Μάθημα 3 'Ατομο υδρογόνου

ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική Μάθημα 3 'Ατομο υδρογόνου Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική, ΕΑΠ 3η συνάντηση, 17 Ιανουαρίου 015

Άτομο υδρογόνου πρότυπο δέσμιου συστήματος (Σημείωση, έχουμε δεί τα εξής απλούστερα, αλλά πολύ σημαντικά, δέσμια συστήματα: αρμονικός ταλαντωτής και τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού) ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015

Άτομο Υδρογόνου κατά Bohr: Ημι-κλασικά (με στάσιμο κύμα σε κάθε ακτινική τροχιά να χωράει ημιακέραιος αριθμός κυμάτων de Boglie κβάντωση στροφορμής) ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 3

Άτομο: ηλεκτρόνιο δέσμιο κβάντωση στροφορμής Αν έχουμε κάποιο ηλεκτρόνιο σε ατομική τροχιά, και σκεφτούμε το ηλεκτρόνιο ως κύμα με: h λ= p το κύμα αυτό πρέπει να είναι στάσιμο μέσα στα όρια του ατόμου (δηλαδή, στο άτομο να χωράνε 1 λ ή λ ή 3 λ, κλπ του κύματος): Η στροφορμή είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του ℏ μπορεί να έχει μόνο συγκεκριμένες τιμές (= είναι κβαντισμένη) Συνθήκη κβάντωσης του Bohr ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 4

Άτομο: ηλεκτρόνιο δέσμιο κβάντωση στροφορμής κβάντωση ενέργειας Στροφορμή l= r x p =rp=n ℏ ℏ r = n u Ze p Ze m Z e F=m = = r mr r r e 1 ℏ /m c Σταθερά λεπτής υφής a= = e =a ℏ c 137 mc r= ℏc az mc n Ενέργεια ηλεκτρονίου (μάζας m, φορτίου -e) αν ο πυρήνας (μάζας Μ, φορτίου +Ζe) ήταν σημειακός και ακίνητος: 1 Z e e 1 Z e 1 1 1 E= m u = = Z a m c E = Z 13.6 ev r r n n Όπου χρησιμοποιήσαμε: e =α ℏ c, α= 1, m c =0.511 MeV 137 Φανταστικό! Η ενέργεια Σημείωση: Αν ο πυρήνας (M) ΔΕΝ έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το κβαντισμένη περιστρεφόμενο σωματίδιο (m), τότε ΔΕΝ μπορούμε να τον θεωρήσουμε ακίνητο. Τότε, στις παραπάνω εξισώσεις πρέπει να χρησιμοποιούμε την ανηγμένη μάζα (μ) του συστήματος αντί για το m (όπου 1/μ = 1/m + 1/M) ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 5

Άτομο υδρογόνου: κβαντισμένη ενέργεια Ενέργεια σύνδεσης (ev) Μηδέν ενέργεια σύνδεσης σημαίνει ελεύθερο ηλεκτρόνιο Κύριος κβαντικός αριθμός: n=1,,3,... Αυτάαα... μέχρι εδώ μας πάει η ημικλασσική προσέγγιση του πράγματος. Για την πλήρη περιγραφή, χρειαζόμαστε την Κβαντομηχανική. Επόμενα: ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 6

Άτομο Υδρογόνου κβαντομηχανικά: Εξίσωση Schroedinger, κυματοσυναρτήσεις, στροφορμή, σπίν και πάριτυ ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 7

Το σωματίδιο ως κύμα - κυματοσυνάρτηση De Broglie: E E=h f E =ℏ ω ω= ℏ h p p= p=ℏ k k= ℏ λ Ένα κύμα μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα επίπεδων κυμάτων σαν κι αυτό: i kx ωt i px Et / ℏ ψ x,t =e ψ ie = ψ i ℏ ψ=e ψ ℏ t t ψ ip = ψ i ℏ ψ= p ψ x ℏ x =e Τελεστής ενέργειας = μια πράξη πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ, που δίνει πάλι την ψ, αλλά πολλαπλασιασμένη με την ενέργεια Ε. Η Ε είναι μια ιδιοτιμή της ενέργειας, και η ψ είναι μια ιδιο-συνάρτηση του τελεστή της ενέργειας. Τελεστής ορμής ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 8

Περιγραφή ενός συστήματος με κυματοσυναρτήσεις Έστω ψ μια κυματοσυμάρτηση που περιγράφει ένα σύστημα. Α ψ=αψ Τελεστής = μια πράξη πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ που αν δίνει πάλι την ψ, αλλά πολλαπλασιασμένη με μια σταθερά α, τότε λέμε ότι Το α είναι μια ιδιοτιμή του τελεστή Α, και η ψ είναι μια ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Α Παράδειγμα: Τελεστής ενέργειας i ℏ ψ=e ψ t Η Ε είναι μια ιδιοτιμή του τελεστή ενέργειας, και η ψ είναι μια ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της ενέργειας. i ℏ ψ= p ψ x Τελεστής ορμής ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 9

Eξισώσεις Schroedinger Schroedinger: ψάχνει κυματική εξίσωση που ικανοποιεί: p όπου p = p x p y p z Ε= m Χρονοεξαρτώμενη p ℏ Εξίσωση Schroedinger. Ε ψ= ψ i ℏ ψ= ψ την εφαρμόζουμε σε m t m οποιαδήποτε συνάρτηση ψ Όπου: ο Λαπλασιανός τελεστής = η Λαπλασιανή x y z ψ = πυκνότητα πιθανότητας = πιθανότητα ανά μονάδα όγκου να βρούμε το σωματίδιο σε μιά περιοχή του χώρου * Για να βρούμε την ενέργεια Ε, δεν βαζουμε τον τελεστη της ενέργειας, κι έτσι λύνουμε τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schroendinger: p m ℏ E= +V ( r ) Ε ψ =[ + V ( r )] ψ ψ + (E V ( r )) ψ =0 ℏ m m ℏ H ψ= E ψ, όπου : H V r ο Χαμιλτονιανός τελεστής η Χαμιλτονιανή m Η T V = κινητική δυναμική ενέργεια ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 10

Ιδιοσυναρησεις και ιδιοτιμές ενέργειας από την εξίσωση Schroedinger Λύνουμε πρώτα τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schroedinger, και βρίσκουμε τις ιδιοτιμές ενέργειας Εi και τις ιδιοσυναρτήσεις ψi (x) του συστήματος: p m ℏ E= V r Ε ψ=[ V r ]ψ ψ E V r ψ=0 ℏ m m Κατόπιν βάζουμε και τη χρονική εξάρτηση κάθε ιδιοσυνάρτησης ως εξής: i E i t / ℏ ψ i (x, t)=ψ i (x )e Μετά, οποιαδήποτε κυματοσυνάρτηση ψ που περιγράφει το σύστημά μας, μπορούμε να τη γράφουμε σαν γραμμικό συνδυασμό των ιδιοσυναρτήσεων ψi ψ =c 1 ψ 1 + c ψ + c 3 ψ 3 +... ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 11

Εξίσωση Schroedinger για κεντρικά δυναμικά m ψ E V r ψ=0 ℏ Η εξίσωση Schroedinger με κεντρικό δυναμικό V ( r )=V (r ) [π.χ., το δυναμικό Coulomb -e/r], όπου χωρίζουμε ακτινικό και γωνιακό μέρος κυματοσυνάρτησης: ψ r =R r Y θ, φ, και y=r R r γίνεται: y m E V r y=0 l ℏ r Οπότε έχουμε να λύσουμε την πιό πάνω μονοδιάστατη εξίσωση του Schroedinger, όπου το ενεργό δυναμικό είναι ίσο με το άθροισμα του κεντρικού δυναμικού κι ενός όρου στροφορμής V l (r )=V (r )+ ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 ℏ l (l+ 1) mer 1

Άτομο υδρογόνου με εξ. Schroedinger Λύση της εξίσωσης Schroedinger ψ m E V r ψ=0 ℏ q1 q e e r =V r = =e = με το δυναμικό Coulomb: V r r r και ψ ναμικού υ δ r =R r Y θ, φ ύ ο ικ ρ τ ν θ, φ ειγμα κε η α πό Παράδ σ η τ ρ ά ξ ε ι ε πάρχ Όπου ΔΕΝ υ Δίνει: συναρτήσεις R(r) και Υ(θ,φ), όπου ψ = R(r) Υ(θ,φ) είναι ιδιοσυναρτήσεις 1 1 a m c n β) του τελεστή L της τροχιακής στροφορμής με ιδιοτιμές: α) της Χαμιλτονιανής, με ιδιοτιμές ενέργειας L = r x p= r x i ℏ E= L Y lm = l l 1 ℏ Y lm, όπου : l=0,1,..., n 1 όπου: x y z x y z γ) του τελεστή Lz, προβολής της L σ'έναν άξονα, με ιδιοτιμές: λύσεις για m ι α κ l,, l Ίδιες Y lm δυναμικά ά ικ ρ τ ν ε κ α ΟΛΑ τ ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 L z Y lm =ml ℏ Y lm, όπου : ml = l,..., 0,... l 13

Κβάντωση στροφορμής L= l l 1 ℏ, όπου : l=0,1,..., n 1 Άθροισμα Στροφορμών δύο τέτοιων συστημάτων: l z (1+ )=l z (1) + l z () και l 1 l l 1 + l 1 +l ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 14

Υδρογόνο: Ακτινικές ιδιοσυναρτήσεις Rn l(r) ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 15

Yδρογόνο: Γωνιακές ιδιοσυναρτήσεις Υ(θ,φ) ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 16

Άτομο υδρογόνου με ενέργεια και στροφορμή Ε, L, Lz είναι τελεστές που αντιμετίθονται με τη Χαμιλτονιανή, άρα τα αντίστοιχα φυσικά μεγέθη διατηρούνται, άρα οι αριθμοί n, l, ml χαρακτηρίζουν την κατάσταση του συστήματος είναι καλοί κβαντικοί αριθμοί L= l (l+1)ℏ, όπου l=0,1,..., n 1 Συμβολισμός καταστάσεων: ns, np, nd, nf,... Π.χ,p : n=, l=1 s :l=0 ; p :l=1 ; d :l= ; f :l=3,... Διαφορετικές καταστάσεις {n, l, ml } με ίδια ενέργεια: Ονομάζονται εκφυλισμένες καταστάσεις ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 17

Ενεργειακό διάγραμμα υδρογόνου Διαφορετικές καταστάσεις {n,l} με ίδια ενέργεια: εκφυλισμένες καταστάσεις ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 18

Eνέργεια: εξάρτηση και από τροχιακή στροφορμή Γενικά, η ενέργεια εξαρτάται κι από την τροχιακή στροφορμή, L (orbital angular momentum): Ενέργεια σύνδεσης (ev) Υδρογόνο L= l l 1 ℏ, όπου l=0, 1,..., n 1 Συμβολισμός καταστάσεων: n=4 n=3 n= n=1 ns, np, nd, nf,... Π.χ,p : n=, l=1 s :l=0 ; p :l=1 ; d :l= ; f :l=3,... Στο υδρογόνο, οι ενεργειακές καταστάσεις με ίδιο n, αλλά διαφορρετική τροχιακή στροφορμή l είναι ίδιες, λόγω της μορφής του δυναμικού Coulomb στο άτομο του υδρογόνου. Σε άλλα άτομα υπάρχει διαφορά για διαφορετικά ζεύγη {n, l }. Π.χ., Na Κβαντικός αριθμός τροχιακής στροφορμής ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 19

Διαφορετικές καταστάσεις {n, l, ml } με ίδια ενέργεια: εκφυλισμένες καταστάσεις Κάτω όμως από κάποιες συνθήκες, μπορώ να τις... αποκαλύψω; (και έτσι να διαπιστώσω ότι δεν είναι απλά μιά μαθηματική υπόθεση;) ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 0

Τροχ. Στροφορμή: διαχωρισμός εκφυλισμένων ενεργειακών σταθμών Η σε μαγνητικό πεδίο Ενέργεια λόγω αλληλεπίδρασης του ηλεκτρονίου (της τροχιακής μαγνητικής ροπής του, μ) με το μαγνητικό πεδίο Β: =B z B U = μ B Το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται σαν μαγνήτης με διπολική μαγνητική ροπή: μ= q e L= L mec mec e ℏ l l 1 mec eℏ μ Μαγνητόνη του Bohr, μβ : Β mec μ= μ B l l 1 μ z= μ B m l μ=! Από τον προκαλούμενο διαχωρισμό των ενεργειακών επιπέδων, μπορούμε π.χ να μετρήσουμε το μαγνητικό πεδίο ενός αστεριού. Σχήμα 10.5 Τραχανάς, σελ. 45 ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 U=ml μ B Β 1

Η ανάδυση του σπιν: μια εσωτερική στροφορμή, ιδιοστροφορμή ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015

Μαγνητική ροπή λόγω ιδιοστροφορμής (spin) και συνεισφορά στην ενέργεια όταν σε =B z μαγνητικό πεδίο B Στην προηγούμενη σελίδα είδαμε τη μαγνητική ροπή που έχει το ηλεκτρόνιο λόγω περιστροφής γύρω από τον πυρήνα (λόγω τροχιακής στροφορμής, l ). Το ηλεκτρόνιο έχει όμως και μια εσωτερική στροφορμή, μια ιδιοστροφορμή (= spin = σπίν) ανεξάρτητα από το αν κινείται ή όχι. Το σπίν είναι μια ιδιότητα του ηλεκτρονίου, όπως π.χ., το φορτίο του S= s s 1 ℏ, όπου : s=1/ S z =ms ℏ, όπου : ms = 1/, 1/ Λόγω του σπίν, το υδρογόνο έχει μια μαγνητική ροπή μs: q e S Το ηλεκτρόνιο είναι μ s=g e S =g e S = g e μ B στοιχειώδες ge= ℏ mec mec μβ eℏ mec μ s = g e μ B s s 1 μ s, z = g e μ B m s B Δυναμική ενέργεια λόγω σπιν: U s = μ s ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 U s =± μ B Β, για m s= 1/ 3

Ολική στροφορμή (J) = τροχιακή (L) + σπίν (S) = το σπίν του συστήματος (π.χ., του ατόμου) Κάθε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, στροφορμής κ' σπιν στο άτομο χαρακτηρίζεται από 5 κβαντικούς αριθμούς {n, l, s, ml, ms } Για κάθε συγκεκριμένο l, υπάρχουν (l + 1)*(s + 1) ανεξάρτητες καταστάσεις, Υlm Ολική στροφορμή J ενός σωματιδίου: άθροισμα τροχιακής στροφορμής και σπίν max J = L + S, και J z= Lz +S z, όπου : J min z = l s, και J z =l+s J και Jz μπορούν να έχουν ιδιοκαταστάσεις ίδιες με L και S, οπότε να χαρακτηρίζω μιά κατάσταση από τους κβαντικούς αριθμούς: {n, l, s, j, mj } J Y lm = j ( j +1) ℏ Y lm, όπου: j =l±1 / J z Y lm =m j ℏ Y lm, όπου : m j= j,..., 0,... j ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 4

Eνέργεια: εξάρτηση κι από τροχιακή στροφορμή κι από σπίν Κάθε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, στροφορμής κ' σπιν στο άτομο χαρακτηρίζεται από κβαντικούς αριθμούς {n, l, s, j, mj } Ολική στροφορμή ατόμου: άθροισμα τροχιακής στροφορμής και σπίν Διπλή κίτρινη γραμμή του Νατρίου Αποτέλεσμα της σύζευξης σπίν. τροχιάς (Spin-orbit coupling = L S coupling): σύζευξη του σπιν του ηλεκτρονίου με το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί το πρωτόνιο, το οποίο θεωρούμε σαν περιστρεφόμενο γύρω από το ηλεκτρόνιο, όταν βρίσκόμαστε πάνω στο ηλεκτρόνιο) Συμβολισμός καταστάσεων: ns J, np J, nd J, nf J,... Π.χ, p1 / : n=, l=1, j=1/ ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 Ενέργεια σύνδεσης για Na (ev) π.χ, για s=1/: J = L+ S, j=l±1/ Για l=1 j=1±1/=3 / ή 1 / Νάτριο : Ενεργειακές στάθμες με n=3, l=0 (s) και l=1 (p) έχουν ~ ev διαφορά (κίτρινη γραμμή Na στο εργαστήριο ατομικής) 5

Ακόμα ένας κβαντικός αριθμός: Ομοτιμία (parity) Είδαμε ότι κάθε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, στροφορμής και σπιν στο άτομο χαρακτηρίζεται από κβαντικούς αριθμούς {n, l, s, ml, ms }. Ο τρόπος που συμπεριφέρεται η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση σε αναστροφή του χώρου (που είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του τελεστή της ομοτιμίας/partiy, P, πάνω της) μπορεί να ορίσει κι άλλον έναν κβαντικό αριθμό: την ομοτιμία ή parity P ψ r =ψ r =ψ r : άρτια συνάρτιση Parity = 1 P r = r P ψ r =ψ r = ψ r : περιττή συνάρτιση Parity= 1 Κι έτσι γράφουμε το σπίν και την ομοτιμία ως Jπ 3 π.χ., κατάσταση + r =R r Y θ, φ, Σημείωση: για κεντρικά δυναμικά, όπου ψ η πάριτυ της ψ οφείλεται μόνο στις σφαιρικές συναρτήσεις Yl m : r r : P Y θ, φ =Y π θ, π φ = 1 l Y θ, φ, οπότε : Parity= 1 l ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 6

Είδαμε ότι η ενέργεια ενός συστήματος εξαρτάται και από το σπιν του: ΟΚ. Ερώτηση: Η ομοτιμία / πάριτυ / parity επηρεάζει κάτι μετρήσιμο/παρατηρίσιμο; Βεβαίως και ναι. ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 7

Parity: η αναστροφή του χώρου και η Αρχή του Pauli (1) Όλα τα σωματίδια με ακέραιο σπιν (s=0, 1,, ) - τα αποκαλούμενα μποζόνια περιγράφονται από συμμετρικές κυματοσυναρτήσεις (Parity = +1), ενώ όλα τα σωματίδια με ημι-ακέραιο σπιν (s=1/, 3/, ) - τα αποκαλούμενα φερμιόνια περιγράφονται από αντισυμμετρικές κυματοσυναρτήσεις (Parity = -1) ως προς την εναλλαγή των μεταβλητών τους (=αναστροφή του χώρου) ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 8

Parity: η αναστροφή του χώρου και η Αρχή του Pauli () ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 9

Parity: η αναστροφή του χώρου και η Απαγορευτική Αρχή του Pauli Παρατηρίσιμο; Μα, έτσι ακριβώς εξηγούμε τη δομή των ατόμων!!! ΕΑΠ - 17 Ιαν. 015 30