1.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ"

Transcript

1 Σελ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Ορισμός του διανύσματος 1 ο Διάνυσμα είναι το προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα με αρχή το σημείο Α και τέλος το Β. Μηδενικό διάνυσμα είναι το διάνυσμα που έχει ίδια αρχή και τέλος. Μέτρο του διανύσματος μήκος του και συμβολίζεται με είναι το. Μ Α Θ Η Μ Α Αν ένα διάνυσμα Φορέας του διανύσματος διάνυσμα. έχει μέτρο 1, λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα. Φορέας ενός μηδενικού διανύσματος ευθείες που διέρχονται από το Α. Αν ο φορέας ενός διανύσματος ευθεία ζ, τότε λέμε ότι το Δύο διανύσματα που έχουν τους ίδιους ή παράλληλους φορείς λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα ( // ). Όταν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά λέμε ότι έχουν την ίδια διεύθυνση. είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το θεωρείται οποιαδήποτε από τις είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μια είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουμε //ζ. Σελ.11

2 Σελ.1 Δύο συγγραμμικά διανύσματα και λέγονται ομόρροπα ( ) όταν: α. Έχουν διαφορετικούς φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή την ευθεία ΑΓ ή άλλη. β. Έχουν τον ίδιο φορέα και η μια από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την Όταν δύο διανύσματα είναι ομόρροπα έχουν ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και φορά) Δύο συγγραμμικά διανύσματα και λέγονται αντίρροπα ( ) όταν δεν είναι ομόρροπα. Όταν δύο διανύσματα είναι αντίρροπα έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) Ίσα διανύσματα Δύο διανύσματα και λέγονται ίσα όταν έχουν ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα ( ). Το Μ είναι το μέσο του διανύσματος Σελ.1

3 Σελ.13 Αντίθετα διανύσματα Δύο διανύσματα και λέγονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα ( ). Δηλαδή Παραδείγματα: Π.1.1. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ να εξεταστεί αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις: α. β. γ. Γ δ. Γ α. Λάθος γιατί τα διανύσματα είναι αντίθετα, δηλαδή Απάντηση και β. Σωστό αφού τα διανύσματα έχουν ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα. και γ. Λάθος γιατί τα διανύσματα και δεν έχουν ίδια κατεύθυνση. δ. Σωστό αφού οι διαγώνιες του τετραγώνου είναι ίσες σε μήκη. Σελ.13

4 Σελ.14 Π.1.. Αν και τότε θα είναι ; Απάντηση Είναι και Άρα Γωνία διανυσμάτων Αν με αρχή ένα σημείο Ο πάρουμε τα διανύσματα κυρτή γωνία και που ορίζουν οι, τότε την ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων και και την συμβολίζουμε (, ) Είναι 0 Όταν 0 είναι Όταν είναι Όταν είναι ή (, ) ή με ένα μικρό γράμμα για παράδειγμα θ. Σελ.14

5 Σελ.15 Παραδειγμα: Π.1.3. Να εξεταστεί αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις: α.,, β. 0, 1 γ. Αν 3 και τότε, 1 Απάντηση α. Η πρόταση είναι σωστή αφού τα και είναι αντίρροπα διανύσματα. (, ) (, ) β. Η πρόταση είναι σωστή αφού 0 γ. Είναι 3 και. Άρα (, ) 0 (, ) 1. Επομένως η πρόταση είναι σωστή. κι έτσι Σελ.15

6 Σελ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ο Πρόσθεση διανυσμάτων Μ Α Θ Η Μ Α Έστω δύο διανύσματα και. Με αρχή τυχαίο σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα και με αρχή το Α διάνυσμα διάνυσμα είναι το άθροισμα ή. Τότε το συνισταμένη των και και συμβολίζεται με. Δηλαδή Πρόταση: Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο. Αν είναι ένα άλλο σημείο και πάρουμε τα διανύσματα και, επειδή και, έχουμε και Επομένως, συνεπάγεται ότι και., που. Απόδειξη: Σελ.16

7 Σελ.17 Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλογράμμου. Δηλαδή με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα και και τότε το άθροισμα ορίζεται από τη διαγώνιο ΟΜ του παραλληλογράμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις ΟΑ και ΟΒ. Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων (Αντιμεταθετική) Απόδειξη: Από το σχήμα έχουμε: και Επομένως,. ( ) ( ) (Προσεταιριστική) Απόδειξη: Από το σχήμα έχουμε: ( ) ( ) Και ( ) ( ) Επομένως, ( ) ( ). 0 ( ) 0 Σελ.17

8 Σελ.18 Αφαίρεση διανυσμάτων Για την αφαίρεση διανυσμάτων είναι ( ) Έτσι x x Διάνυσμα θέσεως Αν Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου, για κάθε σημείο Μ του χώρου, το διάνυσμα λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ και το σημείο Ο που είναι κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα και επομένως Δηλαδή: έχουμε Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής. διανυσματική ακτίνα πέρατος διανυσματική ακτίνα αρχής Παραδείγματα: Π.1.4. Αν Α, Β, Γ, Δ τέσσερα σημεία, να συμπληρώσετε της ισότητες: α. Γ... Γ α. Είναι Γ Απάντηση β. Δ... β. Είναι Δ ( Δ ) ( ) 0 Σελ.18

9 Σελ.19 Π.1.5. Να εξεταστεί αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις: α. Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι β. Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι. 0 γ. Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι 0. Απάντηση α. Η πρόταση είναι σωστή αφού που ισχύει. β. Η πρόταση είναι σωστή αφού 0 0 που ισχύει. γ. Η πρόταση είναι λάθος αφού τα,,, είναι μέτρα διανυσμάτων και δεν ισχύουν οι αντίστοιχες σχέσεις που ισχύουν στην πρόσθεση διανυσμάτων. Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων Η ισότητα ισχύει όταν ενώ η ισότητα ισχύει όταν Παράδειγμα: Π.1.4. Αν τότε είναι ; Έχουμε Απάντηση ( ) Σελ.19

10 Σελ.0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.1. Να γράψετε σαν ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα: α. β. α. Είναι 0 β. Είναι Χρησιμοποιούμε τη σχέση και μετατρέπουμε τις διαφορές σε αθροίσματα. Γράφουμε τα διανύσματα σε σειρά ώστε το τέλος του ενός να είναι αρχή του επόμενου ώστε να γίνεται πρόσθεση. 1.. Να εκφράσετε το διάνυσμα x στο διπλανό σχήμα ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται. x (Σχολικό βιβλίο Α3) x Ονομάζουμε τις κορυφές και κινούμαστε είτε δεξιόστροφα είτε αριστερόστροφα από οποιοδήποτε σημείο θέλουμε. Ξεκινώντας από το Α και κινούμενοι δεξιόστροφα θα πάρουμε: Σελ.0

11 Σελ.1 0 x 0 x (Αν για παράδειγμα ξεκινούσαμε από το Γ και κινούμασταν αριστερόστροφα, θα είχαμε: 0 x 0 x κι έτσι θα καταλήγαμε στο ίδιο αποτέλεσμα) 1.3. Να αποδείξετε ότι σε οποιοδήποτε τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει: α τρόπος Είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) β τρόπος Είναι που ισχύει Γράφουμε το πρώτο μέρος ως αθροίσματα, εμφανίζοντας τα διανύσματα του δεύτερου μέρους Μεταφέρουμε τα διανύσματα από ένα μέλος σε άλλο έτσι ώστε να μπορούν να γίνουν πράξεις μεταξύ τους. γ τρόπος Είναι που ισχύει Θεωρούμε τυχαίο σημείο αναφοράς και εκφράζουμε όλα τα διανύσματα σαν αφαιρέσεις διανυσμάτων με αρχή το επιλεγμένο σημείο αναφοράς. Σελ.1

12 Σελ Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ και Ε ταυτίζονται. Θα δείξουμε ότι 0 Είναι Ή αλλιώς ( ) ( ) ( ) 0 0 Για να αποδείξουμε ότι δύο σημεία Α και Β ταυτίζονται, αρκεί να δείξουμε ότι Δίνεται τρίγωνο ΑΒΔ και τυχαίο σημείο Κ. Ορίζουμε σημείο Γ από τη σχέση. Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Για να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αρκεί να Είναι Άρα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. δείξουμε ότι ή και ότι τρία σημεία από τα Α, Β, Γ και Δ, δεν είναι συνευθειακά. Σελ.

13 Σελ Αν ισχύει, να δείξετε ότι το Β είναι μέσο του ΑΓ. Θα δείξουμε ότι. Έτσι στην δοθείσα γράφουμε τα διανύσματα με αρχή το Β: Για να δείξουμε ότι το Β είναι μέσο του ΑΓ αρκεί να δείξουμε ότι Δίνονται τα διανύσματα και με και 4 τυχαία σημεία, να δείξετε ότι: 6. Αν Δ και Ε Είναι Όμως 4 4 Για να αποδείξουμε ανίσωση με μέτρο διανύσματος, εφαρμόζουμε την τριγωνική ανισότητα: 6 Σελ.3

14 Σελ Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ όταν: α. 4 β. α. Είναι Αν Κ σταθερό σημείο και ισχύει 0, ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι ο κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος με κέντρο το Α και ακτίνα. β. Είναι Άρα ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ. Αν Α, Β σταθερά σημεία και ισχύει, ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ. Σελ.4

15 Σελ.5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1.9. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α. Ποιο διάνυσμα ονομάζεται μηδενικό; β. Τι ονομάζουμε μέτρο ενός διανύσματος και πώς συμβολίζεται; γ. Ποιο διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο; δ. Τι ονομάζεται φορέας ενός διανύσματος; ε. Πότε δύο διανύσματα ονομάζονται παράλληλα ή συγγραμικά; στ. Πότε δύο διανύσματα ονομάζονται ίσα και πότε αντίθετα; ζ. Πώς ορίζεται η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων; Αν Α, Β, Γ και Δ είναι τέσσερα σημεία, να συμπληρώσετε τις ισότητες: α.... β.... γ.... δ.... ε.... στ.... ζ.... η.... θ Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις: α. β. γ. δ. (Σ) (Λ) (Σ) (Λ) (Σ) (Λ) (Σ) (Λ) ε. (Σ) (Λ) στ. (Σ) (Λ) Σελ.5

16 Σελ Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις: α. Αν τότε. (Σ) (Λ) β. Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα. (Σ) (Λ) γ. Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. (Σ) (Λ) δ. Τα συγγραμικά διανύσματα είναι πάντοτε ομόρροπα. (Σ) (Λ) ε. Δύο μη συγγραμικά διανύσματα δεν έχουν την ίδια διεύθυνση. (Σ) (Λ) στ. Τα αντίθετα διανύσματα είναι και αντίρροπα (Σ) (Λ) ζ. Αν και τότε (Σ) (Λ) η. Αν τότε (Σ) (Λ) θ. Για τα μη μηδενικά διανύσματα, ισχύει (, ) 180 (, ) (Σ) (Λ) ι. Για οποιαδήποτε διανύσματα, ισχύει. (Σ) (Λ) ια. Αν τότε. (Σ) (Λ) Σελ.6

17 Σελ.7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Να γράψετε σαν ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα: α. γ. β. δ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε ένα τυχαίο σημείο. Να αποδείξετε ότι: α. β Έστω ένα παραλληλόγραμμο και,,, τυχαία σημεία του επιπέδου. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα το άθροισμα: Για ένα τυχαίο εξάγωνο να αποδείξετε ότι: =0 (Σχολικό βιβλίο Α7) Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε κάθε ένα από τα παρακάτω σχήματα ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται: x x (Σχολικό βιβλίο Α3) Σελ.7

18 Σελ Έστω τα σημεία,,,,. Να αποδείξετε ότι: Θεωρούμε τα σημεία,,, και. Να αποδείξετε ότι: 1.0. Να αποδείξετε ότι σε οποιοδήποτε εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ ισχύει: 1.1. Για τα σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει σημεία Α και Δ συμπίπτουν.. Να δείξετε ότι τα 1.. Έστω τα σημεία,,,,, ώστε να ισχύει: Να αποδείξετε ότι τα σημεία, συμπίπτουν Αν ισχύει, να αποδείξετε ότι τα σημεία και ταυτίζονται Έστω ότι ισχύει και τα σημεία Α, Β, Γ και Ε είναι μη συνευθειακά ανά τρία. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο Έστω,, και σημεία μη συνευθειακά ανά τρία, για τα οποία ισχύει. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο Αν ισχύει του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. να αποδείξετε ότι το Β είναι το μέσο Σελ.8

19 Σελ Αν ισχύει του ευθύγραμμου τμήματος ΒΔ. να αποδείξετε ότι το Γ είναι το μέσο 1.8. Δίνεται τετράπλευρο. Να προσδιορίσετε σημείο, ώστε να ισχύει: 1.9. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο, ώστε Δίνονται τα αντίρροπα διανύσματα και με και 3 και τυχαίο διάνυσμα. Να αποδείξετε ότι: Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα και με και 4 και τυχαίο διάνυσμα. Να αποδείξετε ότι Για οποιαδήποτε διανύσματα και να αποδείξετε ότι: Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ όταν: α. β Δίνεται τετράπλευρο, ώστε το διάνυσμα να είναι μοναδιαίο. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων για τα οποία ισχύει: Σελ.9

20 Σελ Δίνεται τρίγωνο. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων για τα οποία ισχύει: Δίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο της πλευράς. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων για τα οποία ισχύει: Σελ.30

21 Σελ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Ορισμός πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Αν * και 0 τότε το είναι το διάνυσμα το οποίο: α. Είναι ομόρροπο του αν λ>0, αντίρροπο του αν λ<0 β. Έχει μέτρο Αν 0 ή 0 τότε το είναι το μηδενικό διάνυσμα. Το γινόμενο 1 το συμβολίζουμε και με. 3 ο Μ Α Θ Η Μ Α Παρατηρήσεις 1. Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα και είναι ομόρροπα: α. Αποδεικνύουμε ότι με λ>0 ή β. Δείχνουμε ότι (, ) 0. Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα και είναι αντίρροπα: α. Αποδεικνύουμε ότι με λ<0 ή β. Δείχνουμε ότι (, ) 3. Αν. Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Αν όμως και (1) Και αν και () Στις (1) και () είναι αναγκαστικά λ>0 Σελ.31

22 Σελ.3 Παραδειγμα: Π.1.7. Να εξεταστεί αν είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις: α. Αν 3 τότε 3 β. Αν τότε γ. Αν τότε δ. Αν και τότε Απάντηση α. Σωστή β. Λάθος. Είναι γ. Λάθος. Θα έπρεπε να γνωρίζουμε ότι είναι και δ. Λάθος. Είναι Σελ.3

23 Σελ.33 Ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα ( ) Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι τα διανύσματα και είναι μη μηδενικά και ότι 0. Παίρνουμε ένα σημείο Ο και σχεδιάζουμε τα διανύσματα και. Τότε είναι. Σχεδιάζουμε επιπλέον τα διανύσματα και ( ). Επειδή ( ) ( ) ( ) ( ) τα τρίγωνα ΟΑΒ και επομένως η πλευρά την ΑΒ και ισχύει ( ) ( ) είναι όμοια και είναι παράλληλη με Αυτό σημαίνει ότι. Επομένως, επειδή έχουμε ( ) Η ιδιότητα ισχύει προφανώς και όταν ένα τουλάχιστον από τα διανύσματα και είναι το μηδενικό ή όταν ο αριθμός είναι μηδέν. ( ) ( ) ( ) Επίσης έχουμε: 0 0 ή 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Αν και 0 τότε Αν και 0 τότε ( ) ( ) Σελ.33

24 Σελ.34 Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων και λέγεται κάθε διάνυσμα της μορφής Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός περισσοτέρων διανυσμάτων. Παραδείγματα: Π.1.8. Το διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός των, αλλά και των, και αφού 0. Π.1.9. Αν το είναι γραμμικός συνδυασμός των και τότε το είναι σίγουρα γραμμικός συνδυασμός των, ; Απάντηση Γνωρίζουμε ότι όπου,. Τότε και θα μπορούσαμε να γράψουμε το σαν γραμμικό συνδυασμό των και ( 1 ) αν γνωρίζαμε ότι είναι 0 Σελ.34

25 Σελ.35 Συνθήκη παραλληλίας Απόδειξη: / /, Όπως είδαμε, αν δύο διανύσματα και, όπου 0, συνδέονται με τη σχέση, τότε τα διανύσματα αυτά είναι παράλληλα. Ισχύει όμως και το αντίστροφο. Δηλαδή, αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα και 0, τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός τέτοιος ώστε. Πράγματι, αν θέσουμε τότε. Συνεπώς: Αν τότε Αν τότε Αν 0 τότε 0 Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει και μάλιστα μοναδικός τέτοιος, ώστε. Παρατήρηση Αν και τα, δεν είναι παράλληλα, θα είναι 0 Απόδειξη: Αν 0 τότε // ΑΤΟΠΟ Αν 0 τότε // ΑΤΟΠΟ Άρα 0 Σελ.35

26 Σελ.36 Παραδείγματα: Π Αν τότε ; Απάντηση Όχι γιατί η παραλληλία δεν είναι πράξη διανυσμάτων για να εργαζόμαστε παρόμοια. Στο σχήμα φαίνεται ότι η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει σε μια τυχαία τριάδα διανυσμάτων, και Π Να βρεθούν οι xy, όταν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: x 1 y 1 0 y Απάντηση Είναι x1 1 0 x 1 y 1 Αφού τα και Άρα x 1 και y 1 δεν είναι παράλληλα θα είναι x 1 0 και ( y 1) 0. Σελ.36

27 Σελ.37 Π.1.1. Αν και μη παράλληλα διανύσματα να βρεθεί ο x ώστε τα διανύσματα x και 4 x να είναι παράλληλα. Απάντηση Είναι x / /4 x x (4 x) (όπου ) x 4 x x 4 x ( x 4 ) ( x1) (αφού, μη παράλληλα ) x x x x 10 x 10 x 4 Συνευθειακά σημεία Τρία σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν δύο διανύσματα (όχι αντίθετα) που δημιουργούνται από τα Α, Β, Γ είναι παράλληλα (π.x. // ). Παράδειγμα: Π Αν, 5 και 4 τότε να δειχτεί ότι: α. Τα σημεία Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά β. Το Β είναι μεταξύ των Γ, Δ. Απάντηση Είναι 5 3 Και 4 6 Άρα. Επομένως θα είναι και άρα τα Β, Γ και Δ θα είναι συνευθειακά κι επιπλέον το Β είναι μεταξύ των Γ και Δ. Σελ.37

28 Σελ.38 Διανυσματική ακτίνα μέσου Απόδειξη: Ας πάρουμε ένα διάνυσμα και ένα σημείο αναφοράς Ο. Για τη διανυσματική ακτίνα και του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ έχουμε: Επομένως,. Άρα. Σελ.38

29 Σελ.39 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ όταν ισχύει η σχέση 3. Θα επιλέξουμε για σημείο αναφοράς το Α. Είναι: 3 3 ( ) ( ) 3 Έτσι το σημείο Μ είναι η κορυφή του παραλληλογράμμου που σχηματίζουμε με τα διανύσματα και, όπως στο σχήμα. Για να προσδιορίσουμε ένα σημείο Μ από γνωστή σχέση, διαλέγουμε ένα γνωστό σημείο ως σημείο αναφοράς και γράφουμε στην σχέση όλα τα διανύσματα με αρχή αυτό το σημείο. Σελ.39

30 Σελ Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β, Γ. Να δείξετε ότι για κάθε Μ το διάνυσμα 3 είναι σταθερό. Επιλέγοντας σημείο αναφοράς το Α το διάνυσμα γράφεται: 3 3( ) που είναι σταθερό (δηλαδή ανεξάρτητο του Μ) Για να δείξουμε ότι ένα διάνυσμα είναι σταθερό, προσπαθούμε γράφοντας όλα τα διανύσματα με αφαίρεση διανυσματικών ακτινών με σημείο αναφοράς της επιλογής μας, να απαλείψουμε το μεταβλητό σημείο Αν τα σημεία Α και Β είναι διαφορετικά, να βρείτε το x για το οποίο x ισχύει: x x Είναι: x x x x( ) ( ) x( ) 0 x ( x ) 0 x 0 x αφού 0 Όταν θέλουμε να βρούμε έναν πραγματικό αριθμό από μια διανυσματική ισότητα, προσπαθούμε να φέρουμε την ισότητα στην μορφή 0 με 0 και τότε θα είναι 0. Σελ.40

31 1.40. Αν για τα διανύσματα,, ισχύουν οι σχέσεις 0, Σελ.41 και 3, να δειχτεί ότι τα και είναι ομόρροπα. Είναι 0 κι επομένως Ακόμη 3 Άρα κι επομένως τα διανύσματα και είναι ομόρροπα. Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα και είναι ομόρροπα αρκεί να δείξουμε ότι,ενώ για να δείξουμε ότι είναι αντίρροπα αρκεί να δείξουμε ότι Αν ΑΒΓ τρίγωνο και σημεία Δ, Ε τέτοια ώστε 8, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 5 συγγραμμικά. 5 8 και και είναι Είναι ( ) 3 3 Άρα ΔΕ//ΒΓ (Επιλέξαμε σημείο αναφοράς το Α αφού στις δοθείσες σχέσεις όλα τα διανύσματα έχουν αρχή το Α). Για να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα και είναι συγγραμμικά, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει, ώστε Σελ.41

32 Σελ Αν για τα διανύσματα,, και ισχύουν οι σχέσεις: 1 6, να δείξετε ότι τα, είναι αντίρροπα. 3 6 Θα δείξουμε ότι υπάρχει 0, ώστε. Για να το πετύχουμε, κάνουμε στις δοσμένες σχέσεις απαλοιφή του. Είναι x 6 1 ( ) Άλλος τρόπος για να δείξουμε Ότι δύο διανύσματα και είναι ομόρροπα είναι να δείξουμε ότι υπάρχει 0, ώστε, ενώ για να δείξουμε ότι είναι αντίρροπα είναι να δείξουμε ότι υπάρχει 0, ώστε Άρα τα, είναι αντίρροπα Αν, και Ο, Α, Β, και Γ σημεία τέτοια ώστε να ισχύει ( ), να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. Είναι ( ) ( ) ( ) Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουμε ότι δύο από τα διανύσματα που έχουν άκρα από αυτά τα σημεία, είναι παράλληλα (π.χ. // ) Σελ.4

33 Άρα / /,, συνευθειακά. Για να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα και είναι Σελ.43 παράλληλα, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει, ώστε Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ, Ε, Ζ έτσι ώστε 1, 3 και 3 5. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ζ, Ε είναι συνευθειακά. Είναι 3 3( ) 3 Έτσι θα έχουμε: Και Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουμε ότι δύο από τα διανύσματα που έχουν άκρα από αυτά τα σημεία, είναι παράλληλα (π.χ. // ) Για να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα και είναι παράλληλα, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει, ώστε Σελ.43

34 Σελ Δηλαδή 4 και επομένως // κι έτσι τα σημεία Δ, Ζ, Ε είναι συνευθειακά. Εκφράζουμε στις δεδομένες σχέσεις, όλα τα διανύσματα με αρχή σημείο της επιλογής μας (για παράδειγμα το Α) Δίνονται τα διανύσματα,,, και τα σημεία Ο, Α, Β, Γ και Δ που ορίζονται από τις σχέσεις:,, και Να δειχτεί ότι τα σημεία Α, Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά. Είναι: (1) () (3) Για να δείξουμε ότι τέσσερα σημεία Α, Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά, δείχνουμε ότι δύο τριάδες σημείων από αυτά, αποτελούν συνευθειακά σημεία. (Για παράδειγμα τα Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αλλά και τα Β, Γ και Δ επίσης είναι συνευθειακά) Από τις (1), () και (3) συμπεραίνουμε ότι (4) και Έτσι από την (4) θα είναι τα Α, Β και Γ συνευθειακά και από την (5) θα είναι τα Β, Γ και Δ συνευθειακά. Τελικά τα Α, Β, Γ και Δ θα είναι συνευθειακά. (5) Σελ.44

35 1.46. Αν τα διανύσματα, δεν είναι παράλληλα, να δειχτεί ότι και τα διανύσματα και δεν είναι παράλληλα. Σελ.45 Έστω ότι ( ) / /( ). Τότε θα υπάρχει τέτοιο ώστε: ( ) (1 ) (1 ) Αφού όμως τα, δεν είναι παράλληλα, θα πρέπει ΑΤΟΠΟ Επομένως τα διανύσματα Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι κάποια πρόταση δεν ισχύει, συνήθως, θεωρούμε ότι η πρόταση ισχύει και καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως η πρότασή μας δεν ισχύει. Είναι // Αν και τα, δεν είναι παράλληλα, θα είναι 0. και δεν είναι παράλληλα. Σελ.45

36 Σελ Αν τα διανύσματα, και δεν είναι παράλληλα ανά δύο και ισχύουν //( 3 3 ) και //( ), να δειχτεί ότι //( ). Αφού //( 3 3 ) και //( ) θα υπάρχουν, τέτοιοι ώστε 3 3 (1) να είναι: () Τότε () Έτσι η (1) θα γίνει (3 3) (3 ). Αφού όμως τα και δεν είναι παράλληλα πρέπει και 3 0, δηλαδή 1 και Τότε οι (1) και () θα γίνουν: Έτσι θα είναι //( ) άρα και //( ) Είναι // Αν και τα, δεν είναι παράλληλα, θα είναι 0. Σελ.46

37 Σελ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το σημείο Μ για το οποίο ισχύει. Να δείξετε ότι αν το Μ βρίσκεται πάνω στην ΒΓ τότε 1. Αν τρία σημεία Β, Μ και Γ είναι συνευθειακά, τότε τα διανύσματα και είναι παράλληλα Αφού το Μ βρίσκεται πάνω στην ΒΓ, θα υπάρχει, ώστε να είναι ( ) Είναι // Τότε από τη σχέση προκύπτει (1 ) ( ) Όμως τα και παράλληλα κι έτσι θα είναι (1) () δεν είναι Αφαιρώντας από την () την (1) προκύπτει Αν και τα, δεν είναι παράλληλα, θα είναι 0. Σελ.47

38 Σελ Να βρεθούν οι xy, όταν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ( x y 1) ( y 3 x) x 0 Είναι ( x y 1) ( y 3x) x 0 ( x y 1) ( y 3x)( ) x 0 ( x y 1) y 3x y 3x x 0 ( x y 1) y 3x y x ( x y 1 y 3x) ( y x) ( 4x y 1) ( y x) Όμως τα Οπότε: y x 0 και 4x y 1 0 Από την () είναι (1) () 1 4x x 1 0 x Τότε και 1 y δεν είναι παράλληλα, y x οπότε η (1) γίνεται Σε ένα τρίγωνο, πάντα το διάνυσμα μιας πλευράς (για παράδειγμα της ΒΓ) μπορούμε να το εκφράσουμε σε σχέση με τα διανύσματα των δύο άλλων ( ). Τα διανύσματα και δεν είναι παράλληλα οπότε μια σχέση της μορφής θα μας δώσει 0. Σελ.48

39 Σελ Αν ισχύει η σχέση μέσο του ΑΒ., να αποδείξετε ότι το Λ είναι Είναι Άρα το Λ είναι μέσο του ΑΒ. Ένας άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι το Λ είναι μέσο του ΑΒ (εκτός δηλαδή της σχέσης ) είναι δουλεύοντας με διανυσματικές ακτίνες να δείξουμε ότι Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι 0. (Σχολικό βιβλίο Α7) α τρόπος Είναι Επιλέγουμε κάθε φορά κατάλληλη αρχή και χρησιμοποιούμε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου. Για παράδειγμα: Δ μέσο του ΒΓ. Σελ.49

40 Σελ.50 0 β τρόπος (με αρχή Ο) Είναι: 0 Επιλέγουμε σημείο αναφοράς ένα άλλο σημείο Ο και για όλα τα μέσα χρησιμοποιούμε τις σχέσεις των διανυσματικών ακτινών με αρχή το σημείο Ο. Για παράδειγμα: Δ μέσο του ΒΓ. Σελ.50

41 Σελ Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Μ και Ν των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Αν 4 να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Σχολικό βιβλίο Β6) Για να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αρκεί να δείξουμε ότι ή και ότι τρία σημεία από τα Α, Β, Γ και Δ, δεν είναι συνευθειακά. α τρόπος Είναι 4 4 ( ) ( ) ) ( Άρα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Επιλέγουμε σημείο αναφοράς ένα σημείο Ο και για όλα τα μέσα χρησιμοποιούμε τις σχέσεις των διανυσματικών ακτινών με αρχή το σημείο Ο. Για παράδειγμα: M μέσο του AΓ. Σελ.51

42 Σελ.5 β τρόπος Επιλέγουμε κάθε φορά κατάλληλη αρχή και χρησιμοποιούμε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου. Για παράδειγμα: Ν μέσο του ΒΔ. Είναι 4 4 Άρα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Σελ.5

43 Σελ Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο Κ τέτοιο ώστε 0. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία είναι 4 όπου Ε το μέσο του ΑΒ. Είναι Ε μέσο του ΑΒ και έστω Ζ το μέσο του ΓΔ. Θα είναι Έτσι θα έχουμε: και 0 0 (1) Αν τώρα Ν είναι το μέσο του ΕΖ, θα είναι κι έτσι η (1) γίνεται Επομένως το Κ ταυτίζεται με το Ν. Δηλαδή το Κ είναι το μέσο του τμήματος ΕΖ και είναι μοναδικό. Για οποιοδήποτε άλλο σημείο Μ του χώρου θα είναι: Επιλέγουμε κατάλληλα μέσα ώστε από την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου να καταφέρουμε στην δοσμένη σχέση να έχουμε λιγότερα διανύσματα. Για παράδειγμα: Ε μέσο του ΑΒ Σελ.53

44 Σελ.54 4 ( ) Επομένως από την σχέση 4 θα πάρουμε 4 4 Έτσι ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ο Αν Κ σταθερό σημείο και ισχύει 0, ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι ο κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα. κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα Δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου με κέντρο Ο τέμνονται στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι:. Επιλέγουμε κατάλληλα μέσα και χρησιμοποιούμε τη σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου με αρχή το Ο. Για παράδειγμα: Κ μέσο του ΑΒ Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, τότε ισχύουν και Σελ.54 Επομένως θα είναι:. Το τμήμα που ενώνει το κέντρο ενός κύκλου με το μέσο μιας χορδής, είναι κάθετο στην χορδή και ονομάζεται απόστημα της χορδής.

45 Σελ.55 ( ) επειδή το ΟΚΜΛ είναι ορθογώνιο αφού και Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ οι διάμεσοί του ώστε να ισχύει η σχέση: 0,,,. Να δειχτεί ότι. Χρησιμοποιούμε κατάλληλα τη σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου. Για παράδειγμα: Δ μέσο του ΒΓ Είναι ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) (αφού τα, δεν είναι παράλληλα) 0 (1) 0 () Προσθέτοντας τις (1) και () προκύπτει Τότε από την (1) είναι 0. Άρα. Αν και τα, δεν είναι παράλληλα, θα είναι 0. Σελ.55

46 Σελ Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ για το οποίο ισχύει (1 ). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για Είναι (1 ) ( ) Επομένως // και αφού το μεταβάλλεται στο, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στη ΒΓ. Αν Α είναι ένα γνωστό σημείο και ένα γνωστό διάνυσμα, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει η σχέση με είναι η ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στο διάνυσμα. Σελ.56

47 Σελ Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ, η διάμεσος ΒΜ και το μέσο Κ της ΒΜ. Να γράψετε το σαν γραμμικό συνδυασμό των, Ένα διάνυσμα v είναι γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων και όταν υπάρχουν, ώστε. Είναι Χρησιμοποιούμε κατάλληλα τη σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου. Για παράδειγμα: Κ μέσο του ΒΜ Σελ.57

48 Σελ Αν, και r είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β και Μ αντιστοίχως και τότε r. (Σχολικό βιβλίο Β4), να αποδείξετε ότι αν το Μ είναι εξωτερικό του ΑΒ, είναι ομόρροπα ή αντίρροπα. Έτσι αν και και αν και Αφού τα και είναι ομόρροπα, θα είναι: ΜΑ Διαφορετικά δεν μπορούμε να μεταβούμε σε ισότητα διανυσμάτων. r r r r r r ( )r r Για να μεταβούμε από μία ισότητα μέτρων σε ισότητα διανυσμάτων, πρέπει να γνωρίζουμε αν τα διανύσματα Σελ.58

49 Σελ Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε την εσωτερική διχοτόμο ΑΔ. Αν και να δειχτεί ότι:. Αν η ΑΔ είναι εσωτερική διχοτόμος τριγώνου ΑΒΓ, από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου είναι Είναι Όμως τα και είναι ομόρροπα κι επομένως θα είναι και ( ) ( ) Όταν είναι και τότε και όταν είναι και τότε ( ). Σελ.59

50 Σελ.60 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α. Τι ονομάζουμε γινόμενο του πραγματικού αριθμού με το διάνυσμα ; β. Πότε λέμε ότι ένα διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων, ; γ. Ποια σχέση ισχύει για τη διανυσματική ακτίνα του μέσου ενός ευθύγραμμου τμήματος; Αν Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να συμπληρώσετε τις ισότητες: α.... β γ.... δ.... ε Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις: α. Αν, τότε //. (Σ) (Λ) β. Αν μη μηδενικό διάνυσμα, τότε το έχει αντίθετη φορά από το 1. (Σ) (Λ) γ. Αν 0 και, τότε. (Σ) (Λ) δ. Αν 0 και 0, τότε. (Σ) (Λ) ε. Αν 3, τότε 3. (Σ) (Λ) στ. Αν το είναι μοναδιαίο και 3 0, τότε 3. (Σ) (Λ) ζ. Αν 0,, τότε οπωσδήποτε 0. (Σ) (Λ) η. Αν, τότε για κάθε *. (Σ) (Λ) Σελ.60

51 Σελ.61 θ. Το διάνυσμα με 0είναι αντίρροπο του. (Σ) (Λ) ι. Αν, τότε τα, βρίσκονται εκατέρωθεν του. ια. Αν με, και, μη συγγραμικά διανύσματα, (Σ) (Λ) τότε 0. (Σ) (Λ) ιβ. Αν η διάμεσος τριγώνου, τότε. (Σ) (Λ) 1 ιγ. Το δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των και. (Σ) (Λ) ιδ. Αν 3, τότε 3 (Σ) (Λ) Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν και ( 1), τότε ο είναι: A 1 B Γ 3 Δ 1 Ε κανένα από αυτά β. Έστω, και μη μηδενικά διανύσματα τέτοια ώστε 5 και Τότε η γωνία των και είναι: A 0 B Γ 3 Δ γ. Αν τα και δεν είναι αντίρροπα διανύσματα και, 3 και 5 9 τότε ο αριθμός που ορίζεται από την ισότητα είναι ίσος με: A B Γ 3 4 Δ 1 Ε κανένα από αυτά Σελ.61

52 Σελ Σε παραλληλόγραμμο είναι, και είναι το μέσο της. Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα της στήλης Α του παρακάτω πίνακα με το ίσο του της στήλης Β. 1.. Στήλη Α α) β) 1 Στήλη Β γ) δ) 1 ε) 1 στ) Σελ.6

53 Σελ.63 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ, Δ ισχύει ότι: Δίνονται τα σημεία,,,. Να αποδείξετε ότι: α. 3 3 β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Μ τέτοιο ώστε να είναι: Να αποδείξετε ότι: Αν ισχύει 5 5, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα (Σχολικό βιβλίο Β8) 3 5 είναι σταθερό Να βρείτε το διάνυσμα x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: 1 1 α. ( x ) ( x ) β. x 3( ) 4( ) 3x Δίνονται τα σημεία του χώρου Α,Β,Γ,Δ με 0 έτσι ώστε, όπου. Να βρεθεί το, ώστε. Σελ.63

54 Σελ Δίνεται το μη μηδενικό διάνυσμα και (Σχολικό βιβλίο Α10). Να αποδείξετε ότι 1. και σημείο Γ τέτοιο ώστε να ισχύει Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Μ και Ν ενός επιπέδου, όπου τα Μ και Ν είναι διαφορετικά. Να βρεθεί ο x ώστε να ισχύει: x x x x Να αποδείξετε ότι αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις x y z 0, x y z 0 και (Το Κ είναι διαφορετικό από το Λ). (Σχολικό βιβλίο Β3) x y z 0, τότε θα ισχύει και η τρίτη Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύει 0 και. Να αποδειχθεί ότι τα διανύσματα,, είναι συγγραμικά Αν για τα διανύσματα, ισχύει: και, να αποδείξετε ότι Αν ΑΒΓΔ τραπέζιο με // και Ο τυχαίο σημείο, να αποδείξετε ότι υπάρχει θετικός αριθμός λ, ώστε να ισχύει: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν αποδείξετε ότι //. (Σχολικό βιβλίο Α11) και. Να Σελ.64

55 Σελ Αν Δ είναι τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι υπάρχει ώστε να είναι ( 1 ) Δίνονται τα διανύσματα u 4 3 και v. Να αποδείξετε ότι: α. Το διάνυσμα u 3v είναι ομόρροπο με το. β. Το διάνυσμα u v είναι αντίρροπο με το Θεωρούμε τα μη μηδενικά διανύσματα και. Να αποδείξετε ότι: ( ) / /( ) / / 1.8. Εάν ισχύει 3, να αποδειχθεί ότι: Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά. (Σχολικό βιβλίο Α5) Θεωρούμε τα σημεία Ο, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ότι: 4, και 3. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σελ.65

56 Σελ Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε ισχύει η σχέση 3 να δείξετε ότι τα Γ, Δ, Ε είναι συνευθειακά Αν 3 3, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. (Σχολικό βιβλίο Α6) Εάν ισχύει είναι συνευθειακά. ( ) 3 ( 5), να δειχθεί ότι τα Α, Β και Γ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο του ΑΒ. Αν και και σημεία Δ και Ε ώστε 5 5 και, να δείξετε ότι: 6 3 α. Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο β. Τα σημεία Δ, Ε, Μ είναι συνευθειακά Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ των ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα με 1 3 και 1 4. Να δειχτεί ότι τα σημεία Β, Ε και Ζ είναι συνευθειακά και μάλιστα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ε της ΑΓ τέτοιο ώστε 3. Αν Δ είναι σημείο της διαμέσου ΑΜ τέτοιο ώστε σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά. 3, να αποδείξετε ότι τα Αν για τα σημεία Ο,Α,Β,Γ είναι 3 4 7, να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και το Γ βρίσκεται μεταξύ των Α και Β. Σελ.66

57 Σελ Αν, με και ισχύουν οι σχέσεις: και 3, να αποδειχτεί ότι τα σημεία Α, Γ, Δ είναι συνευθειακά Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε για τα οποία ισχύουν: και όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί με 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Γ, Ε είναι συνευθειακά Αν τα διανύσματα, είναι μη συγγραμμικά, να βρείτε τα x ώστε τα διανύσματα u (x 1) και ( 3x ) να είναι συγγραμμικά. (Σχολικό βιβλίο Β1) Αν τα διανύσματα, δεν είναι παράλληλα, να βρεθεί αριθμός ώστε τα διανύσματα και 3 να είναι παράλληλα Δίνονται τα διανύσματα,, τα οποία δεν είναι παράλληλα ανά δύο. Αν είναι // και // να δειχτεί ότι // Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ διάμεσός του. Να λυθεί ως προς xy, η εξίσωση: x y Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει η σχέση: 4 3. α. Να δειχτεί ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. β. Να βρεθούν οι πραγματικοί x,y για τους οποίους ισχύει: x y. Σελ.67

58 Σελ Δίνεται το ορθογώνιο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Αν Ρ είναι το σημείο τομής των ΑΜ και ΒΝ να αποδείξετε ότι: 4 5 και Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω Μ και Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α. β Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Κ το κέντρο του και Μ το μέσο του ΚΓ. Να αποδειχθεί ότι: Αν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντιστοίχως τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει: (Σχολικό βιβλίο Α8) Αν τα τμήματα ΑΒ, ΓΔ και ΕΖ έχουν κοινό μέσο Μ και Ο ένα τυχαίο σημείο, να δείξετε ότι Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα 3 παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να αποδείξετε ότι Αν Μ είναι το μέσο της διαγωνίου ΑΓ κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, να αποδείξετε ότι Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντιστοίχως ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, να αποδείξετε ότι: (Σχολικό βιβλίο Α9) Σελ.68 4.

59 Σελ Έστω Κ, Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ αντίστοιχα και Π μέσο του ΚΛ. Να αποδείξετε ότι: α. 4 β Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και δύο σημεία Ρ,Μ για τα οποία είναι. α. Να δείξετε ότι τα τμήματα ΒΓ και ΡΜ έχουν κοινό μέσο. β. Για κάθε σημείο Ο του χώρου, να δείξετε ότι: γ. Τι είδους τετράπλευρο είναι το ΒΡΓΜ; Θεωρούμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τον περιγεγραμμένο σ αυτό κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R. Έστω ακόμη ένα σημείο Η στο επίπεδο του τριγώνου, που ορίζεται από την ισότητα. α. Να δειχτεί ότι το σημείο Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. β. Να δειχτεί ότι 0 3R Δίνεται τετράπλευρο. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: Δίνεται τετράπλευρο. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: Δίνεται τετράπλευρο. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, για τα οποία ισχύει:. Σελ.69

60 Σελ Δίνεται τρίγωνο. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: 1, Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, σημείο Ε της πλευράς ΑΒ, σημείο Ζ της πλευράς ΓΔ, και σημείο Ρ της πλευράς ΕΖ τέτοια ώστε και 4, 1 3. Να εκφράσετε το διάνυσμα σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων και Δίνεται τρίγωνο και σημείο της πλευράς, ώστε α. Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των 1. και. β. Έστω επίσης το σημείο για το οποίο ισχύει: 4. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Δ και Μ είναι συνευθειακά Αν στο διπλανό σχήμα είναι ( ) ( ) να αποδείξετε ότι x 3 (Σχολικό βιβλίο Α3) x Δίνεται τετράπλευρο και σημείο της πλευράς τέτοιο, ώστε. Να αποδείξετε ότι 3. Σελ.70

61 Σελ Αν, και r είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β και Μ αντιστοίχως και τότε r. (Σχολικό βιβλίο Β4), να αποδείξετε ότι αν το Μ είναι εσωτερικό του ΑΒ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάμεσός του. Πάνω στα τμήματα ΑΒ, ΑΜ και ΑΓ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Δ, Ε, Ζ έτσι ώστε να είναι ( ) ( ), ( ) ( ) και ( ) ( ). Να δείξετε ότι τα σημεία 3 4 Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. Σελ.71

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Περιεχόμενα Η Εννοια του διανύσματος Ομόρροπα-Αντίρροπα Διανύσματα Ισα Αντίθετα διανύσματα Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων Διάνυσμα θέσεως Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. 1. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 3 4 3 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ ισχύει ότι : 4 4 7. Αν ισχύουν να αποδείξετε ότι. Αν ισχύει ότι 5 5 να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α

α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α 3 Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= ΟΑ Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να βρείτε τα διανύσματα ΓΑ, ΑΒ και ΕΔ συναρτήσει των α και γ και να αποδείξετε ότι ΓΑ = ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα ο ΓΕ Αγίων Αναργύρων Μαθηματικά Προσανατολισμού Φυλλάδιο Ασκήσεων Διανύσματα Β υκείου ύνθεση Άσκηση Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3 1. Σπάμε ένα Διάνυσμα Έστω ότι έχουμε ένα διάνυσμα. Τότε αυτό μπορούμε να το σπάσουμε σε δύο (ή περισσότερα), παρεμβάλλοντας ανάμεσα στα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα 2. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = α, Α = β. α) Το διάνυσµα ΑΓ ισούται µε Α. α - β Β. β - α Γ.. α + β Ε. α - β α + β β) Το διάνυσµα Β ισούται µε α + β Α. α + β Β. β -

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Παρατήρηση. 1. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο από το σημείο. 2. Το άθροισμα των διανυσμάτων και μπορεί να βρεθεί να βρεθεί και με

Παρατήρηση. 1. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο από το σημείο. 2. Το άθροισμα των διανυσμάτων και μπορεί να βρεθεί να βρεθεί και με 2. Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων Έστω και δυο μη μηδενικά διανύσματα. Για να τα προσθέσουμε κάνουμε τα εξής: Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο του χώρου και γράφουμε το διάνυσμα συνέχεια με αρχή το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή:

για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των α,. Δηλαδή: α.. Πρόσθεση διιανυσμάτων Αν έχουμε δύο διανύσματα α, β για να βρούμε το άθροισμά τους μπορούμε να δουλέψουμε με 2 τρόπους: 1 0ς τρόπος!! Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε διάνυσμα Α = α!!!!!" και στη συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου

Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα