Επιχειρησιακή Ερευνα Ι
|
|
- Καλλικράτης Ευταξίας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης
2 Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς. Η συνάρτηση ψ : R n R που ορίζεται ως ψ(x) = x T Ax = a i j x i x j (1.1) ονομάζεται τετραγωνική μορφή. Για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή που αντιστοιχεί στον πίνακα x 2 1 2x 1x 2 + 2x 2 2. [ ] είναι η ψ(x 1, x 2 ) = Ορισμός 2. Ενας συμμετρικός πίνακας A, n n ονομάζεται Θετικά ορισμένος αν x T Ax > 0 για κάθε x R n, x 0, Θετικά ημιορισμένος αν x T Ax 0 για κάθε x R n με την ισότητα να ισχύει για κάποιο x 0, αρνητικά ορισμένος αν x T Ax < 0 για κάθε x R n, x 0, αρνητικά ημιορισμένος αν x T Ax 0 για κάθε x R n με την ισότητα να ισχύει για κάποιο x 0. Θεώρημα 1. Εστω συμμετρικός πίνακας A, n n με πραγματικά στοιχεία. προτάσεις είναι ισοδύναμες Οι εξής τέσσερεις (1) Ο πίνακας A είναι ϑετικά ορισμένος. 1
3 (2) Όλες οι ιδιοτιμές του A είναι ϑετικές. (3) Οι ορίζουσες όλων των άνω αριστερά υποπινάκων του A είναι ϑετικές. (4) Όλοι οι οδηγοί d i, i = 1,..., n στην απαλοιφή κατά Gauss χωρίς εναλλαγές γραμμών είναι ϑετικοί Από το παραπάνω ϑεώρημα προκύπτει ότι η τετραγωνική μορφή (1.1) παίρνει αυστηρά ϑετικές τιμές για κάθε x 0 αν και μόνο αν ο αντίστοιχος πίνακας A είναι ϑετικά ορισμένος. Αντίστοιχα η τετραγωνική μορφή παίρνει αυστηρά αρνητικές τιμές για κάθε x 0 αν και μόνο αν ο πίνακας A είναι αρνητικά ορισμένος. Ενα αντίστοιχο ϑεώρημα ισχύει για αρνητικά ορισμένους πίνακες. Συγκεκριμένα, όλες οι ιδιοτιμές του A στην περίπτωση αυτή είναι αρνητικές. Σε ότι αφορά τις ορίζουσες των άνω αριστερά υποπινάκων τα πρόσημα εναλλάσσονται ως εξής: a 11 a 1k ( 1) k.. > 0 για k = 1, 2,..., n. a k1 a kk Θεώρημα 2. (Θεώρημα Taylor) Εστω f : R n R μια συνάρτηση με συνεχείς μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης. Τότε f (x + h) = f (x) + f (x) x i h i f (x) x i x j h i h j + o( h 2 ) Σημείωση: Γενικά ϑα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό x = (x 1,..., x n ) και x = x x2 n. Ο όρος o( h 2 ), το λεγόμενο υπόλοιπο του Taylor, τείνει στο μηδέν γρηγορότερα από το h 2 όταν h 0. Το ϑεώρημα του Taylor γράφεται σε διανυσματική μορφή ως f (x + h) = f (x) + f (x) h ht H(x)h + o( h 2 ) όπου ο Εσσιανός πίνακας (Hessian) H(x) := 2 f (x) x f (x) x n x 1 2 f (x) x 1 x n. 2 f (x) x 2 n είναι συμμετρικός δεδομένου ότι, όταν οι δεύτερες παράγωγοι είναι συνεχείς (σε ένα ανοικτό χωρίο), 2 f x i x j = 2 f x j x i. Ορισμός 3. Εστω f : R n R δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη. κρίσιμο αν Το σημείο x 0 ϑα ονομάζεται f (x 0 ) = 0. Θεώρημα 3. Εστω x 0 κρίσιμο σημείο της f. Αν ο πίνακας H(x 0 ) είναι ϑετικά ορισμένος τότε το σημείο αυτό ϑα είναι σημείο τοπικού ελαχίστου ενώ αν είναι αρνητικά ορισμένος ϑα είναι σημείο τοπικού μεγίστου. 2
4 (Η απόδειξη του ϑεωρήματος αυτού είναι άμεση συνέπεια του ϑεωρήματος του Taylor και μας επιτρέπει να βρούμε τα σημεία τοπικού μεγίστου και τοπικού ελαχίστου.) Πρόβλημα 1. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα (μέγιστα ή ελάχιστα) της συνάρτησης f (x, y) = x 2 y 2 e (x+y)2 για (x, y) R Κυρτότητα Ορισμός 4. Ενα υποσύνολο C του R n ονομάζεται κυρτό αν για κάθε x, y C και θ [0, 1] θx+(1 θ)y C. Ορισμός 5. Εστω B R n. Η κυρτή ϑήκη του B είναι το μικρότερο κυρτό σύνολο το οποίο περιέχει το B, conv(b) := { k θ k x k : k N, x i B, θ i 0, k θ i = 1} Ορισμός 6. Μια συνάρτηση f : C R ορισμένη πάνω σ ένα κυρτό σύνολο C R n ονομάζεται κυρτή (convex) αν, για κάθε x, y C και κάθε θ [0, 1] f (θx + (1 θ)y) θ f (x) + (1 θ) f (y). Θα ονομάζεται κοίλη (concave) αν f (θx + (1 θ)y) θ f (x) + (1 θ) f (y). Από τον παραπάνω ορισμό είναι σαφές ότι αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο C τότε η f είναι κοίλη. Παρατηρήστε επίσης ότι είναι σκόπιμο να ορίσουμε μια κυρτή (ή κοίλη) συνάρτηση είτε σε ολόκληρο το R n ή σε ένα κυρτό υποσύνολό του, μια και στον ορισμό, αν τα x και y είναι στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τότε ϑα πρέπει και το θx + (1 θ)y να ανήκει επίσης στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν η f είναι κυρτή (ή κοίλη) συνάρτηση τότε δεν μπορεί να είναι ασυνεχής στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της. Τυχόν ασυνέχειες, αν υπάρχουν, πρέπει να βρίσκονται στο σύνορο του πεδίου ορισμού. Το ακόλουθο ϑεώρημα δείχνει την σχέση ανάμεσα στην κυρτότητα και τις μερικές παραγώγους των κυρτών και κοίλων συναρτήσεων. Θεώρημα 4. Εστω f : C R n κυρτή συνάρτηση με συνεχείς μερικές παραγώγους στο C. Η f είναι κυρτή αν και μόνο αν, για κάθε x 0 στο εσωτρικό του C f (x) f (x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) = f (x 0 ) (x i xi 0 ). (1.2) x i Ομοίως, η f είναι κοίλη αν και μόνο αν, f (x) f (x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) = f (x 0 ) (x i xi 0 ). (1.3) x i 3
5 Κεφάλαιο 2 Βελτιστοποίηση υπό περιορισμούς ισότητας Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την συνάρτηση f : R n R κάτω από τους περιορισμούς g(x) = 0 όπου g : R n R με m < n. Εστω m, n N όπου m > n και f, g i, i = 1, 2,..., m συναρτήσεις R n R. Θεωρούμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης min f (x) υπό τους περιορισμούς g i (x) = 0, i = 1, 2,..., m. (2.1) Εστω L : R n+m R η συνάρτηση που ορίζεται ως L(x, λ) := f (x) λ i g i (x). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται Λαγκρανζιανή. Βρίσκουμε τα κρίσημα σημεία υπό περιοριμούς ως λύσεις των εξισώσεων = 0, j = 1, 2,..., n x j = g i (x) = 0, i = 1, 2,..., m. λ i Τα σημεία μεγίστου βρίσκονται ανάμεσα σ αυτά τα σημεία. Παράδειγμα. min x x2 2 + x2 3 υπό τους περιορισμούς x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1. Η Λαγκρανζιανή είναι L = x x2 2 + x2 3 λ 1(x 1 + x 2 + x 3 ) λ 2 (x 1 + 2x 2 + 3x 3 1) 4
6 και τα στάσιμα σημεία δίνονται από το σύστημα / x j = 0, / λ i = 0, j = 1, 2, 3, i = 1, 2. 2x 1 λ 1 λ 2 = 0 2x 2 λ 1 2λ 2 = 0 2x 3 λ 1 3λ 2 = 0 x 1 +x 2 +x 3 = 0 x 1 +2x 2 +3x 3 = 1 Το σύστημα αυτό έχει τη μοναδική λύση x 1 = 1/2, x 2 = 0, x 3 = 1/2 και λ 1 = 2, λ 2 = 1. Η γεωμετρική σημασία του ϑεωρήματος του Lagrange είναι ότι, προκειμένου να είναι το σημείο x = (x 1,..., x n) κρίσημο σημείο ϑα πρέπει η κλίση της f στο σημείο αυτό, f (x ) να είναι είναι κάθετη στην υπερεπιφάνεια που ορίζουν οι περιορισμοί g στο ίδιο σημείο. Ο κάθετος αυτός υπόχωρος είναι είναι ο χώρος που δημιουργείται από τα διανύσματα g i (x ), i = 1,..., m. Οι γραμμικοί αυτοί συνδιασμοί είναι ο υπόχωρος { m λ i g i (x ) : λ i R}. 2.1 Ενα παράδειγμα που εξηγεί τη φυσική σημασία των συνθηκών Εστω f, g : R 2 R συναρτήσεις συνεχώς παραγωγίσιμες. Ας υποθέσουμε ότι ϑέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την f (x, y) κάτω από τον περιορισμό g(x, y) = c. Μια απλή σκέψη είναι η εξής: η σχέση g(x, y) = c επιτρέπει, τουλάχιστον τοπικά, να λύσουμε ως προς y και να εκφράσουμε το y ως συνάρτηση του x και της σταθεράς c. Αυτό δικαιολογείται από το ϑεώρημα της πεπλεγμένης συναρτήσεως. Υποθέτοντας ότι υπάρχει συνάρτηση φ (η οποία εξαρτάται από την τιμή του c) τέτοια ώστε g(x, φ(x)) = c και παραγωγίζοντας ως προς x έχουμε g x + g y φ (x) = 0. Η αναγκαία συνθήκη για να έχει το f τοπικό ακρότατο στο σημείο x είναι d f (x, φ(x)) dx = f x + f y φ (x) = 0. Από τις δύο αυτές σχέσεις, υπό την προϋπόθεση ότι f (x,y) y g x g y = g x g y = φ (x) ή, ισοδύναμα, υπάρχει λ R τέτοιο ώστε ( g x, g ) ( f = λ y x, f ), ή ισοδύναμα, g(x) = λ f (x). y 0 και g y 0, έχουμε Η παραπάνω σχέση εννοείται ότι ισχύει για τα σημεία εκείνα που είναι δεσμευμένα ακρότατα. 2.2 Η οικονομική σημασία των συντελεστών Lagrange Ας γράψουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης (2.1) στη μορφή min f (x) υπό τους περιορισμούς g i (x) = b i, i = 1, 2,..., m. (2.2) 5
7 Η Λαγκρανζιανή είναι L(x, λ) = f (x, λ) λ i (g i (x) b i ) και οι εξισώσεις για τα κρίσιμα σημεία είναι = f x j x j λ i g i x j = 0, j = 1,..., n, (2.3) g i (x) = b i, i = 1,..., m. (2.4) Εστω x, λ, οι τιμές που μεγιστοποιούν το κριτήριο f και f (x ) η βέλτιστη τιμή του κριτηρίου. Ολες αυτές οι ποσήτητες εξαρτώνται βέβαια από τα b i, i = 1,..., m. Το ερώτημα που ϑέτουμε εδώ είναι πώς αλλάζει η βέλτιστη τιμή του κριτηρίου όταν μεταβληθούν λίγο τα b i. Για το σκοπό αυτό αυτό υπολογίζουμε τις παραγώγους f (x ) b i = g k (x ) b i = k=1 f (x ) xk (2.5) x k b i g k (x ) x j = δ ki (2.6) x j b i όπου δ ki = { 1 αν k = i, 0 διαφορετικά. Τέλος, από την (2.3), στις βέλτιστες τιμές (x, λ ), f (x ) x k = l=1 λ l g l (x ) x k. (2.7) Από τις (2.5), (2.7), έχουμε f (x ) = b i λ g l (x ) xk l x k = b i k=1 l=1 l=1 λ l k=1 g l (x ) xk = x k b i λ l δ li = = λ i. (2.8) l=1 Συνεπώς, οι τιμές των πολλαπλασιαστών του Lagrange στο βέλτιστο σημείο δείχνουν πόσο ϑα μεταβαλλόταν οριακά η βέλτιστη τιμή του κριτηρίου αν μεταβαλλόταν οριακά το δεξί μέλος του αντίστοιχου περιορισμού. Αν υποθέσουμε ότι αυξάνουμε το b i σε b i + h όπου h μια μικρή ποσότητα, η νέα βέλτιση τιμή του κριτηρίου ϑα είναι f (x ) + f (x ) b i h = f (x ) + λ i h. Για το λόγο αυτό οι συντελεστές Lagrange υπολογισμένοι στο βέλτιστο ονομάζονται και σκιώδεις τιμες (shadow prices). 6
8 Κεφάλαιο 3 Προβλήματα βελτιστοποίησης με ανισοτικούς περιορισμούς 3.1 Συνθήκες Συμπληρωματικής Χαλαρότητας Θεωρούμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης υπό ανισοτικούς περιορισμούς max f (x) υπό τους περιορισμούς (3.1) g i (x) 0, i = 1,..., m. Η Λαγκρανζιανή είναι L(x, λ) = f (x) λ i g i (x) και τα κρίσιμα σημεία δίνονται από λύση του συστήματος = f g i λ i = 0, j = 1,..., n, (3.2) x j x j x j { } { } λi 0 λi = 0 ή, i = 1,..., m. (3.3) g i (x) = 0 g i (x) < 0 Οι συνθήκες (3.3) ονομάζονται συνθήκες συμπληρωματικής χαλαρότητας. Η έκφραση αυτή σημαίνει ότι, για να είναι ένα σημείο (x, λ ) κρίσιμο σημείο, ϑα πρέπει (πέραν του να μηδενίζεται η κλίση της Λαγκρανζιανής) για κάθε περιορισμός είτε να είναι χαλαρός, δηλαδή g i (x ) < 0, και ο αντίστοιχος πολλαπλασιαστής Lagrange να είναι μηδέν (λ i = 0) είτε να είναι δεσμευτικός, δηλαδή g i (x ) = 0, και λ i 0. 7
9 Παράδειγμα 1: Εστω το πρόβλημα μεγιστοποίησης υπό περιορισμούς max f (x 1, x 2 ) = x 2 1 2x x 1 + x 2 υπό τους περιορισμούς x 1 + 3x x 1 + x Η Λαγκρανζιανή είναι L = x 2 1 2x x 1 + x 2 λ 1 (x 1 + 3x 2 6) λ 2 (2x 1 + x 2 4) και οι συνθήκες για το μέγιστο = 2x λ 1 2λ 2 = 0 x 1 = 4x λ 1 λ 2 = 0 x { 2 } { } λ 1 0 λ 1 = 0 ή x 1 + 3x 2 6 = 0 x 1 + 3x 2 6 < 0 { } { } λ 2 0 λ 2 = 0 ή x 1 + 3x 2 6 = 0 x 1 + 3x 2 6 < 0 Παράδειγμα 2: Ενα δεύτερο παράδειγμα είναι το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού max c 1 x c n x n υπό τους περιορισμούς a 11 x a 1n x n b 1 0. a m1 x a mn x n b m 0 (εδώ δεν υπάρχουν περιορισμοί μη αρντητικότητας για τα x j.) Η λαγκρανζιανή είναι L = c j x j λ i a i j x j b i και οι συνθήκες είναι = c j λ i a i j = 0 (3.4) x j λ i = 0 n a i j x j b j < 0 ή λ i 0 n, i = 1,..., m. (3.5) a i j x j b j = 0 8
10 Το δυϊκό του γραμμικού προγράμματος είναι το max b 1 λ b m λ m υπό τους περιορισμούς a 11 λ a m1 λ m c 1 = 0. a 1n λ a mn λ m c n = 0 λ i 0, i = 1,..., m. Οι συνθήκες (3.4), (3.5) απαιτούν την ύπαρξη εφικτής λύσης (x 1,..., x n ) για το πρωτεύον και (λ 1,..., λ m ) για το δυϊκό. Από τις σχέσεις αυτές βλέπουμε ότι n a i j x n b i 0 και λ i 0 συνεπώς λ i a i j x j b i 0. Ομως, λόγω της (3.5), αν n a i j x j b i < 0 τότε λ i = 0 και συνεπώς ή λ i a i j x j b i = 0. λ i a i j x j = λ i b i. (3.6) Επίσης, m λ i a i j c j = 0 και συνεπώς n ( ) x m j λ i a i j c j = 0 ή λ i a i j x j = c j x j. (3.7) Από τις (3.6), (3.7) προκύπτει ότι, όταν ικανοποιούνται οι συνθήκες (3.4), (3.5), c j x j = λ i b i που σημαίνει ότι η τιμή του κριτηρίου προς βελτιστοποίηση του πρωτεύοντος είναι ίση με την τιμή του κριτηρίου του δυϊκού. Αυτό όμως συνεπάγεται ότι η (x 1,..., x n ) είναι βέλτιστη λύση για το πρωτεύον και η (λ 1,..., λ m ) βέλτιστη λύση για το δυϊκό. 3.2 Οι συνθήκες Kuhn Tucker Εξετάζουμε τώρα το πρόβλημα μεγιστοποίησης (3.1) υπό τον επιπλέον περιορισμο της μη αρνητικότητας όλων των μεταβλητών, δηλαδή max f (x) υπό τους περιορισμούς (3.8) g i (x) 0, i = 1,..., m. x j 0, j = 1,..., m. 9
11 Το πρόβλημα αυτό δεν είναι ουσιαστικά διαφορετικό από το (3.1) αφού μπορεί να τεθεί στην ίδα μορφή, όμως εδώ σκοπεύουμε να χειριστούμε τους περιορισμούς μη αρνητικότητας με διαφορετικό τρόπο. Η λαγκρανζιανή είναι L(x, λ) = f (x) λ i g i (x) + µ j x j (Οι πολλαπλασιαστές Lagrange µ j στον τελευταίο όρο έχουν αρνητικό πρόσημο επειδή οι περιορισμοί μη αρνητικότητας γράφονται ως x j 0.) Θέτοντας L(x, λ) = f (x) λ i g i (x), οι συνθήκες για το βέλτιστο σημείο γράφονται ως x j = x j + µ j = 0, j = 1,..., n, (3.9) λ i = 0 λ i 0 ή λ i > 0, i = 1,..., m, (3.10) λ i = 0 (επειδή λ i µ j = 0 µ j 0 = λ i ) και ή µ j > 0 µ j = 0, i = 1,..., m. (3.11) Δεδομένου ότι µ j = x j η συνθήκη (3.11) γράφεται ως { } { } x j = 0 x j > 0 ή, j = 1,..., n. (3.12) µ j 0 µ j = 0 Λαμβάνοντας υπ όψιν τα παραπάνω μπορούμε να γράψουμε τις συνθήκες για το βέλτιστο σημείο με την ακόλουθη συμμετρική μορφή: x j = 0 x j > 0 ή x j 0, j = 1,..., n, (3.13) x j = 0 και λ i = 0 λ i 0 ή λ i > 0, i = 1,..., m, (3.14) λ i = 0 (Η συνθήκη (3.13) προκύπτει από τον συνδιασμό της (3.9) και της (3.12).) 10
12 3.3 Οι συνθήκες Kuhn Tucker όταν υπάρχουν και ισωτικοί περιορισμοί Η περίπτωση αυτή εμπεριέχεται στην γενική περίπτωση που μελετήσαμε δεδομένου ότι ο περιορισμός h(x) = 0 μπορεί να γραφεί και ως ένα ζεύγος ανισωτικών περιορισμών, h(x) 0 και h(x) 0. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε το πρόβλημα max f (x) υπό τους περιορισμούς (3.15) g i (x) 0, i = 1,..., m h l (x) = 0, l = r,..., m x j 0, j = 1,..., m. Αυτό μετατρέπεται στο max f (x) με λαγκρανζιανή υπό τους περιορισμούς (3.16) g i (x) 0, i = 1,..., m h l (x) 0, l = r,..., m h l (x) 0, l = r,..., m x j 0, j = 1,..., m. L(x, λ) = f (x) Οι συνθήκες είναι λ i g i (x) r ν l + h l(x) + l=1 r νl h l(x). l=1 x j = 0 x j > 0 ή x j 0, j = 1,..., n, x j = 0 και λ i = 0 λ i 0 ή λ i > 0, i = 1,..., m, λ i = 0 και ν = l + 0 ν l + 0 ή ν > l + 0, l = 1,..., r, ν l + = 0 και = νl 0 νl 0 ή > νl 0, l = 1,..., r, νl = 0 11
13 Αν λάβουμε υπ όψιν μας ότι > 0 ή ν > l + 0 και νl τους ισοτικούς περιορισμούς παίρνουν την μορφή ν l ν = l + 0, l = 1,..., r, ν l + 0 και = νl 0, l = 1,..., r, νl 0 ν = l + νl βλέπουμε ότι ζεύγη ανισωτήτων της μορφής ν > l + 0 και = 0 κ.λπ. είναι ανέφικτα. Συνεπώς οι εξισώσεις που προκύπτουν από = 0 όπου ν l είναι πολλαπλα- Συνεπώς μπορούμε να αντικαταστήουμε τις εξισώσεις αυτές με τις ν l σιαστές του Lagrange χωρίς περιορισμούς στο πρόσημο. Η λαγκρανζιανή μπορεί να γραφεί επομένως ως r L(x, λ) = f (x) λ i g i (x) ν l h l (x). και οι συνθήκες στις οποίες καταλήγουμε παίρνουν την μορφή l=1 x j = 0 x j > 0 ή x j 0, j = 1,..., n, x j = 0 και λ i = 0 λ i 0 ή λ i > 0, i = 1,..., m, λ i = 0 και ν l = 0, l = 1,..., r. 3.4 Πρόβλημα καταμερισμού πόρων. Εστω n συναρτήσεις, f j : R + R +, j = 1,..., n, τις οποίες ϑεωρούμε αύξουσες και κυρτές με συνεχή δεύτερη παράγωγο και f j (0) = 0. Ο στόχος είναι η μεγιστοποίηση της απόδοσης max f j (x j ) υπό τους περιορισμούς x j C x j 0, j = 1,..., n. 12
14 Εστω L = f j (x j ) λ x j C. Οι συνθήκες Kuhn-Tucker στη συμμετρική τους μορφή γράφονται ως x j = f j (x j) λ = 0 x j > 0 λ = n x j C = 0 λ 0 ή ή x j = f j (x j) λ 0 x j = 0 λ = n x j + C 0 λ = 0, j = 1,..., n, (3.17). (3.18) Οι παραπάνω συνθήκες επιτρέπουν την πλήρη διερεύνηση του προβλήματος, εμείς όμως για να απλουστεύσουμε τη συζήτηση ϑα υποθέσουμε ότι f j (x) > 0 για κάθε x R+ και j = 1,..., n. Με αυτή την υπόθεση, αν λ = 0 τότε υποχρωτικά, από την (3.17) x j = 0 για όλα τα j και συνεπώς η τιμή του κριτηρίου προς βελτιστοποίηση είναι 0. Αυτή η λύση μας δίνει το προφανές ελάχιστο, εμείς όμως ενδιαφερόμαστε για το μέγιστο. Ας εξετάσουμε την συγκεκριμένη περίπτωση που f j (x j ) = b j x α j j κάθε j. Τότε f j (x j) = α j b j x α j 1 j και οι συνθήκες γίνονται όπου α j (0, 1) και b j > 0 για α j b j x α j 1 j = λ x j > 0 ή α j b j x α j 1 j λ, j = 1,..., n, (3.19) x j = 0 { n } { x j = C n } x j C ή. (3.20) λ 0 λ = 0 Από το πρώτο σκέλος της (3.19) έχουμε ( ) (1 α λ j ) 1 x j = λ, j = 1,..., n, (3.21) b j α j ενώ από το πρώτο σκέλος της (3.20), αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές, (b j a j ) (1 α j) 1 λ (1 α j) 1 = C. (3.22) Η παραπάνω εξίσωση επιλύεται αριθμητικά, είναι όμως εύκολο να δει κανείς ότι έχει μοναδική λύση. Δεδομένου ότι d dλ λ (1 α j) 1 = (1 α j ) 1 λ (1 α j) 1 1 < 0 η συνάρτηση φ(λ) := n (b j a j ) (1 α j) 1 λ (1 α j) 1 είναι γνησίως φθίνουσα, συνεχής, και ισχύει ότι lim λ 0 φ(λ) =, lim λ φ(λ) = 0. Συνεπώς υπάρχει μοναδική τιμή του λ που να ικανοποιεί την (3.22). Η λύση για την γενική περίπτωση, όπως προκύπτει από τις συνθήκες (3.17), (3.18), είναι παρόμια. Εχουμε x j = f j 1 (λ) (όπου f j 1 η αντίστροφη συνάρτηση της f j η οποία υπάρχει και είναι παραγωγίσιμη, αφού δεύτερη παράγωγος f j είναι φθίνουσα συνάρτηση λόγω της υπόθεσης της κυρτότητας της f j. Συνεπώς πρέπει να λύσουμε την εξίσωση n f j 1 (λ) = C. Οπως και στη συγκεκριμένη περίπτωση που εξετάσαμε πιο πάνω μπορούμε να δείξουμε ότι η f j 1 (λ) είναι φθίνουσα συνάρτηση εξετάζοντας την παράγωγο d dλ f j 1 1 (λ) = f f (λ) < j ( f j (x i)) = 1 j
15 3.5 Προβλήματα Τετραγωνικού Προγραμματισμού Εστω το πρόβλημα βελτιστοποίησης max s.t. c j x j 1 2 q jk x j x k (3.23) k=1 a a 1n x n b 1. a m1 + + a mn x n b m x j 0, j = 1,..., n. Ο πίνακας Q = [q jk ] είναι συμμετρικός και ϑετικά ορισμένος. Η Λαγκρανζιανή είναι και L = c j x j 1 2 x j = c j q jk x j x k k=1 q jk x k k=1 λ i a i j, λ i a i j x j b i επομένως οι συνθήκες Kuhn Tucker είναι οι εξής: { c j n k=1 q jk x k n } λ i a i j = 0 x j > 0 και ή { c j n k=1 q jk x k n λ i a i j 0 x j = 0 }, j = 1,..., n, (3.24) { n } a i j x j + b i = 0 λ i 0 ή { n a i j x j + b i > 0 λ i = 0 }, i = 1,..., m, (3.25) Προκειμένου να βρούμε τα x j και λ i που ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες μπορούμε να τις διατυπώσουμε ως ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας μεταβλητές χαλαρότητας u i, v j, ως εξής q jk x k + k=1 λ i a i j v j = c j (3.26) a i j x j + u i = b i x j, v j, λ i, u i 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Προκειμένου να ικανοποιούνται οι συνθήκες (3.24), (3.25), ϑα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις x j = 0 v j > 0, j = 1,..., n, (3.27) u i > 0 λ i = 0, i = 1,..., m. (3.28) 14
16 Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο Simplex. Παρατηρείστε ότι στην τελευταία αυτή διατύπωση δεν υπάρχει αντικειμενική συνάρτηση προς βελτιστοποίηση παρά μόνο η αναζήτηση μιας εφικτής λύσης. Είναι ακριβώς το πρόβλημα που αντιμετωπίζει κανείς στη μέθοδο των δύο φάσεων της Simplex όταν αναζητεί μια εφικτή λύση χρησιμοποιώντας τεχνητές μεταβλητές μόνο που κατά την εφαρμογή της μεθόδου πρέπει να λαμβάνονται υπ όψιν και οι συνθήκες (3.27), (3.28). 15
17 Κεφάλαιο 4 Εφαρμογές 4.1 Μεγιστοποίηση εντροπίας Ορισμός 7. Εστω {p i ; i = 0, 1,..., } μια κατανομή πιθανότητας στο N, δηλαδή π i 0 και i=0 p i = 1. Η εντροπία της κατανομής αυτής ορίζεται ως η ποσότητα H = p i log p i. i=0 (4.1) Η εντροπία είναι ένα μέτρο της αβεβαιότητας που εκφράζει μια κατανομή πιθανότητας. Ε- ναλλακτικά, αν X είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή P(X = i) = p i, τότε η εντροπία είναι ένα μέτρο της πληροφορίας που παίρνουμε όταν μάθουμε την τιμή της τυχαίας μεταβλητής X. Για παράδειγμα, αν X είναι μια τυχαία μεταβλητή Bernoulli με P(X = 0) = 1 p και P(X = 1) = p, τότε η εντροπία της X είναι H(X) = p log p (1 p) log(1 p) Παρατηρείστε ότι η εντροπία μεγιστοποιείται για p = 1/2. Πράγματι, για αυτή την τιμή του p η αβεβαιότητα είναι μέγιστη πριν μάθουμε την τιμή της X ή, ισοδύναμα, η πληροφορία πού παίρνουμε γνωρίζοντας την τιμή της X μεγιστοποιείται. Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε μια κατανομή {p i }, i = 1,..., n στους φυσικούς {1,..., n}. εντροπία της ϑα είναι Η H = p i log p i. (4.2) Η κατανομή στο σύνολο {1,..., n} που μεγιστοποιεί την εντροπία προκύπτει από την μεγιστοποίηση της (4.2) υπό τους περιορισμούς n p i = 1 και p i 0, p i 1, i = 1,..., n. Ορίζοντας την λαγκρανζιανή ως L = n p i log p i λ ( n p i 1 ) n µ i (p i 1) και οι συνθήκες Kuhn Tucker 16
18
19 πλαίσιο που συζητάμε μια και ο αριθμός των μεταβλητών δεν είναι πεπερασμένος, όμως μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε με τα ίδια εργαλεία. Η λαγκρανζιανή είναι p i log p i λ p i 1 ν ip i θ και εξετάζοντας μόνο την περίπτωση που 0 < p i < 1 για κάθε i έχουμε τις εξισώσεις log p i 1 λ iν = 0, i = 1, 2,..., (4.3) p i = 1, (4.4) ip i = θ. Από τις σχέσεις (4.3) προκύπτει ότι (4.5) p i = e (1+λ+iν), i = 1, 2,..., (4.6) και αντικαθιστώντας στις (4.5) και (4.6) παίρνουμε τις 1 = e (1+λ+iν) = e (1+λ) ( e ν )i = e (1+λ) e ν 1 e ν (4.7) (όπου στην τελευταία έκφραση χρησιμοποιήσαμε το άθροισμα της γεωμετρικής σειράς i=0 x i = 1 1 x για x < 1) και θ = ie (1+λ+iν) = e (1+λ) i ( e ν)i = e (1+λ) e ν (1 e ν ) 2 (4.8) (όπου χρησιμοποιήσαμε ότι i=0 ix i 1 = 1 (1 x) 2 ή 1 1 e ν = θ ν = log θ θ 1 για x < 1). Από τις (4.7) και (4.8) προκύπτει ότι (ισχύει ότι θ > 1). Αντικαθιστώντας στην (4.4), μετά από στοιχειώδεις πράξεις, έχουμε p i = 1 θ ( 1 1 θ) i 1, i = 1, 2,... δηλαδή την γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας 1 θ. 18
20 4.2 Προβλήματα πολλαπλών σταδίων Θεωρούμε το εξής απλοποιημένο πρόβλημα επένδυσης κατανάλωσης. Ξεκινάμε με δεδομένο αρχικό κεφάλαιο x 0 και σε κάθε στάδιο του χρονικού ορίζοντα που διαρκεί N περιόδους καλούμεθα να αποφασίσουμε τι τμήμα του κεφαλαίου ϑα καταναλώσουμε και τι τμήμα ϑα επενδύσουμε. Ας υπο- ϑέσουμε ότι στην αρχή της περιόδου n το κεφάλαιό μας είναι x n, καταναλώνουμε u n και επενδύουμε το υπόλοιπο τμήμα του κεφαλαίου, x n u n. Θα κάνουμε την απλή υπόθεση ότι, υπό αυτές τις συνθήκες, το κεφάλαιο στην αρχή της περιόδου n + 1 ϑα είναι x n+1 = c(x n u n ) (4.9) όπου c > 1. Η χρησιμότητα που μας αποφέρει η κατανάλωση u έστω ότι είναι φ(u) όπου φ μια ϑετική, αύξουσα, κυρτή συνάρτηση. Σκοπός μας είναι να μεγιστοποιήσουμε την συνολική χρησιμότητα N 1 n=0 φ(u n) επιλέγοντας κατάλληλα τα u n, n = 0,..., N 1 και ικανοποιώντας τους περιορισμούς u n l n 0 και x N = K. Το l n είναι η ελάχιστη κατανάλωση κατά την περίοδο n (που μπορεί να προκύπτει από ανηλειμμένες υποχρεώσεις) ενώ το K είναι ένας τελικός περιορισμός για το κεφάλαιο που πρέπει να υπάρχει στο τέλος της χρονικού ορίζοντα. Οι μεταβλητές μας είναι τα x n, n = 1,..., N και u n, n = 0,..., N 1 και η λαγκρανζιανή είναι N 1 N 1 N 1 L = φ(u n ) λ n (x n+1 c(x n u n )) µ n (l n u n ) ν(x N K) n=0 n=0 Οι συνθήκες Kuhn Tucker δίνουν n=0 = λ n 1 cλ n = 0, n = 1,..., N 1, x n = λ N 1 ν = 0, x N = φ (u n ) cλ n + µ n = 0, n = 0,..., N 1, u n = x n+1 c(x n u n ) = 0, n = 0,..., N 1, λ n ν = x N + K = 0, ή ισοδύναμα µ n = u n l n = 0 µ n 0 ή µ n = u n l n > 0 µ n = 0, n = 0,..., N 1, λ n 1 = cλ n, n = 1,..., N 1, (4.10) λ N 1 = ν, (4.11) φ (u n ) cλ n + µ n = 0, n = 0,..., N 1, (4.12) x n+1 c(x n u n ) = 0, n = 0,..., N 1, (4.13) x N = K, { } un = l n ή µ n 0 (4.14) { } un > l n, n = 0,..., N 1, (4.15) µ n = 0 19
21 Οι εξισώσεις (4.11), (4.12), προσδιορίζουν άμεσα τα λ n : λ n = νc N 1 n, n = 0,..., N 1. Προκειμένου να λύσουμε εύκολα το σύστημα ας υποθέσουμε ότι l n = 0 για κάθε n και ας διερευνήσουμε την ύπαρξη λύσης με µ n = 0 για όλα τα n. Επίσης, παρ ότι δεν είναι αναγκαίο, ας εξετάσουμε την συγκεκριμένη περίπτωση φ(u) = u. Τότε η (4.13) δίνει 1 2 u 1/2 n = cνc N 1 n ή και u n = (2cν) 2 c 2(n+1 N), n = 0,..., N 1 x n+1 = cx n 1 4cν 2 c2(n+1 N), n = 0,..., N 1, όπου το x 0 είναι δεδομένο. Η παραπάνω αναδρομή λύνεται εύκολα ενώ η τιμή του ν προσδιορίζεται από την σχέηση x N = K. 20
Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότερα602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΑνελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΟι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΟ τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραMartingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Διαβάστε περισσότεραΠαραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Διαβάστε περισσότερα«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΔιανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) Τετάρτη 8 Μαΐου 26 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων η LaT E X-έκδοση ( 22/5/26)
Διαβάστε περισσότερατους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 1: Υδρολογική προσομοίωση 1.2. Βελτιστοποίηση (Βαθμονόμηση) Υδρολογικών Μοντέλων Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστικές συναρτήσεις
13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
Διαβάστε περισσότερα1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραHY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότερα21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία
ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο
Διαβάστε περισσότεραα 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,
Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Διαβάστε περισσότερα( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε
Διαβάστε περισσότεραιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Διαβάστε περισσότεραΤο υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
Διαβάστε περισσότεραΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
Διαβάστε περισσότεραΤρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
Διαβάστε περισσότεραΑρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το
Διαβάστε περισσότεραΑρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...
Διαβάστε περισσότεραΔημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο
Διαβάστε περισσότεραΙσοπεριμετρικές ανισότητες για το
Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss Διπλωματική Εργασία Μαρία Μαστροθεοδώρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 018 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα................................
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.
1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 27 Δεκεμβρίου 2010 2 Κεφάλαιο 1 Συνδιαστική Ανάλυση και Μαθηματικές Τεχνικές Η απαρίθμηση των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣυντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Διαβάστε περισσότερα( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ
Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.
Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα
Διαβάστε περισσότεραΧαρτοφυλάκια και arbitrage
16 Χαρτοφυλάκια και arbitrage 16.1 Αγορές μετοχών Ποια είναι η χρήση και η σημασία των μετοχών μιας εταιρείας; Κατά τη σύστασή της ή σε άλλες στιγμές του χρόνου ύπαρξής της χρειάζεται να συγκεντρώσει κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2
Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα
Διαβάστε περισσότερα