Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017"

Ὀφιοῦχος Ιωάννου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με <. Θα αοδείξουμε ότι f( ) < f( ). Στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εομένως υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε: οότε: Εειδή f(ξ) > και >, έχουμε ότι: f( ) f( ) f(ξ) = f f = f (ξ)( ). f( ) f( ) > f( ) < f( ). Α. α. Ο ισχυρισμός "κάθε συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής στο, είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό" είναι ΨΕΥΔΗΣ., β. Έστω η συνάρτηση f() = =., < Η f είναι συνεχής στο =, αλλά δεν είναι αραγωγίσιμη σ' αυτό, αφού: f() f() lim = lim =, ενώ + + f() f() lim = lim =. + Σελίδα /8

2 Α3. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και ειλέον ισχύουν: limf() = f(α) και + α limf() = f(β). β Α. α) ΛΑΘΟΣ Έχουμε αροσδιόριστη μορφή ( + ) β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ Έστω η συνάρτηση δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ f() 3 =. Η f είναι αραγωγίσιμη στο και δεν αρουσιάζει ακρότατα. Όμως είναι f () = 3 για κάθε και η ισότητα f () = ισχύει μόνο για το διακεκριμένο σημείο =. f () Β. ΘΕΜΑ Β = ln, > και g() =,. { } A = A και g() A f g g f Έχουμε: Ag g() A > ( ) > (,) f Εομένως A (, ) f g=. Ο τύος της f g είναι: (f g)() = f g() = ln g() = ln, (, ). Σελίδα /8

3 Β. h() = (f g)() = ln, (, ) Η συνάρτηση h είναι αραγωγίσιμη στο (, ) ως σύνθεση και ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με: h () = + ( ) = > ( ) για κάθε (, ), άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα, εομένως και στο (, ), οότε αντιστρέφεται. Η συνάρτηση h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A = (, ), εομένως το σύνολο τιμών της h είναι: Είναι: = u u u ( lim h(), lim h() + ) h(a) =. lim h() = lim ln = lim ln u = ω lim h() = lim ln = lim ln ω = + ω + ω + = Άρα το σύνολο τιμών της h είναι: h(a) = (, + ). Θέτουμε h() Τελικά είναι: = y και έχουμε: y y h() = y ln = y = e = e () y y y y y y = e e + e = e (e + ) = e = h (y) = y e y e +, y y. y e y e + με y y h () = e e + με. Σελίδα 3/8

4 Β3. φ() = h () = e e +, Η συνάρτηση φ είναι αραγωγίσιμη στο ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων με: e (e + ) e e e φ () = = (e + ) + e e = e > (e + ) (e + ) για κάθε, άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο και φυσικά δεν έχει ακρότατα. Η συνάρτηση φ είναι αραγωγίσιμη στο ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων με: e (e + ) e (e + ) e e (e + ) e (e + ) φ () = = (e + ) (e + ) e (e + ) (e + e ) e (e + ) ( e ) = = (e + ) (e + ) Το ρόσημο και ο μηδενισμός της φ () εξαρτώνται μόνο αό την οσότητα: διότι + (e + ) e (e ) > για κάθε. e Έχουμε: e = e = e = e = e > e < e < e < e < e > e > e > Το ρόσημο της φ () και το είδος της κυρτότητας της φ συγκεντρώνονται συνοτικά στον εόμενο ίνακα: Η συνάρτηση φ είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και αρουσιάζει στο = Α,. σημείο καμής το A, φ(), δηλαδή το Σελίδα /8

5 Β. Η συνάρτηση φ έχει εδίο ορισμού το (, + ). Έχουμε: + + lim φ() = lim e = lim e =, e + e + + DLH + άρα η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ στο +. Είσης είναι: e lim φ() = lim = = =, e + + άρα η ευθεία y= (δηλαδή ο άξονας ) είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ στο. Με βάση τα ροηγούμενα συμεράσματα, η ζητούμενη γραφική αράσταση της συνάρτησης φ είναι αυτή ου φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: f() Γ. ΘΕΜΑ Γ = ημ, [, ] Η συνάρτηση f() = ημ είναι αραγωγίσιμη στο [, ] με f () = συν. Έστω Σ(, f ( ) ) το σημείο εαφής της ζητούμενης εφατομένης με τη C f. Η εξίσωση της εφατομένης στο Σ είναι: ε : y f = f ( ) ε : y + ημ =συν ( ). Σελίδα 5/8

6 Η εφατομένη διέρχεται αό το σημείο A (, ) αν και μόνο αν: + = + + ημ =συν ( ) ημ συν συν συν + ημ συν. Θεωρούμε συνάρτηση g() = συν + ημ συν, με [, ]. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [, ], ως ράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη στο (, ), ως ράξεις μεταξύ αραγωγίσιμων συναρτήσεων, με g () = ημ + συν συν + ημ g () = ( ) ημ. Το ρόσημο και ο μηδενισμός της g () εξαρτώνται μόνο αό το, διότι ημ > για κάθε (, ). Το ρόσημο της g () και η μονοτονία της g() συγκεντρώνονται συνοτικά στον αρακάτω ίνακα: Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο g() = συν + ημ συν = = g = συν + ημ συν = + = g() = συν + ημ συν = + = + = Σελίδα 6/8, και γνησίως αύξουσα στο,. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [, ], εομένως (σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής) θα αίρνει μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμή στο [, ]. Πράγματι η g αρουσιάζει ολικό μέγιστο στις θέσεις και το g() = g() = και ολικό ελάχιστο στη θέση το g = <.

7 Άρα η εξίσωση g() = έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις = και =. Εομένως οι ζητούμενες εφατομένες είναι στα σημεία με τετμημένες = και =. Είναι: f () = ημ =, f() = ημ=, f () = συν =, f() = συν = ( ) = Η εξίσωση της εφατομένης της Η εξίσωση της εφατομένης της C f στο = έχει εξίσωση: ε : y f () = f () y = ( ) ε :y=. C f στο = έχει εξίσωση: ε : y f() = f () y = ε :y=. Γ. Σελίδα 7/8

8 E είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη ευθείες = και =. C f, τον άξονα και τις Η f είναι συνεχής στο [, ] και f() =ημ για κάθε [, ], άρα: E = f ()d = ημd = ημd = = [συν] =(συν συν) = ( ) = = Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη άρα: C f και τις ευθείες ε, ε, Ε = Ε ΟΑΣ Ε = = =. Τότε: Ε = = =. Ε 8 Γ3. Θέλουμε να υολογίσουμε το όριο f() + ημ + L = lim = lim f() + ημ + lim ( ημ + ) = ημ + = > lim ( ημ + ) =ημ + = Μας αομένει να ροσδιορίσουμε το ρόσημο του αρονομαστή για ( δ, ). Η f είναι συνεχής στο [, ] f () = συν, άρα f () = ημ > για κάθε (, ), εομένως η συνάρτηση f είναι κυρτή στο [, ]. Σελίδα 8/8

9 Η ευθεία ε :y= είναι εφατομένη της C f στο, άρα η C f βρίσκεται άνω αό την εφατομένη, με εξαίρεση το σημείο εαφής Σ(, ). Δηλαδή ισχύει ότι: f() για κάθε [, ] ημ για κάθε [, ] με την ισότητα να ισχύει μόνο για ημ + για κάθε [, ] =. Εομένως είναι: ημ + > για ( δ, ). Τότε: + ημ + L = lim =+ ημ + Γ. Στο ερώτημα Γ3 δείξαμε ότι: με την ισότητα να ισχύει μόνο για Εομένως για [, e] είναι: Οι συναρτήσεις f() e και f() για κάθε [, ] =. f() > (διά > ) f() f() > >. είναι συνεχείς στο [, e], άρα: f() e e f() d > d d [ ln ] > e e f() d e ln e > + e f() d > e. Σελίδα 9/8

10 ος τρόος Ισχύει ημ για κάθε [, ], με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Εομένως για κάθε [, e] είναι: ημ (διά > ) ημ f () με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Οι συναρτήσεις f() και είναι συνεχείς στο [, e], άρα: ef() e d > d e f() d e > [ln ] e f() d ln e ln > + e f() d >. Αρκεί να αοδείξουμε ότι > e > e, ου ροφανώς ισχύει. ΘΕΜΑ Δ f() =, [, ) 3 e ημ, [, ] Δ. 3 =, η οοία είναι συνεχής ως σύνθεση των συνε- Για κάθε [, ) είναι f() χών συναρτήσεων και 3. Για κάθε (, ] είναι f() = e ημ, η οοία είναι συνεχής ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων e και ημ. Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο. Έχουμε: Σελίδα /8

11 f () = e ημ= = lim f () = lim 3 = Άρα είναι στο [, ]. Σχόλιο lim f () = lim e ημ = + limf() = f() =, άρα η f είναι συνεχής στο. Συνεώς η f είναι συνεχής Εδώ ο μαθητής αναμένει το θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής, ου ίσως εηρεάσει τα αρακάτω... Τα κρίσιμα σημεία της f θα αναζητηθούν στο (, ) : Στο σημείο είναι: f() f() e ημ ημ Α = lim = lim = lim e = = f() f() B = lim = lim 3 Το όριο Β οδηγείται στη μορφή και ο μαθητής έχει κυρίως τις εξής ειλογές: < 3 B = lim = lim = lim = lim = lim = είτε να ροχωρήσει σε κανόνα de l Hôpital κρίνοντας αραγωγίσιμη την 3 στο (, ) με: Έτσι: = = B = DLH lim = lim = 3. Συνεώς η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο, το οοίο ροφανώς είναι κρίσιμο σημείο της f. Σελίδα /8

12 Σχόλιο Ο μαθητής ου ειλέγει τον κανόνα de l Hôpital έχει ήδη ροχωρήσει στην αραγώγιση της f() με [, )... Έτσι για κάθε (, ) η συναρτήσεων με Διαφορετικά: f() 3 3 = = = f() 3 = είναι αραγωγίσιμη ως σύνθεση αραγωγίσιμων f () = = = < 3 < 3 3 = ( ), οότε για κάθε (, ) f () = ( ) = ( ) = ( ) < 3 3 για κάθε [, ) Συνεώς δεν υάρχει κρίσιμο σημείο της f στο [, ). = e ημ είναι αραγωγίσιμη ως γινόμενο α- Για κάθε (, ) η συνάρτηση ραγωγίσιμων συναρτήσεων με f() f () = e ημ + e συν = e (ημ + συν) Το ρόσημο και ο μηδενισμός της f () εξαρτώνται μόνο αό τη συνάρτηση: καθώς e > για κάθε (, ). ημ + συν, Άρα f () = ημ + συν =, με (, ), άρα = 3. Η είλυση αυτή αρκεί, καθώς στο συγκεκριμένο διάστημα (, ) γνωρίζουμε, αό τις ίδιες τις συναρτήσεις ημ, συν και τις γραφικές τους αραστάσεις, ότι δίνουν ακριβώς αντίθετες τιμές εκεί: συν 3 =, ημ 3 = και μόνον εκεί! Εδώ ακριβώς τίθεται ένα σοβαρό θέμα, καθώς η αόειρα τριγωνομετρικής είλυσης αναλυτικά, ααιτεί γνώσεις και χρόνο! Σελίδα /8

13 ος τρόος Άρα: f () = ημ + συν = ημ =συν ημ =ημ ημ = ημ = κ + ή = κ +, κ και κατόιν να βρούμε το κ, με δεδομένο ότι (, )... ος τρόος f () = ημ + συν = () Έστω ότι =, τότε αό () έχουμε =, το οοίο είναι άτοο, οότε διαιρούμε με συν, οότε έχουμε: εφ + = εφ = άρα = 3, κατευθείαν, διότι (, )... 3ος τρόος f () = ημ + συν = ημ + συν = εφ ημ + συν = ημ ημ συν ημ ημ συν συν + = συν + = συν συν + ημ ημ = συν = Προφανώς η ειτροή είχε στο μυαλό της κατευθείαν το καθαρό = 3, με τη λογική ότι γνωρίζουμε τις συναρτήσεις στο (, ), γνωρίζουμε τα "σκίτσα" τους, άρα μορούμε να αιτιολογήσουμε... Μια λογική ου εέβαλε το Γ, η οοία όμως θέτει το ερώτημα αν άλι μέσω "σκίτσου" και "γνωρίζουμε" δικαιολογείται και το ρόσημο της f (), (, ) στο Δ. Τελικά τα κρίσιμα σημεία της f είναι το και το 3. Σελίδα 3/8

14 Δ. Για κάθε (, ) είναι f () <, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Για κάθε (, ) είναι Για την εύρεση του ροσήμου της f (): ος τρόος Καθώς το 3 f () = e (ημ + συν), με f () = = 3. είναι μοναδική λύση της εξίσωσης f () =, (, ), η f () ως συνεχής συνάρτηση διατηρεί σταθερό ρόσημο σε καθένα αό τα διαστήματα (, 3 ) (. Παρατηρούμε ότι: 3, f = e >, άρα f () > για κάθε 3 (, ) f() = e <, άρα f () < για κάθε 3 (,. ος τρόος, ενώ Ζωγραφίζουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων ημ και συν στο [, ]: και Σελίδα /8

15 Παρατηρούμε ότι: για κάθε 3 (, ) είναι ημ >συν ημ + συν > f () >, ενώ: για κάθε 3 (, είναι ημ συν ημ συν f () < + < <. 3ος τρόος (τριγωνομετρική είλυση) f () > ημ + συν > (διά ημ > στο (, ) ) + σφ > σφ > σφ > σφ 3 < < 3, διότι η συνάρτηση σφ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ). Εντελώς ανάλογα βρίσκουμε ότι f () < > 3. Το ρόσημο της f () και η μονοτονία της f() συγκεντρώνονται συνοτικά στον αρακάτω ίνακα: Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ], γνησίως αύξουσα στο, 3 και γνησίως φθίνουσα στο 3,. f ( ) =, f () =, f 3 3 = e, f() =. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ], εομένως (σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης 3 = e, καθώς διαισθητική αάντηση. και ελάχιστης τιμής) θα αίρνει μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμή στο [, ]. Πράγματι η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στις θέσεις και το f() = f() = και ολικό μέγιστο στη θέση 3 το f 3 3 e Σελίδα 5/8 >. Εδώ ααιτείται αόδειξη και όχι

16 Έτσι: άρα 3 3 e e > > >, 3 3 e > e >. Εομένως το σύνολο τιμών της f είναι το 3, e. Το σχήμα ου ακολουθεί δεν ααιτείται αό την άσκηση, αρατίθεται όμως για λόγους εοτείας. Δ3. Με [, ] θεωρούμε τη συνάρτηση 5 h() e ημ e =, άρα E = h() d. Διερευνούμε το ρόσημο της = με [, ], μέσω της αράστασης: h() e (ημ e ) ημ e ος τρόος Είναι, άρα, άρα e ημ. Σύντομα λοιόν ροκύτει ότι ημ e. Σελίδα 6/8

17 ος τρόος Μελετούμε τη συνάρτηση q() = e, με q () = e. Αοδεικνύεται ότι έχει ολικό ελάχιστο τον αριθμό ln +. Εομένως: q() < για κάθε e < < e για κάθε. Έτσι με [, ] είναι ημ < e, δηλαδή Εομένως h() < για κάθε [, ], άρα: Υολογίζουμε: ημ < e E = h()d = e ημ e d = e ημd + e d = = = = Ι e ημd (e ) ημd [e ημ] e συνd (e ) συνd. = [e συν] + e ( ημ)d =[e συν] e ημd Άρα: e + Ι = ( e ) Ι Ι = e + Ι =. και: 5 e 5 5 Ι = e d [e ] = = 5 5 Τελικά: 5 5 e + e e e + Ε= Ι+ Ι = + Ε=. 5 5 Σελίδα 7/8

18 Δ. Η εξίσωση 3 3 6e f () e ( 3) 8 = ισοδύναμα γράφεται: f () = 8 e 6f () 6 = 8 e f() = e + e f() =. Γνωρίζουμε αό το σύνολο τιμών της f ότι: Εομένως: 3 f() e για κάθε [, ]. 3 3 f() e e f() για κάθε [, ], με την ισότητα να ισχύει μόνο για = 3. Είσης ( 3 ), με την ισότητα να ισχύει μόνο για = 3. Άρα αό την εξίσωση: ισοδύναμα έχουμε: e f() = 3 = και e 3 f() = = 3 και f() = = 3. e 3 Συνεώς η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η = 3. Σελίδα 8/8 ειμέλεια λύσεων: Γιάννης Ανδρεάδης Ηλίας Ντεϊρμεντζίδης Ελένη Χατζηαοστόλου Αναστασία Χατζημιχαήλ

Σχετικά έγγραφα

Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα

. Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών