ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

Transcript

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω προτάσεις : 1. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο., ο οποίος όταν.. δίνει τον αριθμό α. 2. Για να βρούμε την σχετική συχνότητα μιας τιμής, με το. των παρατηρήσεων. γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ( Σωστό ~ Λάθος ) 1. Μια εξίσωση της μορφής 0 χ = 0, είναι ταυτότητα ; 2. Η τετραγωνική ρίζα του 25 είναι ιση με το μείον πέντε ( 25= 5 ) ; Θέμα 2 ον α) Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ στο οποίο η γωνία Λ είναι ορθή, να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να γράψετε με βάση το τρίγωνο που κατασκευάσατε την σχέση που υπάρχει ~ αντιστοιχεί στις πλευρές του τριγώνου ΚΛΜ. β) Να συμπληρώσετε τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω προτάσεις : 1. Το εμβαδόν ενός τυχαίου παραλληλογράμμου του οποίου η μια πλευρά είναι ίση με α είναι ίσο με... 2 Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το.., επί το γ ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ( Σωστό ~ Λάθος ) 1. Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε : αυξάνεται το ημίτονο της, ελαττώνεται το συνημίτονο και ελαττώνεται και η εφαπτομένη της ; 2. Υπάρχει οξεία γωνία η οποία να έχει το ημίτονο της, ισο με το συνημίτονο της ;

2 Άσκηση 1 η ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η Ειρήνη, έχει πολλά στυλό, όταν την ρώτησαν πόσα στυλό έχει, η Ειρήνη απάντησε : Όλα μου τα στυλό εκτός από 5 είναι μπλε, όλα μου τα στυλό εκτός από 6 είναι κόκκινα, όλα μου τα στυλό εκτός από 7 είναι πράσινα. Πόσα στυλό έχει η Ειρήνη, και πόσα στυλό, αντιστοιχούν στο κάθε χρώμα. Άσκηση 2 η Δίνεται το διπλανό σχήμα, με βάση το σχήμα αυτό να υπολογίσετε τις τιμές των : α ~ β ~ γ ~ χ. Άσκηση 3 η Ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού έχει μήκος 3 cm. Να βρείτε πόσο διάστημα θα διαγράψει το άκρο του λεπτοδείκτη σε 12 ώρες.

3 ΤΑΞΗ: Β ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 2009 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Τι ονομάζεται συνάρτηση; B) Ποια ποσά λέγονται ανάλογα; Γ) Τι γνωρίζεται για την γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx. Να σχεδιάσετε την συνάρτηση y=-2x. ΘΕΜΑ 2 ο Α) Τι ονομάζεται ημίτονο οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε το ανάλογο σχήμα. Β) Να δικαιολογήσετε την ανίσωση 0<ημω<1. Γ) Να δείξετε ότι ημ30 ο 1 =. 2

4 Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Να λύσετε την εξίσωση: 2(x-1)-8=4(x-3) x - 3 2x 2 B) Nα λύσετε την ανίσωση: Γ) Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης είναι λύση της ανίσωσης; ΘΕΜΑ 2 ο Στο διπλανό σχήμα ισχύει: ΑΔ ΒΓ, ΑΓ=5cm, ΔΓ=4cm ο και Β ˆ = 60. Α) Να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ. Β) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ. ΘΕΜΑ 3 ο Στο διπλανό ημικύκλιο με κέντρο Ο και ακτίνα 4cm = ο ισχύει: ΒΓ 60. A) Να υπολογίσετε τις γωνίες Α, Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. B) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ορίζεται από την γωνία ΑΟΓ.

5

6

7 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ: ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ1 Ο α)τι λέγεται συνάρτηση β)τι λέγεται κλίση της ευθείας y=αx γ)να συμπληρωθούν οι προτάσεις: i) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx είναι. ii)η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx+β είναι.. ΘΕΜΑ 2 Ο α)να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα β)να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να λυθεί η εξίσωση 2 ( x 1) 1 3( 2 x) 6 x 8 = 1 ΘΕΜΑ 2 Ο Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων 2x 3 3x 2 x 1 και 2( x + 1) < 22 3x ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=10cm και ημβ= 5 4 Να βρεθούν: α) Το ύψος ΑΔ β) Η βάση ΒΓ γ) Το εμβαδό του τριγώνου

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Πότε δυο ποσά χ, ψ λέγονται ανάλογα; Ποια συνάρτηση εκφράζει αυτά τα ποσά; Ποια είναι η γραφική της παράσταση; β) Να συμπληρώσετε τις προτάσεις: i. Για το σημείο (-3,-2) ο αριθμός -3 είναι η και ο αριθμός -2 είναι η. ii. iii. Η ευθεία ψ= χ/2-3 τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο.. και η κλίση της είναι Η κλίση της ευθείας που περνάει από το (0,0) και το σημείο (-6,-3) είναι και η εξίσωση της είναι ΘΕΜΑ 2 Ο : α)τι λέμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; β) i. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω τιμές δεν μπορεί να πάρει το ημίτονο μιας γωνίας > ¾ > 4/3 > 5/2 ii. Αν ημθ=συνθ, όπου θ είναι οξεία γωνία τότε θ=30 ο θ=45 ο θ=60 ο θ=90 ο iii. Στο παρακάτω τρίγωνο να βρείτε τα ημφ, συνω, εφω Β Δ Γ Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις παραστήσετε γραφικά 2(5-2χ) -7>-26-3(χ-6) χ- 1/4 χ+ 5/6 < 2-χ- 1/6 ΘΕΜΑ 2 Ο : Στο παρακάτω σχήμα είναι ΒΕ=5cm, ΑΓ=6cm, ΑΕ=3cm και συνθ=0,8 Α Ε Β Δ Να βρείτε: α)τις πλευρές ΒΔ, ΔΕ β)το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Γ

9 ΘΕΜΑ 3 Ο : Στο παρακάτω σχήμα ο κύκλος έχει διάμετρο 30cm και ο κυκλικός τομέας ΟΑΒ έχει εμβαδόν 45π cm 2. Να βρείτε: α)το εμβαδόν του χρωματισμένου μέρους β)τη γωνία μ του κυκλικού τομέα γ)το μήκος του τόξου ΑΒ Α Ο μ Β

10

11

12 3 η ΑΣΚΗΣΗ Ένα ορθό τριγωνικό πρίσμα είναι εγγεγραμμένο μέσα σε κύλινδρο, με κοινό ύψος 10cm. Αν οι δύο πλευρές του τριγώνου της βάσης είναι ΑΜ=8cm και ΒΜ = 6cm και η τρίτη πλευρά ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου τότε : α) Να εξηγήσετε γιατί το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ορθογώνιο. β) Να βρείτε την ακτίνα ρ του κύκλου της βάσης. γ) Να υπολογίσετε τον κενό χώρο μεταξύ των δύο στερεών.

13

14

15

16

17 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1ο α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. ΘΕΜΑ 2ο α) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται; β) Να συμπληρώσετε κατάλληλα τα παρακάτω κενά: 2 Aν α 0 και α = x τότε x.. και x = Aν α 0 ( ) 2 α =. γ) Ορίζεται η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού; (Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας). ΘΕΜΑ 1 ο Δίνονται οι ανισώσεις : 9x - 4 (3x + 1) < 10x - (x-1) Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ και 1 2x 1 x + 1 x 2 x α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. β) Ποιοί από τους αριθμούς ανισώσεων; 5, 6, και 12 είναι κοινές λύσεις των

18 ΘΕΜΑ 2 ο Στο παρακάτω σχήμα το μήκος του κύκλου είναι με την κεντρική γωνία του τετραγώνου. Να βρείτε: α) την ακτίνα ρ του κύκλου και τη γωνία ω. β) το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου. 94,2cm και η γωνία ω είναι ίση ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 13 cm, ΑΓ = 10cm και γωνία Γ= 30 ο. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ, να βρείτε: α) τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ, ΔΓ και ΒΔ. β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= 169 ημβ συνβ - 12 εφβ.

19

20

21

22

23

24 Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις Μαιου Ιουνίου 2009 στα Μαθηματικά Τάξη Β ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ον α) Αν ω είναι οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου να δώσετε τους ορισμούς ημω και συνω. β) Στο διπλανό σχήμα ποιος από τους παρακάτω τριγωνομετρικούς 5 αριθμούς Α. ημω, Β. εφθ, Γ. συνω είναι το Β ω θ Α Γ Θέμα 2 ον α) Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α. β) Να (Σ) ή (Λ) τα παρακάτω: 25 = 5, ( 7) = 7, 25 = 5, = ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να λυθεί η εξίσωση: 2 x 1 3 x 2 5 x 4 7 x + 6 = ) 1 Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y=α χ+β η οποία έχει κλίση και διέρχεται από το 3 σημείο Α(-3,3). i) Να βρείτε τους αριθμούς α, β. ii) Να βρείτε τα σημεία που τέμνει τους άξονες η ευθεία αυτή. 3) Στο διπλανό σχήμα δίνεται εφθ= 4 3 και η ΑΒ=12cm, με ΒΓ Α διάμετρο του κύκλου i) Να βρείτε την πλευρά ΑΓ Β ii) την ακτίνα ρ του κύκλου iii) το μήκος L του κύκλου και το εμβαδόν Ε του κυκλικού δίσκου. 12cm θ Ο Γ

25

26 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ: Β Γυμνασίου. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μία από τις προτάσεις που ακολουθούν: (i) η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αx είναι μία ευθεία που δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σ Λ (ii) η κλίση της ευθείας με εξίσωση ψ=αx είναι ο αριθμός α. Σ Λ (iii) οι ευθείες που έχουν εξισώσεις ψ=αx και ψ=αx+β είναι μεταξύ τους κάθετες. Σ Λ (iv) η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αx+β διέρχεται από το σημείο (0,β) του άξονα ψ ψ. Σ Λ Β. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση από αυτές που προτείνονται: α (i) η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =, όπου α 0 λέγεται: x 1. καμπύλη 2. υπερβολή 3. παραβολή 4. τεθλασμένη (ii) η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1. στο 1 ο και στο 2 ο τεταρτημόριο των αξόνων. 2. στο 2 ο και στο 3 ο τεταρτημόριο των αξόνων. 3. στο 1 ο και στο 4 ο τεταρτημόριο των αξόνων. 4. στο 1 ο και στο 3 ο τεταρτημόριο των αξόνων. Γ. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: (i) η γραφική παράσταση της συνάρτησης συμμετρίας το σημείο. α ψ =, όπου α>0 βρίσκεται: x α ψ =, όπου α 0, έχει κέντρο x α (ii) η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =, όπου α 0, έχει άξονες x συμμετρίας τις των γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες με εξισώσεις ψ= και ψ= 2. Α. Να δώσετε τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μία από τις προτάσεις που ακολουθούν: (i) για κάθε οξεία γωνία ω ισχύει: 0<ημω<1. Σ Λ

27 (ii) υπάρχει οξεία γωνία ω για την οποία ισχύει: συνω>1. Σ Λ συνω (iii) για κάθε οξεία γωνία ω ισχύει: εφω =. ημω Σ Λ Γ. Στην παρακάτω πρόταση να επιλέξετε την σωστή απάντηση από αυτές που προτείνονται: Αν η ευθεία με εξίσωση ψ=αx σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα x x, τότε η κλίση της είναι ίση με: 1. ημω 2. συνω 3. εφω 4.ω ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 5x 3 2x (x 1) 11 (1 2x) και < x Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με πλευρές α, β, γ, οι οποίες δίνονται από τις παραστάσεις: α = ( 3) 2 + ( 3 ) β = γ = (i) Να υπολογίσετε τις πλευρές α, β, γ. (ii) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να εντοπίσετε την κορυφή της ορθής γωνίας. 3. Δύο κύκλοι (Κ,10 cm) και (Λ,10cm) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α και ΒΓ είναι ένα κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα. Να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ. Κ Β 10 Α 10 Γ Λ

28 Τάξη: Β Γυμνασίου Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΘΕΜΑ 1 Ο ΘΕΩΡΙΑ B ˆ = 90 α) Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με β) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να γράψετε τον τύπο του. ΘΕΜΑ 2 ο α) Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α. β) Απαντήστε σε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) στα παρακάτω ( 5) 2 = 5 Σ Λ - 9 = 3 Σ Λ 0, 81 = 0, 9 Σ Λ ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται Α = x + 1 2x x, B = 2 3 α) Να λυθεί η εξίσωση Α = Β + 2 β) Να λυθεί η ανίσωση Α>Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 2 Ο α) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(2,6) β) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α από την αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται το παρακάτω σχήμα ˆ o A = 30, BΓ = 3 Να υπολογιστούν: α) Η γωνία Γ και η πλευρά ΑΒ β) Η ακτίνα του κύκλου και η πλευρά ΑΓ γ) Το εμβαδόν του κύκλου Γ 3 30 ο Α 0 Β o

29 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ Α.ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1o α)ποιος αριθμός λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; β)για τους αριθμούς χ, ψ ισχύει : ψ = χ.στον παρακάτω πίνακα να επιλέξετε σε κάθε γραμμή ποια από τις φράσεις Β,Γ,Δ συμπληρώνει την αντίστοιχη φράση Α έτσι ώστε να προκύψει σωστή πρόταση : Α Β Γ Δ α ο χ είναι: θετικός ή μηδέν αρνητικός ή μηδέν οποιοσδήποτε αριθμός β ο ψ είναι: θετικός ή μηδέν αρνητικός ή μηδέν οποιοσδήποτε αριθμός γ ισχύει η σχέση: 2 χ = ψ 2 ψ = χ 2 2 χ = ψ. ΘΕΜΑ 2o α)να γράψετε τον ορισμό του ημιτόνου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών 30,45,60 ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη B.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνεται η εξίσωση: x + 1 x 1 x 1 = x α)προχωρώντας με βήματα από την γνωστή διαδικασία επίλυσης εξισώσεων α βαθμού να την μετατρέψετε στην εξίσωση 2χ+4+6=12χ-3χ+3 β)να λύσετε την εξίσωση 2χ+4+6=12χ-3χ+3 ΑΣΚΗΣΗ 2 η Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 200 κάτοικοι μιας πόλης : «Ποιο θεωρείτε το πιο σημαντικό πρόβλημα της πόλης σας ;»Τα αποτελέσματα φαίνονται στο παρακάτω ραβδόγραμμα:

30 Η ΙΕΡΑΡΧΙΣΗ ΤΩΝ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΠΟΛΗΣ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΤΟΙΚΟΥΣ ΤΗΣ ΠΟΣΟΣΤΟ % 20 ΣΧΕΤ.ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ% ΥΔΡΕΥΣΗ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΜΟΛΥΝΣΗ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΟ Για κάθε μια από τις ερωτήσεις του παρακάτω πίνακα να επιλέξετε τη σωστή από τις απαντήσεις Α,Β,Γ,Δ :

31 ερώτηση Α Β Γ Δ 1.η σχετική 25% 20% 10% 5% συχνότητα της τιμής «ύδρευση» είναι: 2.η συχνότητα της τιμής «εγκληματικότητα» είναι : 3. η συχνότητα της τιμής «κυκλοφοριακό» είναι: 4.το ποσοστό των 35% 40% 50% 65% κατοίκων που δεν θεωρεί το πιο σημαντικό πρόβλημα την «αποχέτευση» είναι: 5.αν κατασκευάσουμε κυκλικό διάγραμμα,η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στην τιμή «μόλυνση»θα είναι: Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Μια κλεψύδρα σχήματος κώνου «μετρά» το χρόνο αδειάζοντας 4cm 3 άμμο ανά λεπτό (min).αν η ακτίνα της βάσης είναι ρ=5 cm και η γενέτειρα λ=13 cm να βρείτε : α)το ύψος του κώνου β)τον όγκο του κώνου γ)σε πόσο χρόνο θα αδειάσει τελείως η κλεψύδρα.

32 ΤΑΞΗ Β ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1) α)πότε δυο ποσά λέγονται ανάλογα β) Ποιά συνάρτηση εκφράζει τα ανάλογα ποσά γ)τι γνωρίζετε για την γραφική παράσταση των αναλογών ποσών ΘΕΜΑ 2) α)πως υπολογίζεται το μήκος κύκλου ακτίνας ρ. β) Τι είναι ακτίνιο γ)ποιά σχέση υπάρχει μεταξύ μοιρών και ακτινίων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1) 5x 3 1 3( x 1) α)να λυθεί η εξίσωση : 1 - = χ β) Αν η λύση της εξίσωσης που βρήκατε είναι λύση της ανίσωσης 3k + x 3-3k x 2 < - 3 x 3 να βρεθεί το κ. ΘΕΜΑ 2) Στο σχήμα είναι ΑΔ// ΒΓ, γωνια ΒΑΓ=90 0, ΑΖ καθετη στηνβγ, γωνία ΒΑΖ=30 ο, ΒΖ=4cm,ΑΔ=ΑΒ και το ΖΓ είναι διπλάσιο του ΑΒ. Α Δ 30 o Β Ζ Γ Να υπολογίσετε α) την ΑΒ β)την ΑΖ και γ)το εμβαδόν του σχήματος ΑΒΓΔ (όπου 3 =1,7)

33 ΘΕΜΑ 3) Στο σχήμα είναι ΑΒΚΓ ορθογώνιο με ΚΒ=4 cm και ΚΓ=3 cm, όπου Κ το κέντρο.του κύκλου.να βρείτε : α) την ακτίνα ΚΑ β) Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας Γ Α Ο Β

34 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΑΞΗ Β ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. α) Πώς βρίσκουμε τη σχετική συχνότητα μιας τιμής. β) Πώς βρίσκουμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων. 2. Τι λέγεται εφαπτομένη, τι λέγεται ημίτονο και τι συνημίτονο της οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. Β Α ω Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 2 5 4χ + 3 χ και ( 2χ 1) 2 1 2χ + χ < Στο διπλανό τρίγωνο ΑΔΓ η ΑΒ είναι κάθετη στην πλευρά ΔΓ και είναι: ΑΓ = 17cm, ΒΓ= 15cm και ΑΔ =10cm Να βρείτε: I. To ύψος ΑΒ του τριγώνου ΑΔΓ II. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΓ και III. Το ημδ. Α 17 cm 10cm Δ Β 15cm Γ 3. Το μήκος ενός κύκλου (Ο,ρ) είναι 125,6 m (π=3,14). Υπολογίστε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,ρ).

35 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ ΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α :Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1 ο : α) Ποια ποσά λέγονται ανάλογα ; β)τι γνωρίζετε για τον λ ό γ ο των αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών ; γ)τι γραμμή παριστάνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = α. χ και πως ονομάζεται ο α ; ΘΕΜΑ 2 ο : I ) Τι ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο ; II )Ποια σχέση συνδέει μια εγγεγραμμένη γωνία φ και μια επίκεντρη γωνία ω του ίδιου κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ; III ) Πόσες μοίρες είναι μια εγγεγραμμένη γωνία σε ένα κύκλο που βαίνει σε ημικύκλιο ; Β :Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Ι ) Nα λυθεί η εξίσωση : 2.(χ -4 )+3 = χ 3 II ) Aν κ είναι η λύση της παραπάνω εξίσωσης και τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ = κ + 1, ΒΓ = κ + 3, ΑΓ = κ +2 τότε να εξετάσετε αν το Α Β Γ τρίγωνο είναι ορθογώνιο. I I I ) Nα υπολογίσετε το γινόμενο : η μ Β. σ υ ν Β. ε φ Γ ( όπου Β, Γ οι γωνίες του τριγώνου Α Β Γ ) ΘΕΜΑ 2 ο : Να λυθούν οι α ν ισώσεις : 3. χ 2 > χ + 4 και και να βρεθούν οι κοινές τους λύσεις x 2. x 8 > 2 x 3 6 ΘΕΜΑ 3 ο : Στο παρακάτω σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς α = 8 cm και το τόξο Β Δ που περιέχεται σε αυτό, ανήκει στον κύκλο κέντρου Γ και ακτίνας 8 cm. I) Να υπολογίσετε το Εμβαδό Ε του τετραγώνου Α Β Γ Δ II) Να υπολογίσετε το Εμβαδό Ε 1 του χωρίου Β Α Δ Β που περικλείεται μεταξύ των πλευρών ΑΒ, Α Δ του τετραγώνου Α Β Γ Δ και του τόξου ΒΔ του κύκλου(γ,8cm ) που περιέχεται μέσα στο τετράγωνο III) Nα υπολογίσετε την περίμετρο του σ χ ή μ α τ ο ς Β Α Δ Β Α ΣΧΗΜΑ 3 ου ΘΕΜΑΤΟΣ Β Ε 1 Ε 2 Δ Γ

36 ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο ΤΑΞΗ B ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α) Τι λέγεται ημίτονο και τι συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; β)ποιες ανισώσεις ισχύουν για το ημίτονο και το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; Να δικαιολογηθούν οι απαντήσεις σας. Θέμα 2 ο α) Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α. β) Να συμπληρωθούν οι ισότητες: 0 =... ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1 ο αν α 0 τότε ( ( 8) 2 =. 16 =. a ) 2 =. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ύψος ΑΜ. Αν είναι ΑΒ=2(x-2), AΓ=x+3 και ΑΜ=8cm, να υπολογιστούν: α) οι πλευρές ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ του τριγώνου β) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΜ γ) ημβ, συνγ και εφ Β Α ) Μ Β Α ) = 45 o, ΑΓ διάμετρος του κύκλου και χορδή ΒΓ=2 2 cm. Να υπολογιστούν α) η γωνία Β Ο ) Γ β) η ακτίνα του κύκλου γ) Εμβαδόν γραμμοσκιασμένης επιφάνειας Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων: x 3 x x 4 x x και + 5 x 3 > x Θέμα 2 ο Στο διπλανό σχήμα είναι Γ Θέμα 3 ο

37 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ & ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1) α) Ποιες γωνίες λέγονται εγγεγραμμένες; ΘΕΩΡΙΑ: β) Να γράψετε τους τύπους που εκφράζουν τα: Μήκος κύκλου, Μήκος τόξου, Εμβαδό κυκλικού δίσκου, Εμβαδό κυκλικού τομέα. 2) α) Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α β) Να συμπληρώσετε τα: 0= 1 = Αν α 0 τότε ( α ) 2 = ΑΣΚΗΣΕΙΣ: 5( χ 1) 1) Να λύσετε την ανίσωση < 2( χ + 2) 3χ 1και να παραστήσετε τη λύση 2 στην ευθεία των αριθμών. 2) i) Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α (-1,2) και Β (3,5) στο επίπεδο. ii) Η ευθεία y = 2χ+α διέρχεται από το σημείο Α (-1,2). Να βρεθεί το α. iii) Να βρεθεί το σημείο που η ευθεία y = 2χ+4 τέμνει τον οριζόντιο άξονα χχ. Α Β 3) Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 10 cm. Να υπολογισθεί το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου τμήματος. Δ Γ

38 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Α) Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση με την οποία ένα μέγεθος y εκφράζεται ως συνάρτηση ενός άλλου μεγέθους x. Τι ονομάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής; Β) Να μεταφέρετε τις παρακάτω προτάσεις στην κόλλα σας με συμπληρωμένα τα κενά. 1) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y= α x+β με β 0 είναι μια ευθεία παράλληλη της ευθείας με εξίσωση που διέρχεται από το σημείο.... του άξονα y'y. α 2) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = όπου α 0 λέγεται.. και x αποτελείται από δύο που βρίσκονται: Στο 1 ο και στο 3 ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν.. Στο 2 ο και στο 4 ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν.. ΘΕΜΑ 2 Ο Α) Πότε μια γωνία ˆ xay λέγεται εγγεγραμμένη στον κύκλο (Ο,ρ); Β) Να μεταφέρετε τις παρακάτω προτάσεις στην κόλλα σας με συμπληρωμένα τα κενά. 1) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το..... της επίκεντρης γωνίας που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο. 3) Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Γ 11 x x+ 6 Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με AB =, ΑΓ = και 3 2 ΒΓ = x+ 3. Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 12 τότε: Α) Να αποδείξετε ότι x = 2. Β) Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να βρείτε το εμβαδόν του. Γ) Να βρείτε ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας ˆB x+6 2 A 11-x 3 x+3 B

39 ΘΕΜΑ 2 Ο Στο διπλανό πίνακα φαίνονται τα αποτελέσματα που βρέθηκαν σε μια έρευνα που έγινε στις 20 οικογένειες μιας πολυκατοικίας σχετικά με τον αριθμό των παιδιών τους. Α) Να μεταφέρετε τον πίνακα στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε τη στήλη των σχετικών συχνοτήτων. Β) Να παραστήσετε τα δεδομένα με ραβδόγραμμα. Γ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο του αριθμού των παιδιών. Αριθμός Συχνότητα παιδιών Σύνολο 20 Σχετική συχνότητα % ΘΕΜΑ 3 Ο A o Ένας κυκλικός τομέας γωνίας AOB ˆ = 45 ενός κύκλου (Ο,ρ) 2 έχει εμβαδόν 157 cm. Α) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κύκλου είναι ρ = 20 cm. Β) Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,ρ). Γ) Να βρείτε το μήκος του κύκλου (Ο,ρ). O ρ 45 ο Β

40

41 ΠΕΡ. Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΒΟΙΩΤΙΑΣ 3 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: E. ΓΕΩΡΓΑΝΤΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/6/09 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα Β. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΔΕΖ ορθογώνιο στο Ε και να γράψετε τον αντίστοιχο τύπο του Πυθαγορείου θεωρήματος Γ. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος ΘΕΜΑ 2 ο Α. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις 0 =... Αν α 0 τότε ( a ) 2 = Αν a = χ, όπου α 0 τότε χ και χ 2 =.. Γ. Να εξηγήσετε γιατί οι αρνητικοί αριθμοί δεν έχουν τετραγωνική ρίζα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α ( 1) Να λύσετε την εξίσωση: x x x 5 x = Β. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης, που βρήκατε αποτελεί λύση της ανίσωσης: 3(2-5χ) χ + 86 ΑΣΚΗΣΗ 2 η Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) με ΑΒ=χ, ΒΓ=2(χ-1) και περίμετρο 50m. Α) Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου. Β) Να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ. Γ) Να υπολογίσετε το ημβ και την εφγ. Β Α Δ Γ

42 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Ένας δρομέας κινείται γύρω από ένα στάδιο (σχήμα). Εάν γνωρίζετε ότι τα καμπύλα τμήματα της διαδρομής είναι ημικύκλια ακτίνας 40m και το ορθογώνιο τμήμα έχει μήκος 90m, να υπολογίσετε: Α) το μήκος μιας πλήρους περιφοράς του δρομέα γύρω από το στάδιο. Β) το εμβαδόν του σταδίου.

43

44

45 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ Θεωρία 1, Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, Â =90 0. α) να ορισθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί ημβ= ημγ= συνβ= συνγ= εφβ= εφγ= β) Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές (κυκλώστε το σωστό). ημβ=ημγ, συνβ=ημγ, εφβ.εφγ=1 γ)ν αντιστοιχίσετε σε κάθε τριγωνομετρικό αριθμό (στήλη Α) το μέτρο του (στήληβ) Στηλη Α Στηλη Β 3 εφ ημ συν εφ ημ Θεωρία 2. α) Εγγεγραμμένη γωνία λέμε την γωνία που.και οι.. β) η εγγεγραμμένη γωνία που αντιστοιχεί σε ημικύκλιο έχει μέτρο (κυκλώστε το σωστό). Α.45 0 Β.90 0 Γ Δ γ) Δύο εγγεγραμμένες γωνίες που αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο είναι.

46 Ασκηση 1 η.aν η περίμετρος του κύκλου είναι Γ=12,56cm και ο κύκλος εφάπτεται στις πλευρές του τετραγώνου τότε να υπολογισθεί α) η ακτίνα του κύκλου β) η πλευρά του τετραγώνου και γ) το εμβαδόν της επιφάνειας ανάμεσα στο τετράγωνο και τον κύκλο (γραμμοσκιασμένη επιφάνεια). Ασκηση 2 η Να λυθεί η ανίσωση 2x 1 x x Ασκηση 3 η. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ΓΔ) και γωνα=γωνδ=90, αν ΓΔ=8cm, ΒΔ=20cm και ΑΒ=16cm, να υπολογίσετε α) το ύψος ΑΔ β) το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ Δ 8cm Γ 20cm Α 16cm Β

47 Γραπτές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Ιουνίου 2009 Μάθημα : Μαθηματικά Τάξη : Β ΘΕΩΡΙΑ 1ο ΘΕΜΑ Nα συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α x είναι μία που διέρχεται από την. β) Στην ευθεία y = α x ο λόγος x y είναι πάντα σταθερός και ίσος με α για x 0. Ο λόγος αυτός λέγεται της ευθείας y = α x. γ) Η γραφική παράσταση της y = α x + β, β 0 είναι μία, της ευθείας με εξίσωση y = α x. 2ο ΘΕΜΑ α ) Διατυπώστε το πυθαγόρειο θεώρημα. β ) Διατυπώστε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η ΑΣΚΗΣΗ Α. Να λύσετε την ανίσωση 2 (x-1)-3 (x+1) 4 (x+2) + 12 Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών. 5 x 4 x x Β. Να λύσετε την ανίσωση Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών. Γ. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των δύο παραπάνω ανισώσεων.

48 2 η ΑΣΚΗΣΗ Δ Α Ε Β Γ Στο παραπάνω πρίσμα οι βάσεις είναι ορθογώνια τρίγωνα. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ = 3 και εφγ=0.75, να βρεθούν : ^ o B = 90, α) Η πλευρά ΒΓ. β) Η πλευρά ΑΓ ( αν δεν απαντήσατε το προηγούμενο ερώτημα, θεωρήστε ότι ΒΓ=4) γ) Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας του πρίσματος, και το ολικό εμβαδόν του. 3 η ΑΣΚΗΣΗ Λυγίζουμε ένα σύρμα μήκους ώστε να σχηματίσει κύκλο. Να βρεθεί: α) Η ακτίνα του κύκλου. β) Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που αντιστοιχεί στο συρμάτινο δίσκο. γ) Το μήκος τόξου 60 ο από αυτόν τον κύκλο.

49

50 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο (α) Τι ονομάζεται συνάρτηση; ΘΕΜΑΤΑ (β) Ποια σχέση συνδέει τις τιμές δύο ανάλογων ποσών x και y. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της παραπάνω σχέσης; ΘΕΜΑ 2 ο (α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. (β) Να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματος Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των παρακάτω ανισώσεων 5 3( x 1) 4 και x 3 x+ 5 χ 3 + > ΘΕΜΑ 2 ο Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) έχει περίμετρο 36 cm και βάση ΒΓ=10 cm. Να υπολογίσετε: (α) Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ (β) Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημβ, συνβ, εφβ ΘΕΜΑ 3 ο Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος και Ο κέντρο του κύκλου. Αν ΑΓ =60 και ΑΓ=4 cm, να υπολογίσετε: (α) Το μέτρο της γωνίας ΑΓΒ ˆ. (β) Τα μήκη των πλευρών ΑΒ, ΒΓ. (γ) Το εμβαδό του χωρίου που περιέχεται μεταξύ του κύκλου και του τριγώνου. Γ Α Β Ο

51 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τάξη Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : Να χαρακτηρίσετε με το γράμμα Σ (Σωστή) ή με το γράμμα Λ (Λανθασμένη) τις παρακάτω προτάσεις: Α. α) Αν α = β τότε αγ = βγ B. α) Αν α<β τότε α+γ<β+γ β) Αν α = β τότε α+γ = β+γ β) Αν α<β και γ>0 τότε αγ>βγ γ) Αν α = β και γ 0 τότε α/γ = β/γ γ) Αν α<β και γ<0 τότε αγ>βγ δ) Αν 3x = 0 τότε x = -3 δ) Αν α>β τότε α-γ>β-γ ΘΕΜΑ 2 ο : Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (ευθύ και αντίστροφο) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η: Να λύσετε την εξίσωση: 3 2x 1 5 4x = Άσκηση 2η: Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο σχ. (α) έχει περίμετρο 28 cm. Αν η μία πλευρά του είναι 8 cm, να βρείτε το μήκος της διαγωνίου. Άσκηση 3η: Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) ημ 2 30 ο + ημ 2 45 ο + ημ 2 60 ο 3 = 2 β) 2ημ 2 30 ο + 2συν 2 60 ο - 2ημ 2 45 ο = 0

52

53 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑÏΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ B ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 η α) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας; β) Ποια σχέση συνδέει μια εγγεγραμμένη γωνία με την αντίστοιχη επίκεντρη; γ) Ποια σχέση συνδέει τη γωνία ενός κανονικού ν-γώνου με την κεντρική γωνία του; ΘΕΩΡΙΑ 2 η α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â=90 ο ) και να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα β) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις ισχύουν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Â=90 ο : 1. ΑΒ 2 =ΒΓ 2 +ΑΓ 2 3. ΒΓ 2 =ΑΒ 2 -ΑΓ 2 2. ΑΓ 2 =ΒΓ 2 -ΑΒ 2 4. ΑΒ 2 =ΑΓ 2 -ΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 1 η x + 5 3(2x 1) 19 8x Να λύσετε την ανίσωση 7 + και να παραστήσετε τις λύσεις της στον άξονα. Στη συνέχεια να ελέγξετε αν η λύση της εξίσωσης 3x+1=x-3 είναι και λύση της ανίσωσης αυτής. ΑΣΚΗΣΗ 2 η ΑΣΚΗΣΗ 3 η Στο διπλανό τραπέζιο δίνεται ότι ΑΒ//ΓΔ, ΑΒ=5cm, ΒΓ=6cm, o o ΑΔ=4cm, Γ = 45 και Δ = 60. Να υπολογίσετε: 1. το μήκος της μεγάλης βάσης ΓΔ 2. το ύψος 3. το εμβαδόν του τραπεζίου. Δίνεται κύκλος (Ο, 4cm) και η εγγεγραμμένη γωνία του ΒΑΓ =45 ο. Να υπολογίσετε: 1. το μήκος του τόξου ΒΓ 2. το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΒΓ 3. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος.

54 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα 1 ο Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις Α) Τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α λέγεται ο.. αριθμός, ο οποίος όταν υψωθεί στο δίνει τον αριθμό. Β) 0 =... Γ) Αν α 0 και α = χ τότε χ.. 0 και χ 2 = Θέμα 2 ο Με βάση το παρακάτω σχήμα να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις Α) Η πλευρά ΑΓ είναι η προσκείμενη πλευρά της οξείας γωνίας.. Β) εφω =, ημθ =, συνω =. Γ)... < ημθ <. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Θέμα 1 ο 4 5χ 3χ 3 Α) Να λυθεί η εξίσωση = 2χ Β) Για την τιμή του χ που βρήκατε στην παραπάνω εξίσωση να λύσετε ως προς ψ την ανίσωση χψ 5> 2χψ + 7 Θέμα 2 ο Δίνονται οι αριθμοί α = 3 7 9, β = 81, γ = Α) Να δείξετε ότι α = 1, β = 3, γ = 2 Β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές τα α, β, γ είναι ορθογώνιο και να βρείτε τις γωνίες του Γ) Να φέρετε το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα και να το υπολογίσετε Θέμα 3 ο Να σχεδιάσετε έναν κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ = 2 και να φέρετε μια διάμετρό του ΑΒ. Αν Γ σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε ˆ o ΑΒΓ = 30 Α) Να υπολογίστε τις πλευρές και τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ Β) Να υπολογίσετε το μήκος του κυρτού τόξου ΒΓ Γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που περικλείεται μεταξύ της χορδής ΑΓ και του κυρτού τόξου ΑΓ

55 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A) α) Πότε δύο διανύσματα λέγονται ίσα; β)πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα; Β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ αν είναι σωστές ή με Λ αν είναι λάθος α) Το μέτρο ενός διανύσματος μπορεί να είναι και αρνητικός αριθμός β) Αν δύο διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση τότε θα έχουν και ίδια φορά. γ) Αν δύο διανύσματα έχουν αντίθετη φορά, τότε θα έχουν ίδια διεύθυνση. δ) Αν δύο διανύσματα έχουν ίδιο μέτρο, τότε θα είναι ίσα. ε) ύο αντίθετα διανύσματα έχουν το ίδιο μέτρο. ΘΕΜΑ 2 ο Α) α) Πώς ορίζουμε την τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α ; β) Πώς ορίζουμε την τετραγωνική ρίζα του μηδενός ( 0) ; Β) Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση 1) Ο αριθμός είναι ίσος με: α) 6, β) 4, γ) 4, δ ) 2, ε) 2 2) Από τους παρακάτω αριθμούς άρρητος είναι ο : 25 α) 16, β), γ) 2, δ ) 13,41 4 3) Αν y= x τότε ισχύει η σχέση: α) x 2 = y, β) y 2 = x, γ) x 2 = y 2, δ) x=y 4) Αν x = -4 τότε ισχύει: α) x = 2, β) x = -2, γ) x = 16, δ) η σχέση αυτή είναι αδύνατη ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο ίνεται η παράσταση Α= - [ x 2 ( y x ) ] ( x ω ) και ακόμη ότι y = -1 και ω = 3. α) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α. β) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ισχύει: - 5 < Α < 1 γ) Να βρεθεί ο μοναδικός ακέραιος αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση: - 5 < Α < 1

56 ΘΕΜΑ 2 ο A O Χ + 20 B 2 Χ + 10 Στο διπλανό σχήμα η ΑΓ είναι διάμετρος και : γωνία ΑΒΓ = 2Χ +10, τόξο ΑΒ = χ + 20, τόξο Γ = χ + 10 Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓ Δ Χ + 10 Γ ΘΕΜΑ 3 ο A B Δ Κ Στο παραπάνω σχήμα το τραπέζιο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 104 cm 2 ενώ ΑΒ = 10 cm και Γ = 16cm a) Να βρείτε το ύψος του τραπεζίου β) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ του τραπεζίου Γ

57 ΤΑΞΗ : Β ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο α ) Να διατυπώσετε τις ιδιότητες των ανισοτήτων. β ) Ναχαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με ( Σ ) σωστή ή ( Λ ) λανθασμένη : i ) Αν α>β τότε -α>-β ii ) Αν α>β και γ<ο τότε αγ<βγ iii ) Αν α<β τότε α-γ>β-γ ΘΕΜΑ 2ο α ) Πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημω, συνω και εφω μιας οξείας γωνίας ω ορθογώνιου τριγώνου. Να χρησιμοποιήσετε και σχήμα. β ) Να δικαιολογήσετε γιατί οι αριθμοί ημω και συνω είναι θετικοί και μικρότεροι της μονάδας. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων : χ-2 + χ 1 χ - 2 ( 1-χ ) και -3 ( 3α + 1 ) + 1 ( 2-χ )> ) Η ευθεία με εξίσωση y = (3α + 1 ) χ + 2 διέρχεται από το σημείο Α (2, -2 ) α ) Να υπολογίσετε το α β ) Να βρείτε την κλίση της ευθείας γ ) Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες χ ' χ, y ' y. 3 ) Στο διπλανό σχήμα δίνονται : ΑΒ διάμετρος, ΑΓ = 60 και χορδή ΑΓ = 4 cm. Να υπολογίσετε : α ) Τα μήκη των ΑΒ και Α. β ) Το μήκος του κύκλου. γ ) Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

58 Θέματα γραπτών Προαγωγικών Εξετάσεων στο μάθημα των Μαθηματικών ΘΕΩΡΙΑ 1 (α) Να γράψετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α (β) Να συμπληρώσετε τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω σειρές 2 Επειδή 0 =.., ορίζουμε ως 0 = Αν α = χ, όπου α..0,τότε χ.0 και 2 χ = Αν 0 α = ΘΕΩΡΙΑ 2 0 Αν ω μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α= 90 ) να γράψετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών (α) ημω, (β) συνω, (γ) Να συμπληρώσετε τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω σειρές..< ημω <.., ημω.. <συνω <. και = συνω α τότε ( ) 2 ΑΣΚΗΣΗ 1 (α) Να λυθούν οι ανισώσεις χ + 1 2χ 5 χ 1 χ + 1 χ 9 < και > (β) Να παραστήσετε γραφικά τις κοινές λύσεις. (γ) Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις ΑΣΚΗΣΗ 2 Να βρεθεί το λ ώστε η ευθεία : (α) y=3x-5 να διέρχεται από σημείο (2λ-1, λ) 3 (β) y= (3λ-2)χ να έχει κλίση 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με διαγώνιο ΒΔ= 8cm. Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ σχηματίζουμε κυκλικό τομέα εξωτερικά του τετραγώνου, με αντίστοιχο τόξο το ΒΔ. Να υπολογίσετε α) την πλευρά του τετραγώνου ΑΒΓΔ β) Την περίμετρο του διπλανού μικτόγραμμου σχήματος γ) Το εμβαδόν του διπλανού σχήματος. Α Β Δ Γ

59 ΤΑΞΗ Β Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις Μαΐου- Ιουνίου στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο Α. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να ορίσετε το ημω (ημίτονο), το συνω (συνημίτονο) και την εφω ( εφαπτομένη). ημω Β. i) Να συμπληρώσετε την ισότητα = συνω ii) Τι ισχύει για τις τιμές που παίρνει το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ω; iii) Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, πως μεταβάλλεται το ημίτονο της; Θέμα 2 ο Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. (Να γίνει σχήμα) Β. Να μεταφέρετε στο γραπτό σας τα παρακάτω σχήματα και να γράψετε τους τύπους που δίνουν το εμβαδόν τους. Τρίγωνο Τραπέζιο Παραλληλόγραμμο ΙΙ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 η x x i) Να λύσετε την εξίσωση + = ii) Να λύσετε την ανίσωση 2x (1 x) > 5x 3 και να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. iii) Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης είναι και λύση της ανίσωσης.

60 Άσκηση 2 η Στον διπλανό κύκλο είναι ρ = 10cm. Να βρείτε : i) Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ii) Την γωνία ω iii) Το μήκος l του τόξου ΒΓ. Άσκηση 3 η 4 Δίνεται η ευθεία (ε) : y = x i) Να βρείτε τα σημεία Α, Β στα οποία η ευθεία τέμνει τους άξονες y y και x x αντίστοιχα. ii) Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων την ευθεία. iii)να βρείτε την απόσταση ΑΒ των σημείων Α και Β.