Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Transcript

1 Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο ,5 9, ,5, ,5 0, ,5 5, ,5 0,5 ( 9,5) οπότε 967,5 9,6 ( ) + 6(,5) + (0,5) 9 + 5(5,5),6 5,776 + (0,5) Ο συτελεστής εταβλητότητας στο δείγα είαι CV 5, ,075 Για τη διακύαση έχουε ( 0, 5)

2 Όπως και στα η οαδοποιηέα δεδοέα, υπάρχει έας πιο εύχρηστος τύπος για τη διακύαση, που δε απαιτεί υπολογισό τω διαφορώ (ή για το δείγα) Παίροτας το αάπτυγα στο τύπο σ για τη διακύαση εός πληθυσού, βρίσκουε σ Άρα δείξαε ότι πορούε α χρησιοποιούε το τύπο σ Ατίστοιχα για το δείγα ισχύει

3 Η έση απόκλιση Για η οαδοποιηέα δεδοέα, η έση απόκλιση είαι A Έστω ότι έχουε και πάλι τιές ίσες ε στη η οάδα τιές ίσες ε στη η οάδα κλπ τιές ίσες ε στη - οάδα τότε παίρουε το τύπο για οαδοποιηέα δεδοέα, A Ατίστοιχα για το δείγα ο τύπος είαι α Βρίσκουε τη έση απόκλιση στο παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο ,5 9, ,5, ,5 0, ,5 5, ,5 0,5 Ο τύπος δίει α 9,5 + 6,5 + 0, ,5 + 0, , 5 6

4 Μέτρα ασυετρίας Οι καταοές διακρίοται γεικά σε συετρικές (π.χ. η καοική καταοή) θετικά ασύετρες αρητικά ασύετρες Σε ια συετρική καταοή, Οι τιές καταέοται οοιόορφα γύρω από τη έση τους τιή Η έση τιή, η διάεσος και η επικρατούσα τιή συπίπτου. Οι περισσότερες καταοές που χρησιοποιούε στη στατιστική δε είαι συετρικές. Έστω ότι έχουε έα σύολο δεδοέω,,...,. Ο συτελεστής ασυετρίας β ορίζεται από τη σχέση β Παρατηρούε ότι α z ( ) είαι οι τυποποιηέες τιές που ατιστοιχού στα δεδοέα, τότε ο συτελεστής ασυετρίας είαι ο αριθητικός έσος της τρίτης δύαης αυτώ τω τυποποιηέω τιώ β. z Πώς ετράε τη ασυετρία ιας καταοής; 7 8

5 Παράδειγα Έστω τα δεδοέα, 0,,, 5, Υπολογίζουε το συτελεστή ασυετρίας για τα δεδοέα αυτά. Η έση τιή. Για α βρούε το συτελεστή ασυετρίας β, κατασκευάζουε το πίακα. ( ) ( ) Σύολα Από το πίακα, βλέπουε ότι 6 ( ) 6, 6 ( ) 88. Συεπώς η διακύαση ισούται ε ( ) 5 και η τυπική απόκλιση είαι 6 5,. 6 7, 5 Άρα ο συτελεστής ασυετρίας είαι β 88 6 (5,) 88 85,,06. ( ) 9 0

6 Για οαδοποιηέα δεδοέα, ο συτελεστής ασυετρίας β γράφεται Για συετρικά δεδοέα, είαι προφαές από το τύπο ότι ισχύει pc 0. β ( ) Έας άλλος συτελεστής ο οποίος χρησιοποιείται είαι ο Έα άλλο έτρο ασυετρίας είαι ο δείκτης ασυετρίας του Peao pc ( m) Όσο εγαλύτερος (ικρότερος) είαι ο αριθητικός έσος από τη διάεσο, τόσο εγαλύτερη θετική (ατ. αρητική) ασυετρία παρουσιάζου τα δεδοέα. pc τ Για οοκόρυφες καταοές, ισχύει ότι τ Για συετρικά δεδοέα, έχουε και πάλι pc 0, εφόσο στη περίπτωση αυτή ο έσος και η επικρατούσα τιή συπίπτου. Αποδεικύεται ότι m, οπότε για το δείκτη ασυετρίας του Peao ισχύει πάτα pc.

7 Μέτρα κύρτωσης Η κύρτωση χαρακτηρίζει τη αιχηρότητα της καπύλης ιας καταοής. Με βάση τη κύρτωση, οι καταοές διακρίοται σε: λεπτόκυρτες εσόκυρτες πλατύκυρτες Ο συτελεστής κύρτωσης β ορίζεται από τη σχέση β ( ) Παρατηρούε και πάλι ότι α z είαι οι τυποποιηέες τιές που ατιστοιχού στα δεδοέα, τότε β z Για οαδοποιηέα δεδοέα, ο συτελεστής κύρτωσης β γράφεται β ( ) Σε ατίθεση ε το συτελεστή ασυετρίας, ο συτελεστής κύρτωσης παίρει όο θετικές τιές.

8 Για εσόκυρτες καταοές, όπως π.χ. η καοική, ισχύει β. Ότα η τιή του συτελεστή είαι β <, τότε η καταοή είαι πλατύκυρτη. Ότα η τιή του συτελεστή είαι β >, τότε η καταοή είαι λεπτόκυρτη. Παράδειγα Έστω ότι έχουε τα δεδοέα 0,, 7,,, 7, 0 Η έση τιή είαι 0. Για τη διακύαση και τους συτελεστές ασυετρίας και κύρτωσης, κατασκευάζουε το πίακα. ( ) ( ) ( ) Από το πίακα, βρίσκουε ότι 7 ( ), 7 7 ( ) 68, ( )

9 Συεπώς έχουε, πρώτα για τη διακύαση ( ) 6 άρα η τυπική απόκλιση είαι 7 6 7, Ο συτελεστής ασυετρίας είαι 0,06 ( ) β ( 68) 7 (7,) 55, Ο συτελεστής κύρτωσης είαι ( ) β (7,), Τα δεδοέα προέρχοται από ία πλατύκυρτη καταοή. Τα δεδοέα είαι πιθαό α προέρχοται από κάποια συετρική καταοή. Η ικρή αρητική ασυετρία στο δείγα φαίεται α οφείλεται στη τυχαιότητα του δείγατος. 7 8

10 Οι συτελεστές ασυετρίας και κύρτωσης χρησιοποιού τα αθροίσατα ( ), ( ) Για, κλπ. Τα αθροίσατα αυτά είαι παραδείγατα ροπώ για έα σύολο δεδοέω. Ορισός Γεικά η ροπή τάξης γύρω από το σηείο 0 ιας καταοής είαι το άθροισα ( ) Δύο ειδικές περιπτώσεις είαι: A. 0 0, τότε έχουε ροπές γύρω από τη αρχή (γύρω από το ηδέ) η ροπή τάξης είαι Για, έχουε 0 ο αριθητικός έσος B. 0, οπότε έχουε τη κετρική ροπή (ροπή γύρω από το έσο) τάξης, Για, παίρουε ( ) Για, Για, ( ) 0 ( ) κλπ. ( ) 9 0

11 Ατίστοιχα ορίζοται και οι ροπές για έα πληθυσό. Π.χ. η ροπή ης τάξης γύρω από το ηδέ Η ροπή ης τάξης γύρω από τη έση τιή ( ) σ η πληθυσιακή διακύαση Α έχουε οαδοποιηέα δεδοέα, διαστήατα, και είαι η απόλυτη συχότητα του διαστήατος, τότε η ροπή τάξης γύρω από το σηείο 0 είαι ( ) είαι η κετρική τιή του διαστήατος. Για 0 0, έχουε τη ροπή τάξης γύρω από τη αρχή 0 Ο λόγος είαι η σχετική συχότητα για το διάστηα και συβολίζεται συχά ε p αφού εκτιά τη πιθαότητα η εταβλητή ας α πάρει τιή στο διάστηα. Γράφοτας p,,,..., η ροπή τάξης γύρω από τη αρχή γράφεται p Για οαδοποιηέα δεδοέα, η κετρική ροπή τάξης είαι ( ) p ( )

12 Σχέση εταξύ κετρικώ ροπώ και ροπώ γύρω από το ηδέ Ότα γωρίζουε τις ροπές γύρω από τη αρχή,, για,,..., πορούε α βρούε τις ροπές γύρω από το έσο. Για, 0 Για, + + Για, Παρόοια για παίροτας το αάπτυγα ου βαθού κλπ.

13 Έστω ία εταβλητή Χ ε ροπή τάξης γύρω από το έσο (X ). Θεωρούε ία εταβλητή Υ α + β Χ Έστω (Y ) η κετρική ροπή τάξης της Υ. o Τότε ισχύει ( Y ) β ( X ) Παράδειγα Έστω τα παρακάτω δεδοέα ιας εταβλητής Χ 5.0, 5.06, 5., 5.7, 5., 5.7, 5.5 Ζητάε τις τρεις πρώτες κετρικές ροπές της Χ. Λύση Πολλαπλασιάζουε όλες τις τιές επί 00 ώστε α γίου ακέραιοι 50, 506, 5, 57, 5, 57, 55 Α αφαιρέσουε το 500 από κάθε τιή, τα δεδοέα γίοται, 6,, 7,, 7, 5 Οι τιές αυτές προέρχοται από ία εταβλητή Υ για τη οποία ισχύει Υ 00 Χ 500 Η πρώτη κετρική ροπή είαι ηδέ. Για α βρούε τη η και η ροπή της Υ, βρίσκουε πρώτα τη έση τιή και ετά κατασκευάζουε το πίακα 5 6

14 y 7 y y y ( y) y ( y y) Σύολο 76 5 Παρόοια, βρίσκουε για τη τρίτη ροπή 5 ( Y ) 7 9 από όπου παίρουε για τη εταβλητή Χ, 9 Y 6 X 9 0 0, Άρα 76 ( Y ) 7 5 Συεπώς, Y X 00 0,05 7 8

15 Άσκηση (6. στο βιβλίο) Α αυξηθού όλοι οι ισθοί κατά 0%, τότε και ο αριθητικός έσος αυξάεται κατά 0% ο καιούριος έσος όρος θα είαι 90, 9 Α αυξηθού όλοι οι ισθοί κατά 0, ο έος έσος θα είαι Στη πρώτη περίπτωση, η διακύαση θα πολλαπλασιαστεί επί (,), εώ στη δεύτερη (α αυξηθού όλοι οι ισθοί κατά ία σταθερή ποσότητα), η διακύαση παραέει σταθερή. ( ) ,

16 Άσκηση (8. στο βιβλίο) (α) Α από τις τιές ιας εταβλητής Χ αφαιρέσουε ια ποσότητα d, η έση τιή ελαττώεται κατά d εώ η διακύαση παραέει αετάβλητη. (β) Τι συβαίει ε τους συτελεστές ασυετρίας και κύρτωσης; Λύση (α) Έστω Υ Χ d, τότε για τις τιές στο δείγα έχουε. d y. ) ( d d d y y Για τη διακύαση ατίστοιχα έχουε [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( X Y d d y y (β) Ο συτελεστής ασυετρίας της Υ είαι [ ],,, X X X Y Y d d y y β β χρησιοποιώτας τα αποτελέσατα από το (α) παραπάω. Με παρόοιο τρόπο βρίσκουε ότι ο συτελεστής κύρτωσης είαι X X Y Y y y,, β β Οι δύο συτελεστές παραέου αετάβλητοι.

17 Άσκηση (8. στο βιβλίο) Κλάσεις F Σύολο 80 Να υπολογιστού Οι δύο πρώτες ροπές γύρω από το ηδέ Ο συτελεστής εταβλητότητας ο και ο τεταρτηόριο ο και 9 ο δεκατηόριο επικρατούσα τιή , Για τη δεύτερη ροπή παρόοια βρίσκουε ,67 Συεπώς για τη διακύαση παίρουε ότι 8 8 ( ) , (,)

18 Η τυπική απόκλιση είαι 807,98,5 Εποέως ο συτελεστής εταβλητότητας είαι CV,5, 0,75 Για το Q, βρίσκουε τη κλάση στη οποία αήκει 60,, L 0, 98, F 78 Άρα έχουε Q ,76 Παρόοια βρίσκουε ότι Q ,8 ( 60 78) ( 0 ) οπότε το εδοτεταρτηοριακό εύρος είαι IQR Q Q 5,95. Υπολογίζουε το πρώτο δεκατηόριο (το σηείο κάτω από το οποίο βρίσκεται το 0% τω παρατηρήσεω) Επειδή 80/08, από τις αθροιστικές συχότητες βλέπουε ότι το δεκατηόριο βρίσκεται στη η κλάση (90-0), συεπώς ( ) ισούται ε δ δ L + F L + F 0 0 Για το 9 ο ,8 ( 8 ) δεκατηόριο (κάτω από το οποίο βρίσκεται το 90% τω παρατηρήσεω), έχουε 9 0 L, 5 συεπώς ( 5) δ5 9 + F ,. ( 76) 5 6

19 Για τη επικρατούσα τιή, βλέπουε ότι η κλάση ε τη εγαλύτερη συχότητα είαι η η ( ) Η επικρατούσα τιή είαι τ L + δ ( ) + ( ) (98 5) + (98 8) Ερώτηση πολλαπλής επιλογής Δίεται το δείγα τιώ από ία εταβλητή X 8,, 0, 0, 50. Με βάση το δείγα, η διακύαση της εταβλητής ισούται ε α. 8 β. 660 Y 5 X + 0 γ. 660 δ ε. 800 [Απάτηση: ε] 7 8