Επί του προβλήματος της κβαντικής μέτρησης: Πραγματικότητα, αντικειμενικότητα και πιθανοκρατία στη σύγχρονη φυσική. Βασίλης Καρακώστας

Transcript

1 Νεύσις 9 (2000), Επί του προβλήματος της κβαντικής μέτρησης: Πραγματικότητα, αντικειμενικότητα και πιθανοκρατία στη σύγχρονη φυσική Βασίλης Καρακώστας 1. Εισαγωγή Η κβαντική μηχανική συνιστά μια στατιστική θεωρία της μικροσκοπικής δομής της ύλης. Σύμφωνα με την καθιερωμένη ερμηνεία της, ο στατιστικός χαρακτήρας της θεωρίας δεν εννοείται ως αποτέλεσμα ατέλειας των εμπειρικών μας πιστοποιήσεων, ή ανεπάρκειας της υπολογιστικής μας ακρίβειας, ή ακόμη, έλλειψης γνώσης του συνόλου των παραμέτρων ενός φυσικού συστήματος. Αντιθέτως, θεωρείται ότι συνιστά έκφραση της πιθανοκρατικής συμπεριφοράς της ύλης στο μικροσκοπικό επίπεδο ως δεδομένο στοιχείο και συνεκτικό παράγοντα της φυσικής πραγματικότητας. Ενώ η κλασική φυσική παρείχε μια εικόνα του κόσμου ως ενός μηχανικά οργανωμένου συνόλου αυστηρά καθορισμένων οντοτήτων, που συσχετίζονται και αλληλεπιδρούν υπό το ίδιο καθεστώς νομοτέλειας ανεξάρτητα από το πλήθος και το μέγεθός τους, η κβαντική φυσική προβάλλει μια εικόνα του κόσμου ως ενός συνόλου μεταβαλλόμενων σχέσεων, με πιθανοκρατική στατιστική οροθέτηση, όπου μια μονοσήμαντη περιγραφή αυτού που μεταβάλλεται δείχνει να είναι αδύνατη ανεξάρτητα από τη μέθοδο και τα μέσα της παρατήρησης. Η κβαντική μηχανική, ως το θεωρητικό πλαίσιο διερεύνησης του μικρόκοσμου, έχει αντιπαρέλθει με πλήρη επιτυχία την πληθώρα των πειραματικών ελέγχων που επιχειρήθηκαν στα εβδομήντα περίπου χρόνια από την επίσημη διατύπωσή της, στα τέλη της τρίτης δεκαετίας του 20ού αιώνα. Το κβαντομηχανικό υπόδειγμα εν τούτοις έχει γεννήσει προβλήματα που αμφισβήτησαν την παραδοσιακή φιλοσοφική βάση της επιστήμης, την αντικειμενική φύση της πραγματικότητας και την ανεξαρτησία της από τη γνωστική διαδικασία, την απεικονιστική περιγραφή των μικροσκοπικών οντοτήτων και Ο Β. ΚΑΡΑΚΩΣΤΑΣ είναι Λέκτορας Φιλοσοφίας της Φυσικής, στο Τμήμα Μεθοδολογίας, Ιστορίας και Θεωρίας της Επιστήμης του Πανεπιστημίου Αθηνών. 1

2 φαινομένων, τη σχέση των σύνθετων συστημάτων με τα συνιστώντα μέρη τους, και ακόμη την ίδια την ισχύ των αιτιοκρατικών νόμων. 2. Το πρόβλημα της κβαντικής μέτρησης Tο πλέον ακανθώδες πρόβλημα στην εννοιολογική θεμελίωση της θεωρίας εντοπίζεται, κατά κοινή ομολογία, στο πρόβλημα της κβαντικής μέτρησης. Η αντιμετώπισή του απαιτεί τη σύμμειξη θεμάτων αξιωματικής, θεωρητικής, επιστημολογικής, όπως και οντολογικής υφής. Είναι σαφές ότι η κβαντική μηχανική αποτελεί έως τώρα την ακριβέστερη και συνεπέστερη θεωρία της σύνολης συμπεριφοράς (στατικής ή δυναμικής) των ατομικών και υποατομικών συστημάτων, δηλαδή της ίδιας της συγκρότησης του υπαρκτού στη μικροσκοπική του διάσταση και της εμφάνισης του υπαρκτού στη μακροσκοπική του διάσταση. Το πρόβλημα της κβαντικής μέτρησης, στη γενικότερή του μορφή, εντοπίζεται ακριβώς στην αδυναμία μίας συνεπούς συναγωγής του διακριτού και σαφώς καθορισμένου χαρακτήρα των μακροσκοπικών σωμάτων από τη συμπεριφορά των μικροσκοπικών συστατικών τους. Ή για να το εκφράσουμε διαφορετικά, χρησιμοποιώντας τη διατύπωση των Landau (Λάνταου) και Lifschitz (Λίφσιτζ) (1977, σ. 3), ενώ η κβαντική θεωρία υπερβαίνει και υποτίθεται ότι επεξηγεί πλήρως την κλασική μηχανική, η συνήθης ερμηνεία της κβαντικής θεωρίας προϋποθέτει, ως προς τη λογική της συνέπεια, τη χρήση όρων και εννοιών της κλασικής φυσικής. Υπό μια ειδικότερη θεώρηση, το πρόβλημα της κβαντικής μέτρησης είναι δυνατόν να χαρακτηρισθεί ως πρόβλημα εσωτερικής συνέπειας της αξιωματικής δομής της θεωρίας και της εννοιολογικής της θεμελίωσης. Σύμφωνα με την καθιερωμένη αξιωματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής κατά von Neumann (φον Νόιμαν, 1932; 1955), η χρονική εξέλιξη της κατάστασης ενός συστήματος παρουσιάζει μια ιδιότυπη διττή φύση. Ενώ η κυματοσυνάρτηση ενός απομονωμένου (κλειστού) συστήματος αναπτύσσεται κατά ένα συνεχή, αιτιοκρατικό και χρονικά συμμετρικό τρόπο σύμφωνα με την χρονοεξαρτημένη εξίσωση του Schrödinger (Σρέντιγκερ), σε περιπτώσεις μέτρησης, αντιθέτως, ασυνέχεια, τυχαιότητα και χρονική ασυμμετρία εισάγονται μέσω του αξιώματος της προβολής (projection postulate). Αυτός ο ασύμβατος δυϊσμός της κατάστασης ενός κβαντικού συστήματος ως προς τη χρονική του εξέλιξη συνιστά το πρόβλημα της μέτρησης στην κβαντική θεωρία και το όριο της κβαντομηχανικής περιγραφής. Εάν το σύστημα διατηρείται απομονωμένο, η χρονική του εξέλιξη προσδιορίζεται από την εξίσωση του Schrödinger 2

3 όπου, Ψ(t)> = U (t, t o ) Ψ(t o )>, (1) -ih (t-to) /! U (t, t o ) = e ο μοναδιαίος (unitary) τελεστής της κίνησης στην κβαντική μηχανική του χώρου Hilbert (Χίλμπερτ). Για μια δεδομένη έκφραση του ενεργειακού Χαμιλτονιανού τελεστή Η τη χρονική στιγμή t o, η εξίσωση Schrödinger περιγράφει απλώς έναν μοναδιαίο μετασχηματισμό της αρχικής κατάστασης Ψ(t o )>, όπου, υπό τη δράση του U t, οι γεωμετρικές ιδιότητες του καταστατικού διανύσματος Ψ> διατηρούνται αναλλοίωτες. Λόγω αυτού, το μετασχηματιζόμενο κατά την ανάπτυξη Schrödinger σύστημα διατηρεί την ταυτότητά του. Κατά τη χρονική εξέλιξη του συστήματος δεν επίκειται ποιοτική μεταβολή των στοιχείων του. Η εξίσωση Schrödinger, ως μια συνεχής, πρώτου βαθμού, διαφορίσιμη, μονοπαραμετρική εξίσωση, ικανοποιεί τη συνθήκη αιτιοκρατίας (ή ντετερμινισμού): πλήρης γνώση της κατάστασης του συστήματος, Ψ(t o )>, μια δεδομένη χρονική στιγμή t o, επιτρέπει ακριβή προσδιορισμό της κατάστασης του συστήματος, Ψ(t)>, μια αυθαίρετη χρονική στιγμή t. Υπ αυτή την έννοια, η κατά Schrödinger χρονική εξέλιξη ενός κβαντικού συστήματος είναι συνεχής και αιτιοκρατική. Είναι επίσης χρονικώς συμμετρική ή αντιστρέψιμη: απαιτείται απλώς η αντικατάσταση του τελεστή U t από τον αντίστροφό του, επίσης μοναδιαίο τελεστή, U -1 t, ώστε ν αναπαραχθεί η δυναμική εξέλιξη του συστήματος προς την αντίθετη διεύθυνση του χρόνου, t -t, στο παρελθόν. Η διαδικασία της μέτρησης, αντιθέτως, συνεπάγεται, σύμφωνα με την καθιερωμένη ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής, μια μη-αντιστρεπτή, στοχαστική και ασυνεχή μεταβολή της κυματοσυνάρτησης, καθώς και την ανεξίτηλη καταγραφή μιας από τις δυνατές ιδιοκαταστάσεις της. Εάν η αρχική κατάσταση Ψ> ενός προς μέτρηση συστήματος αναπαρίσταται από μια επαλληλία (ή υπέρθεση) καταστάσεων, δηλαδή ένα γραμμικό άθροισμα των δυνατών εναλλακτικών καταστάσεων του συστήματος, { ψ i >}, στο χώρο Hilbert, Ψ> = i c i ψ i >, i = 1, 2,..., k,..., (2) η διαδικασία της μέτρησης επιβάλλει την ασυνεχή μετάβαση-προβολή της αρχικής κυματοσυνάρτησης του συστήματος σε μια από τις συνιστώσες της καταστάσεις: Ψ> ψ k >. (3) Tο αποτέλεσμα του μετασχηματισμού που εκφράζεται μέσω της (3) αναφέρεται συνήθως ως αναγωγή του καταστατικού διανύσματος (state vector reduction) ή 3

4 συρρίκνωση της κυματοσυνάρτησης (collapse of the wave function). Η (3) συνιστά την απλούστερη περιγραφή του αξιώματος προβολής του von Neumann. Ορίζει ότι η κατάσταση του συστήματος μετά από τη μέτρηση ενός φυσικού του μεγέθους αντικαθίσταται από ή ανάγεται στην ιδιοσυνάρτηση της ιδιοτιμής που μετρήθηκε. H πιθανοκρατική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης από τον Born (Μπορν), όχι ως ενός φυσικώς παρατηρήσιμου υλικού κύματος αλλά ως ενός κύματος πιθανότητας, συνδέεται ακριβώς με τέτοιου είδους στιγμιαίες μεταβάσεις μεταξύ επιτρεπόμενων κβαντικών καταστάσεων κατά τη διαδικασία της μέτρησης. Στο παράδειγμα της επαλληλίας των καταστάσεων που παρέχει η Εξ. (2), η πιθανότητα ότι η μέτρηση ενός μεγέθους Α στην κατάσταση Ψ> θα λάβει την ιδιοτιμή α k, ώστε η κατάσταση του συστήματος ευθύς μετά τη μέτρηση να είναι η ψ k >, δίνεται από τη σχέση c k 2 = < ψ k Ψ > 2, δηλαδή από το τετράγωνο του μέτρου του (εν γένει μιγαδικού) συντελεστή c k της αρχικής επαλληλίας των καταστάσεων. Η παραπάνω ανάλυση επικεντρώθηκε στη διαδικασία της (ιδανικής) μέτρησης ενός μεμονωμένου κβαντικού συστήματος. Στην περίπτωση ενός στατιστικού συνόλου (ensemble) πανομοιότυπων κβαντικών συστημάτων όλων προπαρασκευασμένων στην κατάσταση Ψ>, ή ισοδυνάμως κατά τη θεώρηση ενός αρκούντως μεγάλου αριθμού πανομοιότυπων μετρήσεων επί της Ψ>, η αναγωγή της κυματοσυνάρτησης έχει ως αποτέλεσμα το μετασχηματισμό της αρχικής επαλληλίας των καταστάσεων (2) σ ένα στατιστικό μίγμα ιδιοκαταστάσεων Ψ> Ψ 1 >, Ψ> Ψ 2 >,..., Ψ> Ψ k >,... με στατιστικά βάρη (ή πιθανότητες), αντιστοίχως, c 1 2 = <ψ 1 Ψ> 2, c 2 2 = <ψ 2 Ψ> 2,..., c k 2 = <ψ k Ψ> 2,.... Κατά συνέπεια η καθαρή κατάσταση (pure state), η οποία περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση Ψ> της Εξ. (2), ή γενικότερα, από τον αυτοδύναμο στατιστικό τελεστή ή τελεστή πυκνότητας (idempotent statistical operator or density operator) D = Ψ><Ψ = k,n c k c * n ψ k ψ * n = k=n c k 2 ψ k ψ * k + k n c k c * n ψ k ψ * n, (4) μετασχηματίζεται μετά τη διαδικασία της μέτρησης σ ένα μίγμα καταστάσεων (mixture or mixed state) και ο τελεστής πυκνότητας λαμβάνει τη μορφή D = k c k 2 ψ k ψ * k, (5) η οποία είναι ριζικώς διαφορετική από την (4). Ένα φυσικό σύστημα στην κατάσταση D ισοδυναμεί απλώς με την περιγραφή ενός συστήματος το οποίο εντοπίζεται με πιθανότητα c 1 2 στην κατάσταση ψ 1 >, c 2 2 στην 4

5 κατάσταση ψ 2 >,..., και ούτω καθεξής. Η κατάσταση D περιγράφει ένα μίγμα μακροσκοπικώς διακεκριμένων καταστάσεων. Αντιθέτως, η καθαρή κατάσταση Ψ>, όπως εκφράζεται μέσω του αυτοδύναμου τελεστή πυκνότητας D ( Ψ><Ψ ), δεν ανάγεται στο σύνολο των συνιστωσών ιδιοκαταστάσεων του συστήματος ψ 1 >, ψ 2 >,..., ψ k >,..., θεωρουμένων ως μεμονωμένων και ανεξάρτητων μεταξύ τους οντοτήτων: μόνον η επαλληλία αυτών των ιδιοκαταστάσεων, με το φαινόμενο συμβολής που συνεπάγεται η Εξ. (4) λόγω της αλληλεπίδρασης των (μη-διαγώνιων) στοιχείων c k c * n, περιγράφει πλήρως την κυματοσυνάρτηση Ψ> και συνεπώς την κατάσταση του συστήματος. Οι ιδιοκαταστάσεις { ψ i >} στη σχέση επαλληλίας (2) δεν αναφέρονται σε πραγματικές, προϋπάρχουσες καταστάσεις του συστήματος: οι { ψ i >} είναι δυνάμει καταστάσεις και πραγματώνονται επιλεκτικά κατά τη διαδικασία της μέτρησης υπό δεδομένες πειραματικές συνθήκες. Έτσι ο αυτοδύναμος τελεστής πυκνότητας D, καθώς και το καταστατικό διάνυσμα Ψ>, αποτελούν μέτρο της συνύπαρξης των πολλαπλών δυναμικοτήτων του κβαντικού στατιστικού συνόλου και όχι απλώς ένα στατιστικό μίγμα ήδη μετρούμενων (πλήρως διαχωρισμένων) καταστάσεων, όπως αποφαίνεται η σχέση ορισμού του D. Η αναγωγή του καταστατικού διανύσματος Ψ> ψ k >, κατά τη διαδικασία της μέτρησης ενός μεμονωμένου κβαντικού συστήματος, ή η μη-γραμμική μετάβαση D D, κατά τη διαδικασία της μέτρησης ενός στατιστικού συνόλου όμοια προπαρασκευασμένων κβαντικών συστημάτων, δεν εξηγούνται στο πλαίσιο της καθιερωμένης ερμηνείας της κβαντικής μηχανικής. Η εξίσωση κίνησης του Schrödinger, η οποία παρέχει το θεμελιώδες επίπεδο της δυναμικής περιγραφής στη συνήθη κβαντική θεωρία, αδυνατεί να εκφράσει τη μετάβαση από την κατάσταση (4) στην κατάσταση (5), να περιγράψει δηλαδή το μετασχηματισμό από μια καθαρή κατάσταση σ ένα στατιστικό μίγμα ιδιοκαταστάσεών της, πολλώ μάλλον, το μετασχηματισμό σ ένα μόνον από τα συνιστώντα στοιχεία του στατιστικού μίγματος. Στη διάρκεια της μέτρησης η λειτουργία της κατά Schrödinger δυναμικής ανάπτυξης ενός συστήματος αναστέλλεται και παραχωρεί τη θέση της αξιωματικά σε μια αιφνίδια και ασυνεχή αλλαγή της κυματοσυνάρτησης, σ ένα είδος μη αιτιακού άλματος προβολής ως εκδήλωσης στοχαστικής επιλογής από την πλευρά του κβαντικού συστήματος. Η ενσωμάτωση του αιτήματος της προβολής, ως ενός νέου και ανεξάρτητου αιτήματος στην αξιωματική δομή της κβαντικής μηχανικής, είναι συμβατή με τη γενικότερη θετικιστική απόχρωση της καθιερωμένης ερμηνείας της θεωρίας. Το αξίωμα 5

6 της προβολής αποτυπώνει μια διαδικασία του τύπου είσοδος έξοδος ( input output ), κατά τη συνήθη οπερασιοναλιστική γλώσσα της πειραματικής πρακτικής. Είναι ένας ευφυής φαινομενολογικός κανόνας, διατυπωμένος post hoc στη βάση της εμπειρικής μαρτυρίας, και αναφέρεται αποκλειστικά στην αρχική και την τελική κατάσταση ενός μετρούμενου κβαντικού συστήματος χωρίς να περιγράφει ή να εξηγεί τον προκαλούμενο από τη μέτρηση μετασχηματισμό του. Η μετάπτωση ή συρρίκνωση της κυματοσυνάρτησης του συστήματος θεωρείται ακαριαία. Ουδεμία πληροφορία παρέχεται για τη δομή του ποιοτικού της μετασχηματισμού από την αιτιοκρατική συνεχή εξέλιξη κατά τη δυναμική του Schrödinger στην πιθανοκρατική ασυνεχή μεταβολή κατά τη μέτρηση. Ένα πρόβλημα εσωτερικής λογικής συνέπειας προκύπτει αναπόφευκτα: Είναι η κβαντική μηχανική ικανή, στη λειτουργική της σχέση με τη φύση, να εξηγήσει αυτή τη διττή ανάπτυξη της κυματοσυνάρτησης, δεδομένου ότι η διαδικασία της μέτρησης είναι ένα σύνηθες φυσικό γεγονός και κατά συνέπεια η εκδήλωσή του θα πρέπει να υπόκειται στους νόμους της θεωρίας; 3. Το πρόβλημα της κβαντικής μέτρησης ως πρόβλημα εσωτερικής συνέπειας της κβαντικής θεωρίας: Ο παράγοντας της συνείδησης του παρατηρητή Η μέτρηση στη φυσική θεωρείται ως μια διαδικασία αλληλεπίδρασης μεταξύ του υπό μέτρηση αντικειμένου (ή συστήματος) (S) και μίας κατάλληλης συσκευής (ή οργάνου) (Μ), κατά τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται ακριβής αντιστοίχηση μεταξύ της αρχικής κατάστασης του αντικειμένου και της τελικής κατάστασης της συσκευής. Εάν Η S και Η Μ αντιπροσωπεύουν τους χώρους Hilbert του μετρούμενου συστήματος και της συσκευής μέτρησης, αντιστοίχως, η μεταξύ τους αλληλεπίδραση αναπαρίσταται επί του χώρου Hilbert του τανυστικού τους γινομένου, Η S H M. Ας επικεντρώσουμε το ενδιαφέρον μας στη μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους Α του συστήματος S, το οποίο χαρακτηρίζεται από ένα πλήρες ορθοκανονικό σύνολο ιδιοσυναρτήσεων { φ i >} με αντίστοιχες ιδιοτιμές {a i }. Θεωρούμε προς απλούστευση ότι οι ιδιοτιμές του μετρούμενου φυσικού μεγέθους είναι διάκριτες και μη-εκφυλισμένες. Υπό την πλέον γενική θεώρηση το προς μέτρηση σύστημα S αντιπροσωπεύεται αρχικώς, πριν από τη μέτρηση, από μια καθαρή κατάσταση Ψ>, η οποία εκφράζεται, όπως και στην Εξ. (2), ως γραμμική επαλληλία (υπέρθεση ή συνδυασμός) των εναλλακτικών 6

7 καταστάσεων φ i >, δηλαδή των συνιστωσών του καταστατικού διανύσματος Ψ> ως προς τη βάση { φ i >}, Ψ = i <φ i Ψ> φ i = i c i φ i. (6) Έστω ότι η μετρητική κλίμακα της συσκευής Μ χαρακτηρίζεται από την ακολουθία τιμών {b 1, b 2,...}, οι οποίες απεικονίζουν τις δυνατές θέσεις του δείκτη της συσκευής. Σύμφωνα με τη συνήθη, κατά von Neumann, ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής το πεδίο ισχύος της θεωρίας επεκτείνεται στην περιγραφή μακροσκοπικών συστημάτων και συνεπώς ο δείκτης της συσκευής είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί από ένα παρατηρήσιμο μέγεθος Β με διάκριτες ιδιοτιμές {b i }, B Φ i > = b i Φ i >, <Φ i Φ j > = δ ij, (7) όπου τα αντίστοιχα κανονικοποιημένα καταστατικά διανύσματα (ή ιδιοσυναρτήσεις) Φ i > δηλώνουν τις καταστάσεις ένδειξης της συσκευής. Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι η συσκευή μέτρησης Μ έχει αρχικώς προετοιμασθεί στη μη-ενεργό κατάσταση Φ ο >. Επομένως η ολική κατάσταση του σύνθετου συστήματος S+M περιγράφεται στο χώρο Hilbert H S H M, τη χρονική στιγμή t = 0, από το παραγοντοποιημένο καταστατικό διάνυσμα Ψ (0) = ( i c i φ i ) Φ ο. (8) Η αλληλεπίδραση κατά τη διαδικασία της μέτρησης επιβάλλει μια κατάλληλη σύζευξη των δύο συστημάτων S και Μ, ώστε, μετά την ολοκλήρωσή της, το προκύπτον σύνθετο σύστημα S+M εξελίσσεται χρονικά, σύμφωνα με την (αντιστρεπτή) μοναδιαία ανάπτυξη της εξίσωσης Schrödinger, προς μια επαλληλία καταστάσεων Ψ (0) = ( i c i φ i ) Φ ο U(t-to) Ψ (t) = i c i (φ i Φ i ), (9) όπου η κατάσταση Φ i > αντιπροσωπεύει τη θέση του δείκτη της συσκευής ευθύς μετά το πέρας της αλληλεπίδρασης. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο προκαλούμενος από τη μέτρηση μετασχηματισμός του καταστατικού διανύσματος Ψ> στη σχέση (9) αποτελεί άμεση συνέπεια της γραμμικότητας του χρονο-εξαρτημένου μοναδιαίου τελεστή U t, ο οποίος καθορίζει την εξίσωση κίνησης στην κβαντική μηχανική. Η σχέση (9) συνεπώς απορρέει πλήρως από τις θεμελιώδεις αρχές της θεωρίας. Μετά την ολοκλήρωση της μέτρησης, η συσκευή Μ, εάν εξυπηρετεί το σκοπό λειτουργίας της, καταγράφει μια συγκεκριμένη ιδιοτιμή του μετρούμενου μεγέθους Α. Παρατηρήστε ότι στη σχέση (9), η ιδιοκατάσταση φ i > του μετρούμενου μεγέθους συσχετίζεται, κατά τρόπο μονοσήμαντο, με την ιδιοκατάσταση Φ i > του δείκτη της συσκευής. Επομένως, γνώση της κατάστασης της συσκευής μέτρησης επιτρέπει γνώση 7

8 της κατάστασης του μετρούμενου αντικειμένου, μετά τη διαδικασία της μέτρησης. Στο πλαίσιο, όμως, της πρότυπης διατύπωσης της κβαντικής μηχανικής, η τελική κατάσταση Ψ(t)> του σύνθετου συστήματος S+M συσκευής μέτρησης και μετρούμενου αντικειμένου δεν μπορεί να ερμηνευθεί ως εάν να δηλώνει ότι ο δείκτης της συσκευής βρίσκεται σε μια απολύτως καθορισμένη θέση, όπως αυτή θα οριζόταν από μια από τις δυνατές ιδιοκαταστάσεις της. Η γραμμικότητα της εξέλιξης του σύνθετου συστήματος μεταφέρει τα κβαντικά φαινόμενα συμβολής του προς μέτρηση αντικειμένου στην ίδια τη συσκευή μέτρησης προεκτείνοντας την κβαντική συμπεριφορά στο μακρόκοσμο. Η πραγματικότητα επομένως την οποία η συσκευή καταγράφει θα είναι πιθανοκρατική, μια επαλληλία δυνάμει αποτελεσμάτων, χωρίς συγκεκριμένο νόημα. Για να επιτευχθεί, κατά συνέπεια, η αναγωγή της κβαντομηχανικής συμπεριφοράς της συσκευής M σε μια από τις ιδιοκαταστάσεις της, θα πρέπει να εισαχθεί μια δεύτερη συσκευή μέτρησης M, με ιδιοτιμές n i και ιδιοδιανύσματα Ν i >. Εφαρμογή όμως της ίδιας συλλογιστικής υπαγορεύει ότι η κατάσταση της πρόσθετης, δεύτερης συσκευής Μ, θα πρέπει να εκτιμηθεί μέσω μιας επιπρόσθετης τρίτης συσκευής Μ, και ούτω καθεξής. Τούτο οδηγεί σε μια απείρου μήκους αλυσίδα συστημάτων μέτρησης και εκτελούμενων μετρήσεων, αναφερόμενη στη βιβλιογραφία ως von Neumann s infinite regress, Ψ (t) = i n i (t) φ i Φ i Ν i.... (10) Η επαναλαμβανόμενη ακολουθία συστημάτων μέτρησης στην (10) αποκαλύπτει ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της θεωρίας μέτρησης κατά von Neumann. Εξ αιτίας του μονοσήμαντου συσχετισμού των δεικτών i, και κατ επέκταση, του μονοσήμαντου συσχετισμού των καταστάσεων των διαδοχικών συσκευών μέτρησης, εάν αποφασισθεί η διάσπαση της αλυσίδας των μετρήσεων (10) μέσω εφαρμογής του αιτήματος της προβολής, είναι εντελώς αδιάφορος ο προσδιορισμός του σημείου εφαρμογής του. Δηλαδή λαμβάνει κανείς το ίδιο αποτέλεσμα μέτρησης για το σύστημα S εάν εφαρμοσθεί το αίτημα προβολής απευθείας στο S, ή εφαρμοσθεί το αίτημα προβολής στο σύνθετο σύστημα S+M αμέσως μετά το πέρας της πρώτης αλληλεπίδρασης, ή στο σύνθετο σύστημα S+M+M αμέσως μετά το πέρας της δεύτερης αλληλεπίδρασης, και ούτω καθεξής, διότι σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις επιλογών η (μετασχηματιζόμενη) κατάσταση του μετρούμενου συστήματος S, μετά την αναγωγή προβολή της κυματοσυνάρτησής του, οδηγεί στο ίδιο σύνολο στατιστικών πιθανοκρατικών προβλέψεων όσον αφορά τα αποτελέσματα μεταγενέστερων μετρήσεων. 8

9 Στο πλαίσιο της πρότυπης ερμηνείας της κβαντικής μέτρησης, συνεπώς, το όριο μεταξύ οργάνου μέτρησης και μετρούμενου αντικειμένου παρατηρητή και παρατηρούμενου, γνωστικού υποκειμένου και αντικειμένου γνώσης είναι αυθαίρετο. Κατανοώντας ότι το τελικό βήμα στην φαινομενικά άπειρη ακολουθία μετρήσεων ολοκληρώνεται πάντοτε στο γεγονός κατά το οποίο ο παρατηρητής αποκτά συνείδηση του αποτελέσματος της μέτρησης, οι πρωτεργάτες της ορθόδοξης ερμηνείας εξέλαβαν την παρέμβαση του παρατηρητή ως αναγκαία συνθήκη για την αναγωγή της κυματοσυνάρτησης και τον μετασχηματισμό της σε μια από τις δυνατές ιδιοκαταστάσεις. Χωρίς την επέμβαση της συνείδησης του παρατηρητή, η επαλληλία των συσχετισμένων μακροκαταστάσεων της συσκευής μέτρησης θα συνέχιζε να υφίσταται εις το διηνεκές. Πρώτος ο von Neumann υπογράμμισε τη σημασία της συνείδησης του παρατηρητή στην ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής. Στο μνημειώδες έργο του, Η Μαθηματική Θεμελίωση της Κβαντικής Μηχανικής, αναφέρει συμπερασματικά: κάποια στιγμή πρέπει να πούμε: αυτό είναι ό,τι αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, με άλλα λόγια πρέπει να διαιρέσουμε τον κόσμο σε δύο μέρη, στον παρατηρητή και στο παρατηρούμενο σύστημα (von Neumann 1932; 1955, σσ ). Η αναγωγή της κυματοσυνάρτησης, λοιπόν, εκλαμβάνεται ως συνέπεια της επέμβασης της αισθητηριακής αντίληψης. Κατά την ανάγνωση του αποτελέσματος του μετρούμενου μεγέθους Α επεμβαίνει, σύμφωνα με τον von Neumann, το αφηρημένο εγώ του παρατηρητή, ο αποκλειστικός γνώστης της ιδιοκατάστασής του, και αποφαίνεται οριστικά: Παρατηρώ στην κλίμακα της συσκευής μέτρησης την αριθμητική τιμή b i. Άρα η ιδιοκατάσταση της συσκευής τη στιγμή της παρατήρησης είναι Φ i > και κατά συνέπεια το μετρούμενο φυσικό σύστημα S βρίσκεται στην κατάσταση φ i > με αντίστοιχη ιδιοτιμή b i. Έτσι η αναγωγή της κυματοσυνάρτησης του S πραγματοποιείται αναπόδραστα τη στιγμή κατά την οποία ο παρατηρητής έχει επίγνωση του αποτελέσματος της μέτρησης, ως συνέπεια μιας αιφνίδιας αλλαγής της γνώσης του για τις ιδιότητες του μετρούμενου συστήματος. Υπ αυτή την έννοια η ανθρώπινη συνείδηση θεωρήθηκε ως ο μόνος δέκτης ικανός να προσλάβει την πληροφορία που χαρακτηρίζει την κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος. Αυτό δεν σημαίνει ότι η ανθρώπινη συνείδηση είναι απλώς, κατά τρόπο συμβατικό, η τελική συσκευή παρατήρησης σε μια θεωρητικά άπειρη ακολουθία μετρήσεων. Η ανθρώπινη συνείδηση εκλαμβάνεται από τους υποστηρικτές της ερμηνείας ως η μόνη δυνατότητα μέτρησης που δεν υπόκειται η ίδια στην κβαντομηχανική ανάλυση 9

10 της ύλης και γι αυτό θεωρείται ότι συνιστά λύση του προβλήματος της μέτρησης. Η ανθρώπινη συνείδηση και όχι ο ανθρώπινος εγκέφαλος, γιατί αυτός, ως φυσικό σύστημα, υπόκειται κατ αρχήν στην κβαντομηχανική συμπεριφορά της ύλης. Για τον von Neumann μια εξήγηση αυτού του είδους είναι λογικά συνεπής και μη διαψεύσιμη από την ανθρώπινη εμπειρία, διότι, όπως ο ίδιος διατείνεται, η εμπειρία διατυπώνει μόνον προτάσεις της εξής μορφής: ένας παρατηρητής έχει κάνει μια (υποκειμενική) μέτρηση. Ποτέ της μορφής: ένα φυσικό μέγεθος έχει μια ορισμένη τιμή (von Neumann 1932; 1955, σ. 420). Οι απόψεις του von Neumann χαιρετίσθηκαν από την πλειονότητα των τότε γνωστών φυσικών ως η μοναδική ερμηνεία της κβαντικής μέτρησης που συμβιβάζεται με την πειραματική διαδικασία. Οι London (Λόντον) και Bauer (Μπάουερ) (1939; 1983) στην εκτεταμένη εργασία τους Η Θεωρία της Μέτρησης στην Κβαντική Μηχανική επιβεβαίωσαν τον θεμελιώδη ρόλο της συνείδησης του παρατηρητή:... Χωρίς την παρέμβασή της δεν θα ήταν δυνατόν να προκύψει η νέα [μετά τη μέτρηση του συστήματος] κυματοσυνάρτηση....δεν πρόκειται για κάποια μυστηριώδη αλληλεπίδραση μεταξύ του συστήματος και της συσκευής, η οποία παράγει, κατά τη διάρκεια της μέτρησης, ένα καινούργιο [καταστατικό διάνυσμα] Ψ για το σύστημα. Μόνο η συνείδηση ενός εγώ μπορεί ν αποσπάσει τον παρατηρητή από την αρχική κυματοσυνάρτηση Ψ και να δημιουργήσει, ως αποτέλεσμα της πράξης της παρατήρησης, μια νέα αντικειμενικότητα (σ. 252). Η ιδεαλιστική αυτή θέση, που σύντομα θεωρήθηκε ως η ορθόδοξη πίστη, υιοθετήθηκε από φυσικούς του διαμετρήματος του Heitler (Χάιτλερ) (1949, σ. 179) και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον (κάτοχο του Nobel φυσικής) Wigner (Βίγκνερ) (1961). O τελευταίος στη γνωστή εργασία του με τίτλο Παρατηρήσεις επί του Προβλήματος του Δυϊσμού Πνεύματος-Ύλης ισχυρίζεται ότι η αναγωγή της κυματοσυνάρτησης συμβαίνει ως αποτέλεσμα της εντύπωσης που κανείς αποκομίζει από μια αλληλεπίδραση, που την ονομάζουμε αποτέλεσμα της παρατήρησης [και συνεχίζει] είναι η είσοδος μιας εντύπωσης στη συνείδησή μας που μεταβάλλει την κυματοσυνάρτηση, διότι τροποποιεί την εκτίμησή μας ως προς τις πιθανότητες πραγματοποίησης των διαφόρων εντυπώσεων που αναμένουμε να προσλάβουμε στο μέλλον. Είναι ακριβώς το σημείο αυτό που η συνείδηση αναπόφευκτα και αμετάκλητα εισέρχεται στη θεωρία (Wigner 1961, σ. 289). Έτσι ο Wigner συμπεραίνει: θα παραμείνει σημαντικό, όπως και αν εξελιχθούν οι αντιλήψεις μας, ότι αυτή καθεαυτή η 10

11 μελέτη του εξωτερικού κόσμου οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η συνείδηση είναι μια υπέρτατη πραγματικότητα (Wigner 1961, σ. 285). Η ερμηνεία αυτή της κβαντομηχανικής μέτρησης, που ιστορικά έχει χαρακτηρισθεί ως η ορθόδοξη ή πρότυπη ερμηνεία, ανήκει περισσότερο στο χώρο των ανεξέλεγκτων (παραψυχολογικών) υποθέσεων, αφού αναγνωρίζει μια ουσιαστική επίδραση του ανθρώπινου πνεύματος επί της ύλης. Η θέση ότι μια πλήρης και λογικά συνεπής θεωρία της κβαντικής μέτρησης θα θεωρούσε το δείκτη της μετρητικής συσκευής αντικειμενικά απροσδιόριστο, αιωρούμενο μεταξύ των εναλλακτικών δυνατών καταστάσεών του, έως ότου ένας παρατηρητής θα αποκτούσε συνείδηση του αποτελέσματος της μέτρησης, εναρμονίζεται με μια σολιψιστική υποκειμενική εικόνα της φύσης, η οποία αποδίδει στην εξωτερική πραγματικότητα μια έκδηλα ιδεαλιστική χροιά. Εάν θεωρηθεί ότι κανονιστική αρχή της φυσικής επιστήμης είναι η αντικειμενική αποτίμηση του εξωτερικού κόσμου στην μακροσκοπική και μικροσκοπική του διάσταση, η άποψη αυτή θα πρέπει είτε να απορριφθεί είτε να αγνοηθεί. 4. Το παράδοξο της γάτας του Schrödinger Το αδιέξοδο της ορθόδοξης ερμηνείας της κβαντικής μέτρησης απεικονίζεται με τον δραματικότερο ίσως τρόπο μέσω ενός νοητικού πειράματος του Schrödinger, γνωστού πλέον ως το παράδοξο της γάτας του Schrödinger. Ο Schrödinger στην εργασία του με τίτλο Η Παρούσα Κατάσταση στην Κβαντική Μηχανική ( The Present Situation in Quantum Mechanics ) (1935; 1983), ανέπτυξε μια οξεία κριτική της ορθόδοξης ερμηνείας, υπογραμμίζοντας ιδιαιτέρως ότι η ερμηνεία αυτή, στο όριο της λογικής της συνοχής, συνεπάγεται μακάβριες καταστάσεις όσον αφορά στην κβαντική περιγραφή μακροσκοπικών συμβάντων. Επινόησε το ακόλουθο νοητικό πείραμα όπου μια γάτα κλείνεται σ ένα κουτί μαζί με μικρή ποσότητα ραδιενεργού υλικού. Η μόνη αλληλεπίδραση μεταξύ γάτας και ραδιενεργού υλικού υφίσταται όταν ένα άτομο της ραδιενεργούς ουσίας διασπάται. Ο χρόνος ημιζωής της ραδιενεργούς ουσίας θεωρείται τέτοιος ώστε η πιθανότητα να διασπασθεί ένα τουλάχιστον άτομο σε χρονικό διάστημα μίας ώρας είναι 1/2, δηλαδή πενήντα τοις εκατό. Εάν ένα ασταθές άτομο διασπασθεί εντός του προαναφερθέντος χρονικού διαστήματος ενεργοποιείται ένας ευαίσθητος μετρητής Geiger, ο οποίος θέτει εν συνεχεία σε λειτουργία έναν κατάλληλο μηχανισμό διαφυγής δηλητηριώδους αερίου, έχοντας ως τελικό αποτέλεσμα τη δηλητηρίαση και θανάτωση της γάτας. Συνεπώς ο μηχανισμός ενεργοποίησης, κατά την αλληλεπίδρασή 11

12 του με τη διάσπαση ενός ατόμου, συνδέει αιτιακώς τις δυνατές καταστάσεις του ραδιενεργού ατόμου της διάσπασης ή μη-διάσπασής του με τις εναλλακτικές καταστάσεις της γάτας θεωρούμενης ως νεκρής ή ζωντανής, αντιστοίχως. Ας υιοθετήσουμε τώρα μια αμιγώς κβαντομηχανική περιγραφή του σύνθετου συστήματος γάτας ραδιενεργού ατόμου. Έστω ότι το σύστημα S αναπαριστά το ραδιενεργό άτομο, φ μ > την κατάσταση μη-διάσπασης και φ δ > την κατάσταση διάσπασής του. Έστω ότι το σύστημα M συμβολίζει τη γάτα, Φ ζ > την κατάσταση ότι είναι ζωντανή και Φ ν > την κατάσταση ότι είναι νεκρή. Επομένως τη χρονική στιγμή t = 0 το σύνθετο σύστημα αντιπροσωπεύεται από την κατάσταση Ψ (0) = φ μ > Φ ζ >, σύμφωνα με την οποία δεν υφίσταται ραδιενεργός διάσπαση του ατόμου και η γάτα διατηρείται εν ζωή. Μετά από χρονικό διάστημα μίας ώρας, η Ψ(0)> εξελίσσεται γραμμικώς στην κατάσταση Ψ = 1/ 2 φ μ Φ ζ > + 1/ 2 φ δ Φ ν >. (11) Το καταστατικό διάνυσμα Ψ>, το οποίο έχει εξαχθεί βάσει των θεμελιωδών αρχών της κβαντικής μηχανικής, αναπαριστά μια κατάσταση όπου η γάτα θεωρείται ως εάν να αιωρείται μεταξύ των ακόλουθων δύο εναλλακτικών δυνατοτήτων: (μη-διασπώμενο άτομο, γάτα ζωντανή) και (διασπώμενο άτομο, γάτα νεκρή). Υπό μια άλλη διατύπωση, δεν είναι αληθές ότι η γάτα είναι ζωντανή, ούτε είναι αληθές ότι η γάτα είναι νεκρή, όταν το σύνθετο σύστημα S + Μ είναι στην καθαρή κατάσταση Ψ>. Ως εκ τούτου, το παράδοξο. Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία το καταστατικό διάνυσμα Ψ>, το οποίο προσδιορίζει τη βιολογική κατάσταση της γάτας, αποτελεί γραμμική επαλληλία (υπέρθεση ή συνδυασμό) της κατάστασης κατά την οποία προβλέπεται ραδιενεργός διάσπαση του ατόμου με πλάτος πιθανότητας 1/ 2 και της κατάστασης όπου το άτομο δεν διασπάται με πλάτος πιθανότητας, επίσης, 1/ 2. Επειδή η κατάσταση της γάτας είναι αιτιακώς συνδεδεμένη με την κατάσταση του μηχανισμού ενεργοποίησης, η επαλληλία των κβαντικών εναλλακτικών καταστάσεων του ραδιενεργού ατόμου μεταφέρεται και στην μακροσκοπική κλίμακα της γάτας, με ίσες εκτιμήσεις πιθανότητας. Η κατάσταση της γάτας στην Ψ> συνιστά έναν κβαντικό γραμμικό συνδυασμό των καταστάσεων Φ ζ > ( γάτα ζωντανή >) και Φ ν > ( γάτα νεκρή >). Είναι ως η γάτα να υπόκειται σ ένα είδος συνύπαρξης και αλληλεπίδρασης των εναλλακτικών καταστάσεων, ζωής και θανάτου. Έχοντας ήδη απορρίψει ως αδόκιμη την υπόθεση ότι η γάτα επιβιώνει ή θανατώνεται, μόνον όταν ο παρατηρητής αποσφραγίσει το κουτί και αποκτήσει 12

13 συνείδηση της βιολογικής της κατάστασης, το αναπόδραστο, σύμφωνα με την κοινή αίσθηση, συμπέρασμα υποδεικνύει ότι η κατάσταση του σύνθετου συστήματος S + Μ, μετά την αλληλεπίδραση γάτας ραδιενεργού ατόμου, δεν αντιπροσωπεύεται από την καθαρή κατάσταση Ψ>, αλλά από το ακόλουθο μίγμα καταστάσεων D = 1/2 (P φμ> P Φζ> ) + 1/2 (P φδ> P Φν> ) = 1/2 ( φ μ Φ ζ ><φ μ Φ ζ + 1/2 ( φ δ Φ ν ><φ δ Φ ν ). (12) Είναι αξιοσημείωτο ότι η μικτή κατάσταση D προκύπτει εάν και μόνον εάν όλοι οι όροι αλληλεπίδρασης συμβολής μεταξύ των δύο δυνατών καταστάσεων της γάτας απαλειφθούν, δηλαδή φ μ Φ ζ > <φ δ Φ ν = 0. Η κατάσταση D συνήθως ερμηνεύεται, λόγω του στατιστικού περιεχομένου της κβαντικής μηχανικής, ως εάν να παρέχει ένα στατιστικό πίνακα θνησιμότητας για τη γάτα. Θα πρέπει να υπογραμμισθεί ωστόσο ότι ο εν λόγω στατιστικός πίνακας αναπαριστά την κατάσταση της γνώσης μας σχετικά με τη γάτα και όχι την κατάσταση της ίδιας της γάτας. Έτσι σ ένα στατιστικό σύνολο όμοια προπαρασκευασμένων συστημάτων γάτας ραδιενεργού ατόμου η σχέση (12) εκφράζει ότι μετά το πέρας της αλληλεπίδρασης πενήντα τοις εκατό των συστημάτων θα εμφανίζουν μια γάτα εν ζωή (και μη-διάσπαση του ραδιενεργού ατόμου) και πενήντα τοις εκατό θα παρουσιάζουν μια γάτα νεκρή (και παράγωγα ραδιενεργούς διάσπασης). Όμως μια ερμηνεία αυτού του είδους, και όσον αφορά στο πρόβλημα της κβαντικής μέτρησης, δεν είναι πλήρως δικαιολογημένη για τους ακόλουθους δύο λόγους: Πρώτον, η στατιστική κατάσταση (12) δεν επεξηγεί την αναγωγή της γάτας σε μια από τις συνιστώντες καταστάσεις του μίγματος, διότι οι συνιστώντες καθαρές καταστάσεις στην (12) συνυπάρχουν με τον ίδιο βαθμό ενδεχομενικότητας, και δεύτερον, βάσει ενός σημαντικού θεωρήματος της κβαντικής μηχανικής του χώρου Hilbert (βλ., Beltrametti και Cassinelli 1981, σσ. 9-11), η αποσύνθεση ανάλυση της (12) στις συνιστώντες καθαρές καταστάσεις της είναι μονοσήμαντη εάν και μόνον εάν οι καθαρές καταστάσεις του μίγματος είναι ορθογώνιες μεταξύ τους με άνισα βάρη πιθανοτήτων και όλες οι ιδιοτιμές του στατιστικού τελεστή D είναι μη-εκφυλισμένες. Όμως, λόγω του ότι στατιστικά σύνολα συστημάτων που περιγράφονται από μη-ορθογώνιες καθαρές καταστάσεις εύκολα μπορούν να παρασκευασθούν στο εργαστήριο, η παραπάνω υπόθεση είναι άκρως περιορισμένης φύσεως και σκοπού. Η μικτή κατάσταση D μπορεί, εν γένει, να αναπαρασταθεί ως ένα στατιστικό μίγμα καταστάσεων κατά μια πληθώρα, δυνάμει άπειρων, διαφορετικών τρόπων. Η μικτή κατάσταση D δεν προσδιορίζει μονοσημάντως το είδος των καθαρών καταστάσεων από 13

14 τις οποίες αποτελείται. Έτσι η κατάσταση D της Εξ. (12), που αντιστοιχεί στην εύρεση μιας ζωντανής ( Φ ζ >) ή μιας νεκρής γάτας ( Φ ν >) με ίσες πιθανότητες, είναι ισοδύναμη, όσον αφορά τις στατιστικές προβλέψεις των αποτελεσμάτων μέτρησης, με την κατάσταση D = 1/2 (1/ 2) 2 [(P φμ> + P φδ> ) (P Φζ> + P Φν> )] + + 1/2 (1/ 2) 2 [(P φμ> P φδ> ) (P Φζ> P Φν> )], (13) η οποία περιγράφει το μίγμα των κβαντικών υπερθέσεων 1/ 2 (φ μ + φ δ ) (Φ ζ + Φ ν )> και 1/ 2 (φ μ φ δ ) (Φ ζ Φ ν )>. Γνώση της κατάστασης D, επομένως, δεν επιτρέπει σαφή προσδιορισμό της κατάστασης της γάτας ως νεκρής ή ζωντανής με ίσες πιθανότητες, ή της κατάστασής της ως ανήκουσας σε μια από τις δύο παραπάνω υπερθέσεις, επίσης, με ίσες πιθανότητες. Με αφορμή το παράδοξο της γάτας του Schrödinger προβάλλουν δύο συγκεκριμένα ερωτήματα: Το πρώτο προσβλέπει σε μια θεωρία νοήματος στο πλαίσιο της σύγχρονης φυσικής. Γιατί αντιλαμβανόμαστε μόνο μακροσκοπικώς εναλλακτικές καταστάσεις όπως γάτα ζωντανή > ή γάτα νεκρή > και όχι υπερθέσεις αυτών; Το δεύτερο ερώτημα αποτελεί τον πυρήνα στόχο μιας ικανοποιητικής ερμηνείας ή αναδιαμόρφωσης της πρότυπης θεωρίας κβαντικής μέτρησης. Γιατί ο αυτοσυζυγής τελεστής Τ = Φ ζ ><Φ ν + Φ ν ><Φ ζ δεν είναι δυνατόν ν απεικονίζει ένα παρατηρήσιμο φυσικό μέγεθος στην κβαντική μηχανική; Εάν Τ αντιπροσώπευε μια παρατηρήσιμη ποσότητα, τότε η κατάσταση γάτα νεκρή > θα μπορούσε να μετασχηματισθεί στην κατάσταση γάτα ζωντανή >, Τ Φ ν > = Φ ζ >. Είναι ενδιαφέρον ότι στο πλαίσιο της καθιερωμένης διατύπωσης της κβαντικής μηχανικής η διαισθητικώς εύλογη υπόθεση κατά την οποία η γάτα του Schrödinger, μετά την αλληλεπίδρασή της με το ραδιενεργό υλικό, είναι είτε ζωντανή είτε νεκρή ή ισοδυνάμως ο δείκτης της συσκευής μέτρησης, μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας της μέτρησης, εντοπίζεται σε μια σαφώς προσδιορισμένη θέση, αντικειμενικώς πιστοποιούμενη έρχεται σε άμεση αντίφαση με άλλες επίσης διαισθητικώς εύλογες αντιλήψεις της μακροσκοπικής μας εμπειρίας. Ας υποθέσουμε προς τούτο ότι ο αυτοσυζυγής τελεστής Β αναπαριστά το φυσικό μέγεθος του δείκτη της συσκευής μέτρησης. Έστω επιπλέον ότι αξιώνουμε, βάσει της παραπάνω υπόθεσης εργασίας, την αντικειμενικοποίηση του δείκτη της συσκευής. Τούτο συνεπάγεται ότι ο τελεστής Β αντιπροσωπεύει ένα κλασικώς εκλαμβανόμενο μέγεθος, το 14

15 οποίο λαμβάνει μακροσκοπικώς διακεκριμένες τιμές και επιπροσθέτως μετατίθεται με το σύνολο των φυσικών μεγεθών της συσκευής. Επομένως, μετά την αλληλεπίδραση μετρούμενου συστήματος συσκευής μέτρησης, το φυσικό μέγεθος 1 S Β του τανυστικού γινομένου H S H M των δύο συστημάτων μετατίθεται με το σύνολο των μεγεθών του σύνθετου συστήματος S+M. Ειδικότερα, μετατίθεται με το Χαμιλτονιανό τελεστή Η (S+M) της αλληλεπίδρασης κατά τη μέτρηση [1 S B, H (S+M) ] = 0, όπου 1 αναπαριστά, ως συνήθως, τον ταυτοτικό τελεστή. Λόγω του ότι U t = exp[-i H (S+M) t /!], ισχύει η ακόλουθη σχέση [1 S B, U t(s+m) ] = 0. Βάσει των τυπικών κανόνων της κβαντικής μηχανικής η αναμενόμενη τιμή (expectation value) του μεγέθους B στην κατάσταση Ψ(t) = U t Ψ(0) του σύνθετου συστήματος, μετά τη διαδικασία της μέτρησης, εκφράζεται ως <B> Ψ(t)> = <Ψ(t), BΨ(t)> = <U t Ψ(0), BU t Ψ(0)> = <Ψ(0), U + t BU t Ψ(0)> = <φ Φ, (1 S B) (φ Φ)> = <φ, 1 S φ><φ, BΦ>. Άρα, <B> Ψ(t)> = <B> Φ>, ή <Ψ(t), ΒΨ(t)> = <Φ, ΒΦ>. (14) Καταλήγουμε συνεπώς στο σημαντικό συμπέρασμα ότι η αναμενόμενη τιμή του φυσικού μεγέθους του δείκτη της συσκευής, μετά το πέρας της διαδικασίας της μέτρησης, ουδόλως εξαρτάται από την αρχική κατάσταση φ> του προς μέτρηση συστήματος. Η υπόθεση της αντικειμενικοποίησης του δείκτη της συσκευής μέτρησης ότι δηλαδή ο δείκτης της συσκευής προσδιορίζεται μετά τη μέτρηση από σαφώς προσδιορισμένες τιμές επί των οποίων συγκλίνει κάθε διυποκειμενικός έλεγχος αντιφάσκει με το εμπειρικώς επιβεβαιωμένο γεγονός ότι η στατιστική κατανομή των τιμών του δείκτη (οφείλει να) εξαρτάται κατά μη τετριμμένο τρόπο από την αρχική προετοιμασία της κατάστασης του μετρούμενου συστήματος. Έτσι η πλέον εύλογη υπόθεση ότι η γάτα του Schrödinger, μετά την αλληλεπίδρασή της με το ραδιενεργό υλικό, είναι είτε ζωντανή είτε νεκρή (με ίσες πιθανότητες), μάς οδηγεί στο αδόκιμο συμπέρασμα ότι η γάτα είναι είτε ζωντανή είτε νεκρή (επίσης, με ίσες πιθανότητες), ανεξάρτητα από το εάν το ραδιενεργό υλικό έχει διασπασθεί ή όχι. Εμφανίζεται έκδηλα κατ αυτόν τον τρόπο η αδυναμία της κβαντικής θεωρίας να εκφράσει, εξηγήσει, ή 15

16 ενσωματώσει την ύπαρξη μεμονωμένων συμβάντων στο εσωτερικό της δομής της, διότι η υπόθεση εργασίας περί υπάρξεώς τους, όταν αυτή διατυπώνεται υπό τους όρους της θεωρίας, αντιτίθεται σε πρωταρχικούς ερμηνευτικούς όρους της ίδιας της θεωρίας. Το ερώτημα πώς κατ αρχήν είναι δυνατή η πραγματοποίηση ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος κατά τη διαδικασία της κβαντικής μέτρησης δεν απαντάται πλήρως ή επακριβώς στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας. 5. Ανορθόδοξες θεωρήσεις και ο αυτοαναφορικός χαρακτήρας της κβαντικής μέτρησης Εν όψει των παραπάνω δυσκολιών το πρόβλημα της μέτρησης κατά τη συνήθη διατύπωση της κβαντικής μηχανικής στο χώρο Hilbert θεωρείται ότι έχει επιλυθεί με την έννοια ότι έχει αποδειχθεί η αδυναμία λύσης του (π.χ., Fine (Φάιν, 1970), Brown (Μπράουν, 1986)). Κύρια στοιχεία της εν λόγω απόδειξης αποτελούν η γραμμικότητα της εξίσωσης Schrödinger, η καθολική ισχύς της αρχής της επαλληλίας των καταστάσεων ενός συστήματος στο χώρο Hilbert και ο μη αναγώγιμος πιθανοκρατικός χαρακτήρας της θεωρίας. Η πιστοποιούμενη αδυναμία επίλυσης του προβλήματος της μέτρησης κατά von Neumann καθιστά ανεδαφική μια πλήρως ικανοποιητική εξήγηση του αιτήματος της προβολής στο πλαίσιο της πρότυπης διατύπωσης της κβαντικής μηχανικής. Η παρούσα μορφή της κβαντικής θεωρίας δεν προσδιορίζει το πότε και το γιατί αλλά ούτε εξηγεί το πώς η γραμμική επαλληλία των κβαντικών εναλλακτικών καταστάσεων συρρικνώνεται σε μια πραγματοποιήσιμη κατάσταση κατά τη διαδικασία της μέτρησης. Η θεωρία δεν προβλέπει ένα φυσικό μηχανισμό για τον ποιοτικό μετασχηματισμό της κβαντικής κατάστασης από τη δυνάμει στην ενεργεία ύπαρξη κατά τη μέτρηση. Η εισαγωγή ενός τέτοιου μηχανισμού θα σήμαινε τροποποίηση της κβαντικής θεωρίας. Πράγματι τις τελευταίες δύο δεκαετίες ιδιαίτερα έχει προταθεί μια πληθώρα μοντέλων, μεθοδολογικών μηχανισμών και θεωρητικών κατασκευών ως θεωρούμενων λύσεων του προβλήματος της κβαντικής μέτρησης, δια των οποίων επιδιώκεται είτε η αλλαγή της δυναμικής εικόνας της κρατούσας θεωρίας, είτε η μεταβολή στοιχείων της σημασιολογικής της εικόνας, είτε η τροποποίηση της μεταφυσικής οντολογικής εικόνας. Ως προς την αλλαγή της δυναμικής εικόνας έχουν αναπτυχθεί μοντέλα μη γραμμικών ή στοχαστικών εξισώσεων που διεκδικούν την αντικατάσταση ή τροποποίηση της εξίσωσης κίνησης του Schrödinger. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι το μη γραμμικό 16

17 μοντέλο της κβαντικής δυναμικής του Gisin (Ζισάν, 1989), ή το μοντέλο στοχαστικής συρρίκνωσης της κυματοσυνάρτησης των Ghirardi (Γκιράρντι), Rimini (Ρίμινι), Weber (Βέμπερ) (GRW, 1986) και Pearle (Πέρλ, 1989). Ως προς την αλλαγή της σημασιολογικής εικόνας έχει επιχειρηθεί η διατύπωση κατάλληλων συνθηκών υπό τις οποίες είναι δυνατόν να αποδοθεί ένα κλασικό εύρος κατανομής πιθανοτήτων εντός της δομής του χώρου Hilbert. Παραδείγματα αυτού του είδους αποτελούν η προσέγγιση της αποσυνοχής ή αποσύνδεσης του κυματοπακέτου (decoherence approach) των Gell-Mann (Γκέλμαν) και Hartle (Χάρτλ) (1989), ή η προσέγγιση των συνεπών ιστοριών (consistent histories approach) των Griffiths (Γκρίφιθς, 1984) και Omnès (Όμνες, 1994). Ως προς την αλλαγή της μεταφυσικής εικόνας, χαρακτηριστικές ερμηνείες θεωρούνται η οντολογική ερμηνεία του Bohm (Μπόμ, 1952; 1993), μια αιτιοκρατική αναθεώρηση της συνήθους κβαντικής μηχανικής σύμφωνα με την οποία προβλέπεται η εισαγωγή λανθανουσών παραμέτρων (κρυμμένων μεταβλητών) στο υπο-κβαντικό επίπεδο, και η πολυκοσμική προσέγγιση των Everett ( Έβερετ, 1957) και De Witt (Ντεβίτ, 1970), μια ακραία μεταφυσική ερμηνεία της συμβατικής κβαντομηχανικής σύμφωνα με την οποία το σύμπαν κατά την κβαντική μέτρηση διακλαδίζεται σε ένα πλήθος παράλληλων και μη αλληλεπιδρώντων κόσμων, κάθε ένας από τους οποίους πραγματώνει ένα από τα δυνατά αποτελέσματα της μέτρησης. Κανένα από τα παραπάνω θεωρητικά σχήματα ή εννοιολογικά μορφώματα ορισμένα ριζικά διαφορετικά μεταξύ τους δεν έχει αναγνωρισθεί ως ικανοποιητική λύση του προβλήματος. Οι κύριες δυσκολίες εντοπίζονται είτε στην αδυναμία μιας επιτυχούς αναδιατύπωσης, ορισμένων μοντέλων, στο σχετικιστικό επίπεδο, είτε στην παραβίαση του κβαντικού αναλόγου του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής από άλλα, είτε στην προώθηση μιας αλλόκοτης μεταφυσικής εικόνας, είτε στην ad hoc φύση της κατασκευής (βλ., Karakostas 1994, 1995). Κατά ένα πρωτογενές επίπεδο ανάλυσης η μεθοδολογική αδυναμία μιας αμιγώς ενδοφυσικής περιγραφής της διαδικασίας της μέτρησης είναι δυνατόν να θεωρηθεί ως προϊόν λογικής αναγκαιότητας, επιβαλλόμενης από τον αυτο-αναφορικό (self-referential) χαρακτήρα μιας θεωρίας κβαντικής μέτρησης. Η τελευταία επιχειρώντας να περιγράψει τις μεθόδους πειραματικής επιβεβαίωσης ή διάψευσης της κβαντικής θεωρίας, μέσω εννοιών και συλλογιστικών κανόνων της θεωρίας καθεαυτής, επιβάλλει μια λογική κατάσταση σημασιολογικής πληρότητας, η οποία θυμίζει το διάσημο θεώρημα του Gödel 17

18 (Γκέντελ) της μη αποκρισιμότητας ή μη πληρότητας ως προς την τυπική δομή ενός συστήματος αρίθμησης. Υπενθυμίζουμε ενδεικτικά ότι ο Gödel έδειξε μόλις το 1931 στο μνημειώδες άρθρο του, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter systeme ( Περί των τυπικά μη αποφάνσιμων (ή μη αποκρίσιμων) προτάσεων των Principia Mathematica 1 και συναφών συστημάτων ), ότι είναι αδύνατον να αποδειχθεί η συνέπεια ενός αξιωματικού συστήματος, αρκετά ισχυρού ώστε να περιέχει το σύστημα της αριθμητικής, δια της χρήσης ενός κλειστού συνόλου αποδεικτικών (συλλογιστικών) κανόνων. Βάσει του (πρώτου) θεωρήματος μη πληρότητας του Gödel, τούτο το απλούστατο σύστημα των φυσικών αριθμών περιέχει αναπόφευκτα μια μη αποφάνσιμη πρόταση, δηλαδή μια πρόταση, που μολονότι αληθής, ούτε η ίδια ούτε η άρνησή της μπορούν να εξαχθούν παραγωγικά εντός του δεδομένου συστήματος. Η πρόταση, για παράδειγμα, ότι το σύστημα της αριθμητικής είναι συνεπές ή πλήρες δεν είναι αποδείξιμη από το σύνολο των αξιωμάτων του συστήματος των φυσικών αριθμών, εκτός και αν χρησιμοποιηθούν κανόνες μεταμαθηματικής συλλογιστικής, δηλαδή κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ή κατασκευασθούν μέσα στο ίδιο το σύστημα της αριθμητικής. Το θεώρημα μη πληρότητας έγκειται εν πολλοίς στη χρήση του συστήματος των φυσικών αριθμών ως ενός συστήματος στο επίπεδο της γλώσσας-αντικειμένου και ταυτοχρόνως ως της μετα-γλώσσάς του, ώστε να καθίσταται εφικτή η αριθμητική αναπαράσταση εξειδικευμένων αυτο-αναφορικών προτάσεων των οποίων η αλήθεια (ή, η άρνησή τους) δεν δύναται να αποδειχθεί στο εσωτερικό της γλώσσας-αντικειμένου. Διαισθητικώς αντιληπτά παραδείγματα τέτοιων προτάσεων και ανάλογων σημασιολογικών παραδόξων παράγονται από προτάσεις του τύπου, αυτή η πρόταση είναι ψευδής, διότι εάν η πρόταση θεωρηθεί αληθής, τότε είναι αληθές ότι αυτή η πρόταση είναι ψευδής, συνεπώς η πρόταση είναι ψευδής, ενώ εάν η πρόταση θεωρηθεί ψευδής, τότε είναι ψευδές ότι αυτή η πρόταση είναι ψευδής, συνεπώς η πρόταση είναι αληθής. Ο φαύλος κύκλος των τιμών αλήθειας-ψεύδους ως προς το περιεχόμενο της εν λόγω πρότασης οφείλεται πρωτίστως στον αυτοαναφορικό χαρακτήρα της πρότασης, η οποία εμπεριέχει ένα κατηγόρημα αλήθειας ( αυτή η πρόταση είναι ψευδής, συνεπώς, δεν είναι αληθής) καθώς και στην εφαρμογή του κατηγορήματος επί της ίδιας της πρότασης. 1 Η αναφορά του Gödel στο Principia Mathematica (Μαθηματικές Αρχές) παραπέμπει στο ομώνυμο έργο των B. Russel και Α. Whitehead. 18

19 Υπό τη μορφή μιας κατά Gödel αναλογίας, η διαδικασία της μέτρησης στην κβαντική μηχανική χαρακτηρίζεται από έναν διττό ρόλο. Εάν, αφ ενός, η διαδικασία της μέτρησης μετρούμενο σύστημα, συσκευή μέτρησης και μεταξύ τους αλληλεπίδραση θεωρηθεί ως κβαντομηχανικό φαινόμενο καθεαυτό που υπόκειται στους θεμελιώδεις νόμους της κβαντικής θεωρίας, το πεδίο ισχύος της τελευταίας καθίσταται καθολικό, το πλαίσιο ερμηνείας της εκλαμβάνεται ως σημασιολογικώς πλήρες (ή κλειστό) και κατ επέκταση η εκάστοτε χρησιμοποιούμενη συσκευή μέτρησης, ανεξαρτήτως παραγόντων μακροσκοπικότητας, αντιμετωπίζεται ως ένα σύνηθες κβαντικό σύστημα. Είναι σαφές, αφ ετέρου, ότι η διαδικασία της μέτρησης χρησιμοποιείται και ως τρόπος ελέγχου επιβεβαίωσης ή διάψευσης) της κβαντικής θεωρίας, μέσω του οποίου οροθετείται επιπροσθέτως το κατάλληλο πλαίσιο ερμηνευτικών συνδέσεων μεταξύ των όρων της θεωρίας, ως αντικειμένου μελέτης, και των πειραματικών δεδομένων. Υπ αυτή την έννοια, η διαδικασία της κβαντικής μέτρησης αποτελεί τμήμα μιας μεταθεωρίας της κβαντικής μηχανικής, η οποία εγκαθιδρύει ένα σημασιολογικό κατηγόρημα αλήθειας ως προς τις σχέσεις του αντικειμένου μελέτης, δηλαδή της κβαντικής θεωρίας, και των διαφόρων μοντέλων ή ερμηνειών της. Το διαχωριστικό μεθοδολογικό όριο μεταξύ κβαντικής θεωρίας, ως αντικειμένου μελέτης, και της μεταθεωρίας της δίνεται από τη διαδικασία της μέτρησης. Λόγω αυτού η ερμηνεία μιας θεωρίας κβαντικής μέτρησης, όπως και η σημασιολογική αντιμετώπιση των συσκευών μέτρησης, δεν ανήκουν στο πεδίο ισχύος της κβαντικής θεωρίας καθεαυτής, αλλά στο πεδίο ισχύος της μεταθεωρίας. Οιαδήποτε συσκευή μέτρησης, ως φυσικό σύστημα, αποτελεί βεβαίως αντικείμενο της κβαντικής θεωρίας. Οι καταστάσεις όμως της συσκευής μέτρησης δεν αποτελούν απλώς καταστάσεις ενός φυσικού συστήματος, αναφέρονται επίσης στις καταστάσεις του μετρούμενου συστήματος. Έτσι, ερμηνεύοντας τις καταστάσεις της συσκευής μέτρησης ως εάν να δηλώνουν τις καταστάσεις του μετρούμενου συστήματος, καθίσταται δυνατή η μεταφορά εννοιών από το σημασιολογικό επίπεδο της μετα-γλώσσας στο επίπεδο της γλώσσας αντικειμένου της θεωρίας. Η αποφυγή συνεπώς προβλημάτων αυτο-αναφοράς κατά τη διαδικασία της μέτρησης υπαγορεύει ότι κάθε φυσικό σύστημα που εκτελεί τη μέτρηση και κατ επέκταση υλοποιεί την αναγωγή της κυματοσυνάρτησης είναι κατ ανάγκη ένα μεταθεωρητικό αντικείμενο, μη υποκείμενο δηλαδή στις θεμελιώδεις αρχές της κβαντικής θεωρίας και οφείλει να περιγραφεί εξωφυσικώς (βλ., Peres and Zurek 1982, Primas 1990). Ένας ενδοφυσικός παρατηρητής δηλαδή ένας παρατηρητής που 19

20 περιλαμβάνεται στο μετρούμενο σύστημα, όπως στην κατά von Neumann ερμηνεία της κβαντικής μέτρησης δεν είναι δυνατόν να διαθέτει πλήρη γνώση της κατάστασης του όλου συστήματος, διότι είναι λογικώς αδύνατο να έχει γνώση της δικής του κατάστασης. Μια σημασιολογικώς συνεπής θεώρηση της διαδικασίας της κβαντικής μέτρησης, από την άποψη αυτή, οφείλει να διακρίνει μεταξύ δύο επιπέδων περιγραφής: το ενδοφυσικό και το εξωφυσικό, σε αναλογία με τη διάκριση μεταξύ γλώσσας αντικειμένου και μεταγλώσσας στη λογική. Η διερεύνηση σχέσεων αλληλεξάρτησης μεταξύ του ενδοφυσικού και εξωφυσικού επιπέδου περιγραφής αποτελεί επιβεβλημένο και μη τετριμμένο στόχο. Εξ άλλου το πρόβλημα της κβαντικής μέτρησης ανάγεται υπ αυτούς τους όρους στη συνεπή εξαγωγή της εξωφυσικής περιγραφής ενός κβαντικού συστήματος από την ενδοφυσική του περιγραφή. Είναι ιδιαιτέρως ενδιαφέρον ότι η μαθηματική διατύπωση μιας τέτοιου είδους περιγραφής δύο επιπέδων είναι κατ αρχήν δυνατή στο γενικευμένο πλαίσιο της λεγόμενης C*- αλγεβρικής διατύπωσης της κβαντικής μηχανικής, μέσω ενός δικτύου μεταθετικών και μη μεταθετικών αλγεβρών, οι οποίες στοιχειοθετούν και τη διάκριση μεταξύ κλασικών και κβαντικών συστημάτων. Εν τούτοις, η ακριβής διατύπωση και συστηματική διερεύνηση μιας ενοποιημένης ανάλυσης των δύο επιπέδων, ενδοφυσικού και εξωφυσικού, αποτελεί σήμερα ανοικτό θέμα πραγμάτευσης και περαιτέρω έρευνας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Beltrametti, E., Cassinelli G., (1981), The Logic of Quantum Mechanics, Addison- Wesley, Reading MA. Bohm, D., (1952), A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of Hidden Variables, I and II, Physical Review 85: Επαναδημοσιευμένο στο J. Wheeler και W. Zurek (eds.) (1983), σσ Bohm, D., Hiley, B., (1993), The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory, London: Routlege. Βrown, H., (1986), The Insolubility Proof of the Quantum Measurement Problem, Foundations of Physics 16: De Witt, S.B., (1970), Quantum Mechanics and Reality, Physics Today 23: Επαναδημοσιευμένο στο B. S. De Witt και N. Graham (eds.), The Many Worlds 20

21 Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1973, σσ Einstein, A., Podolsky, B., Rosen, N., (1935), Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 47: Επαναδημοσιευμένο στο J. Wheeler και W. Zurek (eds.) (1983), σσ Everett, H., Relative State Formulation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics 29: Επαναδημοσιευμένο στο J. Wheeler και W. Zurek (eds.) (1983), σσ Fine, A., (1970), Insolubility of the Measurement Problem, Physical Review D2: Gell-Mann, M., Hartle, J.B., (1989), Quantum Mechanics in the Light of Quantum Cosmology στο S. Kobyashi (ed.), Proceedings 3 rd International Symposium in the Foundations of Quantum Mechanics, Tokyo: Physical Society of Japan. Ghirardi, G. C., Rimini, A., Weber, T., (1980), A General Argument Against Superluminal Transmission Through the Quantum Mechanical Measurement Process, Letters Nuovo Chimento 27: Ghirardi, G. C., Rimini, A., Weber, T., (1986), Unified Dynamics for Microscopic and Macroscopic Systems, Physical Review D34: Gisin, N., (1989), Stochastic Quantum Dynamics and Relativity, Helvetica Physica Acta 62: Griffiths, R., (1984), Consistent Histories and the Interpretation of Quantum Mechanics, Journal of Statistical Physics 36: 219. Heitler, W., The Departure from Classical Thought in Modern Physics στο P. Schilpp (ed.), Albert Einstein: Philosopher Scientist, Evanston: Library of Living Philosophers, 1949, σσ Karakostas, V., (1994), Limitations on Stochastic Localization Models of State Vector Reduction, International Journal of Theoretical Physics 33, Karakostas, V., Dickson, M., (1995), Decoherence in Unorthodox Formulations of Quantum Mechanics, Synthese 10: Landau, L.D., Lifschitz, E.M., (1977), Quantum Mechanics, 3 rd ed., Oxford: Pergamon Press. London, F., Bauer, E., The Theory of Observation in Quantum Mechanics, Paris: Hermann. Επαναδημοσιευμένο στο J. Wheeler και W. Zurek (eds.) (1983), σσ

22 Omnės, R., (1994), The Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton, NJ: Princeton University Press. Pearle, P., (1989) Combining Stochastic Dynamical Statevector Reduction with Spontaneous Localization, Physical Review A 39: Peres, A., Zurek, W. (1982), Is Quantum Theory Universally Valid?, American Journal of Physics 50: Primas, H. (1990), Mathematical and Philosophical Questions in the Theory of Open Quantum Systems, in A. Miller (ed.), Sixty-Two Years of Uncertainty: Historical, Philosophical and Physical Inquiries into the Foundations of Quantum Physics, New York: Plenum Press, Schrödinger, E. (1935), The Present Situation in Quantum Mechanics, Naturwissenschaften 22: , , Επαναδημοσιευμένο στο J. Wheeler και W. Zurek (eds.) (1983), σσ Von Neumann, J., (1955), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton, NJ: Princeton University Press, 12η ανατύπωση (Αρχική έκδοση στην Γερμανική γλώσσα 1932). Wheeler, J.A., Zurek, W.H.(eds.) (1983), Quantum Theory and Measurement. Princeton: Princeton University Press. Wigner, E.P., (1961) Remarks on the Mind-Body Question, στο Ι. J. Good (ed.), The Scientist Speculates, London: Heinemann. Επαναδημοσιευμένο στο J. Wheeler και W. Zurek (eds.) (1983), σσ VASSILIOS KARAKOSTAS: On the Problem of Quantum Measurement: Reality, Objectivity and Indeterminism in Modern Physics. 22