Κεφαλαιο 1 Θεωρητικο υποαθρο 1.1 Ηενεργος διατοµη Ενα αποταβασικοτερα µεγεθη στη µελετη των πυρηνικων αντιδρασεων ειναι η ενεργος διατοµη, καθοσον, το µεγεθος αυτο, εκφραζει την πιθανοτητα πραγµατοποιησης µιας αντιδρασης. Κλασσικα, ηενεργος διατοµη παριστανει την ενεργο επιφανεια, που προαλει ο πυρηνας-στοχος, εφεξης στοχος, σε ενα προσπιπτον σωµατιδιο, εφεξης βληµα, που κινειται ως προς αυτον µε ταχυτητα. Ηενεργος διατοµη εξαρταται απο τοειδος της αντιδρασης και τη σχετικη ταχυτητα του συστηµατος βληµα-στοχος η ισοδυναµα της ενεργειας Ñ στο συστηµα κεντρου µαζας. Για τον ορισµο της ενεργου διατοµης θεωρειται η πυρηνικηαντιδραση: (1.1) Τα σωµατιδια τυπου (σχηµα 1.1), επιταχυνονται απο µια επιταχυντικη διαταξη και στη συνεχεια προσπιπτουν σε ενα στοχο, που αποτελειται αποπυρηνες τυπου, µε αποτελεσµα την παραγωγη τωνπυρηνων και την ταυτοχρονη εκποµπη σωµατιδιων τυπου. Ο αριθµος Æ, των ατοµων του στοχου ανα µοναδα ογκου εκφραζεται αποτη σχεση [Rol88]: Æ Æ (1.2) οπου: ηπυκνοτητα του στοχου, εκφρασµενη σε gcm, Æ ο αριθµος του Avogadro σε ατοµαmol, και το ατοµικο βαρος του ισοτοπου σε gmol. 1
2 1.1 Η ενεργος διατοµη Σχηµα 1.1: Ενεργος διατοµη πυρηνικης αντιδρασης. Θεωρουµε οτι ενα µικρο τµηµα του στοχου (πυρηνες τυπου Χ) βοµαρδιζεται απο µιαδεσµη µονοενεργειακων σωµατιδιων (τυπου α). Οαριθµος των εκπεµποµενων σωµατιδιων απο τοστοχο, που περιεχονται στη στερεαγωνια Å, ειναι ισος µε Á ¼ Æ ÅÅ. Ηγωνια σκεδασης ειναι καλα καθορισµενη, οταν ο ανιχνευτης βρισκεται αρκετα µακριααπο τοστοχο. Εστω Á ¼ η ενταση των σωµατιδιων που προσπιπτουν στο στοχο, οοποιος θεωρειται οτι αποτελειται απο ενα µονο στοιχειο και Ü το στοιχειωδες παχος του. Τα σωµατιδια της δεσµης περνουν µεσα αποτοστοχο και αλληλεπιδρουν µε τους πυρηνες του. Αποτελεσµα της αλληλεπιδρασης αυτης ειναι η ελαττωση της αρχικης ροης της δεσµης. Εστω Á ηελαττωση της εντασης των προσπιπτοντων σωµατιδιων κατατηδιελευση τους µεσα αποτοστοιχειωδες παχος Ü του στοχου. Ηποσοτητα Á ειναι αναλογη της αρχικης εντασης Á ¼ των προσπιπτοντων σωµατιδιων και του αριθµου τωνατοµων του στοχου ανα µοναδα επιφανειας Æ Ü, καθετα στην οποια προσπιπτει η δεσµη, δηλαδη Á Á ¼ Æ Ü. Ησταθερα αναλογιας στην παραπανω σχεση ειναι η µικροσκοπικηενεργος διατοµη. Ισχυει εποµενως: Á Á ÜµÆ Ü (1.3) Η µικροσκοπικη ενεργος διατοµη εχει προφανως διαστασεις επιφανειας, καθοσον το Æ εχει διαστασεις [L ] και το Ü διαστασεις [L]. H µοναδα µετρησης της ενεργου διατοµης ειναι το barn (1 barn =10 ¾ cm ¾ ). Οστοχος στο σχηµα 1.1 θεωρειται οτι ειναι:
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 3 οµογενης, οποτε η ποσοτητα Æ ειναι ανεξαρτητη απο τοπαχος Ä του στοχου, και αρκεταλεπτος, ωστε η ταχυτητα των σωµατιδιων της δεσµης να µην ελαττωνεται σηµαντικα κατατηδιελευση τους µεσα απο αυτον. Οι δυο αυτες υποθεσεις µαζι µετησχεση (1.3) οδηγουν στο συµπερασµα οτι η ενεργος διατοµηειναι ανεξαρτητη αποτοπαχος του στοχου Ä. Ηολοκληρωση της σχεσης (1.3) πανω σε ενα πεπερασµενο παχος Ü (Ü Ä) του στοχου δινει για την ενταση των προσπιπτοντων σωµατιδιων την εκφραση [Fer86]: Á ܵ Á ¼ ÜÔ µæ Ü ¼ Ü Ä (1.4) Ηενεργος διατοµη οριζεται µε τη βοηθεια της (1.4), ηοποια και γινεται περισσοτερο χρησιµη σε πρακτικους υπολογισµους, αν συνδυασουµε τα διαφορα µεγεθη που υπεισερχονται σ αυτην µε ποσοτητες που µπορουν να µετρηθουν πειραµατικα. Αν θεωρηθει ολοκληρο το παχος του στοχου (Ü Ä) και ο εκθετικος ορος στην (1.4) αντικατασταθει µεσειραστηνοποια κρατησουµε ορους µεχρι και πρωτης ταξης, τοτε, η εκφραση για την ενεργο διατοµη γραφεται [Fer86]: ÁÁ ¼ Æ Ä (1.5) Ο αριθµητης στην παραπανω σχεση εκφραζει την ανηγµενη ελαττωση της εντασης των προσπιπτοντων σωµατιδιων, λογω της αλληλεπιδρασης τους µε τα ατοµα του στοχου. Αν Æ ειναι ο αριθµος των σωµατιδιων ανα µοναδα φορτιου της δεσµης και ¼ ο αριθµος των σωµατιδιων τυπου, η φωτονιων, που εκπεµπονται απο το στοχο, τοτε ισχυει: ÁÁ ¼ ¼ Æ (1.6) Ησχεση (1.5) λογω των (1.2) και (1.6) γραφεται: ¼ Æ Æ Ä ¼ Æ Æ (1.7) Το γινοµενο Ä ειναι η επιφανειακηπυκνοτητα η, οπως στη συνεχεια θα αναφερεται, το ισοδυναµο παχος του στοχου σε Ñ ¾, το οποιo µπορει να προσδιορισθει πειραµατικα 1. 1 Σηµειωνεται οτι το ισοδυναµο παχος εχει µοναδες Ñ ¾ σε αντιθεση µε το φυσικο παχος Ä που εχει µοναδες µηκους.
4 1.1 Η ενεργος διατοµη Εφοσον η ενεργος διατοµη σχετιζεται µε την πιθανοτητα È πραγµατοποιησης της αντιδρασης σε µια ενεργεια δεσµης, ειναι χρησιµο να συνδεθουν ποσοτικα ταδυο αυτα µεγεθη. Αν È ειναι η πιθανοτητα, ενα σωµατιδιο της δεσµης να αλληλεπιδρασει µεσα στο στοχο, τοτε η πιθανοτητα να µην αλληλεπιδρασει, αφου διασχισει το παχος Ä του στοχου, ειναι: ½ È Á ĵ Á ¼µ ÜÔ Æ Äµ ÜÔ Ä µ (1.8) Ηποσοτητα Æ µ ½ ονοµαζεται µηκος αλληλεπιδρασης [Fer86] και παριστανει τη µεση ελευθερη διαδροµη των σωµατιδιων της δεσµης µε ενεργεια, δηλαδητηνκαταµεσον ορο αποσταση που διανυει το προσπιπτον σωµατιδιο, µεταξυ δυο διαδοχικων αλληλεπιδρασεων µε τους πυρηνες του στοχου. Οταν το παχος Ä του στοχου ειναι πολυµικροτερο αποτηµεση ελευθερη διαδροµη των σωµατιδιων 2 (Ä ), ο εκθετικος ορος της εξισωσης (1.8) µπορει να αναπτυχθεισεσειρα δυνα- µεων του Ä. Κρατωντας ορους πρωτης ταξης στο αναπτυγµα της εξισωσης (1.8), ηπιθανοτητα αλληλεπιδρασης È ενος σωµατιδιου της δεσµης µε τα ατοµα του στοχου εκφραζεται απο τησχεση: È µ Ä µæ Ä (1.9) Ηεξισωση (1.9) συνδεει την µικροσκοπικη ενεργο διατοµη µε την πιθανοτητα αλληλεπιδρασης È ενος σωµατιδιου της δεσµης µε τα ατοµα του στοχου. Απο τη σχεση (1.9) γινεται φανερο, οτι η πιθανοτητα È δεν εξαρταται µονο αποτηνενεργεια, οπως η ενεργος διατοµη, αλλα και αποτοπαχος και το ειδος του στοχου. Στην περιπτωση οπου σε ενα πειραµα σκεδασης, οπως αυτο που παρουσιαζεται στο σχηµα 1.1, οστοχος ειναι λεπτος (Ä ) και τα σκεδαζοµενα σωµατιδια ανιχνευονται µεσα σε µια στερεαγωνια Å στη διευθυνση ( ), η ενταση των σω- µατιδιων σ αυτη την διευθυνση δινεται απο τηνεκφραση: µ Á µ Á ¼ Æ Ä Å (1.10) Å Ησταθερα αναλογιας Å ονοµαζεται διαφορικη ενεργος διατοµη. Ηπιθανοτητα È σχετιζεται µε την διαφορικηενεργο διατοµη µετησχεση: È Æ Ä Å (1.11) Å 2 Ηυποθεση αυτηειναι ρεαλιστικη. Αν θεωρησουµε για παραδειγµα µεταλλικοστοχο Sr που εχει πυκνοτητα ¾ Ñ και παχος ¼¼Ñ ¾ τοτε Ä ½½ ½¼ Ñ. Αν θεωρησουµε τυπικη τιµη γιατηνενεργο διατοµη ½ Ñ, τοτε Æ ËÖ ½ ½¼ ¾¾ ατοµαñ, τοτε η µεση ελευθερη διαδροµη του βληµατος θα ειναι ¾ Ñ, οποτε Ä ¾ ½¼.
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 5 Πρεπει να σηµειωσουµε οτι, εαν συµαινει να ειναι ειτε η ιδιοστροφορµη (spin) των σωµατιδιων της δεσµης πολωµενη η οιπυρηνες του στοχου να ειναι πολωµενοι η και τα δυο, τοτε, η διαφορικηενεργος διατοµηεξαρταται και αποτηγωνια, υπαρχει δηλαδη αζιµουθιακη εξαρτηση [Sat90]. 1.2 Ο αστροφυσικος παραγοντας Ειναι γνωστο οτι οι πυρηνικες αντιδρασεις διεπονται απο τους νοµους και τις αρχες της καντικης φυσικης. Συµφωνα µε την καντικη µηχανικη, αν το βληµα και ο στοχος θεωρηθουν σηµειακασωµατιδια χωρις δοµη, τοτε η ενεργος διατοµη µιας πυρηνικης αντιδρασης σε µια ενεργεια εκφραζεται απο τησχεση [Bla52]: ¾ (1.12) οπου ειναι το µηκος κυµατος κατα de Broglie του βληµατος στο συστηµα αναφορας του κεντρου µαζας. Το συνδεεται µε την ενεργεια στο συστηµα κεντρου µαζας Ñ µε τη σχεση: Ô (1.13) ¾Ñ οπου η ανηγµενη µαζα του συστηµατος βληµα-στοχος. Στο συστηµα του εργαστηριου η παραπανω σχεση γραφεται [Rol88]: Ñ Ø Ñ Ô Ñ Ø Õ¾Ñ Ô Ð (1.14) οπου Ñ Ø ηµαζα του στοχου, Ñ Ô ηµαζα του βληµατος και Ð ηενεργεια του στο συστηµα αναφορας του εργαστηριου. Με συνδυασµοτωνσχεσεων (1.12) και (1.13) προκυπτει οτι η ενεργος διατοµη µιαςαντιδρασης ειναι αναλογη του ½ Ñ, οπου στα εποµενα η Ñ θα συµολιζεται µε, ισχυει δηλαδη:» ½ (1.15) Προφανως, για την πραγµατοποιηση των πυρηνικων αντιδρασεων, το προσπιπτον σωµατιδιο πρεπει να υπερνικησει το απωστικο δυναµικο Coulomb του στοχου. Ως γνωστον, ηδιελευση ενος φορτισµενου σωµατιδιου µεσα απο τοαπωστικο δυνα- µικο καθοριζεται απο την πιθανοτητα διελευσης, που οπως αποδεικνυεται στην παραγραφο 1.6, εκφραζεται απο τονλεγοµενο συντελεστη διελευσης Ì µ. Ετσι, ησχεση (1.15) πρεπει επιπλεον να συνελιχθει µε την πιθανοτητα Ì µ, οποτε: µ» ½ Ì µ (1.16)
6 1.2 Ο αστροφυσικος παραγοντας Η παραπανω σχεση γινεται ισοτητα µε την εισαγωγητουλεγοµενου αστροφυσικου παραγοντα, που συµολιζεται µε το γραµµα Ë (Ë factor), ισχυει δηλαδη [Rol88]: µ Ë µ ½ Ì µ (1.17) Ο αστροφυσικος παραγοντας Ë εξαρταται µονο αποτηνενεργεια του συστηµατος στο κεντρο µαζας. Οπως αποδεικνυεται στην παραγραφο (1.6) ο συντελεστης διελευσης Ì µ, πληρει τησχεση: Ì µ ÜÔ ¾µ (1.18) Η παραµετρος ονοµαζεται παραµετρος Sommerfeld και οπως αναπτυσσεται στην παραγραφο (1.6) εξαρταται αποτηνενεργεια του βληµατος. Συνεπως, ο αστροφυσικος παραγοντας εκφραζεται ως: Ë µ µ ÜÔ ¾µ (1.19) Ο αστροφυσικος παραγοντας Ë εµπεριεχει ολα τα πυρηνικαφαινοµενα που υπεισερχονται σε µια πυρηνικηαντιδραση, ολα δηλαδηταφαινοµενα, που εµπλεκονται σε µια αλληλεπιδραση ενος φορτισµενου σωµατιδιου µε εναν πυρηνα, πλην της αλληλεπιδρασης Coulomb, της οποιας η συνεισφοραστηνενεργοδιατοµη παρεχεται εδω απο τον σχετικο συντελεστη διελευσης Ì µ. Συγκρινοντας µια τυπικηγραφικη παρασταση της ενεργου διατοµης συναρτησει της ενεργειας, (βλ. σχηµα 1.2), µε την αντιστοιχη του αστροφυσικου παραγοντα Ë, παρατηρουµε συχναοτιγιατηνιδια περιοχηενεργειων, ηενεργος διατοµη µετααλλεται καταπολλες ταξεις µεγεθους, σε αντιθεση µε τον αστροφυσικο παραγοντα του οποιου η µεταοληειναι συγκριτικαιδιαιτερα οµαλη. Αυτη η οµαλη µεταολητονκανει ιδιαιτερα χρησιµο, οταν η ενεργος διατοµη σε µια περιοχηενεργειων ειναι τοσο µικρη ωστε πρακτικα δεν µπορει να µετρηθει. Σε τετοιες περιπτωσεις, οι τιµες του αστροφυσικου παραγοντα Ë υπολογιζονται µεσω της (1.19) απο τις τιµες της ενεργου διατοµης, που προκυπτουν απο µετρησεις, εως την ελαχιστη δυνατηενεργεια (βλ. σχηµα 1.2). Κατοπιν, στις τιµες του παραγοντα Ë προσαρµοζεται καταλληλη συναρτηση (συνηθως πολυωνυµο 1 Ó βαθµου), ηοποια στη συνεχεια προεκτεινεται στις χαµηλες -µη µετρησιµες- ενεργειες, οπως δειχνει το σχηµα 1.2. Ετσι, µεσω του αστροφυσικου παραγοντα Ë ειναι δυνατο, µε καταλληλη προεκταση, να προσδιοριστουν ενεργες διατοµες στην περιοχη ενεργειων, οπου δεν ειναι εφικτη η απευθειας µετρηση τους. Συχνα, ηενεργειακηαυτηπεριοχηειναι γνωστηµε
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 7 Σχηµα 1.2: Τυπικες µεταολες της ενεργουδιατοµης και του αστροφυσικου παραγοντα Ë, στην περιπτωση αντιδρασεων οπου δεν εµφανιζονται συντονισµοι [Rol88]. Ηενεργος διατοµη ελαττωνεται ταχεως οταν ελαττωνεται η ενεργεια της δεσµης και στην περιοχη µε αστροφυσικο ενδιαφερον, γνωστη και ως παραθυρο Gamow, που φαινεται στο σχηµα µε γκρι χρωµα ειναι µη µετρησιµη. Σε αντιθεση µε την ενεργο διατοµη, ο αστροφυσικος παραγοντας Ë µετααλλεται σχετικα οµαλα. τον ορο παραθυρο Gamow (βλ. παραγραφο 1.6), και ειναι αυτη πουεµφανιζει αµεσο ενδιαφερον στην αστροφυσικη. 1.3 Ο ρυθµος µιας πυρηνικης αντιδρασης Στην παραγραφο αυτη αναπτυσσεται η εννοια του ρυθµου µιας πυρηνικης αντιδρασης και η συνδεση της µε την ενεργοδιατοµη. Για την περιγραφη των φυσικων εννοιων θεωρειται η πυρηνικηαντιδραση µ που µπορει να πραγµατοποιηθει σενα αστρικο αεριο (σχηµα 1.3). Εαν ειναι το µετρο της σχετικης ταχυτητας αναµεσα στα βληµατα και το στοχους, τοτε το καθε βληµα βλεπει µια ενεργο επιφανεια, που ισουται µε την ενεργοδιατοµη µ της αλληλεπιδρασης αναµεσα στο βληµα και το στοχο, επι την πυκνοτητα Æ των πυρηνων, εκφρασµενη σε αριθµοπυρηνων ανα µοναδα
8 1.3 Ο ρυθµος µιας πυρηνικης αντιδρασης Σχηµα 1.3: Αλληλεπιδραση αναµεσα σε βληµατα (σωµατιδια ) και στοχους (σωµατιδια ) σε ενα αστρικο περιαλλον. Ταβληµατα κινουνται ως προς τους στοχους µε σχετικη ταχυτητα, ικανη να προκαλεσει πυρηνικες αντιδρασεις µεταξυ των σωµατιδιων αυτων. ογκου. Ηεπιφανεια αυτη δινεται απο τησχεση: µæ (1.20) Επιπλεον, το πληθος των πυρηνικων αντιδρασεων που λαµανουν χωρα, εξαρταται απο την ροη  των προσπιπτοντων σωµατιδιων, ηοποια ισουται µε το γινο- µενο της πυκνοτητας των προσπιπτοντων σωµατιδιων Æ επιτηνταχυτητα τους. ηλαδη: Â Æ (1.21) Προφανως, το γινοµενο  εκφραζει το ρυθµο Ö µιας πυρηνικης αντιδρασης, ο οποιος λογω των σχεσεων (1.20) και (1.21) γραφεται ως: Ö Æ Æ µ (1.22) και εκφραζει τον αριθµοτωναντιδρασεων που λαµανουν χωρα στη µοναδα χρονου και στη µοναδα ογκου, οταν ολατασωµατιδια του αεριου εχουν την ιδια ταχυτητα. Οι ταχυτητες των σωµατιδιων ενος αστρικου αεριου, αναξαρτητα απο τοαν η αστρικη υλη ειναι εκφυλισµενη 3 η οχι, παρουσιαζουν µια κατανοµη στηνοποια µπορουµε να αντιστοιχησουµε µια συναρτηση πιθανοτητας µ. Τοτε, οολικος 3 Αν η πιεση των εκφυλισµενων ηλεκτρονιων ενος αστρικουαεριου εξισορροπει τηνπιεση λογω βαρυτητας, που εξασκουν τα ανωτερα στρωµατα του αστερα, τοτε η υλη του αστρικουπεριαλλοντος θεωρειται εκφυλισµενη [Var91, Spy86].
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 9 ρυθµος αντιδρασης Ö, στην περιπτωση που τα σωµατιδια του αεριου εχουν µια κατανοµη ταχυτητων που περιγραφεται απο τη συναρτηση µ, υπολογιζεται 4 µε ολοκληρωση της σχεσης (1.22) ως προς ολες τις δυνατες ταχυτητες, δηλαδη, ½ Ö Æ Æ µ µ (1.23) ¼ οπου η συναρτηση κατανοµης µ θεωρηθηκε κανονικοποιηµενη στη µοναδα, δηλαδη ½ ¼ µ ½ (1.24) Το γινοµενο Æ Æ στη σχεση (1.23) αποτελει τον ολικο αριθµο ζευγων των αλληλεπιδρωντων πυρηνων. Στην περιπτωσηπουτοβληµα και ο πυρηνας στοχος ειναι τα ιδια σωµατιδια, ησχεση (1.23) γενικευεται και γραφεται [Rol88] ως: Ö Æ Æ ½ Æ µ ½ (1.25) οπου το δελτα του Kronecker εχει τεθει στην(1.25) για να µην απαριθµωνται τα ζευγη των αλληλεπιδρωντων σωµατιδιων δυο φορες. Στην περιπτωση που θεωρηθει ενα µονο σωµατιδιο τυπου, (Æ ½), και ενα σωµατιδιο τυπου,(æ ½), ησχεση (1.23) δινει το ρυθµοαντιδρασης αναζευγος σωµατιδιων, δηλαδη, ½ ¼ µ µ (1.26) Αν η αντιδραση ειναι εξωθερµη (É ¼), τοτε η ολοκληρωση εκτεινεται απο =0 µεχρι το απειρο, ενωανηαντιδραση ειναι ενδοθερµη (É ¼), ηολοκληρωση εκτεινεται αποµιατιµητηςταχυτητας Ø µεχρι το απειρο. Ηελαχιστη ταχυτητα Ø, για την οποια ισχυει Ø» É ½¾ [Rol88] και εκφραζει την ταχυτητα την οποια πρεπει να εχουν τα σωµατιδια, ωστε να επαγουν πυρηνικη αντιδραση, ονοµαζεται ταχυτητα κατωφλιου. Οι υπολογισµοιπουδινονται στο Παραρτηµα Α αποδεικνυουν, οτι σ ενα αστρικο αεριο τα σωµατιδια τυπου κινουνται µε µη-σχετικιστικες ταχυτητες. Ως εκ τουτου η κατανοµηταχυτητων στην οποια υπακουουν ειναι η κατανοµη Maxwell-Boltzmann. Η συναρτηση κατανοµης ταχυτητων Maxwell-Boltzmann δινεται αποτησχεση [Rol88]: µ ¾ Ñ ¾Ì ¾ Ñ ¾ ÜÔ ¾Ì (1.27) 4 Υπενθυµιζεται οτι για ενα φυσικο µεγεθος ܵ που εξαρταται απο τη µεταλητη Ü ηοποια υπακουει σε µια κατανοµη πιθανοτητας ܵ ηµεση τιµη του φυσικου µεγεθους ܵ δινεται απο τη σχεση: ܵ Ê Üµ ÜµÜ Ê ÜµÜ.
10 1.3 Ο ρυθµος µιας πυρηνικης αντιδρασης οπου, ειναι το µετρο της ταχυτητας των σωµατιδιων του αεριου µαζας Ñ, που βρισκονται σε ενα περιαλλον θερµοκρασιας Ì και ησταθερα Boltzmann. Αν Ò ειναι ο ολικος αριθµος των σωµατιδιων του αεριου, τοτε το ποσοστο των σωµατιδιων αυτων µε ταχυτητες που εχουν µετρο στο διαστηµα ( ), ανεξαρτητα απο τηκατευθυνση τους, δινεται απο τησχεση: Ò µ (1.28) Ò Επισης το ιδιο ποσοστο σωµατιδιων θα εχει ενεργειες στο διαστηµα ( ), δηλαδη: Ò ³ µ (1.29) Ò οπου, ³ µ η συναρτηση κατανοµης ως προς την ενεργεια. Αποτιςσχεσεις (1.28) και (1.29) αποδεικνυεται οτι η ³ µ εκφραζεται απο τησχεση: ³ µ Ô ¾ ½ ¾ ½¾ ÜÔ Ìµ (1.30) Ì Η συναρτηση ³ µ αποτελει την ενεργειακη κατανοµη Maxwell-Boltzmann και παρουσιαζεται στο σχηµα 1.4. Αποτηνεκφραση (1.30) προκυπτει οτι: Η κατανοµη παρουσιαζει µεγιστη τιµη στηνενεργεια ̾, οπως προκυπτει µετα απο παραγωγιση της σχεσης (1.30) ως προς την ενεργεια. Καθως η ενεργεια του αεριου αυξανεται, ηµεγιστη τµη µετατοπιζεται προς µεγαλυτερες ενεργειες ενωταυτοχρονα η κατανοµηγινεται πιο ευρεια, οπως φαινεται και στο σχηµα 1.4. Στην περιοχη των χαµηλων ενεργειων η συναρτηση αυξανεται σχεδον γραµ- µικαµετηνενεργεια, δηλαδη ³», ενω στην περιοχη των υψηλων ενεργει- ων ελαττωνεται εκθετικα µετηνενεργεια, δηλαδη ³» ÜÔ Ìµ. Ηγνωση της συναρτησης κατανοµης ³ µ των βληµατων δινει τη δυνατοτητα υπολογισµου του ρυθµου αντιδρασης ανα ζευγος µη ταυτοτικων σωµατιδιων σε µια θερµοκρασια Ì. Ο υπολογισµος γινεται µεσω της σχεσης (1.26) χρησιµοποιωντας ως ανεξαρτητη µεταλητηολοκληρωσης την ενεργεια στο συστηµα κεντρου µαζας αντι της σχετικης ταχυτητας. Συνεπως, ισχυει: ½ ½¾ ¾ ³ µ µ (1.31) ¼ οπου, ειναι η ανηγµενη µαζα του συστηµατος βληµα-στοχος και ½¾µ ¾. Ετσι, ο ρυθµος µιας πυρηνικης αντιδρασης αναζευγος µη ταυτοτικων σωµατιδιων
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 11 Σχηµα 1.4: Η κατανοµη πιθανοτητας ενεργειων ³ µ κατα Maxwell - Boltzmann των σω- µατιδιων ενος αεριου σε δυο διαφορετικες θερµοκρασιες Ì ½ και Ì ¾. Η κατανοµη εχει ενα µεγιστο στην ενεργεια ̾. Με την αυξηση της θερµοκρασιας του αεριου το µεγιστο της κατανοµης µετατοπιζεται προς υψηλοτερες ενεργειες και η κατανοµη γινεται πιο ευρεια. δινεται απο τησχεση: ½¾ ½ ½ µ ÜÔ Ì µ ¾ ¼ µ (1.32) Ì Πρεπει να τονιστειοτιησχεση (1.32) αποτελεισχεση-κλειδι στην αστροφυσικη, καθοσον ο ρυθµος αντιδρασης υπεισερχεται ως παραµετρος σε υπολογισµους περιεκτικοτητων των στοιχειων. Απο τη µορφη τηςεξισωσης (1.32) γινεται προφανες, οτι, για την πραγµατοποιηση τετοιων υπολογισµων, απαιτειται η γνωση της ενεργου διατοµης, ηµετρηση της οποιας ειναι καθαρα εργασια της πυρηνικης φυσικης. Ετσι η σχεση (1.32) συνδεει ουσιαστικα τηνεργασια αυτη µετηναστροφυσικη. Οι ρυθµοι τωναντιδρασεων που προκυπτουν απο µετρησεις ενεργων διατο- µων στο εργαστηριο, αφορουν αντιδρασεις µεταξυπυρηνων στην βασικη τους κατασταση. Οµως σ ενα αστρικο περιαλλον θερµοκρασιας Ì η αστρικη υλη βρισκεται σε µορφη πλασµατος και ως εκ τουτου ενα σηµαντικο ποσοστο αντιδρωντων πυρηνων ειναι δυνατο ναβρισκεται σε διαφορετικες διεγερµενες καταστασεις. Εποµενως, ηενεργος διατοµη µιας πυρηνικης αντιδρασης σε ενα αστρικο
12 1.3 Ο ρυθµος µιας πυρηνικης αντιδρασης περιαλλον (αστρικηενεργος διατοµη) διαφερει αποαυτην που µετραµε στο εργαστηριο, ¼, µε αποτελεσµα να διαφερουν και οι αντιστοιχοι ρυθµοι αντιδρασης. Ο λογος, του ρυθµουµιαςαντιδρασης, που πραγµατοποιειται σε ενα αστρικο περιαλλον, προς τον αντιστοιχο ρυθµοτηςαντιδρασης ¼ που προκυπτει απο µετρησεις στο εργαστηριο, υπολογιζεται µεσω της σχεσης [Ang99]: ½ ¾Â ½µ Ì µ ¾Â ¼ ½µÜÔ Ì ¼ (1.33) οπου ειναι η λεγοµενη συναρτηση επιµερισµου του στοχου,  η ιδιοστροφορµη της διεγερµενης καταστασης του στοχου µε ενεργεια διεγερσης,  ¼ η ιδιοστροφορµη της θεµελιωδους καταστασης του στοχου και ο ρυθµος της αντιδρασης µε το στοχο στη διεγερµενη σταθµη. Η συναρτηση επιµερισµου Ì µ στη θερµοκρασια Ì δινεται [Gor02b] απο τησχεση: Ì µ ½ ¾Â ½µ Ì Â ¾Â ½µ Ì Âµ (1.34) οπου, το αθροισµα λαµανεται για ολες τις διεγερµενες καταστασεις του στοχου µε ενεργεια διεγερσης και ιδιοστροφορµη  µεχρι την ανωτερη διακριτη σταθµη µε ενεργεια. Για ενεργειες διεγερσης, οι σταθµες του στοχου δεν ειναι πλεον διακριτες ( απεχουν µεταξυ τους µερικες εκατονταδες Î ) οποτε το αθροισµα στη σχεση (1.34) αντικαθισταται µε ολοκληρωµα και εισαγεται ηπυκνοτητα πυρηνικων καταστασεων (Nuclear Level Density) µ. Το µεγεθος µ και η σχεση του µε την παρουσα εργασια αναπτυσσεται στο Κεφαλαιο 4. Προφανως, η µετατροπη του ρυθµουαντιδρασης στο εργαστηριο ¼ σε αστρικο ρυθµο αντιδρασης προυποθετει τον υπολογισµο τηςαντιστοιχης συναρτησης επιµερισµου µε χρηση της σχεσης (1.34) και στη συνεχεια εφαρµογη της σχεσης (1.33). Επειδη ο υπολογισµος των συναρτησεων επιµερισµου ειναι αρκετα µακροσκελης, οι συναρτησεις αυτες λαµανονται απο τη βιλιογραφια στην οποια υπαρχουν σε µορφη πινακων (βλ. Παραρτηµα Β). Με τη βοηθεια αυτων των πινακων µπορει στη συνεχεια να υπολογιστει ο παραγοντας µε τη σχεση (1.33). Ο παραγοντας, γνωστος και ως παραγοντας αστρικης υπερτιµησης (stellar enhancement factor), µπορει να ληφθει κιαυτος απο τηβιλιογραφια, επισης µε τη µορφη πινακων, µε τη βοηθεια των οποιων ο ρυθµος αντιδρασης ¼ στο εργαστηριο µετατρεπεται σε αστρικο ρυθµοαντιδρασης µεσω της απλης σχεσης: ¼ (1.35)
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 13 Για την περιπτωση των αντιδρασεων που µελετηθηκαν στην παρουσα εργασια οι παραγοντες απεικονιζονται στο σχηµα 1.5. Οι αντιστοιχες τιµες µαζι µε Σχηµα 1.5: Παραγοντες αστρικης υπερτιµησης για τις αντιδρασεις πρωτονικης συλληψης των σταθερων ισοτοπων του Sr συναρτησει της θερµοκρασιας [Dem03]. Σηµειωνεται οτι Ì =10 K. τις σχετικες τιµες Ì µ δινονται στο Παραρτηµα Β. Σηµειωνεται οτι η συναρτηση επιµερισµου Ì µ και συνεπως και ο παραγοντας αστρικης υπερτιµησης, εξαρτωνται, λογω των σχεσεων (1.33) και (1.34), απο τηνπυκνοτητα πυρηνικων καταστασεων µ και την παραµετρο. Τα δυο αυτα µεγεθη εξαρτωνται µε τη σειρα τους απο το µοντελο που χρησιµοποιειται για τον υπολογισµο τους. Ετσι, τελικα, η συναρτηση επιµερισµου Ì µ και ο παραγοντας αστρικης υπερτιµησης ειναι µεγεθη που εξαρτωνται απο το πυρηνικο προτυπο που χρησιµοποιειται καθε φορα για την περιγραφη τηςπυκνοτητας πυρηνικων καταστασεων και της δοµης των πυρηνων που εµπλεκονται στους υπολογισµους. 1.4 Αντιδρασεις σχηµατισµου συνθετου πυρηνα Ηµελετη των πυρηνικων αντιδρασεων ανεδειξε την υπαρξη δυο διαφορετικων µηχανισµων. Οι µηχανισµοι αυτοι ειναι οι: α) µηχανισµος σχηµατισµου συνθετου πυρηνα και β) µηχανισµος αµεσων αντιδρασεων. Στα πλαισια της παρουσας ερ-
14 1.4 Αντιδρασεις σχηµατισµου συνθετου πυρηνα γασιας ενδιαφερει ο πρωτος µηχανισµος, καθοσον µ αυτον λαµανουν χωρα ολες οι αντιδρασεις που µελετηθηκαν. Στο σχηµα 1.6 απεικονιζεται ο σχηµατισµος και η αποδιεγερση ενος συνθετου πυρηνα επειτα απο συλληψη ενος σωµατιδιου α απο τονπυρηνα. Σχηµα 1.6: Σχηµατισµος και αποδιεγερση του συνθετου πυρηνα κατα τησυλληψη ενος πυρηνα α που προσπιπτει στο στοχο (πυρηνας ). Οσυνθετος πυρηνας που δηµιουργειται εχει ενεργεια διεγερσης που επαρκει για την εκποµπηενος σωµατιδιου, οποτε παραγεται ο πυρηνας οοποιος µπορει να αποδιεγερθει µε εκποµπηακτινων. Ο µηχανισµος αντιδρασεων µε σχηµατισµο συνθετου πυρηνα συµολιζεται ως: (1.36) Στις αντιδρασεις αυτες, το βληµα, µε κινητικη ενεργεια, συντηκεται µε τον στοχο και δηµιουργειται ενα συνθετο συστηµα σε µια διεγερµενη κατασταση ενεργειας. Στην πιο απλη περιπτωση αντιδρασεων συνθετου πυρηνα, το συνθετο συστηµα, εφεξης συνθετος πυρηνας, παραµενει στη διεγερµενη κατασταση για χρονικο διαστηµα αρκετο, ωστε η ενεργεια διεγερσης να κατανεµηθει οµοιο- µορφα µεταξυ των νουκλεονιων του. Αφουοσυνθετος πυρηνας φθασει σε κατασταση θερµοδυναµικης ισορροπιας, τοτε, επαρκες ποσο ενεργειας εντοπιζεται µε τυχαιο τροπο σε ενα ηπερισσοτερα νουκλεονια µε αποτελεσµα την εκποµπητου σωµατιδιου. Ετσι, παραγεται ο πυρηνας σε διεγερµενη κατασταση, µε ενεργεια η οποια δεν ειναι αρκετη για εκποµπη σωµατιδιου, µε αποτελεσµα την αποδιεγερση τουµεσω εκποµπης ακτινων. Ηενεργεια διεγερσης του συνθετου πυρηνα ειναι ιση µε το αθροισµα της κινητικης ενεργειας Ñ του συστηµατος
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 15 στο κεντρο µαζας και της τιµης É της αντιδρασης, ισχυει δηλαδη: Ñ É (1.37) Σηµειωνεται οτι, αναλογα µε την ενεργεια, οσυνθετος πυρηνας ειναι δυνατο να αποδιεγερθει µεεναν η περισσοτερους τροπους, ακολουθει δηλαδη, ενα η περισσοτερα καναλια αποδιεγερσης. Το χρονικο διαστηµα που µεσολαει αναµεσα στο σχηµατισµοτουσυνθετου πυρηνα και την αποδιεγερσητουειναι της ταξης των 10 ½ s [Hod97], οταν η ενεργεια του προσπιπτοντος σωµατιδιου ειναι µερικα MeV. Λογω της σχετικα µεγαλης καθυστερησης 5 αναµεσα στο σχηµατισµο και την αποδιεγερση, οσυνθετος πυρηνας θεωρειται οτι εχει ξεχασει τον τυπο του βληµατος και του στοχου µεσω των οποιων δηµιουργηθηκε, µε αποτελεσµα οι πιθανοτητες των διαφορων δυνατων τροπων αποδιεγερσης να ειναι ανεξαρτητες αποτοκαναλι εισοδου αλλα και ανεξαρτητες µεταξυ τους. Λαµανοντας υποψη τις υποθεσεις αυτες, ηενεργος διατοµη «µιας αντιδρασης που οδηγει σε σχηµατισµο συνθετου πυρηνα εκφραζεται απο τησχεση «Æ È (1.38) οπου, οι δεικτες «και αναφερονται στο καναλι εισοδου και εξοδου αντιστοιχα, Æ ειναι η ενεργος διατοµη σχηµατισµου τουσυνθετου πυρηνα µε ενεργεια διεγερσης αποτοκαναλι εισοδου «και È η σχετικηπιθανοτητα αποδιεγερσης του συνθετου πυρηνα στο καναλι. Πρεπει να τονιστει, οτι εαν σχηµατιστει οσυνθετος πυρηνας µε οποιονδηποτε τροπο στην ιδια ενεργεια διεγερσης, τοτε η σχετικη πιθανοτητα αποδιεγερσης È παραµενει η ιδια [Hod97]. Ηποσοτητα È µπορει να ορισθει γενικαως: È (1.39) ØÓØ οπου το εκφραζει την πιθανοτητα αποδιεγερσης στο καναλι και το ØÓØ την ολικηπιθανοτητα αποδιεγερσης του συνθετου πυρηνα. Ηπιθανοτητα αποδιεγερσης µπορει λογω της αρχης της αεαιοτητας του Heisenberg ( ) να συνδεθειµεενα ενεργειακοευρος και οµοιως η ολικηπιθανοτητα αποδιεγερσης ØÓØ µε ενα ολικοευρος ØÓØ. Ετσι η σχεση (1.39) γραφεται ως: È ØÓØ (1.40) 5 Συγκριτικααναφερεται οτι στις αµεσες αντιδρασεις ο τυπικος χρονος που µεσολαει αναµεσα στη συλληψη του βληµατος και τη αποδιεγερση του στοχου ειναι της ταξης των ½¼ ¾¾ sec.
16 1.4 Αντιδρασεις σχηµατισµου συνθετου πυρηνα οπου ειναι το ενεργειακο ευρος του καναλιου και ØÓØ το ολικο ενεργειακο ευρος, το οποιο ισουται µε το αθροισµα των επιµερους πλατων για καθε καναλι. Για το ολικοενεργειακο ευρος ισχυει: ØÓØ Ð (1.41) οπου Ð ειναι το ευρος για αποδιεγερση στο αρχικοκαναλι σχηµατισµου «(περιπτωση ελαστικης σκεδασης). Τελικα, µε συνδυασµο τωνσχεσεων (1.40) και (1.38) λαµανεται η σχεση: «Æ (1.42) Πρεπει να σηµειωθει οτι τα ευρη «και ØÓØ αποτελουν ενα γενικο τροπο περιγραφης του ρυθµου αποδιεγερσης και δεν αντιστοιχουν στο φυσικο ευρος µιας συγκεκριµενης ενεργειακης σταθµης. ØÓØ 1.4.1 Αντιδρασεις συλληψης µε σχηµατισµο συνθετου πυρηνα Οταν στην αντιδραση ηενεργεια διεγερσης του συνθετου πυρηνα δεν επαρκει για εκποµπη σω- µατιδιου, τοτε ο πυρηνας αποδιεγειρεται µονο µε εκποµπη ακτινων. Ως εκ τουτου η προηγουµενη αντιδραση γραφεται ως: (1.43) Μια τετοια αντιδραση ονοµαζεται αντιδραση συλληψης (capture reaction). Ενα τυπικοενεργειακο διαγραµµα της αντιδρασης αυτης παρουσιαζεται στο σχηµα 1.7. Οσυνθετος πυρηνας σχηµατιζεται µε συλληψη του βληµατος απο τονπυρηνα. Τοτε ο συνθετος πυρηνας εχει ενεργεια διεγερσης της ταξης των µερικων MeV ( MeV), που δινεται απο τησχεση (1.37). Σε τετοιες ενεργειες διεγερσης η πυκνοτητα των διεγερµενων καταστασεων του παραγοµενου συνθετου πυρηνα ειναι συνηθως πολυµεγαλη. Η αποσταση τωνενλογω καταστασεων κυ- µαινεται µεταξυ µερικων δεκαδων εως λιγων εκατονταδων ev. Στα πειραµατα συλληψης πρωτονιων η σωµατιδιων «, ο παραγοµενος συνθετος πυρηνας µπορει ναειναι διεγερµενος σε πολλες απο τιςσταθµες που προαναφερθηκαν, οι οποιες περιεχονται σε ενα ενεργειακο παραθυρο µε ευρος Æ, οπως
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 17 Σχηµα 1.7: Σχηµατισµος συνθετου πυρηνα µε συλληψη σωµατιδιου και αποδιεγερση µε εκποµπη ακτινων (radiative capture reaction). Οι ακτινες, που εκπεµπονται απο τη σταθµη εισοδου µε ενεργεια του συνθετου πυρηνα προς ολες τις αλλες σταθµες µικροτερης ενεργειας ονοµαζονται πρωτογενεις ακτινες (primaries) και παριστανονται µε µαυρα βελη, σε αντιθεση µε τις λεγοµενες δευτερογενεις (γκριβελη) µεσω των οποιων αποδιεγειρονται ολες οι υπολοιπες σταθµες. Με ανοικτο βελος παριστανεται, η αποδιεγερση του πυρηνα µε µεταπτωση χωρις µεταολη της ιδιοστροφορµης ( I=0) ηοποια και γινεται ειτε µε δηµιουργια ζευγους (PP) ηµεσυλληψη ενος ατοµικου ηλεκτρονιου (EC) [Har02]. φαινεται στο σχηµα 1.7. To ευρος Æ του εν λογω ενεργειακου παραθυρου εξαρταται απο τοπαχος του στοχου, αλλα και απο την ενεργειακη αεαιοτητα της δεσµης των σωµατιδιων του επιταχυντη. Ενδεικτικααναφερεται οτι σε ενα τυπικοπειραµα αντιδρασεων (p, ) το παχος του στοχου κυµαινεται απο 5-15 kev, ενω η ενεργειακη αεαιοτητα στις περιπτωσεις επιταχυντων τυπου Tandem κυµαινεται µεταξυ 1-3 kev αναλογα µε τη δεσµη και την κατασταση της µηχανης. Οπυρηνας αποδιεγειρεται µε εκποµπηακτινων απο µεταπτωσεις της σταθ- µης εισοδου προς αλλες διεγερµενες καταστασεις η την θεµελιωδη σταθµη του. Ηµεταπτωση απο τησταθµη εισοδου προς τη θεµελιωδη κατασταση γινεται µε την εκποµπη τηςλεγοµενης ακτινας ¼. Ηενεργεια της ¼ ειναι προφανως ιση µε την ενεργεια διεγερσης που υπολογιζεται µε τη σχεση (1.37). Οι ακτινες µε τις οποιες αποδιεγειρεται η σταθµη εισοδου προς την πρωτη, δευτερη, τριτη, κλπ διεγερµενη σταθµη του παραγοµενου πυρηνα συµολιζονται συνηθως ως ½, ¾,, κλπ. Επιπλεον, ολες οι ακτινες µεσω των οποιων αποδιεγειρεται η σταθµη εισο-
18 1.5 Η θεωρια Hauser-Feshbach για αντιδρασεις συνθετου πυρηνα δου καλουνται πρωτογενεις ακτινες (primaries) και παριστανονται στο σχηµα 1.7 µε µαυρα βελη. Ολες οι αλλες ακτινες, οι οποιες αποδιεγειρουν τις υπολοιπες σταθµες του πυρηνα ονοµαζονται δευτερογενεις ακτινες (secondaries) και στο σχηµα 1.7 παριστανονται µε γκριβελη. Συχνα ο παραγοµενος πυρηνας µπορει να βρεθει σεµιασταθµη η οποια αποδιεγειρεται µε µεταπτωση χωρις µεταολη του σπιν ( Á=0). Ηµεταπτωση αυτη, ως γνωστον, ειναι απαγορευµενη. Σε τετοιες περιπτωσεις η αποδιεγερση πραγµατοποιειται ειτε µε τη δηµιουργια ζευγους (PP) 6 εφοσον η ενεργεια διεγερσης ειναι µεγαλυτερη απο 1.022 MeV η µετηνσυλληψη απο τονπυρηνα ενος ατοµικου ηλεκτρονιου (EC) 7. 1.5 Ηθεωρια Hauser-Feshbach Ηθεωρια Hauser-Feshbach περιγραφει το µηχανισµο σχηµατισµου και αποδιεγερσης ενος συνθετου πυρηνα και χρησιµοποιειται για τον υπολογισµο των ενεργων διατοµων τετοιων αντιδρασεων. Εστω η πυρηνικη αντιδραση (,) που λαµανει χωρα µεσω σχηµατισµου του συνθετου πυρηνα. Εφοσον σε µια πυρηνικη αντιδραση η ολικη στροφορµη Â και η οµοτιµια του πυρηνικου συστηµατος διατηρουνται, ηενεργος διατοµη «, οπου οι δεικτες «και υποδηλωνουν το καναλι εισοδου και εξοδου αντιστοιχα, µπορει να εκφραστει ωςαθροισµα ολων των δυνατων ενεργων διατοµων «, Â οπου ο δεικτης Â αναφερεται στις παραγοµενες δυνατες σταθµες του συνθετου πυρηνα µε ολικη στροφορµη Â και οµοτιµια. Ισχυει δηλαδη: Ηενεργος διατοµη «Â να γραφει ως: «Â Â «(1.44) στο αθροισµα της εξισωσης (1.44) µπορει λογω της (1.42) Â «Â «µ Â Â ØÓØ (1.45) Στη σχεση αυτη, Â «µ ειναι η ενεργος διατοµη σχηµατισµου µεσω του καναλιου «της καταστασης του συνθετου πυρηνα µε στροφορµη Â και οµοτιµια, Â το πλατος αποδιεγερσης µεσω του καναλιου εξοδου και Â ØÓØ το ολικοπλατος αποδιεγερσης. Για την εξαγωγη της τελικης εκφρασης της ενεργουδιατοµης «κατα 6 PP pair production 7 EC electron capture
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 19 τη θεωρια Hauser-Feshbach ειναι αναγκαιο να υπολογιστουν οι παραγοντες  και   ØÓØ µε διαφορετικα βηµατα. Ηενεργος διατοµη «µ σχηµατισµου συνθετου πυρηνα µεσω ενος συγκεκρι- µενου καναλιου εισοδου «γραφεται ως αθροισµα µερικων ενεργων διατοµων µε συγκεκριµενη ολικη στροφορµη  και οµοτιµια των καταστασεων του συνθετου πυρηνα, δηλαδη: «µ   «µ (1.46) Αναµεσα στην ενεργοδιατοµη «µ σχηµατισµουτουσυνθετου πυρηνα και την ενεργοδιατοµη Ê «µ της αντιδρασης µπορει να θεωρηθειοτιισχυει [Hod97]: «µ Ê «µ (1.47) Συµφωνα µε τη θεωρια της σκεδασης, ηενεργος διατοµη Ê της αλληλεπιδρασης ενος σωµατιδιου µε ενα κεντρο σκεδασης εκφραζεται απο τησχεση [Hod97]: Ê «µ ¾ «¾ ½µÌ «µ (1.48) οπου η τροχιακη στροφορµη του προπιπτοντος σωµατιδιου. Αν ο συντελεστης διελευσης Ì «µ δεν εξαρταται απο την ολικη στροφορµη  των παραγοµενων σταθµων του συνθετου πυρηνα, τοτε η σχεση (1.48) γραφεται: Ê «µ ¾ «¾ «Â  Á ««Â Á ««Â ¾Â ½ ¾ «½µ ¾Á «½µ Ì «µ ¾Â ½ ¾ «½µ ¾Á «½µ Ì «µ (1.49) οπου «ειναι η ιδιοστροφορµη του βληµατος και Á «η ιδιοστροφορµη του στοχου. Το γινοµενο στον παρονοµαστη του αθροισµατος της σχεσης (1.49) ονοµαζεται [Hod97] στατιστικο βαρος στο καναλι «και δινεται απο τησχεση «µ ¾ «½µ ¾Á «½µ (1.50) Ηαποδειξη της εξισωσης (1.49) δινεται στο παραρτηµα Γ. Με αναδιαταξη των αθροισµατων στη σχεση (1.49) και συγκριση µε την (1.46) λογω και της (1.47) προκυπτει οτι η ενεργος διατοµη σχηµατισµου συνθετου πυρηνα στη σταθµη µε ιδιοστροφορµη  και οµοτιµια εκφραζεται απο τησχεση: Â Ì Â «µ «µ ¾ «¾Â ½µ ¾ «½µ ¾Á «½µ (1.51)
20 1.5 Η θεωρια Hauser-Feshbach για αντιδρασεις συνθετου πυρηνα οπου Ì Â «µ ειναι ο συντελεστης διελευσης για το καναλι «οοποιος εκφραζεται απο τησχεση, Ì Â «µ  Á ««Â Á ««Ì  «µ (1.52) Με οµοιο τροπο, ο συντελεστης διελευσης Ì Â για το καναλι εξοδου δινεται απο την εκφραση Ì Â µ  Á  Á Ì Â µ (1.53) Ο υπολογισµος του δευτερου παραγοντα   ØÓØ της σχεσης (1.45) γινεται µε τα παρακατω βηµατα: Συµφωνα µε το θεωρηµα της αµοιαιοτητας (reciprocity theorem) [Hod97], ηενεργος διατοµη «Â (βλ. σχεση (1.45)) µιας αντιδρασης µε καναλι εισοδου το «και εξοδου το συνδεεται µε την ενεργο διατοµη «Â της αντιστροφης αντιδρασης (καναλι εισοδου το και εξοδου το «) µε την εκφραση [Hod97]: «Â «¾ «Â «¾ (1.54) Στην παραπανω σχεση τα µηκη κυµατος κατα de Broglie «, αναφερονται στα καναλια εισοδου «και εξοδου ενω ειναι το στατιστικοβαρος του καναλιου εξοδου της αντιδρασης που εκφραζεται απο τησχεση: ¾ ½µ ¾Á ½µ (1.55) σε αναλογια µε την (1.50). Στην εξισωση αυτη ειναι η ιδιοστροφορµη τουεκπε- µποµενου σωµατιδιου (ηφωτονιου) και Á η ιδιοστροφορµη του παραγοµενου πυρηνα (οχι του συνθετου αλλα του τελικουπυρηνα). Λαµανοντας υποψη την (1.45) ησχεση (1.54) γραφεται: ¾ «Â «¾ «Â «µ «Â (1.56)  µ απο την οποια προκυπτει » ¾  µ «(1.57) Λογω της τελευταιας σχεσης (1.57), ηπιθανοτητα αποδιεγερσης του συνθετου πυρηνα µεσω του καναλιου ως προς ολα τα δυνατακαναλια αποδιεγερσης  «Â ØÓØ εκφραζεται απο τησχεση   ØÓØ Â Â ¾  µ ¾  µ (1.58)
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 21 ηοποια µε αντικατασταση των ενεργων διατοµων συνθετου πυρηνα (σχεση 1.51) δινει την εκφραση:   ØÓØ Â ¼ Á Ì Â ¼ µ ¼  ¼ ¼ Á  Á ««Ì  µ  Á ««(1.59) οπου ¼ και ¼ ειναι αντιστοιχα η τροχιακη στροφορµη και η ιδιοστροφορµητουεκπεµποµενου σωµατιδιου. Οι εξισωσεις (1.59) και (1.51) επιτρεπουν την εφαρµογη της σχεσης (1.45): πολλαπλασιαζοντας τις δυο πρωτες λαµανει κανεις ««µ  ¾ «¾Â ½ ¾ «½µ ¾Á «½µ Ì Â «µ  ¼ Á Ì Â ¼ µ ¼  ¼ ¼ Á  Á ««Ì  µ  Á ««(1.60) Αθροιζοντας λογω της εκφρασης (1.44) την παραπανω σχεση (1.60) για ολες τις τιµες της ιδιοστροφορµης  µε οµοτιµιες των παραγοµενων σταθµων του συνθετου πυρηνα καταληγουµε στην τελικη εκφραση της ενεργουδιατοµης για την αντιδραση µεσω σχηµατισµου συνθετου πυρηνα: «¾ «¾ «½µ ¾Á «½µ ¾Â ½µ  Á ««Ì  «µ   Á ««Â ¼ Á Ì Â ¼ µ ¼  ¼ ¼ Á  Á ««Ì  µ  Á ««(1.61) Χρησιµοποιωντας τις σχεσεις (1.52) και (1.53) για τους συντελεστες διελευσης Ì Â «µ και Ì Â µ του καναλιουεισοδου «και εξοδου αντιστοιχα, η παραπανω εκφραση (1.61) λαµανει την παρακατω συµπαγη µορφη: «¾ ½ «¾ «½µ ¾Â «½µ ¾Â Â Ì Â «µì  µ ½µ Ì Â µ (1.62) οπου È Ì Â µ ειναι αθροισµα πανω σε ολα τα δυνατακαναλια εξοδου. Ησχεση αυτη ειναι η γενικη εκφραση της ενεργου διατοµης στη θεωρια Hauser-Feshbach. Ησχεση (1.62) πρεπει επιπλεον να παλλαπλασιαστει µετονλεγοµενο παραγοντα διορθωσης Ï«Â λογω διακυµανσεων των πλατων (Width fluctuation correction factor) [Sat90, Hod97] οοποιος ουσιαστικα περιγραφει την επιδραση των συσχετισµων αναµεσα στο προσπιπτον µερικοκυµα και στα εκπεµποµενα κυµατα. Οι
22 1.6 Θερµοπυρηνικες αντιδρασεις σε αστρικο περιαλλον συσχετισµοι αυτοι οδηγουν στην ενισχυση του καναλιου της ελαστικης σκεδασης και την αποδυναµωση των υπολοιπων καναλιων αντιδρασεων που ειναι ανοικτα. Σε ενεργειες µεγαλυτερες απο µερικα MeV, οπου υπαρχουν πολλα ανοικτα καναλια αντιδρασεων, ο παραγοντας Ï µπορει να αγνοηθεικαθως η τιµη του προσεγγιζει την µοναδα (Ï ½). Ο παραγοντας Ï µπορει να υπολογιστειµεδιαφορες µεθοδους οι οποιες εχουν αναπτυχθεικυριως απο τους Hofmann et al. [Hof80], Tepel et al. [Tep74] και Moldauer [Mol76]. Στους θεωρητικους υπολογισµους που εγιναν στα πλαισια της παρουσας εργασιας ο παραγοντας Ï υπολογιστηκε µε τη µεθοδο των Hofmann et al. [Hof80]. Οπως φαινεται απο τησχεση (1.62) ηενεργος διατοµη εξαρταται απο τιςµαζες του βληµατος και του στοχου µεσω του «, τις εµπλεκοµενες ιδιοστροφορµες (στοχος, βληµα, συνθετος πυρηνας) αλλακυριως απο τους συντελεστες διελευσης του καναλιουεισοδου και ολων των πιθανων καναλιων εξοδου. 1.6 Θερµοπυρηνικες αντιδρασεις σε αστρικο περιαλλον 1.6.1 Συντελεστης διελευσης, παραµετρος Gamow και παραµετρος Sommerfeld Οπως ειναι γνωστο, οι αλληλεπιδρασεις αναµεσα στα φορτισµενα σωµατιδια διεπονται απο τονοµο του Coulomb: Οταν σε µια πυρηνικη αντιδραση, το προσπιπτον σωµατιδιο ειναι φορτισµενο αναπτυσσεται απωση, αναµεσα στο βληµα και τον πυρηνα-στοχο. Το προληµα της αλληλεπιδρασης αυτης αντιµετωπιζεται µε τη βοηθεια της καντοµηχανικης, συµφωνα µε την οποια η κινηση του προσπιπτοντος σωµατιδιου περιγραφεται µε το δραστικο (effective) δυναµικο Î Öµ που εκφραζεται [Asi84] απο τησχεση: Î Öµ Ø Ô ¾ Ö ¾ ½µ ¾Ö ¾ (1.63) οπου Ô και Ø ειναι ο ατοµικος αριθµος του βληµατος και του στοχου αντιστοιχα, το φορτιο του ηλεκτρονιου, η τροχιακη στροφορµη του σωµατιδιου, ηανηγ- µενη µαζα του συστηµατος βληµα-στοχος και Ö η µεταξυ τους αποσταση. Η γνωστη µορφη του δυναµικου Î Öµ παρουσιαζεται στο σχηµα 1.8.
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 23 Σχηµα 1.8: Απεικονιση του πυρηνικου δυναµικου και του δυναµικου Coulomb. Ενα βληµα µε ενεργεια πρεπει να διαπερασει το φραγµα δυναµικου Coulomb προκειµενου να φθασει στην περιοχητουπυρηνα (Ö Ê Æ ). Κλασσικα, ηελαχιστη αποσταση του βληµατος απο τονπυρηνα ειναι Ê, οταν η κινητικητουενεργεια ειναι. Ηενεργεια του φραγµατος δυναµικου Coulomb εξαρταται απο την τροχιακη στροφορµη του βληµατος, απο τα φορτια των δυο σωµατιδιων που αλληλεπιδρουν και απο την πυρηνικη ακτινα Ê Æ και εκφραζεται συναρτησει των παραπανω ποσοτητων µε τη σχεση: Ø Ô ¾ Ê Æ ¾ ½µ ¾Ê ¾ Æ (1.64) Οι ενεργειες υπολογιζονται στο παραρτηµα για ενα µεγαλο αριθµοσταθερων µεσοαρων πυρηνων αποτο Fe µεχρι το ½ Ho για βληµατα πρωτονια και σωµατιδια «µε τροχιακες στροφορµες =0,1,2και 3. Ηαποσταση Ê απο τοκεντρο του στοχου στην οποια το δραστικο δυναµικο Î Öµ γινεται αισθητο για ενα ιον ενεργειας και τροχιακης στροφορµης υπολογιζεται µε τη σχεση (1.63), αν θεσουµε Î Öµ και Ö Ê, δηλαδη οταν: Ø Ô ¾ Ê ¾ ½µ ¾Ê ¾ (1.65) Ηεπιλυση της (1.65) ως προς την αποσταση Ê δινει τη σχεση: Ê Ø Ô ¾ ¾ ¾ ½ Ú ÙÙؽ ¾ ¾ ½µ (1.66) Ø ¾ Ô ¾
24 1.6 Θερµοπυρηνικες αντιδρασεις σε αστρικο περιαλλον Συµφωνα µε την κλασσικη µηχανικη ενα σωµατιδιο µε ενεργεια ειναι αδυνατο να περασει µεσα απο τοφραγµα δυναµικου Coulomb και να αλληλεπιδρασει µε τον πυρηνα. Συµφωνα οµως µε την καντικη µηχανικη υπαρχει µια µικρη αλλα υπολογισιµη πιθανοτητα να βρεθει τοσωµατιδιο αυτο στηναποσταση Ê Æ αποτοκεντρο του πυρηνα στοχου στην οποια οι πυρηνικες δυναµεις γινονται πλεον κυριαρχες. Η καντοµηχανικη αντιµετωπιση του τριδιαστατου προληµατος οδηγει στη ακτινικηεξισωση του Schrödinger: ¾ Ö ¾ Ù Öµ ¾ Ø Ô ¾ ¾ ¾ ½µ Ö ¾Ö ¾ Ù Öµ ¼ (1.67) οπου, Ù Öµ η ακτινικη συναρτηση, η ανηγµενη µαζα του συστηµατος βληµα-στοχος και η κινητικηενεργεια του βληµατος ενω ταυπολοιπα συµολα εχουν τη γνωστη σηµειογραφια. Η διαφορικη εξισωση (1.67) λυνεται προσσεγιστικα µεεφαρ- µογη της µεθοδου WKB 8. Ηπιθανοτητα διελευσης Ì των φορτισµενων σωµατιδιων µεσα απο τοδυναµικο Coulomb εκφραζεται απο τολογο του ρευµατος πιθανοτητας διελευσης του σωµατιδιων µεσα αποτοδυναµικο προς το ρευµα πιθανοτητας των προσπιπτοντων σωµατιδιων. Ηπιθανοτητα αυτη ακολουθωντας την προσεγγιστικηµεθοδο WKB εκφραζεται απο τησχεση [Asi84]: Ì ÜÔ µ (1.68) Ο παραγοντας στην παραπανω εκφραση εκφραζεται αποτοολοκληρωµα [Asi84]: ¾ Ê µ Ø Ô ¾ ½¾ ¾ ¾ ½µ Ö (1.69) Ê Æ Ö ¾Ö ¾ οπου, Ê Æ ειναι η πυρηνικη ακτινα του στοχου. Το ολοκληρωµα µπορει ναυπολογιστει αναλυτικαµονο στην περιπτωση που το δυναµικοειναι καθαραηλεκτροστατικο, οταν δηλαδη ¼. Στις περιπτωσεις που θεωρηθουν µη µηδενικες τιµες της τροχιακης στροφορµης του βληµατος, ¼, ο υπολογισµος του συντελεστη διελευσης απαιτει την αριθµητικηολοκληρωση της σχεσης (1.69). 8 Ηµεθοδος WKB (Wentzel - Kramers - Brillouin) ειναι µια προσεγγιστικη µεθοδος επιλυσης της εξισωσης του Schrödinger, που εφαρµοζεται σε µονοδιαστατα προληµατα η σε προληµατα κεντρικων δυναµεων που µπορουν να αναχθουν σε µονοδιαστατα. Ηµεθοδος εφαρµοζεται οταν η δυναµικηενεργεια του συστηµατος ειναι πολυµικροτερη αποτηνκινητικη, δηλαδη σε συστηµατα των οποιων τα σωµατιδια αλληλεπιδρουν ασθενικα. Ηµεθοδος WKB παρουσιαζεται στις αναφορες [Mer70, Sat90].
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 25 Για ¼, ησχεση (1.69) γραφεται ως: ¼ ¾ ʼ Ø Ô ¾ ¾ Ö Ê Æ ½¾ Ö (1.70) Το ανω οριο του ολοκληρωµατος στην (1.70) ειναι ισο µε Ê ¼ Ø Ô ¾, αν η ενεργεια του προσπιπτοντος σωµατιδιου ως προς το στοχο ειναι. Τουτο, προκυπτει απο τησχεση (1.65) αν θεσουµε ¼. Ηολοκληρωση της (1.70) οδηγει [Asi84] στην εκφραση: ¼ ¾Ê Æ Õ ¾ ÖÓ Ô ½ Ô ½¾ ½ (1.71) οπου ειναι ο λογος του φραγµατος δυναµικου Coulomb προς την ενεργεια του προσπιπτοντος σωµατιδιου, δηλαδη Ø Ô ¾ Ê Æ (1.72) µε: Ø Ô ¾ Ê Æ (1.73) Ησχεση (1.71) απλοποιειται περισσοτερο οταν ισχυει, οποτε η παρασταση µεσα στην αγκυλη προσεγγιζεται απο τησχεση [Asi84]: ÖÓ Ô ½ Ô ½¾ ½ ¾ (1.74) Συνεπως, οταν το σωµατιδιο εχει τροχιακη στροφορµη ¼ και η ενεργεια του προσπιπτοντος σωµατιδιου ειναι πολυ µικροτερη της ενεργειας του δυναµικου Coulomb, τοτε η (1.71) εκφραζει τον λεγοµενο παραγοντα Gamow ¼, που δινεται απο τησχεση: ¼ ¾ (1.75) Η παραµετρος στην (1.75) ειναι η λεγοµενη παραµετρος Sommerfeld ηοποια δινεται συναρτησει της ενεργειας στο συστηµα κεντρου µαζας απο τηνεκφραση: Ö Ø Ô ¾ ¾ (1.76) η συναρτησει της ταχυτητας, λογω της σχεσης ½¾µ ¾, αποτηνεκφραση: Ø Ô ¾ (1.77)
26 1.6 Θερµοπυρηνικες αντιδρασεις σε αστρικο περιαλλον Η παραµετρος Sommerfeld εκφραζει τελικα τολογο της δυναµικης ενεργειας αλληλεπιδρασης σε αποσταση Ö ¾ απο τοκεντρο του πυρηνα-στοχου προς την κινητικηενεργεια του σωµατιδιου [Kuc94], διοτι: ¾µ Ã Ø Ô ¾ ¾ ¾ Ñ Ø Ô ¾ ¾ Ô Ø Ô ¾ (1.78) Απο τιςσχεσεις (1.68) και (1.75) συµπεραινουµε οτι ο συντελεστης διελευσης Ì ¼ που εκφραζει την πιθανοτητα διελευσης µεσα απο τοδυναµικο Coulomb ενος σωµατιδιου µε ενεργεια µικροτερη απο τη δυναµικηενεργεια και µε τροχιακη στροφορµη ¼, δινεται απο τηνεκφραση: Ì ¼ ÜÔ ¾µ ÜÔ ¾ Ö Ø Ô ¾ ¾ (1.79) Αντικαθιστωντας στην (1.79) τις σταθερες µε τις αριθµητικες τους τιµες και υιοθετωντας εφεξης το συµολισµο Ì Ì ¼, λαµανεται η σχεση Ö Ì ÜÔ ¼ Ø Ô (1.80) οπου, η ανηγµενη µαζα του συστηµατος βληµα-στοχος, σε ατοµικες µοναδες µαζας (amu) και ηενεργεια στο συστηµα κεντρου µαζας, εκφρασµενη σε MeV. Η σχεση (1.80) θα φανει χρησιµη σε υπολογισµους στο Κεφαλαιο 3. 1.6.2 Η κατανοµη Gamow και η σηµασια της στην πυρηνικη αστροφυσικη Συµφωνα µε οσα εχουν αναφερθει στην παραγραφο (1.3), οι πυρηνες υπακουουν στην κατανοµηταχυτητων Maxwell-Boltzmann, ηοποια συναρτησει της ενεργειας εκφραζεται απο τησχεση: ³ µ Ô ¾ ½ Ì ¾ ½¾ ÜÔ Ìµ (1.81) Επιπλεον, προκειµενου να πραγµατοποιηθουν πυρηνικες αντιδρασεις ειναι απαραιτητο οι πυρηνες να εχουν κινητικη ενεργεια τετοια ωστε να υπερνικησουν το απωστικο δυναµικο Coulomb των πυρηνων εκεινων µε τους οποιους θα αντιδρασουν. Οταν για ενα ζευγος πυρηνων, η κινητικη ενεργεια του βληµατος στο κεντρο µαζας ειναι σηµαντικα µικροτερη απο τηνενεργεια Coulomb του συστηµατος ( ), τοτε, οπως αναπτυχθηκε στην προηγουµενη παραγραφο, η
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 27 πιθανοτητα διελευσης απο τοενλογω δυναµικο εκφραζεται απο τον συντελεστη Ì που δινεται απο τηγενικησχεση: Ì µ ÜÔ ¾µ (1.82) Η παραµετρος Sommerfeld, που δινεται στη σχεση (1.76), γραφεται µε τη µορφη ½ ¾ (1.83) οπου, ηποσοτητα δινεται απο τηεκφραση: ¾ ¾ Ø ¾ Ô ¾ (1.84) ¾ και ονοµαζεται ενεργεια Gamow [Rol88]. Στη σχεση που εκφραζει τον ρυθµοαντιδρασης ανα ζευγος σωµατιδιων ½¾ ½ ½ µ ÜÔ Ì µ ¾ ¼ µ (1.85) Ì και αποδειχθηκε στην παραγραφο (1.3), αντικαθιστουµε µ Ë µ ÜÔ ¾µ Ë µüô µ (1.86) χρησιµοποιωντας την σχεση ορισµου (1.19) του αστροφυσικου παραγοντα Ë και τη σχεση (1.83), οποτε παιρνουµε την εκφραση ½¾ ½ ½ Ë µüô Ì µ ¾ ¼ ¼ Ì ½ (1.87) Οπως αναφερθηκε στην παραγραφο (1.2), η µεταολη του αστροφυσικου παραγοντα Ë στην περιοχη ενεργειων που ενδιαφερει την αστροφυσικη ειναι ιδιαιτερα οµαλη σεσυγκριση µε τη µεταολη της ενεργου διατοµης στην ιδια ενεργειακη περιοχη. Συχνα, ο αστροφυσικος παραγοντας Ë στο εν λογω ενεργειακο ευρος θεωρειται σταθερος, ισχυει δηλαδη Ë µ Ë ¼ µ, οποτε η σχεση (1.87) µπορει να γραφει ως: ½¾ ½ Ì µ ¾ Ë ¼µ ½ ÜÔ ¼ ¼ Ì ½ (1.88) Η ολοκληρωτεα συναρτηση µ ÜÔ ¼ Ì ½ (1.89)
28 1.6 Θερµοπυρηνικες αντιδρασεις σε αστρικο περιαλλον στη σχεση (1.88) ειναι γινοµενο δυο συναρτησεων: α) της συναρτησης Ì ½ ÜÔ µ που εµφανιζεται στην κατανοµη Maxwell-Boltzmann και κυριαρχει Õ σε ενεργειες Ìκαι β) της συναρτησης ¾ ÜÔ µ που εκφραζει την πιθανοτητα διελευσης ενος φορτισµενου σωµατιδιου απο το δυναµικο Coulomb του στοχου. Η συναρτηση αποτελει τη συνελιξη των συναρτησεων ½ και ¾ και ονο- µαζεται κατανοµη Gamow. Η κατανοµηαυτηµαζι µε το συντελεστηδιελευσης Ì µ και τη συναρτηση ³ µ παρουσιαζονται στο σχηµα 1.9. Η κατανοµη Gamow εµφα- Σχηµα 1.9: Γραφικη παρασταση του εκθετικου ορου ÜÔ Ì µ της κατανοµης Maxwell- Boltzmann, που κυριαρχεισεενεργειες Ìκαι της πιθανοτητας διελευσης Ì µ ενος φορτισµενου σωµατιδιου µεσα αποτοφραγµα δυναµικου Coulomb. Η συνελιξη αυτων των δυο συναρτησεων δινει την κατανοµη Gamow, µ. Τοµεγιστο της κατανοµης αυτης αντιστοιχεισεενεργεια ¼ (κορυφη Gamow), µεγαλυτερη απο τηνµεση ενεργεια Ì των σωµατιδιων. νιζει ασυµµετρια γυρω αποτηνενεργεια ¼, εφεξης κορυφη Gamow. Πρεπει να ση- µειωθει, οτι για λογους παρουσιασης το πλατος και το υψος της κατανοµης Gamow στο σχηµα 1.9 ειναι, σε σχεση µε τα αντιστοιχα µεγεθη των δυο αλλων κατανοµων, πολυµικροτερα αποαυταπουφαινονται στο εν λογω σχηµα. Το µεγιστο της κατανοµης Gamow ειναι µικροτερο απο τοµεγιστο της κατανοµης Maxwell-Boltzmann κατα 14 µε 16 ταξεις µεγεθους, αναλογα µε τις µαζες και τα φορτια του ζευγους των αντιδρωντων πυρηνων. Οπως φαινεται στο εν λογω σχηµα, οι συναρτησεις ÜÔ Ì µ και Ì µ αλληλεπικαλυπτονται οταν Ì, µε αποτελεσµα, τα σω- µατιδια που εχουν τετοιες ενεργειες να εχουν µεγαλυτερη πιθανοτητα να διελθουν το απωστικο δυναµικο Coulomb. Με βαση τα παραπανω, το φυσικο φυσικονοηµα
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 29 της ενεργειας ¼ ειναι οτι, απο ολα τα σωµατιδια της κατανοµης Gamow, εκεινα που εχουν ενεργεια περι την ¼ εχουν τη µεγαλυτερη πιθανοτητα να πραγµατοποιησουν πυρηνικες αντιδρασεις. Σε µια δεδοµενη αστρικη θερµοκρασια Ì οι πυρηνικες αντιδρασεις λαµανουν χωρα µεσα σε ενα σχετικαµικροευρος ενεργειων γυρω απο τηνενεργεια ¼ (κορυφη Gamow). Ηενεργεια ¼ µπορει να προσδιοριστει µε υπολογισµο του µεγιστου της συναρτησης µ, δηλαδη µε εφαρµογη της σχεσης µ ¼, οποτε και προκυπτει ¾ Ì ¼ ½ (1.90) οπου η ποσοτητα ειναι η ενεργεια Gamow που δινεται απο τησχεση (1.84). Λογω της (1.84), ησχεση (1.90) αναγραφεται ως ½ Ø Ô ¾ ¾ ¼ Ì (1.91) ¾ Ειναι φανερο, οτι για δεδοµενο ζευγος αντιδρωντων πυρηνων, η κορυφη Gamow ¼ εξαρταται µονο απο τη θερµοκρασια Ì του αστρικου αεριου και απο καµµια αλλη αστροφυσικη παραµετρο. Για τη διεξαγωγη µετρησεων ειναι απαραιτητο, πλην της ¼, να γνωριζει κανεις και το ενεργειακο ευρος της κατανοµης Gamow, (σχηµα 1.9), καθοσον για δεδοµενη θερµοκρασια Ì το ευρος αυτο υποδεικνυει την περιοχη ενεργειων στην οποια πρεπει να γινουν οι µετρησεις στο εργαστηριο. Για τον υπολογισµοτου, η κατανοµη Gamow προσεγγιζεται [Rol88] µε µια κατανοµη Gauss µ, της οποιας το κεντροειδες εχει ενεργεια ιση µε την ενεργεια ¼ της κορυφης Gamow και υψος ισο µε το υψος της κατανοµης Gamow, δηλαδη ισοµετηµεγιστη τιµη της συναρτησης µ. Ηµεγιστη τιµη ÑÜ της συναρτησης µ, που οριζεται στη σχεση (1.89), υπολογιζεται µε αντικατασταση της ενεργειας µε την ¼, οποτε λαµανεται ως τελικο αποτελεσµα η σχεση: ¾ ¼ ÑÜ µ ÑÜ ÜÔ (1.92) Ì Ετσι, η προσεγγιση της κατανοµης Gamow µε µια κατανοµη Gauss, µε τις συνθηκες που τεθηκαν παραπανω, εκφραζεται [Rol88] απο τησχεση ¼ ½ ¾ ¾ µ ÜÔ ÑÜ µ ÑÜ ÜÔ ¼ Ì ¾ (1.93)
30 1.6 Θερµοπυρηνικες αντιδρασεις σε αστρικο περιαλλον οπου το συµολιζει 9 το ενεργειακο παραθυρο της κατανοµης Gauss. Ησχεση (1.93) επιτρεπει στη συνεχεια τον υπολογισµοτουευρους της κατανοµης Gamow το οποιο λαµανεται ισο µε το ευρος της κατανοµης Gauss, οπως φαινεται και στο σχηµα 1.10. Ο υπολογισµος του ευρους γινεται µε την εξης διαδικασια: Σχηµα 1.10: Προσεγγιση της κατανοµης Gamow µε µια κατανοµη Gauss. Οι δυο κατανο- µες ειναι κανονικοποιηµενες στη µοναδα, εχουν το ιδιο κεντροειδες και το ιδιο υψος ενω το ενεργειακο ευρος της κατανοµης Gamow προσεγγιζεται ως το πλατος της κατανοµης Gauss. Ησχεση (1.93), που ισχυει για καθε ενεργεια του βληµατος, γραφεται µε τη βοηθεια της εξισωσης (1.92) ως ¼ ½ ¾ ¾ ÜÔ ÜÔ ¼ ¼ (1.94) Ì ¾ Ì Ηλογαριθµηση της σχεσης (1.94) και στη συνεχεια η διπλη παραγωγιση της εκφρασης που προκυπει ως προς την ενεργεια, οδηγει στο αποτελεσµα: Ô ¼ Ì µ ½¾ (1.95) 9 Σηµειωνεται οτι η κατανοµη Gauss µε υψος, κεντροειδες Ü ¼ και τυπικη αποκλιση, δινεται απο τησχεση ܵ ÜÔ Ü Ü ¼ µ ¾ ¾ ¾ µ. H εκφραση της ܵ µε τη µορφη ܵ ÜÔ Ü Ü ¼ µ ¾ ¾µ ¾ υποδηλωνει οτι το ευρος λαµανεται στο ½ του υψους της κατανοµης Gauss. Πραγµατι, για ܵ εχουµε ÜÔ Ü Ü ¼ µ ¾ ¾ ¾ µ και λυνοντας ως προς Ü παιρνουµε Ü Ü ¼ Ô ¾, οποτε Ü Ü ¾ Ô ¾ η ισοδυναµα ¾ ¾ ¾.
Κεφαλαιο 1. Θεωρητικο υποαθρο 31 Απο τησχεση (1.95) συναγεται οτι, σε µια δεδοµενη αστρικη θερµοκρασια Ì αντιστοιχει ενα ευρος ενεργειων. Για τη µελετη εποµενως, µιας πυρηνικης αντιδρασης που µπορει να πραγµατοποιειται σε µια αστρικη θερµοκρασια Ì, πρεπει στο εργαστηριο να γινουν µετρησεις οχι µονο σε µια ενεργεια δεσµης Ð, αλλα σεενα ευρος ενεργειων. Για τον προσδιορισµο των ενεργειων αυτων υπολογιζεται, καταρχας, ηενεργεια ¼ που αντιστοιχει στη θερµοκρασια Ì µε τη σχεση (1.91). Στη συνεχεια υπολογιζεται το αντιστοιχο ευρος ενεργειων µε τη σχεση (1.95) και ετσι λαµανονται τα ορια ενεργειων ως Ñ ÑÒ ¼ ¾ και Ñ ÑÜ ¼ ¾. Αν αναφεροµαστε σε ενα ευρος θερµοκρασιων Ì Ì ½ Ì ¾, τοτε, η µεν ελαχιστη ενεργεια µετρησεων υπολογιζεται ως Ñ ÑÒ ¼ Ì ½ µ Ì ½ µ¾, ηδεµεγιστη ενεργεια µετρησεων ως Ñ ÑÜ ¼ Ì ¾ µ Ì ¾ µ¾. Εαν στις σχεσεις (1.91) και (1.95) αντικατασταθουν οι σταθερες που εµφανιζονται µε τις αριθµητικες τους τιµες, τοτε η κορυφη Gamow ¼ και το ενεργειακοπαραθυρο, δινονται απο τις παρακατω σχεσεις: ¼ ¼½¾¾ ¾ Ø ¾ Ô Ì ¾ µ½ ÅÎ µ (1.96) ¼¾ ¾ Ø ¾ Ô Ì µ½ ÅÎ µ (1.97) οπου η ανηγµενη µαζα εκφραζεται σε amu και η θερµοκρασια Ì σε δισεκατοµµυρια βαθµους Kelvin. Σηµειωνεται οτι οι παραπανω σχεσεις ισχυουν µε την προποθεση οτι η θερµοκρασια Ì εκφραζεται σε µοναδες Ì, δηλαδησε µοναδες δισεκατοµµυριων βαθµων Kelvin 10. Ετσι, στις εξισωσεις (1.96) και (1.97) αντι του συµ- ολου Ì εµφανιζεται το συµολο Ì. Το συµολο Ì χρησιµοποιειται κατα κορο στην αστροφυσικη. Οι σχεσεις (1.96) και (1.97) ειναι γενικες και µπορουν να εφαρµοστουν για οποιοδηποτε ζευγος σωµατιδιων. Απο την εφαρµογητωνσχεσεων αυτων γινεται προφανες οτι τοσο το ενεργειακο παραθυρο Gamow οσοηµεγιστη και η ελαχιστη ενεργεια του σε ενα ευρος θερµοκρασιων εξαρταται απο τα φορτια και τις µαζες των αλληλεπιδρωντων πυρηνων, δηλαδηµονο αποτοκαναλι εισοδου. Ειδικηεφαρ- µογη, που ενδιαφερει την παρουσα εργασια, αποτελει ο υπολογισµος της ενεργειας της κορυφης Gamow ¼, και του ενεργειακου παραθυρου για την περιπτωση του βοµαρδισµουτωνσταθερων ισοτοπων του Sr µε πρωτονια. Τα αποτελεσµατα παρουσιαζονται στον πινακα 1.1 για την περιοχη θερµοκρασιων απο 1.8 εως 3.3 Ì, ηοποια και ειναι σχετικη για την παρουσα εργασια. 10 Ì =1Ì =10,2Ì =2 10, κοκ.
32 1.6 Θερµοπυρηνικες αντιδρασεις σε αστρικο περιαλλον Πινακας 1.1: Κορυφες Gamow ¼ (5 στηλη) και αντιστοιχα ενεργειακα παραθυρα Gamow (6 στηλη) αντιδρασεων (p, ) στα σταθεραισοτοπα του Sr και θερµοκρασιες απο Ì ½Ì εως Ì Ì (4 στηλη). Ηελαχιστη E ÑÒ Ñ και η µεγιστη E ÑÜ Ñ ενεργεια (7 και 8 στηλη αντιστοιχα) του παραθυρου Gamow ειναι πρακτικαηιδια για ολα τα ισοτοπα του Sr καθοσον οι ανηγµενες µαζες (3 στηλη) διαφερουν µονο στο τριτο δεκαδικο ψηφιο. Οι µαζες των ισοτοπων, Ñ Ø (2 στηλη), εχουν ληφθει απο την αναφορα [Aud95] οπως και η µαζα του πρωτονιου Ñ Ô (m Ô =1.007825 amu). Στην τελευταια στηλη δινονται οι ενεργειακες περιοχες που καλυφθηκαν πειραµατικα στην παρουσα εργασια. Ισοτοπο m Ø T E ¼ E ÑÒ Ð E ÑÜ Ð Ε ÜÔ (amu) (amu) (K) (MeV) (MeV) (MeV) (MeV) (MeV) Sr 87.905614 0.9964 1.8 2.04 1.30 1.39 2.69 3.3 3.05 2.15 1.98 4.13 1.4-5.0 Sr 86.908880 0.9963 1.8 2.04 1.30 1.39 2.69 3.3 3.05 2.15 1.98 4.13 2.0-3.6 Sr 85.909260 0.9961 1.8 2.04 1.30 1.39 2.69 3.3 3.05 2.15 1.98 4.13 2.5-3.6 Sr 83.913427 0.9959 1.8 2.04 1.30 1.39 2.69 3.3 3.05 2.15 1.98 4.13 Οπως προκυπτει αποτονπινακα 1.1 και τη σχεση (1.96), οι ενεργειες που πρεπει να µετρηθουν στο εργαστηριο ωστε να καλυφθει το σχετικο παραθυρο Gamow κυµαινονται απο 1.41 εως 4.18 MeV. Στην παρουσα εργασια και µε βαση τις σχεσεις (1.96) και (1.97) υπολογιστηκαν τα παραθυρα Gamow ολων των αντιδρασεων (p, ) για την µαζικηπεριοχη απο Ni εως το ½¾ Sn και για θερµοκρασιες σχετικες µε την p-διεργασια. Τα αποτελεσµατα, µαζι µεαλλα δεδοµενα, δινονται στο παραρτηµα Ε, το οποιο ειναι χρησιµο για την προετοιµασια µελλοντικων µετρησεων. Στο σχηµα 1.11 παριστανεται γραφικαησχεση της αστρικης θερµοκρασιας Ì µε την ενεργεια δεσµης στο κεντρο µαζας Ñ για την περιπτωση αντιδρασεων πρωτονικης συλληψης στα ισοτοπα του Sr. Η γραµµοσκιασµενη περιοχη προκυπτει εφαρµοζοντας τις σχεσεις (1.96) και (1.97). Για Ì ÑÒ =1.8 Ì λαµανουµε Ñ =1.39 MeV, ενω γιαì ÑÜ =3.3 Ì ισχυει Ñ =4.13 MeV. Με βαση τη γραµµο-