Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ.

2 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης «Απόκτηση Ακαδημαϊκής Διδακτικής Εμπειρίας σε Νέους Επιστήμονες Κατόχους Διδακτορικού» του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Ανάπτυξη Ανθρώπινου Δυναμικού, Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» που συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Page 2

3 Εισαγωγή Οι αποφάσεις που λαμβάνονται σε έναν οργανισμό ή σε μία επιχείρηση αφορούν την αποτελεσματική αξιοποίηση και χρήση των πόρων της επιχείρησης. Ως πόροι μιας επιχείρησης εννοούνται: O μηχανικός εξοπλισμός της επιχείρησης. Oι εργαζόμενοι (εργατoώρες). Tα επενδεδυμένα κεφάλαια και τα κεφαλαία κινήσεως. Oι διαθέσιμοι χώροι της επιχείρησης. Oι πρώτες ύλες κ.α. Page 3

4 Εισαγωγή Οι πόροι της επιχείρησης είναι δυνατόν να διατεθούν για: Την παραγωγή προϊόντων (όπως οι πρώτες ύλες, ο μηχανολογικός και άλλος εξοπλισμός). Παροχή Υπηρεσιών. Τη διάθεση και διανομή των προϊόντων (π.χ. μεταφορικά μέσα). Τη διαφήμιση. Διάφορες επενδυτικές αποφάσεις (π.χ. κεφάλαια της επιχείρησης). Page 4

5 Τα Στάδια της Μεθόδου Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος όπου πρέπει να ληφθεί η βέλτιστη απόφαση περιλαμβάνει συνήθως τα εξής στάδια: 1. Αναγνώριση και περιγραφή του προβλήματος. Αιτίες του προβλήματος Καθορισμός στόχων με αντικειμενικό τρόπο οποιοδήποτε λάθος θα οδηγήσει σε αποτυχία τα επόμενα στάδια. 2. Καθορισμός των παραμέτρων του προβλήματος. Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν τη λύση Πως μεταβάλλονται Page 5

6 Τα Στάδια της Μεθόδου 3. Εντοπισμός των περιορισμών του προβλήματος. 4. Αναζήτηση λύσεων και επιλογή της Βέλτιστης λύσης. Βέλτιστη λύση, με βάση των αντικειμενικό στόχο που θέσαμε στο βήμα Δοκιμή και υλοποίηση-εφαρμογή της Βέλτιστης λύσης. Page 6

7 Page 7

8 Παράδειγμα εφαρμογών Γραμμικού Προγραμματισμού Καθορισμός προγράμματος παραγωγής σε μια βιομηχανία. Καθορισμός χρονικού προγράμματος παραγωγής. Ανάπτυξη ενός συστήματος διανομής. Page 8

9 Παράδειγμα εφαρμογών Γραμμικού Προγραμματισμού Κατανομή δεδομένων προϋπολογισμού διαφήμισης. Προσδιορισμός του καλύτερου συνδυασμού εναλλακτικών επενδυτικών επιλογών. Επιλογή προγράμματος διατροφής σε νοσοκομεία και άλλα ιδρύματα. Page 9

10 Προϋποθέσεις Γραμμικού Προγραμματισμού Γραμμικότητα: όλες οι συναρτήσεις του προβλήματος είναι γραμμικές ως προς τις μεταβλητές. Ισχύουν οι ιδιότητες της αναλογικότητας και προσθετικότητας. Διαιρετότητα: οι μεταβλητές απόφασης είναι συνεχείς και μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε κλασματική τιμή. Βεβαιότητα: οι τιμές των παραμέτρων του προβλήματος είναι γνωστές με απόλυτη βεβαιότητα. Μονοδιάσταση: Βελτιστοποίηση μιας αντικειμενικής συνάρτησης. Page 10

11 Διατύπωση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Για την εφαρμογή της μεθόδου Γραμμικού Προγραμματισμού (ΓΠ) απαιτείται καταρχήν η δημιουργία μιας μαθηματικής διατύπωσης του συγκεκριμένου επιχειρησιακού προβλήματος που προσπαθούμε να επιλύσουμε. Η διατύπωση αυτή μπορεί να είναι απλή ή αρκετά πολύπλοκη ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Page 11

12 Διατύπωση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Μια από τις κλασσικές εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού είναι το πρόβλημα της μίξης της παραγωγής. Σε πολλές παραγωγικές επιχειρήσεις για την παραγωγή δύο ή περισσοτέρων προϊόντων χρησιμοποιούνται από κοινού οι περιορισμένοι διαθέσιμοι πόροι της επιχείρησης όπως: Ώρες εργασίας του προσωπικού. Ώρες εργασίας των μηχανημάτων. Πρώτες ύλες κ.λπ. Page 12

13 Διατύπωση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Η παραγωγή κάθε προϊόντος απαιτεί διαφορετική ποσότητα των διαθέσιμων πόρων και αποφέρει διαφορετικό κέρδος στην επιχείρηση. Η επιχείρηση θα επιθυμούσε να προσδιορίσει την ποσότητα που θα πρέπει να παραχθεί από το κάθε προϊόν έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει το συνολικό της κέρδος με τους περιορισμένους πόρους που διαθέτει. Page 13

14 Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Μια μαθηματική τεχνική που βοηθά στο σχεδιασμό και τη λήψη αποφάσεων σχετικά με τις απαραίτητες εξισορροπήσεις για την κατανομή των πόρων. Υπολογίζει τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή του αντικειμενικού στόχου. Εγγυάται την άριστη λύση του διατυπωμένου μοντέλου. Page 14

15 Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια ευρέως χρησιμοποιούμένη τεχνική μαθηματικής μοντελοποίησης για τον καθορισμό της βέλτιστης κατανομής των πόρων ανάμεσα σε ανταγωνιστικές απαιτήσεις. Οι πόροι μπορεί να περιλαμβάνουν πρώτες ύλες, ανθρώπινο δυναμικό, μηχανήματα, χρόνο, χρήματα, χώρο, κτλ. Όπως υποδηλώνει και η ονομασία του, αποτελείται από γραμμικές συναρτήσεις και περιορισμούς, γεγονός που σημαίνει ότι οι μεταβλητές μεταξύ τους έχουν αναλογικές σχέσεις. Page 15

16 Γραμμικός Προγραμματισμός Ο γραμμικός προγραμματισμός (αγγλ: linear programming) αποτελεί αναμφίβολα το δημοφιλέστερο μοντέλο στο χώρο της επιχειρησιακής έρευνας αλλά και της διοικητικής επιστήμης (αγγλ: management science) γενικότερα. Η μεγάλη επιτυχία που είχαν σε εφαρμογές του σε προβλήματα λήψης αποφάσεων των ιδιωτικών και δημόσιων επιχειρήσεων και οργανισμών αποδίδεται, από τη μια πλευρά στα επιτεύγματα της έρευνας μαθηματικών και οικονομολόγων σε θεωρητικό επίπεδο και από την άλλη πλευρά στην επαναστατική ανέλιξη της πληροφορικής επιστήμης και τεχνολογίας. Page 16

17 Γραμμικός Προγραμματισμός Κυριαρχεί σήμερα η αντίληψη ότι, τρεις στις τέσσερις εφαρμογές μοντέλων επιχειρησιακής έρευνας σε πραγματικά προβλήματα διοίκησης παραπέμπουν στο γραμμικό προγραμματισμό (Γ.Π.) Ο Γ.Π. χρησιμοποιείται από τους επιχειρησιακούς ερευνητές ή τους αναλυτές προβλημάτων απόφασης. Χρησιμοποιείται για τη προσέγγιση προβλημάτων κατανομής περιορισμένων πόρων ή μέσων σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Πρόκειται για το γνωστό πρόβλημα κατανομής της πίτας (resource allocation problem). Page 17

18 Γραμμικός Προγραμματισμός Προβλήματα απόφασης αυτής της μορφής είναι, για παράδειγμα: η κατανομή εργατικού δυναμικού, τεχνολογικού εξοπλισμού και πρώτων υλών σε διάφορες παραγωγικές διαδικασίες. η κατανομή κεφαλαίου σε διάφορα επενδυτικά προγράμματα. η ανάθεση σε περιορισμένο προσωπικό διαφόρων υπηρεσιών. η κατανομή καλλιεργήσιμης γης σε διάφορες αγροτικές δραστηριότητες, κ.λπ. Page 18

19 Γραμμικός Προγραμματισμός Επιδιωκόμενο αποτέλεσμα αυτών τον αποφάσεων (κριτήρια απόφασης) μπορεί να αφορά: τη μεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους από πωλήσεις. την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους παραγωγής. τη μεγιστοποίηση της απασχόλησης. την ελαχιστοποίηση των αρνητικών επιπτώσεων στο περιβάλλον, κ.λπ. Page 19

20 Μαθηματικοί ορισμοί Στη μαθηματική γλώσσα, ο Γ.Π. είναι ένα μαθηματικό μοντέλο στο οποίο επιχειρείται η βελτιστοποίηση (κριτήρια βελτιστοποίησης) αγνώστων πραγματικών μεταβλητών των οποίων το πεδίο τιμών οριοθετείται έμμεσα από γραμμικούς περιορισμούς (ανισοεξισώσεις) συναρτήσεις των μεταβλητών αυτών. Οι άγνωστες μεταβλητές προσδιορίζουν (μοντελοποιούν) το αντικείμενο απόφασης του προβλήματος και ονομάζονται για το σκοπό αυτό μεταβλητές απόφασης (decision variables). Page 20

21 Μαθηματικοί ορισμοί Η θεωρία του Γ.Π. μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 70, εξελίχθηκε ως μεθοδολογία βελτιστοποίησης ενός και μόνου κριτηρίου απόφασης με την ονομασία αντικειμενική συνάρτηση (objective function). Όμως, η πολυπλοκότητα των συστημάτων απόφασης καθώς και οι συνθήκες ανταγωνιστικότητας κάτω από τις οποίες παίρνονται οι αποφάσεις καθιστούν τη προσέγγιση αυτή κάθε άλλο παρά ρεαλιστική. Page 21

22 Μαθηματικοί ορισμοί Γι αυτό και αναπτύχθηκε η θεωρία του Γ.Π. με πολλαπλά κριτήρια απόφασης (πολυκριτήριος Γ.Π.) Από την άλλη πλευρά πάλι, αυτή η γενίκευση δεν θα μπορούσε να υλοποιηθεί χωρίς τα αποτελέσματα που έφερε ο κλασικός μονοκριτήριος Γ.Π. Page 22

23 Το Μοντέλο του Προβλήματος Τα τρία πρώτα στάδια συχνά αναφέρονται και σαν μοντελοποίηση του προβλήματος. Το μαθηματικό μοντέλο ενός προβλήματος περιλαμβάνει: 1. Τις μεταβλητές (μεταβάλουμε για να πετύχουμε το στόχο). 2. Τις παραμέτρους (Τεχνολογικοί συντελεστές) η τιμή ενός προϊόντος, η ταχύτητα ή ο χρόνος μεταφοράς του, η αναλογία ανάμιξης δυο υλικών, η αξία μιας ανθρωποώρας, κλπ. Page 23

24 Το Μοντέλο του Προβλήματος 3. Τους περιορισμούς (ή συνθήκες) - μορφή ανισοεξισώσεων. 4. Τον αντικειμενικό στόχο (ή αντικειμενική συνάρτηση, ΑΣ) δεν είναι πάντα μοναδικός αλλά μπορεί να αποτελείται από επίμέρους στόχους. Page 24

25 Χαρακτηριστικά προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Σε όλα τα προβλήματα ΓΠ αποβλέπουμε στη μεγιστοποίηση του κέρδους ή ελαχιστοποίηση του κόστους αντίστοιχα. Το κέρδος ή κόστος δίνεται από γραμμική συνάρτηση των μεταβλητών του προβλήματος η οποία αποκαλείται αντικειμενική συνάρτηση. Page 25

26 Χαρακτηριστικά προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Κάθε πρόβλημα ΓΠ περιλαμβάνει μια σειρά μεταβλητών που αντιπροσωπεύουν τις ποσότητες που πρέπει να προσδιορισθούν μέσω της επίλυσης του προβλήματος, ώστε να επιτευχθεί η μεγιστοποίηση ή η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Σε όλα τα προβλήματα ΓΠ υπάρχουν περιορισμοί οι οποίοι περιορίζουν τη δυνατότητα της απεριόριστης αύξησης της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης (δηλαδή του κέρδους). Page 26

27 Χαρακτηριστικά προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Όταν πρόκειται για ελαχιστοποίηση κόστους οι περιορισμοί του προβλήματος περιορίζουν το βαθμό στον οποίο η ελάττωση του κόστους είναι εφικτή. Σε όλα τα προβλήματα ΓΠ υπάρχουν εναλλακτικές λύσεις, εκ των οποίων θα επιλεγεί η βέλτιστη. Page 27

28 Παραδοχές στα προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού Υποτίθεται: 1. Οι συντελεστές των περιορισμών καθώς και οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης είναι σταθεροί και δεν υπόκεινται σε τυχαίες διακυμάνσεις. 2. Οι παραπάνω συντελεστές ισχύουν αναλογικά και αθροιστικά. Δηλαδή, οι περιορισμοί του προβλήματος είναι γραμμικοί. 3. Υποθέτουμε επίσης ότι η παραγωγή είναι συνεχής, δηλαδή είναι δυνατή η παραγωγή οποιασδήποτε ποσότητας ακεραίας ή κλασματικής. Page 28

29 Βιβλιογραφία Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Κολέτσος Ιωάννης, Στογιάννης Δημήτρης, 2η έκδοση, ΑΘΗΝΑ Επιχειρησιακή έρευνα, Κώστογλου Βασίλειος Ι., Εκδόσεις Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε., Διοικητική επιστήμη, Anderson David R., Sweeney Dennis J., Williams Thomas A., Martin Kipp, Εκδόσεις ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΕ, Page 29

30 Ευχαριστώ Για Την Προσοχή Σας! Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Page 30