Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3)

2 Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του Λυκείου του Δικτυακού Τόου mathmatica.gr με βάση υλικό ου αναρτήθηκε στο mathmatica Συνεργάστηκαν οι: Αόκης Γιώργος, Βαρβεράκης Ανδρέας, Βισβίκης Γιώργος, Κακαβάς Βασίλης, Καλαθάκης Γιώργος, Καλδή Φωτεινή, Καρδαμίτσης Σύρος, Κατσίης Νίκος, Κούτρας Στάθης, Κωστάκος Γρηγόρης, Μαραγκουδάκης Παύλος, Μουρούκος Βαγγέλης, Μεληγιάννης Αθανάσιος, Πααγρηγοράκης Μίλτος, Πρωτοαάς Λευτέρης, Ρίζος Γιώργος, Στεργίου Μάμης, Στόγιας Σωτήρης, Συγκελάκης Αλέξανδρος, Συννεφακόουλος Αχιλλέας, Τηλέγραφος Κώστας, Τσιφάκης Χρήστος, Φραγκάκης Νίκος, Χασάης Σωτήρης. Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα αό το δικτυακό τόο mathmatica.gr

3 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f() > σε κάθε εσωτερικό του Δ, τότε να αοδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον αρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής στο o,είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α. Να χαρακτηρίσετε τον αραάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) A3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 4 Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: και g:, αν lim f() = και lim g() =+, τότε o [ ] lim f() g() =. β) Αν f,g είναι δυο συναρτήσεις με εδία ορισμού Α,Β αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f(a) B. γ) Για κάθε συνάρτηση f: ου είναι αραγωγίσιμη και δεν αρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f() για κάθε. δ) Αν < α <,τότε lim α =+. ε) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ o o Μονάδες Α. Αόδειξη, σχολικό σελ 35. Α. α. Λάθος β. Με αντιαράδειγμα: 3

4 είναι συ, H συνάρτηση f() = =, < νεχής στο = αφού lim f() = lim f() = f() =, + όμως δεν είναι αραγωγίσιμη στο = αφού f() f() lim = lim = lim = και f() f() lim = lim = lim =. Α3. Ορισμός, σχολικό σελ. 5. Α4. α) Λάθος. β) Σωστό, σχολικό σελ 5. γ) Λάθος, σχολικό σελ 36. δ) Σωστό, σχολικό σελ 67. ε) Σωστό, σχολικό σελ 76. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f() = ln, > και g() =,. B. Να ροσδιορίσετε τη συνάρτηση f g. Μονάδες 5 Β. Αν h() = (f g)() = ln, (, ), να αοδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 B3. Αν φ() = h () =,, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως ρος τη μονοτονία, τα ακρότατα, + την κυρτότητα και τα σημεία καμής. Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. ΛΥΣΗ: (Η γραφική αράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) B. Είναι : f() = ln με A f = (, + ) και g() = με A = g R {}. Μονάδες 7 4

5 Η συνάρτηση h= f gορίζεται αν και μόνο αν το σύνολο A h = { A gκα ι g() Af}. Όμως Ah = και > = { και ( ) > } = { και < < } = (, ), αφού ( ) > + >, και εειδή το τριώνυμο έχει το α = < και ρίζες,, θα είναι θετικό αν < <. Εομένως ορίζεται η συνάρτηση h:(,) με τύο h() = f(g()) = f = ln. B. Έστω, (,) με h( ) = h( ) τότε έχουμε h( ) = h( ) ln = ln = ( ) = ( ) = =. Εομένως η συνάρτηση h είναι, άρα αντιστρέφεται. Είναι y y h() = y ln = y = ( ) = y y y y y = (+ )= =. + y Άρα η αντίστροφη συνάρτηση είναι η h (): (, ),μεh () =. + Β3. Η συνάρτηση φ()=, + είναι αραγωγίσιμη στο ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων ( + ) με φ ()= = = >, εομένως είναι γνησίως αύξουσα στο και δεν + ( + ) ( + ) έχει ακρότατα. Είσης η συνάρτηση φ ()=,, είναι αραγωγίσιμη με ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) φ ()= = = = = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Εειδή το > για κάθε, το ρόσημο της φ () εξαρτάται αό το 3 ( + ) Είναι: = = = = > < < < < < > > (,], κοίλη στο [, + ) και αφού είναι αραγωγίσιμη στο ορί Εομένως η φ είναι κυρτή στο ζεται εφατομένη. 5

6 Συνεώς έχουμε ότι το σημείο Α(,φ()) δηλαδή το είναι σημείο καμής της γραφικής αράστασης της φ. Α, Β4. Αφού lim =, έχουμε lim φ() = lim =. Εομένως η ευθεία με εξίσωση y= είναι οριζόντια ασύμτωτη στη γραφική αράσταση της φ στο. + Είναι lim φ() = lim. Εειδή lim = + και lim ( + ) =+ και οι συναρτήσεις,+ + + είναι αραγωγίσιμες, άρα αό τους κανόνες D l Hospital Εομένως η ευθεία με εξίσωση y= ( ) lim = lim = lim =. + ( + ) είναι οριζόντια ασύμτωτη στη γραφική αράσταση της φ στο Αξιοοιώντας και τα συμεράσματα για τη μονοτονία και την κυρτότητα αό το ερώτημα Β3, η γραφική αράσταση είναι η αρακάτω : ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση = f() ημ, [ ],, και το σημείο Α,. Γ. Να αοδείξετε ότι υάρχουν ακριβώς δύο εφατόμενες ( ε ), ( ) ου άγονται αό το Α, τις οοίες και να βρείτε. Γ. Αν ( ε ):y= και ( ) = ε της γραφικής αράστασης της f Μονάδες 8 ε :y είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ, τότε να σχεδιάσετε τις Ε ( ε ), ( ε ) και τη γραφική αράσταση της f και να αοδείξετε ότι = όου: Ε 8 E είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f και τις ευθείες ( ε ), ( ε ), και E είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f και τον άξονα. Μονάδες 6 6

7 Γ3. Να υολογίσετε το όριο f() + lim. f() + Μονάδες 4 f() Γ4. Να αοδείξετε ότι d >. ΛΥΣΗ: Μονάδες 7 Γ. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη οότε ορίζεται εφατομένη της C f στο σημείο της M(, f( )), με [,], η οοία έχει εξίσωση: δηλαδή: y f( ) = f ( )( ), y + ημ = συν ( ). Η εφατομένη διέρχεται αό το σημείο A,, άρα: + ημ = συν ημ συν + συν =. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με g() = ημ συν συν, με [,]. H συνάρτηση g είναι συνεχής, ως αοτέλεσμα ράξεων συνεχών, στο [,] και αραγωγίσιμη στο (,) με: g() = ( ημ συν συν ) = συν συν+ ημ ημ= ημ ημ = ημ( ) Είναι g() = =, αφού ημ >, για κάθε (,). Είσης, g() < για κάθε g() > για κάθε,, άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο, και,, άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο,. g() + g() Οότε, αφού g συνεχής στο, και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο,, τότε: το σύνολο τιμών της στο διάστημα, είναι το g = =, g,g() [,] 7

8 και αφού g συνεχής στο, και η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο,, τότε: το σύνολο τιμών της στο διάστημα, είναι το g = =, g,g() [,]. Άρα, οι μοναδικές ρίζες της g στο [,] είναι: = ή =. Οότε, αν =, τότε: (ε ):y = και αν =, τότε: (ε ):y =. Γ. Έχουμε ότι: (OA) = + =, (AB) = + = και οι ευθείες (ε ) και (ε ) είναι κάθετες, άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο με εμβαδόν (ΟΑ) (ΟΒ) (OAB) = = 4. Εναλλακτικά το τρίγωνο ΟΑΒ έχει βάση την ΟΒ= και ύψος, αφού το Α έχει τεταγμένη. Τότε είναι (OAB) = = 4. Το E ροκύτει αν αό το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου OAB ου είναι (OAB) = 4 αφαιρέσουμε το E. Εειδή ημ, [,], θα είναι, Άρα: [ ] E = ημd = συν = συν + συν=. E = 4 = E 8 f() + ημ+ Γ3. Είναι lim = lim f() + ημ +. Για ο αριθμητής του κλάσματος γίνεται και ο αρονομαστής μηδενίζεται. Θα ελέγξουμε το ρόσημο του αρονομαστή καθώς το. 8

9 Έστω φ() = ημ +, (,). Είναι φ () = συν <, (,) άρα η συνάρτηση φ είναι γνησίως φθίνουσα στο (,), οότε θα έχει σύνολο τιμών το ( ) ( ) ( ( ) ( ) + + ) δηλαδή θα αίρνει θετικές τιμές. φ (,) = lim φ(), lim φ() = lim ημ +,lim ημ + = (,), Εομένως f() + lim = lim =+ f() + ημ + Γ4. Η συνάρτηση φ() = f() + όως αναφέρθηκε στο Γ3 είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] [,] και αφού φ() = ημ + > θα είναι φ() > στο διάστημα [,]. f() Δηλαδή f() + > + > και άρα, f() d d + d >. Οότε f() f() d > d d > d > ( ) [ ln ] () Αλλά [ln] = ( ) =. Οότε η () δίδει f() d >. ΘΕΜΑ Δ 3 4, [,) Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ, [,] Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 5 Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f, τη γραφική αράσταση της g, με g() = 5,, τον άξονα y' y και την ευθεία =. Δ4. Να λύσετε την εξίσωση ΛΥΣΗ: f() (4 3) = 8. Δ. Το εδίο ορισμού της f είναι το A = [,]. Μονάδες 6 Μονάδες 8 9

10 Η f είναι συνεχής στο [,) και στο (,] αφού ροκύτει αό σύνθεση συνεχών και αό γινόμενο συνεχών αντίστοιχα. Είσης lim f() = lim 3 4 =, = = = + + Οότε li f( ) = lim f() lim ημ ημ και ( ) = f. m f() κι έτσι η f είναι συνεχής και στο. Άρα τελικά η f είναι συνεχής στο A. Κρίσιμα σημεία της f (εσωτερικά σημεία του A ου η f δεν υάρχει είτε μηδενίζεται) /3 Για < είναι f() = = ( ) = ( ) και η f είναι αραγωγίσιμη με ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) f = = = = = <. 3 3 Για < η f είναι αραγωγίσιμη με ( ) f() = ημ = ημ+ συν= (ημ + συν) Είσης 4/3 f() f() ( ) /3 lim = lim = lim ( ( ) ) = f() f() ημ lim = lim = = + + Συνεώς η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Άρα το είναι κρίσιμο σημείο της f. Θα βρούμε τα σημεία ου η f' μηδενίζεται. Αν < < είναι f() <. Για < < είναι ημ 3 = + = = = = = =, συν 4 f() (ημ συν) ήημ συν εφ συν αφού η συνάρτηση εφ είναι γνησίως αύξουσα και το = 3 είναι ροφανής ρίζα της εξίσωσης 4 εφ=. (Είναι συν, αφού αλλιώς θα έρεε να είναι και ημ = συν =, γεγονός ου αντιβαίνει στη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα ημ + συν =). Συνεώς τα κρίσιμα σημεία της f είναι το και το 3 4. Δ. Αν < είναι f() < και f συνεχής στο άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,]. 3 Για, 4 είναι f() = (ημ + συν) = ημ + συν = = ημ συν + ημ συν = ημ > Οότε για,, ημ f > ( ) > για κάθε,

11 Ακόμα η f συνεχής στο διάστημα 3, οότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο 3 4,, 4 > 3 5, +, ημ + < f < ενώ για ( ) για κάθε 3,. 4 Ακόμα η f συνεχής στο διάστημα 3,. 4 3, 4 οότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Τελικά η f αρουσιάζει τοικό μέγιστο στο το f( ) =, τοικό ελάχιστο στο το f() =, τοικό μέγιστο στο 3 4 το 3 = 3/4 f και τέλος τοικό ελάχιστο στο το f() =. 4 Για το σύνολο τιμών: Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο A = [,] άρα f(a ) = [f(),f( )] = [,] 3 3 3/4 Η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο A =, άρα f(a ) = = 4 f(),f, /4 Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο A 3 =, άρα f(a 3) = = 4 f(),f, 4 3/4 Τελικά, το σύνολο τιμών της f είναι το f(a) = f(a ) f(a ) f(a 3) =,, 4 αφού 3/4 > 3/4 > 3 3 > > 4 3 > ln4, η οοία ισχύει, δεδομένου ότι 6< 3 < 9 και ln = < ln4 < ln =. 4 Δ3. Το ζητούμενο εμβαδό είναι το E = f() g() d = ημ d. Για κάθε [ ] Άρα τελικά όου ημ ημ 4, ισχύει ημ I = d= = E= ( ημ)d = d ημd = I I, I = = = ημd ημ συνd συν I, άρα I + =.

12 5 Άρα τελικά E = ( 5 7)τ.μ.. Δ4. Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται 3/4 (4 3) 3/4 6f() (4 3) = 8 f() = f() = f f() f = () Αν ισχύει η (), τότε = f() f, αφού f() f για κάθε Συνεώς, 3 =, οότε = [,].

13 ΑΛΛΕΣ ΛΥΣΕΙΣ: Β. Εναλλακτική αόδειξη για την αντιστρεψιμότητα. Η h είναι αραγωγίσιμη ως σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ) h() = ln = = = >, για κάθε ( ) ( ) Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα και εομένως αντιστρέφεται. Τότε αφού η h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (,), έχουμε ότι: ( + ) h(α) = lim h(), lim h() = (, + ) = R. Σχόλιο: Για την εύρεση της αραγώγου θα μορούσαμε να γράψουμε h() = ln ln( ) ου διευκολύνει την εύρεση της αραγώγου h'() = + = > ( ) (,) Γ. Στο σημείο Κ(,f()) η εφατομένη έχει εξίσωση y f() = f '()( ) y =. Στο σημείο Λ(,f()) η εφατομένη έχει εξίσωση y f() = f'()( ) y=. Η κλίση των υόλοιων ευθειών ου διέρχονται αό το σημείο A και τέμνουν το γράφημα της συνάρτησης f, είτε δεν ορίζεται (αν η ευθεία είναι κατακόρυφη), είτε είναι μικρότερη του είτε μεγαλύτερη του, καθώς θα τέμνουν τον οριζόντιο άξονα σε εσωτερικό σημείο του διαστήματος [,]. Πράγματι, αν τον τέμνουν στο σημείο Β(,), (,) τότε λαβ = ότι όταν < < τότε λαβ > ενώ όταν < < τότε λ < ΑΒ. και είναι εύκολο να δούμε Όμως η αράγωγος της συνάρτησης f() = ημ, [,] αίρνει τιμές στο διάστημα [,]. Εομένως δεν υάρχει άλλη εφατομένη ου να διέρχεται αό το σημείο A. Γ. Μια άλλη ιδέα για το ότι δεν υάρχουν άλλες εφατόμενες της y= f() ου να διέρχονται αό το σημείο A,. Έστω η εφατομένη y + ημα = συνα( α) της y= f() στο (α,f(α)) για Το σημείο τομής αυτής με την ευθεία = έχει τεταγμένη: y = ημα + α συνα > α + α =, < α. 3

14 αφού ημα < α, και ολλαλασιάζοντας τη σχέση συνα < με α αίρνουμε α συνα α. Άρα δεν διέρχεται αό το σημείο A,. Ομοίως, έστω η εφατομένη y + ημα = συνα( α) της y= f() στο (α,f(α)) για α < < Το σημείο τομής αυτής με την ευθεία = έχει τεταγμένη: y = ημα + α συνα > (α ) α =, αφού ημα = ημ( α) < α, και ολλαλασιάζοντας τη σχέση < συνα με α > αίρνουμε α συνα> α. Άρα ούτε αυτή διέρχεται αό το A,. και αό τη μονοτονία αυτές είναι όλες οι λύ Γ. Η εξίσωση g() = έχει ροφανείς ρίζες τις =, = σεις. Γ3. Με αλλαγή μεταβλητής y = >, κι αφού f() = f(y), αίρνουμε f() + f(y) + y lim = lim. + f() + y f(y) + y Για < y<, είναι y < f(y) < y, οότε f(y) + y > y > () και < f(y) + y< y, ου δίνει > f(y) + y y () Πολλαλασιάζοντας τις () και () αίρνουμε Συνεώς, f(y) + y y > = + +, καθώς y. f(y) + y y y f() + lim = +. f() + Γ3. Αφού η f είναι κυρτή η γραφική αράσταση της είναι άνω αό τη εφατομένη ( ε ):y= με εξαίρεση το σημείο εαφής = οότε f( ) για κάθε [, ]. Άρα f( ) + για κάθε [, ]. 4

15 Ακόμη Οότε ( ( ) ) lim f + =. + f() + lim = +. f() + Γ3. Είναι lim( ημ + ) = > και ( ) Για < < ισχύει : άρα lim ημ + =. ημ ( ) < ( ) ( ) < ημ ( ) <, ημ < ημ>, οότε ημ+ lim = +. ημ + Γ4. Προφανώς είναι f(),για κάθε [,] με την ισότητα να ισχύει μόνο στο κάθε [,] συνεώς f() για κάθε [,]. Ολοκληρώνοντας την τελευταία αίρνουμε: f() d > d = [ ln] =. Αρκεί ροφανώς να αοδείξουμε > > ου ροφανώς ισχύει. Σχόλιο: Η αραάνω τεχνική δίνει καλύτερο φράγμα (το ) αό το ζητούμενο., άρα f(), για Γ4. Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα [, ] άρα θα βρίσκεται άνω αό την εφατομένη της στο σημείο (,) άρα f( ) με το ίσον να ισχύει μόνο για =. Άρα στο [, ] είναι ( ) f f( ) > > οότε ολοκληρώνοντας την τελευταία αίρνουμε: f( ) ( ) > f d d d >. Γ4. Στο διάστημα [,] η συνάρτηση u() = f() + είναι συνεχής και αραγωγίσιμη με u() = συν. Στο (,), u() < άρα η u είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] και αφού u() = ημ + > θα είναι u() > στο διάστημα [,] (κ.ο.κ.) Δ. Το εδίο ορισμού της f είναι το A = [,]. Η f είναι συνεχής στο [,) και στο (,] αφού ροκύτει αό σύνθεση συνεχών και αό γινόμενο συνεχών αντίστοιχα. Είσης ( ) u= + + lim u= u lim f() = lim = lim u = = ημ= = f() 5

16 και lim f() = lim ημ= ημ= = = f() + + Οότε li m ) = f() κι έτσι η f είναι συνεχής και στο. Άρα τελικά η f είναι συνεχής στο A. ( ) f( Δ. ( ) Θα βρούμε τα σημεία ου η f' μηδενίζεται. Αν < < είναι f() <. Για < < είναι Λύνουμε την εξίσωση Είναι = + = + = + = + = f() (ημ συν) ημ συν ημ συν ημ συν ημ. 4 ημ + = Τότε είναι + = k = k,k 4 4 Οότε έχουμε Αφού με (, ). ημ + = ημ + = 4 4 > με (, ). 5 5 < < < k < < k < < k < k είναι k= και = =. 4 4 Συνεώς τα κρίσιμα σημεία της f είναι το και το 3 4. Δ. Παρατήρηση: Το 3 4 φού > ln < = ln < = 4 f > είναι το ολικό μέγιστο (το μέγιστο των τοικών μεγίστων, α ln (διότι > > > ln<, η οοία ισχύει αφού 4 ) και η f αρουσιάζει ολικά ακρότατα ως συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] ) και f() = f() = το ολικό ελάχιστο (αρουσιάζεται σε δύο θέσεις). Δ3. Το ζητούμενο εμβαδό είναι το 4 E = f() g() d = ημ d 4 Ορίζουμε τη συνάρτηση h() = ημ, [,] η οοία είναι αραγωγίσιμη με 6

17 4 h() = συν 4 < 4 διότι για έχουμε 4 4 και συν. Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα οότε h() h() = <. ( ) 7