1 Ασκήσεις. Άσκηση 1.1 Να επιλυθούν τα παρακάτω γραμμικά συστήματα.

Transcript

1 1 Ασκήσεις Άσκηση 1.1 Να επιλυθούν τα παρακάτω γραμμικά συστήματα. x 1 2x 2 + x =1 x 1 + x 2 x =0 (i) x 1 + x 2 x =2 (ii) 2x 1 2x 2 + x = 2x 1 x 2 + x =1 x 1 4x 2 +2x =4 Άσκηση 1.2 Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος x 1 x 2 + x x 4 = 1 2x 1 9x 2 x + x 4 = 1 x 1 2x 2 x +4x 4 = 5 x 1 x 2 +2x x 4 = 2 Άσκηση 1. Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση του επιπέδου στο χώρο R είναι της μορφής ax+by+cz = d να βρεθεί το επίπεδο που ορίζουν τα σημεία P 1 (1 1 0) P 2 ( 1 2 1) και P (2 1 5). Άσκηση 1.4 Να βρεθεί η λύση του συστήματος 1 x + 1 y 1 z 2 x 2 y + 1 z x 4 y + 2 z = 0 = = 4 Άσκηση 1.5 Σε μια εκλογή υπήρχαν δύο υποψήφιοι που έλαβαν ο πρώτος 52% και ο δεύτερος 48% των ψήφων. Αν ο νικητής των εκλογών έλαβε 152 ψήφους περισσότερες από τον αντίπαλό του να βρεθεί ο αριθμός των ψήφων που έλαβε έκαστος. Άσκηση 1.6 Ποια σχέση πρέπει να ικανοποιούν οι παράμετροι a b c ώστε το σύστημα να είναι συμβατό; x + y +2z = a x + z = b 2x + y +z = c Άσκηση 1.7 είξτε ότι αν οι εξισώσεις x 1 + kx 2 = a και x 1 + λx 2 = b έχουντοίδιοσύνολολύσεων τότε πρέπει να ταυτίζονται. Άσκηση 1.8 Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος x 1 +x 2 2x +2x 5 = 0 2x 1 +6x 2 5x 2x 4 +4x 5 x 6 = 1 5x +10x 4 +15x 6 = 5 2x 1 +6x 2 +8x 4 +4x 5 +18x 6 = 6 1

2 Άσκηση 1.9 Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα. x + y +2z =9 4x 8y =12 (i) 2x +4y z =1 (ii) x 6y =9 x +6y 5z =0 2x +4y = 6 Άσκηση 1.10 Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα. x y +2z t = 1 x +2y z = 52 (i) 2x + y 2z 2t = 2 (ii) 5x +y +2z =0 x +2y 4z + t =1 x + y +z =11 x t = 11x +7y = 0 Άσκηση 1.11 Αν a b και c είναι πραγματικοί αριθμοί να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα. (i) 2x + y = a x +6y = b (ii) x + y + z = a 2x +2z = b y +z = c Άσκηση 1.12 Να διερευνυθεί και να επιλυθεί το σύστημα x +2y z = 4 x y +5z = 2 4x + y +(a 2 14)z = a +2 Άσκηση 1.1 Να υπολογιστούν οι τιμές των a b c και d όταν ισχύει a b b+ c 8 1 =. d + c 2a 4d 7 6 Άσκηση 1.14 Αν D = να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Άσκηση 1.15 Αν να υπολογιστούν B = µ και E = µ C = (i) AB (ii) D + E (iii) D E (iv) DE (v) ED (vi) 7B και B = (i) ηπρώτηγραμμήτουab (ii) ητρίτηγραμμήτουab (iii) ηδεύτερηστήλητουab (iv) ηπρώτηστήλητουba (v) ητρίτηγραμμήτουa 2 (vi) ητρίτηστήλητουa 2. 2

3 Άσκηση 1.16 (i) είξτε ότι αν ο πίνακας A έχει μια μηδενική γραμμή και το γινόμενο AB ορίζεται τότε και ο πίνακας AB έχει μια μηδενική γραμμή. (ii) είξτε ότι αν ο πίνακας B έχει μια μηδενική στήλη και το γινόμενο AB ορίζεται τότε και ο πίνακας AB έχει μια μηδενική στήλη. Άσκηση 1.17 Υποθέτουμε ότι οι πίνακες A και B είναι κατάλληλου μεγέθους ώστε το γινόμενο AB να ορίζεται. (i) είξτε ότι τα στοιχεία της j-στήλης του AB είναι τα στοιχεία του γινομένου AB j όπου B j είναι η j-στήλη του πίνακα B. (ii) είξτε ότι τα στοιχεία της i-γραμμής του AB είναι τα στοιχεία του γινομένου A i B όπου A i είναι η i-γραμμή του πίνακα A. Άσκηση 1.18 Ναβρεθούνανυπάρχουνοιαντίστροφοιτωνπαρακάτωπινάκων. µ (i) A = (ii) B = (iii) C = Άσκηση 1.19 Αν A είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας και ισχύει A = 2 5 να βρεθεί ο πίνακας A. Άσκηση 1.20 Αν A = µ να υπολογιστούν οι παραστάσεις A A και A 2 2A + I. Άσκηση 1.21 Να εξαταστεί αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος και αν είναι να υπολογιστεί ο αντίστροφός του. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε το σύστημα AX = I.) Άσκηση 1.22 Αν A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση A 2 A + I =0 δείξτε ότι είναι αντιστρέψιμος και ισχύει A 1 =I A. Άσκηση 1.2 Να εξεταστεί αν το άθροισμα δύο αντιστρέψιμων πινάκων είναι αντιστρέψιμος πίνακας. Άσκηση 1.24 Θεωρούμε τους πίνακες B = και C = Να βρεθούν στοιχειώδεις πίνακες E 1 E 2 E και E 4 τέτοιοι ώστε να ισχύουν E 1 A = B E 2 B = A E A = C και E 4 C = A. Επίσης να εξεταστεί αν υπάρχει στοιχειώδης πίνακας E 5 έτσι ώστε να ισχύει E 5 B = C...

4 Άσκηση 1.25 Χρησιμοποιώντας τους στοιχειώδεις πίνακες να βρεθεί ο αντίστροφος αν υπάρχει των παρακάτω πινάκων. (i) Άσκηση 1.26 Θεωρούμε τον πίνακα (ii) B = Να γρφεί στη μορφή A = E 1 E 2 B όπου E 1 E 2 είναι στοιχειώδεις πίνακες και ο πίνακας B είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή. Άσκηση 1.27 είξτε ότι αν A είναι ένας m n πίνακας υπάρχει ένας αντιστρέψιμος πίνακας C τέτοιος ώστε ο πίνακας CA είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή. Άσκηση 1.28 Έστω AX =0ένα ομογενές γραμμικό σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους το οποίο έχει μόνον την προφανή λύση. Αν k είναι ένας θετικός ακέραιος δείξτε ότι το σύστημα A k X =0έχει μόνον την προφανή λύση. Άσκηση 1.29 Έστω AX =0ένα ομογενές γραμμικό σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους και P ένας αντιστρέψιμος n n πίνακας. είξτε ότι το σύστημα AX =0έχει μόνον την προφανή λύση αν και μόνον αν το σύστημα (PA)X =0έχει μόνον την προφανή λύση. Άσκηση 1.0 Ένα παιδί έχει ένα κουτί με 1 κέρματα. Υπάρχουν ειδών κέρματα αξίας 1 5 και 10 λεπτών. Ανησυνολικήαξίαόλωντωνκερμάτωνείναι8 λεπτά να βρείτε πόσα κέρματα από κάθε είδος υπάρχουν στο κουτί. Άσκηση 1.1 Αν a 0 b 2 a a a 2 b είναι ο επαυξημένος πίνακας ενός γραμμικού συστήματος να εξεταστεί για ποιες τιμές των a b το σύστημα έχει (i) μια μοναδική λύση (ii) μια μονοπαραμετρική απειρία λύσεων (iii) μια διπαραμετρική απειρία λύσεων (iv) καμιά λύση. Άσκηση 1.2 Αν το γραμμικό σύστημα (1 a)x 1 + x 2 x = 0 ax 2 +2x = 0 (1 + a)x = 0 δεν έχει μοναδική λύση να βρεθούν όλες οι πιθανές τιμές του a.. 4

5 Άσκηση 1. Αν (c 1 c 2 ) και (d 1 d 2 ) είναι λύσεις του ομογενούς γραμμικού συστήματος a 11 x 1 + a 12 x 2 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 = 0 δείξτε ότι (c 1 + d 1 c 2 + d 2 ) και (kc 1 kc 2 ) είναι λύσεις του συστήματος για κάθε k R. Άσκηση 1.4 Θεωρούμε το m εξισώσεων με n αγνώστους ομογενές γραμμικό σύστημα a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n =0 Αν (c 1 c 2...c n ) και (d 1 d 2...d n ) είναι λύσεις του συστήματος αυτού δείξτε ότι (c 1 + kd 1 c 2 + kd 2...c n + kd n ) είναι επίσης λύση του συστήματος για κάθε k R. Άσκηση 1.5 Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα (i) x 1 + x 2 4x +2x 4 =0 x 1 + x 2 x +2x 4 + x 5 =0 x 1 +2x 2 x +4x 4 x 5 =0 2x 1 x 2 +x x 4 + x 5 =0 (ii) x 1 x 2 + x =1 2x 1 + x 2 x =2 x 1 +4x 2 2x =1 5x 1 8x 2 +2x =5 Άσκηση 1.6 Να προσδιοριστεί η παραβολή y = ax 2 + bx + c αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από τα σημεία P 1 ( 2 ) P 2 (0 2) και P (2 6). Άσκηση 1.7 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα όταν οι παράμετροι a και b διατρέχουν το σώμα R των πραγματικών αριθμών. (a +)x 1 + x 2 +2x = a (α) ax 1 +(a 1)x 2 + x =2a (a +1)x 1 + ax 2 +(a +)x = ax 1 + bx 2 +2x =1 (β) ax 1 +(2b 1)x 2 +x =1 ax 1 + bx 2 +(b +)x =2b 1 5