως προς ένα μη-αδρανειακό σύστημα αναφοράς, και είναι πάντα ανάλογες της μάζας της οποίας περιγράφουμε την κίνηση. Στην προηγούμενη ανάλυση, υπονοούνται δύο υποθέσεις: (α) ο χρόνος κυλάει με τον ίδιο ρυθμό και στα δύο συστήματα, (β) η μάζα είναι ίδια (αναλλοίωτη) και στα δύο συστήματα. Όπως προκύπτει από την Ειδική Σχετικότητα, και οι δύο αυτές συνθήκες δεν ισχύουν στο σχετικιστικό πλαίσιο. Επίσης, σημειώνεται ότι υποθέσαμε πως τα δύο συστήματα διατηρούν το σχετικό προσανατολισμό τους, καθώς αλλάζει ο χρόνος. Θα δούμε, στην ενότητα των Συστημάτων Αναφοράς ότι, και στο πλαίσιο της Κλασικής Μηχανικής, όταν ένα Σύστημα Αναφοράς περιστρέφεται, ακόμη και αν η αρχή του διατηρείται σε σταθερή θέση ως προς αδρανειακό σύστημα, η δυναμική των σωμάτων ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα απαιτεί την εισαγωγή όρων «ψευδοδύναμης» προκειμένου να ερμηνεύεται με το νόμο () του Νεύτωνα. Παράδειγμα.1. Συνδυάζοντας τον δεύτερο και τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, δείξτε ότι η συνολική ορμή ενός συστήματος δύο σημάτων μάζας 1 και, αντίστοιχα, που αλληλεπιδρούν με κεντρικές δυνάμεις, διατηρείται στο χρόνο. Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, εφαρμοζόμενο σε κάθε σώμα, έχουμε d d 1 1 F1, F1, αλλά, από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα F1 F1. d 11 d Επομένως. F1, F1. d 11 d d Αθροίζοντας τις δύο σχέσεις, παίρνουμε: p 1 p Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να γενικευτεί, (όπως θα δούμε στα συστήματα σωματιδίων), σε ένα σύστημα Ν-το-πλήθος σωματιδίων, τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, αλλά δεν δέχονται εξωτερικές δυνάμεις, οπότε η συνολική ορμή του συστήματος των σωματιδίων είναι σταθερή. 4

5 . Επίλυση της εξίσωσης κίνησης του Νεύτωνα Μία από τις πλέον συνήθεις εφαρμογές της εξίσωσης κίνησης του Νεύτωνα είναι η επίλυσή της, κατά την οποία, γνωρίζοντας την δύναμη F, παράγουμε το διάνυσμα θέσης και το διάνυσμα της ταχύτητας, ως συναρτήσεις του χρόνου, ή, και το διάνυσμα της ταχύτητας, ως συνάρτηση της θέσης, ολοκληρώνοντας τη διαφορική εξίσωση. Ο βαθμός δυσκολίας στην ολοκλήρωση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης εξαρτάται από τη μορφή της δύναμης, ως συνάρτησης του χρόνου, της θέσης και (ενδεχομένως) της ταχύτητας. Είναι σπανιότερες οι περιπτώσεις που οι δυνάμεις είναι συναρτήσεις του χρόνου, ενώ είναι πολύ συνηθισμένες οι περιπτώσεις που οι δυνάμεις είναι συναρτήσεις της θέσης. Υπάρχουν, επίσης, περιπτώσεις που οι δυνάμεις είναι συναρτήσεις της ταχύτητας (π.χ., κατά την κίνηση ενός σώματος μέσα σε ρευστό)..1 Κίνηση με σταθερή δύναμη Αν η δύναμη F είναι σταθερή, ως διάνυσμα, και ανεξάρτητη, από τον χρόνο, τη θέση και την ταχύτητα του κινητού, τότε επιλύουμε την διαφορική εξίσωση ολοκληρώνοντάς την. Η ολοκλήρωση αυτή μπορεί να γίνει με τη μορφή είτε αόριστου είτε ορισμένου ολοκληρώματος. Στην πρώτη περίπτωση θα προκύψουν δύο σταθερές ολοκλήρωσης, δεδομένου ότι η διαφορική εξίσωση του Νεύτωνα είναι δεύτερης τάξης και η ολοκλήρωσή της θα γίνει σε δύο στάδια. Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστούμε τα όρια ολοκλήρωσης και για την ταχύτητα και για την θέση. Το συμπέρασμα αυτό ισχύει γενικά για όποια διαφορική εξίσωση n-τάξης, για την επίλυση (ολοκλήρωση) της οποίας αποδεικνύεται ότι είναι απαραίτητη η γνώση n-το πλήθος σταθερών ολοκλήρωσης που, στην περίπτωση που η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος, λέγονται και «αρχικές συνθήκες». Στην περίπτωση της εξίσωσης του Νεύτωνα, οι αρχικές συνθήκες δίνονται με τη μορφή γνωστών τιμών για τη θέση r και την ταχύτητα σε μία ορισμένη χρονική στιγμή t, ανεξάρτητα από τη μορφή της δύναμης. t d r F F F o (1) to F F d d t t Στο επόμενο βήμα dr F F F o r t o r t t t dr t t r r t t t t () Αν, οι σχέσεις (1) και (), αναλυθούν στις καρτεσιανές τους συνιστώσες, το αποτέλεσμα, γνωστό και ως «αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων», δηλώνει ότι η συνολική κίνηση είναι η διανυσματική σύνθεση των επί μέρους κινήσεων σε κάθε άξονα. Οι δύο σχέσεις που είναι στο πλαίσιο, στην περίπτωση που τα διανύσματα και F είναι παράλληλα, αποτελούν τους γνωστούς νόμους της ομαλά επιταχυνόμενης ή επιβραδυνόμενης κίνησης, (ανάλογα με το αν τα δύο αυτά διανύσματα είναι ομόρροπα ή αντίρροπα). Στην περίπτωση που τα δύο διανύσματα και F δεν είναι παράλληλα, έχουμε σύνθεση μίας ομαλής κίνησης και μίας ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, όπως είναι η πλάγια βολή σε σταθερό πεδίο βαρύτητας. Παράδειγμα..1 Δύο κινητά ευρίσκονται, κατά τη χρονική στιγμή t, στις θέσεις r 1 και r, και κινούνται με σταθερές ταχύτητες 1 και, αντίστοιχα. Θεωρώντας ότι τα τέσσερα διανύσματα r 1, r, 1 και είναι τυχαία, προσδιορίστε τη συνθήκη που πρέπει να 5

6 ικανοποιούν, προκειμένου, τα δύο κινητά, να συναντώνται, και, με την προϋπόθεση ότι η συνθήκη αυτή ικανοποιείται, υπολογίστε τη χρονική στιγμή που θα συμβεί αυτό. Επειδή τα κινητά κινούνται με σταθερές ταχύτητες, τα διανύσματα θέσης τους δίνονται από r r t t r r t t, αντίστοιχα. τις σχέσεις 1 1 1, και, οπότε Αν υπάρχει κάποια στιγμή που συναντώνται, r1 r r1 r 1 t t. Άρα, για να συναντηθούν τα δύο κινητά πρέπει τα διανύσματα r1 r και 1 να είναι συγγραμμικά. Σε αυτή την περίπτωση, η χρονική στιγμή της συνάντησης υπολογίζεται: 6 r r r r t t t t 1 Παράδειγμα.. Ένα σώμα μάζας εκτοξεύεται, κατά τη χρονική στιγμή t, από μία αρχική θέση r zz ˆ με αρχική ταχύτητα ˆ zˆ z μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας, όπου η δύναμη που αισθάνεται από τη Γη υποθέτουμε ότι είναι σταθερή και ίση με B gzˆ. Να μελετηθεί η κίνησή του [Σχόλιο: Το πρόβλημα είναι ανάλογο με την κίνηση φορτισμένου σωματιδίου μάζας και φορτίου q το οποίο εισέρχεται με αρχική ταχύτητα ˆ zˆ, σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο E ze ˆ (π.χ., στο εσωτερικό ενός επίπεδου πυκνωτή), οπότε δέχεται σταθερή δύναμη F zqe ˆ. Η πορεία του έχει τα χαρακτηριστικά της βολής που περιγράφονται στη συνέχεια]. Το παράδειγμα αφορά αυτό που είναι γνωστό ως πλάγια βολή σε σταθερό πεδίο βαρύτητας. Μπορούμε να εργαστούμε με τις δύο σχέσεις στις οποίες καταλήξαμε F o t Με αρχικές συνθήκες r zz ˆ, ˆ zˆ z, έχουμε υποθέτοντας σταθερή δύναμη: t, r r t t t t ˆ zˆ zg ˆ t t ˆ zˆ gt, και z z z F. g 1 r zz ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z z t z t r t zˆ z zt gt Αν γράψουμε την τελευταία σχέση κατά συνιστώσες και απαλείψουμε τον χρόνο, παίρνουμε: t t 1 z z zt gt 1 z z z g Η τελευταία σχέση z z αποτελεί την αναλυτική Y () z =1 υ =5 /s υ z = 1 /s g=1 /s X () έκφραση της τροχιάς του σώματος, κατά την πλάγια βολή, (ένα παράδειγμα της οποίας βλέπουμε στο διπλανό σχήμα, με τις αντίστοιχες συνθήκες). Διαπιστώνουμε ότι, αν και η εφαρμοζόμενη σταθερή δύναμη B gzˆ εξαρτάται από την μάζα του σώματος, η χρονική εξέλιξη της ταχύτητας και της θέσης του σώματος, αλλά και αναλυτική εξίσωση της τροχιάς, δεν εξαρτώνται από τη μάζα του σώματος. Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει ως αποτέλεσμα της ισότητας

7 «βαρυτικής» μάζας B gzˆ. και «αδρανειακής» μάζας dr F, Από την παραπάνω γενική ανάλυση μπορεί κανείς να εξειδικεύσει τις επί μέρους περιπτώσεις, όπως της οριζόντιας βολής από κάποιο ύψους h, z h, z, της κατακόρυφης βολής από κάποιο ύψος h, z h,, καθώς και τις υποπεριπτώσεις της κατακόρυφης βολής, όπως είναι η κατακόρυφη βολή προς τα πάνω από ύψος h, z h,,, η κατακόρυφη βολή προς τα κάτω από ύψος h, oz,, oz, και η ελεύθερη πτώση από ύψος h, z h,, oz Επίσης, για την πλάγια βολή που γίνεται από μηδενικό ύψος z z h., και υπό γωνία θ ως προς το οριζόντιο επίπεδο, μπορούμε να υπολογίσουμε το βεληνεκές (R=range) που είναι η μέγιστη απόσταση που διανύεται στον οριζόντιο άξονα, μέχρι το σώμα να ξαναβρεθεί σε μηδενικό ύψος. Από τις σχέσεις που περιγράφουν την τροχιά της πλάγιας βολής, για z, 1 z g έχουμε z z g z. Αν αναζητήσουμε τις τιμές του για τις οποίες μηδενίζεται το ύψος z, έχουμε 1 in z g z z g και, από τη δεύτερη σχέση z cos sin R sin g g g Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι το βεληνεκές R μεγιστοποιείται για τη μέγιστη τιμή του sin, άρα για 45 o, οπότε R a. Το ίδιο αποτέλεσμα θα μπορούσε να g υπολογιστεί με τη μελέτη των ακρότατων, μέσω των παραγώγων της R R. Επίσης, από τις σχέσεις που δίνουν την ταχύτητα και την θέση κατά τον άξονα των z, έχουμε: 1 z z gt, και z zt gt Το μέγιστο ύψος της πλάγιας βολής αντιστοιχεί στο μηδενισμό της κατακόρυφης ταχύτητας, z επομένως, από την πρώτη σχέση παίρνουμε την αντίστοιχη χρονική στιγμή : t, η g oz 1 oz oz οποία, όταν αντικατασταθεί στη δεύτερη σχέση, δίνει z t g za g g g.. Κίνηση υπό την επίδραση δύναμης που εξαρτάται από τη θέση ή/και την ταχύτητα Αν η συνολική επιταχύνουσα δύναμη F εξαρτάται από τη θέση και την ταχύτητα του κινητού, τότε, η επίλυση των εξισώσεων κίνησης απαιτεί κατάλληλες αλλαγές μεταβλητής προκειμένου να είναι ολοκληρώσιμη η διαφορική εξίσωση κίνησης. 7

8 Μία περίπτωση δύναμης που εξαρτάται από την θέση και την ταχύτητα του κινητού, και για την οποία μπορεί να μεθοδευθεί η ολοκλήρωση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης με αλλαγή μεταβλητής από την μεταβλητή του χρόνου στη μεταβλητή της θέσης, είναι η περίπτωση μία δύναμης που έχει σταθερό προσανατολισμό (έστω: ) και το μέτρο της μπορεί να γραφεί ως γινόμενο μίας συνάρτησης της θέσης και μίας συνάρτησης της F, f g. Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε: ταχύτητας, d d, F f g f g d Σε αυτό το σημείο, αντικαθιστώντας d και διαχωρίζοντας σε διαφορετικά σκέλη της εξίσωσης τις μεταβλητές και, παίρνουμε : f d f d G, ; H ; g g όπου οι βουβές μεταβλητές ολοκλήρωσης φαίνονται ως «τονούμενες» προκειμένου να κρατήσουμε τα σύμβολα, για τα άνω όρια των αντίστοιχων ολοκληρώσεων. [Το σημείο στήξης «;» ξεχωρίζει της παραμέτρους (αριστερά) από τις μεταβλητές (δεξιά) του προβλήματος]. Μετά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων της τελευταίας σχέσης, επιλύουμε,, ;. την σχέση που προκύπτει έτσι ώστε να πάρουμε μία σχέση της μορφής Αν καταφέρουμε να πάρουμε αναλυτικά μία τέτοια έκφραση, τότε μπορούμε να προχωρήσουμε σε μία ακόμη ολοκλήρωση, ως εξής: t d d d,, ;,, ;,, ;,, ; t Το αποτέλεσμα αυτής της ολοκλήρωσης θα μπορεί, γενικά, να γραφεί με τη μορφή, t,, ; t, όπου έχει χρησιμοποιηθεί η ίδια σύμβαση για το διαχωρισμό «παραμέτρων» (αρχικών συνθηκών) και «μεταβλητών» [Η διαφοροποίηση των «βουβών» μεταβλητών ολοκλήρωσης (τονούμενες) από το άνω όριο του ολοκληρώματος (άτονο) θα υπονοείται στη συνέχεια, χωρίς να δηλώνεται πάντα ρητά]...3 Η έννοια της κινητικής ενέργειας Αν γράψουμε τη διαφορική εξίσωση κίνησης συναρτήσει της ταχύτητας και πολλαπλασιάσουμε εσωτερικά, και τα δύο μέλη της, επί το διάνυσμα της στοιχειώδους μετατόπισης, μπορούμε να πάρουμε τη σχέση d r F r F r F r dr dr, η ολοκλήρωση της οποίας θα δώσει : r F r dr F r dr d d r r Αλλά, F rdrw r r r F, είναι το έργο που παράγει η δύναμη F κατά την μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της (που βρίσκεται επί του κινητού μάζας ), από το σημείο r στο σημείο r, ενώ το τελευταίο σκέλος της ισότητας είναι ολοκλήρωμα του διαφορικού της ποσότητας και, επομένους, τελικά μπορούμε να γράψουμε 8

9 W r 1, r d, F F W r r () 1 Αν ορίσουμε την ποσότητα EK ως την κινητική ενέργεια ενός σώματος μάζας που κινείται με ταχύτητα υ, τότε, η σχέση (), (γνωστή και ως θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας), λέει ότι, όταν ένα σώμα κινείται υπό την επίδραση συνολικής επιταχύνουσας δύναμης F, τότε, κατά την μετακίνησή του από τη θέση r 1 στη θέση r, το έργο της δύναμης F είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος ανάμεσα στις δύο θέσεις. Παράδειγμα..3. Κίνηση μάζας, σε μία διάσταση, υπό την επίδραση αρμονικής δύναμης F kˆ (αρμονικός ταλαντωτής). Υποθέτουμε ότι οι αρχικές συνθήκες δίνονται από τις σχέσεις: t, t. o Επειδή η δύναμη είναι αναλυτική συνάρτηση της θέσης μπορούμε να εφαρμόσουμε την προηγούμενη μεθοδολογία, γράφοντας : d d k k k d kd d Επομένως, ολοκληρώνουμε, χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες 1 1 d kd k d k [Στην επόμενη Ενότητα, που θα μιλήσουμε για διατηρητικές δυνάμεις και για την έννοια της δυναμικής ενέργειας, θα αναγνωρίσουμε στην τελευταία σχέση τη διατήρηση της ολικής μηχανικής ενέργειας (κινητικής και δυναμικής)] Επιλύουμε την τελευταία σχέση ως προς d, διαχωρίζουμε τις μεταβλητές και t σε διαφορετικά μέλη της σχέσης και ολοκληρώνουμε άλλη μία φορά, χρησιμοποιώντας στα ορισμένα ολοκληρώματα τις αρχικές συνθήκες. k d k d d, k o t όπου ορίσαμε τη σταθερά k (γνωστή ως κυκλική συχνότητα ταλάντωσης του / αρμονικού ταλαντωτή. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας σχέσεις με, t t t o t / o t a t o d d d [Μαθηματική παρένθεση: Απόδειξη της σχέσης df arcsin f. 1 f df Έστω ότι f sin arcsin f. Παραγωγίζοντας cos 1 sin 1 f 1 1 Για την αντίστροφη συνάντηση:, και, πολλαπλασιάζοντας με df df df 1sin t 9

10 df df df df d arcsin f df 1sin 1 f 1 f, όπερ έδει δείξαι.] d t Ολοκληρώνουμε: arcsin arcsin t t a a a t και ορίζουμε το arcsin a, οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται 1 arcsin t t asin t / o sin t, a που είναι μεταβολή θέσης, με το χρόνο, του αρμονικού ταλαντωτή, με: πλάτος a / o και φάση t arcsin a Παράδειγμα..4. Κίνηση μάζας σε οριζόντιο λείο επίπεδο (μηδενική κινητική τριβή), με t, t, και αντίσταση αέρα (α) ανάλογη της αρχικές συνθήκες F F c ταχύτητας c1, (β) ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας (α) Η εξίσωση κίνησης γράφεται c1 c1 c1 t c1 c t 1 ln t t e Η ταχύτητα μειώνεται εκθετικά με το χρόνο (αλλά, η κίνηση διαρκεί επ άπειρον!) Για την μεταβολή της θέσης με το χρόνο, ολοκληρώνουμε την προηγούμενη εξίσωση c1 c1 t c1 d t t t e d e d e c1 t t 1 e t a c1 c1 Άρα, παρά την επ άπειρον κίνηση της μάζας, το διάστημα που διανύεται είναι πεπερασμένο λόγω της εκθετικής μείωσης της ταχύτητας με τον χρόνο Η εξάρτηση της ταχύτητας από την απόσταση μπορεί να υπολογιστεί είτε με απαλοιφή του χρόνου από τις αντίστοιχες σχέσεις, είτε επιλύοντας την διαφορική εξίσωση της κίνησης με d d, οπότε: την αρχική μεθοδολογία της αντικατάστασης d c 1 c1 c1 d d c1 (β) Για την περίπτωση αντίστασης ανάλογης του τετραγώνου της ταχύτητας εργαζόμενοι αν τον ίδιο τρόπο, βρίσκουμε: t, t ln 1 kt, k c 1 kt k F c,

11 Σε αυτή την περίπτωση, σε μεγάλους χρόνους, η ταχύτητα μειώνεται περίπου ως 1/t, ενώ η απόσταση αυξάνεται περίπου όπως το ln(t). Δηλαδή, και η κίνηση συνεχίζεται επ άπειρον (!) και το διανυόμενο διάστημα είναι άπειρο (!), παρά την τετραγωνική εξάρτηση της αντίστασης από την ταχύτητα. Τούτο συμβαίνει διότι, όσο περνάει ο χρόνος, για μικρές ταχύτητες, η τετραγωνική εξάρτηση είναι ασθενέστερη της γραμμικής εξάρτησης. Σε ένα πραγματικό σύστημα, όπου υπάρχουν και οι δύο όροι, καθώς μειώνεται η ταχύτητα μειώνεται και η σημασία του τετραγωνικού όρου, με αποτέλεσμα να είναι πεπερασμένο το συνολικό μήκος της διαδρομής του κινητού. Αν θέλαμε να επιλύσουμε με ακρίβεια την περίπτωση που συνυπάρχουν και οι δύο όροι, θα είχαμε d d t c1 c c c c c ct 1 ce 1 1 t ln... t ct c1 c c1 c1 c 1e με τις ανωτέρω οριακές συμπεριφορές Παράδειγμα..5. Πτώση σώματος μάζας σε σταθερό πεδίο βαρύτητας με μηδενική αρχική ταχύτα και τριβή από τον αέρα ανάλογη της ταχύτητας. Επιλέγουμε ως θετική κατεύθυνση του κατακόρυφου άξονα την κατεύθυνση της βαρύτητας (προς τα κάτω), οπότε g c g c / c / d g c / c / d ct / g c / g c / Ολοκληρώνοντας την τελευταία σχέση, (με αρχικές συνθήκες, t ) και απολογαριθμίζοντας παίρνουμε ct g g t 1 e t c c Στο τελευταίο συμπέρασμα για την υ ορ θα μπορούσε να καταλήξει κανείς από την εξίσωση d κίνησης, g c, θέτοντας, οπότε g c. [Δείξτε ότι, αν επιλέξουμε ως θετική κατεύθυνση του κατακόρυφου άξονα την κατεύθυνση ct g την αντίθετη της βαρύτητας (προς τα πάνω), τότε: t e 1, και σχολιάστε] c Παράδειγμα..6 Πλάγια βολή μέσα σε σταθερό πεδίο βαρύτητας και σε περιβάλλον που ασκεί δύναμη αντίδρασης ανάλογη της ταχύτητας. Μπορούμε να συνδυάσουμε τα δύο προβλήματα, αυτό της πλάγιας βολής σε σταθερό βαρυτικό πεδίο και της κίνησης μέσα σε ρευστό (π.χ., την ατμόσφαιρα) το οποίο ασκεί δύναμη αντίδρασης ανάλογη της ταχύτητας. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση κίνησης σε dr διανυσματική μορφή γράφονται: gzˆ c, όπου έχουμε επιλέξει ως θετική φορά του άξονα z την αντίθετη από την κατεύθυνση της βαρύτητας. Αν ορίσουμε c / k, τότε η εξίσωση κίνησης, κατά συνιστώσες, γράφεται: k, y ky, z g kz

12 Οι τρεις διαφορικές εξισώσεις είναι ήδη διαχωρισμένες και μπορούν να ολοκληρωθούν (σύμφωνα με τα παραδείγματα που έχουν προηγηθεί). Η πρώτη ολοκλήρωση δίνει : kt kt kt g kt t e, y y t ye, z z t ze 1 e, k όπου έχουν υποτεθεί αρχικές ταχύτητες, κατά τη χρονική στιγμή,,. t, y z Με μία δεύτερη ολοκλήρωση (με αρχική θέση την αρχή των αξόνων,, y, z ) παίρνουμε 1 kt y, 1 kt, z g g t e y t e z t 1 e kt t k k k k k Η εξίσωση τροχιάς στο κατακόρυφο επίπεδο, π.χ., στο -z, (ισοδύναμα αποτελέσματα προκύπτουν και στο y-z), προκύπτει με την απαλοιφή του χρόνου από την πρώτη και την kt k 1 k τρίτη εξίσωση. Από την πρώτη σχέση 1 e t t ln 1, k z g k g k και αντικαθιστώντας στην τρίτη σχέση z ln 1. k k k z g g k Τελικά z ln 1, η οποία είναι μία καμπύλη πολύ πιο απότομη k k στην κάθοδό της από την παραβολή της πλάγιας βολής χωρίς αντιστάσεις του αέρα. Αν θέλουμε να διερευνήσουμε την συμπεριφορά της z z για μικρές τιμές της σταθεράς αντίστασης k, θα πρέπει να κάνουμε ένα κατάλληλο ανάπτυγμα του λογαρίθμου μέχρις εκείνο τον όρο που, μετά τις αναγωγές στην συνολική εξίσωση, θα επιτρέπει την εμφάνιση στην τελική σχέση ενός όρου πρώτης τάξης ως προς k. Αν δοκιμάσουμε το ανάπτυγμα Taylor του 3 λογάριθμου ln 1..., θα διαπιστώσουμε ότι αυτό επιτυγχάνεται όταν 3 προχωρήσουμε μέχρι και τον τρίτο όρο, οπότε: 3 3 z g gk z g gk z 3 3, 3 3 όπου, στην πρώτη αγκύλη αναγνωρίζουμε το τμήμα που αφορούσε την πλάγια βολή χωρίς αντίσταση, και στη δεύτερη αγκύλη έχουμε τη διόρθωση που προκύπτει (σε πρώτη τάξη ως προς k) λόγω της αντίστασης Για τον ακριβή προσδιορισμό του βεληνεκούς, θα έπρεπε να επιλύσουμε την εξίσωση που προκύπτει για μηδενισμό του ύψους z στην αρχική εξίσωση της καμπύλης, οπότε z g g k θα είχαμε μία υπερβατική εξίσωση της μορφής ln 1, k k που δεν επιλύεται, ως προς, με συμβατικές μεθόδους. Αν χρησιμοποιήσουμε το προηγούμενο προσεγγιστικό αποτέλεσμα, η συνθήκη του βεληνεκούς z γράφεται 3 z g gk gk g z z 3 3, g g 4gkz Της οποίας οι ρίζες είναι 1 και,3, από τις οποίες 4 gk 3 απορρίπτεται η ρίζα με το αρνητικό ριζικό (διότι δίνει αρνητικό βεληνεκές) και η ρίζα με το 1

13 θετικό ριζικό δίνει το βεληνεκές το διορθωμένο λόγω αντιστάσεων (στο πλαίσιο των παραπάνω προσεγγίσεων). Παράδειγμα..7 Να μελετηθεί η κίνηση φορτισμένου σωματιδίου μάζας και φορτίου q>, το οποίο «εκτοξεύεται», τη χρονική στιγμή t, με ταχύτητα ˆ zˆ z, από το r ˆ yy ˆ zz ˆ, σε ένα χώρο στον οποίον συνυπάρχουν ένα ομογενές σημείο ηλεκτρικό πεδίο E ze ˆ και ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο B zb ˆ. Θεωρούμε γνωστό ότι το σωματίδιο δέχεται δύναμη Lorentz F qe B [Οι αρχικές συνθήκες που αναφέρονται είναι αρκετά γενικές, απλώς έχει περιστραφεί το σύστημα αναφοράς, περί τον άξονα z έτσι ώστε ο άξονας να είναι παράλληλος στην καρτεσιανή συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας, που είναι κάθετη στον άξονα z] Για να γράψουμε τη διαφορική εξίσωση κίνησης, σε μία τυχαία χρονική στιγμή, θα πρέπει να ˆ yˆ zˆ, υποθέσουμε ότι η αντίστοιχη ταχύτητα έχει, γενικά, τρεις συνιστώσες y z ˆ yˆ zˆ οπότε ο όρος B ˆ ˆ y z yb y B B. Αντικαθιστώντας στην F qe B έχουμε F q ze ˆ ˆ ˆ yb yb, οπότε η εξίσωση κίνησης, κατά συνιστώσες γράφεται: y z qyb, qb, qe (1,α,β,γ) qe qe Από την σχέση (1,γ): z oz t z z ozt t, ομαλά επιταχυνόμενη Από τις σχέσεις (1,α) και (1,β) βλέπουμε ότι έχουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, όπου η διαφορική της μίας συνιστώσας εκφράζεται συναρτήσει της άλλης. Παραγωγίζοντας άλλη μία φορά τις δύο αυτές σχέσεις ως προς το χρόνο, παίρνουμε d qb y d y qb,, (α,β) Συνδυάζοντας τις (1α)-(α) και τις (1β)-(β), από το σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, καταλήγουμε σε δύο ανεξάρτητες διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης d qb d y qb,, y (3α,β) Αν ορίσουμε ως «κυκλοτρονική συχνότητα» την ποσότητα c qb /, τότε οι (3α,β) γράφονται ως εξής: d d y,, c cy (4α,β) Επομένως και οι δύο συνιστώσες υπακούουν διαφορική εξίσωση με τα χαρακτηριστικά της διαφορικής εξίσωσης του αρμονικού ταλαντωτή, άρα (όπως είδαμε και στο Παράδειγμα..3) οι γενικές λύσεις θα έχουν τη μορφή: C cos t C cos t C sin t c 1 c c Εφαρμόζοντας τις αρχικές συνθήκες ταχύτητας 1 1 και, από την (1α), sin t C cos t y c c c c c 13 t C. Εφαρμόζοντας τις αρχικές συνθήκες ταχύτητας y t C Τελικά, οι δύο συνιστώσες ταχύτητας γράφονται

14 cos t c Ολοκληρώνοντας άλλη μία φορά: / sin t D, y c t sin, / cos c c 1 y t D c c και εφαρμόζοντας αρχικές συνθήκες: D1, D y c Τελικά: / c sin ct, y / c cos ct y c Για να παράγουμε την εξίσωση της τροχιάς στο επίπεδο (,y) απαλείφουμε τον χρόνο από τις δύο προηγούμενες εξισώσεις / c sin ct y y. y y / c cos ct c c c Άρα, στο επίπεδο (,y) η τροχιά είναι κύκλος με ακτίνα R, γνωστή και c qb ως κυκλοτρονική ακτίνα, και κέντρο, y R. Αν λάβουμε υπόψη μας και την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση στον άξονα-z, βλέπουμε ότι η συνολική κίνηση είναι μία σπειροειδής κίνηση με σταθερή ακτίνα, αλλά με βήμα έλικας που αυξάνει τετραγωνικά με το χρόνο. Αν δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο E, τότε η κίνηση παράλληλα στον άξονα-z είναι ισοταχής, οπότε η σπειροειδής κίνηση γίνεται με σταθερό βήμα z T cz z. c Στην περίπτωση που δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο E και η αρχική ταχύτητα είναι κάθετη στο μαγνητικό πεδίο z, τότε το σωματίδιο παραμένει στο επίπεδο z z, εκτελώντας κυκλική τροχιά με τα παραπάνω στοιχεία. 14

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο Διαγώνισμα Φυσικής B Λυκείου Γενικής Παιδείας

Προτεινόμενο Διαγώνισμα Φυσικής B Λυκείου Γενικής Παιδείας Προτεινόμενο Διαγώνισμα Φυσικής B Λυκείου Γενικής Παιδείας Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Δύο σώματα Α και Β ( ) εκτοξεύονται ταυτόχρονα οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Κινήσεων 1. Πίνακας 1 - Τυπολόγιο Κινήσεων Τύπος Μας δίνει Παρατηρήσεις Ορισμοί βασικών μεγεθών. Ορισμός Μετατόπισης

Τυπολόγιο Κινήσεων 1. Πίνακας 1 - Τυπολόγιο Κινήσεων Τύπος Μας δίνει Παρατηρήσεις Ορισμοί βασικών μεγεθών. Ορισμός Μετατόπισης Τυπολόγιο Κινήσεων 1 1 Τυπολόγιο Κινήσεων Πίνακας 1 - Τυπολόγιο Κινήσεων Ορισμοί βασικών μεγεθών = 2 1 Ορισμός Μετατόπισης Αλγεβρικά, κανονικά είναι = 2 1 =, = Ορισμός ταχύτητας Διανυσματικά, αλγεβρικά

Διαβάστε περισσότερα

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m. Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 015-016 Ν. Βλαχάκης 1. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε κατακόρυφο άξονα x, δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k = mω του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Το σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015 ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ Ο.Μ.Π. 1. Στο σχήμα δίνονται δύο ομογενή μαγνητικά πεδία με εντάσεις μέτρων Β 2 =2Β 1

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ Ο.Μ.Π. 1. Στο σχήμα δίνονται δύο ομογενή μαγνητικά πεδία με εντάσεις μέτρων Β 2 =2Β 1 1. Στο σχήμα δίνονται δύο ομογενή μαγνητικά πεδία με εντάσεις μέτρων Β 2 =2Β 1. Ένα φορτισμένο σωματίδιο μπαίνει στο πρώτο από το μέσον Ο της πλευράς ΑΓ με ταχύτητα υ 0 και αφού διαγράψει τεταρτοκύκλιο,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ - ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Δυναμική ενέργεια δυο φορτίων Δυναμική ενέργεια τριών ή περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα B Λυκείου Σάββατο 22 Απριλίου 2017

Διαγώνισμα B Λυκείου Σάββατο 22 Απριλίου 2017 Διαγώνισμα Λυκείου Σάββατο Απριλίου 07 Διάρκεια Εξέτασης 3 ώρες Ονοματεπώνυμο. Αξιολόγηση : Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β.

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β. 1) Αρνητικά φορτισμένο σωμάτιο κινείται σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο μεγάλης έκτασης. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν η κατεύθυνση της κίνησης του σωματίου παραμένει σταθερή, τότε: α. Συμπίπτει με την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του.

Διαβάστε περισσότερα

GI_V_FYSP_4_ m/s, ξεκινώντας από το σημείο Κ. Στο σημείο Λ (αντιδιαμετρικό του Κ) βρίσκεται ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας m2 1 kg.

GI_V_FYSP_4_ m/s, ξεκινώντας από το σημείο Κ. Στο σημείο Λ (αντιδιαμετρικό του Κ) βρίσκεται ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας m2 1 kg. Μια ράβδος μήκους R m και αμελητέας μάζας βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το σημείο Ο. Στο άλλο άκρο της είναι στερεωμένο σώμα Σ, μάζας m kg το οποίο εκτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι: ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 7 Μάη 2017 Οριζόντια Βολή-Κυκλική Κίνηση-Ορµή Ηλεκτρικό& Βαρυτικό Πεδίο

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 7 Μάη 2017 Οριζόντια Βολή-Κυκλική Κίνηση-Ορµή Ηλεκτρικό& Βαρυτικό Πεδίο Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 7 Μάη 2017 Οριζόντια Βολή-Κυκλική Κίνηση-Ορµή Ηλεκτρικό& Βαρυτικό Πεδίο Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ F ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του. Αν ασκούνται σε αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

F Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός

F Στεφάνου Μ. 1 Φυσικός F 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του. Αν ασκούνται σε αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

Προσοχή : στον τύπο της δυναμικής ενέργειας τα φορτία μπαίνουν με το

Προσοχή : στον τύπο της δυναμικής ενέργειας τα φορτία μπαίνουν με το ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΥΟ ΦΟΡΤΙΩΝ Βήμα 1: σχεδιάζουμε τα δυο φορτία που δημιουργούν το πεδίο Coulomb την μεταξύ τους απόσταση Βήμα 2: γράφουμε την σχέση ου δίνει την δυναμική ενέργεια στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 24/09/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 24/09/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 017-018 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4/09/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο:.. Ημερομηνία:..

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο:.. Ημερομηνία:.. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο:.. Ημερομηνία:.. ΘΕΜΑ Α Α. Α1) Σε σώμα που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά επενεργεί δύναμη με τις ιδιότητες της αριστερής στήλης. Αντιστοιχίστε τις ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β.

Φυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Φυσικά μεγέθη Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα Β. τα διανυσματικά Μονόμετρα ονομάζουμε τα μεγέθη εκείνα τα οποία για να τα γνωρίζουμε χρειάζεται να ξέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ακινητοποιούμε τρία σημειακά ηλεκτρικά φορτία, στις θέσεις που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο κατασκευασμένο από κάποιο μονωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. Η δυναμική ενέργεια ανήκει στο σύστημα των δύο φορτίων και δίνεται από τη σχέση:

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. Η δυναμική ενέργεια ανήκει στο σύστημα των δύο φορτίων και δίνεται από τη σχέση: ΑΠΑΝΤΗΣΕΕΙΙΣ ΣΤΟ ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΒΒ ΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ 1133 33 001111 ΘΕΜΑ 1 ο 1. β. γ 3. α 4. β 5. α ΘΕΜΑ ο 1. α. Σωστό Η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Α. ο σώμα αρχίζει να κινείται όταν η προωστική δύναμη γίνει ίση με τη δύναμη της τριβής. Έχουμε δηλαδή

Α. ο σώμα αρχίζει να κινείται όταν η προωστική δύναμη γίνει ίση με τη δύναμη της τριβής. Έχουμε δηλαδή Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (8-7-007) Μηχανική Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ A. Υλικό σώμα μάζας βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο με μέγιστο συντελεστή στατικής τριβής η και συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

Διαβάστε περισσότερα

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0 Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, Μαΐου 7 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 30/9/08 ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α5 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, 77 98 044, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου}

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου} Κεφάλαιο 8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Νομος της Βαρυτητας {Διανυσματική Εκφραση, Βαρύτητα στη Γη και σε Πλανήτες} Νομοι του Kepler {Πεδίο Κεντρικών Δυνάμεων, Αρχή Διατήρησης Στροφορμής, Κίνηση Πλανητών και Νόμοι του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο. ΘΕΜΑ 4 ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ. 1. Να διατυπωθούν οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα.

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο. ΘΕΜΑ 4 ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ. 1. Να διατυπωθούν οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα. ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Να διατυπωθούν οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα. ΘΕΜΑ 2 ο 1. Να διατυπώσετε το νόμο της παγκόσμιας έλξης. 2. Τι είναι το έργο και τι η ενέργεια; 3. Πως ορίζετε η μέση διανυσματική ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 24/07/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 24/07/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4/07/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-5, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Μάζα που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Επιμέλεια διαγωνίσματος: Αξιολόγηση :

Ονοματεπώνυμο: Επιμέλεια διαγωνίσματος: Αξιολόγηση : Ονοματεπώνυμο: Μάθημα: Υλη: Επιμέλεια διαγωνίσματος: Αξιολόγηση : Φυσική Προσανατολισμου B Λυκείου Μηχανική Σχολικό έτος 2017-2018 Σελίδα 1 1ο Διαγώνσισμα Μηχανικής Θέμα 1ο Στις παρακάτω προτάσεις 1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI).

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). 1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). Να βρείτε: α. το πλάτος της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. β.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Β' Λυκείου

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Β' Λυκείου ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Εισαγωγή Πότε έχω οριζόντια βολή; Όταν από κάποιο μικρό ύψος (Η) εκτοξεύουμε με οριζόντια ταχύτητα (υ 0 ) ένα σώμα. Πρόκειται για μια μη ευθύγραμμη κίνηση, και ο πρώτος που είχε κάποια ιδέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 467 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ Βαρυπάτη Αθηνά Φυσικός- Επιμορφώτρια Τ.Π.Ε. avarypat@de.sch.gr Μαστραλέξης Δημήτρης Φυσικός-Επιμορφωτής Τ.Π.Ε. dmastral@de.sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Δύναμη. Η ιδέα της Δύναμης δίνει μία ποσοτική περιγραφή της αλληλεπίδρασης α) μεταξύ δύο σωμάτων β) μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντος του.

1. Δύναμη. Η ιδέα της Δύναμης δίνει μία ποσοτική περιγραφή της αλληλεπίδρασης α) μεταξύ δύο σωμάτων β) μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντος του. . Δύναμη Η ιδέα της Δύναμης δίνει μία ποσοτική περιγραφή της αλληλεπίδρασης α) μεταξύ δύο σωμάτων β) μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντος του. Υπάρχουν δυνάμεις οι οποίες ασκούνται ακόμη και όταν

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. A Λυκείου Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση 13-11-2016 Θέμα 1 ο : 1) Η έκφραση 2m/s 2 όταν αναφέρεται σε κινητό που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση σημαίνει ότι: α) η θέση του κινητού αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

β) Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Η 1 2 α)

β) Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Η 1 2 α) Ε ΦΑΡΜΟΓΗ 1 Ένα σώμα μάζας m 800g ισορροπεί ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, συνδεδεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K 00N / m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. A.1 Μια διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/11/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 5//08 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα Μέρος α : Εξισώσεις κίνησης και συμπεράσματα) Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Οκτώβριος 2002 Τμήμα Πέτρου Ιωάννου και Θεοχάρη Αποστολάτου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Οκτώβριος 2002 Τμήμα Πέτρου Ιωάννου και Θεοχάρη Αποστολάτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Οκτώβριος 2002 Τμήμα Πέτρου Ιωάννου και Θεοχάρη Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα. Καλή σας επιτυχία. Θέμα (20 μονάδες) α) Διατυπώστε με σαφήνεια

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Δυναμιική.. Θέμα 1 ο 1. Συμπληρώστε την παρακάτω πρόταση. H αρχή της αδράνειας λέει ότι όλα ανεξαιρέτως τα σώματα εκδηλώνουν μια τάση να διατηρούν την... 2. Ένα αυτοκίνητο

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις. Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια

Λυμένες ασκήσεις. Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Λυμένες ασκήσεις Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια 1. Στις κορυφές οριζόντιου ισόπλευρου τριγώνου Α,Β,Γ πλευράς α βρίσκονται τα φόρτια,όπου. α. Ποια η δυναμική ηλεκτρική ενέργεια του συστήματος; β. Ποιο το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά . Να αποδείξετε ότι σε ένα ταλαντούμενο σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας, μάζας και σταθεράς ελατηρίου s με πολύ ασθενή απόσβεση (γω, όπου γ r/, r η σταθερά αντίστασης και s/ ) το πλήρες εύρος στο μισό του

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα