Μάθημα 8. Τρίγωνα. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Κοινές εφαπτόμενες

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθημα 8. Τρίγωνα. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Κοινές εφαπτόμενες"

ÏΚαϊνάμ Αγγελοπούλου
2 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μάθημα 8 Τίγωνα Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Κοινές εφαπτόμενες

2 Άσκηση 2 (σημειώσεις ) / σελίδα 72 Σε μία χοδή ενός κύκλου κέντου παίνουμε σημεία Γ και Δ για τα οποία είναι Γ = Δ. Να αποδειχθεί ότι: i. Γ = Δ ii. ν Μ το απόστημα της χοδής, τότε η Μ είναι διχοτόμος του τιγώνου ΔΓ. Δεδομένα Γ = Δ Μ Ζητούμενα 1 = 2 3 = 4 i. Γ = Δ καθώς: ) Γ = Δ (δεδομένο) 1 = 2 Γ Μ Δ 2) = (ακτίνες) 3) = (ποσκείμενες στη βάση ισοσκελούς) Γ = Δ [1] ii. Το τίγωνο ΓΔ είναι ισοσκελές με Γ = Δ (από [1]) και Μ ύψος στη βάση ΓΔ άα και διχοτόμος, οπότε: 3 = 4

3 Άσκηση 6 (σημειώσεις ) / σελίδα 72 Σε κύκλο με κέντο παίνουμε δύο ίσες χοδές και ΓΔ, οι οποίες όταν ποεκταθούν τέμνονται σε σημείο Μ εκτός κύκλου. Να αποδειχθεί ότι: i. Το σημείο Μ ισαπέχει από τα άκα των χοδών αυτών. ii. Η Μ διχοτομεί τη γωνία ΜΔ. Φένουμε τα αποστήματα Κ, Λ των = ΓΔ. Κ Λ Δ 1 2 Μ ΜΚ = ΜΛ καθώς: 1) Μ κοινή πλευά ΚΜ = ΛΜ [1] 2) Κ = Λ (αποστήματα των = ΓΔ) Μ 3) Κ = Λ = 90 ο (αποστήματα) 1 = Μ 2 (το ii) Κ = ΓΛ [2] Κ, Λ μέσα των = ΓΔ, οπότε: ως μισά ίσων χοδών Κ = ΔΛ [3] Γ [2] + [1] Κ + ΚΜ = ΓΛ + ΛΜ Μ = ΜΓ Δεδομένα Ζητούμενα [1] [3] ΚΜ Κ = ΛΜ ΔΛ Μ = ΜΔ = ΓΔ Μ = ΜΓ Μ = ΜΔ Μ 1 = Μ 2

4 Άσκηση 9 (σημειώσεις ) / σελίδα 72 Στο παακάτω σχήμα ο κύκλος εφάπτεται της πλευάς Γ και των ευθειών, Γ. ποδείξτε ότι Ζ = Ε = τ, όπου τ είναι η ημιπείμετος του τιγώνου Γ. Δ Γ Ζ Ε = Ζ [1] ως εφαπτόμενα τμήματα από το Ε = Δ [2] ως εφαπτόμενα τμήματα από το ΓΖ = ΔΓ [3] ως εφαπτόμενα τμήματα από το Γ [1] Ε + Ζ = ( + Ε) + (Γ + ΓΖ) [3] [2] Ε Ε + Ε = ( + Δ) + (Γ + ΔΓ) 2Ε = + Γ + (Δ + ΔΓ) 2Ε = + Γ + Γ = 2τ Ε = τ

5 Σχετικές θέσεις δύο κύκλων και κοινές εφαπτόμενες Έστω οι κύκλοι (, ) και (Κ, ) και έστω d η διάκεντος Κ. Τότε έχουμε τις εξής πειπτώσεις: i. ΕΝΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΣ ΤΥ ΛΛΥ d > + K d ii. ΕΦΠΤΝΤΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚ d = + d K iii. ΤΕΜΝΝΤΙ < d < + d K Η ΔΙΚΕΝΤΡΣ ΕΙΝΙ ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣ ΧΡΔΗΣ

6 Σχετικές θέσεις δύο κύκλων και κοινές εφαπτόμενες Έστω οι κύκλοι (, ) και (Κ, ) και έστω d η διάκεντος Κ. Τότε έχουμε τις εξής πειπτώσεις: iv. ΕΦΠΤΝΤΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚ d = K d v. ΕΝΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΣ ΤΥ ΛΛΥ d < d K ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΚΕΝΤΡΙ (, ) και (, ) d = 0

7 Άσκηση 3 (αποδεικτικές) / σελίδα 72 (σημειώσεις 71) Ένας κύκλος κέντου Κ είναι εξωτεικός ενός άλλου κύκλου κέντου Λ. Μια κοινή εξωτεική εφαπτομένη και μια κοινή εσωτεική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι ΚΡΛ= 90 ο. Η ΡΚ είναι διακεντική ευθεία των εφαπτόμενων τμημάτων Ρ και Ρ, Κ ω 1 2 ω Ρ 4 3 φ φ Δ Γ Λ οπότε: έστω Ρ 1 = Ρ 2 = ω [1] Η ΡΛ είναι διακεντική ευθεία των εφαπτόμενων τμημάτων ΡΓ και ΡΔ, έστω οπότε: Ρ 3 = Ρ 4 = φ [2] Ρ 1 + Ρ 2 + Ρ 3 + Ρ 4 = ΡΓ= 180 ο [1] [2] ω + ω + φ + φ = 180 ο Δεδομένα Γ, Δ εφαπτόμενες Ζητούμενα ΚΡΛ = 90 ο 2ω + 2φ = 180 ο ω + φ = 90 ο [1] Ρ 2 + Ρ 3 = 90 ο [2] ΚΡΛ = 90 ο

8 Άσκηση 10 (σημειώσεις ) / σελίδα 72 Θεωούμε δύο ίσους κύκλους (, ) και (, ) με > 2. πό το μέσο Μ του φένουμε ευθεία ε που τέμνει τους κύκλους στα, και, αντιστοίχως. Να δείξετε ότι =. Κ Δεδομένα 1 Μ Ζητούμενα 2 Κ Είναι ' > 2, δηλαδή d > +, οπότε οι κύκλοι είναι ο ένας εξωτεικός του άλλου. Φένουμε τα αποστήματα Κ και Κ των χοδών και αντίστοιχα. ΜΚ = Μ Κ καθώς: 1) Μ = Μ (δεδομένο) 2) Κ = Κ = 90 ο (αποστήματα) Κ = Κ 3) Μ 1 = Μ 2 (κατακουφήν) Μ = Μ = οπότε και =, ως χοδές ίσων κύκλων, με ίσα αποστήματα.

9 Ενότητα 1 σκήσεις 11 / σελίδα 72 Θεωούμε δύο ομόκεντους κύκλους με άνισες ακτίνες και ευθεία ε που τέμνει αυτούς κατά σειά στα σημεία Γ,,, Δ. ποδείξτε ότι : Γ = Δ και Γ = Δ. 6 / σελίδα 74 Δίνεται οθογώνιο τίγωνο Γ ( = 90 ο ). Φένουμε την διχοτόμο Δ και την Κ Δ. Η ευθεία Κ τέμνει την Γ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ = Δ. β) ΕΔ = 90 ο. 7 / σελίδα 74 Δίνεται το τίγωνο Γ με = Γ και Γ <. Ποεκτείνουμε τη Γ πος το Γ κατά τμήμα ΓΕ έτσι, ώστε = Ε και την πος το κατά τμήμα Ζ ίσο μετο ΓΕ. α) Να συγκίνετε τα τίγωνα ΓΕ και ΕΖ. β) ν Μ είναι το μέσο της Ζ, να αποδείξετε ότι ΕΜ Ζ. 8 / σελίδα 74 Θεωούμε κύκλο (, ) και τις χοδές του και ΓΔ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ, όπου Μ είναι εσωτεικό σημείο του κύκλου. ν η Μ είναι διχοτόμος μιας εκ των γωνιών που σχηματίζουν οι χοδές, να αποδείξετε ότι: = ΓΔ.

Σχετικά έγγραφα

Να βρίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντρου.

Να βρίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντρου. Ενότητα 6 Κύκλος Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να βίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντου. Να αποδεικνύουμε και να εφαμόζουμε τις σχέσεις εγγεγαμμένων