Δρ. Χρήστος Ηλιούδης
Θζματα διάλεξησ ΣΤ1 Προςθεςη αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 2
ή ΣΤ1 Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ μειωμζνθ βάςθ R ενόσ μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ Χ = ( Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) R ζναν άλλον αρικμό Χ' τζτοιον ϊςτε Χ + Χ' = R n -1 Για το δυαδικό ςφςτθμα το ςυμπλιρωμα αυτό ονομάηεται ςυμπλιρωμα ωσ προσ 1 ι Σ1(Χ) και ιςχφει Χ+Χϋ=2 n -1. O υπολογιςμόσ του Χ' γίνεται ωσ εξισ: Χ' = (2 θ -1) - Χ = (1 1...1) - (Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) θ όροι θ όροι και Χ' = (1-Χ θ-1 1-Χ θ-2... 1-Χ 0 ) 3
Κανόνασ κανόνασ για τον υπολογιςμό του ςυμπλθρϊματοσ ωσ προσ 1 ενόσ αρικμοφ Χ. Το ςυμπλιρωμα ωσ προσ 1 ενόσ μθ προςθμαςμζνου δυαδικοφ ακεραίου αρικμοφ Χ υπολογίηεται αν αντιςτρζψουμε ζνα προσ ζνα τα ψθφία του. 4
Aν θ=8 τότε: Χ = 17 10 = 00010001 2 Σ1(17) = 11101110 2 X = 119 10 = 01110111 2 Σ1(119) = 10001000 2 Χ = 0 10 = 00000000 2 Σ1(0) = 11111111 2 Χ = 99 10 = 01100011 2 Σ1(99) = 10011100 2 Χ = 127 10 = 01111111 2 Σ1(127) = 10000000 2 5
Σφςτημα παράςταςησ ΣT1 Στο ςφςτθμα παράςταςθσ ΣΤ1 οι προςθμαςμζνοι αρικμοί που μποροφν να χωρζςουν ςε μία κζςθ μνιμθσ μικουσ n bits ορίηονται ωσ εξισ: 'Oλοι οι μθ αρνθτικοί αρικμοί (Θετικοί και μθδζν) που είναι μικρότεροι από το 2 θ-1-1 ςυμπεριλαμβανομζνου, παριςτάνονται όπωσ ακριβϊσ ςτο ςφςτθμα πρόςθμο-μζγεκοσ. Οι αρικμοί Χ από -(2 θ-1-1) μζχρι και 0 παριςτάνονται με το ςυμπλιρωμα ωσ προσ 1 τθσ απολφτου τιμισ του Χ. Eχουμε δφο παραςτάςεισ του μθδενόσ, τθν (0 0... 0) και τθν (1 1... 1). Όπωσ και ςτο ΣΤ2, το MSB κα είναι πάντοτε 1 για τουσ αρνθτικοφσ και 0 για του κετικοφσ 6
Σε μια κζςθ των n bits μποροφν να παραςτακοφν οι ακζραιοι που βρίςκονται μεταξφ των ορίων -(2 n-1-1) ωσ (2 n-1-1) ςυμπεριλαμβανομζνων και κωδικοποιεί τοφσ ίδιουσ ακριβϊσ αρικμοφσ με το ςφςτθμα πρόςθμο-μζγεκοσ, δθλαδι 2 n. Το κφριο πλεονζκτθμα του ΣΤ1 είναι θ ςυμμετρία του και θ ευκολία τθσ εφρεςθσ του ςυμπλθρϊματοσ ωσ προσ 1. Η πρόςκεςθ όμωσ ςτο ςφςτθμα αυτό είναι πιο πολφπλοκθ από αυτιν του ΣΤ2. 7
-8 ---- -7 1000-6 1001-5 1010-4 1011-3 1100-2 1101-1 1110 8
Πρόςθεςη ςτο ΣΤ1 Αρχίηοντασ από το 1000 2 (-7 10 ) και προχωρϊντασ προσ τα κάτω, κα παρατθριςουμε ότι κάκε αρικμόσ προκφπτει από τον προθγοφμενο αν προςκζςουμε τθ μονάδα, εκτόσ από τθ μεταφορά από το 1111 2 (-0) ςτο 0001 2 (+1 10 ). Και αυτό γιατί ενδιάμεςα παρεμβάλλεται το 0000 (+0). Για να καλφψουμε αυτιν τθν "ανωμαλία" προςκζτουμε το 2 αντί για το 1 όταν κζλουμε να μεταφερκοφμε από το 1111 2 ςτο 0001 2. «Για να διαςχίςουμε τον πίνακα αυξάνουμε κατά 1 εκτόσ από τθ μετάβαςθ μασ από 1111 ςτο 0001 όπου αυξάνουμε κατά 2». 9
Κανόνασ πρόςθεςησ ςτο ΣΤ1 Εκτελοφμε τθν δυαδικι πρόςκεςθ, αν υπάρχει κρατοφμενο πζρα από το MSB το προςκζτουμε ςτο αποτζλεςμα Η μζκοδοσ αυτι είναι γνωςτι και ςαν Endaround carry. 10
Παραδείγματα +3 0011 +4 0100 + +4 + 0100 + -7 + 1000 +7 0111 ΝΟ overflow -3 1100 NO overflow 11
-2 1101 +6 0110 + -5 +1010 + -3 +1100-7 1 0111 +3 1 0010 + 1 + 1 1000 NO overflow 0011 NO overflow 12
+5 0101-4 1011 + -5 + 1010 + -4 + 1011 0 1111 NO overflow -8 1 0110 + 1 0111 overflow 13
Αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 'Όπωσ και ςτθν περίπτωςθ του ΣΤ2, ο πιο εφκολοσ τρόποσ να κάνει κανείσ αφαίρεςθ, είναι να βρει το αντίςτροφο του αφαιρετζου και να το προςκζςει ςτον μειωτζο. Το τζχναςμα αυτό ζχει τα παρακάτω βιματα: Κανόνασ αφαίρεςησ ςτο ΣΤ1 Β0 : Β1 : Αντιςτρζφουμε τον αφαιρετζο Προςκζτουμε, (πρόςκεςθ ςτο ΣΤ1) ςτον αρικμό που κα προκφψει από το βιμα 0, τον μειωτζο. 14
Παραδείγματα +4 0100 0100 - +3-0011 αντιςτροφι + 1100 1 0000 + 1 0001 NO overflow 15
+2 0010 0010 - -2-1101 αντιςτροφι + 0010 4 0100 NO overflow 16
+4 0100 0100 - -5-1010 αντιςτροφι + 0101 +9 1001 overflow οι κανόνεσ για τθν υπερχείλιςθ είναι οι ίδιοι με αυτοφσ που περιγράψαμε ςτο ςφςτθμα ΣΤ2. 17
Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι ςε Μορφι Συμπλθρϊματοσ ωσ προσ Ζνα Η διαδικαςία για τθν ερμθνεία μιασ δυαδικισ αναπαράςταςθσ ςυμπλθρϊματοσ ωσ προσ ζνα ςτο δεκαδικό ςφςτθμα είναι τα ακόλουκα: Αν το τελευταίο αριςτερά μπιτ είναι 0 (κετικόσ αρικμόσ), Μετατρζπουμε ολόκλθρο τον αρικμό από το δυαδικό ςτο δεκαδικό ςφςτθμα. Τοποκετοφμε κετικό πρόςθμο (+) μπροςτά από τον αρικμό. Αν το τελευταίο αριςτερά μπιτ είναι 1 (αρνθτικόσ αρικμόσ), Αντικακιςτοφμε τον αρικμό με το ςυμπλιρωμά του (αλλάηουμε όλα τα 0 ςε 1, και το αντίςτροφο). Μετατρζπουμε ολόκλθρο τον αρικμό από το δυαδικό ςτο δεκαδικό ςφςτθμα. Τοποκετοφμε μπροςτά από τον αρικμό αρνθτικό πρόςθμο ( ). 18
Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι ςε Μορφι Συμπλθρϊματοσ ωσ προσ Ζνα Ερμθνεφςτε τον αρικμό 11110110 ςτο δεκαδικό ςφςτθμα, ζχοντασ ωσ δεδομζνο ότι ο αρικμόσ ζχει αποκθκευτεί ωσ ακζραιοσ ςυμπλθρϊματοσ ωσ προσ ζνα Λφςθ Το τελευταίο αριςτερά μπιτ είναι το 1, άρα ο αρικμόσ είναι αρνθτικόσ. Πρϊτα βρίςκουμε το ςυμπλιρωμά του. Το αποτζλεςμα είναι 00001001, το οποίο ςτο δεκαδικό είναι ο αρικμόσ 9. Επομζνωσ ο αρχικόσ αρικμόσ είναι το 9. 19
Προςθμαςμζνοι Ακζραιοι ςε Μορφι Συμπλθρϊματοσ ωσ προσ Ζνα Εφαρμογζσ Επικοινωνία Δεδομζνων Ανίχνευςθ και διόρκωςθ ςφαλμάτων 20
Ερωτιςεισ - ςυηιτθςθ