i) x(n-2)={ ½ ½ 0 0 }, ii) x(-n)= { 0 0 ½ ½ }, iii) x(4-n)= { 0 0 ½ ½ }, iv) x(n+2)={ ½ ½ 0 0 }

Transcript

1 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Ακολουθία Εισόδου x()={ ½ ½ } Παράδειγµα ίνεται το πιο κάτω σήµα. Να γράψετε την ακολουθία των σηµάτων: i) x(-2), ii) x(-), iii) iv) x(+2), v)x()u(2-), vi)x( 2 ), vii) x e () άρτια συνιστώσα του x(), viii) x o () περιττή συνιστώσα του x(). i) x(-2)={ ½ ½ }, ii) x(-)= { ½ ½ }, iii) x(4-)= { ½ ½ }, iv) x(+2)={ ½ ½ } v) x()u(2,)={ }, vi) x( 2 )={ ½ ½ } vii) x e ()= ½ [x()+x(-)]={ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ } vii x o ()= ½ [x()-x(-)]={ -¼ - ¼ - ½ ½ ¼ ¼ }

2 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα2 Ποιο γνωστό σήµα αποδίδει κάθε ένα από τα πιο κάτω σήµατα; i) y ( ) = u( ) u( ), ii) y ( ) ( k) Απαντήσεις ( ) = δ ( ) y k 3 k= ( ) ( ) ( ) y = u u =δ() y = k =u() 2 ( ) ( ) δ k= y ( ) = δ ( k ) = 3 k= 2 =, iii) δ k= 2

3 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα3 Να αποδείξετε:. Ότι τα πιο κάτω συστήµατα είναι όλα ευσταθή. k i) y( ) = x( k), ii) y( ) = (.5) x( k) k= k= 2. Ότι τα πιο κάτω συστήµατα είναι όλα ασταθή. Απαντήσεις. k i) y( ) 2 x( k) k =, ii) y( ) = ( 2) x( k) k= k= ( ) = x( k) ( ) ( ) ( ) y k= k ( ) = (.5) x( k) y k= y = x k < x k < B = B < k= k= k= k k k k.5 y( ) = (.5) x( k) <.5 x( k) <.5 B = B.5 = B = B 2 (.5 ) < 2B < k= k= k= k=.5 2. k ( ) = 2 x( k), για x()=u() y( ) y k= k ( ) = ( 2) x( k), για x( ) y k= l l k 2k k 4 y( ) = ( 2) x( 2k) = 4 = 4 k= k= k 2 = 2 = = 2 2 k= όταν και =2l άρτιος = όταν και περιττός όταν < 3

4 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα4 Προσδιορίστε το µέτρο και τη φάση του DTFT του συστήµατος που υπολογίζει τον κινούµενο µέσο τριών σηµείων (y()=/3(x(-)+x()+x(+))). Προφανώς h()= /3(,,). jω jω jω H ( Ω ) = x( ) e = e + + e = + 2cos( Ω) 3 3 Οπότε = ( ) Ω 2π 3 H Ω = + 2cos ( Ω) & Θ( Ω ) = H ( Ω ) = 3 π 2 π 3 < Ω 2 π Στην πιο πάνω εξίσωση περιγράφουµε τον Η(Ω) και το H ( Ω) µόνο στην περιοχή,π, γνωρίζοντας ότι επειδή η h() είναι πραγµατικό σήµα Η(Ω) και το H ( Ω) παρουσιάζουν άρτια και περιττή συµµετρία αντίστοιχα. Για τον ίδιο λόγο το σχήµα πιο κάτω σχεδιάστηκε µόνο για το διάστηµα [,π]. 4

5 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα5 Θεωρείστε το LTI σύστηµα µε κρουστική απόκριση h( ) = ( 2) u( ) 5. Προσδιορίστε και σχεδιάστε τα H ( Ω ) και H ( Ω) 5.2 Προσδιορίστε και σχεδιάστε τα φάσµατα µέτρου και φάσης για είσοδο και έξοδο για το σήµα εισόδου cos(3π/). 5. Από πίνακα µετασχηµατισµών προκύπτει: ( ) H ( Ω ) = = jω 2e 2cos Ω + 2si Ω ( ) j ( ) H Ω = = 2 2 ( 2cos( Ω )) + ( 2si( Ω) ) ( 5 4 cos( Ω) ) 2siΩ H ( Ω ) = ( 2cos( Ω) j 2si( Ω )) = arcta 2cos ( Ω) 2 Magitude Spectrum.8.6 H(Ω) Ω.6 Phase Spectrum.4.2 H(Ω) Ω 5

6 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4: Από πίνακα µετασχηµατισµών προκύπτει: Η έξοδος Y(Ω)=Η(Ω)Χ(Ω) Y(Ω) = Y ( ) x( ) cos π X ( ) π π δ δ π = Ω = Ω + Ω+ 3π 3π X ( Ω ) = π δ Ω + δ Ω+, Ω π ( 5 4 cos( Ω) ) X ( Ω ) = 3π 3π π δ Ω + δ Ω+, Ω π = 3π 3π πδ Ω πδ Ω+ +, Ω π 3π 3π 5 4 cos 5 4 cos π 3π 3π Ω = δ Ω + δ Ω+, Ω π 3π 5 4 cos 2siΩ Y ( Ω ) = H ( Ω ) + X ( Ω) Y ( Ω ) = arcta 2cos ( Ω) 5 Magitude Spectrum of X X(Ω) Ω 6

7 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 5 Magitude Spectrum of Y Y(Ω) Ω.6 Phase Spectrum of Y.4.2 Y(Ω) Ω 7

8 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα6 Για το παράδειγµα 5 να υπολογίσετε το y() Μέθοδος. j j y( ) = π π Ω Ω Y ( ) e d X ( ) H ( ) e d 2π Ω Ω = π 2π Ω Ω Ω π π 3π 3π jω y( ) = π δ δ H ( ) e d 2π π Ω + Ω+ Ω Ω 3π 3π 3π 3π j 3 3 π j j π y( ) = H e + H e = Re H e 2 3π 3π 3π j 3 j π y( ) = H e cos H e ( ) y Μέθοδος 2. ( π ) ( π ) 3π 2si 3 = cos arcta 5 4 cos3π 2cos 3 x e e 2 ( 3π ) ( 3π ) ( ) = cos( ( 3π ) ) = + j j j( 3π ) j( 3π ) j( 3π ) j( 3π ) y( ) = T e e T e T e + = + = j( 3π ) j( 3π ) = H (( 3π ) ) e + H (( 3π ) ) e 2 ( ) y ( π ) ( π ) 3π 2si 3 = cos arcta 5 4 cos3π 2cos 3 8

9 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα7 Ένα σήµα µε πεπερασµένη διάρκεια L δειγµάτων δίδεται από την εξίσωση: ( ) x Να προσδιορίσετε τον DFT για Ν 5 Στο τµήµα α του Σχήµατος έχει χαραχθεί ο DTFT της ακολουθίας x(). οκιµάζουµε πρώτα µε N=L= 5 σηµεία, δηλαδή ορίζουµε x p ()=. Τρέχοντας τον FFT και υπολογίζουµε Χ p (k), k=,,2,3,4 και χαράσσουµε τα διαγράµµατα του β τµήµατος του σχήµατος. Προσέξτε ότι ισχύει Χ p (k) =5. Το αποτέλεσµα αυτό είναι παραπειστικό, παρόλο που δίνει µε ακρίβεια τον DTFT σε 5 ιασπέχοντα σηµεία. Επαναλαµβάνουµε µε Ν=6. ηλαδή προσαρτούµε µηδενικά ορίζοντας x p ()=. Τρέχοντας τον FFT και υπολογίζουµε Χ p (k), k=,,2,,5 και χαράσσουµε τα διαγράµµατα του γ τµήµατος του σχήµατος. Παρατηρήσατε ότι τώρα ο DTFT δειγµατοληπτήται σε 6 σηµεία και δεν υπάχει πλέον η ασάφεια του β). 4 = αλλού 9

10 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα8 ίνεται η κρουστική απόκριση h(t) ενός LTI Συστήµατος. Να υπολογίσετε την Trasfer Fuctio F(ω) του συστήµατος και να υπολογίσετε το εύρος ζώνης σε rad h(t) µsec ειγµατοληπτούµε την h(t) µε περίοδο δειγµατοληψίας Τ S = µsec λαµβάνοντας διακριτό στο χρόνο σήµα x(), = :Τ S :8µsec. Στη συνέχεια υπολογίζουµε τον X(Ω), τον DFT της x(). Χαράσουµε τον Χ(Ω), όπως στο διπλανό Σχήµα. Από το σχήµα προκύπτει στην περιοχή του Ω=π ότι τα µέτρα των συντελεστών του DFT απέχουν σηµαντικά από το µηδέν, που σηµαίνει ότι υπάρχει aliasig. Εποµένως πρέπει να ελατωθεί η περίοδος δειγµατοληψίας T S. H(Ω) p/4 p/2 3p/4 p 5p/4 3p/2 7p/4 Ω Επαναλαµβάνουµε µε µικρότερες τιµές δειγµατοληψίας και τελικά για T S =.3-6 sec προκύπτει το πιο κάτω διάγραµµα χωρίς σηµαντικό aliasig.

11 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4: H(Ω) p/4 p/2 3p/4 p 5p/4 3p/2 7p/4 2p Ω H(Ω) p/4 p/2 3p/4 p 5p/4 3p/2 7p/4 2p Ω Αφού δεν υπάρχει σηµαντικό aliasig θα ισχύει F(ω)=Η(Ω/Τ S )) για π<ω π και -π/τ S <ω π/τ S. Για να χαράξουµε λοιπόν το διάγραµµα του F(ω) πρέπει πρώτα η περιοδική ακολουθία του DFT να παρουσιαστεί στο διάστηµα (-π, π]. Η αλλαγή αυτή στην παρουσίαση της Χ(k) µπορεί να προγραµµατιστεί στο MATLAB µε την εντολή fftshift µετά το fft. Από την ακολουθία λοιπόν Χ(k) στο διάστηµα [,2π) κατασκευάζουµε την ισοδύναµη ακολουθία F(k) στο διάστηµα (-π, π]. Την ακολουθία αυτή χαράσσουµε συµµετρικά ως προς το µηδέν µε βήµα ω=2π/(ντ S ) στα σηµεία [ floor(n/2): floor(n/2)+n-]* ω

12 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4: H(ω) ω x H(ω) ω x 7 2

13 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4: H(ω) ω x 6 Τέλος υπολογίζουµε το 3dB εύρος ζώνης (maximum/sqrt(2) και βρίσκουµε W=68 Κrad/sec 3

14 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα 9 9Α. Η ακολουθία DFT ενός πραγµατικού σήµατος x(), =,,2, 6 είναι: Χ()=3, Χ()= +j, X(2)=2-j, X(3)=.5-j, Γράψτε τους υπόλοιπους όρους. Απ Χ(4)=Χ * (7-4)= Χ * (3)=.5+j. Παρόµοια βρίσκουµε: Χ(5)=2+j, X(6)=-j. 9B Οι πιο κάτω ακολουθίες έχουν δοθεί ως DFT 4 σηµείων µιας πραγµατικής ακολουθίας. Εν τούτοις υπάρχει ένας όρος λάθος σε κάθε ακολουθία. Μπορείτε να τον εντοπίσετε; 4, 2+j, +j, 2-j 3, 5+j, 2, 5+j +j, 2+j,4, 2-j 9Γ) Να υπολογίσετε τον DFT των ακολουθιών: 6π xe ( ) = x( ) exp j N 6π x = x cos N, C ( ) ( ) όπου x() η ακολουθία του Ερωτήµατος. Απαντήσεις 6π x = x cos N, S ( ) ( ) ( ) ( 3 ) (4), ( 5 ), ( 6 ), ( ),..., ( 3) Χ = = = e k X k Mod7 X X X X X.5+j, 2+j, -j, 3, +j, 2-j.5-j Ισχύει ( ) 6π x 6π 6π xc ( ) = x( ) cos = exp + exp N 2 N N Χ C (k)=.5x(k-3) modn +.5X(k+3)modN= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).5 X (4) + X 3,.5 X (5) + X 4,.5 X (6) + X 5,.5 X () + X 6,.5 X () + X,.5 X (2) + X,.5 X (3) + X 2 Ισχύει ( ) 6π x 6π 6π xs ( ) = x( ) cos = exp + exp N 2 j N N Χ s (k)=.5x(k-3) modn +j.5x(k+3)modn= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).5 j X (4) X 3,.5 j X (5) X 4,.5 j X (6) X 5,.5 j X () X 6,.5 j X () X,.5 j X (2) X,.5 j X (3) X 2, κλπ 9 ) ίνεται η ακολουθία {Χ k }των 8 σηµείων DFT της ακολουθίας: 4

15 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 ( ) x 3 = 4 7 Να υπολογίσετε τον 8 σηµείων DFT της ακολουθίας: Αν γράψουµε αναλητικά τις ακολουθίες: = x ( ) = x()=. x ()= Επιβεβαιώνουµε ότι ισχύει x ()=x(-5) Mod(8). Οπότε Χ (k)=w 8 5k X(k). {Χ (k)}=x(), W 8 5 X(), W 8 X(2), W 8 5 X(3), W 8 2 X(4), W 8 25 X(5), W 8 3 X(6), W 8 35 X(7) {Χ (k)}=x(), W 8 5 X(), W 8 2 X(2), W 8 7 X(3), W 8 4 X(4), W 8 X(5), W 8 6 X(6), W 8 3 X(7) 5

16 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα Να υπολογίσετε την κυκλική συνέλιξη των ακολουθιών x()= και y()= 2. Στη συνέχεια υπολογίστε τη γραµµική συνέλιξη των δύο ακολουθιών χρησιµοποιώντας την τεχνική υπολογισµού της κυκλικής συνέλιξης. Τέλος χρησιµοποιείστε τον DFT για να υπολογίσετε την κυκλική και τη γραµµική συνέλιξη των x() και y() Υπολογισµός Κυκλικής Συνέλιξης Για τον υπολογισµό της κυκλικής συνέλιξης, συµπληρώνουµε µε µηδενικά την ακολουθία µικρότερου µήκους ώστε και οι δύο ακολουθίες να έχουν το ίδιο µήκος. Έτσι x()= και y()= z( ) = x( ) y( ) = = z( ) = Υπολογισµός Γραµµικής Συνέλιξης µε την Τεχνική της κυκλικής Θυµηθείτε τα βήµατα για τον πιο πάνω υπολογισµό:. Υπολογίζουµε το µήκος τα γραµµικής συνέλιξης, Ν C =N +N Συµπληρώνουµε µε µηδενικά τις δύο ακολουθίες ώστε να αποκτήσουν και οι δύο µήκος Ν C. 3. Υπολογίζουµε τη κυκλική συνέλιξη των επαυξηµένων µε µηδενικά δύο ακολουθιών 4. Το αποτέλεσµα του βήµατος 3 είναι η γραµµική συνέλιξη των δύο ακολουθιών. Με βάση τα πιο πάνω 4 βήµατα: Ν C =N +N 2 - Ν C =4+2-=5. x()={, 2, 3, 4, }, y()={, 2,,, } w x y w ( ) = ( )* ( ) = = 7 ( ) = {, 4, 7,, 8} 6

17 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Υπολογισµός Κυκλικής και Γραµµικής Συνέλιξης µέσω DFT Θυµηθείτε ότι για δύο ίδιου µήκους Ν ακολουθίες ισχύει: DFT{x() y()}=dft{x()} DFT{x()} ή ισοδύναµα: x() y() =IDFT{DFT{x()} DFT{x()}} Έτσι µε τη βοήθεια του MATLAB υπολογίζουµε την κυκλική συνέλιξη: ( ) ( ) ( ) [ ] z = x y = ifft fft([ 2 3 4]).* fft([ 2 ]) = καθώς και τη γραµµική συνέλιξη ( ) ( ) ( ) [ ] w = x * y = ifft fft([ ]).* fft([ 2 ]) = {, 4, 7,, 8} 7

18 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα Ένα ψηφιακό κανάλι παρουσιάζει κρουστική απόκριση h()={ -.3,.,.2, -.}. Στην είσοδό του εισέρχεται η ακολουθία συµβόλων s()={, -,, -, -, - }. Να υπολογίσετε την έξοδο του καναλιού w() χρησιµοποιώντας τον DFT. Η έξοδος y(), όπως γνωρίζουµε, ισούται µε την γραµµική συνέλιξη των δύο ακολουθιών, w()=h()*s() Για να γίνει ο υπολογισµός µέσω DFT καταρχήν θα ακολουθήσουµε τα βήµατα του παραδείγµατος.. Υπολογίζουµε το µήκος της γραµµικής συνέλιξης N C =4+9-=2 2. Συµπληρώνουµε µε µηδενικά τις δύο ακολουθίες ώστε και οι δύο να έχουν µήκος 2. h()={ -.3,.,.2, -., zeros(,8)}, s()={, -,, -, -,, -,,,,, } 3. Υπολογίζουµε τον DFT των δύο ακολουθιών Η(k)=DFT{ h()} και S(k)=DFT(s()) 4. Υπολογίζουµε την κυκλική συνέλιξη z()=h() s() από τη σχέση z()=idft{h(k) S(k)}. Όπως ξέρουµε θα ισχύει w()=z(). 5. Ολισθαίνουµε την αρχή του αποτελέσµατος κατά µία θέση. Στη συνέχεια παραθέτουµε το πρόγραµµα σε MATLAB και το αποτέλεσµα. clear *; close all;clc; h=[-.3,.,.2, -.];s=[ -,, -, -,, -,, ]; %Add zeros so that both sequecies have legth equal to 4+8- h=[h,zeros(,7)];s=[s,,,]; %Evaluate DFT of each sequece H=fft(h);S=fft(s); w=ifft(s.*h); Αποτέλεσµα w = ηλαδή: w =

19 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα 2 Ένα FIR φίλτρο παρουσιάζει Ενίσχυση G= και τις ακόλουθες ρίζες: z,2,3 =e j3π/8, z 4,5,6 = e -j3π/8,z 7 = e j2π/6, z 8 = e -j2π/6, z 9 = e j4π/6, z = e -j4π/6,z =- A) Να σχεδιάσετε τις ρίζες στο µιγαδικό επίπεδο. Β) Να γράψετε τη µορφή του H(Ω). Γ) Να Υπολογίσετε τη συνάρτηση H(Ω) µε τη βοήθεια του MATLAB και να τη σχεδιάσετε µαζί µε τη Η(Ω) db =f(ω). Α) Im(z) z 7 z -3 z 9 z Re(z) z z 8 z 4-6 Β) ( ) j π j π 8 j π π j j j j 6 j 2 j j π 6 j j π Ω Ω Ω Ω Ω Ω 6 jω H Ω = G e e e e e e e e e e e e e jω 3π jω 2 jω 2π jω 2 jω 4π jω jω Ω = ( ) H G e 2cos e e 2cos e e 2cos e e Γ) clear *; close all;clc; omega=-pi:pi/:pi; H=abs(exp(j*2*omega)- 2*cos(3*pi/8)*exp(j*omega)+).^3.*abs(exp(j*2*omega)- 2*cos(2*pi/6)*exp(j*omega)+).*... abs(exp(j*2*omega)- 2*cos(4*pi/6)*exp(j*omega)+).*abs((exp(j*omega)+)); plot(omega,2*log(h+eps)) xlabel('\rightarrow \Omega') ylabel(' X(\Omega) _{db}') axis([-pi*.,pi*.,-6,2*log(max(h))*.]) grid 9

20 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 figure;plot(omega,(h+eps)) xlabel('\rightarrow \Omega') ylabel(' X(\Omega) ') grid 5 X(Ω) db Ω X(Ω) Ω 2

21 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα 3 Α) ουλεύοντας µε το διάγραµµα Η(Ω) db του παραδείγµατος 2, υπολογίστε τη ψηφιακή κυκλική συχνότητα αποκοπής. Β) Αν ένα σήµα µε εύρος ζώνης W=2 KHz δειγµατοληπτηθεί µε συχνότητα f S =5 KHz και τα δείγµατα διέλθουν από το φίλτρο του Παραδείγµατος 2, µετά την ανακατασκευή ποιά είναι η ζώνη συχνοτήτων των 6dB που θα αποµείνει; Γ) Σε ποιες συχνότητες θα γίνει πλήρης απόσβεση του σήµατος; 3 2 X(Ω) db Ω A) Η ζώνη των 6 db είναι από -.42 έωσ.42 rad. B) Για το πραγµατικό σήµα οι αντίστοιχες κυκλικές συχνότητες υπολογίζονται από Ω f S και οι συχνότητες από Ω f S /2π. Έτσι: Η ζώνη των 6dB είναι.42*5=2 Krad/sec και σε συχνότητες.42*5/2/π=3.34 ΚΗz. Γ) Οµοίως µε Β) βρίσκουµε και καταχωρούµε στον πιο κάτω Πίνακα τις κυκλικές συχνότητες και τις συχνότητες µηδενισµού του σήµατος. Ω rad 3π/8 2π/6 4π/6 π ω=ωf S Krad/sec ( f= Ωf S /2/π KHz (2.9) -- Για τις δύο τελευταίες στήλες δεν υπάρχει απάντηση αφού το σήµα φθάνει µόνο τα f max = 2 ΚΗz η την ω max =33.8 Krad/sec 2

22 Παραδείγματα Εφαρμογές στο DSP 28/5/23 8:4:38 Παράδειγµα 4 ίνεται η Trasfer Fuctio του ΙΙR φίλτρου: H ( z) Να γράψετε την εξίσωση διαφορών του φίλτρου. Y ( z) z H ( z) = = = Y ( z)(.5z ) = X ( z ) X ( z) z.5.5z ( )(.5 ) = ( ) ( ).5 ( ) = ( ) ==> y()=x()+.5y(-) Y z z X z y y x z = z.5 22