ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΑΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΑΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Α. ΤΣΟΥΡΗΣ Επιβλέπων : Κ. Δ. ΒΟΥΡΝΑΣ Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2007

2 2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΤΑΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Α. ΤΣΟΥΡΗΣ Επιβλέπων : Κ. Δ. ΒΟΥΡΝΑΣ Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την.... Κ. Βουρνάς Καθηγητής Ε.Μ.Π ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ

4 ... Νικόλαος Α. Τσουρής Διπλωματούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Ε.Μ.Π. Copyright Νικόλαος Α. Τσουρής, Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. 4

5 Περίληψη Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της ευστάθειας τάσεως με την μέθοδο της συνέχειας. Η ευστάθεια τάσεως παίζει σημαντικό ρόλο στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας (ΣΗΕ) καθώς μπορεί να οδηγήσει σε κατάρρευση τάσης και άρα σε αναστολή της σωστής λειτουργίας του δικτύου. Με την μέθοδο της συνέχειας υπολογίζεται το όριο φόρτισης του συστήματος που αποτελεί και το οριακό σημείο λειτουργίας του δικτύου. Μπορούν συνεπώς να παρθούν συγκεκριμένα μέτρα ώστε το σύστημα να μην ξεπεράσει το όριο φόρτισης αυτό ενώ ακόμα και να χρειαστεί να υπάρξουν μέτρα ελέγχου εκτάκτου ανάγκης μέτρα όπως η αποκοπή φορτίου είναι ευκολότερο να βρεθεί η κατεύθυνση των μέτρων αυτών. Για την ανάλυση της μεθόδου αυτής χρησιμοποιήθηκαν δύο απλά ηλεκτρικά συστήματα αποτελούμενα από μία γεννήτρια που τροφοδοτεί μέσω ενός μετασχηματιστή δύο φορτία. Τα δύο δίκτυα αποτελούνται συνολικά από 4 ζυγούς δύο από τους οποίους είναι οι ζυγοί φορτίου. Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο δικτύων είναι ότι το πρώτο έχει υλοποιηθεί χωρίς ωμικές απώλειες ενώ στο δεύτερο υπάρχουν αντιστάσεις. Τα προηγούμενα δίκτυα μελετώνται με την βοήθεια προσομοιώσεων μέσω των οποίων και με την βοήθεια της μεθόδου της συνέχειας υπολογίζονται τα όρια φόρτισης τους και εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα από τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων αυτών. Επιπλέον στα προηγούμενα συστήματα εφαρμόζεται γραμμικοποίηση, εύρεση του πίνακα ευαισθησιών και ανάλυση ιδιοτιμών προκειμένου να ερευνηθεί η ευσταθειά τους. Λέξεις κλειδιά: ευστάθεια τάσης, μέθοδος συνέχειας, Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας (ΣΗΕ), κατάρρευση τάσης, όρια φόρτισης, μέτρα ελέγχου εκτάκτου ανάγκης, αποκοπή φορτίου. 5

6 6

7 Abstract The subject of this diploma thesis is the study of voltage stability using the Continuation Power Flow (CPF). Voltage stability is very significant in Power Electric Systems as it can lead to voltage collapse and therefore it can stop the network working properly. Continuation Power Flow is a technique that calculates the loadability limits of the network and there are no viable operating points beyond these limits. As a result certain measures can be taken not allowing the network exceed the loadability limits. Even if there is need for emergency countermeasures as load shedding it is easier to predict the direction of these measures. The CPF is investigated by using two simple electric systems system in which a generator is feeding two loads trough a transformer. These two networks consist of 4 buses, 2 of them being load buses. The only difference between the two networks is that the first one is lossless while in the second one line resistances are assumed. The former networks are investigated with simulation methods using the CPF. Therefore the loadability limits are calculated and useful conclusions are extracted by the results of the these simulation methods. Moreover linearization is applied in these two networks and the sensitivity matrix is calculated. In addition the stability of the networks is investigated using eigenvalue analysis. Key words: voltage stability, Continuation Power Flow (CPF), Power Electric Systems, voltage collapse, loadability limits, emergency countermeasures, load shedding. 7

8 8

9 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους, όσοι με βοήθησαν και με στήριξαν κατά τη διάρκεια των σπουδών μου στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο και πιο συγκεκριμένα τους γονείς μου, τον αδελφό μου, τους φίλους μου, τους καθηγητές μου και τους συμφοιτητές μου. Σημαντική επίσης ήταν η συνεισφορά όσων με βοήθησαν στην διαδικασία εισαγωγής μου στην σχολή. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Βουρνά για την εμπιστοσύνη και την συμπαράσταση που μου έδειξε κατά την διεξαγωγή της διπλωματικής μου εργασίας, αλλά κυρίως για την υποδειγματική του παρουσία και διδασκαλία όλα αυτά τα χρόνια φοίτησής μου στην σχολή. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον κ. Κωνσταντίνο Βουρνά για την αντιμετώπιση μου από αυτόν, από την πρώτη στιγμή εισαγωγής μου στη σχολή, ως συναδέλφου και όχι ως φοιτητή, καθώς και για την προσπάθεια του να μας μεταδίδει συνεχώς γνώσεις. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους κ. Βασίλη Νικολαΐδη, Διδάκτορα της σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Ε.Μ.Π., και Νικολάο Σακελλαρίδη, υποψηφίου Διδάκτορα της σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Ε.Μ.Π. για την πολύτιμη προσφορά τους στην διπλωματική μου εργασία, την αμέριστη κατανόηση και στήριξη που μου προσέφεραν και τον χρόνο που μου αφιέρωσαν. 9

10 Περιεχόμενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ευστάθεια Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Όρια φόρτισης Μέγιστη Μεταφερόμενη Ισχύς Σταθερός συντελεστής ισχύος Γραμμή χωρίς απώλειες Χαρακτηριστικές φορτίου Χαρακτηριστική δικτύου Όριο φόρτισης και Μέγιστη Μεταφερόμενη Ισχύς Όρια φόρτισης Μαθηματική ανάλυση ευστάθειας Ποιοτική θεωρία διαφορικών εξισώσεων Βραχυπρόθεσμο μοντέλο Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα - Ρυθμοί απόκρισης Επισκόπηση Βιβλιογραφίας Περιγραφή της διπλωματικής εργασίας Αντικείμενο Διάρθρωση κεφαλαίων ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Εισαγωγή Παράσταση ΣΗΕ Παράσταση Γραμμών Μεταφοράς Παράσταση Μετασχηματιστή ρύθμισης Παράσταση Γεννητριών Παράσταση Φορτίων Εξισώσεις ροών φορτίου Εξισώσεις ροών φορτίου σε υβριδική μορφή Μέθοδος Newton-Raphson Γενικά Μέθοδος Newton-Rapshon σε υβριδική μορφή Μέθοδος Συνέχειας για τον προσδιορισμό των ορίων φόρτισης Μέθοδος Συνέχειας Προσδιορισμός των ορίων φόρτισης Επέκταση μεθόδου συνέχειας στα αρνητικά φορτία

11 3 ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΥΟ ΦΟΡΤΙΩΝ ΧΩΡΙΣ ΩΜΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Περιγραφή συστήματος Εξισώσεις του δικτύου PV καμπύλες Εγγύς και απομακρυσμένος ζυγός φορτίου Επέκταση PV καμπυλών στα αρνητικά φορτία Επιφάνεια ορίων φόρτισης Ιδιότητες επιφανειών ορίων φόρτισης Συμμετρία Ομαλότητα Κυρτότητα Λύσεις χαμηλών τάσεων (δευτερευουσών λύσεων) στον εγγύς ζυγό φορτίου ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΥΟ ΦΟΡΤΙΩΝ ΜΕ ΩΜΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ Περιγραφή συστήματος Εξισώσεις του δικτύου PV καμπύλες Επέκταση PV καμπυλών στα αρνητικά φορτία Επιφάνεια ορίων φόρτισης Λύσεις χαμηλών τάσεων (δευτερευουσών λύσεων) στον εγγύς ζυγό φορτίου ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΜΙΚΡΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 2 ΦΟΡΤΙΩΝ Γραμμικοποίηση στο σύστημα των 2 φορτίων Μελέτη ευστάθειας στο σύστημα των 2 φορτίων χωρίς ωμικές απώλειες Μελέτη ευστάθειας στο σύστημα των 2 φορτίων με ωμικές απώλειες Μελέτη ευστάθειας στο σύστημα των 2 φορτίων χωρίς ωμικές απώλειες κοντά στο όριο φόρτισης H138 59H5.5 Μελέτη ευστάθειας στο σύστημα των 2 φορτίων με ωμικές απώλειες κοντά στο όριο φόρτισης H140 60H6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ H145 61H6.1 Συμπεράσματα H145 62H6.2 Προοπτικές H148 11

12 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΙΑΚΩΒΙΑΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Α1. Σύστημα χωρίς ωμικές απώλειες Α2. Σύστημα με ωμικές απώλειες Α3. Επίδραση αγωγιμοτήτων φορτίων (γραμμικοποίηση)

13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 13

14 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας Σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας (ΣΗΕ) ονομάζουμε το σύνολο των εγκαταστάσεων και μέσων που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή, μεταφορά και διανομή ηλεκτρικής ενέργειας στις περιοχές κατανάλωσης [1]. H καλή λειτουργία ενός ΣΗΕ συνίσταται στην παροχή ηλεκτρικής ενέργειας όπου και όταν υπάρχει ζήτηση, συνδυάζοντας την υψηλή αξιοπιστία με το ελάχιστο δυνατό οικονομικό και οικολογικό κόστος. Η ηλεκτρική ενέργεια που παρέχει το σύστημα πρέπει να ικανοποιεί ορισμένες ποιοτικές προδιαγραφές, όπως σταθερή τιμή συχνότητας και τάσης τροφοδότησης. Σύμφωνα με τα παραπάνω τα συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας μπορούν να διακριθούν σε τρεις ξεχωριστές φάσεις: την παραγωγή, την μεταφορά και την διανομή. Επειδή η ηλεκτρική ενέργεια δεν μπορεί να αποθηκευτεί, πρέπει να παράγεται τη στιγμή ακριβώς που υπάρχει ζήτηση από τους καταναλωτές και επομένως βρίσκεται σε συνεχή ροή στα δίκτυα των ΣΗΕ. Το σύστημα παραγωγής περιλαμβάνει τους σταθμούς παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας και τους υποσταθμούς ανυψώσεως της τάσης για την μεταφορά της. Στη φάση της παραγωγής πραγματοποιείται η μετατροπή μιας μορφής πρωτογενούς ενέργειας σε μηχανική και στη συνέχεια σε ηλεκτρική μέσω των γεννητριών. Το σύστημα μεταφοράς περιλαμβάνει τα δίκτυα των γραμμών υψηλής τάσης, τους υποσταθμούς ζεύξεως των δικτύων, τους υποσταθμούς μετασχηματισμού μεταξύ των διαφόρων επιπέδων τάσεως του δικτύου και τους υποσταθμούς υποβιβασμού της τάσεως σε μέση τάση. Το δίκτυο μεταφοράς εκτός από το να μεταφέρει ηλεκτρική ενέργεια από τους σταθμούς παραγωγής στις περιοχές κατανάλωσης, διασυνδέει τους σταθμούς παραγωγής αλλά και διαφορετικά ΣΗΕ μεταξύ τους. Το σύστημα μεταφοράς θα πρέπει να παρέχει σταθερή (ή σχεδόν σταθερή) ημιτονοειδή τάση με σταθερή συχνότητα και οι τάσεις των τριών φάσεων θα πρέπει να βρίσκονται σε συμμετρία. Επίσης θα πρέπει περιορίζονται οι επιδράσεις του συστήματος σε άλλες εγκαταστάσεις, τηλεφωνικές, τηλεγραφικές ή ραδιοφωνικές, λόγω ηλεκτρικών ή μαγνητικών παρεμβολών. Η μεταφορά της ηλεκτρικής ενέργειας πραγματοποιείται σε υψηλές τάσεις, διότι συνεπάγεται μικρότερες ηλεκτρικές απώλειες και επομένως πιο οικονομική λειτουργία. Ανάλογα με την απόσταση και τη μεταφερόμενης ισχύ χρησιμοποιούνται διάφορα επίπεδα τάσεων κατά το στάδιο της μεταφοράς. Ενδεικτικά αναφέρονται οι τιμές : 66 kv, 11 kv, 132 kv, 138 kv, 150 kv, 220 kv (υψηλές τάσεις), 275 kv, 345 kv, 400 kv, 500 kv (υπερυψηλές τάσεις), 750 kv και πειραματικά 1100 kv και 1500 kv (εξαιρετικά υψηλές τάσεις). Σε ορισμένες περιπτώσεις χρησιμοποιείται και συνεχές ρεύμα υψηλής τάσης, επειδή παρουσιάζει κάποια πλεονεκτήματα, κυρίως στη μεταφορά μέσω καλωδίων όπως π.χ. στα υποβρύχια καλώδια που χρησιμοποιούνται για την παροχή 14

15 ηλεκτρικής ενέργειας σε νησιά του Αιγαίου. Τα δίκτυα μεταφοράς οργανώνονται κατά κανόνα σε βροχοειδή διάταξη, ώστε να δημιουργούνται περισσότεροι συνδυασμοί διαδρομών της ενέργειας και να επιτυγχάνεται καλύτερη οικονομία λειτουργίας. Τα δίκτυα διανομής περιλαμβάνουν τις γραμμές μέσης και χαμηλής τάσης, μέσω των οποίων η ηλεκτρική ενέργεια φτάνει στους τελικούς καταναλωτές και τους υποσταθμούς υποβιβασμού ΥΤ/ΜΤ και ΜΤ/ΧΤ. Τα δίκτυα διανομής μπορεί να είναι υπόγεια (π.χ. σε πυκνοκατοικημένα αστικά κέντρα) ή εναέρια. Η διάταξή τους είναι συνήθως βροχοειδής, αλλά λειτουργούν ακτινικά Ευστάθεια Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Τα ΣΗΕ είναι δυναμικά μη γραμμικά συστήματα τα οποία υφίστανται συνεχώς διάφορες μικρές ή σοβαρότερες διαταραχές προερχόμενες από μεταβολές της ζήτησης και της παραγωγής, από διακοπές ή ζεύξεις στοιχείων του συστήματος, καθώς και από βραχυκυκλώματα ή άλλα σφάλματα [1]. Η μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς των δικτύων καλύπτει μια μεγάλη περιοχή φαινόμενων διαφορετικής φύσεως: ηλεκτρικά, μηχανικά και θερμικά φαινόμενα. Η μεταβατική συμπεριφορά του συστήματος διαρκεί χρονικά από μερικά χιλιοστά του δευτερολέπτου (υπερτάσεις χειρισμών, γραμμών ή καλωδίων) έως πολλά λεπτά (φαινόμενα μεταβολής της συχνότητας και ανταλλαγής ισχύος μεταξύ διασυνδεδεμένων δικτύων ή φαινόμενα τάσεως). Η ευστάθεια αποτελεί μία από τις βασικές ιδιότητες που πρέπει να διέπει την λειτουργία ενός ΣΗΕ. Η απαίτηση για ευστάθεια είναι περισσότερο επιτακτική όσο πιο εκτεταμένο είναι το σύστημα και όσες περισσότερες διασυνδέσεις έχει με γειτονικά συστήματα. Το σύστημα χαρακτηρίζεται γενικά ευσταθές, όταν υφιστάμενο διαταραχή από οποιαδήποτε αιτία, ενώ λειτουργεί σε ορισμένη μόνιμη κατάσταση, τείνει να επανέλθει σε μόνιμη κατάσταση λειτουργίας ίδια ή παρόμοια με την αρχική. Ως μόνιμη κατάσταση λειτουργίας ορίζεται μια συνήθης κατάσταση λειτουργίας του συστήματος κατά την οποία εκτελεί τον προορισμό του, δηλαδή παράγει, μεταφέρει και διανέμει σε κάθε στιγμή την ζητούμενη κατανάλωση. Διακρίνονται τα εξής είδη ευστάθειας: Η ευστάθεια μονίμου καταστάσεως ή σημείου λειτουργίας που σχετίζεται με την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας και αφορά την απόκριση του συστήματος σε αργές και βαθμιαίες (μικρές) διαταραχές. Επίσης ονομάζεται στατική ευστάθεια ή ευστάθεια μικρών διαταραχών. Η στατική ευστάθεια εξαρτάται από το εξεταζόμενο σημείο λειτουργίας, αλλά όχι από τη διαταραχή, που θεωρείται απείρως μικρή κατά την ανάλυση ευστάθειας. Για την ανάλυση της στατικής ευστάθειας μπορεί το σύστημα να γραμμικοποιηθεί γύρω 15

16 από το εξεταζόμενο σημείο λειτουργίας και να χρησιμοποιηθούν τεχνικές ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Η μεταβατική ευστάθεια ή ευστάθεια μεγάλων διαταραχών που αναφέρεται στην απόκριση του συστήματος σε μεγάλες (σοβαρές) και απότομες διαταραχές (συνήθεις διαταραχές αυτού του τύπου είναι και τα βραχυκυκλώματα). Η μεταβατική ευστάθεια εξετάζει αν ένα σύστημα ηλεκτρικής ενέργειας είναι σε θέση να επανέρθει σε κανονική λειτουργία μετά από μια συγκεκριμένη μεγάλη διαταραχή και άρα εξαρτάται από το μέγεθος και το είδος της διαταραχής. Επίσης μπορούν να κατηγοριοποιηθούν τα φαινόμενα αστάθειας σε ένα ΣΗΕ ανάλογα με την φύση των εμπλεκόμενων φαινόμενων. Συνεπώς διακρίνονται οι παρακάτω κατηγορίες ευστάθειας: Η ευστάθεια γωνίας δρομέα αναφέρεται στην ικανότητα ενός συνόλου συνδεδεμένων σύγχρονων μηχανών να παραμένουν σε συγχρονισμό μετά από την υποβολή τους σε κάποια διαταραχή. Αστάθεια εμφανίζεται στη μορφή μη αποσβενυόμενων ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων (στατική αστάθεια) ή μονότονης επιτάχυνσης του δρομέα που οδηγεί σε απώλεια συγχρονισμού (μεταβατική αστάθεια). Το χρονικό πλαίσιο της ευστάθειας γωνίας είναι αυτό των ηλεκτρομηχανικών φαινόμενων, με διάρκεια μερικών δευτερολέπτων και άρα τα φαινόμενα αστάθειας γωνίας κατατάσσονται στη βραχυπρόθεσμη χρονική κλίμακα. Η ευστάθεια συχνότητας αντιστοιχεί στην ικανότητα του συστήματος να διατηρεί τη συχνότητα κοντά στην ονομαστική τιμή μετά από μια σοβαρή διαταραχή (μεταβατική ευστάθεια). Αστάθεια συχνότητας προκαλείται λόγω αναντιστοιχίας μεταξύ της παραγόμενης και της καταναλισκόμενης ενεργού ισχύος. Σε μεγάλα διασυνδεδεμένα ΣΗΕ, η εμφάνιση αστάθειας συχνότητας είναι πιθανή μόνο σε «νησιδοποιημένα» τμήματα του συστήματος μετά από μεγάλη διαταραχή. Η ευστάθεια τάσεως αναφέρεται στην ικανότητα ενός συστήματος να διατηρήσει ικανοποιητικές τάσεις σε όλους τους ζυγούς μετά από μια διαταραχή. Αστάθεια τάσης προκαλείται από την αδυναμία του συστήματος να τροφοδοτήσει την απαιτούμενη ισχύ στα φορτία και κινητήρια δύναμή της αποτελούν οι μηχανισμοί αποκατάστασης φορτίου. Αστάθεια τάσης μπορεί επίσης να προκληθεί με την επίδραση μικρών (στατική) ή μεγάλων διαταραχών (μεταβατική). Ένα Σύστημα Ηλεκτρικής Ενέργειας διατρέχει μεγαλύτερο κίνδυνο απώλειας της ευστάθειας λειτουργίας του όσο αυξάνεται το φορτίο του. Στις μέρες μας η διαρκής αύξηση των αναγκών σε ηλεκτρική ενέργεια θα έπρεπε να επιβάλλει την αύξηση της ικανότητας μεταφοράς των ηλεκτρικών δικτύων. Ωστόσο λόγω οικονομικών και περιβαλλοντικών περιορισμών δυσχεραίνεται η κατασκευή νέων γραμμών μεταφοράς, για την ικανοποίηση των αυξημένων ενεργειακών απαιτήσεων. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την εντατικότερη χρήση των ήδη διαθέσιμων δικτύων ΣΗΕ. 16

17 Σαν συνέπεια της λειτουργίας των δικτύων υπό εντατικότερες συνθήκες εμφανίστηκαν νέες μορφές ασταθούς συμπεριφοράς στα ΣΗΕ. Κύριο χαρακτηριστικό αυτών των νέων φαινόμενων αστάθειας είναι η βαθμιαία βύθιση της τάσης, που μπορεί να καταλήξει και σε απότομη κατάρρευση. Αν και το πρόβλημα εντοπίζεται συνήθως σε έναν αριθμό ζυγών του δικτύου δεν λείπουν και οι περιπτώσεις όπου επεκτείνεται και στο υπόλοιπο σύστημα. Τα φαινόμενα αυτά περιλαμβάνονται στην έννοια της «αστάθειας τάσεως» που αναφέρθηκε παραπάνω. Στη συνέχεια δίνεται ένας γενικός ορισμός της έννοιας αυτής. Η αστάθεια τάσεως πηγάζει από την απόπειρα των δυναμικών φορτίου να αποκαταστήσουν την κατανάλωση ισχύος πέρα από την ικανότητα φόρτισης του συνδυασμένου συστήματος παραγωγής και μεταφοράς. Συνεπώς η αστάθεια τάσεως σχετίζεται με το όριο της μέγιστης μεταφερόμενης ισχύος σε ένα σημείο του δικτύου Ηλεκτρικής Ενέργειας. Μετά την υπέρβαση του ορίου αυτού η διαδικασία ανάκτησης της ισχύος του φορτίου γίνεται ασταθής, καταλήγοντας σε μείωση αντί για αύξηση της απορροφημένης ισχύος. Η διαδικασία αυτή αποτελεί την κύρια αιτία των προβλημάτων αστάθειας τάσεως. Για το λόγο αυτό τα φαινόμενα αυτά αναφέρονται και ως αστάθεια φορτίου. Η αστάθεια τάσης επομένως συνδέεται με την δυναμική φύση των φορτίων του συστήματος. Πολλά είδη φορτίων, όπως οι κινητήρες επαγωγής ή τα θερμοστατικά φορτία, έχουν την τάση να αποκαθιστούν την απορροφημένη ισχύ τους ύστερα από μια διαταραχή στο δίκτυο, που μειώνει την τάση τροφοδοσίας τους και άρα και την καταναλισκόμενη ισχύ. Παρόμοια αποτελέσματα επιφέρει έμμεσα και η λειτουργία διατάξεων όπως τα Συστήματα Αλλαγής Τάσης υπό Φορτίο (ΣΑΤΦ), τα οποία επαναφέρουν την τάση στους ζυγούς του φορτίου αποκαθιστώντας έτσι και την ισχύ, λόγω της εξάρτησής της από την τάση. Η εξέλιξη της αστάθειας τάσεως ενός συστήματος μπορεί να έχει διάρκεια από μερικά δευτερόλεπτα έως και μερικές δεκάδες πρώτων λεπτών. Άρα μπορεί να οριστεί ένας ακόμα διαχωρισμός στην αστάθεια τάσης ως προς τη χρονική κλίμακα εξέλιξης των φαινόμενων που την προκαλούν. Διακρίνεται η βραχυπρόθεσμη αστάθεια τάσης, που σχετίζεται με δυναμικά φορτία γρήγορης απόκρισης, όπως οι κινητήρες επαγωγής, και η μακροπρόθεσμη αστάθεια τάσης που συνδέεται με πιο βραδεία φαινόμενα αποκατάστασης ισχύος φορτίου, όπως είναι στα ΣΑΤΦ και στα θερμοστατικά φορτία. Η αστάθεια τάσης καταλήγει συνήθως σε μία από τις ακόλουθες περιπτώσεις : Μια μόνιμη κατάσταση λειτουργίας σε χαμηλό έως απαράδεκτο επίπεδο τάσεων στο σύστημα μεταφοράς, που προφανώς δεν αντιστοιχεί σε μία αποδεκτή μόνιμη κατάσταση. Η κατάσταση εμφανίζεται συνήθως όταν οι μηχανισμοί που συνεισφέρουν στην αστάθεια συναντούν τα όρια λειτουργίας τους (για παράδειγμα το περιθώριο ρύθμισης των ΣΑΤΦ των μετασχηματιστών). 17

18 Μια επιτάχυνση του φαινόμενου που οδηγεί στην απότομη βύθιση των τάσεων στην περιοχή εμφάνισης του προβλήματος. Η κατάληξη αυτή ονομάζεται κατάρρευση τάσεως και έχει σαν αποτέλεσμα την μερική ή ολική σβέση του συστήματος. Κοντά στο σημείο κατάρρευσης, η χρονική απόκριση των τάσεων γίνεται ολοένα και πιο γρήγορη και καταλήγει σε μια κατακόρυφη πτώση τη χρονική στιγμή της κατάρρευσης. Δηλαδή στο σημείο της κατάρρευσης έχουμε μια ασυνέχεια στη λειτουργία του συστήματος, οφειλόμενη στη συνεχή δυναμική του συστήματος και όχι σε εξωτερικά αίτια. Η έννοια της κατάρρευσης έχει αποδίδεται συνοπτικά με τον παρακάτω ορισμό : Ο όρος κατάρρευση χρησιμοποιείται για μια απότομη (πρακτικά ακαριαία) καταστροφική μετάβαση της κατάστασης ενός συστήματος, η οποία οφείλεται συνήθως σε εμφάνιση αστάθειας πιο γρήγορης χρονικής κλίμακας από την εξεταζόμενη. 1.2 Όρια φόρτισης Αρχικά, πριν την εξεταστούν τα όρια φόρτισης μελετάται ο ρόλος της μέγιστης μεταφερόμενης ισχύος, η οποία σε κάποιες περιπτώσεις ταυτίζεται με τα όρια φόρτισης [1,2,3]. Εξάλλου η αστάθεια τάσης πηγάζει από την προσπάθεια των φορτίων να απορροφήσουν περισσότερη ισχύ από όση το σύστημα (παραγωγή και διανομή) μπορεί να προσφέρει Μέγιστη Μεταφερόμενη Ισχύς Θεωρείται μια γενική περίπτωση ενός συστήματος δύο ζυγών το οποίο απεικονίζεται στο Σχήμα 1.1. Στο σύστημα αυτό των δύο ζυγών ο ζυγός φορτίου τροφοδοτείται από έναν άπειρο ζυγό διαμέσου μιας γραμμής μεταφοράς με σύνθετη αντίσταση: Z = R + jx (1.1) Έστω ότι το φορτίο συμπεριφέρεται ως σύνθετη αντίσταση. Η επιλογή αυτή θα φανεί στη συνέχεια ότι δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα της ανάλυσης. Η σύνθετη αντίσταση του φορτίου δίνεται από τη σχέση: Z l = R l + jx l (1.2) 18

19 Ε 0 o R Χ V I P,Q Σχήμα 1.1: Σύστημα άπειρου ζυγού - απομονωμένου φορτίου Το ρεύμα I, που διέρχεται από τη γραμμή μεταφοράς, δίνεται από τη σχέση: I = ( R + R ) + j( X + X ) l E l (1.3) Η αποδιδόμενη ενεργός ισχύς στο φορτίο είναι: P = R I = 2 2 l l 2 2 ( R + R ) + ( X + X ) l RE l (1.4) Οι αναγκαίες συνθήκες ακροτάτου της σχέσης (1.4) ως προς τις μεταβλητές R, l X l είναι: P = 0 R l (1.5α) P = 0 X l (1.5β) Από τις παραπάνω συνθήκες και μετά από υπολογισμούς προκύπτει: 2 2 ( ) ( ) ( ) R + R + X + X - 2R R + R = 0 (1.6) l l l l ( ) Η λύση των παραπάνω εξισώσεων, με τον περιορισμό 2R R + R = 0 (1.7) l l R l > 0, είναι μοναδική: R l = R X l = -X (1.8α) (1.8β) Η παραπάνω σχέσεις (1.8α) και (1.8β) γράφονται ισοδύναμα σε μιγαδική μορφή ως: 19

20 * Z l = Z (1.9) Στην περίπτωση αυτή το ακρότατο που παρουσιάζει η σχέση (1.4) στο σημείο μηδενισμού της παραγώγου της είναι μέγιστο. Δηλαδή: Η ισχύς του φορτίου μεγιστοποιείται όταν η σύνθετη αντίσταση του φορτίου γίνει ίση με το συζυγή της σύνθετης αντίσταση της γραμμής μεταφοράς. Η παραπάνω συνθήκη αποτελεί το θεώρημα Μέγιστης Μεταφερόμενης Ισχύος που διέρχεται από μία γραμμή μεταφοράς. Κάτω από τις συνθήκες μέγιστης ισχύος, η σύνθετη αντίσταση που «βλέπει» η πηγή τάσης είναι R + R l + j( X + X l) = 2R, δηλαδή είναι αμιγώς ωμική και η πηγή δεν παράγει καθόλου άεργο ισχύ. Στην περίπτωση αυτή η μέγιστη μεταφερόμενη ισχύς με βάση τη σχέση (1.4) είναι: 2 E P = (1.10) 4R max ενώ η τάση στο ζυγό φορτίου δίνεται από τη σχέση : E V = (1.11) 2 maxp Ωστόσο η περίπτωση χωρίς περιορισμούς που εξετάστηκε παραπάνω δεν βρίσκει εφαρμογή στα ηλεκτρικά συστήματα. Αυτό καταρχήν οφείλεται στο γεγονός ότι στα συστήματα μεταφοράς η αντίσταση R είναι εν γένει πολύ μικρή σε σχέση με την επαγωγική αντίδραση X. Αν η αντίσταση R τείνει στο μηδέν, η βέλτιστη αντίσταση του φορτίου σύμφωνα με την σχέση (1.8α) τείνει επίσης στο μηδέν, ενώ η μέγιστη μεταφερόμενη ισχύς σύμφωνα με την σχέση (1.10) τείνει στο άπειρο. Τα δύο αυτά αποτελέσματα φαίνονται αντίθετα. Ωστόσο καθώς οι R, R l τείνουν στο μηδέν, το ρεύμα I 2 τείνει στο άπειρο (εφόσον X + X l = 0 ) και το ίδιο ισχύει για την ισχύ RI l. Επομένως είναι προφανές ότι πρόκειται μια μη ρεαλιστική περίπτωση. Ακόμα και στην περίπτωση που ληφθεί υπόψη μια μη μηδενική αντίσταση R για την γραμμή μεταφοράς, ένας δεύτερος λόγος που καθιστά μη εφαρμόσιμη την παραπάνω ανάλυση αφορά το γεγονός ότι απαιτείται ένα εξαιρετικά χωρητικό φορτίο για να αντισταθμίσει την κυρίαρχη επαγωγική φύση της σύνθετης αντίστασης του συστήματος. Για τους λόγους αυτούς εξάγεται στη συνέχεια μια τροποποιημένη έκφραση του θεωρήματος μέγιστης μεταφερόμενης ισχύος υποθέτοντας ότι το φορτίο χαρακτηρίζεται από σταθερό συντελεστή ισχύος. 20

21 Σταθερός συντελεστής ισχύος Έστω ότι το φορτίο μεταβάλλεται με σταθερό συντελεστή ισχύος cosφ [2,3]. Στην περίπτωση αυτή η σύνθετη αντίσταση του φορτίου λαμβάνει την ακόλουθη μορφή: l l l l ( ) Z = R + jx = R 1 + jtanφ (1.12) Το ρεύμα Ι που διέρχεται από τη γραμμή μεταφοράς, και η αποδιδόμενη ενεργός ισχύς στο φορτίο δίνονται τώρα αντίστοιχα από τις ακόλουθες σχέσεις: I = ( R + R ) + j( X + R tanφ) l E l (1.13) P = R I = 2 2 l l 2 2 ( R + R ) + ( X + R tanφ) l RE l (1.14) Η αναγκαία συνθήκη ακροτάτου της σχέσης (1.14) ως προς την μεταβλητή R l είναι: P = 0 R l (1.15) Από την παραπάνω συνθήκη προκύπτει: που ισοδύναμα γράφεται: ( ) l ( ) R + X - R 1 + tan φ = 0 (1.16) Z l = Z (1.17) Η δεύτερη παράγωγος της σχέσης (1.14) δίνεται από τη σχέση: 2 P = -2R 2 2 l ( 1 + tan φ ) < 0 R 2 l (1.18) η οποία είναι πάντα αρνητική, πράγμα το οποίο σημαίνει ότι η σχέση (1.14) παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο μηδενισμού της παραγώγου της. Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι: Για σταθερό συντελεστή ισχύος, η ισχύς του φορτίου μεγιστοποιείται όταν η σύνθετη αντίσταση του φορτίου γίνει ίση με τη σύνθετη αντίσταση της γραμμής μεταφοράς. 21

22 Η παραπάνω συνθήκη αποτελεί το θεώρημα Μέγιστης Μεταφερόμενης Ισχύος που διέρχεται από μία γραμμή μεταφοράς στην περίπτωση φορτίου με σταθερό συντελεστή ισχύος. Με αντικατάσταση της σχέσης (1.16) στην (1.14) προκύπτει ότι η Μέγιστη Μεταφερόμενη Ισχύς δίνεται από την σχέση : 2 P = 1 E cosφ max 2 R 2 + X 2 + Rcosφ + Xsinφ (1.19) ενώ η τάση V maxp στο ζυγό φορτίου από τη σχέση : V = maxp 1 E 2 Rcosφ + Xsinφ R + X (1.20) Στο σημείο μέγιστης ισχύος η αντίσταση και η αντίδραση του φορτίου δίνονται από τις σχέσεις: 2 2 R lmaxp = Z cosφ = R + X cosφ (1.21α) X = Z sinφ = R tanφ (1.21β) lmaxp lmaxp Στο Σχήμα 1.2 παριστάνεται η ενεργός ισχύς που αποδίδεται στο φορτίο συναρτήσει της ωμικής αντίστασης του φορτίου R l για σταθερό συντελεστή ισχύος. Ξεκινώντας από το κενό φορτίο ( R l ) και αυξάνοντας την αγωγιμότητα (ελαττώνοντας την R l ) η τάση φορτίου πέφτει ενώ το ρεύμα αυξάνεται. Όσο η R l 2 παραμένει μεγαλύτερη από την R lmaxp, η αύξηση στο I υπερβαίνει την μείωση της R l και επομένως η ισχύς που απορροφά το φορτίο αυξάνει. Στη συνέχεια παραπέρα αύξηση της αγωγιμότητας του φορτίου συνεπάγεται μείωση της καταναλισκόμενης ισχύος. Τέλος, στο βραχυκύκλωμα ( R = 0) η ισχύς μηδενίζεται. l Γραμμή χωρίς απώλειες Στην ειδική περίπτωση που η γραμμή μεταφοράς έχει αμελητέες ωμικές απώλειες R = 0, οι σχέσεις (1.19),(1.20) και (1.21α) παίρνουν την απλούστερη μορφή [2,3]: R lmaxp = Xcosφ (1.22) 22

23 max 2 Ecosφ P = 2X 1 + sinφ (1.23) ( ) V = maxp E sinφ (1.24) Στην ακόμα πιο ειδική περίπτωση του καθαρά ωμικού φορτίου όπου cosφ = 1 είναι: R lmaxp = X (1.25) 2 E P = (1.26) 2X max V = maxp E 2 (1.27) 1.0 I V V maxp P max P l R lmaxp Βραχυκύκλωμα R l Κενό φορτίο Σχήμα 1.2: Ενεργός ισχύς P συναρτήσει της αντίστασης R l του φορτίου Ένα σημαντικό συμπέρασμα που προκύπτει από τις σχέσεις (1.19) και (1.23) είναι ότι η μέγιστη αποδιδόμενη ισχύς στο φορτίο εξαρτάται μόνο από τις παραμέτρους του δικτύου (R, X) και όχι από τη χαρακτηριστική του φορτίου (την εξάρτηση δηλαδή του φορτίου από την τάση). 23

24 1.2.2 Χαρακτηριστικές φορτίου Η χαρακτηριστική φορτίου, είναι μία σχέση που εκφράζει την εξάρτηση της ενεργού και άεργου ισχύος του φορτίου από την τάση V του ζυγού στον οποίο συνδέεται και από μία αδιάστατη μεταβλητή z, που καλείται ζήτηση φορτίου (load demand). Οι χαρακτηριστικές του φορτίου δίνονται από σχέσεις της μορφής [1,2,3]: P = P( z,v ) (1.28) Q = Q( z,v ) (1.29) Η διάκριση ανάμεσα στην πραγματικά καταναλισκόμενη ισχύ φορτίου P, Q και στη ζήτηση του φορτίου z είναι αναγκαία για να γίνει κατανοητός ένας βασικός μηχανισμός αστάθειας μέσω του οποίου αυξανόμενη ζήτηση μπορεί να οδηγήσει σε μείωση της κατανάλωσης του φορτίου ( R > R lmaxp στο Σχήμα 1.2). Στην ανάλυση των ΣΗΕ χρησιμοποιούνται διάφορες χαρακτηριστικές φορτίου Χαρακτηριστική δικτύου Η χαρακτηριστική δικτύου είναι μια σχέση που εκφράζει την εξάρτηση των διαφόρων μεγεθών (συνήθως της τάσεως ενός ζυγού) του συστήματος από την καταναλισκόμενη ισχύ ενός φορτίου (ενεργού ή άεργου) [2,3]. Η χαρακτηριστική δικτύου χαράσσεται με βάση τις εξισώσεις που εκφράζουν το ισοζύγιο ισχύος στο δίκτυο (εξισώσεις ροής ισχύος) και τις συνθήκες ισορροπίας των διατάξεων του συστήματος για διάφορες τιμές του φορτίου. Από το σύστημα των δύο ζυγών του Σχήμα 1.1, στη γενική περίπτωση όπου δεν αμελείται η αντίσταση R της γραμμής μεταφοράς, προκύπτει: V = E - ( R + jx) I (1.30) Η μιγαδική ισχύς που καταναλώνει το πρωτεύον του ιδανικού μετασχηματιστή είναι : * * * E - V S = P + jq = VI = V R - jx Ecosθ + jesinθ - V = V R - jx (1.31) = V ( Ecosθ + jesinθ - V)( R + jx) R + X

25 Η εξίσωση αυτή αναλύεται ως ακολούθως: ERcosθ - EXsinθ - VR P = V 2 2 R + X EXcosθ + ERsinθ - VX Q = V 2 2 R + X (1.32α) (1.32β) Αυτές είναι οι εξισώσεις ροής ισχύος για το σύστημα των δύο ζυγών. Για δεδομένο φορτίο (P, Q), οι εξισώσεις αυτές λύνονται ως προς τα μεγέθη V, θ οπότε όλες οι υπόλοιπες μεταβλητές του συστήματος μπορούν να υπολογιστούν όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο. Απαλείφοντας τη γωνία θ από τις σχέσεις (1.31), (1.32α) και (1.32β) προκύπτει η κλασική διτετράγωνη εξίσωση: ( V ) + ( 2PR + 2QX - E ) V + ( P + Q )( R + X ) = 0 (1.33) Η συνθήκη η οποία εξασφαλίζει την ύπαρξη πραγματικών λύσεων του τριωνύμου (1.33) είναι: ( 2PR + 2QX - E ) - 4( P + Q )( R + X ) 0 (1.34) η οποία μετά από υπολογισμούς καταλήγει στην ακόλουθη σχέση: E 2Q E R 2 E -P - R - P - Q - Q X X X X 2X 2 (1.35) Η ισότητα στην παραπάνω σχέση (1.35) αντιστοιχεί σε μια παραβολή στο επίπεδο (P, Q), όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.3. Όλα τα σημεία στο εσωτερικό της παραβολής ικανοποιούν την σχέση (1.35) και επομένως αντιστοιχούν σε 2 λύσεις της ροής φορτίου. Εξωτερικά της παραβολής δεν υπάρχει λύση ενώ πάνω στην παραβολή υπάρχει μία μόνο λύση. Η παραβολή του Σχήματος 1.3 είναι ο χώρος όλων των σημείων μέγιστης ισχύος. Σημεία με αρνητική ισχύ Ρ αντιστοιχούν σε μέγιστη παραγωγή ενώ κάθε σημείο με θετική ισχύ Ρ αντιστοιχεί σε ένα μέγιστο φορτίο για δεδομένο συντελεστή ισχύος, όπως εξήχθη στην προηγούμενη ενότητα. 25

26 Ειδικά στην περίπτωση όπου αμελούνται οι απώλειες στην γραμμή μεταφοράς (R = 0) η παραπάνω σχέση (1.35) γίνεται: E R 2 E -P - Q - Q X X 2X 2 (1.36) και αντιστοιχεί στη διακεκομμένη παραβολή στο Σχήμα Καμία λύση R=0 Q R=X/4 2 λύσεις P Σχήμα 1.3: Χώρος ύπαρξης λύσεων των εξισώσεων ροής ισχύος Από το Σχήμα 1.3 παρατηρούμε επίσης ότι η περιοχή λύσεων στην περίπτωση γραμμής χωρίς απώλειες είναι συμμετρική ως προς τον Q άξονα. Με άλλα λόγια, η μέγιστη εγχυόμενη ισχύς στο φορτίο είναι ακριβώς ίση με την μέγιστη ισχύ που μπορεί να απορροφηθεί. Ωστόσο η συμμετρία αυτή εξαφανίζεται στην περίπτωση που ληφθεί υπόψη η αντίσταση R. Θέτοντας P = 0 στην σχέση (1.36) προκύπτει: Q 2 E (1.37) 4X 2 Ας σημειωθεί ότι E X είναι η ισχύς βραχυκυκλώσεως στο ζυγό του φορτίου, που σημαίνει ότι το μέγιστο καθαρά άεργο φορτίο είναι ίσο με το ένα τέταρτο της ισχύος βραχυκυκλώσεως. Παρομοίως θέτοντας Q = 0 προκύπτει: 26

27 P 2 E (1.38) 2X που αντιστοιχεί στο ήμισυ της ισχύος βραχυκυκλώσεως και είναι ίδια με αυτήν που εξήχθη στην προηγούμενη περίπτωση για μια γραμμή μεταφοράς χωρίς απώλειες για φορτίο με μοναδιαίο συντελεστή ισχύος. Με βάση τα παραπάνω προκύπτει μία θεμελιώδης διαφορά ανάμεσα στην ενεργό και στην άεργο ισχύ. Οποιαδήποτε ενεργός ισχύ μπορεί να καταναλωθεί αρκεί να παρέχεται η απαραίτητη άεργος ισχύ στο ζυγό του φορτίου (Q < 0), ενώ η άεργος ισχύς δεν μπορεί να υπερβαίνει ποτέ μία μέγιστη τιμή όπως δίνεται από τις σχέσεις (1.36) και (1.37). Η διαφορά προέρχεται από την επαγωγική φύση του συστήματος μεταφοράς και απεικονίζει την δυσκολία της μεταφοράς μεγάλων ποσοτήτων άεργου ισχύος. Ας σημειωθεί ότι στην πράξη η μεγάλη παροχή άεργου ισχύος που απαιτείται για μεγάλες τιμές ενεργού ισχύος θα οδηγήσει τελικά σε μη αποδεκτή υψηλή τάση στο ζυγό φορτίου. Εφόσον η ανισότητα (1.35) ισχύει, από την σχέση (1.33) προκύπτουν δύο λύσεις για την τάση V οι οποίες δίνονται από την ακόλουθη σχέση: E E V = - Q X ± - X P - XE Q (1.39) Η σχέση (1.39) ορίζει μια δισδιάστατη επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο (P, Q,V), η οποία φαίνεται στο Σχήμα 1.4 (σημειώνεται ότι για λόγους ευκρίνειας της γεωμετρίας της επιφάνειας αυτής έχουν επιλεγεί οι άξονες όπως φαίνεται στο σχήμα). Το επάνω μέρος αυτής της επιφάνειας αντιστοιχεί στις λύσεις με θετικό πρόσημο της εξίσωσης (1.39), δηλαδή στις υψηλές τάσεις, ενώ το κάτω μέρος της επιφάνειας αντιστοιχεί στις λύσεις της εξίσωσης με το αρνητικό πρόσημο που είναι οι χαμηλές τάσεις. Ο «ισημερινός» αυτής της επιφάνειας, κατά μήκος του οποίου οι δύο λύσεις είναι ίσες αντιστοιχεί σε σημεία μέγιστης μεταφερόμενης ισχύος όπως δίνονται από τις σχέσεις (1.19) και (1.20). Η προβολή αυτής της οριακής καμπύλης πάνω στο επίπεδο (P, Q) συμπίπτει με την παραβολή του Σχήματος

28 1.2 1 tanφ= V / E QX/E PX/E 2 Σχήμα 1.4: Η τάση ως συνάρτηση της ενεργού και άεργου ισχύος Οι «μεσημβρινοί» που φαίνονται με συνεχή γραμμή στο Σχήμα 1.4 αντιστοιχούν σε τομές με τα κάθετα επίπεδα Q = Ptanφ, για φ που μεταβάλλεται μεταξύ -π 8 έως π 2 με βήμα π 16. Προβάλλοντας αυτούς τους μεσημβρινούς στο επίπεδο (P,V) προκύπτουν καμπύλες της τάσης φορτίου ως συνάρτηση της ενεργού ισχύος, για διάφορα tanφ. Οι καμπύλες που προκύπτουν φαίνονται στο Σχήμα 1.5 και είναι γνωστές ως PV καμπύλες. Αυτές οι καμπύλες παίζουν σημαντικό ρόλο στην κατανόηση και την ερμηνεία της αστάθειας τάσης tanφ=-0.41 V P Σχήμα 1.5: Οι καμπύλες PV του συστήματος των δύο ζυγών Παρότι οι PV καμπύλες είναι οι πιο δημοφιλείς, δεν είναι οι μόνες πιθανές προβολές του Σχήματος 1.4 σε ένα επίπεδο. Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν: 28

29 Καμπύλες QV ως προβολή των μεσημβρινών στο επίπεδο (Q,V) Καμπύλες SV θεωρώντας ως τετμημένη στην φαινόμενη ισχύ Καμπύλες QV που αντιστοιχούν σε σταθερή ενεργό ισχύ P Καμπύλες PV που αντιστοιχούν σε σταθερή άεργό ισχύ Q 2 2 S = P + Q Όλες οι παραπάνω καμπύλες έχουν βασικά τη μορφή που φαίνεται στο Σχήμα 1.5, με τη μόνη διαφορά ότι οι καμπύλες που σχεδιάζονται για σταθερό P ή Q δεν περνούν από τη μηδενική τάση (με εξαίρεση την περίπτωση όπου η θεωρούμενη σταθερή ισχύ - ενεργός ή άεργος - ισούται με μηδέν). Από τις καμπύλες του Σχήμα 1.5 επισημαίνονται τα ακόλουθα: 1. Για δεδομένο φορτίο μικρότερο του μέγιστου, υπάρχουν δύο λύσεις: μία με υψηλή τάση και χαμηλό ρεύμα, και μία με χαμηλή τάση και υψηλό ρεύμα. Η πρώτη αντιστοιχεί σε «κανονικές» συνθήκες λειτουργίας, με την τάση V κοντά στην τάση γεννήτριας E. Η παρατεταμένη λειτουργία στην χαμηλή λύση είναι απαράδεκτη. 2. Καθώς το φορτίο ολοένα αντισταθμίζεται (που αντιστοιχεί σε μικρότερα tanφ) η μέγιστη ισχύς αυξάνεται. Ωστόσο, η τάση στην οποία αυτή η μέγιστη ισχύς εμφανίζεται αυξάνεται επίσης. Η κατάσταση αυτή είναι επικίνδυνη με την έννοια ότι η μέγιστη μεταφερόμενη ισχύς μπορεί να προσεγγιστεί σε τάσεις πλησίον των κανονικών τιμών λειτουργίας. Επίσης, για ένα υψηλό βαθμό αντιστάθμισης και μια ισχύ φορτίου κοντά στην μέγιστη, οι δύο λύσεις είναι κοντά μεταξύ τους και χωρίς περαιτέρω ανάλυση μπορεί να είναι δύσκολο να αποφασιστεί αν η δοσμένη λύση είναι η «κανονική». 3. Για υπεραντισταθμισμένα φορτία (tanφ < 0), υπάρχει ένα τμήμα των άνω PV καμπυλών κατά μήκος του οποίου η τάση αυξάνει με την αύξηση της ισχύος του φορτίου. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για αρνητικό tanφ, όταν περισσότερη ενεργός ισχύς καταναλώνεται, περισσότερη άεργος ισχύς παράγεται από το φορτίο. Σε χαμηλά φορτία, η πτώση τάση εξαιτίας της αύξησης της κατανάλωσης εξαλείφεται από την αύξηση της τάσης εξαιτίας της αύξησης της παραγωγής των άεργων. Όσο πιο πολύ αρνητικό είναι το tanφ, τόσο μεγαλύτερο το τμήμα της PV καμπύλης που εμφανίζεται το φαινόμενο αυτό Όριο φόρτισης και Μέγιστη Μεταφερόμενη Ισχύς Στο Σχήμα 1.6 φαίνεται η χαρακτηριστική δικτύου του συστήματος δύο ζυγών του Σχήματος 1.4 (για Q = 0) μαζί με τυπικές χαρακτηριστικές ενεργού φορτίου για διάφορες τιμές της ζήτησης φορτίου z [1,2,3]. Τα σημεία λειτουργίας του συστήματος καθορίζονται από τη τομή της χαρακτηριστικής δικτύου με τη χαρακτηριστική φορτίου. 29

30 Επομένως τα σημεία λειτουργίας του συστήματος μπορούν να προκύψουν από την ταυτόχρονη επίλυση των εξισώσεων του δικτύου και των χαρακτηριστικών φορτίου. V z 1 z 1 < z 2 <z max Χαρακτηριστική δικτύου z 2 Χαρακτηριστικές φορτίου C z max Α P max P Σχήμα 1.6: Καμπύλη PV συστήματος δύο ζυγών μαζί με χαρακτηριστικές φορτίου Στην προηγούμενη ενότητα υπολογίστηκε η μέγιστη ισχύς που μπορεί να μεταφερθεί προς το ζυγό φορτίου σε ένα απλό ακτινικό σύστημα δύο ζυγών. Όπως παρατηρήθηκε, η μέγιστη μεταφερόμενη ισχύς εξαρτάται μόνο από τις παραμέτρους του δικτύου και όχι από τη χαρακτηριστική του φορτίου. Η ισχύς αυτή δίνεται από το σημείο C του Σχήματος 1.6, που είναι το ακρότατο της χαρακτηριστικής δικτύου. Ορίζεται επίσης το όριο φόρτισης του συστήματος ως η μέγιστη τιμή της ζήτησης z max για την οποία υπάρχει σημείο λειτουργίας. Για φορτίο σταθερής ισχύος το όριο φόρτισης συμπίπτει με το σημείο μέγιστης μεταφερόμενης ισχύος. Στη γενική περίπτωση όμως αυτό δεν ισχύει. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 1.6 το σημείο Μέγιστης Μεταφερόμενης Ισχύος είναι το σημείο C (όπου η χαρακτηριστική δικτύου παρουσιάζει ακρότατο), ενώ το όριο φόρτισης είναι το σημείο A, όπου η χαρακτηριστική φορτίου εφάπτεται στην χαρακτηριστική δικτύου. Πιο συγκεκριμένα, για z < z max η χαρακτηριστική δικτύου έχει δύο σημεία τομής με τη χαρακτηριστική φορτίου (υπάρχουν δηλαδή δύο πιθανά σημεία λειτουργίας), για z = z max έχει ένα σημείο τομής, ενώ για z > z max κανένα, οπότε το σύστημα δεν έχει κανένα σημείο λειτουργίας Όρια φόρτισης Η σημασία των ορίων φόρτισης βρίσκεται στο γεγονός ότι υποδεικνύουν την αντοχή του συστήματος μέχρι να φθάσει σε περιοχή αστάθειας δεδομένης της καταπόνησής του [2,3]. Τα όρια φόρτισης υπολογίζονται με σκοπό να εξεταστεί η ικανότητα του 30

31 συστήματος να αντιμετωπίσει μία προβλεπόμενη αύξηση φορτίου χωρίς το σύστημα να εισέλθει σε περιοχή αστάθειας. Εντούτοις τα όρια φόρτισης τα οποία προκύπτουν μετά τη διαταραχή είναι χρησιμότερα στην πράξη καθώς χαρακτηρίζουν το περιθώριο ισχύος το οποίο θα παραμείνει μετά την διαταραχή αυτή. Τα όρια φόρτισης σχετίζονται άμεσα με την ύπαρξη αστάθειας στο σύστημα εξαιτίας αλλαγών στην ισχύ του φορτίου του συστήματος η οποία μεταβάλλεται σύμφωνα με την σχέση: P = P 0 (1+m) (1.40) Το όριο φόρτισης προκύπτει τελικά από την μέγιστη τιμή του m για την οποία η προηγούμενη σχέση (1.40) έχει λύση. Τα όρια φόρτισης ορίζονται ως τα σημεία όπου η ζήτηση φορτίου μεγιστοποιείται. Στην ενότητα αναπτύχθηκε η σχέση που υπάρχει μεταξύ της ευστάθειας τάσεως και του ορίου της μέγιστης μεταφερόμενης ισχύος σε ένα απλό σύστημα δυο ζυγών που συνδέονται με μια γραμμή μεταφοράς. Όπως επισημάνθηκε στη γενική περίπτωση, όπου τα φορτία εξαρτώνται από την τάση και δεν αποκαθίστανται μέσω κάποιου μηχανισμού, τα όρια φόρτισης είναι δυνατό να διαφέρουν από το όριο μέγιστης μεταφερόμενης ισχύος. Το όριο αυτό είναι εν γένει και το σημείο, μετά από το οποίο εμφανίζεται αστάθεια τάσεως. Στην περίπτωση που θεωρηθούν φορτία σταθερής ισχύος τα όρια φόρτισης ταυτίζονται με την μέγιστη μεταφερόμενη ισχύ. Επομένως σε αυτήν την περίπτωση οι συνθήκες ευστάθειας τάσεως συμπίπτουν εν γένει με αυτές που αντιστοιχούν σε κάποιο όριο φόρτισης ενός γενικού συστήματος ηλεκτρικής ενέργειας. Επομένως, από την πλευρά του σχεδιασμού λειτουργίας ενός ΣΗΕ ενδιαφέρει να προσδιορίζονται σε κάθε λειτουργική κατάσταση παραγωγής-μεταφοράς τα όρια φόρτισης για κάποια συγκεκριμένη διαδρομή μεταφοράς ισχύος. Επιπλέον τα τελευταία χρόνια έχει αυξηθεί το ενδιαφέρον γύρω από τον προσδιορισμό των ορίων φόρτισης, καθώς τα ΣΗΕ σε συνθήκες αναδιάρθρωσης του ενεργειακού τομέα τείνουν να λειτουργούν ολοένα και πιο κοντά στα όρια αυτά. Σε αντιστοιχία με το όριο φόρτισης μπορεί να οριστεί και το περιθώριο φόρτισης. Για ένα δεδομένο σημείο λειτουργίας, η ποσότητα του πρόσθετου φορτίου, για μια συγκεκριμένη κατεύθυνση αύξησης του φορτίου, που προκαλεί την αστάθεια τάσης καλείται περιθώριο φόρτισης. Τα περιθώρια φόρτισης βασίζονται σε ένα ορισμό της διαδρομής μεταφοράς ισχύος του συστήματος, που αντιστοιχεί σε μεταβολές των παραμέτρων που οι χειριστές του συστήματος μπορούν είτε να παρατηρήσουν (π.χ. το φορτίο του συστήματος) είτε να ελέγξουν (π.χ. μία ανακατανομή παραγωγής). Αυτή η διαδρομή αντιστοιχεί σε μία «κατεύθυνση» στο χώρο των παραμέτρων, που εκφράζει την συμμετοχή των ζυγών στην αύξηση του φορτίου και την κατανομή της παραγωγής. Το όριο φόρτισης ενός συστήματος μπορεί να υπολογιστεί: 31

32 Για μια δεδομένη λειτουργική κατάσταση, αυξάνοντας κατά ένα συγκεκριμένο τρόπο τη φόρτιση του συστήματος. Στην περίπτωση αυτή εκτιμάται η ικανότητα του συστήματος να αντιμετωπίσει ασφαλώς μια προβλεπόμενη αύξηση φορτίου. Για τη λειτουργική κατάσταση του συστήματος μετά από μια διαταραχή. Στην περίπτωση αυτή εκτιμάται η ικανότητα του συστήματος να αντιμετωπίσει ασφαλώς μια δεδομένη διαταραχή. Στην πράξη τα όρια μετά από διαταραχή είναι πιο χρήσιμα και χρησιμοποιούνται συχνά για να χαρακτηρίσουν το επίπεδο ασφάλειας ενός ηλεκτρικού συστήματος. Στην συγκεκριμένη εργασία τα όρια φόρτισης θα προσεγγιστούν μέσω της μεθόδου της συνέχειας η οποία θα αναλυθεί εκτενώς στα κεφάλαια 2, 3 και Μαθηματική ανάλυση ευστάθειας Ο συστηματικός τρόπος για την ανάλυση της ευστάθειας μονίμου καταστάσεως στηρίζεται στη γραμμικοποίηση του συστήματος γύρω από ένα σημείο λειτουργίας x 0. Η ανάλυση της ευστάθειας ενός σημείου ισορροπίας του μη γραμμικού συστήματος ανάγεται σε προσδιορισμό της ευστάθειας του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος γύρω από το σημείο ισορροπίας αυτό [1,10,11,12]. Στην περίπτωση του μοντέλου προσέγγισης του ΣΗΕ που εξετάζεται η γραμμικοποίηση πρόκειται να εφαρμοστεί στο βραχυπρόθεσμο μοντέλο το οποίο ταιριάζει με τα φαινόμενα που μελετώνται. Τα ΣΗΕ περιγράφονται από μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Παρακάτω παρατίθενται μερικές μαθηματικές έννοιες που είναι χρήσιμες για την ανάλυση της ευστάθειας δυναμικών συστημάτων και συγκεκριμένα περιγράφεται η ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων Ποιοτική θεωρία διαφορικών εξισώσεων Τα περισσότερα δυναμικά συστήματα μπορούν να αναλυθούν χρησιμοποιώντας ένα σύνολο από n διαφορικές εξισώσεις που μπορεί να παρασταθεί στη μορφή [10]: x & = f(x) (1.41) όπου x είναι ένα 1 n διάνυσμα και κάθε f i (i = 1,,n) είναι μια μη γραμμική συνάρτηση των x i (i = 1,,n). Το διάνυσμα x καλείται διάνυσμα κατάστασης και ορίζει ένα σημείο στο χώρο των καταστάσεων. Για το χρόνο t = 0 η αρχική συνθήκη για το διάνυσμα κατάστασης είναι: 32

33 x(0) = x 0 (1.42) Οι σχέσεις (1.41) και (1.42) αποτελούν το πρόβλημα αρχικών τιμών. Η λύση x(t) για μια δοσμένη αρχική συνθήκη x 0 στο χώρο των καταστάσεων εμφανίζεται ως μια καμπύλη και καλείται τροχιά του συστήματος. Αν t > 0 θα καλείται θετική τροχιά, ενώ αν t < 0 θα καλείται αρνητική τροχιά. Η απεικόνιση των τροχιών του συστήματος στο χώρο των καταστάσεων ονομάζεται πορτρέτο φάσεων. Οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τις οποίες για κάθε αρχική συνθήκη υπάρχει λύση του μη γραμμικού συστήματος (1.41) περιγράφονται από το θεώρημα ύπαρξης και n μοναδικότητας των λύσεων. Έστω ότι οι f(x) είναι ορισμένες σε ένα σύνολο U R. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα θα είναι: 0 1. Αν η f C (U, R ) (συνεχής στο U), τότε υπάρχει λύση x(t) για όλες τις αρχικές συνθήκες x 0 στο U. Κάθε λύση ορίζεται σε ένα μέγιστο διάστημα ύπαρξης I xo, το οποίο εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες: 2. I xo: a xo < t < β xo (1.43) Το παραπάνω διάστημα μπορεί πιθανώς να είναι και άπειρο, οπότε η λύση υπάρχει για όλα τα t R. k 3. Αν η f C (U, R ) (με συνεχείς παραγώγους μέχρι k-τάξης ), τότε η λύση με αρχικές συνθήκες x 0 είναι μοναδική με k συνεχείς παραγώγους. Επομένως, μια ικανή συνθήκη για τη μοναδικότητα της λύσης είναι η f να είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. 4. Όταν το μέγιστο διάστημα ύπαρξης είναι πεπερασμένο, τα οριακά σημεία των - + λύσεων της x(t) για t β xo ή t α xo είτε ανήκουν στο σύνορο του U, όταν είναι φραγμένο, είτε απειρίζονται όταν το U δεν είναι φραγμένο. Ένα σημείο x του συστήματος που περιγράφεται από τη σχέση (1.41) καλείται σημείο ισορροπίας του συστήματος εάν ικανοποιεί τη σχέση: f(x) = 0 (1.44) η οποία είναι αλγεβρική εξίσωση. Τα σημεία ισορροπίας χαρακτηρίζονται κατά Liapunov ως προς την ευστάθειά τους ως εξής : - Ένα σημείο ισορροπίας x είναι ευσταθές αν για κάθε περιοχή V του x υπάρχει περιοχή V 1 του x τέτοια ώστε για όλα τα xo V1 η λύση x(t) υπάρχει και βρίσκεται στην περιοχή V για όλα τα t>0. 33

34 - Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές αν όλες οι τροχιές του συστήματος με αρχική συνθήκη xo V1 τείνουν στο x αν t. - Ένα σημείο ισορροπίας καλείται ασταθές αν δεν είναι ευσταθές. Η κατά Liapunov ευστάθεια όπως προκύπτει από τα παραπάνω είναι μια τοπική ιδιότητα του συστήματος, αφορά δηλαδή περιοχές κοντά στα σημεία ισορροπίας. Εποπτικότερη εικόνα για τη συνολική συμπεριφορά του συστήματος ως προς την ευστάθεια του δίνεται από τη μελέτη του πορτρέτου φάσεων, όπου και φαίνεται η περιοχή μέσα στην οποία έλκονται οι τροχιές του συστήματος από ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας. Η περιοχή αυτή καλείται περιοχή έλξης του σημείου ισορροπίας. Στα γραμμικά συστήματα όπως αυτό της μορφής: x & = Ax (1.45) η ευστάθεια του σημείου ισορροπίας (που εδώ είναι το x = 0) προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές του πίνακα κατάστασης Α. Αν όλες οι ιδιοτιμές έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη το σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Αν έστω και μια ιδιοτιμή έχει θετικό πραγματικό μέρος το σημείο είναι ασταθές. Στα γραμμικά συστήματα η περιοχή έλξης ενός ασυμπτωτικά ευσταθούς σημείου είναι όλος ο χώρος των καταστάσεων. Στον ακόλουθο πίνακα παρατίθενται τα είδη των σημείων ισορροπίας ως προς την ευστάθειά τους για ένα γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης, ανάλογα με τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Πίνακας 1.1:Ιδιότητες Ευστάθειας Γραμμικών Συστημάτων Ιδιοτιμές Είδος σημείου ισορροπίας Ευστάθεια ρ 1 >ρ 2 >0 Κόμβος Ασταθές ρ 1 <ρ 2 <0 Κόμβος Ασυμπτωτικά Ευσταθές ρ 1 > 0> ρ 2 Σαγματικό Σημείο Ασταθές ρ 1 =ρ 2 >0 Κόμβος Ασταθές ρ 1 =ρ 2 <0 Κόμβος Ασυμπτωτικά Ευσταθές ρ 1,ρ 2 =κ±jμ Σπειροειδές σημείο (Εστία) Ασταθές (κ>0) Ασυμπτωτικά Ευσταθές (κ<0) ρ 1 = jμ, ρ 2 = - jμ Κέντρο Ευσταθές ρ 1 =0, ρ 2 0 Σαγματικός κόμβος Ασταθές 34

35 Στο Σχήμα 4.1 παρατίθενται κάποια πορτραίτα φάσεων για ένα γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης, όπου φαίνονται τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του σημείου ισορροπίας x = 0. Σχήμα 1.7: (α) Ασυμπτωτικά ευσταθής κόμβος ρ 1 <ρ 2 <0, (β) Ασταθής κόμβος ρ 1 >ρ 2 >0, (γ) Σαγματικό σημείο ρ 1 > 0> ρ 2 Πολλές φορές για να διευκολυνθεί η μελέτη ενός μη γραμμικού συστήματος ως προς την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας του, πραγματοποιείται γραμμικοποίηση του συστήματος γύρω από ένα σημείο ισορροπίας του. Αν οριστεί: Δx = x - x (1.46) και διατηρηθεί μόνο ο όρος πρώτης τάξης του αναπτύγματος Taylor γύρω από το x, το αντίστοιχο γραμμικοποιημένο σύστημα έχει την ακόλουθη μορφή: Δx & = AΔx (1.47) Ο πίνακας κατάστασης A στην περίπτωση αυτή είναι ο Ιακωβιανός Πίνακας του συστήματος και ισχύει: ( ) ( ) f1 x f1 x L x1 x x=x n x=x f A = f x = = M M M x x=x fn( x) fn( x) L x1 x x=x n x=x (1.48) 35

36 Με τον τρόπο αυτό η μελέτη ευστάθειας των σημείων ισορροπίας του μη γραμμικού συστήματος ανάγεται στην μελέτη ευστάθειας του γραμμικοποιημένου γύρω από το σημείο ισορροπίας, δηλαδή στον υπολογισμό των ιδιοτιμών του πίνακα Α Βραχυπρόθεσμο μοντέλο Το γρήγορο υποσύστημα παριστάνεται από ένα σύνολο διαφορικών και αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής [1]: x & = f ( x,y,z,w) (1.49) 0 = g ( x,y,z,w ) (1.50) όπου x είναι το διάνυσμα των βραχυπρόθεσμων μεταβλητών κατάστασης, y είναι οι αλγεβρικές μεταβλητές του συστήματος, z είναι το διάνυσμα των μακροπρόθεσμων μεταβλητών που θεωρούνται ως αργά μεταβαλλόμενες παράμετροι και w είναι οι παράμετροι του συστήματος. Η ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας ( x 0, y 0, z, w ) προσδιορίζεται γραμμικοποιώντας το σύστημα των σχέσεων (1.41) και (1.42) γύρω από αυτό, οπότε προκύπτει:. Δ x Δx = J S 0 Δy (1.51) όπου Js ο Ιακωβιανός πίνακας του βραχυπρόθεσμου συστήματος που ορίζεται ως εξής: J = S f g x x f g y y (1.52) όπου f x, f y, g x και g y είναι οι Ιακωβιανοί πίνακες των συναρτήσεων f και g ως προς τις μεταβλητές καταστάσεις x και τις αλγεβρικές μεταβλητές y. Όταν ο g y είναι αντιστρέψιμος ( det g y 0 ) το διάνυσμα Δy μπορεί να απαλειφτεί από το γραμμικοποιημένο μοντέλο και το σύστημα να γραφεί στη μορφή: 36

37 . Δ x = F x Δx (1.53) -1 όπου F x = f x - fg y yg x ο ελαττωμένος κατά τις αλγεβρικές μεταβλητές Ιακωβιανός πίνακας κατάστασης του βραχυπρόθεσμου υποσυστήματος Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα - Ρυθμοί απόκρισης Θεωρείται ένα γραμμικό σύστημα με n μεταβλητές κατάστασης που περιγράφεται από τις εξισώσεις [1]: x & = Ax+Bu (1.54) y = Cx+Du (1.55) όπου x το διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης, u το διάνυσμα των μεταβλητών εισόδου και y το διάνυσμα των μεταβλητών εξόδου. Το σύστημα αυτό μπορεί να έχει προκύψει από γραμμικοποίηση του μοντέλου του ΣΗΕ περιγράφηκε στις παραγράφους και Αν θεωρηθούν μηδενικές είσοδοι στο σύστημα, δηλαδή u = 0, οι εξισώσεις καταστάσεων του συστήματος θα γίνουν: x & = Ax (1.56) και η μεταβολή των μεταβλητών καταστάσεων x με το χρόνο ορίζει την ελεύθερη απόκριση του συστήματος. Ο nxn πίνακας συστήματος Α έχει ιδιοτιμές λ κ, κ=1,2,...,n, που ικανοποιούν την εξίσωση: ( ) det λ I - A = 0 (1.57) κ n Έστω για λόγους απλότητας ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι διακριτές. Τότε ο πίνακας θα έχει n δεξιά και n αριστερά ιδιοδιανύσματα, u κ και v κ αντίστοιχα, που ικανοποιούν τις εξισώσεις: A u = λ u (1.58) κ κ κ T T Τ κ κ κ κ κ κ v A = λ v ή Α v= λ v (1.59) Τα αριστερά και δεξιά ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους κάθετα, δηλαδή ισχύει: 37

38 T T i j j i u v = v u = 0, για j i (1.60) Επιπλέον μπορούν να κανονικοποιηθούν τα ιδιοδιανύσματα, ώστε να ισχύει η σχέση: Μπορούν να οριστούν οι πίνακες: T T κ κ κ κ u v = v u = 1 (1.61) [ K ] U = u,u,,u 1 2 n V = [ v 1,v 2,,v n] Λ = diag ( λ 1,λ 2,,λ n) Οι σχέσεις (1.58), (1.59) τώρα εκφράζονται ως εξής: A U = U Λ (1.62) T A V = V Λ (1.63) Από τις σχέσεις (1.60, (1.61) προκύπτει ότι ο πίνακας V T είναι αντίστροφος του U, άρα ισχύει: (1.64) T T V U = U V = I n Ας θεωρηθεί ένα νέο διάνυσμα κατάστασης ξ, το οποίο ονομάζεται διάνυσμα ρυθμών και το οποίο ορίζεται μέσω του μετασχηματισμού: x = U ξ (1.65) Οι εξισώσεις κατάστασης λόγω της σχέσης (1.65) γίνονται: και ισχύει λόγω της σχέσης (1.66) : U ξ & = A U ξ (1.66) & -1 (1.67) ξ = U A U ξ = Λ ξ Τώρα οι n διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης μπορούν να επιλυθούν ξεχωριστά, αφού ο πίνακας Λ είναι διαγώνιος. Με τον τρόπο αυτό προκύπτουν οι n ρυθμοί απόκρισης του συστήματος: 38