ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης ( Χωρίς δυνατότητα προγραμματισμού ή γραφικών) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ : καμία Σελίδα 1/5
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ A Μονάδες 1) Να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g που ορίζονται από τις σχέσεις : f(x)= x 2 + x - 1 και g(x) = - 2x + 3. 2) Για ποια τιμή του χ, η συνάρτηση f(x) = 3e x 4 παίρνει την τιμή 0; 3) Να λυθεί η εξίσωση ln(x+3) = 1. 4) Η ευθεία του παρακάτω σχήματος είναι η γραφική παράσταση της παραγώγου f μιας πολυωνυμικής συνάρτησης f. Να χρησιμοποιήσετε την γραφική παράσταση για να προσδιορίσετε τον βαθμό του πολυωνύμου και την τετμημένη του ακροτάτου. Να προσδιορίσετε το είδος του ακροτάτου. 5) Έστω f η συνάρτηση που ορίζεται από την σχέση f(x) = 2x 3-3x 2 + 4 και έστω F η γραφική της παράσταση. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων της F στα οποία η f έχει ακρότατα και να προσδιορίσετε το είδος τους. 6) Έστω η συνάρτηση: f(x) = 2x 2 3x + 6 και η γραφική της παράσταση F. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της F στο σημείο με τετμημένη x = - 1. Σελίδα 2/5
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ A Μονάδες 7) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας που καθορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων. f(x) = - 2x 2 + 6x και g(x) = x 2. 2 x + 6 8) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : dx x 1 2. 9) Να υπολογίσετε την αρχική συνάρτηση F(x) της f(x) = -5e 3x-1, γνωρίζοντας ότι F(0) = 0. 10) Μέσα σε ένα δωμάτιο βρίσκονται επτά άτομα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα να έχουν γεννηθεί σε διαφορετικές ημέρες της εβδομάδας. 11) Για να πάει στο σχολείο του ένας μαθητής οφείλει να διασχίσει δύο διαβάσεις πεζών με φανάρια που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Στην πρώτη διάβαση το κόκκινο διαρκεί 60 δευτερόλεπτα και το πράσινο 40 δευτερόλεπτα. Στην δεύτερη διάβαση το κόκκινο διαρκεί 30 δευτερόλεπτα και το πράσινο 70 δευτερόλεπτα. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε ο μαθητής να βρει τουλάχιστον ένα κόκκινο φανάρι στον δρόμο του. 12) Σε μία τάξη 25 μαθητών 3 από αυτούς είναι αριστερόχειρες και 16 μαθητές φορούν γυαλιά. 7 μαθητές δεν είναι ούτε αριστερόχειρες ούτε φορούν γυαλιά. Πόσοι μαθητές μέσα στην τάξη είναι αριστερόχειρες και ταυτόχρονα φορούν γυαλιά; Σελίδα 3/5
ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ B 1 ΑΝΑΛΥΣΗ Μονάδες Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln (2 x) και g(x) = x x². F και G είναι οι γραφικές τους παραστάσεις σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. a) Δώσατε το πεδίο ορισμού της f. 1 Μονάδα b) Δείξτε ότι το σημείο P (1 ;0) ανήκει στην F και στην G. 2 Μονάδες c) Προσδιορίστε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της F με τους άξονες συντεταγμένων. d) Η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα ή φθίνουσα; Δικαιολογείστε την απάντηση σας. 2 Μονάδες 3 Μονάδες e) Να βρεθεί μια εξίσωση της εφαπτομένης t της F στο σημείο P. 3 Μονάδες f) Δείξτε ότι η t είναι εφαπτομένη και της G στο σημείο P. 2 Μονάδες g) Να σχεδιάσετε τις F και G στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνων. 4 Μονάδες h) Δείξτε ότι η συνάρτηση I(x) = (x 2). ln (2 x) x είναι μια αρχική της f(x). 4 Μονάδες i) Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που ορίζεται από την F και τους άξονες των συντεταγμένων. 4 Μονάδες Σελίδα 4/5
ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ B 2 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μονάδες Ένα ράντσο διαθέτει 10 άλογα ( 3 άσπρα, 2 μαύρα, και 5 καφέ ). Ο αμαξάς επιλέγει τυχαία δύο άλογα, ανάμεσα στα δέκα που διαθέτει το ράντσο, για να σύρουν την άμαξα. a) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ώστε: i) Τα 2 άλογα που επελέγησαν να είναι άσπρα 3 Μονάδες ii) Τουλάχιστον το ένα να είναι άσπρο 4 Μονάδες iii) Τα 2 άλογα που επελέγησαν να έχουν ο ίδιο χρώμα. 4 Μονάδες b) Μαθητές κάνουν μία πρακτική εξάσκηση 3 ημερών στο ράντσο. Ο αμαξάς οργανώνει κάθε μέρα ένα περίπατο με την άμαξα. Κάθε μέρα επιλέγει 2 άλογα τυχαία. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ώστε τα άλογα να έχουν το ίδιο χρώμα ακριβώς μία ημέρα από τις 3 ημέρες της πρακτικής εξάσκησης. 4 Μονάδες Σελίδα 5/5