ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
|
|
|
- John Prodromoy
- 2 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σελίδα από ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ του Ατώη Κυριακόπουλου Θεώρηµα Για κάθε πραγµατικού αριθµού α υπάρχει έας µοαδικός ακέραιος αριθµός κ, για το οποίο ισχύου: κ α < κ + Ορισµός οθέτος εός πραγµατικού αριθµού α, ο µοαδικός ακέραιος κ κ α κ για το οποίο ισχύου : < +, οοµάζεται ακέραιο µέρος του α και συµολίζεται µε [α] Έτσι έχουµε: α R, [α] α<[α]+ Ισοδύαµα: α R, α-<[α] α Με άλλα λόγια, το σύµολο [α], όπου α R, παριστάει το µεγαλύτερο ακέραιο αριθµό, ο οποίος δε υπεραίει το α Για παράδειγµα: [,7]=, [,7]=, [ 4 ]= 4 []=, [0]=0 ιδιότητες Θεώρηµα Για κάθε α R ισχύου: α) [ α] = α α Z ) Υπάρχει θ R µε 0 θ < και α=[α]+θ Απόδειξη Έστω έας αριθµός α R α) Έστω ότι [α]=α Τότε επειδή [ α ] Z, έπεται ότι α Z Ατιστρόφως Έστω ότια Z Τότε επειδή α α < α +,έπεται ότι [α]=α ) Έχουµε: [α] α<[α]+και συεπώς: 0 α [ α] < Έτσι, θέτοτες: α [α]=θ, έχουµε: 0 θ < και α=[α]+θ Θεώρηµα α) Για δύο οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α και, ισχύου: i) α< [ α] [ ] ii) [α]<[] α < ) Για κάθε κ Z και για κάθε α R ισχύει: κ>α κ>[α] ( κ [ α] + ) Απόδειξη α) i) Έστω ότι α< Τότε: [ α] α < < [ ] + [ α] < [ ] + [ α] [ ] ii) Έστω ότι [α]<[]τότε:[ α] + [ ]Έτσι έχουµε: α < [ α] + [ ] και συεπώς α< ) Έστω ότι κ>α Τότε: κ > α [ α] και συεπώς κ>[α] Ατιστρόφως Έστω ότι κ>[α] Τότε: κ [ α] + > ακαι συεπώς κ>α Θεώρηµα α) Για κάθε κ Zκαι για κάθε α R, ισχύει: [α+κ]=[α]+κ 0, α α Z ) Για κάθε α R,ισχύει: [ α ] + [ α] =, α α Z Απόδειξη α) Έχουµε: [ α] α < [ α] + [ α] + κ α + κ < [ α] + κ + [ α + κ] = [ α] + κ γιατί ο αριθµός [α]+κ είαι ακέραιος ) Έστω ότι α Z Τότε α Z και συεπώς:[ α ] + [ α] = α α = 0
2 Σελίδα από Έστω ότι α Z Τότε: α=[α]+θ µε 0<θ< Όµοια, επειδή α Z, έχουµε: α = [ α] + θ µε 0<θ < Έτσι έχουµε: α + ( α) = [ α] + [ α] + θ + θ [ α] + [ α] = ( θ + θ ) () Από τη () έπεται ότι ( θ + θ ) Z και επειδή: 0<θ+θ <, έπεται ότι θ+θ = Ατικαθιστώτας στη (), ρίσκουµε: [ α] + [ α] = Θεώρηµα 4 α) Για κάθε, α Rισχύου:[ α] + [ ] [ α + ] [ α] + [ ] + (Εποµέως: [α+]=[α]+[] ή [α+]=[α]+[]+) ) Για κάθε α, R µε α,ισχύει: [α]=[] (δε υπάρχει κ Z µε α < κ ) Απόδειξη α) Έχουµε: α=[α]+θ µε 0 θ < και =[]+θ µε 0 θ < Προσθέτοτας κατά µέλη ρίσκουµε: α+=[α]+[]+θ+θ [α+]=[ [ α] + [ ] + θ + θ ] =[α]+[]+[θ+θ ] [α+]=[α]+[]+[θ+ θ] () Επειδή:0 θ+θ <, έχουµε: [θ+θ ]=0 ή Έτσι από τη () έπεται ότι: [α]+[] [α+]= [α]+[]+[θ+ θ] [α]+[]+ ) θεωρούµε δύο αριθµούς α, R µε α i) Έστω ότι [α]=[] Έστω τώρα ότι υπάρχει ακέραιος αριθµός κ µε α<κ Τότε: [α]<κ [] και συεπώς:[α]<[], άτοπο ii) Aτιστρόφως Έστω ότι δε υπάρχει ακέραιος k µε α<κ Έχουµε:[α] α<[α]+ Α [α]+, τότε θα έχουµε: α<[α]+, ατίθετο προς τη υπόθεση Άρα :<[α]+ Εξάλλου έχουµε:[α] α και συεπώς:[α] <[α]+, οπότε []=[α] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ Να αποδείξετε ότι, για κάθε α Rκαι για κάθε α = α Λύση Θέτουµε: = κ, οπότε κ Z Έτσι έχουµε: α κ < κ + κ α < κ + [ α] { κ, κ +,, κ + } κ [ α] κ + < κ + κ [ α] < κ + [ α] [ ] N,ισχύει: α [ α] α κ < κ + = κ = Άλλη λύση Έχουµε: [ α] α Έτσι, αρκεί α δείξουµε ότι δε υπάρχει ακέραιος κ µε: [ α] < κ α ( θεώρηµα 4 ) Έστω ότι υπάρχει τέτοιος ακέραιος κ Τότε θα είχαµε: [α]<κ α και επειδή: α<[α]+, θα είχαµε: [α]<κ<[α]+, άτοπο ( γιατί:)
3 Σελίδα από Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγµατικό θετικό αριθµό α και για κάθε φυσικό θετικό αριθµό, ισχύει: [ a] = α Λύση Θέτουµε: α= κ, οπότε κ N, γιατί α>0 Έτσι, έχουµε: κ α < κ + κ α < ( κ + ) [ α] κ, κ +,,( κ + ) { } κ [ α] ( κ + ) < ( κ + ) κ [ α] < ( κ + ) κ [ α] < κ + [ α] = κ = α Να αποδείξετε ότι για κάθε α, R µε, ισχύει: α α > () Λύση Έχουµε: α α α α > > Έτσι, για α αποδείξουµε τη (), αρκεί α αποδείξουµε ότι: α α, αρκεί α α, αρκεί, ισχύει 4 Να αποδείξετε ότι για κάθε α, Z, ισχύει: α + α + + = α Λύσηi) Έστω ότι: α+=λ, όπου λ Z Τότε: α +=λ + Συεπώς: Α ο µέλο ς= [ λ] + λ + = λ+ λ + Εξάλλου έχουµε: λ λ λ < + < + λ λ + = Συεπώς: Α ο µέλος = λ+λ = λ = α+-=α ii) Έστω ότι α+=λ+, όπου λ Z Τότε: α +=λ + Συεπώς: Α ο µέλος= λ+ + [ λ + ] = λ+ λ + = λ+ = α + = α (γιατί: λ< λ+ < λ+ και άρα: λ λ + = ) 5 ίεται έας φυσικός θετικός αριθµός Να ρείτε το ακέραιο µέρος του αριθµού: Α= ( + )( + )( + ) Λύση Είαι γωστό ότι, για κάθε α, Rµε α, ισχύει: α + α < () Έχουµε: (+)(+)(+)>(+) Εξάλλου έχουµε, λόγω της (): (+)(+)<(+) και συεπώς(+)(+)(+)<(+) Έτσι έχουµε: (+) <Α <(+) +<Α<+ [Α]=+
4 Σελίδα 4 από 6 Για κάθε φυσικό θετικό αριθµό, α αποδείξετε ότι: i) O αριθµός: ( + ) είαι περιττός ii) Ο αριθµός: ( ) + + είαι πολλαπλάσιο του + Λύση i) Επαγωγικά αποδεικύουµε εύκολα ότι, για κάθε φυσικό θετικό αριθµό, υπάρχου ακέραιοι αριθµοί α και, για τους οποίους ισχύου: ( + ) = α + και ( ) Προσθέτοτας κατά µέλη, ρίσκουµε: = α ( ) ( ) α () ( ) α ( ) ( + ) = α ( ) = α + ( ) () + + = + = Εξάλλου έχουµε: 0< < 0< ( ) < < ( ) < 0 ( ) = Έτσι, από τη () έχουµε: ( + ) = α ( περιττός) ii) Όπως και παραπάω ρίσκουµε ότι για κάθε θετικό φυσικό αριθµό, υπάρχου ακέραιοι αριθµοί και y, για τους οποίους ισχύου: ( ) + = + y και ( ) Προσθέτοτας κατά µέλη, ρίσκουµε: = y ( ) ( ) () ( ) ( ) ( + ) = ( ) = + ( ) + + = + = (4) Εξάλλου έχουµε: ( ) ( ) ( ) < < 0 0< < < < 0 = Έτσι, από τη (4), έχουµε: () ( ) ( ) ( ) ( ) + = + + = = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () + + α α πολ = = + + = = = 7 Να λυθεί η εξίσωση: + + = ( + ) () Λύση Το σύολο ορισµού της εξίσωσης είαι το R Με R, έχουµε: () + = ()
5 Σελίδα 5 από Έστω ότι R είαι µια λύση τις εξίσωσης αυτής Τότε, από τη () έπεται ότι k+ Z Θέτουµε: = k, οπότε k Z και = Ατικαθιστώτας στη k+ () ρίσκουµε ότι: = k Έτσι έχουµε: k+ k+ k+ k+ k+ < k k 0 < < (k= ή k= ) Με k= ρίσκουµε: = 5 και µε k= ρίσκουµε: = Ατιστρόφως Όπως ρίσκουµε εύκολα,οι τιµές = 5 και =, που ρήκαµε, επαληθεύου τη δοσµέη εξίσωση Άρα, οι ζητούµεες λύσεις είαι: = 5 και = 8 Να λυθεί η εξίσωση: = () Λύση Το σύολο ορισµού της εξίσωσης είαι το R Έστω ότι R είαι µια λύση τις εξίσωσης αυτής Τότε, από τη () έπεται ότι + + Z Θέτουµε: = k, οπότε k Z και = k Ατικαθιστώτας στη () ρίσκουµε ( µετά από λίγες πράξεις): 6k 7 4k 7 + = k () Εξάλλου έχουµε: 6k 7 6k 7 6k 7 < και 4 k 7 4 k 7 4 k < 7 Προσθέτοτας κατά µέλη και λόγω της (), ρίσκουµε: 6k 9 4k 0 6k 7 4k 7 + < k + 75 k < 5 k= Άρα = Ατιστρόφως Όπως ρίσκουµε εύκολα, ο αριθµός =, που ρήκαµε, επαληθεύει τη δοσµέη εξίσωση Άρα, η δοσµέη εξίσωση έχει τη µοαδική λύση = 9 ) Για οποιουσδήποτε φυσικούς θετικούς αριθµούς α και, α αποδείξετε ότι: α α + 0 () ) θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό α και τη συάτηση: * f α : N R µε fα ( ) =, για κάθε N * α α +
6 Σελίδα 6 από α) Να αποδείξετε ότι:, α διαιρεί α fα ( ) = 0, α δε διαιρεί α ) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα: fα () + fα () + + fα ( α) είαι ίσο µε το πλήθος τω θετικώ διαιρετώ του α Λύση) Έστω ότι για δύο φυσικούς θετικούς αριθµούς α και ισχύει: α α α α α α + = 0 Τότε: + = 0, άτοπο γιατί 0 και 0 > Άρα η () ισχύει α α α α) Έστω ότι διαιρεί α Τότε N * και συεπώς: = Έτσι έχουµε: fα ( ) = [] α = = α + α a Έστω ότι δε διαιρεί α Θέτουµε: = θ +, όπου 0<θ< Έτσι α έχουµε: α = + θ και συεπώς: α α + = + θ () Εξάλλου, επειδή θ>0, έχουµε: θ > 0 + θ > 0< < = 0 + θ + θ () Από τις () και (), έπεται εύκολα ότι fα ( ) = 0 ) Το άθροισµα: fα () + fα () + + fα ( α) έχει τόσους όρους ίσους µε το όσοι είαι οι θετικοί διαιρέτες του α Επειδή δε καθέας από τους υπόλοιπους όρους του αθροίσµατος αυτού είαι 0, έπεται ότι το άθροισµα αυτό: fα () + fα () + + fα ( α) είαι ίσο µε το πλήθος τω θετικώ διαιρετώ του α 0 Έστω η συάρτηση: 9 + f :, R µε f ( ) = + + Να γράψετε το τύπο της f χώρες τα σύµολα του ακεραίου µέρους και της απόλυτης τιµής Λύση Έχουµε: < <, < < και < < 5 + α) Έστω ότι: < Τότε: 0 < και < 0 και συεπώς: f ( ) = 0+ ( + ) + = ) Έστω ότι: < Τότε: < και < 0 και συεπώς:
7 Σελίδα 7 από f ( ) = + ( + ) + = γ) Έστω ότι: Τότε: < και 0 και συεπώς: f ( ) = + ( ) + = 5 Συοπτικά: 5+ 7, α - < f ( ) = 4+ 7, α < 5, α χ 9 / Να αποδείξετε ότι είαι γησίως αύξουσα η συάτηση: [ ] ( ) f ( ) = + [ ] Λύση Tο σύολο ορισµού τη συάρτησης f είαι το R Θεωρούµε δύο αριθµούς α, R µε α < Θα αποδείξουµε ότι: f(α)<f() Θέτουµε: [α]=λ, οπότε λ Z και λ α < λ+ () ) Έστω ότι:<λ+ Τότε: λ α < < λ+ και συεπώς: []=λ Έτσι, για α αποδείξουµε ότι f(α)<f(), αρκεί α αποδείξουµε ότι: λ+ ( α λ) < λ+ ( λ), αρκεί ( α λ) < ( λ), αληθής γιατί: λ α < < λ+ 0 α λ< λ ( α λ) < ( λ) ) Έστω ότι: λ+ Θέτουµε: []=µ, οπότεµ Z και µ λ+ Έτσι, για α αποδείξουµε ότι f(α)<f(), αρκεί α αποδείξουµε ότι: λ+ ( α λ ) < µ + ( µ ) () Έχουµε: 0 α λ< καιλ + µ, οπότε: λ+ ( α λ) < + λ µ µ + ( µ ) () Να αποδείξετε ότι για κάθε λ (,0), η παρακάτω συάρτηση είαι -: f()=+λ[] Λύση Tο σύολο ορισµού τη συάρτησης f είαι το R Για κάθε R, έχουµε: f ( ) = [ ] + [ ] + λ[ ] = ( λ+ )[ ] + [ ] ( ) Θέτουµε: θ()= [], οπότε: 0 θ ( ) < και f()=(λ+)[]+θ() Θεωρούµε δύο αριθµούς α, R και υποθέτουµε ότι:f(α)=f() Έχουµε: f(α)=f() (λ+)[α]+θ(α)= (λ+)[]+θ() (λ+)([ α] [ ]) =θ()-θ(α) λ+ [ α] [ ] = θ()-θ(α) () Έχουµε: λ 0 ή λ, οπότε: λ+ ή λ+ και άρα: λ+ Λόγω αυτού και επειδή, όπως ρίσκου εύκολα: θ() θ(α) <, έχουµε: () λ+ [ α] [ ] < [ α] [ ] < [ α] [ ] < λ+ < [ α] [ ] < [ α] [ ] = 0 [ α] = [ ] () Έτσι, από τη (), έχουµε: θ(α)=θ() α [α]= [] () α= Άρα, η συάρτηση f είαι - Να αποδείξετε ότι το ακέραιο µέρος εός πραγµατικού θετικού αριθµού α έχει + το πλήθος ψηφία ( στο δεκαδικό σύστηµα ρύθµισης) α, και µόο α:
8 Σελίδα 8 από + α < () 0 0 Λύση ) Έστω ότι ο αριθµός [α] έχει + το πλήθος ψηφία, οπότε: [ α] = y 0 + y y 0+ y, όπου y, y,, y, y { 0,,,,9} µε 0 0 α 0 0 y Έτσι, έχουµε: = y + y + + y + y + θ,όπου 0 θ < Προφαώς: α y 0 0 Εξάλλου, έχουµε: α < = 9 + = 0 α < 0 0 Αποδείξαµε λοιπό ότι οι σχέσεις () ισχύου ) Ατιστρόφως Έστω ότι οι σχέσεις () ισχύου Έστω τώρα ότι ο αριθµός [α] έχει λ+ το πλήθος ψηφία Τότε, όπως αποδείξαµε προηγουµέως, ισχύου: λ λ+ 0 α < 0 () Από τις () και () έπεται ότι: λ+ λ+ 0 α < 0 0 < 0 < λ+ λ Επίσης, από τις () και () έπεται ότι: λ + λ + 0 α < 0 0 < 0 λ< + ƛ Άρα: λ= και συεπώς ο αριθµός [α] έχει + το πλήθος ψηφία 0 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Για τους ακέραιος αριθµούς κ και λ και το πραγµατικό αριθµό α, ισχύει: [λα]=[µα] Να αποδείξετε ότι λ = µ * Να αποδείξετε ότι, για κάθε α R και για κάθε N, ισχύει: [ α] = [ α] Να αποδείξετε ότι, για κάθε α, R,ισχύει: [α]-[]- [α-] [α]-[] 4 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α R και για κάθε N,ισχύει: 0, α α-[α]< [ α] [ α] =, α α-[α] 5 Θεωρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α και µε α> Θέτουµε: ξ = + α και η=[ξ]+ η Να αποδείξετε ότι: < < α ξ 6 Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α, α, α ισχύου: [ α ] + [ α ] + + [ α ] [ α + α + + α ] [ α ] + [ α ] + + [ α ] + ( ) *
9 Σελίδα 9 από 7 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α R,ισχύει: [α]=[α]+ α + 8 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α, R,ισχύει: [α]+[] [α]+[]+[α+] 9 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α, R µε,ισχύει: α α > * 0 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α,, N, ισχύου: α i) α = α ii) α ίεται έας φυσικός θετικός αριθµός Να ρείτε το ακέραιο µέρος τω παρακάτω αριθµώ: Α= ( + )( + ) Β= 4 ( + )( + )( + )( ω+ 4) Γ= 5 ( + )( + )( + )( + 4)( + 5) ίεται έας φυσικός θετικός αριθµός Να ρείτε το ακέραιο µέρος του αριθµού: Α= i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε α, R, ισχύει: α < ( κ Z, α < κ ) [ α] [ ] ii) Να αποδείξετε ότι, για κάθε N, ισχύει: = Να αποδείξετε ότι δε υπάρχει αριθµός α R µε: [α]+[α]=λ+, όπου λ Z 5 Να λυθεί η εξίσωση: 4+ = 6 Να λυθεί η εξίσωση: [ ] = 7 Να λυθεί η εξίσωση: + + = ( + )
10 Σελίδα 0 από 8 Να λυθεί η εξίσωση: + + = 6 9 Να λυθεί η εξίσωση: =, µε σύολο ααφοράς το σύολο: Α=(0,+ ) 0 Θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό και τη συάρτηση: f ( ) = Να αποδείξετε ότι, για κάθε R, ισχύου: α) f(+)=f() ) 0 f()< Έστω η συάρτηση: f :, R µε f ( ) = [ ] + Nα γράψετε το τύπο της f χωρίς τα σύµολα του ακεραίου µέρους και της απόλυτης τιµής Να αποδείξετε ότι είαι γησίως αύξουσα η συάτηση: f ( ) = [ ] + [ ] θεωρούµε έα άρρητο αριθµό α και τη συάρτηση: f : Q R µε f()=α [α] Να αποδείξετε ότι: i) H συάρτηση f είαι - ii) Για κάθε y, y f ( Q ), ισχύει: y y f ( Q ) 4 Θεωρούµε δύο φυσικούς θετικούς ρυθµούς και δ Να αποδείξετε ότι, το πλήθος τω φυσικώ αριθµώ που αήκου στο σύολο {,,,} και διαιρούται µε το δ είαι: δ 5 Θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό και θέτουµε: Α= ( + 5) + Οοµάζουµε Β το δεκαδικό µέρος του Α, δηλαδή: Β = Α [Α] Να αποδείξετε ότι: Α Β= + 6 Θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό Να ρείτε τη µεγαλύτερη δύαµη του, η οποία διαιρεί το ακέραιο µέρος του αριθµού:( + ) 7 Θεωρούµε έα φυσικό θετικό αριθµό κ και έα πραγµατικό θετικό αριθµό α < κ Να αποδείξετε ότι: κ α + α + α+ 4 α+ κ [ α] = 4 8
11 Σελίδα από 8 ύο φυσικοί αριθµοί α και,µεγαλύτεροι από το, είαι πρώτοι µεταξύ τους Να αποδείξετε ότι: α α ( ) α ( α ) = α α α * 9 Να αποδείξετε ότι, για κάθε α R και για κάθε N,ισχύει: [ α] + α + α α [ α] = 0 Θεωρούµε δύο πραγµατικούς θετικούς αριθµούς α και, εκ τω οποίω ο α είαι άρρητος, για τους οποίους ισχύει: + = Να αποδείξετε ότι από τις α παραστάσεις: [ακ] και [λ] µε: κ=,,, και λ=,,, προκύπτου όλοι οι φυσικοί θετικοί αριθµοί και µάλιστα χώρες επααλήψεις
1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )
Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας
xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)
ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες
(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε
ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις
ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,
Η παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α
ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@ otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΘ Α0 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Τυπολόγιο - Μεθοδολογία. Ορισµός: Έστω α έας πραγµατικός
4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας
5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ
5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική
ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο
ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά
Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤH Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εάν ζητείται να δειχθεί ισότητα ή ανίσωση
στους μιγαδικούς αριθμούς
Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;
Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού
Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α
5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε
Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ
ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιλίο
4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή
49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη
β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.
Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]
![ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]](/thumbs/20/426829.jpg "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, )
Η έοια του ορίου Όριο συάρτησης Ότα οι τιµές µιας συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε έα πραγµατικό αριθµό l, καθώς το προσεγγίζει µε οποιοδήποτε τρόπο το αριθµό, τότε γράφουµε lim f() = l και διαβάζουµε
Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)
Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,
Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.
Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές
(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)
η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 )
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ 1 ορισµοί Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) Γησίως αύξουσα: σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται µια συάρτηση f ότα για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:
ΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών
ΜΑΘΗΜΑ 9 Γεικές ασκήσεις µιγαδικώ. Για το µιγαδικό δίεται ότι. Να βρείτε i) το ii) το σύολο τιµώ του i. i) ( )( ) [ ] Άρα ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 () (). 0 ii) i i ( ) ( i) i ( ) ( i) ( ) i () i ( ) ( i)
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου
1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών
Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις
Ασκήσεις7 80. AU διαγώνιο. αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A. Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω A o
Ασκήσεις7 80 Ασκήσεις7 Διαγωοποίηση Ερμιτιαώ Πιάκω Βασικά σημεία Λήμμα του Schur (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Φασματικό θεώρημα (μιγαδική και πραγματική εκδοχή) Ορισμός και ιδιότητες καοικώ πιάκω Θεώρημα
1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. Κριτήρια διαιρετότητας
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Κριτήρια διαιρετότητας 11 Κριτήρια διαιρετότητας 11 1η Άσκηση Να βρεις ποιοι από τους φυσικούς αριθμούς που είαι αάμεσα από το 120 και το 140 διαιρούται με: το
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (
ΜΑΘΗΜΑ Πράξεις Συζυγής
ΜΑΘΗΜΑ. Πράξεις Συζυγής Ασκήσεις Εξισώσεις Από σχέση σε σχέση ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης + i + = + i. 5 = 7 + i + 5 + 7 = 0 + = = = 7, α αποδείξετε ότι =, = 7 = 7 ( + ) + i = + i 5 7 5 = 6
Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,
Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού
Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43
ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός, Βέροια Ορισµός Ένα σηµείο Κ λέγεται κέντρο συµµετρίας (συντοµογρ ΚΣ) ενός σχήµατος (Σ), αν το συµµετρικό του (Σ) ως προς το Κ ταυτίζεται µε το (Σ)
Λυµένες Ασκήσεις * * *
Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 1 από 6 Μάθηµα 9 ο ΓΙΝΟΜΕΝΟ KRONECKER Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 15 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 91 Α AB, είαι πίακες τύπου µ µ και ατίστοιχα, υπολογίσατε τη
ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0
Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Περιεχόμεα 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ... 5. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ... 1. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ... 1 4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ
f(x) < g(x) (α), f(x) g(x) (α ), f(x) > g(x) (β) και f(x) g(x) (β ) β β
Σελίδα από ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Ατώης Κυριακόπουλος a_kiriak@otenetgr Η γεική έοια της αίσωσης Ορισµός Θεωρούµεα έα διατεταγµέο σώµα Σ, έα µη κεό σύολο Ω και δύο συαρτήσεις f :Α Σ και g :Β Σ µιας µεταβλητής
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ
ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ
ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ : Ααγκαία συθήκη για α κατασκευάζεται µε καόα και διαβήτη έα καοικό πολύγωο είαι το πλήθος τω πλευρώ του α είαι της µορφής ( + )...( + ) όπου
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό
4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή
4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει
x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x
Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων
2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )
Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ
ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε
x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ
![x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ](/thumbs/53/30835179.jpg "x [ ] T ( ) Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Λυµένες Ασκήσεις * * * * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ")
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 4 Μάθηµα 6 ο ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5-5 Ασκήσεις :, 4, 6, 8, 9,, σελ 59 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 6 ο πίακας είαι η µοαδική ιδιοτιµή του,
5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C
5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού
Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος
Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω
1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος
ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος
Γραµµική Άγεβρα ΙΙ Σείδα από 5 Μάθηµα 5 ο Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ Θεωρία : Γραµµική Άγεβρα : εδάφιο, σε 33 (όχι Πρόταση 63) εδάφιο, σε 4, Πρόταση 65, (χωρίς απόδειξη) και Πρόταση 66 εδάφιο
z = =5 ενώ z 1 z 2. (µε απόδειξη) z = z z I. z = z. z 1 z z όπου z 1 =x 1 +y 1 i και z 2 =x 2 +y 2 i σταθεροί z παριστάνει υπερβολή µε z 2
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ. Εά τότε δε ισχύει πάτα. Πχ για τους µιγαδικούς +4i και 5i είαι 5 εώ.. 0 0. Για α αποδείξουµε ότι R µε τη βοήθεια του µέτρου αρκεί α αποδείξουµε ότι (µε απόδειξη. ηλαδή R. 4. Για
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Μαθηµατική Επαγωγή 175.
Μαθηµατική Επαγωγή 75. Μαθηµατική Επαγωγή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο τω προόδω έχει αποδειχθεί ότι ο ισχυρισµός v( v+ ) P( v ):+ + 3 +... + v, v N είαι αληθής (ως άθροισµα
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14
Η Ευκλείδεια διαίρεση
1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ ( ) τέµνει σε άπειρα σηµεία την πλάγια ασύµπτωτή της; 9. Υπάρχει συνάρτηση που να µην είναι η σταθερή η οποία έχει άπειρες
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΕΙ. Υάρχει συάρτηση f : R R : f ( ) + f( ) =, για άθε. Υάρχει συάρτηση f ορισµέη αι συεχής [,+ ), η οοία δε αρουσιάζει αρότατο στο 3. ίεται συάρτηση f τέτοια ώστε f f = +, R. Υάρχει συάρτηση
2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ
1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β 2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε
.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές
ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας
2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΗΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Ι ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R
ΧΡΗΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ι ίεται η συεχής συάρτηση f : R Να δείξετε ότι f = ΛΥΣΗ R µε τη ιδιότητα αf α = f + α α+, α Η αρχική γράφεται: α f α α + = f + Έστω g = f +.Τότε: g g Η () α ( α ) =α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι
Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο
f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ
ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.
ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε
Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2
![Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2](/thumbs/92/107960223.jpg "Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2")
1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία