Moguća i virtuelna pomjeranja

Transcript

1 Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx + jδy + kδz vrtuelna pomjeranja zadovoljavaju uvjet: δf k df k t=const = N =1 δ r = 0. (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 1 / 10

2 Idealne veze Dnamka sstema sa vezama Kažemo da su veze predstavljene jednačnama f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) dealne ako je ukupn rad odgovarajućh sla reakcje na prozvoljnom vrtuelnom pomjeranju čestca sstema jednak nul, tj. N =1 F (r) δ r = 0 za sva vrtuelna pomjeranja, tj. za sve vektore δ r za koje vrjed N δ r = 0. =1 (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 2 / 10

3 Dnamka sstema sa vezama D Alembertov prncp Posmatramo mehančk sstem sa dealnm ntegrablnm vezama f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ). Za sva vrtuelna pomjeranja je δ r = 0 uvjet dealnost veza. m r = F = F (a) + F (r) => F (r) = m r F (a). D Alembertov prncp: ( m r F (a) ) δ r = 0 za sve δ r koj zadovoljavaju δ r = 0. (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 3 / 10

4 Dnamka sstema sa vezama Broj stepena slobode δ r = 0, tj. N =1 { fk δx + δy + f } k δz = 0 (k = 1, 2,..., K ) x y z K uvjeta => samo je n = 3N K komponent δx, δy, δz nezavsno. n = 3N K broj stepena slobode posmatranog mehančkog sstema. (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 4 / 10

5 Dnamka sstema sa vezama Metod Lagrangeovh multplkatora ( m r F (a) ) δ r k ( m r F (a) k ( λ k δ r ) λ k ) δ r = 0. U Descartesovm koordnatama { } ( )x δx + ( ) y δy + ( ) z δz. = 0. Koefcjent uz δx (označen sa ( ) x ) je m ẍ F (a) x k λ k x, analogno za δy δz (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 5 / 10

6 Dnamka sstema sa vezama Lagrangeove jednačne I vrste { } ( )x δx + ( ) y δy + ( ) z δz + nezavsne varjacje + zavsne varjacje { } ( )x δx + ( ) y δy + ( ) z δz = 0 Nezavsnh varjacja ma 3N K, zavsnh varjacja ma K. Bramo pogodne λ k tako da zraz { u zagradama uz zavsne } varjacju budu jednak 0. Ostaje ( )x δx + ( ) y δy + ( ) z δz = 0. nez. var. Lagrangeove jednačne I vrste: m r = F (a) + K k=1 λ k, = 1, 2,..., N f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ). (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 6 / 10

7 Dnamka sstema sa vezama Kretanje čestce po krvoj lnj Jedna čestca, dvje veze: f 1 ( r, t) = 0, f 2 ( r, t) = 0. Sla reakcje: F (r) f = λ 1 f 1 + λ 2 2. n 1 n 2 P 2 P 1 Odre dvanje sla reakcje: Iz m r = F (a) f + λ 1 f 1 + λ 2 2 skalarnm množenjem sa f 1 pojednačno, dobjaju se dvje jednačne: f 2 m r f 1 m r f 2 = F (a) f 1 = F (a) f 2 + λ 1 ( f1 + λ 1 f 1 ) 2 + λ2 f 2 f 2 + λ 2 ( f2 f 1 ; ) 2 ; z kojh nalazmo λ 1 λ 2. Članove sa r elmnramo dervranjem j-na veze. (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 7 / 10

8 Dnamka sstema sa vezama Generalsane koordnate Za sstem od N čestca sa K veza: n = 3N K broj stepena slobode. Generalsane koordnate: n varjabl q 1, q 2,..., q n za koje važ: Vektor položaja svh čestca sstema su u svakom trenutku jednoznačno odre den vrjednostma varjabl q 1, q 2,..., q n : r = r (q 1, q 2,..., q n, t) = r (q, t). Kratko, set generalsanh koordnata q = (q 1, q 2,..., q n ), a pojednačno h označavamo sa q α, (α = 1, 2,..., n). Jednačne veze su dentčk zadovoljene za sve vrjednost q (z neke oblast n dmenzonalnog prostora). f k ( r 1 (q, t), r 2 (q, t),..., r N (q, t), t ) 0 k = 1, 2,..., K, q α, t. Pr zmjen generalsanh koordnata q, vektor r (q, t) prmaju sve vrjednost dopuštene vezama. (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 8 / 10

9 Dnamka sstema sa vezama Df. j-ne kretanja u generalsanm koordnatama D Alembertov prncp: ( m r F (a) ) δ r = 0; r = r (q, t) => Moguća pomjeranja: d r = α Vrtuelna pomjeranja: δ r = (q,t) δq α α F (a) ( m r F ) (a) m r (q, t) (q,t) = α (q,t) dq α + (q,t) t. (q, t) δq α = 0 F (a) (q, t), α = 1, 2,..., n = Q α = Q α (q, q, t) generalsane sle (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 9 / 10

10 Dnamka sstema sa vezama Lagrangeove jednačne II vrste Dferencjalne j-ne kretanja u generalsanm koordnatama Lagrangeove jednačne II vrste: d dt T q α T = Q α, α = 1, 2,..., n T = 1 2 m r 2, r = r (q, q, t) Knetčka energja sstema zražena preko generalsanh koordnata brzna. Q α (q, q, t) generalsane sle. (Prrodno-matematčk fakultet u Sarajevu) 10. predavanje 10 / 10