Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
|
|
- Ἁλκυόνη Γεωργιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή, έχουμε F n F n+1 F για κάθε n 0. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών (X n ) n 0 στον Ω λέγεται προσαρμοσμένη στη διήθηση (F n ) n 0 αν για κάθε n 0 η X n είναι F n -μετρήσιμη. Συμβαση: Σε αυτό το κεφάλαιο, οι δείκτες των διαφόρων οικογενειών που εμφανίζονται είναι φυσικοί αριθμοί. Ετσι, όταν γράφουμε n 1, n 0, εννοούμε n N + και n N αντίστοιχα. Ορισμός 3.1. Αν η ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X = (X n ) n 0 ικανοποιεί τις ιδιότητες (i) Η (X n ) n 0 είναι προσαρμοσμένη στην (F n ) n 0, (ii) E X n < για κάθε n 0, (iii) E(X n+1 F n ) = X n για κάθε n 0, τότε λέγεται martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 0 και το μέτρο P. Αν αντί της (iii) ισχύει η E(X n+1 F n ) X n, τότε η ακολουθία λέγεται submartingale, ενώ αν ισχύει η E(X n+1 F n ) X n, τότε η ακολουθία λέγεται supermartingale (ως προς τα (F n ) n 0 και P). Οταν είναι σαφές ποια είναι τα (F n ) n 0 και P, δεν τα αναφέρουμε όταν χαρακτηρίζουμε μια ακολουθία ως martingale, submartingale, ή supermartingale ως προς αυτά. Αν η (X n ) n 0 είναι submartingale, τότε η ( X n ) n 0 είναι supermartingale. Και η (X n ) n 0 είναι martingale αν και μόνο αν είναι ταυτόχρονα submartingale και supermartingale. Επίσης, παίρνοντας μέσες τιμές στα μέλη της (iii) έχουμε ότι η ακολουθία (E(X n )) n 0 είναι σταθερή, αύξουσα, ή φθίνουσα όταν αντίστοιχα η X είναι martingale, submartingale, supermartingale. Φανταζόμαστε έναν παίχτη που συμμετέχει σε ένα παιχνίδι που γίνεται σε βήματα και X n δηλώνει την περιουσία του μετά το βήμα n. Η E(X n+1 F n ) δίνει την καλύτερη εκτίμηση που έχουμε για την περιουσία του μετά από ένα βήμα με δεδομένη όλη την πληροφορία κατά τον χρόνο n. Επομένως, όταν η X είναι submartingale (supermartingale), το παιχνίδι είναι υπέρ (αντίστοιχα, κατά) του παίχτη, ενώ όταν η X είναι martingale, το παιχνίδι είναι δίκαιο. Ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z. Εστω (X i ) i 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με P(X 1 = 1) = P(X 1 = 1) = 1/2. Θέτουμε S 0 := 0, S n := X X n για κάθε n 1. Η ανέλιξη S = (S n ) n 0 λέγεται απλός τυχαίος περίπατος στο Z. Θα δούμε αμέσως δύο martingales που προκύπτουν από τον απλό τυχαίο περίπατο τα οποία μάλιστα βοηθούν στη μελέτη του. Η διήθηση που θα θεωρούμε είναι η εξής: Για κάθε n N θέτουμε M n := S 2 n n. F 0 := {, Ω}, F n := σ(x 1, X 2,..., X n ) για n 1. 17
2 18 Martingales S n n Σχήμα 3.1: Το γράφημα μιας πραγματοποίησης των πρώτων 9 βημάτων του απλού τυχαίου περιπάτου στο Z. Παράδειγμα 3.2. Οι ανελίξεις (α) (S n ) n 0 (β) (M n ) n 0 είναι martingales ως προς την (F n ) n 0. Πράγματι, από τον ορισμό της (F n ) n 0 προκύπτει ότι οι S, M είναι προσαρμοσμένες. Η (ii) του ορισμού του martingale ικανοποιείται αφού S n n, M n n 2 + n στον Ω για κάθε n N. Σχετικά με την ιδιότητα (iii) του ορισμού, για την ανέλιξη του (α) υπολογίζουμε E(S n+1 F n ) = E(S n + X n+1 F n ) = S n + E(X n+1 F n ) = S n + E(X n+1 ) = S n. Στη δεύτερη ισότητα, χρησιμοποιήσαμε τη γραμμικότητα της δεσμευμένης τιμής και το γεγονός ότι η S n είναι F n μετρήσιμη. Στην τρίτη ισότητα, το ότι η X n+1 είναι ανεξάρτητη από την F n και την Πρόταση 2.7(iii). Για την ανέλιξη του (β), επειδή S n+1 = S n + X n+1, έχουμε S 2 n+1 S 2 n = 2X n+1 S n + X 2 n+1 = 2X n+1s n + 1 και άρα M n+1 M n = 2X n+1 S n. Παίρνοντας μέση τιμή ως προς τη σ-άλγεβρα F n έχουμε E(M n+1 F n ) M n = E(2X n+1 S n F n ) = 2S n E(X n+1 ) = 0. Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την Πρόταση 2.10 και την Πρόταση 2.7(iii). Ας φανταστούμε έναν παίκτη Α που εμφανίζεται σε ένα καζίνο και παίζει το εξής παιχνίδι. Κάθε χρονική στιγμή 1, 2, 3,... ρίχνεται ένα τίμιο νόμισμα. Αν έρθει «Κεφαλή», ο Α κερδίζει μία μονάδα, ενώ αν έρθει «Γράμματα», ο Α χάνει μία μονάδα. Το συνολικό κέρδος του παίκτη ακριβώς μετά το παιχνίδι n είναι S n. Η μέση του τιμή διατηρείται σταθερή, ίση με 0, αφού η (S n ) n 0 είναι martingale. Παράδειγμα 3.3. Εστω (Z i ) i 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με E Z 1 < και E(Z 1 ) = 1. Θέτουμε F 0 := {, Ω}, F n := σ(z 1, Z 2,..., Z n ) για κάθε n 1, και R 0 := 1, R n := Z 1 Z 2 Z n για n 1. Η (R n ) n 0 είναι martingale ως προς την (F n ) n 0. Πάλι το (i) του ορισμού είναι προφανές. Για το (ii), χρησιμοποιούμε την ανεξαρτησία και υπολογίζουμε E Z 1 Z 2 Z n = E Z 1 E Z 2 E Z n = (E Z 1 ) n <.
3 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 19 Για το (iii), έχουμε E(R n+1 F n ) = E(R n Z n+1 F n ) = R n E(Z n+1 F n ) = R n E(Z n+1 ) = R n. Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την Πρόταση Παράδειγμα 3.4 (Martingale του Doob). Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P), μια διήθηση (F n ) n 0 σε αυτόν, και X L 1 (P). Ορίζουμε X n := E(X F n ) για κάθε n 0. Τότε η X = (X n ) n 0 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 0. Οτι η X είναι προσαρμοσμένη προκύπτει από τον ορισμό της δεσμευμένης μέσης τιμής. Επειτα E X n = E( E(X F n ) ) E X < από το (ii) της Πρότασης 2.2. Τέλος, για n 0, E(X n+1 F n ) = E(E(X F n+1 ) F n ) = E(X F n ) = X n. Στη δεύτερη ισότητα, χρησιμοποιήσαμε ότι F n F n+1 και την Πρόταση 2.9(ii). Στο επόμενο παράδειγμα, για την απόδειξη ότι μια ακολουθία είναι martingale θα χρειαστεί να κάνουμε έναν πραγματικό υπολογισμό μιας δεσμευμένης μέσης τιμής (ενώ στα προηγούμενα παραδείγματα πάντα μια απλή ιδιότητα μας γλύτωνε από τον κόπο). Παράδειγμα 3.5 (Η κάλπη του Polya). Μια κάλπη περιέχει α άσπρες και µ μαύρες μπάλες. Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις μπάλες που περιέχει η κάλπη, την επιστρέφουμε στην κάλπη, και προσθέτουμε ακόμα l του ίδιου χρώματος με αυτήν. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία επ άπειρον. Εστω A n και B n ο αριθμός των άσπρων και μαύρων μπαλών αντίστοιχα μετά τη n-οστή επανάληψη του πειράματος και X n := A n /(A n + B n ) το ποσοστό των άσπρων μπαλών στην κάλπη εκείνη τη στιγμή. Θέτουμε F n := σ({a i, B i : i = 1, 2,..., n}). Ισχυρισμος: Η (X n ) n 1 είναι martingale ως προς την (F n ) n 1. Οι ιδιότητες (i), (ii) του ορισμού του martingale ικανοποιούνται. Σχετικά με την (iii), για τον υπολογισμό της δεσμευμένης μέσης τιμής, θα χρησιμοποιήσουμε το Παράδειγμα 2.5. Η F n παράγεται από διαμέριση κάθε μέλος της οποίας είναι της μορφής C( j 1, k 1, j 2, k 2,..., j n, k n ) := {A r = j r, B r = k r για κάθε r = 1, 2,..., n} όπου j r, k r θετικοί ακέραιοι. Αυτό συγκεκριμενοποιεί τα αποτελέσματα των n πρώτων πειραμάτων και για να έχει θετική πιθανότητα πρέπει οι j r, k r να ικανοποιούν κάποιες προφανείς σχέσεις. Εστω λοιπόν C ένα σύνολο αυτής της μορφής με θετική πιθανότητα, και για ευκολία γράφουμε j, k αντί j n, k n. Για ω C υπολογίζουμε E(X n+1 F n )(ω) = E(X n+1; C) P(C) (3.1) = j + l P({A n+1 = j + l} C) j P({A n+1 = j} C) + j + k + l P(C) j + k + l P(C) (3.2) = j + l j + k + l P(A j n+1 = j + l C) + j + k + l P(A n+1 = j C) (3.3) = j + l j j + k + l j + k + j k j + k + l j + k = j j + k = X n, (3.4) και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. Δώσαμε μια σχολαστική απόδειξη του ισχυρισμού. Ο τρόπος που την ανακαλύπτουμε, και συνήθως την γράφουμε, είναι ως εξής. Στην E(X n+1 F n ) μας δίνεται όλη η ιστορία της διαδικασίας ως τη n-οστή επανάληψη του πειράματος. Είναι στη διάθεσή μας λοιπόν οι αριθμοί j := A n, k := B n. Οι ενδεχόμενες
4 20 Martingales τιμές του X n+1 είναι ( j+l)/( j+k+l) και j/( j+k+l) και, δεδομένου του παρελθόντος, έχουν πιθανότητα P(A n+1 = j + l A n = j, B n = k), P(A n+1 = j A n = j, B n = k) αντίστοιχα. Εδώ η δεσμευμένη πιθανότητα είναι η συνηθισμένη από τις στοιχειώδεις πιθανότητες. Και έπειτα γράφουμε την τελευταία γραμμή του παραπάνω υπολογισμού. Ενα εύλογο ερώτημα είναι τι κάνει η X n καθώς το n. Συγκλίνει σε κάποιον σταθερό αριθμό; Π.χ. το 1/2, που θα σήμαινε ότι τελικά επέρχεται μια ισορροπία στον αριθμό των μπαλών στην κάλπη. Αυτό που ισχύει είναι ότι η X n πράγματι συγκλίνει σε έναν αριθμό στο (0, 1), αλλά αυτός είναι τυχαίος. Κάθε πραγματοποίηση της άπειρης διαδικασίας δίνει και διαφορετικό αριθμό. Μπορεί να αποδειχθεί το εξής: Με πιθανότητα 1, η ακολουθία (X n ) n 1 συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή X η οποία έχει κατανομή Βήτα με παραμέτρους α/l, µ/l. Στην ειδική περίπτωση που α = µ = l = 1, η οριακή τυχαία μεταβλητή έχει κατανομή την ομοιόμορφη στο (0, 1). Για λεπτομέρειες δες την Παράγραφο στο Durrett (2010). 3.2 Βασικές ιδιότητες Πρόταση 3.6. Εστω X = (X n ) n 0 μια ανέλιξη και m, n N με n > m. (i) Αν η X είναι supermartingale ως προς την (F n ) n 0, τότε E(X n F m ) X m. (ii) Αν η X είναι submartingale ως προς την (F n ) n 0, τότε E(X n F m ) X m. (iii) Αν η X είναι martingale ως προς την (F n ) n 0, τότε E(X n F m ) = X m. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε το (i). Παίρνουμε σταθερό m N και εφαρμόζουμε επαγωγή στο n. Για n = m + 1 η ζητούμενη ισχύει από τον ορισμό του supermartingale. Εστω ότι ισχύει για κάποιο n > m. Τότε E(X n+1 F m ) = E(E(X n+1 F n ) F m ) E(X n F m ) X m. Η πρώτη ισότητα έπεται από την Πρόταση 2.9, η πρώτη ανισότητα από το ότι η X είναι supermartingale, και η δεύτερη είναι η επαγωγική υπόθεση. Πρόταση 3.7. Εστω (X n ) n 0 martingale ως προς την (F n ) n 0 και f κυρτή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα I R ώστε P(X n I) = 1 και E f (X n ) < για κάθε n N. Τότε η ( f (X n )) n 0 είναι submartingale ως προς την (F n ) n 0. Απόδειξη. Μένει να ελέγξουμε την ιδιότητα (iii) του Ορισμού 3.1 για submartingales. E( f (X n+1 ) F n ) f (E(X n+1 F n )) = f (X n ) Χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Jensen (Πρόταση 2.13) και στην τελευταία ισότητα ότι η (X n ) n 0 είναι martingale. Πρόταση 3.8. Εστω (X n ) n 0 submartingale ως προς την (F n ) n 0 και f κυρτή και αύξουσα συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα I R ώστε P(X n I) = 1 και E f (X n ) < για κάθε n N. Τότε η ( f (X n )) n 0 είναι submartingale ως προς την (F n ) n 0.
5 Απόδειξη. Εχουμε 3.3 Παιχνίδια και το διακριτό στοχαστικό ολοκλήρωμα 21 E( f (X n+1 ) F n ) f (E(X n+1 F n )) f (X n ). Χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Jensen και στην τελευταία ανισότητα το γεγονός ότι η (X n ) n 0 είναι submartingale και η f είναι αύξουσα. Παράδειγμα 3.9. Η προηγούμενη πρόταση συνεπάγεται ότι αν η (X n ) n 0 είναι submartingale ως προς την (F n ) n 0 και E(X 2 n) < για κάθε n N, τότε η (X 2 n) n 0 είναι submartingale ως προς την (F n ) n Παιχνίδια και το διακριτό στοχαστικό ολοκλήρωμα Εστω μια διήθηση (F n ) n 0 και μια προσαρμοσμένη σε αυτήν ανέλιξη X = (X n ) n 0. Σε αυτή την παράγραφο, ερμηνεύουμε την ανέλιξη X ως εξής. Υποθέτουμε ότι ένα παιχνίδι παίζεται σε πολλά στάδια, τις χρονικές στιγμές 1, 2, 3, κ.ο.κ. Αν ποντάρει κανείς μία μονάδα για το στάδιο της χρονικής στιγμής n, τότε το κέρδος του είναι X n X n 1. Για παράδειγμα, X n μπορεί να είναι η τιμή μιας μετοχής τη χρονική στιγμή n. Αμέσως μετά τη χρονική στιγμή n 1, έχοντας παρατηρήσει ότι η μετοχή έχει τιμή X n 1, αγοράζουμε μία μετοχή. Τη χρονική στιγμή n αυτή η μετοχή έχει αξία X n. Αν την πουλήσουμε, το κέρδος ή η ζημιά μας είναι X n X n 1. Θεωρούμε ότι το επιτόκιο της τράπεζας είναι 0%. Ορισμός Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών (A n ) n 1 λέγεται προβλέψιμη αν για κάθε n 1, η A n είναι F n 1 μετρήσιμη. Στα πλαίσια ενός παιχνιδιού, μια τέτοια ακολουθία τη λέμε στρατηγική πονταρίσματος. Συνήθως, F 0 = {, Ω}, και F n := σ(x 1, X 2,..., X n ) για n 1. Για το αποτέλεσμα του σταδίου n, ο παίκτης ποντάρει A n μονάδες. Η προβλεψιμότητα είναι ο μαθηματικός τρόπος να πει κανείς ότι η ποσότητα A n μπορεί να εξαρτάται μόνο από την πληροφορία που είναι διαθέσιμη πριν πραγματοποιηθεί το στάδιο n του παιχνιδιού, δηλαδή την F n 1. Για δύο ακολουθίες (X n ) n 0, (A n ) n 1 όπως πιο πάνω, ορίζουμε την ανέλιξη A X ως εξής. (A X) 0 : = 0, n (A X) n : = A k (X k X k 1 ) για κάθε n 1. k=1 Ο αριθμός (A X) n είναι το συνολικό κέρδος ενός παίκτη μετά το στάδιο n του παιχνιδιού αν ακολουθεί τη στρατηγική (A n ) n 1. Η ανέλιξη A X είναι το διακριτό στοχαστικό ολοκλήρωμα. Πρόταση Εστω (A n ) n 1 προβλέψιμη ακολουθία. (i) Αν η (X n ) n 0 είναι (sub)supermartingale και κάθε A n είναι μη αρνητική φραγμένη τυχαία μεταβλητή, τότε η A X είναι (sub)supermartingale. (ii) Αν η (X n ) n 0 είναι martingale και κάθε A n είναι φραγμένη τυχαία μεταβλητή, τότε η A X είναι martingale. Απόδειξη. Η (i) του Ορισμού (3.1) προκύπτει από τις υποθέσεις για τις (X n ) n 1, (A n ) n 1, ενώ η (ii) προκύπτει από το ότι, για κάθε n 1, η A n είναι φραγμένη τυχαία μεταβλητή. Επειτα, για κάθε n 0, έχουμε E{(A X) n+1 F n } (A X) n = E{(A X) n+1 (A X) n F n } = E{A n (X n+1 X n ) F n } = A n {E(X n+1 F n ) X n } Με τις υποθέσεις του (i), επειδή A n 0, η τελευταία ποσότητα είναι μη θετική αν η (X n ) n 0 είναι supermartingale και μη αρνητική αν η (X n ) n 0 είναι submartingale. Με τις υποθέσεις του (ii), η τελευταία ποσότητα ισούται με 0.
6 22 Martingales Η διαισθητική ερμηνεία του μέρους (ii) της προηγούμενης πρότασης είναι ότι σε ένα δίκαιο παιχνίδι (το martingale X) δεν μπορούμε να δημιουργήσουμε πλεονέκτημα (να κερδίσουμε κατά μέσο όρο) αν η στρατηγική πονταρίσματος που χρησιμοποιούμε είναι προβλέψιμη. 3.4 Χρόνοι διακοπής Ορισμός Μια συνάρτηση T : Ω N { } λέγεται χρόνος διακοπής ως προς τη διήθηση (F n ) n 0 αν για κάθε n N ισχύει {T n} F n. Δηλαδή το αν ισχύει T n μπορεί να καθοριστεί με βάση τις πληροφορίες που έχουμε ως το χρόνο n. Τα επόμενα παραδείγματα το κάνουν αυτό πιο κατανοητό. S n T n Σχήμα 3.2: Ο χρόνος διακοπής T του Παραδείγματος Στη συγκεκριμένη πραγματοποίηση έχουμε T = 9. Παράδειγμα 3.13 (Χρόνος διακοπής). Εστω (S n ) n 0 ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z και (F N ) n 0 η διήθηση όπως πριν το Παράδειγμα 3.2. Η τυχαία μεταβλητή T := inf{k 0 : S k = 3} παίρνει τιμές στο N { } (inf = ). Είναι ο πρώτος χρόνος που ο απλός τυχαίος περίπατος χτυπάει το 3. Για n N, {T n} = n j=0 {S j = 3} και {S j = 3} F j F n για κάθε j n αφού η S j είναι F j μετρήσιμη. Αρα ο T είναι πράγματι χρόνος διακοπής. Πρακτικά, αν μας δώσει κάποιος την πληροφορία του F n, δηλαδή τι τιμές πήρανε οι τυχαίες μεταβλητές X 1, X 2,..., X n, μπορούμε να αποφανθούμε αν ισχύει T n. Γενικά οι χρόνοι πρώτης εισόδου σε ένα σύνολο για την (S n ) n 0 είναι χρόνοι διακοπής ως προς τη διήθηση (F n ) n 0 του Παραδείγματος 3.2. Τώρα θα δούμε ένα παράδειγμα χρόνου που δεν είναι χρόνος διακοπής. Παράδειγμα 3.14 (Χρόνος που δεν είναι χρόνος διακοπής). Δουλεύουμε πάλι με τον απλό τυχαίο περίπατο. Εστω ˆT := sup{k 7 : S k = 0}. Αυτό είναι το τελευταίο μηδενικό της S πριν το χρόνο 7. Το σύνολο του οποίου το sup είναι το ˆT είναι μη κενό αφού περιέχει το 0. Θα χρησιμοποιήσουμε για το χρόνο διακοπής τον ισοδύναμο χαρακτηρισμό από την Ασκηση 3.6. Για n 0 αναρωτιόμαστε αν {T = n} F n. Το ερώτημα έχει ενδιαφέρον μόνο για n 7, αλλιώς το σύνολο {T = n} είναι το κενό. Ας πάρουμε λοιπόν n = 2. Εχοντας την πληροφορία για το τι συνέβη ως
7 3.5 Το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής 23 τον χρόνο 2, μπορούμε να πούμε αν συνέβη το γεγονός T = 2; Οχι, γιατί ακόμα και να ισχύει S 2 = 0, δεν ξέρουμε αν αργότερα η S ξαναχτυπήσει το 0. Είναι δυνατόν, για παράδειγμα, να ισχύει S 6 = 0, οπότε T = 6 (η S 7 = 0 δεν ειναι δυνατόν να συμβεί ποτέ), ή να ισχύει S 6 0, οπότε T = 2 ή T = 4. Πάμε τώρα να το δούμε και τυπικά. Αν {T = 2} F 2, τότε επειδή και το σύνολο A := {X 1 = 1, X 2 = 1} F 2, θα ισχύει B := {T = 2} A F 2. Τότε B A γιατί και {X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1} A \ B {X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1, X 5 = 1} B. Ομως από την περιγραφή της σ-άλγεβρας F 2 (Παράδειγμα 1.8) προκύπτει ότι το μόνο στοιχείο της που είναι γνήσιο υποσύνολο του A είναι το. 3.5 Το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής Για χρόνο διακοπής T και μια προσαρμοσμένη στοχαστική ανέλιξη X = (X n ) n 0, ορίζουμε τη σταματημένη ανέλιξη X T ως Xn T = X n T. Δηλαδή για n N η Xn T : Ω [, ] έχει τιμές Xn T X i (ω) αν T(ω) = i < n, (ω) = X n T(ω) (ω) = X n (ω) αν T(ω) n. Για κάθε ω Ω, θέτοντας r := T(ω), η X T ακολουθεί τη X στις τιμές X 0, X 1,..., X r και έπειτα σταθεροποιείται στην τιμή X r. Αν T(ω) =, τότε για αυτή την τιμή του ω η X T έχει το ίδιο μονοπάτι με τη X. Το ότι η X T είναι επίσης προσαρμοσμένη προκύπτει από την απόδειξη της παρακάτω πρότασης, αλλά μπορεί να το δει κανείς και πιο απλά ( Ασκηση 3.9). Πρόταση Εστω T χρόνος διακοπής. (i) Αν η (X n ) n 0 είναι (sub)supermartingale, τότε η X T ειναι (sub)supermartingale. (ii) Αν η (X n ) n 0 είναι martingale, τότε η X T ειναι martingale. Απόδειξη. Θεωρούμε την ανέλιξη (A n ) n 1 που ορίζεται ως A n := 1 n T για κάθε n 1. Δηλαδή 1 αν n T(ω), A n (ω) = 0 αν n > T(ω). Με την ερμηνεία της στρατηγικής που δώσαμε στην A, η συγκεκριμένη επιλογή σημαίνει ότι σε κάθε στάδιο του παιχνιδιού μέχρι και το στάδιο T ποντάρουμε μία μονάδα. Επειτα σταματάμε. Η A είναι προβλέψιμη γιατί, για κάθε n 1, η A n είναι η δείκτρια συνάρτηση του συνόλου {T n} = Ω \ {T n 1} F n 1. Επειτα (A X) n = X n T X 0, και το συμπέρασμα έπεται από την Πρόταση 3.11 και το ότι η X 0 είναι F 0 μετρήσιμη. Επεται λοιπόν ότι για χρόνο διακοπής T, supermartingale X, και n 1, ισχύει E(X n T ) E(X 0 ), (3.5) ενώ για X martingale ισχύει E(X n T ) = E(X 0 ). (3.6)
8 24 Martingales Σε πολλές περιπτώσεις ισχύει P(T < ) = 1 και τότε lim n X n T = X T με πιθανότητα 1. Για X martingale, θα θέλαμε να ισχυριστούμε ότι E(X T ) = E(X 0 ) και θα το πετυχαίναμε αν μπορούσαμε στην εκφραση lim n E(X n T ) = E(X 0 ) να βάζαμε το όριο μέσα στη μέση τιμή. Ας δούμε ένα παράδειγμα που αυτό δεν μπορεί να γίνει. Θεωρούμε (S n ) n 0 τον απλό τυχαίο περίπατο στο Z και T := inf{k 1 : S k = 1}. Ο T είναι χρόνος διακοπής και θα δείξουμε στο Παράδειγμα 3.18 πιο κάτω ότι P(T < ) = 1. Αρα S T = 1 και επομένως E(S T ) = 1 0 = E(S 0 ). Για να περάσουμε το όριο μέσα στη μέση τιμή επικαλούμαστε τα γνωστά θεωρήματα από τη θεωρία ολοκλήρωσης. Δηλαδή το θεώρημα μονότονης σύγκλισης και το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης. Το επόμενο θεώρημα απομονώνει κάποιες καταστάσεις που εμφανίζονται συχνά και στις οποίες το θεώρημα κυριαρχημένης σύγλισης μπορεί να εφαρμοστεί. Θεώρημα 3.16 (Θεώρημα επιλεκτικής διακοπής). Εστω (X n ) n 0 ακολουθία τυχαίων μεταβλητών στοιχείων του L 1 (P) και T τυχαία μεταβλητή με τιμές στο N { }. Ισχύει ότι αν μία από τις παρακάτω προϋποθέσεις ικανοποιείται: (i) Η T είναι φραγμένη τυχαία μεταβλητή. lim E(X n T ) = E(X T ) (3.7) n (ii) P(T < ) = 1 και υπάρχει M < ώστε X n (ω) M για κάθε n 0 και ω Ω. (iii) E(T), E X 0 < και υπάρχει M < ώστε X n (ω) X n 1 (ω) M για κάθε n 1 και ω Ω. Αν επιπλέον ο T είναι χρόνος διακοπής, τότε ίσχύει για X supermartingale, για X submartingale, και για X martingale. E(X T ) E(X 0 ) (3.8) E(X T ) E(X 0 ) (3.9) E(X T ) = E(X 0 ) (3.10) Απόδειξη. (i) Από την υπόθεση, υπάρχει φυσικός αριθμός N ώστε T(ω) N για κάθε ω Ω. Αρα E(X n T ) = E(X T ) για κάθε n N, και η (3.7) έπεται. (ii) Τώρα η (3.7) έπεται από το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης. Γιατί η ακολουθία (X n T ) n 0 είναι φραγμένη από το M και, με πιθανότητα 1, το όριό της ισούται με X T αφού P(T < ) = 1. (iii) Η ισότητα X n T = X 0 + n T k=1 (X k X k 1 ) δίνει X n T X 0 + MT για κάθε n 0 και ω Ω. Η E(T) < δίνει P(T < ) = 1, οπότε lim n X n T = X T με πιθανότητα 1. Επειδή E( X 0 + MT) <, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έπεται το συμπέρασμα. Τώρα, συνδυάζοντας τις (3.5), (3.6) με την (3.7), παίρνουμε τις (3.8), (3.9), (3.10). 3.6 Εφαρμογές στον απλό τυχαίο περίπατο Σε αυτή την παράγραφο δουλεύουμε στο πλαίσιο του Παραδείγματος 3.2. Η τιμή S n είναι το συνολικό κέρδος του παίχτη Α ακριβώς μετά το παιχνίδι n (δες ακριβώς μετά το Παράδειγμα 3.2). Για κάθε ακέραιο r, θέτουμε T r := inf{k 0 : S k = r},
9 3.6 Εφαρμογές στον απλό τυχαίο περίπατο 25 που είναι η στιγμή κατά την οποία το κέρδος του παίχτη γίνεται r για πρώτη φορά. Εστω ότι ο παίχτης έχει συνολικό κεφάλαιο a (a < 0) ενώ το καζίνο b, με a, b Z. Αν T b < T a, τότε ο παίχτης καταφέρνει να οδηγήσει το καζίνο σε χρεωκοπία, ενώ αν T a < T b, τότε χρεωκοπεί ο παίχτης. Το παιχνίδι τελειώνει τη χρονική στιγμή T b T a, όταν κάποιος από τους δύο χρεωκοπεί. Το επόμενο παράδειγμα δίνει τη μέση διάρκεια του παιχνιδιού και την πιθανότητα να κερδίσει ο παίχτης Α. Παράδειγμα 3.17 ( Εξοδος από διάστημα). Θεωρούμε ακεραίους a, b με a < 0 < b και θέτουμε T = T a T b. Θα δείξουμε ότι (i) E(T) <, (ii) P(T b < T a ) = (iii) E(T) = a b. a b + a, Η πρώτη είναι η πιθανότητα ο απλός τυχαίος περίπατος να βγεί από το διάστημα (a, b) στο σημείο b και T := T a T b είναι ο χρόνος εξόδου. S n b T a n T b a Σχήμα 3.3: Χρόνος ως την πρώτη έξοδο από το διάστημα (a, b). Στη συγκεκριμένη πραγματοποίηση, T = T a αφού T a < T b. (i) Χρησιμοποιώντας το Παράδειγμα 3.2 και την Πρόταση 3.15, έχουμε ότι η (Z n ) n 0 με Z n := S 2 n T (n T) για κάθε n N είναι martingale. Η E(Z n) = E(Z 0 ) = 0 δίνει E(S n T 2 ) = E(n T) (3.11) για κάθε n N. Το δεξί μέλος της τελευταίας ισότητας, για n, συγκλίνει στο E(T) (θεώρημα μονότονης σύγκλισης). Το αριστερό μέλος είναι φραγμένο από το max{a 2, b 2 } λόγω του ορισμού του T. Επεται ότι E(T) < και άρα P(T < ) = 1. (ii) Η (W n ) n 0 με W n := S n T για κάθε n N είναι ένα φραγμένο martingale. Ετσι η E(W n ) = E(W 0 ) = 0 δίνει E(S n T ) = 0, και το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης δίνει E(S T ) = 0 (αφού T < με πιθανότητα 1). Προφανώς {T < } = {T a < T b } {T b < T a }, και S T = a στο {T a < T b }, ενώ S T = b στο {T b < T a }. Αρα 0 = E(S T ) = E(S T 1 Ta <T b ) + E(S T 1 Ta >T b ) = a P(T a < T b ) + b P(T a > T b ) και έτσι προκύπτει ο ισχυρισμός (i). = a{1 P(T b < T a )} + b P(T b < T a ) = a + (b a) P(T b < T a ),
10 26 Martingales (iii) Συνεχίζουμε από την (3.11). Επειδή έχουμε P(T < ) = 1, εφαρμόζοντας το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης στο αριστερό μέλος της (3.11) και το θεώρημα μονότονης σύγκλισης στο δεξί, παίρνουμε E(T) = E(S T 2 ) = a2 P(T a < T b ) + b 2 P(T a < T b ) = a 2 b b + a + a b2 b + a = a b. Χρησιμοποιήσαμε το (ii) στη δεύτερη ισότητα. Παράδειγμα 3.18 (Χρόνος μέχρι κέρδος 1). Υπενθυμίζουμε ότι έχουμε ορίσει Θα δείξουμε ότι: T 1 := inf{n 0 : S n = 1}. S n T n (i) E(T 1 ) =. (ii) P(T 1 < ) = 1. (iii) Για κάθε k 1 ακέραιο ισχύει ( ) 1/2 P(T 1 = 2k 1) = ( 1) k+1 k P(T 1 = 2k) = 0. = ( ) 1 2k, (2k 1)2 2k k Η (iii) καθορίζει πλήρως την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής T 1. (i) Αν υποθέσουμε ότι E(T 1 ) <, τότε P(T 1 < ) = 1 και άρα P(S T1 = 1) = 1. Επίσης, η συνθήκη (iii) του θεωρήματος επιλεκτικής διακοπής θα ικανοποιούνταν και θα παίρναμε 1 = E(S T1 ) = E(S 0 ) = 0. Ατοπο. (ii), (iii) Εστω a > 0 σταθερό. Για n N, θέτουμε Z n := eax n cosh a. Επειδή οι (Z n ) n 0 είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με Z 1 > 0 και E(Z 1 ) = 1, έπεται ότι η (R n ) n 0 που ορίζεται όπως στο Παράδειγμα 3.3 είναι martingale. Ισχύει βέβαια R n = e as n /(cosh a) n για κάθε n N. Για n N δεδομένο, εφαρμόζουμε το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής για τον φραγμένο χρόνο διακοπής n T 1. Παίρνουμε ( e as ) n T 1 E (cosh a) n T = E(e as 0 ) = 1. 1
11 3.6 Εφαρμογές στον απλό τυχαίο περίπατο 27 Η συνάρτηση στη μέση τιμή είναι φραγμένη από το e a γιατί a > 0, S n T1 1, από τον ορισμό του T 1, και cosh a > 1. Στο {T 1 < } έχουμε S T1 = 1 και lim n e as n T 1 (cosh a) n T 1 e a = (cosh a) T, 1 ενώ στο {T 1 = } το όριο ισούται με 0 αφού (cosh a) n T 1 = (cosh a) n, cosh a > 1 και S n T1 1. Αρα το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης δίνει E ( e a (cosh a) T 1 1 T1 < ) = 1 και άρα E ( (cosh a) T 1 1 T1 < ) = e a. Τώρα εφαρμόζουμε στην τελευταία σχέση το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης για a 0 +. Παίρνουμε έτσι P(T 1 < ) = 1. Και χρησιμοποιώντας αυτή την πληροφορία η ίδια σχέση δίνει E ( ) (cosh a) T 1 = e a για κάθε a > 0. Αυτή η ισότητα δίνει ουσιαστικά την πιθανογεννήτρια της T 1 και άρα πλήρη περιγραφή της κατανομής της T 1. Συγκεκριμένα, θέτοντας t = 1/ cosh a = 2/(e a + e a ) (0, 1), παίρνουμε e a = (1 + 1 t 2 )/t και E(t T 1 t ) = t = 1 1 t 2 ( ) 1/2 = ( 1) k+1 t 2k 1 2 t k με χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος. Καθώς το a διατρέχει το (0, ), το t διατρέχει το (0, 1). Αρα η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε t (0, 1). Ομως η T 1 είναι τυχαία μεταβλητή με τιμές ακέραιες θετικές, οπότε E(t T 1 ) = j=1 P(T 1 = j)t j. Επεται ότι και P(T 1 = 2k) = 0 για κάθε k N +. P(T 1 = 2k 1) = ( 1) k+1 ( 1/2 k ) = k=1 1 (2k 1)2 2k Παρατήρηση 3.19 (Ασυμμετρικός τυχαίος περίπατος στο Z). Εστω (X i ) i 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με P(X 1 = 1) = p, P(X 1 = 1) = 1 p =: q, όπου p (0, 1). Ως συνήθως, θεωρούμε την ακολουθία τυχαίων μεταβλητών (S n ) n 0, με S 0 := 0, S n := X X n για n N +. Ορίζουμε για r Z την τυχαία μεταβλητή T r := inf{k 0 : S k = r}. Θα δείξουμε ότι για a < 0 < b ακεραίους ισχύει P(T a T b < ) = 1. Δηλαδή, ο ασυμμετρικός τυχαίος περίπατος βγαίνει με πιθανότητα 1 από το διάστημα (a, b). Εστω l := a +b το μήκος του διαστήματος. Για n N + θέτουμε A n := {X k = 1 για k = nl + 1, nl + 2,..., nl + l}. Τι συμβαίνει κατά τους χρόνους k τους οποίους περιορίζει το A n ; Ο τυχαίος περίπατος ξεκινάει από μια τιμή (τη S nl ) και αυξάνει για l διαδοχικά βήματα. Αν συμβεί ένα από τα A n, τότε σίγουρα ο περίπατος βγαίνει από το διάστημα (a, b). Τα {A n : n 1} είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και το καθένα έχει πιθανότητα s := p l > 0. Ισχυριζόμαστε ότι η ένωσή τους έχει πιθανότητα 1, δηλαδή με πιθανότητα 1 κάποιο από τα A n συμβαίνει [Το δεύτερο λήμμα Borel-Cantelli δίνει ότι, με πιθανότητα 1, άπειρα από τα A n συμβαίνουν, αλλά θέλουμε να το κάνουμε εντελώς στοιχειωδώς]. Εξετάζουμε την πιθανότητα του συμπληρώματος της ένωσης. Δηλαδή υπολογίζουμε P( n=1 Ac n) P( N n=1 Ac n) = (1 s) N 0 για N. Η ισότητα είναι συνέπεια της ανεξαρτησίας. Αρα P( n=1 A n) = 1. Επειδή, όπως σχολιάσαμε πιο πάνω, {T a T b = } ( n=1 A n) =, έπεται ότι P(T a T b = ) = 0. Περισσότερα για τον ασυμμετρικό τυχαίο περίπατο θα δούμε στις ασκήσεις. ( ) 2k k
12 28 Martingales 3.7 Ανισότητα Doob Θα χρειαστούμε αργότερα την εξής ισχυροποίηση της ανισότητας Markov. Θεώρημα 3.20 (Ανισότητα Doob). Εστω X = (X n ) n 0 submartingale και n N. Τότε για κάθε λ > 0 έχουμε P( sup X k λ) 1 0 k n λ E(X+ n ). Απόδειξη. Για k N με 0 k n, έστω A k := {X k λ > X i για κάθε i < k} F k. Θέτουμε M := sup 0 k n X k. Τότε {M λ} = n k=0 A k και τα σύνολα της ένωσης είναι ξένα ανά δύο. Επειτα, από την Πρόταση 3.8 έχουμε ότι η (X + n ) n 0 είναι submartingale (η f (x) = x + είναι αύξουσα και κυρτή), άρα E(X + n ) n E(X n + 1 Ak ) = k=0 n E(X k + 1 A k ) k=0 n n E(E(X n + 1 Ak F k )) = E(E(X n + F k )1 Ak ) k=0 k=0 n λ P(A k ) = λ P(M λ). k=0 Στην πρώτη ανισότητα χρησιμοποιήσαμε το ότι η X n + 0 και το ότι τα {A k : 0 k n} είναι ξένα ανά δύο. Στη δεύτερη ισότητα, το ότι A k F k. Τέλος, στη δεύτερη ανισότητα, το ότι η (X n + ) n 0 είναι submartingale. Ασκήσεις 3.1 Εστω ότι η (X n ) n 0 είναι martingale ως προς τη διήθηση (G n ) n 0. Ορίζουμε F n := σ(x 0,..., X n ) για κάθε n N. Τότε F n G n, και η (X n ) n 0 είναι martingale ως προς την (F n ) n Εστω (X n ) n 0 supermartingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 0. (α) Να δειχθεί ότι για A F m και n > m ισχύει A X n d P A X m d P. (β) Υποθέτοντας ότι X n 0 για όλα τα n, να δειχθεί ότι για σταθερά m 0, i 1 έχουμε ότι σχεδόν παντού στο {X m = 0} ισχύει X m+i = 0, δηλαδή P({X m = 0}\{X m+i = 0}) = 0. (γ) Με την υπόθεση του (β), να δειχθεί ότι για σταθερό m 0 έχουμε ότι σχεδόν παντού στο {X m = 0} ισχύει X m+i = 0 για κάθε i Με (S n ) n 0 και (F n ) n 0 όπως στο Παράδειγμα 3.2, να δειχθεί ότι η (Z n ) n 0 με Z n := S 3 n 3nS n για κάθε n N είναι martingale ως προς την (F n ) n Εστω (S n ) n 0 ο ασυμμετρικός τυχαίος περίπατος όπως ορίστηκε στην Παρατήρηση 3.19 και ορίζουμε τη διήθηση (F n ) n 0 ως F 0 := {, Ω}, F n := σ(x 1, X 2,..., X n ) για n 1. Να δειχθεί ότι οι ακολουθίες (W n ) n 0, (M n ) n 0 με είναι martingales ως προς την (F n ) n Εστω (S n ) n 0 ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z. W n := S n (p q)n, M n := (q/p) S n (α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P(S n = k) για τις διάφορες τιμές των n N, k Z.
13 3.7 Ανισότητα Doob 29 (β) Να δειχθεί ότι P(S 2n = 0) 1 πn καθώς n. (γ) Εστω N = {n 1 : S 2n = 0}. Να δειχθεί ότι E(N) =. 3.6 Να δειχθεί ότι η συνθήκη του Ορισμού 3.12 είναι ισοδύναμη με την {T = n} F n για κάθε n N. 3.7 Αν k N { }, να δειχθεί ότι η σταθερή τυχαία μεταβλητή T = k είναι χρόνος διακοπής. 3.8 Αν οι τυχαίες μεταβλητές S, T είναι χρόνοι διακοπής ως προς μια διήθηση (F n ) n 1, να δειχθεί ότι χρόνοι διακοπής ως προς την ίδια διήθηση είναι επίσης και οι τυχαίοι χρόνοι S T, S T, S + T. 3.9 Αν η ανέλιξη X = (X n ) n 0 είναι προσαρμοσμένη στη διήθηση (F n ) n 0, και T είναι χρόνος διακοπής ως προς την ίδια διήθηση, να δειχθεί ότι για κάθε n N η συνάρτηση X T n είναι F n -μετρήσιμη. Ιδιαιτέρως, η X T n είναι τυχαία μεταβλητή (Το πρόβλημα εξόδου για τον ασυμμετρικό τυχαίο περίπατο) Συνεχίζουμε στο πλαίσιο της Ασκησης 3.4. Υποθέτουμε ότι p > q (και άρα p > 1/2). Για κάθε ακέραιο r, θέτουμε T r := inf{k 0 : S k = r}. Και έστω φ : R R η συνάρτηση με φ(x) = (q/p) x για κάθε x R. (α) Για ακεραίους a, b με a < 0 < b, να δειχθεί ότι P(T a < T b ) = φ(b) φ(0) φ(b) φ(a). [Σημείωση: Ξέρουμε ήδη από την Παρατήρηση 3.19 ότι P(T a T b < ) = 1.] (β) Για a < 0 ακέραιο, να δειχθεί ότι P(T a < ) = 1/φ(a) < 1. (γ) Για b > 0 ακέραιο, να δειχθεί ότι P(T b < ) = 1. (δ) Για b > 0 ακέραιο, να δειχθεί ότι E(T b ) = b/(p q) Θεωρούμε την ειδική περίπτωση του Παραδείγματος 3.3, κατά την οποία η Z 1 παίρνει τις τιμές 0 και 2 με πιθανότητα 1/2 την καθεμία. Θεωρούμε τις (F n ) n 0, (R n ) n 0 όπως εκεί και τον χρόνο διακοπής N := min{n 1 : R n = 0}. Τι κατανομή έχει ο N; Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής για το martingale R και τον χρόνο N; 3.12 Εστω (S n ) n 0 ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z και (F n ) n 0 η διήθηση όπως πριν το Παράδειγμα 3.2. Θέτουμε J 0 = 0 και n 1 J n := 1 S k =0 για κάθε n 1. k=0 Δηλαδή η J n μετράει τον αριθμό των επισκέψεων του περιπάτου στο 0 ως τον χρόνο n 1 (ξεκινώντας από τον χρονο 0). Θέτουμε επίσης M n = S n J n για κάθε n 0. (α) Να δειχθεί ότι η (M n ) n 0 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 0. (β) Εστω a θετικός ακέραιος και T a := min{k 0 : S k = a}. Να δειχθεί ότι E(J Ta ) = a Οι καλεσμένοι σε ένα πάρτυ έχουν πλήθος K και έχουν αφήσει στην είσοδο το σακάκι τους. Κάποια στιγμή αποφασίζουν όλοι να φύγουν και ο οικοδεσπότης τούς μοιράζει τυχαία τα σακάκια. Οσοι πάρουν το δικό τους αποχωρούν, ενώ για τους υπόλοιπους, ο οικοδεσπότης επαναλαμβάνει τη διαδικασία όσες φορές χρειαστεί ώσπου να βρει ο καθένας το σακάκι του. Εστω A n το πλήθος των καλεσμένων που δεν έχουν βρει το σακάκι τους μετά τη n μοιρασιά του οικοδεσπότη (A 0 = K). (α) Να δειχθεί ότι η (A n + n) n 0 είναι martingale. (β) Εστω T ο αριθμός των φορών που ο οικοδεσπότης κάνει τυχαία μοιρασιά ώσπου όλοι να έχουν βρει το σακάκι τους. Να δειχθεί ότι P(T > n) a n για κάθε n 1 όπου a = 1 (K!) 1 (0, 1).
14 30 Martingales (γ) Να δειχθεί ότι E(T) = K (Αλλαγή μέτρου και martingales) Εστω (Ω, F, P) χώρος πιθανότητας, (F n ) n 1 διήθηση σε αυτόν, f, Q όπως στην Ασκηση 2.14, και (X n ) n 1 ακολουθία τυχαίων μεταβητών με τιμές στο R. Ορίζουμε f n := E( f F n ) για κάθε n 1. Να δειχθεί ότι τα εξής δύο είναι ισοδύναμα. (α) Η (X n ) n 1 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 1 και το μέτρο Q. (β) Η (X n f n ) n 1 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 1 και το μέτρο P. [Υπόδειξη: Χρησιμοποιούμε την Ασκηση 2.14 και τις Προτάσεις 2.9, 2.10]
Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Διαβάστε περισσότερα5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠαντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Διαβάστε περισσότεραΑνεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Διαβάστε περισσότεραΑποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Διαβάστε περισσότεραΕστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Διαβάστε περισσότεραΟ Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Διαβάστε περισσότεραΟ τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Διαβάστε περισσότεραΑς υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Διαβάστε περισσότεραΟι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστικές συναρτήσεις
13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα
Διαβάστε περισσότερα{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΔημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότερα602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Διαβάστε περισσότερα«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΧαρτοφυλάκια και arbitrage
16 Χαρτοφυλάκια και arbitrage 16.1 Αγορές μετοχών Ποια είναι η χρήση και η σημασία των μετοχών μιας εταιρείας; Κατά τη σύστασή της ή σε άλλες στιγμές του χρόνου ύπαρξής της χρειάζεται να συγκεντρώσει κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότερα21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
Διαβάστε περισσότεραΕξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραHY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Διαβάστε περισσότεραΤο κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΗ ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2
Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2. Σάμης Τρέβεζας
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2 Σάμης Τρέβεζας ii ΣΑΜΗΣ ΤΡΕΒΕΖΑΣ Λέκτορας Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Πιθανότητες ΙΙ Σημειώσεις σε εξέλιξη... (02/03) Περιεχόμενα 1 Δομές σε Οικογένειες
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Διαβάστε περισσότεραιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Διαβάστε περισσότεραΔ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Διαβάστε περισσότεραΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΙσοπεριμετρικές ανισότητες για το
Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss Διπλωματική Εργασία Μαρία Μαστροθεοδώρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 018 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα................................
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαβάστε περισσότερα1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραCSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Διαβάστε περισσότερατους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΤο Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann
Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Διαβάστε περισσότερα( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
Διαβάστε περισσότεραPointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2
Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση
Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.
Διαβάστε περισσότερα"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει
Διαβάστε περισσότεραΗ έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν
Διαβάστε περισσότερα17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Διαβάστε περισσότεραΤρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
Διαβάστε περισσότεραΑρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το
Διαβάστε περισσότεραΑρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.
1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές
Διαβάστε περισσότερα(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο
Διαβάστε περισσότεραΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!
Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΤο υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
Διαβάστε περισσότεραΗμέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης
Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Διαβάστε περισσότεραΑναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική
Διαβάστε περισσότερα