ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μιχαλίτσα Σταματία Γόμπου Α.Μ. 311/

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μιχαλίτσα Σταματία Γόμπου Α.Μ. 311/2011027 «Στάσεις Πεποιθήσεις Επάρκεια Αυτογνωσία στην Ανάλυση των πρωτοετών φοιτητών (Όρια, Παραγώγους, Ολοκληρώματα)» Πτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής: Ευγένιος Αυγερινός Καρλόβασι 2021

Τριμελή συμβουλευτική επιτροπή: Ευγένιος Αυγερινός (επιβλέπων) Μιχαήλ Ανούσης Ανδρέας Παπασαλούρος Ημερομηνία παρουσίασης: Πέμπτη 7 Οκτωβρίου 2021 1

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά όλους όσοι με υποστήριξαν ηθικά και με βοήθησαν με κάθε τρόπο να ολοκληρώσω τις σπουδές μου και να συγγράψω την παρούσα εργασία. Θα ήθελα, επίσης, να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ευγένιο Αυγερινό, του οποίου η επιστημονική κατάρτιση και συμβολή ήταν καθοριστική στην ολοκλήρωση αυτής της εργασίας. Τον ευχαριστώ ιδιαίτερα για την βοήθεια του σε θεωρητικά και σε πρακτικά ζητήματα, για τις χρήσιμες υποδείξεις του, καθώς και τον πολύτιμο χρόνο που μου πρόσφερε. Ακόμη, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους διευθυντές, τους και τις εκπαιδευτικούς, τους μαθητές και τις μαθήτριες των Γενικών Λυκείων της Ρόδου, όπως και τους φοιτητές και τις φοιτήτριες για την συνεργασία και τον χρόνο που μου διέθεσαν για την διεξαγωγή της έρευνας μου. Τέλος, θα ήθελα να πω ένα θερμό ευχαριστώ στην οικογένεια και τους φίλους μου, για την ηθική στήριξη που μου διέθεσαν, την κατανόηση και την πίστη τους σε εμένα. 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ, ΕΙΚΟΝΩΝ, ΠΙΝΑΚΩΝ... 5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 9 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 12 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ... 15 1.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 15 1.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ... 18 1.2.1 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ «ΠΡΟΒΛΗΜΑ»... 19 1.2.2 ΒΑΣΙΚΟΤΕΡΑ ΣΤΑΔΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ... 21 1.3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΦΟΒΙΑ... 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ... 25 2.1 ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΟ ΕΜΠΟΔΙΟ... 25 2.2 ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ... 27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΘΕΩΡΙΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ... 30 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ APOS... 30 3.1.1 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ PIAGET ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ... 33 3.2 ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΟΣΜΟΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ... 35 3.2.1 ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ... 36 3.2.2 ΕΠΙΣΗΜΑ-ΘΕΩΡΙΤΙΚΑ-ΠΡΑΚΤΙΚΑ... 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ... 41 4.1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ... 42 4.2 ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΤΡΙΓΩΝΟ... 43 4.3 ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ... 44 4.4 ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΜΑΘΗΤΩΝ... 44 4.5 ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ... 45 4.6 ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΕΘΝΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ... 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ... 50 5.1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΠΛΑΣΗ... 50 3

5.2 ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΗΜΗ ΓΝΩΣΗ... 51 5.2.1 Η ΥΛΗ ΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ... 51 5.2.2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ ΠΡΟΣ ΤΟ ΕΠΙΣΗΜΟ... 52 5.3 ΕΜΠΕΙΡΗ ΣΚΕΨΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΟΜΗΣ... 55 ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 57 6.1 ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 57 6.2 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 60 6.3 ΜΕΣΑ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ... 61 6.4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ... 63 6.5 ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 64 6.6 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ... 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ... 68 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 68 7.2 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙKA ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΓΚΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΤΗ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ... 69 7.3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ... 77 7.3.1 ΓΝΩΣΕΙΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... 77 7.3.2 ΓΝΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... 87 7.3.3 ΓΝΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... 88 7.4 ΑΝΤΙΛΗΨΗΣ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ... 90 7.5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΦΟΙΤΗΤΡΙΩΝ ΣΕ ΑΝΟΙΧΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 90 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 95 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ... 96 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 97 ΓΛΩΣΣΑΡΙ ΟΡΟΛΟΓΙΑΣ... 108 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 110 4

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ, ΕΙΚΟΝΩΝ, ΠΙΝΑΚΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.1: ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ ΗΜ. ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΑΝΑ ΕΤΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.2: ΠΟΣΟΣΤΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΗΣ ΚΑΘΕ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΑΤΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 2020 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.3: ΠΟΣΟΣΤΑ ΗΛΙΚΙΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.4: ΠΟΣΟΣΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.5: ΠΟΣΟΣΤΑ ΦΥΛΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.6: ΠΟΣΟΣΤΑ ΦΥΛΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.7: ΠΟΣΟΣΤΑ ΣΥΜΕΤΕΧΟΝΤΩΝ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.1: ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.2: ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.3: ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.4: ΣΧΕΣΗ ΓΟΝΕΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.5: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.6: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.7: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.8: ΣΤΑΣΕΙΣ/ΤΑΚΤΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.9: ΣΤΑΣΕΙΣ/ΤΑΚΤΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.10: ΣΤΑΣΕΙΣ/ΤΑΚΤΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.11: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.12: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.13: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΕΙΣ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.14: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.15: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.16: ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.17: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.18: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.19: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.20: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.21: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.22: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.23: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.24: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΡΤΙΑΣ/ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.25: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΡΤΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.26: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΡΤΙΑ/ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.27: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΡΤΙΑ/ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.28: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΑΡΤΙΑ/ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.29: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΑΡΤΙΑ/ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.30: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΥΠΑΡΞΗΣ ΑΥΞΟΥΣΑΣ ΔΙΚΛΑΔΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.31: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΥΠΑΡΞΗΣ ΑΥΞΟΥΣΑΣ ΔΙΚΛΑΔΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.32: ΠΟΣΟΣΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΩΝ ΥΠΑΡΞΗΣ ΑΥΞΟΥΣΑΣ ΔΙΚΛΑΔΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΗΛΙΚΙΑΚΗ ΟΜΑΔΑ 6

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.33: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.34: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.35: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.36: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 7.37: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΝΤΙΛΗΨΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΕΙΚΟΝΑ 2.2: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΙΚΟΝΑ 3.1: ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑΣ APOS ΚΑΙ ΕΞΕΛΗΓΜΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ TALL ΕΙΚΟΝΑ: 3.3: ΤΡΕΙΣ ΚΟΣΜΟΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΚΟΝΑ 3.4: ΤΡΕΙΣ ΤΥΠΟΙ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΙΚΟΝΑ 3.5: ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ TALL ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΤΡΕΙΣ ΚΟΣΜΟΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΚΟΝΑ 4.1: ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΚΟΝΑ 4.2: ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΙΚΟΝΑ 4.3: ΙΣΤΟΡΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1: ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΟΥΝ ΕΜΠΟΔΙΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 6.1: ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΕΣ ΑΝΩ ΚΑΙ ΚΑΤΩ ΤΟΥ 10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ ΗΜ ΑΝΑ ΕΤΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 7.1: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7.2: ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΣΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΑΣ 7.3: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 7.4: ΠΟΣΟΣΤΑ ΜΕΓΙΣΤΟ ΔΕΔΟΜΕΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ 7

ΠΙΝΑΚΑΣ 7.5: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΑΥΞΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΑ ΗΛΙΚΙΑΚΗ ΟΜΑΔΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 7.6: ΠΟΣΟΣΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 7.7: ΠΟΣΟΣΤΑ ΠΛΗΘΟΥΣ ΣΩΣΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ ΠΙΝΑΚΑΣ 7.8: ΠΟΣΟΣΤΑ ΠΛΗΘΟΥΣ ΣΩΣΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ 8

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το αντικείμενο της παρούσας εργασίας έχει ως σκοπό να μελετηθεί η σχέση των φοιτητών και φοιτητριών με τα Μαθηματικά, ποιοι παράγοντες επηρεάζουν την απόδοση τους και το επίπεδο των Μαθηματικών τους γνώσεων. Για την μελέτη των παραπάνω, η πτυχιακή χωρίστηκε σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος, περιέχεται το θεωρητικό της κομμάτι, καταγράφονται ορισμοί χρήσιμων εννοιών, απαραίτητοι για την κατανόηση και διερεύνηση του θέματος, βασικές θεωρίες μάθησης Μαθηματικών, μέθοδοι διδακτικής και διαφορές σχολικών και πανεπιστημιακών Μαθηματικών στα όρια, τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα για την ανάλυση της μετάπλασης των κεφαλαίων. Το δεύτερο μέρος αφορά το ερευνητικό κομμάτι, στο οποίο για την διερεύνηση του συντάχθηκαν ερωτηματολόγια για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών τμημάτων, καθώς και για μαθητές και μαθήτριες Γενικών Λυκείων. Συγκεκριμένα, τα δείγματα που συγκεντρώθηκαν ήταν δύο. Το πρώτο αποτελείται από 217 μαθητές και μαθήτριες Β και Γ Λυκείων της Ρόδου (181 και 36 αντίστοιχα). Το δεύτερο δείγμα, 181 ατόμων, προήλθε από φοιτητές και φοιτήτριες Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ελληνικών Πανεπιστημίων. Η επιλογή της συγκέντρωσης δύο διαφορετικών δειγμάτων κρίθηκε απαραίτητη για να είναι εφικτή η σύγκριση των αντιλήψεων, των στάσεων αλλά και των γνώσεων των δύο αυτών εκπαιδευτικών βαθμίδων. Τα ερωτηματολόγια ήταν χωρισμένα σε δύο μέρη, το πρώτο αφορούσε στάσεις και πεποιθήσεις των οποίων οι απαντήσεις δόθηκαν με κλίμακα Likert και το δεύτερο περιέχει έργα και ασκήσεις με γραπτές απαντήσεις. Επίσης, στα ερωτηματολόγια που αφορούσαν τους φοιτητές και τις φοιτήτριες των Μαθηματικών τμημάτων, προστέθηκαν ανοιχτές ερωτήσεις. Η στατιστική επεξεργασία και η ανάλυση των ερευνητικών δεδομένων έγινε με τη χρήση του στατιστικού πακέτου S.P.S.S. και στη συνέχεια ακολούθησε η περιγραφή τους. Τέλος, ως συνέχεια των ερευνητικών αποτελεσμάτων σημειώθηκαν τα συμπεράσματα που προέκυψαν για την διδακτική διαδικασία των Μαθηματικών και προτάσεις με σκοπό τη βελτίωση των αποδόσεων και των σχέσεων των μαθητών και μαθητριών, αλλά και των φοιτητών και φοιτητριών στα Μαθηματικά. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: Στάσεις, Πεποιθήσεις, Διδακτική Μαθηματικών, Δυσκολίες Πρωτοετών Φοιτητών, Διδακτική Μετάπλαση, Πανεπιστημιακά Μαθηματικά, Μετάβαση στην Επίσημη Γνώση, Συσσωμάτωση, Δυσκολίες στα Μαθηματικά 9

ABSTRACT The purpose of this paper is to study the relationship between students and Mathematics, which factors affect their performance and the level of their Mathematical knowledge. To study the above, the study was divided into two parts. The first contains its theoretical part, definitions of useful concepts, necessary to understand and explore the subject, basic Mathematical learning theories, teaching methods and differences between school and university Mathematics (about Limits, Derivatives and Integrals to analyze the transformation of the chapters) are recorded. The second part concerns the research, in which, questionnaires were prepared for the university students of the first and older years of Mathematics and Applied Mathematics departments as well as for second and third grade of General High Schools students. Specifically, the samples collected were two. The first consists of 217 second and third grade High School students of Rhodes (181 and 36 respectively). The second sample, 181 people, came from students of Mathematics and Applied Mathematics of Greek Universities. The choice of the collection of two different samples was deemed necessary to be able to compare the perceptions, attitudes and knowledge of these two educational levels. The questionnaires were divided into two parts, the first concerning attitudes and beliefs, which answers were given on a Likert scale and the second projects and exercises with written answers. Also, open questions were added to the questionnaires concerning the students of the Mathematical departments. The statistical processing and analysis of research data was done by using the statistical package S.P.S.S. and then followed their description. Finally, as a continuation of the research results, the conclusions that emerged for the teaching process of Mathematics and suggestions for the purpose of improving the performance and relations of students as well as students in Mathematics were noted. KEY WORDS: Attitudes, Beliefs, Teaching Mathematics, First Year University Students Difficulties, Didactic Transformation, University Mathematics, Transition to Formal Knowledge, Aggregation, Mathematics Difficulties 10

ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να ερευνηθεί αν οι εμπειρίες της μέχρι τώρα ζωής των μαθητών, μαθητριών, φοιτητών και φοιτητριών συμβάλλουν στον τρόπο αντιμετώπισης και χειρισμού των Μαθηματικών μαθημάτων και αν ναι, κατά πόσο επηρεάζουν την κλίση και τις επιδόσεις τους προς τα Μαθηματικά. Επίσης, ποιος είναι ο τρόπος που σκέφτονται, λειτουργούν και αντιδρούν οι μαθητές, μαθήτριες Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης καθώς και οι φοιτητές και φοιτήτριες της Τριτοβάθμιας. Επιπλέον, να μελετηθεί αν υπάρχουν διαφορές στον τρόπο αντιμετώπισης των Μαθηματικών ανάμεσα στους μαθητές και στις μαθήτριες των τελευταίων τάξεων του Λυκείου και στους φοιτητές και τις φοιτήτριες πρώτου έτους και υπολοίπων ετών των Μαθηματικών τμημάτων. Να μελετήσουμε στάσεις (Attitudes), πεποιθήσεις (Beliefs), επάρκεια (sufficiency) & αυτογνωσία (self knowledge) φοιτητών/τριών και να τις συγκρίνουμε με αυτές των μαθητών/τριών. Έχουν διαφορετικές αντιλήψεις/απόψεις/πεποιθήσεις όσοι/ες σπουδάζουν Μαθηματικά συγκριτικά με τους μαθητές και τις μαθήτριες της Δευτεροβάθμιας; Να ερευνήσουμε αν οι γνώσεις τους συνάδουν με την προσωπική, αλλά και με την σχολική τους αξιολόγηση. Ποια προβλήματα έχουν ανιχνευτεί στις διάφορες μορφές διδασκαλίας και ποιες αλλαγές έχουν γίνει κατά τα έτη στις μεθόδους διδασκαλίας Μαθηματικών. Να αναζητηθούν οι λόγοι για τους οποίους οι φοιτητές και οι φοιτήτριες δυσκολεύονται να προσαρμοστούν στο πρώτο έτος σπουδών του τμήματος Μαθηματικών. Να μελετηθούν οι διαφορές των σχολικών Μαθηματικών με των Πανεπιστημιακών καθώς και αν οι ορισμοί μαθηματικών εννοιών παρουσιάζονται με τον ίδιο τρόπο σε όλες τις τάξεις (πώς δομείται διαχρονικά η θεωρία για την συνέχεια, τα όρια, τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα). Να ερευνηθεί ο τρόπος σκέψης, λειτουργίας και αντίδρασης των μαθητών/τριών μεγαλύτερης ηλικίας (Λυκείου) και φοιτητών/τριών του πρώτου έτους, έπειτα από την βασική διαμόρφωση των στάσεων και πεποιθήσεων που έχουν βιώσει στα πρώτα στάδια της μαθητικής ζωής τους και πώς αυτό τους/τις έχει διαμορφώσει. 11

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για ολόκληρο τον κόσμο τα Μαθηματικά είναι ένα απαραίτητο εργαλείο, καθώς αποτελεί βασικό πυρήνα για τις θετικές επιστήμες. Όπως είπε και ο Γαλιλαίος Γαλιλέι (1564-1642) «Το σύμπαν δεν μπορεί να διαβαστεί, παρά μόνο αφού μαθευτεί η γλώσσα του και έχει γίνει εξοικείωση με τους χαρακτήρες, με τους οποίους η γλώσσα του είναι γραμμένη. Η γλώσσα του είναι η μαθηματική γλώσσα, και τα γράμματα είναι τρίγωνα, κύκλοι και άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία είναι ανθρωπίνως αδύνατο να κατανοηθεί έστω και μια λέξη. Χωρίς αυτά, κάποιος (που ασχολείται με την έρευνα για το σύμπαν) είναι σαν να περιπλανιέται σε ένα σκοτεινό λαβύρινθο». Έτσι, προκαλείται μεγάλο ενδιαφέρον στο να ερευνηθούν οι στάσεις και οι πεποιθήσεις των μελετητών των Μαθηματικών. Όπως οι Gray και Tall (1984-2001) παρουσίασαν στην ιδέα των τριών τύπων μαθηματικών εννοιών, η επιστήμη των Μαθηματικών εντάσσεται σταδιακά από τα πρώτα χρόνια της ζωή μας.αναπόφευκτα, τα Μαθηματικά συμμετέχουν στο πρόγραμμα σπουδών των παιδιών από την πρώτη τάξη του δημοτικού, όπου ξεκινούν να μαθαίνουν βασικούς αριθμούς και σύμβολα, συνεχίζουν την μαθητική τους πορεία εντάσσοντας σταδιακά ολοένα και πιο περίπλοκα μαθηματικά ζητήματα και φτάνοντας, έτσι, στην Δευτέρα Λυκείου, όπου καλούνται -για πρώτη φορά- να επιλέξουν κατεύθυνση προσανατολισμού ή με άλλα λόγια, να διαλέξουν ποια επιπλέον μαθήματα επιθυμούν να μελετήσουν με βάση τα ενδιαφέροντα και τους στόχους τους. Είναι, λοιπόν, σημαντικό η έρευνα να ξεκινήσει από αυτήν την ηλικιακή ομάδα, με σκοπό να εντοπιστούν κοινά και διαφορές στις στάσεις και τις πεποιθήσεις τους, αλλά και οι μαθηματικές γνώσεις που, ενδεχομένως, να επηρεάζουν την μετέπειτα πορεία και επίδοση τους. Κατά την φοίτηση τους στην Δευτεροβάθμια εκπαίδευση και κατά κύριο λόγο στην τρίτη Λυκείου, όπου καλούνται να συμμετάσχουν στις πανελλαδικές εξετάσεις, τα κεφάλαια των συναρτήσεων, συνέχειας, ορίων, παραγώγων και ολοκληρωμάτων αποτελούν την κύρια εξεταστέα ύλη των Μαθηματικών. Αν κοιτάξουμε, όμως, τις βαθμολογίες των Πανελλαδικών εξετάσεων σε αυτό το μάθημα, τα τελευταία πέντε χρόνια, θα παρατηρήσουμε πως το εξαιρετικά μεγάλο ποσοστό του 60-70% συγκεντρώνει βαθμολογία μικρότερη του 10 - κάτι το οποίο είναι πολύ ανησυχητικό, αν σκεφτούμε πως κατά βάση οι περισσότεροι μαθητές και οι περισσότερες μαθήτριες έχουν καταβάλει την καλύτερη προσπάθεια τους. Στο ερευνητικό μέρος της παρούσας εργασίας συμμετείχε πλήθος μαθητών και μαθητριών και από αυτήν την ηλικιακή ομάδα (αν και σε μικρό βαθμό, λόγω της πίεσης που νιώθουν οι μαθητές και μαθήτριες της Γ Λυκείου). Αυτή η έρευνα έχει επίκεντρο τους φοιτητές και τις φοιτήτριες των Μαθηματικών τμημάτων της Ελλάδας. Σε αυτήν την εργασία ερευνώνται οι στάσεις και οι πεποιθήσεις, συγκεκριμένα αυτής της ομάδας, με σκοπό να ανιχνευτούν τυχών μοτίβα στάσεων ή πεποιθήσεων που έχουν όσοι επιλέγουν να ασχοληθούν σε βάθος με τα επίσημα/πανεπιστημιακά Μαθηματικά. Κατά την εισαγωγή τους οι φοιτητές και οι φοιτήτριες των 12

Μαθηματικών στο πρώτο έτος σπουδών, έρχονται σε επαφή με ένα βασικό μέρος της σύγχρονης μαθηματικής εκπαίδευσης: τον λογισμό και γενικότερα την μαθηματική ανάλυση. Ορισμένα από τα πρώτα κεφάλαια που καλούνται να ασχοληθούν είναι αυτά των συναρτήσεων, συνέχειας, ορίων, παραγώγων και ολοκληρωμάτων. Αυτά τα κεφάλαια δεν τους είναι νέα, καθώς, όπως προαναφέρθηκε, διδάσκονται και στην Δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Φαίνεται, όμως, πως οι φοιτητές και οι φοιτήτριες αδυνατούν να αντεπεξέλθουν στο πρώτο έτος σποδών και είναι σημαντικό να μελετηθεί εδώ η αιτία αυτού του προβλήματος και να προταθούν τρόποι με τους οποίους θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί. Η παρούσα εργασία χωρίστηκε σε δύο βασικά μέρη, το θεωρητικό και το ερευνητικό. Αρχικά, το ερευνητικό μοιράστηκε σε 5 κεφάλαια απαραίτητα για να ενταχθεί ο αναγνώστης σε βασικές έννοιες, θεωρίες και αναγκαία στοιχεία για την κατανόηση της μετέπειτα έρευνας. Στο κεφάλαιο 1 εντάχθηκαν το εννοιολογικό πλαίσιο της μελέτης, όπως οι ορισμοί και παραδείγματα για την κατανόηση των στάσεων, πεποιθήσεων, επάρκειας και αυτογνωσίας. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρία ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης αναλύοντας το επιστημολογικό εμπόδιο και το διδακτικό συμβόλαιο και αναπτύσσονται δύο βασικές θεωρίες μάθησης, η θεωρία του Piaget (1996)- APOS και Οι Τρεις Κόσμοι των Μαθηματικών του Tall (2013). Έπειτα, στο κεφάλαιο 4 αναφέρονται βασικές μέθοδοι διδακτικής Μαθηματικών καθώς και ιστορική αναδρομή των τεχνικών διδασκαλίας. Τέλος, το 5 ο κεφάλαιο αφορά τα Πανεπιστημιακά Μαθηματικά, εξηγείται ο λόγος για τον οποίο επαναλαμβάνεται η διδασκαλία της ύλης που είχε παραδοθεί κατά την φοίτηση στην Δευτεροβάθμια εκπαίδευση και, κατ επέκταση, συγκρίνονται οι ορισμοί από τα σχολικά εγχειρίδια της Γ Λυκείου με αυτούς στα Πανεπιστημιακά (ορισμοί για το όριο, την παράγωγο και το αόριστο ολοκλήρωμα). Το ερευνητικό μέρος της εργασίας αποτελείται από δύο κεφάλαια, εκ των οποίων το πρώτο αφορά την μεθοδολογία της έρευνας και το δεύτερο στα αποτελέσματα της. Στο πρώτο, υπάρχει αναλυτική περιγραφή για την διαδικασία με την οποία εκτελέσθηκε έρευνα, πληροφορίες για τα μέσα συλλογής των δεδομένων (τρία διαφορετικά ερωτηματολόγια, διαμορφωμένα κατάλληλα για την εκπαιδευτική και ηλικιακή βαθμίδα του εκάστοτε δείγματος) καθώς και στοιχεία για τον πληθυσμό και το δείγμα της έρευνας. Το κεφάλαιο κλείνει με την μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε για να αναλυθούν τα δεδομένα. Στο δεύτερο κεφάλαιο του ερευνητικού μέρους της εργασίας, τα αποτελέσματα της έρευνας ξεκινάνε με μία εισαγωγή, όπου γίνεται αντιστοίχιση των ερωτήσεων των ερωτηματολογίων σε μεταβλητές για την διευκόλυνση του αναγνώστη ή της αναγνώστριας. Έπειτα, έγινε διαχωρισμός, ανάλογα με τις πληροφορίες που έδινε κάθε ερώτηση, και στη συνέχεια παρουσιάστηκαν τα αποτελέσματα που προέκυψαν από το στατιστικό πρόγραμμα S.P.S.S. για της ομάδες Β Λυκείου, Γ Λυκείου και Τριτοβάθμιας. Ο διαχωρισμός των ερωτήσεων έγινε σε ερωτήσεις που αφορούσαν τα χαρακτηριστικά και τις αντιλήψεις για την αναγκαιότητα και τη σημαντικότητα των Μαθηματικών, τις μαθηματικές γνώσεις του δείγματος, τις αντιλήψεις τους για την βελτίωση της διδακτικής 13

διαδικασίας και τις απαντήσεις των φοιτητών και φοιτητριών σε ανοιχτές ερωτήσεις γύρω από τα Μαθηματικά. Στο τέλος του κεφαλαίου ακολουθούν τα συμπεράσματα και οι προτάσεις βάση των αποτελεσμάτων της έρευνας. Ανακεφαλαιώνοντας, η παρούσα εργασία έχει ως στόχο να ανιχνεύσει το λόγο που οι φοιτητές και οι φοιτήτριες του Μαθηματικού επέλεξαν να ερευνήσουν και να εμβαθύνουν στα Μαθηματικά, με σκοπό να χρησιμοποιηθούν αυτές οι πληροφορίες στο να βελτιωθεί η εκπαιδευτική διαδικασία και για τους υπόλοιπους μαθητές και μαθήτριες, κάνοντας τους να βελτιωθούν και να αγαπήσουν τα Μαθηματικά, καθώς και να ανιχνεύσει τις αδυναμίες του συστήματος διδασκαλίας που αντιμετώπισαν οι ίδιοι και οι ίδιες κατά την μαθητική τους πορεία. 14

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Η δημιουργία των στάσεων κατά τους Cobb, Yackel, & Yood (1989), Hart, & Walker (1993) ξεκινά από τα πρώτα χρόνια της ζωής μας. Συγκεκριμένα, όταν το παιδί ξεκινά να ασχολείται με τις πρώτες μαθηματικές έννοιες, έχει ήδη δημιουργήσει ένα πλέγμα πεποιθήσεων και στάσεων για τα Μαθηματικά, που αποτελεί το περιβάλλον μέσα στο οποίο καλείται να εργασθεί. Οι άδηλες αυτές πεποιθήσεις και στάσεις έχουν δημιουργηθεί από το οικογενειακό και κοινωνικό περιβάλλον του παιδιού, όπου, κατά την ενασχόληση του με τα Μαθηματικά, σε όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες αναπτύσσονται νέες πεποιθήσεις και στάσεις (Φιλίππου, & Χρίστου, 2001). Παρακάτω θα αναλύσουμε τη σημασία των πεποιθήσεων και των στάσεων μέσα από διάφορους ορισμούς που έχουν διατυπωθεί. 1.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πεποιθήσεις (Beliefs) Για τις πεποιθήσεις (ή τα πιστεύω) ενός ατόμου δεν υπάρχει κάποιος κοινά αποδεκτός ορισμός. Όμως, είναι ευρέως αποδεκτό πως οι πεποιθήσεις είναι ατομικές, προσωπικές γνώσεις, θεωρίες και ιδέες, που σχηματίζει κανείς για υποκειμενικούς λόγους (Καπετανάς, 2016). Σύμφωνα με τον Mc Leod (1992) «οι πεποιθήσεις είναι στη φύση τους κυρίως γνωστικές και αναπτύσσονται μέσα σε μεγάλες χρονικές περιόδους». Παρακάτω περιγράφονται προσπάθειες ανάλυσης της εννοιολογικής σημασίας των πεποιθήσεων: Οι πεποιθήσεις αφορούν την απόδοση κάποιου είδους εξωτερικής αλήθειας ή επικύρωσης σε συστήματα προτάσεων ή άλλων γνωστικών μορφών. Η Presmeg (2001, σελ.293) αναφέρει ότι, ο Cooney (1999) ισχυρίζεται, πως μία πεποίθηση «είναι ένα σύνολο από τρόπους να κάνει κανείς διάφορα πράγματα, κάτω από διάφορες περιστάσεις». Σύμφωνα με τους Φιλίππου και Χρίστου (2001,σελ. 33,34), τα πιστεύω ή οι πεποιθήσεις ενός ατόμου ορίζονται ως οι υποκειμενικές του γνώσεις, θεωρίες και αντιλήψεις, στις οποίες καταλήγει για λόγους υποκειμενικούς και κατά κανόνα υποσυνείδητους. Είναι συμπεράσματα μερικώς λογικά, αλλά έχουν και 15

συναισθηματική συνιστώσα, οπότε δεν επιδέχονται αντικειμενική αιτιολόγηση ή απόδειξη. Η σημασία τους είναι μεγάλη, γιατί καθορίζουν τη συμπεριφορά του ατόμου. Κατά τον Goldin (2002) οι πεποιθήσεις ορίζονται ως «οι πολλαπλά κωδικοποιημένες γνωστικές συναισθηματικές μορφές, που συνήθως συμπεριλαμβάνουν κωδικοποίηση προτάσεων, στις οποίες το άτομο αποδίδει κάποιο είδος αλήθειας». Οι πεποιθήσεις όμως έχουν χωριστεί σε ορισμένα είδη (Hofer, & Pintrich, 1997; Conley et al., 2004; Trautwein, & Ludkte, 2007; Beghetto, & Baxter, 2012). Αρχικά χωρίζονται σε τρία είδη πεποιθήσεων: 1. Οι επιστημολογικές πεποιθήσεις Στις οποίες οι μαθητές και οι μαθήτριες με υποκειμενικές θεωρίες αναπτύσσουν τη δομή και τα όρια της γνώσης, καθώς και σχετικά με τη φύση της κατάκτησης της γνώσης. 2. Οι πεποιθήσεις βεβαιότητας Σχετίζονται με τη φύση της γνώσης σε ένα συγκεκριμένο πεδίο. Συγκεκριμένα, οι πεποιθήσεις αυτές συνδέονται με το εάν η γνώση σε ένα συγκεκριμένο πεδίο θεωρείται σταθερή, προκαθορισμένη και δεν επιδέχεται μεταβολές. 3. Οι πεποιθήσεις για τις πηγές Αφορούν στην φύση της μάθησης σε ένα συγκεκριμένο πεδίο. Κατά τον Goldin (2002) υπάρχουν άλλες δύο: 4. Η δομή πεποιθήσεων «Δομή πεποιθήσεων είναι ένα σύνολο αμοιβαίως ενισχυόμενων, ή αλληλοϋποστηριζόμενων πεποιθήσεων και παραδοχών του ατόμου, που είναι κυρίως γνωσιακές, αλλά που συχνά εμπεριέχουν επικουρικά συναισθήματα» (Goldin, 2002) 5. Το σύστημα πεποιθήσεων (Σύμφωνα με τους Jin et al. (2010), τα συστήματα πεποιθήσεων των σπουδαστών, ειδικά για τα Μαθηματικά, περιέχουν τις πεποιθήσεις για τα Μαθηματικά, τη μάθηση και τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Επίσης δεν είναι σταθερά καθώς μπορούν να αλλάξουν.) Παραδείγματα Το γινόμενο δύο αριθμών μας δίνει πάντα μεγαλύτερο αριθμό ως αποτέλεσμα. (Επιστημολογική πεποίθηση) Η πίστη των σπουδαστών για το ότι οι επιστημονικές θεωρίες και τα αποτελέσματα είναι σταθερά, βέβαια και αληθινά. (Πεποίθηση βεβαιότητας) 16

Τα Μαθηματικά είναι δύσκολα. (Πεποίθηση για τις πηγές) Τα Μαθηματικά που διδαχτήκαμε πέρυσι ήταν δύσκολα. Άρα, θα είναι και φέτος. (Δομή πεποιθήσεων) Δεν είμαι αρκετά ικανός/ή, για να γράψω καλά στο διαγώνισμα Μαθηματικών. (Συστήματα πεποιθήσεων) Στάσεις (Attitudes) Λόγω των πεποιθήσεων που αποκτούν τα άτομα, αναπτύσσουν διάφορα στερεότυπα ή μοντέλα συμπεριφοράς, που σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο αντικείμενο. Τα στερεότυπα αυτά ονομάζονται στάσεις απέναντι στο συγκεκριμένο αντικείμενο. Κατά τον Mc Leod (1989,1992), οι στάσεις είναι αντιδράσεις των ατόμων, που οφείλονται σε αρνητικά ή θετικά συναισθήματα μέτριας έντασης και επαρκούς σταθερότητας. Οι στάσεις περιγράφουν θέσεις ή προδιαθέσεις σε σχέση με συγκεκριμένα συναισθήματα που προκαλούνται από ιδιαίτερα μαθηματικά περιβάλλοντα. Οι πεποιθήσεις των μαθητών οδηγούν στη διαμόρφωση κάποιων στάσεων απέναντι στα Μαθηματικά, δηλαδή στερεοτύπων συμπεριφοράς κατά την ενασχόληση τους με μαθηματικές δραστηριότητες. Αυτές μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές. Παραδείγματα Αγαπώ τα Μαθηματικά. Φοβάμαι την Γεωμετρία. Μισώ την Ιστορία. Άποψη Ο τρόπος με τον οποίο αντιλαμβάνεται, κρίνει και αντιμετωπίζει κάποιος ένα γεγονός, μια κατάσταση, ένα φαινόμενο, η γνώμη που έχει σχετικά με αυτά. (el.wikiquote.org) Παραδείγματα Η μέθοδος της απαλοιφής στην επίλυση συστημάτων είναι πιο δύσκολη από την μέθοδο αντικατάσταση. Τα Μαθηματικά είναι εύκολα. 17

Επάρκεια (sufficiency) Η απαραίτητη γνώση ενός αντικειμένου (π.χ. επιστημονικού ή επαγγελματικού) για την κάλυψη συγκεκριμένων αναγκών που κρίνεται ότι μπορεί να ανταποκριθεί ικανοποιητικά σε συγκεκριμένες ανάγκες ή απαιτήσεις. (el.wiktionary.org) Παραδείγματα Οι γνώσεις του κρίθηκαν επαρκείς,για να παρακολουθήσει το μάθημα. Επίσημη αναγνώριση (συνήθως κατόπιν εξετάσεων) ότι οι σπουδές κάποιου κρίνονται επαρκείς, δηλαδή ότι αρκούν, για να του δοθεί από το ελληνικό κράτος, βεβαίωση ότι κατέχει τον επιστημονικό τομέα του στον απαιτούμενο βαθμό. Αυτογνωσία (self knowledge) Η αυτογνωσία εμπεριέχει μια σαφή αντίληψη της προσωπικότητάς μας. Είναι αυτή η διαδικασία που περιλαμβάνει την αναγνώριση των δυνατών και αδύναμων σημείων μας, τις σκέψεις μας, τις ιδέες μας, τις πεποιθήσεις μας, τα κίνητρα και τα συναισθήματα μας. (Τσεκούρα) Παραδείγματα Δεν τα πήγα καλά στο διαγώνισμα, γιατί δεν είχα καταλάβει καλά την θεωρία του δεύτερου κεφαλαίου. Η άσκηση που έλυσα είναι σωστή. 1.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Στη συνέχεια θα γίνει αναφορά στην έννοια του προβλήματος, καθώς η επεξήγηση του παραλείπεται από τα Μαθηματικά τμήματα αλλά είναι χρήσιμη για τους/τις ενασχολούμενους/ες με την διδακτική. Είναι μία έννοια που συναντάμε συνέχεια στην Πρωτοβάθμια εκπαίδευση, αλλά στην Δευτεροβάθμια παίρνει άλλες μορφές από τις μέχρι τότε γνώριμες, με αποτέλεσμα να γίνεται σύγχυση των κατηγοριών ασκήσεων και των στρατηγικών επίλυσης τους. 18

1.2.1 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ «ΠΡΟΒΛΗΜΑ» Στα Μαθηματικά, όταν ένας μαθητής ή μία μαθήτρια καλείται να απαντήσει σε μία ερώτηση, αλλά δεν υπάρχει προφανής τρόπος για να φτάσει στη λύση, τότε αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα. Όπως αναφέρει ο Τουμάσης (2004: 216) «Ιδιαίτερα, μια προβληματική κατάσταση είναι διαφορετική από αυτές που έχει συναντήσει μέχρι και επιλέξει κάποιος στο παρελθόν και δεν υπάρχει ένας έτοιμος αλγόριθμος, μία τεχνική ή μια προφανής στρατηγική την οποία να μπορεί να χρησιμοποιήσει για να φτάσει σε μια λύση. Επομένως, το εάν μια κατάσταση μπορεί να χαρακτηριστεί ως πρόβλημα, εξαρτάται από το μαθηματικό υπόβαθρο του κάθε μαθητή.» Από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα, στα προγράμματα των σχολικών Μαθηματικών, από τις πρώτες τάξεις του δημοτικού έως και του πανεπιστημίου, έχουν κεντρική θέση τα προβλήματα, αλλά δεν συμβαίνει το ίδιο και με την διαδικασία επίλυσης προβλήματος (problem solving). Ωστόσο, τα τελευταία χρόνια οι διδάσκοντες των Μαθηματικών έδωσαν ιδιαίτερη βαρύτητα στην ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων (Τουμάσης, 2002).Ο όρος αυτός έχει γίνει ένα σύνθημα, το οποίο ενσωματώνει διαφορετικές απόψεις για το ρόλο της εκπαίδευσης, του σχολείου των μαθηματικών, καθώς και όσον αφορά στον λόγο για τον οποίο θα έπρεπε να διδάσκουμε μαθηματικά γενικότερα και τεχνικές επίλυσης προβλημάτων ειδικότερα (Stanik & Kilpatrick 1989). Αρχικά, οι τρεις βασικές ερμηνείες που δόθηκαν στον όρο «επίλυση προβλήματος» περιλαμβάνουν τον σκοπό, την διαδικασία και τη βασική δεξιότητα (Branca 1998). Σκοπός Όταν θεωρούμε ως σκοπό την επίλυση προβλημάτων, τότε ο σκοπός είναι ανεξάρτητος από ειδικά προβλήματα, διαδικασίες ή μεθόδους, καθώς επίσης και από το μαθηματικό περιεχόμενο. Με βάση αυτήν την άποψη, ο πραγματικός λόγος που διδάσκονται τα μαθηματικά, είναι ότι συνιστούν ένα ωφέλιμο και χρήσιμο μάθημα, επειδή βοηθάει την επίλυση πολλών και διαφορετικών ειδών προβλημάτων. Τα Μαθηματικά θεωρούνται ως μέσο για την καλλιέργεια και εξάσκηση των ικανοτήτων επίλυσης προβλημάτων. Γι αυτόν το λόγο, εξάλλου, υποστηρίζεται ότι η επίλυση προβλημάτων βρίσκεται στην καρδιά κάθε μαθηματικής δραστηριότητας (Begle 1979, p. 143, Halmos 1980). Διαδικασία Η δεύτερη σημασία που δόθηκε προέρχεται από την ερμηνεία του όρου ως μία δυναμική, συνεχή διαδικασία μία διαδικασία εφαρμογής προγενέστερων γνώσεων σε νέες και πρωτόγνωρες καταστάσεις. Η ερμηνεία αυτή αφορά κυρίως στη διάκριση των απαντήσεων που δίνουν οι μαθητές και οι μαθήτριες σε ένα πρόβλημα και στις τεχνικές ή τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν για να καταλήξουν σε αυτήν την 19

απάντηση. Σύμφωνα με αυτήν την ερμηνεία, αυτό που θεωρείται σπουδαίο είναι οι μέθοδοι, οι διαδικασίες, οι στρατηγικές και οι ευρετικές (δηλ. στρατηγικές, μεθόδους ή συνήθειες που τους βοηθούν) που χρησιμοποιούν οι μαθητές και οι μαθήτριες για να λύσουν κάποια προβλήματα. Βασική δεξιότητα Η τρίτη σημασία εκπορεύεται από την ερμηνεία του όρου ως μία βασική δεξιότητα, που πρέπει να αποκτήσουν όλοι οι μαθητές και όλες οι μαθήτριες στο πλαίσιο του μαθήματος των Μαθηματικών, έτσι ώστε να μπορούν να γίνουν ικανοί και αποτελεσματικοί πολίτες. 20

1.2.2 ΒΑΣΙΚΟΤΕΡΑ ΣΤΑΔΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ (Polya 1962, 1965, Schoenfeld 1980,1985) 1 ο Ανάλυση και κατανόηση του προβλήματος Φτιάξε, εάν γίνεται, ένα διάγραμμα Μελέτησε ειδικές περιπτώσεις για α) να εξηγήσεις το πρόβλημα β) να εξερευνήσεις την έκταση των δυνατοτήτων μέσα από οριακές περιπτώσεις γ) να βρεις επαγωγικά πρότυπα, δίνοντας στις ακέραιες παραμέτρους τις τιμές 1,2,3,... 2 ο Σχεδιασμός ενός πλάνου επίλυσης του προβλήματος Σχεδίασε ιεραρχικά κάποιες λύσεις Να είσαι σε θέση να εξηγήσεις σε κάθε φάση της λύσης, τι κάνεις και γιατί το κάνεις.ποιός είναι ο στόχος που προσπαθείς να υλοποιήσεις. 3 ο Εξερεύνηση λύσεων σε δύσκολα προβλήματα Μελέτησε μια ποικιλία ισοδύναμων προβλημάτων: α) Αντικατάστησε ορισμένες συνθήκες με άλλες ισοδύναμες β) Συνδύασε ορισμένα στοιχεία του προβλήματος με διαφορετικούς τρόπους γ) Εισάγε βοηθητικά στοιχεία δ) Επαναδιατύπωσε το πρόβλημα, αλλάζοντας την προοπτική του ή θεωρώντας αρχικά μια λύση και προσπαθώντας να καθορίσεις τις ιδιότητες που πρέπει να έχει Μελέτησε μικρές τροποποιήσεις του αρχικού προβλήματος α) Θέσε υποσκοπούς και προσπάθησε να τους υλοποιήσεις β) Χώρισε το πρόβλημα σε μικρά τμήματα και προσπάθησε να εργαστείς χωριστά στα επιμέρους μέρη Μελέτησε ευρέστερες τροποποιήσεις του αρχικού προβλήματος α) Μελέτησε ανάλογα προβλήματα λιγότερο πολύπλοκα β) Εξερεύνησε τον ρόλο μίας μόνο μεταβλητής ή συνθήκης, θεωρώντας τις υπόλοιπες σταθερές γ) Αξιοποίησε κάθε πρόβλημα που έχει παρόμοια μορφή, δεδομένα, ή συμπεράσματα και προσπάθησε να μεταφέρεις το αποτέλεσμα ή τη μέθοδο σε άλλες καταστάσεις 4 ο Επιβεβαίωση της λύσης Έλεγξε τα εξής: α) Χρησιμοποιήθηκαν όλα τα δεδομένα; β) Το αποτέλεσμα εκτιμάται λογικό; γ) Μπορεί να βρεθεί με διαφορετικό τρόπο; δ) Ανάγεται σε γνωστά αποτελέσματα; ε) Μπορεί να επεκταθεί και να δημιουργηθεί κάτι το οποίο είναι ήδη γνωστό; 21

1.3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΦΟΒΙΑ Για την παρούσα μελέτη των στάσεων και των πεποιθήσεων είναι βασικό να γνωρίζουμε και να κατανοήσουμε τους λόγους για τους οποίους οι μαθητές και οι μαθήτριες εμφανίζουν αρνητικά συναισθήματα προς τα Μαθηματικά. Στη συνέχεια, θα δοθούν βασικοί ορισμοί της μαθηματικοφοβίας. Οι στάσεις και τα συναισθήματα που διαμορφώνουν οι μαθητές/τριες για τα Μαθηματικά επηρεάζουν όλη τη διαδικασία διδασκαλίας μάθησης (Zaslavsky, 1994). Μια από τις πιο διαδεδομένες απόψεις γύρω από το μάθημα των μαθηματικών είναι αυτή που αφορά στη δυσκολία και στο αίσθημα δυσφορίας ή απέχθειας που αυτό προκαλεί. Ένα, επίσης, από τα πιο συνηθισμένα συναισθήματα των μαθητών σχετικά με τα Μαθηματικά, το οποίο επιδρά αρνητικά στις επιδόσεις τους, είναι η λεγόμενη μαθηματικοφοβία. Με τον όρο αυτό εννοείται η δυσφορία, η ένταση, η ανησυχία, το άγχος και τελικά ο φόβος που νιώθουν τα παιδιά, όταν ασχολούνται με το μαθηματικό αντικείμενο (Richardson & Suinn, 1972. Tobias, 1993). Τα βασικότερα αίτια της μαθηματικοφοβίας Η μαθηματικοφοβία δεν οφείλεται σε παθολογικούς παράγοντες, όπως η δυσλεξία, ή η δυσαριθμησία, αλλά οφείλετε, κυρίως, σε εξωτερικά αίτια και προκαλείται από οποιεσδήποτε αρνητικές ή τραυματικές εμπειρίες των μαθητών και μαθητριών στα Μαθηματικά. Αποτελεί ένα πολύπλοκο φαινόμενο και είναι το αποτέλεσμα πολλών παραγόντων, οι οποίοι επηρεάζουν όλο το φάσμα της διδασκαλίας και μάθησης των Μαθηματικών. Οι παράγοντες που ευθύνονται για τα αρνητικά συναισθήματα της μαθηματικοφοβίας και αποτελούν τις πιθανότερες αιτίες που την προκαλούν (Buxton, 1981 Gliner, 1987. Greenwood, 1984. Hembree, 1990 Michell & Collins, 1991 Wigfield & Meece, 1988) είναι οι εξής: 1. H σειρά των εννοιών και η παραγωγική ανάπτυξη τους, προξενεί ένταση στα παιδιά και δυσκολεύει τη μαθησιακή διαδικασία σε περίπτωση δημιουργίας κενών. Τα μαθηματικά από τη φύση τους διακρίνονται από τη συνοχή και τη συνεκτικότητά τους. Όλες οι μαθηματικές έννοιες βασίζονται στις προηγούμενες τους. Δεν υπάρχουν ανεξάρτητες ενότητες. Αντίθετα, όλα συνδέονται μεταξύ τους με έναν αυστηρά ιεραρχικό τρόπο. 2. Η μαθηματική γλώσσα, απέχει πολύ από τη φυσική καθημερινή γλώσσα. Η ειδική ορολογία των μαθηματικών και τα αφηρημένα σύμβολα δυσκολεύουν τους μαθητές και τις μαθήτριες να κατακτήσουν τις διάφορες έννοιες. 22

3. Η αυστηρότητα, η τυποποίηση και η αξιωματική παραγωγική ανάπτυξη του περιεχομένου. Ο φορμαλιστικός τρόπος προσέγγισης της μαθηματικής γνώσης οδηγεί στην εντύπωση ότι τα Μαθηματικά είναι ένα σύνολο αυστηρά διατυπωμένων κανόνων που τους επιβάλλονται. 4. Η χρησιμότητα που έχουν τα μαθηματικά σε πάρα πολλούς τομείς της ζωής μας και η συνειδητοποίηση της αναγκαιότητάς τους ως ένα ισχυρό επαγγελματικό εφόδιο, τους προκαλεί έντονο άγχος. 5. Οι διάφορες προκαταλήψεις, όπως π.χ. ότι κάποιοι γεννιούνται με ειδικές μαθηματικές δυνατότητες, ενώ οι άλλοι δεν μπορούν να τις αποκτήσουν, ότι τα μαθηματικά είναι για λίγους προικισμένους από τη φύση και λοιπά. Οι προκαταλήψεις αυτές έχουν τις ρίζες τους στην αρχαιότητα. Πάνω από την πόρτα της Ακαδημίας του Πλάτωνα (427π.Χ.-347π.Χ.) ήταν γραμμένη η φράση: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω». Ο ίδιος, επίσης, στην Πολιτεία του αναφέρει: «Ταύτα δε (Μαθηματικά), σύμπαντα ουχ ως ακριβείας εχόμενα δει διαπονείν τους πολλούς αλλά τινάς ολίγους». Τα μαθηματικά από εκείνη ήδη τη εποχή προορίζονταν για τους λίγους και εκλεκτούς του πνεύματος. Αυτή η απαγορευτική αντίληψη για το μάθημα έχει διαπεράσει τις κοινωνίες μέχρι τις μέρες μας. Πάνω από 2500 χρόνια, από την αρχαία εποχή των κλασικών χρόνων μέχρι τις μέρες μας στην αυγή της τρίτης χιλιετίας, οι κοινοί θνητοί περνάνε αυτό το φόβο στα παιδιά τους: τα μαθηματικά είναι το δύσκολο, το ακατόρθωτο, το φοβερό. 6. Η κακή διδασκαλία των Μαθηματικών, η οποία στηρίζεται στην απομνημόνευση και αποστήθιση και όχι στην κατανόηση μέσω της ενεργητικής συμμετοχής των μαθητών/τριών στη διαδικασία ανακάλυψης και κατασκευής της μαθηματικής γνώσης. 7. Η διαστροφή της διαδικασίας αξιολόγησης με την καλλιέργεια της ασκησιομανίας, της τεστομανίας και της βαθμοθηρίας. 8. Η μοναδικότητα της προσωπικότητας του κάθε ατόμου. Υπάρχουν άτομα, τα οποία από τη φύση τους μπορούν και πειθαρχούν σε κανόνες και διαδικασίες, γεγονός που τους βοηθάει πολύ στη μάθηση των μαθηματικών. Από την άλλη πλευρά, υπάρχουν άτομα, τα οποία αντιδρούν έντονα στην επιβολή κανόνων, με αποτέλεσμα να νιώθουν μια αποστροφή για τα μαθηματικά. 9. Αρνητικές στάσεις και συμπεριφορές των γονέων απέναντι στα μαθηματικά, που τις μεταδίδουν και στα παιδιά τους. 23

10. Αρνητικές στάσεις των δασκάλων απέναντι στα Μαθηματικά. 11. Οι μαθητές και οι μαθήτριες μαθαίνουν με διαφορετικούς τρόπους. Η διδασκαλία τις περισσότερες φορές δεν προσαρμόζεται στη μαθησιακή ιδιαιτερότητα των μαθητών/τριών. 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ Καθίσταται απαραίτητο για τους/τις εκπαιδευτικούς, καθώς και για αυτούς/ές με ενδιαφέρον στην διδασκαλία των Μαθηματικών, να γνωρίζουν την διαδικασία με την οποία ένα άτομο μαθαίνει Μαθηματικά, αλλά και τις αιτίες που συχνά δημιουργούνται προβλήματα στην κατανόηση τους. Κατά την προσπάθεια να διαγνωστούν οι δυσκολίες των μαθητών και μαθητριών κατά την μάθηση των Μαθηματικών, πραγματοποιήθηκαν πολλές έρευνες με σκοπό να πραγματοποιηθεί επιστημολογική μελέτη των μαθηματικών εννοιών, να αξιολογηθεί η μάθηση, η διδασκαλία και τα υλικά από τη σκοπιά της κατασκευής των μαθηματικών γνώσεων και να επεξεργαστούν τα σχέδια διδασκαλίας. Κατά την προσπάθεια να επιλυθεί ένα μεγάλο εύρος προβλημάτων που παρουσιάστηκαν στην κατανόηση και την Διδακτική των Μαθηματικών, πραγματοποιήθηκαν έρευνες οι οποίες είχαν ως αποτέλεσμα να αναπτυχθούν νέες έννοιες. Δύο σημαντικές από αυτές ήταν αυτή του επιστημολογικού εμποδίου και του διδακτικού συμβολαίου (A. Sierpinska 1991). Κρίνεται, λοιπόν, αναγκαία η εξοικείωση κάθε εκπαιδευτικού με τους όρους τόσο για την κατανόηση της συγκεκριμένης εργασίας όσο και για τις διδακτικές τους διαδικασίες. 2.1 ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΟ ΕΜΠΟΔΙΟ Η έννοια του επιστημονικού ή γνωστικού εμποδίου αποτέλεσε ένα σημείο αναφοράς και ένα σημαντικό θεωρητικό εργαλείο σε πολλές έρευνες της Διδακτικής των Μαθηματικών. Πρόκειται για μία γνώση που λειτουργεί μόνο σε ένα σύνολο καταστάσεων και μόνο για ορισμένες τιμές των μεταβλητών αυτών των καταστάσεων, ενώ στην προσπάθεια των μαθητών να εφαρμόσουν αυτή τη γνώση σε άλλες καταστάσεις ή με άλλες τιμές των μεταβλητών, προκαλούνται λάθη. Ο Tall (1989), όρισε ως γνωστικό εμπόδιο μία γνώση, που υπήρξε κάποτε εν γένει ικανοποιητική για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, με αποτέλεσμα να σταθεροποιηθεί στη σκέψη ενός σπουδαστή, αλλά στη συνέχεια αποδεικνύεται ανεπαρκής και δύσκολα προσαρμόσιμη, όταν ο σπουδαστής βρίσκεται αντιμέτωπος με νέα προβλήματα. Ο Balacheff (1991) σε συντομία, το διατύπωσε λίγο διαφορετικά. Χαρακτήρισε ως επιστημολογικό εμπόδιο, μια αυθεντική γνώση η οποία αντιστέκεται στην κατασκευή κάποιας νέας γνώσης, αλλά είναι τέτοια, ώστε η υπέρβαση αυτής της αντίστασης να αποτελεί μέρος μιας πλήρους κατανόησης της νέας γνώσης. Το επιστημολογικό εμπόδιο είναι μια σταθερή γνώση και η απόρριψη της στοιχίζει στους μαθητές περισσότερο από μία προσπάθεια να την προσαρμόσουν σε νέες καταστάσεις που ξεφεύγουν από το πεδίο 25

εγκυρότητας της που γνώριζαν μέχρι τότε. Ο Brousseau (1983) ανέφερε ότι το επιστημολογικό εμπόδιο μπορεί να ξεπεραστεί μόνο σε ειδικές καταστάσεις απόρριψης, τις διδακτικές καταστάσεις, και αυτή η απόρριψη είναι συστατικό στοιχείο της νέας γνώσης (Γαγάτσης, 1992) Μηχανισμοί που παράγουν εμπόδια Εσπευσμένη Γενίκευση Μηχανισμοί που Παράγουν Εμπόδια Εσπευσμένη Τυπική Ρύθμιση Προσήλωση σε μια Οικεία πλαισιοποίηση Μη Διαχωρισμός των Εννοιών σε ένα Δεδομένο Πλαίσιο ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1: ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΟΥΝ ΕΜΠΟΔΙΑ Εσπευσμένη γενίκευση Γενίκευση θεωρημάτων και κανόνων που κατασκευάζουν οι μαθητές στα πρώτα χρόνια της εκπαίδευσης τους. Παραδείγματα: o Ο πολλαπλασιασμός προκαλεί πάντοτε αύξηση. o Ο αριθμός με τα περισσότερα ψηφία είναι και ο μεγαλύτερος. Το 134 είναι μεγαλύτερο από το 34. Άρα και το 0,134 πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το 0,34. o Οι αριθμοί χρησιμοποιούνται για πράγματα που μπορούν να μετρηθούν. Άρα, ανάμεσα στο 0 και το 1 δεν υπάρχουν αριθμοί. o Όταν προσθέτεις αριθμούς, προσθέτεις όμοιας θέσης ψηφία. Αν 9 και 1 κάνει 10, τότε και 0,9 και 0,1 κάνει 0,10 Εσπευσμένη τυπική ρύθμιση Οι μαθητές τείνουν να μεταφέρουν ορισμένους αλγεβρικούς κανόνες που χρησιμοποιούν σε πεπερασμένα μεγέθη, σε άπειρα μεγέθη. Αυτή η διαδικασία έχει παρόμοια λογική με την εσπευσμένη γενίκευση, αλλά σε ένα πιο τυπικό πλαίσιο λειτουργίας. Παραδείγματα: + = + ή + = + 2 2 2 o ( ) o = 0 άρα f f = 0 Προσήλωση σε μια οικεία πλαισιοποίηση ή μοντελοποίηση Οι μαθητές εμφανίζουν συχνά προσκόλληση σε μία μη αυθόρμητη άποψη που έχει αποκτηθεί μέσα από τη διδασκαλία. Παραδείγματα: 26

Η προσκόλληση της έννοιας του αριθμού σε αυτήν του μεγέθους, με αποτέλεσμα ο μαθητής να δυσκολεύεται να κατανοήσει την έννοια των αρνητικών αριθμών. Την μοντελοποίηση των αριθμών ως ζημιές (τους αρνητικούς) και κέρδη (τους θετικούς). O Tall αναφέρει περιπτώσεις που οι μαθητές, όταν διδάσκονται τον ολοκληρωτικό λογισμό, έχουν συχνά πρόβλημα σύνδεσης με προηγούμενες έννοιες που έμαθαν στις παραγώγους. dx dy dx Έτσι, μαθαίνουν τον κανόνα αλυσίδας στις παραγώγους = με επισήμανση ότι dy dz dz δεν πρέπει να «απλοποιούν» το dy,γιατί δεν έχει ξεχωριστό νόημα, ενώ αργότερα στο ολοκλήρωμα f ( y) dy το νόημα μεταλλάσσεται στο «ως προς y». Μη διαχωρισμός των εννοιών σε ένα δεδομένο πλαίσιο Οι μαθητές ταυτίζουν μία έννοια με ένα μέσο αναπαράστασης, με αποτέλεσμα να χειρίζονται διαφορετικές έννοιες με τον ίδιο τρόπο. Παραδείγματα: o Η υπόθεση ότι τα μήκη και τα εμβαδά μεταβάλλονται με τον ίδιο τρόπο. o Η ταύτιση της έννοιας της συνάρτησης με μία καμπύλη ή έναν αλγεβρικό τύπο. 2.2 ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ Στα πλαίσια της προσπάθειας να αναγνωριστούν τα λάθη και οι συμπεριφορές των μαθητών, η Διδακτική των Μαθητών το 1980 με αφορμή το διπλανό πρόβλημα, ανέπτυξε και την έννοια του «διδακτικού συμβολαίου», το οποίο ορίζεται ως ένα σιωπηρό και περιοριστικό είδος συμφωνίας ανάμεσα στο διδάσκοντα, το μαθητή και το γνωστικό αντικείμενο, πρόβλημα, άσκηση ή μαθηματική έννοια, και διακανονίζει τις μεταξύ τους σχέσεις. Το διδακτικό συμβόλαιο ορίζει τα δικαιώματα και τις υποχρεώσεις τόσο των μαθητών/τριών όσο και των εκπαιδευτικών. ΠΑΝΩ ΣΕ ΕΝΑ ΚΑΡΑΒΙ ΥΠΗΡΧΑΝ 26 ΠΡΟΒΑΤΑ ΚΑΙ 10 ΚΑΤΣΙΚΙΑ. ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΙΚΙΑ ΤΟΥ ΚΑΠΕΤΑΝΙΟΥ; 76 από τους 97 μαθητές σε ένα δημοτικό της Γαλλίας, έδωσαν απάντηση ΕΙΚΟΝΑ 2.2: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ο Brousseau (1984) διατυπώνει: Μέσα από τις επαναλαμβανόμενες διαπραγματεύσεις ανάμεσα στο δάσκαλο και τους μαθητές, καθορίζονται οι ρόλοι του καθενός, οι υποχρεώσεις και οι σχέσεις δύναμης. Ο καθηγητής σέβεται το συμβόλαιο κάνοντας μάθημα και δίνοντας ασκήσεις. Προσπαθεί να κάνει τους μαθητές να μάθουν αυτό που θέλει, αυτό που πρέπει. Είναι αυτός που τα ξέρει όλα και οδηγεί τους μαθητές στο να παράγουν την απάντηση τους χρησιμοποιώντας τις γνώσεις τους. Ο μαθητής σέβεται το συμβόλαιο, αν κάνει τις ασκήσεις, αν κάνει το μάθημα του. Προσπαθεί να καταλάβει αυτό που θέλει ο καθηγητής, να δώσει, δηλαδή, τις αναμενόμενες απαντήσεις. (Γαγάτσης, 1992) Ο Brousseau (1986) όρισε ως διδακτικό συμβόλαιο, μία σχέση που ορίζει, διατυπωμένο για ένα μικρό μέρος αλλά κυρίως αδιατύπωτο, αυτό του οποίου κάθε εταίρος, ο διδάσκων και ο διδασκόμενος, έχει την ευθύνη διαχείρισης και για το οποίο είναι υπεύθυνος απέναντι στον άλλο. Αυτό το σύστημα των αμοιβαίων υποχρεώσεων μοιάζει με συμβόλαιο. Εστιάζουμε στο διδακτικό συμβόλαιο, δηλαδή το μέρος αυτό του συμβολαίου που είναι αφιερωμένο στο περιεχόμενο της γνώσης. 27

Παράδοξα του διδακτικού συμβολαίου Ιδιαίτερη σημασία έχουν τα παράδοξα του διδακτικού συμβολαίου, όπως καταγράφονται από τους Brousseau, Sarrazy και Novotna (2014) στο άρθρο τους για το «Διδακτικό Συμβόλαιο στη Μαθηματική Εκπαίδευση» (Lerman, 2014). Ο εκπαιδευτικός προσπαθεί να διδάξει μία νέα γνώσει στους/στις μαθητές/τριες. Τα παράδοξα που εντοπίζουν στο διδακτικό συμβόλαιο παρατίθενται στη συνέχεια: Αρχικά, αυτή που καθορίζει τις παιδαγωγικές και ψυχολογικές σχέσεις είναι η συνήθεια, αλλά όχι αυτή που αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισμα στη νέα γνώση, καθώς χρειάζεται μια απροσδόκητη εμπειρία η οποία αποτελείται από την προϋπάρχουσα γνώση, που έχει σταδιακά τροποποιηθεί κι επεκταθεί, καθώς και από τα αντίκτυπα και τα αποτελέσματα που έχει. Επομένως, δεν είναι εφικτό να απορροφηθεί η νέα γνώση, μιας κι ο/η εκπαιδευτικός μπορεί να δεσμευτεί μόνο ως προς τις διαδικασίες που ακολουθεί προς την μετάδοσή της κι ο/η μαθητής/ρια από την πλευρά του δεν μπορεί να δεχθεί μια νέα διαδικασία από την οποία δεν γνωρίζει το βασικό μέρος. Το παράδοξο της εκχώρησης: ο εκπαιδευτικός έχει ως σκοπό οι γνώσεις του να κατακτηθούν από τους/τις μαθητές/τριες, κάτι το οποίο δεν μπορεί να γίνει, ούτε είναι στην ευχέρειά του. Το διδακτικό συμβόλαιο μπορεί να επιτευχθεί μόνο μέσω της ρήξης του κι ο/η μαθητής/ρια αναλαμβάνει την ευθύνη απέναντι σε αυτό, μόνο όταν αποδεσμευθεί από τον δάσκαλο. Το παράδοξο όσων λέγονται και δεν λέγονται (ρητά ή άρρητα) βρίσκεται σε όσα ο/η εκπαιδευτικός δεν λέει κι οι μαθητές/ριες ψάχνουν να βρουν. Το παράδοξο του δρώντος: ο/η δάσκαλος/α πρέπει να προσποιείται πως κι ο ίδιος παράλληλα με τους μαθητές ανακαλύπτει τη γνώση. Το παράδοξο της αβεβαιότητας: η γνώση κατακτάται πραγματικά, όταν επιτευχθεί η μείωση της αβεβαιότητας που έχει μια άγνωστη κατάσταση ή μια δραστηριότητα. Η αβεβαιότητα αποτελεί τροχοπέδη για την κατάκτηση της γνώσης κι είναι πιθανό, κατά την προσπάθεια κατάκτησής της, φαινομενικά να παρουσιαστεί (όπως είναι φυσιολογικό) μια σειρά λαθών. Η μείωση των λαθών, όμως, όταν είναι επιφανειακή, δεν προϋποθέτει την ορθή μάθηση και γνώση, αλλά θα πρέπει να αναζητηθεί ένας τρόπος, ώστε οι μαθητές να διαχειρίζονται σωστά τις καταστάσεις και τις γνώσεις με τις οποίες έρχονται σε επαφή. Για να αποκτηθεί σύνθετη κι εκτεταμένη γνώση, είναι πιθανόν να δημιουργηθούν επιστημολογικά και διδακτικά εμπόδια σε περιπτώσεις που η επίλυση κι αντιμετώπιση δραστηριοτήτων χρειάζονται βασικές κι απλές γνώσεις. Δεν είναι λίγες οι φορές που αναζητούν οι μαθητές/ριες σύνθετους τρόπους σκέψης και πολύπλοκες απαντήσεις σε δραστηριότητες απλές, που για την επίλυσή τους απαιτούνται βασικές και πρώιμες γνώσεις που έχουν αποκτήσει. Το παράδοξο της ρητορικής και των μαθηματικών. Οι εκπαιδευτικοί στην προσπάθειά τους να οργανώσουν τη σκέψη των μαθητών/ριών και να μεταδώσουν μαθηματικές γνώσεις, χρησιμοποιούν λεκτικούς συνδυασμούς, εικόνες κι άλλους τρόπους, ώστε να διευκολύνουν την επίλυση των καταστάσεων που καλούνται τα παιδιά να αντιμετωπίσουν. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι ο συνδυασμός συγκεκριμένων λέξεων με μαθηματικές πράξεις ή ακόμα η δομή μαθηματικών προβλημάτων (δεδομένα ζητούμενα) και ο τρόπος που ταξινομούνται οι πληροφορίες μέσα σε αυτό. Με τον τρόπο αυτό, τα παιδιά είναι ικανά να ανταποκριθούν επιτυχώς σε όσα καλούνται να αντιμετωπίσουν εκείνη τη στιγμή, χωρίς αυτό να εξασφαλίζει την κατανόηση και κατάκτηση της γνώσης, αφού συχνά, όταν αλλάζει ο τρόπος κι η μορφή ή δομή των δραστηριοτήτων, δεν καταφέρνουν να ανταποκριθούν σωστά. 28

Αδιδακτική κατάσταση «Το διδακτικό περιβάλλον στο οποίο η διαπραγμάτευση της γνώσης γίνεται στα πλαίσια του τρέχοντος διδακτικού συμβολαίου και στο οποίο θεωρείται ότι η μάθηση είναι προσαρμογή στην ήδη συγκροτημένη μαθηματική γνώση ή είναι προσαρμογή μιας υπό συγκρότηση μαθηματικής γνώσης στην διδακτική πρόθεση του διδάσκοντα όπου ο διδάσκων δίνει πληροφορίες και οδηγίες, βοηθάει με τεχνάσματα, καθιστά σαφές το τι περιμένει από τον/την μαθητή/ρια ονομάζεται διδακτική κατάσταση» (Brousseau, 1991) Η ρήξη των όρων του διδακτικού συμβολαίου οδηγεί συνήθως σε μια αδιδακτική κατάσταση. Αδιδακτική κατάσταση έχουμε, όταν οι μαθητές καλούνται να επιλύσουν κάποια προβλήματα των οποίων η επίλυση απαιτεί διαπραγμάτευση, ανακάλυψη νέων μεθόδων και νέων εννοιών. Η συμμέτοχή του διδάσκοντα στην περίπτωση αυτή πρέπει να είναι διαχειριστική και όχι παρεμβατική όσον αφορά στην παρουσίαση της λύσης, δηλαδή ο/η διδάσκων «αρνείται να παρέμβει ως πρόσωπο που προτείνει τις γνώσεις που θέλει να δει να εμφανίζονται» (Brousseau, 1991, σελ. 75) και όσον αφορά στη χρησιμοποίηση ενδείξεων που μπορεί να οδηγήσουν στη λύση: ο/η διδάσκων «πρέπει ακατάπαυστα να βοηθά τον/την μαθητή/ρια να απογυμνώσει όσο γίνεται την κατάσταση από όλα τα διδακτικά τεχνάσματα για να του αφήσει την προσωπική και αντικειμενική γνώση» (Brousseau, 1991, σελ. 76) Έπειτα από την ανακάλυψη των νέων στοιχείων της μαθηματικής γνώσης, ο/η διδάσκων αναλαμβάνει ενεργό ρόλο στην επισημοποίηση της καινούριας γνώσης ως μαθηματική γνώση. Για να λειτουργήσει η αδιδακτική κατάσταση ο/η διδάσκων πρέπει να καταφέρει να φέρει το πρόβλημα αρκετά κοντά στις γνώσεις και τα ενδιαφέροντα των παιδιών, ώστε αυτά να ανταποκριθούν αυθόρμητα. Επίσης, πρέπει να υπάρχει δυνατότητα ελέγχου της εγκυρότητας ή μη των προτεινόμενων λύσεων. Θεωρείται απαραίτητο (όπου θεωρείτε δυνατόν) να διαπραγματεύεται η γνώση των παιδιών μέσω των αδιδακτικών καταστάσεων, για να διευθετηθούν παρανοήσεις και δυσκολίες. Ακόμα, δίνεται η δυνατότητα στον/την διδάσκοντα να ανακαλύψει τις πραγματικές αντιλήψεις των παιδιών και το νόημα που έχουν αποκτήσει γι αυτά οι διάφορες έννοιες και διαδικασίες που έχουν διδαχθεί. 29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΘΕΩΡΙΕΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Στο παρόν κεφάλαιο θα σημειωθούν η θεωρία APOS και οι τρεις κόσμοι των Μαθηματικών, θεωρίες απαραίτητες για την μάθηση και τη διδασκαλία των Μαθηματικών,διότι μέσω αυτών γίνεται κατανοητή η πορεία μάθησης. Η γνώση τους βοηθάει στην καλύτερη δόμηση της διδασκαλίας νέων εννοιών ή της μετάπλασης ήδη κατεκτημένων γνώσεων (η έννοια της μετάπλασης αναλύεται στο κεφάλαιο 5). Πολλοί ερευνητές, ερευνήτριες και εκπαιδευτικοί κατά την πάροδο των χρόνων, αναρωτιούνται πώς ξεκινάει το ανθρώπινο μυαλό να μαθαίνει και να εξελίσσει τις μαθηματικές γνώσεις. Ωστόσο, η πρώτη διεθνής συνεδρίαση για την Εκπαίδευση των Μαθηματικών πραγματοποιήθηκε το 1968. Στις αρχές του 20 ου αιώνα πίστευαν πως το να μαθαίνεις Μαθηματικά βασιζόταν κυρίως σε πολλές επαναλήψεις και λύσεις ασκήσεων, έτσι ώστε να γίνουν συνήθεια. Αυτή η πεποίθηση είχε ως αποτέλεσμα την φράση που όλοι γνωρίζουμε «επανάληψη μήτηρ μαθήσεως». Όμως, η επανάληψη μπορεί να είναι μηχανική ή εξωγενής, παραδείγματος χάρη μέσα από την επανάληψη μπορεί ένα άτομο να μάθει να βρίσκει παραγώγους περίπλοκων συναρτήσεων, όμως αυτό δεν εξασφαλίζει ότι θα γνωρίζει την χρησιμότητα της παραγώγου. 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ APOS Μία πολύ ενδιαφέρουσα θεωρία που αναπτύχθηκε σχετικά με την μάθηση είναι η θεωρία APOS, η οποία προήλθε από την θεωρία της αντανακλαστικής αφαίρεσης (Reflective Abstraction Applied to Undergraduate Mathematics, Piaget (1985)) που εφαρμόστηκε στα προπτυχιακά μαθηματικά. Η αντανακλαστική αφαίρεση μπορεί να θεωρηθεί σε δύο επίπεδα: Το πρώτο επίπεδο, η αντανάκλαση (reflection), περιγράφεται ως η διαδικασία της στοχαστικής σκέψης και των λειτουργιών που απαιτούνται, για να μεταφερθεί μία νέα γνώση από ένα κατώτερο γνωστικό στάδιο σε ένα υψηλότερο στάδιο. Το δεύτερο επίπεδο, η αφαίρεση (abstraction), αποτελείται από την ανακατασκευή και την αναδιοργάνωση του περιεχομένου και τις λειτουργίες υψηλότερου επιπέδου, με αποτέλεσμα οι ίδιες πράξεις να γίνουν περιεχόμενο, στις οποίες μπορούν να εφαρμοστούν νέες λειτουργίες (Arnon et al., 2014). Η ιδέα αυτής της διαδικασίας είναι να παρθεί μία βασική ιδέα και να μετακινηθεί από ένα χαμηλό γνωστικό στάδιο σε ένα υψηλότερο, να γίνει δηλαδή αναδιάρθρωση της έννοιας, έτσι ώστε να είναι μία νέα, υψηλού επιπέδου, έννοια και έπειτα να επαναληφθεί η διαδικασία. Με αυτόν τον τρόπο, η γνώση συνεχώς κατασκευάζεται και ανακατασκευάζεται μέσω της αντανακλαστικής αφαίρεσης. 30

Με την βελτίωση και την εφαρμογή της αντανακλαστικής αφαίρεσης, λοιπόν, στα μαθηματικά, αναπτύχθηκε η θεωρία APOS, Action-Process-Object-Schema, (Δράση, Διαδικασία, Αντικείμενο, Σχήμα) (Ed Dubinsky (2002)). Action-Δράση καλούμε την δραστηριότητα του ατόμου, όταν μετατρέπει ξένα αντικείμενα, χρησιμοποιώντας βήμα προς βήμα οδηγίες σχετικά με τον τρόπο εκτέλεσης της διαδικασίας. Λαμβάνοντας υπόψη τη δράση, το άτομο μπορεί να εσωτερικοποιήσει τη δράση και να κάνει μια νοητική κατασκευή που ονομάζεται Process-Διαδικασία, όπου το άτομο μπορεί να εκτελέσει και να περιγράψει το μετασχηματισμό χωρίς εξωτερικά ερεθίσματα. Ένα Object-Αντικείμενο κατασκευάζεται, όταν το άτομο ενθυλακώνει τη διαδικασία ως σύνολο και μπορεί πλέον να πραγματοποιήσει μετασχηματισμούς σε αυτή. Τέλος, ένα Schema-Σχήμα είναι μία συλλογή ενεργειών, διαδικασιών, αντικειμένων και άλλων σχημάτων, ενός ατόμου, που συνδέονται από ορισμένες γενικές αρχές για τη διαμόρφωση ενός συνεκτικού πλαισίου στο μυαλό του ατόμου (Dubinsky & McDonald, 2002). Εξέταση παραδείγματος της εξέλιξης των μαθητών και μαθητριών στην κατανόηση των συναρτήσεων. Μια αντίληψη δράσης για τις συναρτήσεις θα δημιουργείται, όταν μία ξεχωριστή περίπτωση απαιτεί κάποιον εξωτερικό κανόνα. Για παράδειγμα στην f ( x) = 3x + 4 μπορούμε να βρούμε τις τιμές y που αντιστοιχούν για x = 1, x = 2 και x = 3 συνδέοντας αυτές τις συγκεκριμένες τιμές για το x στη δοσμένη εξίσωση. Καθώς εσωτερικοποιεί αυτές τις ενέργειες, ο μαθητής ή η μαθήτρια μπορεί να σκεφτεί, για παράδειγμα, ότι για τη δοσμένη συνάρτηση f ( x) = 3x + 4 παίρνουμε οποιαδήποτε τιμή x από το πεδίο ορισμού, το πολλαπλασιάζουμε με το 3 και προσθέτουμε 4,για να πάρουμε μία και μόνο μία τιμή από την περιοχή. Ο μαθητής ή η μαθήτρια δεν χρειάζεται να εκτελέσει αυτούς τους υπολογισμούς για ένα συγκεκριμένο x, αλλά μπορεί να φανταστεί αυτήν τη διαδικασία νοητικά. Όταν ένας μαθητής ή μία μαθήτρια μπορεί να σκεφτεί να μετασχηματίσει αυτή τη συνάρτηση με κάποιο τρόπο, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας τον κατά 3 ή προσθέτοντάς σε αυτόν έναν σταθερό αριθμό και μπορεί να περιγράψει τι θα συμβεί με τη συνάρτηση, να πει γραφικά (που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα y ή η μετατόπιση κατά μήκος του άξονα y, λέμε ότι αυτός έχει εγκλωβίσει την διαδικασία της συνάρτησης f ( x) = 3x + 4 σε ένα αντικείμενο. Ο μαθητής μπορεί τώρα να σκεφτεί νέες δράσεις που θα μπορούσαν να εφαρμοστούν σε αυτό και παρόμοιες λειτουργίες. Για παράδειγμα, εφαρμόζοντας την ίδια ενέργεια προσθήκης σε πραγματικούς αριθμούς σε νέα αντικείμενα και λειτουργίες, ο μαθητής μπορεί να προσθέσει συναρτήσεις f + g και έτσι να ενισχύσει το σχήμα των αλγεβρικών λειτουργιών, συνειδητοποιώντας ότι μπορούν να προστεθούν περισσότερα από αριθμούς. 31

Ενώ οι ενέργειες, οι διαδικασίες και τα αντικείμενα είναι ιεραρχικά, δεν είναι γραμμικά. Τα άτομα μπορεί να χρειαστούν να περάσουν μεταξύ πολλών ενεργειών και διαδικασιών, πριν μπορέσουμε να πούμε ότι έχουν αναπτύξει τη διαδικασία της σύλληψης μιας συγκεκριμένης μαθηματικής έννοιας. Αυτή η πορεία μεταξύ των ενεργειών, των διαδικασιών και των αντικειμένων που κατασκευάζονται, ποικίλλει ανάλογα με το άτομο και δείχνει πώς η παρακολούθηση της κατανόησης μιας έννοιας από ένα άτομο είναι μια πλούσια ποιοτική εμπειρία. Ένα από τα μεγαλύτερα πλεονεκτήματα της χρήσης της θεωρίας APOS είναι η ιδέα μιας γενετικής αποσύνθεσης, η οποία περιγράφει τις απαραίτητες κατασκευές που πρέπει να κάνουν οι σπουδαστές για να κατανοήσουν μια έννοια (Arnon et al., 2014). Μια γενετική αποσύνθεση κατασκευάζεται βάσει ιστορικής ανάλυσης, ανασκόπησης της βιβλιογραφίας και της αντίληψης της εκπαιδευτικής έννοιας. Αφού χτιστεί ή βρεθεί σε βιβλιογραφία, μια γενετική αποσύνθεση χρησιμοποιείται στη συνέχεια ως οδηγός για όλο το διδακτικό υλικό. Όμως, μια γενετική αποσύνθεση δεν χρειάζεται να είναι μοναδική, αν και θα πρέπει να περιγράφει αξιόπιστα την κατανόηση ενός γενικού μαθητή. Ακολουθεί ένα σχεδιάγραμμα που συνδιάζει την θεωρία APOS και την Εξεληγμένη Μαθηματική σκέψη του Tall (σχήμα από την εργασία του Tall (1999), Reflections on APOS theory in Elementary and Advanced Mathematical Thinking) ΕΙΚΟΝΑ 3.1: ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑΣ APOS ΚΑΙ ΕΞΕΛΗΓΜΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ TALL 32

3.1.1 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ PIAGET ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Τα στάδια για να αναπτυχθούν οι μαθηματικές δεξιότητες με βάση τον Ojose (2008) στη μελέτη του για την «Εφαρμογή της Θεωρίας του Piaget για τη Γνωστική Ανάπτυξη στη διδασκαλία των Μαθηματικών» : Αισθησιοκινητικό στάδιο (sensorimotor stage) Οι διανοητικές και γνωστικές δεξιότητες των παιδιών από την γέννησή τους μέχρι την εμφάνιση της γλώσσας. Στο συγκεκριμένο στάδιο, κατατάσσεται η εξελικτική κατάκτηση των σχημάτων στην οποία τα παιδιά είναι σε θέση να εντοπίζουν αντικείμενα που έχουν αλλάξει θέση ή αφαιρεθεί από το οπτικό τους πεδίο. Επιπλέον, σε αυτό το στάδιο είναι ικανά να συνδέουν αριθμούς με αντικείμενα και να εμφανίζουν δεξιότητες όπως αυτήν της κατανόησης εννοιών, μέτρηση και υπολογισμού. Οι εκπαιδευτικοί σε αυτό το επίπεδο καλούνται να δημιουργήσουν μια δυνατή βάση, εφαρμόζοντας δραστηριότητες που ενσωματώνουν υπολογισμούς και μετρήσεις, που ενισχύουν την νοητική κι εννοιολογική ανάπτυξη των αριθμών χρησιμοποιώντας παραδείγματα κι ερωτήσεις βασισμένες στην καθημερινότητα των ατόμων. Ο Ojose (2008) προτείνει, εκτός από τις ερωτήσεις αυτές, οι δάσκαλοι να χρησιμοποιούν εικόνες και βιβλία ανάλογα της ηλικίας των παιδιών, με σκοπό να τα καταστίσει ικανά να συνδέουν αριθμούς με αντικείμενα, ενώ, παράλληλα, να μπορούν να επωφεληθούν βλέποντας εικόνες αντικειμένων, να τις συνδέουν και να τις αντιστοιχούν ταυτόχρονα με αριθμούς. Στάδιο προ-λογικής νόησης (preoperational stage) Το στάδιο αυτό χαρακτηρίζεται από την βελτίωση της γλωσσικής ικανότητας, της συμβολικής σκέψης, την προσωπική προοπτική και την περιορισμένη λογική ικανότητα. Τα παιδιά πρέπει να έρχονται αντιμέτωπα με δραστηριότητες επίλυσης προβλημάτων (παραδείγματος χάρη με τουβλάκια κι άλλα φυσικά υλικά όπως άμμο ή νερό). Ο/Η δάσκαλος/α,κατά την επίλυση των συγκεκριμένων προβλημάτων, θα πρέπει να αποσκοπεί στη δημιουργία διαλόγου με τον/την μαθητή/τρια, καθώς η συζήτηση αυτή κι η αλληλεπίδραση με τα υλικά, χτίζουν μια βάση που επιτρέπει στον εκπαιδευτικό να διεξάγει συμπεράσματα που έχουν ως στόχο την εξέλιξη της σκέψης των παιδιών. Οι μαθητές/τριες σε αυτό το στάδιο περιορίζονται σε μια οπτική ή διαστατική αντίληψη ενός αντικειμένου εις βάρος των υπόλοιπων πλευρών τους. Η διδασκαλία των μαθητών/τριών σε αυτό το επίπεδο γνωστικής ανάπτυξης μπορεί να λειτουργήσει αποτελεσματικά στις ανησυχίες τους για τον χαρακτηρισμό των αντικειμένων. Εμπλέκοντας τα παιδιά σε συζητήσεις κι αλληλοεπιδρώντας μαζί τους, τα ωθεί ο εκπαιδευτικός στην ανακάλυψη πολλών νέων τρόπων ταξινόμησης των αντικειμένων, βοηθώντας τα να σκέφτονται ποσοτικά. Μια αποτελεσματική δραστηριότητα είναι η ταξινόμηση γεωμετρικών σχημάτων με βάση τις ιδιότητές τους κι ερωτήσεις που οδηγούν τον τρόπο δράσης των παιδιών. 33

Στάδιο της συγκεκριμένης λογικής σκέψης (concrete stage) Το στάδιο της συγκεκριμένης λογικής σκέψης αποτελείται από την σημαντική γνωστική εξέλιξη και ανάπτυξη των γλωσσικών δεξιοτήτων, καθώς και από την ραγδαία επιτάχυνση κι απόκτηση βασικών δεξιοτήτων. Τα παιδιά σε αυτό το στάδιο είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τις αισθήσεις τους με σκοπό να κατακτήσουν τη γνώση. Είναι πλέον ικανά να αντιληφθούν τις δύο ή τρεις διαστάσεις των αντικειμένων και να κατατάσσουν τα αντικείμενα σε κατηγορίες, ανάλογα με τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά τους. Ορισμένες δραστηριότητες που βοηθούν στην ανάπτυξη της συγκεκριμένης και δομημένης λογικής σκέψης είναι, σύμφωνα με τον συγγραφέα, οι δραστηριότητες κι οι εμπειρίες που σχετίζονται με τις αισθήσεις και συγκεκριμένα, με την αφή. Έτσι, αποτελούν εργαλείο που χρησιμεύει στην μετατροπή αφηρημένων εννοιών σε συγκεκριμένες, επιτρέποντας με αυτόν τον τρόπο στα παιδιά να πάρουν θεωρητικές μαθηματικές έννοιες και να τις μετατρέψουν σε χρήσιμα εργαλεία για την επίλυση προβλημάτων. Η μεγαλύτερη πρόκληση στη διδασκαλία των μαθηματικών είναι η κατάλληλη βοήθεια που θα πρέπει να παρέχουν οι εκπαιδευτικοί στους/στις μαθητές/τριες, ώστε να μπορέσουν να συνδέουν τις μαθηματικές έννοιες με τις δραστηριότητες, μιας και πολλές φορές οι μαθητές/τριες δεν συνδέουν άμεσα τις εργασίες με πρακτικό χαρακτήρα με τα αντικείμενα με μαθηματικές έννοιες, με αποτέλεσμα να τείνουν να πιστεύουν πως οι δραστηριότητες αυτές διαχωρίζονται από την επίλυση προβλημάτων με «χαρτί και μολύβι». Η επαφή των παιδιών με ποικίλες αναπαραστάσεις αναδεικνύουν τη μοναδικότητά τους και οδηγούν στη δημιουργία νοήματος για κάθε ιδέα, ενώ παράλληλα με την παροχή ευκαιριών στα παιδιά να παρουσιάσουν τους δικούς τους διαφορετικούς τρόπους επίλυσης, ενισχύεται η γνωστική εξέλιξη. Στάδιο λογικής σκέψης (formal operations stage) Οι μαθητές/τριες σε αυτό το στάδιο είναι ικανοί να σχηματίζουν υποθέσεις και να διατυπώνουν πιθανές συνθήκες, δημιουργώντας έτσι τα «δικά τους» μαθηματικά. Επίσης, το παιδί αναπτύσσει, σταδιακά, μοτίβα αφηρημένης σκέψης. Είναι σε θέση να επιχειρηματολογούν την σκέψης τους, να γενικεύουν και να αξιολογούν λογικά επιχειρήματα, να αποσαφηνίζουν, να διεξάγουν συμπεράσματα κατά την αξιολόγηση και την εφαρμογή. Συγκεκριμένα, η αποσαφήνιση ζητά από τους/τις μαθητές/τριες να αναγνωρίζουν και να αναλύουν τα στοιχεία ενός προβλήματος και να βρίσκουν τις πληροφορίες που είναι απαραίτητες για την επίλυσή του. Ενθαρρύνοντας τα παιδιά να διεξάγουν σχετικές πληροφορίες από μια δοσμένη κατάσταση, ο/η δάσκαλος/λα τα βοηθά να βελτιώσουν την κατανόηση των μαθηματικών. Με τη διεξαγωγή συμπερασμάτων, στο στάδιο της λογικής σκέψης, οι μαθητές/ριες διεξάγουν συμπεράσματα είτε με τρόπο επαγωγικό (η εξαγωγή συμπερασμάτων μεταβαίνοντας από γενικές έννοιες 34

σε συγκεκριμένες περιπτώσεις) είτε με παραγωγικό (η εξαγωγή συμπερασμάτων που προκύπτει από τις ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα σε συγκεκριμένα αντικείμενα και γεγονότα ή καταστάσεις που οδηγούν σε γενικεύσεις). Η αξιολόγηση περιλαμβάνει κριτήρια αξιολόγησης ανάλογα με την επάρκεια της λύσης ενός προβλήματος, η οποία μακροπρόθεσμα οδηγεί στο σχηματισμό υποθέσεων για μελλοντικές δραστηριότητες. Τέλος, η εφαρμογή αναφέρεται στη σύνδεση μαθηματικών εννοιών με καθημερινές καταστάσεις των ατόμων. Βασικός άξονας μιας διδασκαλίας είναι το μαθησιακό κι ευρύτερο περιβάλλον στο οποίο διαδραματίζεται η γνώση κι επηρεάζει άμεσα τη διαδικασία μάθησης. Οι μαθητές/τριες ξεκινούν τη μαθησιακή διαδικασία σ ένα αβέβαιο περιβάλλον, χωρίς ισορροπίες με αρκετές δυσκολίες κι εμπόδια προερχόμενα από τον εξωτερικό και κοινωνικό τους περίγυρο. Σχετικά με τη διδασκαλία γνωρίζουν ότι το εκάστοτε πρόβλημα το οποίο καλούνται να λύσουν είναι επιλεγμένο, ώστε να τους οδηγήσει στη μάθηση και στην κατάκτηση νέας γνώσης. Ο στόχος κάθε διδασκαλίας κι επίλυσης διδακτικών καταστάσεων θα πρέπει να είναι επικεντρωμένος στο να αποκτούν οι μαθητές/τριες την ικανότητα να διαχειρίζονται με κατάλληλο τρόπο κι αποτελεσματικό, που θα τους/τις οδηγήσει στην αντιμετώπιση οποιασδήποτε κατάστασης σε εξωσχολικό περιβάλλον χωρίς καθοδήγηση. Ο Brousseau (1991) ονομάζει αυτό το πλαίσιο «αδιδακτική κατάσταση» και διακρίνει δυο χαρακτηριστικά του, την αδιδακτική κατάσταση και το διδακτικό συμβόλαιο. 3.2 ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΟΣΜΟΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Στο βιβλίο του «How Humans Learn to Think Mathematically» ο Tall (2013) αναφέρεται στο πώς οι άνθρωποι χειρίζονται τις νοητικές δυνατότητες που έχουν δημιουργηθεί πριν από τη γέννηση. Δυνατότητες όπως η αντίληψη, η δράση και το δυναμικό για την ανάπτυξη της γλώσσας. Με αυτά τα εργαλεία οι μαθηματικές ιδέες αλλάζουν σταδιακά νόημα, δημιουργώντας, έτσι, επιπτώσεις στη μακροπρόθεσμη ανάπτυξη τους. Αυτό προσφέρει μια εξήγηση στον λόγο για τον οποίο ορισμένα άτομα βρίσκουν τα μαθηματικά όλο και πιο περίπλοκα και αναπτύσσουν μια αρνητική στάση γι αυτά, ενώ άλλοι βρίσκουν ευχάριστη τη σύνδεση ιδεών με νέους τρόπους που οδηγούν σε πιο εξελιγμένες διαδικασίες σκέψης. Αναζήτησαν, λοιπόν, μία ενιαία θεωρία ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης, η οποία μελετά την υποκείμενη ανάπτυξη των μαθηματικών ιδεών, όπου ορισμένα έχουν, και υποστηρίζουν πιο εξελιγμένη μαθηματική σκέψη και άλλα τα οποία είναι προβληματικά και εμποδίζουν την πρόοδο. Ανάπτυξη των Μαθηματικών ιδεών 35

Three Worlds of Mathematics Η Μαθηματική σκέψη χρησιμοποιεί τους ίδιους διανοητικούς πόρους που είναι γενικά διαθέσιμοι για τη σκέψη. Ο κύριος στόχος της είναι η τόνωση των δεσμών μεταξύ των νευρώνων του εγκέφαλου. Καθώς αυτές οι συνδέσεις χρησιμοποιούνται, αλλάζουν, και με την πάροδο του χρόνου οι καλά χρησιμοποιημένες συνδέσεις παράγουν καλύτερα δομημένες διαδικασίες σκέψης και πιο πλούσια συνδεδεμένες δομές γνώσης. Η ενίσχυση των χρήσιμων δεσμών μεταξύ των νευρώνων παρέχει νέες και πιο άμεσες διαδρομές σκέψης, έτσι ώστε οι διαδικασίες που πραγματοποιούνται να συντομεύονται σε λειτουργίες χωρίς μέτρηση, με σκοπό να εκπέμψουν άμεσα στο αποτέλεσμα. Αυτό, με την πάροδο του χρόνου, οδηγεί στη συμπίεση των γνώσεων στις οποίες οι μεγάλες εργασίες έχουν αντικατασταθεί από άμεσες εννοιολογικές συνδέσεις, ολοένα και πιο εξελιγμένες (Eddie Gray (1994)) 3.2.1 ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ Έχετε αναρωτηθεί ποτέ με ποιον τρόπο μαθαίνουμε μαθηματικά; Θυμάστε στα παιδικά μας χρόνια που δεν γνωρίζαμε τα σχήματα, δεν μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το τηλέφωνο ή που δεν είχαμε την δυνατότητα να πληρώσουμε μόνοι μας για το κολατσιό μας; Πώς καταφέραμε να τα μάθουμε όλα αυτά αλλά και ακόμα περισσότερα; Οι παραπάνω δυσκολίες μεγαλώνοντας χάνονται και ξεχνάμε πως και αυτά έπρεπε να μελετηθούν σιγά-σιγά, χρησιμοποιώντας απλά παιχνίδια μέχρι να είμαστε σε θέση να καταλάβουμε την διαδικασία. Πλέον, μας φαίνονται αυτονόητα. Θα ήταν ενδιαφέρον να χωρίσουμε αυτήν την εξέλιξη σε τρία στάδια. Οι Gray και Tall από το 1984 έως το 2001 παρουσίασαν την ιδέα τριών τύπων μαθηματικών εννοιών των Μαθηματικών. Όπως οι ίδιοι το θέτουν σε ένα άρθρο του 2001, για αρκετά χρόνια τους απασχολούσε η ιδέα των τριών διαφορετικών τύπων εννοιών και συγκεκριμένα του συσσωματωμένου αντικειμένου (embodied object), της συμβολικής προσέγγισης (symbolic prοcept) και τέλος της αξιωματικής έννοιας (axiomatic concept). Embodied Object Symbolic Procept Axiomatic Concept Συσσωματωμένα αντικείμενα (embodied object) Το πρώτο αφορά στη μελέτη των αντικειμένων και των ιδιοτήτων τους, τα οποία οδηγούν σε νοητικές εικόνες που περιγράφονται λεκτικά και αναπτύσσονται με ολοένα και πιο λεπτή αντίληψη. ΕΙΚΟΝΑ: 3.3: ΤΡΕΙΣ ΚΟΣΜΟΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 36

Συμβολική προσέγγιση (symbolic prοcept) Το δεύτερο εξελίσσεται από τις πράξεις που μαθαίνουμε χρησιμοποιώντας συμβολισμούς. Αυτές εξελίσσονται σε υπολογισμούς στην αριθμητική και την άλγεβρα, όπου συνεχίζουν να συμπιέζονται σε νοητικά αντικείμενα, όπως οι αριθμοί και οι αλγεβρικές εκφράσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη διατύπωση και τη λύση προβλημάτων, χρησιμοποιώντας υπολογιστικό συμβολισμό. Και οι δύο αναπτύσσονται αρχικά μέσω πρακτικών εμπειριών στο σπίτι, στο σχολείο και μέσω της ανάπτυξης της χρήσης περισσότερων θεωρητικών ορισμών και συμπερασμάτων στο σχολείο. Αξιωματική έννοια (axiomatic concept) Το τρίτο στάδιο της εξέλιξης των Μαθηματικών γνώσεων, το οποίο είναι πολύ σημαντικό, είναι η επίσημη προσέγγιση των καθαρών Μαθηματικών που αντιμετωπίζονται στο Πανεπιστήμιο. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ Ένα, είναι ένα πλήρες διατεταγμένο πεδίο είναι ένα "σύνολο στοιχείων" με λειτουργίες "+,x" που ικανοποιεί συγκεκριμένα αξιώματα ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Αριθμοί ως δεκαδικά σύμβολα, που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ακριβής υπολογισμούς ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΣΗ Μια συνεχής γραμμή που μπορεί να εντοπιστεί με ένα δάχτυλο ΕΙΚΟΝΑ 3.4: ΤΡΕΙΣ ΤΥΠΟΙ ΕΝΝΟΙΩΝ Τέλος, ο Tall (2002) χρησιμοποιεί τον όρο «εννοιολογική μορφή» για να αναφερθεί στη χρήση των διανοητικών εικόνων, τόσο στατικών όσο και δυναμικών, που προκύπτουν από τη σωματική αλληλεπίδραση με τον κόσμο και γίνονται μέρος στην σταδιακή, πιο εξελισσόμενη ανθρώπινη φαντασία. Αυτό περιλαμβάνει τη χρήση των φυσικών ενσωματώσεων, όπως τα blocks του Diene συνδέονται με τις διανοητικές αντιλήψεις των αριθμών και της αριθμητικής. Επεκτείνεται, επίσης, στη σχεδίαση των γεωμετρικών σχημάτων που γίνονται νοητικές εικόνες που περιγράφονται προφορικά στην ευκλείδεια γεωμετρία, η αναπαράσταση 37

συναρτήσεων και γραφημάτων ως στατικών εικόνων σε χαρτί και γενικά δυναμικές οπτικές εικόνες, όπου απεικονίζονται χρησιμοποιώντας γραφήματα, υπολογιστή ή μόνο μέσα στο μυαλό. Κάθε ένας από αυτούς τους τρόπους εργασίας, σταδιακά, κατά την πάροδο του χρόνου, εξελίσσεται σε πιο πολύπλοκους τρόπους σκέψης, χρησιμοποιώντας όλο και πιο λεπτές μορφές γλώσσας. Κάθε ένας έχει μια δική του σημασία σε ένα συνεχώς εξελισσόμενο σύστημα εργασιών. Το ένα βασίζεται στην (εννοιολογική) ενσωμάτωση, το άλλο σε (επιχειρησιακό) συμβολισμό και το τρίτο σε (αξιωματικό) φορμαλισμό, καθώς ο καθένας μεγαλώνει από προηγούμενες εμπειρίες. Οι τρεις κόσμοι είναι στενά ενσωματωμένοι σε μία ευρύτερη δομή. Στα σχολικά Μαθηματικά αναπτύσσονται παράλληλα η συσσωμάτωση και ο συμβολισμός, όπου οι συσσωματωμένες ενέργειες προκαλούν συμβολικές πράξεις και ο συμβολισμός έχει συσσωματωμένες αναπαραστάσεις. Καθώς πραγματοποιούνται δομικές αφαιρέσεις, έχει ως αποτέλεσμα την αρχή της ενσωματωμένης τυπικής σκέψης (formal thinking) και της συμβολικής τυπικής σκέψης (symbolic formal thinking) που μπορεί αργότερα να μεταφραστεί στη προκαθορισμένη θεωρητική ανάπτυξη (set-theoretic development) του αξιωματικού φορμαλισμού. 3.2.2 ΕΠΙΣΗΜΑ-ΘΕΩΡΙΤΙΚΑ-ΠΡΑΚΤΙΚΑ Επίσημα Μαθηματικά (Formal Mathematics) Ο όρος «επίσημα», όπως αναφέρει ο Tall, μπορεί να αναφερθεί με διάφορες έννοιες εξαρτώμενες από το άτομο και την περίσταση. Για παράδειγμα, για έναν μαθηματικό τα «επίσημα μαθηματικά» αναφέρονται στα μαθηματικά που παρουσιάζονται είτε από την άποψη της τυπικής λογικής είτε από την άποψη της θεωρίας των συνόλων χρησιμοποιώντας τους τυπικούς ορισμούς και τις επίσημες αποδείξεις. Ένας εκπαιδευτικός είναι πιο πιθανό να χρησιμοποιήσει τον όρο «επίσημη», με σκοπό να αναφερθεί στην «επίσημη λειτουργία» (formal operational) στάδιο του Piaget (1958). Μπορούμε να επιλύσουμε τη σύγκρουση βλέποντας τις συσσωματωμένες και συμβολικές επίσημες προσεγγίσεις να είναι η κορυφή των σχολικών μαθηματικών και μία βάση για τις εφαρμογές των μαθηματικών σε υψηλότερα επίπεδα. Οι επιστήμονες που ασχολούνται με τα θεωρητικά Μαθηματικά, γνωρίζουν τα αποτελέσματα της επίσημης απόδειξης, αλλά ο κύριος τους στόχος είναι να χρησιμοποιήσουν τα αποτελέσματα των μαθηματικών, για να μελετήσουν μια συγκεκριμένη κατάσταση, να τα μοντελοποιήσουν συμβολικά και να επεξεργαστούν το συμβολικό μοντέλο, για να παράγουν μία λύση που μπορεί να εφαρμοστεί στην αρχική κατάσταση. Σε υψηλότερα επίπεδα καθαρών μαθηματικών, ο συνδυασμός των ενσωματωμένων και συμβολικών μαθηματικών μπορούν να θεωρηθούν ως ένα αρχικό στάδιο στην αξιωματική-επίσημη παρουσίαση των μαθηματικών σε όρους θεωρητικών ορισμών και αποδείξεων θεωρημάτων. Καθώς η ιστορία στο βιβλίο How Humans Learn To Think Mathematically μετατοπίζεται από τα σχολικά μαθηματικά στα καθαρά 38

μαθηματικά του Πανεπιστημίου, στη συνέχεια θα αναφερόμαστε στα αξιωματικά τυπικά μαθηματικά απλά ως «επίσημα Μαθηματικά». Θεωρητικά Μαθηματικά (Theoretical Mathematics) Στο επόμενο ευρύ στάδιο των θεωρητικών Μαθηματικών, στην γεωμετρία, περιλαμβάνεται ο Ευκλείδειος ορισμός και η απόδειξη όπου ο όρος «θεωρητική» (theoretical) εφαρμόστηκε από τους van Hiele (1957), για να καλύψει τη χρήση των ορισμών και της Ευκλείδειας απόδειξης. Τα Συμβολικά Μαθηματικά περιλαμβάνουν τους ορισμούς και τις επαγωγές των ιδιοτήτων της αριθμητικής, που γενικεύονται σε αλγεβρικές αποδείξεις, με βάση τους «κανόνες της αριθμητικής». Τα θεωρητικά μαθηματικά περιλαμβάνουν τα πιο περίπλοκα επίπεδα συσσωμάτωσης και συμβολισμού που συνεπάγονται ενσωματωμένες και συμβολικές μορφές ορισμού και απόδειξης. Πρακτικά Μαθηματικά ( Practical Mathematics) Το τρίτο στάδιο ονομάζεται πρακτικά μαθηματικά με σκοπό να αναφερθούμε στην ανάπτυξη των αξιωματικών επίσημων αποδείξεων, που είναι βασισμένες σε ορισμένους θεωρητικούς ορισμούς και στη μαθηματική απόδειξη των θεωρημάτων. Ακολουθεί ένα γνωστό σχεδιάγραμμα του Tall για τους «Τρεις Κόσμους των Μαθηματικών» ΕΙΚΟΝΑ 3.5: ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΤΟΥ TALL ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΤΡΕΙΣ ΚΟΣΜΟΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι διαφορές μεταξύ πρακτικών, θεωρητικών και επίσημων Μαθηματικών παρουσιάζονται στη φύση των σχετικών εννοιών. Τα πρακτικά μαθηματικά αφορούν στην αναγνώριση και την περιγραφή ιδεών στον χώρο, τη μορφή και την πρακτική εμπειρία της αριθμητικής με βάση την καλλιέργεια και την εξοικείωση με 39

τις πράξεις και τις επιπτώσεις των πράξεων αυτών. Για παράδειγμα, μπορεί να φανεί ότι η σειρά πρόσθεσης μιας συλλογής από αριθμούς δεν αλλάζει το τελικό άθροισμα, ούτε και η σειρά του πολλαπλασιασμού των αριθμών επηρεάζει το τελικό γινόμενο. Τα θεωρητικά μαθηματικά περιλαμβάνουν ιδιότητες που έχουν παρατηρηθεί ως ορισμοί που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάση πορισμάτων και αποδείξεων. Στη γεωμετρία αυτά περιλαμβάνουν ορισμούς των αριθμών και ιδεών, όπως η συσχέτιση των τριγώνων για να αποδείξουμε τα θεωρήματα, χρησιμοποιώντας την Ευκλείδεια απόδειξη. Στην αριθμητική, οι παρατηρούμενες ιδιότητες αναδιαμορφώνονται ως "κανόνες αριθμητικής" οι οποίοι στη συνέχεια χρησιμοποιούνται ως βάση για τον αλγεβρικό χειρισμό και την απόδειξη τέτοιων σχέσεων όπως οι αλγεβρικές ταυτότητες. Αυτό οδηγεί σε ευελιξία στον χειρισμό διάφορων συμβόλων τη φορά, όπως γνωρίζοντας ότι 1 + 2 + 3+ 4 δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με 4 + 2 + 1+ 3 Τα πρακτικά μαθηματικά βασίζονται σε πιο θεμελιωμένες προελεύσεις, χρησιμοποιούν ορισμούς που αφορούν μόνο δύο στοιχεία τη φορά, όπως την αντιμεταθετική ιδιότητα + = +. Η προσεταιριστική ιδιότητα + ( + ) = ( + ) + διαβεβαιώνει ότι υπάρχουν διάφοροι τρόποι συνδυασμού των στοιχείων που να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, το οποίο στη συνέχεια μπορεί να γραφεί ως + +. Για τη δημιουργία της ανεξαρτησίας της σειράς οποιουδήποτε αριθμού όρων απαιτείται, επισήμως,απόδειξη με χρήση της επαγωγής στον αριθμό των εμπλεκόμενων όρων. Η μετάβαση στα επίσημα μαθηματικά συχνά φαίνεται υπερβολικά περίπλοκη και προβληματική για τους μαθητές που είναι ήδη εξοικειωμένοι με γενικές ιδιότητες. Η μετάβαση μπορεί να γίνει με έναν «φυσικό» τρόπο, χτίζοντας τις εμπειρίες σε μορφή συσσωμάτωσης και συμβολισμού ή με «τυπικό» τρόπο, εστιάζοντας στη λογική των καθορισμένων θεωρητικών ορισμών. Ωστόσο, όταν η ιδέα του να αποδεικνύονται τα θεωρήματα σε ένα αξιωματικό σύστημα επιτευχθεί, ένα νέο επίπεδο λειτουργίας επιτυγχάνεται, διότι οποιοδήποτε αποτέλεσμα που αποδεικνύεται σε ένα αξιωματικό πλαίσιο θα παραμείνει αληθινό σε κάθε νέο πλαίσιο που θα ικανοποιεί επίσης αυτά τα αξιώματα. Μερικά τυπικά θεωρήματα, που ονομάζονται θεωρήματα δομής, καθιερώνουν τυπικά αποτελέσματα που μπορούν να ερμηνευθούν με όρους εφαρμογής και συμβολισμού. Αυτά επιτρέπουν στο ανώτερο επίπεδο μαθηματικής σκέψης να συνδυάσει τον φορμαλισμό, την συσσωμάτωση και τον συμβολισμό, συνδυάζοντας και τους τρεις κόσμους των μαθηματικών σε ένα ενιαίο ολοκληρωμένο πλαίσιο. Αυτό δίνει μια ουσιαστική συνοχή στα μαθηματικά, που προσφέρει ένα πλεονέκτημα στο να καταστεί η έννοια της μαθηματικής σκέψης σε κάθε επίπεδο μάθησης. 40

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Διδακτική Μεταφορά Διδακτικό Τρίγωνο Μέθοδοι Διδακτικής Μαθηματικών Θεωρία Διδακτικών Καταστάσεων Ενεργοποίηση και Επικοινωνία Μαθητών Εξάσκηση Κατανόηση Λειτουργικότητα Ιστορία των Μαθηματικών Νέα Μαθηματικά Σύνδεση Οικοδόμηση της Γνώσης Μεταλλαγή Συμμετοχή Προώθηση *Το σχεδιάγραμμα προέκυψε από τις γνωστότερες μεθόδους διδακτικής των Μαθηματικών ΕΙΚΟΝΑ 4.1: ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η δεκαετία του 1980-90 σε πολλές δυτικές χώρες χαρακτηρίστηκε από το σκεπτικισμό για την ποιότητα των αναλυτικών προγραμμάτων και την αποτελεσματικότητα των προσεγγίσεων στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Ως αποτέλεσμα αυτού του σκεπτικισμού, υπήρξαν συζητήσεις για εκσυγχρονισμό τόσο του αναλυτικού προγράμματος όσο και των μεθόδων διδασκαλίας των μαθηματικών. Είναι γενικά αποδεκτό, για να διατηρηθούν οι κατακτήσεις του παρόντος και για να δημιουργηθούν νέες δυνατότητες εξαρτάται από τον βαθμό που έχει προσαρμοστεί το εκπαιδευτικό σύστημα στις νέες συνθήκες. Δεδομένου ότι η μαθηματική εκπαίδευση αποτελεί μέρος, και μάλιστα σημαντικό, όλου του εκπαιδευτικού συστήματος κάθε 41

χώρας, οι σκοποί και οι στόχοι της εντάσσονται και είναι λογικό να εξεταστούν στο πλαίσιο των γενικών σκοπών της εκπαίδευσης. Ο τομέας της Διδακτικής των Μαθηματικών σχετίζεται με πολλούς επιστημονικούς κλάδους, με αποτέλεσμα να χρησιμοποιεί πληθώρα μεθόδων, που έχουν αναπτυχθεί στο πλαίσιο τους όπως, συνεντεύξεις, κλινικές παρατηρήσεις και ερωτηματολόγια. Ως ξεχωριστός κλάδος, όμως, έχει αναπτύξει, εξελίξει και ορίσει κι άλλες θεωρητικές μεθόδους και έννοιες, οι οποίες εστιάζουν και απευθύνονται τόσο στην ανάγκη όσο και στην ιδιαιτερότητα της Διδακτικής των Μαθηματικών. Οι μέθοδοι,λοιπόν, που έχουν αναπτυχθεί είναι οι εξής: 4.1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ To 1962 o M. Black, επηρεασμένος από τον I.A. Richards, παρουσίασε τη «διαδραστική θεωρία της μεταφοράς» (interaction theory of metaphor) σε μια προσπάθεια να προσεγγίσει την έως τότε επικρατούσα αντίληψη για τη μεταφορά. Αυτή η θεωρητική στροφή έδωσε το ερέθισμα για πολύ ενδιαφέρουσες μελέτες, με αποτέλεσμα να φτάσει σε ένα καθοριστικό σημείο το 1980, όταν οι George Lakoff and Mark Johnson δημοσίευσαν το βιβλίο «Metaphors We Live By» και έκαναν ορατή, μέσω παραδειγμάτων, την πανταχού παρουσία της μεταφοράς. Η άποψή τους ότι η μεταφορά είναι μια βασική νοητική λειτουργία μέσω της οποίας κατανοούμε τον κόσμο, συλλαμβάνουμε αφηρημένες έννοιες, προσφέρουμε στη σκέψη μας τη δυνατότητα να λειτουργήσει σε αφηρημένο επίπεδο αφού το βασικό αντιληπτικό μας σύστημα είναι «θεμελιωδώς μεταφορικό εκ φύσεως» (Lakoff and Johnson, 1980/2003), αποτέλεσε την αφετηρία της σύγχρονης, γνωσιακής θεωρίας της μεταφοράς, στο πλαίσιο της οποίας μελετητές από διαφορετικά γνωστικά πεδία (γλωσσολογία, ψυχολογία, λογοτεχνική θεωρία) την προσεγγίζουν, όχι σαν ένα γλωσσικό φαινόμενο, αλλά σαν διαδικασία της σκέψης και τρόπο οργάνωσης και έκφρασης της εμπειρίας μας. Ειδικότερα, οι Lakoff και Johnson (1980/2003) έθεσαν σε αμφισβήτηση βαθιά ριζωμένες αντιλήψεις, υποστηρίζοντας ότι, πρώτον, η λειτουργία της μεταφοράς συνίσταται στην καλύτερη κατανόηση εννοιών και, κατά συνέπεια, η μεταφορά δεν αποτελεί απλώς και μόνο ένα λογοτεχνικό τέχνασμα. Δεύτερον, η μεταφορά δεν βασίζεται συνήθως στην ομοιότητα, αλλά σε σωματικά θεμελιωμένες αναλογίες ανάμεσα σε διαφορετικές εννοιολογικές σφαίρες. Τρίτον, η μεταφορά χρησιμοποιείται στην καθημερινή ζωή από συνηθισμένους ανθρώπους και δεν αποτελεί αποκλειστικό προνόμιο της λογοτεχνίας και κάποιων ιδιαίτερα προικισμένων ανθρώπων (Lakoff and Johnson 1980/2003, Kövecses 2002 : vii-xi). Συγκεκριμένα, την «διδακτική μεταφορά» ως μια μέθοδο της Διδακτικής των Μαθηματικών ερεύνησε κυρίως ο Yves Chevallard (1991). Η Μεταφορά στην μάθηση των Μαθηματικών είναι μία διαδικασία με την οποία μετασχηματίζεται η επιστημονική γνώση σε αντικείμενο διδασκαλίας. Ο Chevallard (1991) 42

ανέφερε ότι το αντικείμενο της επιστημονικής γνώσης, για να καταστεί κατάλληλο ως αντικείμενο διδασκαλίας, υφίσταται μια σειρά από μετασχηματισμούς προσαρμογής, οι οποίοι δεν προσδιορίζονται μόνο από τη μαθηματική κοινότητα, αλλά επηρεάζονται από ένα πλέγμα αλληλεπιδράσεων ανάμεσα στους διδάσκοντες, τους κοινωνικούς παράγοντες, τις πολιτικές επιλογές και τους γονείς. 4.2 ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΤΡΙΓΩΝΟ Η διαδικασία της διδασκαλίας στηρίζεται στις σχέσεις που αναπτύσσονται ανάμεσα στους εκπαιδευτικούς, τους μαθητές και το μαθηματικό περιεχόμενο και πρόκειται για μια σχέση και διαδικασία η οποία είναι συνεχής και γνωστή ως «διδακτικό τρίγωνο». Σύμφωνα με την Perrin-Glorian (2005) κανένα μέρος από το τρίγωνο αυτό δεν μπορεί να διαχωριστεί. Αυτό συμβαίνει, γιατί σε ένα διδακτικό σύστημα, για να αποκτηθούν γνώσεις, σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, από τους/τις μαθητές/μαθήτριες οι οποίοι δεν λαμβάνουν αποφάσεις μόνοι τους για τη γνώση με την οποία έρχονται σε επαφή κι πολλές φορές δεν κατανοούν τη χρησιμότητά τους. Επίσης, για να γίνουν κατανοητά κάποια «κομμάτια» γνώσεων τα οποία δεν μπορούν να μεταφερθούν στους/στις μαθητές/μαθήτριες με συγκεκριμένο τρόπο ή μορφή. Έτσι, χρειάζεται να διδαχθούν σε διαφορετικό πλαίσιο κι αρκετές φορές κατά τη διάρκεια της σχολικής τους πορείας, ώστε να τα κατανοήσουν. Με βάση τα λόγια του Brousseau (1980), «μια μαθησιακή διαδικασία χαρακτηρίζεται από καταστάσεις που αναπαράγονται κι οδηγούν τους μαθητές στην κατανόηση ενός ιδιαίτερου και συγκεκριμένου μέρους της γνώσης κι έπειτα σε μια τροποποίηση της συμπεριφοράς τους προς αυτήν, κάτι που χαρακτηρίζει την απόκτηση αυτού του μέρους της γνώσης». (Perrin- Glorian, 2005). Η διδασκαλία, λοιπόν, χωρίζεται σε δυο μέρη γνώσης, στη χρησιμότητα της επίλυσης προβλημάτων σε συγκεκριμένο πλαίσιο και στην καθολική φύση τους, όπως ενσωματώνεται σε έναν χώρο, όπου αναπαράγεται η μαθηματική γνώση. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό κατά τη διδασκαλία να γίνει κατανοητό πως η «διδακτική» σχέση ανάμεσα στους/στις μαθητές/ριες και τον/την εκπαιδευτικό κάποια στιγμή θα σταματήσει και τότε θα κληθούν να χρησιμοποιήσουν τις γνώσεις που έχουν αποκτήσει έξω από το σχολικό πλαίσιο σε διαφορετικές καταστάσεις. Επομένως, πρέπει οι μαθητές/ριες να είναι σε θέση να αξιοποιήσουν την γνώση που αποκτούν μακροπρόθεσμα κι αυτόνομα. Σύμφωνα με τον Brousseau (1980), η διδασκαλία πρέπει να χαρακτηρίζεται από τον συμβιβασμό των δυο διαδικασιών που τη χαρακτηρίζουν, την ενσωμάτωση/ αφομοίωση και την ανεξάρτητη προσαρμογή και τροποποίηση. Αναγνωρίζοντας από τη μια πλευρά τον μαθητή και το μαθησιακό αντικείμενο κι από την άλλη τη στοχευμένη μαθηματική γνώση και την κατανόηση (η γνώση που αναπτύσσεται από τις δραστηριότητες στο περιβάλλον), γίνεται κατανοητό πως περιβάλλον έχει μεγάλη σημασία, για να γίνει 43

κατανοητό πώς μαθαίνει ο μαθητής μέσα σε ένα διδακτικό σύστημα και πώς η συμπεριφορά του παιδιού αποκαλύπτει την επίδραση του περιβάλλοντος στη μάθηση. 4.3 ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ O Brousseau (1981) ασχολήθηκε στο ερευνητικό του έργο Theory of Didactical Situations in Mathematics, 1970-1990" με τη «θεωρία διδακτικών καταστάσεων», η οποία εκφράζει τον τρόπο δημιουργίας των μαθηματικών γνώσεων στον διδασκόμενο, όπου μπορούμε να διακρίνουμε ένα σχέδιο κοινωνικού χαρακτήρα. Ο διδάσκοντας πρέπει να ακολουθήσει δύο βήματα: αρχικά, πρέπει να επιλέξει την μαθηματική έννοια καθώς και τις κατάλληλες μαθηματικές δραστηριότητες και έπειτα να προβλέψει τις συμπεριφορές των μαθητών. Το επόμενο βήμα είναι να πειραματιστεί πάνω σε μία σειρά δραστηριοτήτων και στην παρατήρηση των φαινομένων της τάξης, με σκοπό να διαπιστωθεί, αν οι συμπεριφορές των μαθητών είναι σύμφωνες με τις προβλέψεις που προηγήθηκαν. ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑΣ ΜΗΝΥΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΑ 4.2: ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 4.4 ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Η λεκτική και μη λεκτική επικοινωνία στη σχολική τάξη αποτελεί ένα βασικό ψυχοπαιδαγωγικό και ψυχοκοινωνιολογικό θέμα. Η λεκτική και μη λεκτική επικοινωνία συνδέεται στενά με τη διδασκαλία και τη μάθηση, τη συμπεριφορά, καθώς και με την αποτελεσματικότητα του δασκάλου και της δασκάλας, την επίδοση των μαθητών/ριών στα μαθήματα και τις στάσεις τους προς το σχολείο, αλλά και με τις επικοινωνιακές σχέσεις και τις αλληλεπιδράσεις που δημιουργούνται στη σχολική τάξη. Ειδικότερα, τα Μαθηματικά είναι ειδικά πολιτισμικά αντικείμενα, μεταβιβάσιμα από άτομο σε άτομο είναι αφηρημένες έννοιες που διαθέτουν ιδιότητες, οι οποίες μέσα από την επικοινωνία και την αλληλεπίδραση 44

βοηθούν στο να οριστεί μια αντικειμενική πραγματικότητα. Η μάθηση νέων πληροφοριών και γνώσεων επιτυγχάνεται μόνο μέσω της επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης και δραστηριοποίησής του με άλλα άτομα, είτε συνειδητά είτε υποσυνείδητα. Η μάθηση δεν είναι μια παθητική αποδοχή έτοιμης γνώσης, αλλά μια διαδικασία κατασκευής, στην οποία οι ίδιοι οι μαθητές/ριες πρέπει να είναι οι βασικοί συντελεστές, που δραστηριοποιούμενοι ενεργά, κατανοούν και κατασκευάζουν την γνωστική δομή. Οι στάσεις για το γνωστικό αντικείμενο που μπορούν να αναπτυχθούν έχουν άμεση σχέση με την κατανόηση και την εφαρμογή των Μαθηματικών εννοιών μέσα στην καθημερινότητα της σχολικής πραγματικότητας. Η λεκτική επικοινωνία είναι το βασικό δομικό συστατικό του πλέγματος που δημιουργούν οι επικοινωνιακές σχέσεις μέσα στη σχολική-πανεπιστημιακή τάξη των μαθηματικών, και το καταλυτικό στοιχείο στην ενεργοποίηση της δραστηριοποίησης των μαθητών, καθώς και της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης. Έτσι προέκυψε η δημιουργία «καταστάσεων ενεργοποίησης και επικοινωνίας των μαθητών», η οποία αποτελεί άλλη μία μέθοδο της Διδακτικής των Μαθηματικών και η οποία αναφέρεται στην ακριβή ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών και τον προσδιορισμό των αντιλήψεών τους. Για να πραγματοποιηθεί αυτό, οι μαθητές και οι μαθήτριες εργάζονται ομαδικά στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, ώστε να υπάρχει γραπτή ή προφορική επικοινωνία μεταξύ τους, η οποία θα αποτελέσει το αντικείμενο ανάλυσης. 4.5 ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο ρόλος της Ιστορίας των Μαθηματικών, συνετέλεσε στη δημιουργία της τέταρτης μεθόδου Διδακτικής των Μαθηματικών, η οποία μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τα εμπόδια που οφείλονται στην δυσκολία κατανόησης και μάθησης των Μαθηματικών. Οι ιστορικές και επιστημολογικές έρευνες εντοπίζουν τα εμπόδια στα μαθηματικά κείμενα προηγούμενων εποχών και συμπληρώνουν τις πειραματικές μεθόδους, οι οποίες εντοπίζουν λάθη και εμπόδια στα σημερινά γραπτά των Μαθηματικών. Η διδακτική των Μαθηματικών από τα παλαιότερα έτη μέχρι σήμερα Φάση Εξάσκηση (Drill and Practice) (1930-1960) Κατανόηση (1960-1967) Κύριοι Εκπρόσωποι Thorndike Brownell Gestalt Έμφαση Ευχέρεια στην εύρεση της απάντησης Κατανόηση μαθηματικών ιδεών Πώς επιτεύχθηκε Μηχανική απομνημόνευση βασικών πράξεων Κατακερματισμός της ύλης Μαθηματικές σχέσεις 45

Νέα μαθηματικά (1967-1981) Περίοδος μετά το 1981 Bruner (Piaget) Bruner Piaget Δομή Μαθηματικών Δομή Κατανόηση Μελέτη δομής μαθηματικών Σπειροειδές ΑΠ Ανακάλυψη Σπειροειδές ΑΠ Ανακάλυψη *Ο παραπάνω πίνακας αναφέρεται στις φάσεις μέσα από τις οποίες πέρασε η Μαθηματική Εκπαίδευση στην Κύπρο ΕΙΚΟΝΑ 4.3: ΙΣΤΟΡΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ (*ΑΠ= Αναλυτικό Πρόγραμμα) Η διδασκαλία των Μαθηματικών, σε γενικές γραμμές, ακολούθησε τις ψυχοπαιδαγωγικές αντιλήψεις και τις διδακτικές προσεγγίσεις που κατά καιρούς επικρατούσαν στο δυτικό κόσμο. Όπως είναι γνωστό, οι προσεγγίσεις στα μαθηματικά πέρασαν από τρείς φάσεις, τη φάση της άκρατης εξάσκησης, τη φάση της κατανόησης των εννοιών και τη φάση των νέων μαθηματικών. Κάθε φάση αντικατόπτριζε κυρίως τις εξελίξεις, τις επιδράσεις της ψυχολογίας και η πρακτική που επικρατούσε σε κάθε φάση αντανακλούσε τις ιδέες που εκφράζονταν από κορυφαίους ψυχολόγους και εκπαιδευτικούς. Η φάση της Εξάσκησης Η θεωρία του Thorndike (1992), όπως αποκρυσταλλώθηκε στο βιβλίο του «The Psychology of Arithmetic» (Η ψυχολογία της αριθμητικής), επηρέασε σε σημαντικό βαθμό την διδασκαλία των Μαθηματικών. Βασική κατεύθυνση της διδασκαλίας είναι ο τεμαχισμός της ύλης σε μικρές ανεξάρτητες ενότητες, ιεραρχημένες από τις ευκολότερες στις πιο δύσκολες, έχοντας ως στόχο να μάθουν οι μαθητές και οι μαθήτριες όλες τις απαραίτητες δεξιότητες και γνώσεις μέσω της πολλής εξάσκησης. Μάθηση με κατανόηση Από το 1940 στην Αγγλία και στην Αμερική, γονείς και εκπαιδευτικοί είχαν αρχίσει να αμφιβάλλουν για την αποτελεσματικότητα της συνεχούς εξάσκησης πάνω στις τέσσερις βασικές πράξεις. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να ανθίσει, εκείνη την περίοδο, η προοδευτική εκπαίδευση στην Αμερική, γεγονός που οδήγησε στον επηρεασμό της Μαθηματικής εκπαίδευσης. Για να στραφεί η διδασκαλία προς την κατανόηση των Μαθηματικών εννοιών, βοήθησε πολύ ο ψυχολόγος και εκπαιδευτικός Brownell (1959) και η θεωρία Gestalt, σύμφωνα με την οποία η μάθηση είναι μια διαδικασία αναγνώρισης σχέσεων και ανάπτυξης της ενόρασης των μαθητών/ριών. Με την θεωρία αυτή, η διδασκαλία των Μαθηματικών εννοιών παραμέρισε τη μηχανική εκμάθηση απομονωμένων γνώσεων και δεξιοτήτων δίνοντας έμφαση στην αλληλοσυσχέτιση των μαθηματικών εννοιών. 46

Νέα μαθηματικά Έπειτα από την έμφαση που δόθηκε στην κατανόηση των Μαθηματικών, στα τέλη της δεκαετίας του 1960 εμφανίστηκαν τα νέα Μαθηματικά. Οι αντιλήψεις για τη φύση των Μαθηματικών, την αρχιτεκτονική των Μαθηματικών, άρχισαν να συγκλίνουν. Τα βασικά στοιχεία αυτής της σύγκλισης ήταν ο ρόλος της έννοιας του συνόλου, που προσφέρει τη δυνατότητα για κοινή γλώσσα, τη δυνατότητα για θεμελίωση των κλάδων των Μαθηματικών και της μαθηματικής δομής. Η αναθεώρηση των αντιλήψεων σχετικά με τα Μαθηματικά ως επιστήμη, οδήγησε στην περαιτέρω αμφισβήτηση των παλαιότερων μεθόδων και οδήγησε στη συνεργασία ψυχολόγων, παιδαγωγών και μαθηματικών για την εισαγωγή νέων αναλυτικών προγραμμάτων. Η κίνηση αυτή, που έγινε γνωστή ως νέα ή μοντέρνα μαθηματικά, κορυφώθηκε και κατέληξε σε ολοκληρωμένες προτάσεις στα τα τέλη της δεκαετίας του 1950. Η βασική καινοτομία ήταν η ανάπτυξη των μαθηματικών με βάση τη θεωρία των συνόλων, που είχε σκοπό την εκμάθηση βασικών αρχών που σχετίζονται με τη δομή των Μαθηματικών, έχοντας την πεποίθηση ότι οι μαθητές και οι μαθήτριες, μαθαίνοντας τη δομή των αριθμών, θα μπορούσαν να ανακαλέσουν στη μνήμη τους ό,τι έχουν ξεχάσει. Οι εκπαιδευτικοί και παιδαγωγοί που συνεργάστηκαν στην συγγραφή των βιβλίων των νέων Μαθηματικών, δεν στηρίχθηκαν αποκλειστικά σε μία θεωρία. Με τη φάση όμως των νέων Μαθηματικών, συνδέθηκε στενά το όνομα του J. Bruner (1961) που εισήγαγε την έννοια της σπειροειδούς ανάπτυξης του αναλυτικού προγράμματος και τη μέθοδο της κατευθυνόμενης ανακάλυψης. Για να πραγματοποιηθεί, προϋποθέτει μία νέα θεώρηση της διδασκαλίας μάθησης, σύμφωνα με την οποία οι μαθητές/ριες εξελίσσουν τις γνώσεις τους, συμμετέχουν ενεργά στην ερμηνεία μαθηματικών σχέσεων και κατανοούν τα Μαθηματικά μέσα από δικές τους εμπειρίες. Φάση της οικοδόμησης της γνώσης Για να υλοποιηθούν οι σύγχρονες εμφάσεις και οι σκοποί που θέτουν τα νέα βιβλία, προηγείται η υιοθέτηση των βασικών αρχών διδασκαλίας που δημιουργούν μια λειτουργική θεωρία μάθησης των μαθηματικών εννοιών και αποτελούν ουσιαστικό στοιχείο της θεωρίας δόμησης της γνώσης (constructivism). Οι αρχές αυτές είναι: Αρχή λειτουργικότητας: Ένας μαθητής αποκτά μια μαθηματική έννοια, όταν είναι σε θέση να εντάξει την προσφερόμενη έννοια σε μία ήδη υπάρχουσα λειτουργία. Αρχή της σύνδεσης: Ένας μαθητής αποκτά μία έννοια συνδέοντας την με προηγούμενες γνώσεις ή έννοιες. 47

Αρχή μεταλλαγής: Για τον μαθητή «μάθηση» δεν ορίζεται ως η αντιγραφή των στοιχείων που του προσφέρονται από το περιβάλλον, αλλά ορίζεται ως συγχώνευση των στοιχείων αυτών με υπάρχουσες καταστάσεις. Αρχή συμμετοχής: Ο μαθητής αποκτά μία γνώση ή έννοια, όταν ενεργεί με κάποιο κατάλληλο τρόπο για την ηλικία του πάνω στις παρεχόμενες γνώσεις και έννοιες, Αρχή προώθησης: Ο μαθητής μαθαίνει μια μαθηματική έννοια, όταν πετύχει να βελτιώσει μια προϋπάρχουσα έννοια ή δεξιότητα και όχι όταν απλώς την επαναλαμβάνει. 4.6 ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΕΘΝΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Όσο εμβαθύνουμε και κατανοούμε τη φύση, το κοινωνικοπολιτικό και το οικονομικό περιβάλλον τόσο αυξάνονται και οι απαιτήσεις για οργανωμένη μαθηματική σκέψη. Ζούμε σε μία εποχή, όπου η γνώση και η πληροφορία προσφέρεται ταχύτατα. Είναι εμφανές ότι το μεγαλύτερο μέρος των θέσεων εργασίας σ ολόκληρο τον κόσμο αφορά άμεση ή έμμεση παροχή γνώσης και πληροφορίας. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τα Μαθηματικά, καθώς είναι το θεμέλιο των υπόλοιπων επιστημών, να παρέχουν άπειρες δυνατότητες και ευκαιρίες για επαγγελματική αποκατάσταση. Αυτή η διαπίστωση μας δείχνει την σημασία και την κρισιμότητα της σωστής μαθηματικής εκπαίδευσης για το μέλλον της κοινωνίας μας. Κρίνεται, λοιπόν, αναγκαίο όλοι οι μαθητές να μάθουν Μαθηματικά. Με βάση το άρθρο της UNESCO που εκδόθηκε το 1979 (Mathematics United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization (unesco.org)), η διδασκαλία των μαθηματικών θα πρέπει να στηρίζεται στην ανακαλυπτική μάθηση, που έχει ως βασική ιδέα ότι δεν υπάρχει διαφορά ανάμεσα στον τρόπο που ένας/μία μαθητής/τρια αποκτά γνώση και ένας/μία εκπαιδευτικός τη δημιουργεί. Γι αυτόν το λόγο, τα Μαθηματικά θα πρέπει να αντιμετωπίζονται ως μια ανακάλυψη. Ξεκινώντας από το 1979, φαίνεται πως αρχίζει μια τάση να γίνουν αλλαγές στον τομέα της διδακτικής των Μαθηματικών, καθώς προτείνεται οι μαθητές να έρχονται σε επαφή με καταστάσεις στις οποίες υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις που θα οδηγούν σε κάποια λύση, για τα οποία απαιτούνται διαφορετικές ικανότητες και συγκεκριμένες τεχνικές. Ωστόσο, δεν πρέπει να απορρίπτονται και να αποκλείονται οι διαφορετικές προσπάθειες ή να προτιμάται κάποια συγκεκριμένη λύση και μέθοδος έναντι μιας άλλης. Η διαδικασία με την οποία λύνονται τα περισσότερα κλειστά προβλήματα σχετίζεται με τον εντοπισμό ορισμένων και πολύ συγκεκριμένων λέξεων ή στοιχείων σε κάποιο πρόβλημα (π.χ. όλα μαζί, και, περισσότερα, μοιράζω), που οδηγούν σε μηχανικές διαδικασίες επίλυσης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, να μειώνεται ο ρόλος και η αλληλεπίδραση του μαθητή και της μαθήτριας με το εκάστοτε πρόβλημα κι έτσι ο/η ίδιος/ια να στέκεται παθητικά απέναντι σε αυτό, με 48

αποτέλεσμα ο ρόλος του να γίνετε όμοιος με αυτόν ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή. Αυτή η μέθοδος με τις λέξεις- κλειδιά και τα δεδομένα εκείνα που προδιαγράφουν και υποδεικνύουν τη λύση του προβλήματος, που εφαρμόζεται μέχρι και σήμερα, παρά τις δεκαετίες που έχουν περάσει από τη δεκαετία του 1970 που γράφτηκε το συγκεκριμένο άρθρο της UNESCO. Τα αποτελέσματα μιας τέτοιας τακτικής και μεθόδου διδασκαλίας των μαθητών είναι αρνητικά κι έχουν ως αποτέλεσμα οι μαθητές να αγχώνονται και να αντιμετωπίζουν με φόβο τα Μαθηματικά, καθώς αισθάνονται αδύναμοι κάθε φορά που αποτυγχάνουν να βρουν τη λύση σε ένα πρόβλημα που είναι ανοιχτό ή διατυπωμένο με τρόπο που η λύση δεν είναι αποτέλεσμα μιας συγκεκριμένης τεχνικής την οποία έχουν διδαχθεί. Η ανακαλυπτική μάθηση προσφέρει πλεονεκτήματα τόσο σε κοινωνικό επίπεδο, όσο και σε ψυχολογικό. Κοινωνικά, η ποικιλία και το εύρος των ερωτήσεων με το οποίο έρχονται σε επαφή οι μαθητές, τους καθιστά μακροπρόθεσμα ικανούς να αντιμετωπίσουν τα προβλήματα τα οποία θα κληθούν να επεξεργαστούν και να αντιμετωπίσουν, ενώ από την πλευρά της ψυχολογίας, το άτομο αναπτύσσει λογική σκέψη και δομές τις οποίες οι εκπαιδευτικοί πρέπει να ενισχύσουν. Οι στόχοι μιας τέτοιας διδασκαλίας βασισμένη στην ανακαλυπτική μάθηση είναι, σύμφωνα με την UNESCO, οι ακόλουθοι: τόνωση της περιέργειας των μαθητών/τριών και της επιθυμίας τους να κατανοήσουν τα Μαθηματικά μέσα από καταστάσεις και διαδικασίες οι οποίες βασίζονται σε διάφορα μαθηματικά μοντέλα να αναπτύξουν οι μαθητές και οι μαθήτριες δικές τους στρατηγικές να επιτρέπει στους μαθητές και τις μαθήτριες την επιτυχία, ώστε να ενθαρρύνει την έρευνά τους στο μέλλον να ενθαρρύνει τους/τις μαθητές/τριες να στηριχθούν σε προηγούμενες και ήδη υπάρχουσες δεξιότητες και ικανότητές τους. Ο βασικός σκοπός της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι να ενισχυθεί το περιεχόμενό της, έτσι ώστε να προωθηθεί η μεθοδική κι απλοποιημένη δύναμη της μαθηματικής σκέψης και να βελτιωθεί το ατομικό επίπεδο κατανόησης του περιβάλλοντος και των ποικίλων μαθηματικών καταστάσεων, ενώ παράλληλα σημαντικό είναι να έρθουν οι μαθητές/τριες σε επαφή με τις διάφορες μαθηματικές ιδέες και να τις ανακαλούν την κατάλληλη στιγμή. 49

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ολοκληρώνοντας το θεωρητικό μέρος αυτής της εργασίας για την κατανόηση των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι φοιτητές και οι φοιτήτριες κατά την μετάβαση τους στα Πανεπιστημιακά Μαθηματικά, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την σημασία της διδακτικής μετάπλασης και της μετάβασης στην επίσημη Μαθηματική γνώση. Πέρα από την ανάλυση των εννοιών, θα παρατεθούν ορισμοί του σχολικού βιβλίου για την διευκόλυνση της σύγκρισης τους με αυτούς της Τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Τέλος, θα γίνει αναφορά στην μεταβολή του τρόπου σκέψης των φοιτητών και των φοιτητριών. 5.1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΠΛΑΣΗ Ο όρος διδακτικός μετασχηματισμός ή διδακτική μετάπλαση περιγράφει την εννοιολογική αλλαγή που πραγματοποιείται στα Μαθηματικά, ώστε να γίνουν διδακτέα ύλη. Τα μαθηματικά αποτελέσματα (θεώρημα, πρόταση, ιδιότητα) δημιουργούνται κατά την προσπάθεια επίλυσης κάποιων προβλημάτων, εσωτερικών ή εξωτερικών, των Μαθηματικών. Η μαθηματική γνώση παράγεται σε κάποιο προσωρινό πλαίσιο (του/της ερευνητή/ριας) χρονικά (ιστορική συγκυρία) και επιστημολογικά (η μορφή της επιστήμης κατά τη διάρκεια εκείνης της περιόδου). Κατά την επισημοποίηση της παραχθείσας μαθηματικής γνώσης, χάνονται πολλά από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του πλαισίου παραγωγής της. Έτσι, κατά τη διαδικασία ενσωμάτωσης της μαθηματικής γνώσης στη μαθηματική επιστήμη, κατά την πορεία εξέλιξης της, αποπλαισιώνεται. Για να γίνει διδάξιμο ένα κομμάτι ύλης, απομονώνεται από το υπόλοιπο οικοδόμημα και για να δοθεί στους μαθητές συνδέεται με άλλα προβλήματα, κατάλληλα για την ηλικία τους και τις τρέχουσες γνώσεις τους. Αυτό, έχει ως αποτέλεσμα η μαθηματική ύλη, πολλές φορές, να απλοποιείται επιστημολογικά και εννοιολογικά. Η μετάβαση από την πρακτική και θεωρητική ανάπτυξη της συσσωμάτωσης και των συμβολικών διαδικασιών στις επίσημες και αξιωματικές διαδικασίες, περιλαμβάνει σημαντικές εννοιολογικές αλλαγές. Τα σχολικά μαθηματικά βασίζονται σε συσσωματωμένες διαδικασίες στην γεωμετρία ή την αριθμητική και αφορούν φυσικές ή πρακτικές καταστάσεις, καθώς εξελίσσονται από πρακτικές εμπειρίες. Η μεταβολή σε μία αξιωματική-επίσημη προσέγγιση είναι συνήθως προβληματική, διότι οι επίσημες διαδικασίες δεν απαιτούν την ύπαρξη κάποιας καθορισμένης διαδικαστικής λειτουργίας. Σε μία επίσημη προσέγγιση, καθίσταται απαραίτητη η επικέντρωση στις ιδιότητες μιας πράξης, δίχως να χρειάζεται η διατύπωση του ορισμού της. Με αυτόν τον τρόπο, όλες οι επίσημες αποδείξεις συνάγονται από συγκεκριμένα αξιώματα σε προ-ορισμένες σημασίες που θα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιοδήποτε σύστημα, ικανοποιώντας εκείνα τα αξιώματα και τους ορισμούς, ανεξάρτητα από την συγκεκριμένη διαδικασία που θα χρησιμοποιείται για να εκτελεστεί η πράξη. 50

Δεδομένης της προφανούς ισχύος της επίσημης απόδειξης, είναι ο τρόπος που λειτουργεί η έρευνα των μαθηματικών από έμπειρους μαθηματικούς. Αλλά οι αλλαγές στη σημασία προϋποθέτουν να πραγματοποιηθεί μετάβαση από παλαιότερες συσσωματώσεις και συμβολικές εμπειρίες σε αξιωματικές επίσημες που, όμως, προκαλεί προβλήματα σε πολλούς προπτυχιακούς. Η προέλευση αυτών των δυσκολιών πηγάζει από τις παλαιότερες εμπειρίες που έχουν από μη επίσημους ορισμούς. 5.2 ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΗΜΗ ΓΝΩΣΗ Ο Tall στην συνέχεια του βιβλίου του «How Humans learn to Think Mathematically» ασχολήθηκε με τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι φοιτητές στη μετάβαση τους από τα συσσωματωμένα και συμβολικά μαθηματικά προς τα επίσημα μαθηματικά του πανεπιστημίου, καθώς οι γνώσεις τους στηρίζονται σε ορισμούς και επίσημες αποδείξεις που διδάχτηκαν στο σχολείο. 5.2.1 Η ΥΛΗ ΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ (όπως αναγράφονται στις σελίδες των Μαθηματικών τμημάτων των Πανεπιστημίων Αιγαίου, Αθηνών και Κρήτης ) Σύμφωνα με το Προεδρικό Διάταγμα 379/14.6.1989, ΦΕΚ 167/16.6.1989: «Το Τμήμα Μαθηματικών έχει ως αποστολή την καλλιέργεια και ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, την αναζήτηση και επεξεργασία θεωρητικών μοντέλων για την ερμηνεία πρακτικών και θεωρητικών προβλημάτων και την κατάρτιση επιστημόνων για τις ανάγκες της εκπαίδευσης, της οικονομίας και της έρευνας.» Τα προπτυχιακά προγράμματα σπουδών των Μαθηματικών τμημάτων επικεντρώνονται στο να αναπτύξουν οι φοιτητές και οι φοιτήτριες μαθηματική σκέψη για την αναζήτηση και επεξεργασία μαθηματικών μοντέλων, ώστε να ερμηνεύουν θεωρητικά και πρακτικά προβλήματα. Τα προγράμματα των τμημάτων έχουν ως στόχο την κατάρτιση επιστημόνων για τις ανάγκες της εκπαίδευσης, της οικονομίας και της έρευνας. Οι απόφοιτοι του προγράμματος αναμένεται να έχουν μία σφαιρική γνώση της Μαθηματικής Επιστήμης και να είναι σε θέση να παρακολουθούν τη συνεχή και δυναμική εξέλιξή της. Επίσης, να αναπτύσσουν και να μελετούν μοντέλα και προβλήματα που είναι σχετικά με τη θεωρία και τις εφαρμογές των Μαθηματικών στα επιμέρους αντικείμενα των Θεωρητικών Μαθηματικών, των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, των Υπολογιστικών Μαθηματικών και της εξέλιξης του σχετικού λογισμικού, των Μαθηματικών Θεμελίων της Πληροφορικής, των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής, της Επιχειρησιακής Έρευνας, των Αναλογιστικών και 51

Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών, της Διδακτικής των Μαθηματικών, της Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Ακόμα, να μπορούν να εργαστούν επαγγελματικά στους τομείς της Μαθηματικής Εκπαίδευσης, στη βασική και εφαρμοσμένη έρευνα κάθε γνωστικού αντικειμένου, το οποίο υπάγεται ή σχετίζεται άμεσα και καθοριστικά με τον ευρύτερο τομέα των Μαθηματικών, και στον ιδιωτικό και δημόσιο τομέα σε αντικείμενα που απαιτούν ανάπτυξη μαθηματικών υποδειγμάτων και μεθόδων σε φυσικές, οικονομικές και βιο-ιατρικές επιστήμες και στην τεχνολογία, στη συλλογή και επεξεργασία δεδομένων και στην υποστήριξη του σχεδιασμού λήψης αποφάσεων. Τέλος, να είναι σε θέση να συνεχίσουν τις σπουδές τους σε μεταπτυχιακό επίπεδο, με στόχο είτε την ενασχόλησή τους με την έρευνα σε Θεωρητικά ή/και Εφαρμοσμένα Μαθηματικά είτε την εξειδίκευση και αξιοποίηση των γνώσεων τους τόσο στην εκπαίδευση όσο και σε άλλους τομείς, όπως της οικονομίας και της διοίκησης, της τεχνολογίας, της υγείας, και λοιπά. Όπως παρατηρούμε, ο στόχος των εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας, δευτεροβάθμιας και τριτοβάθμιας εκπαίδευσης έχουν ως κοινό στόχο την ανάπτυξη της ατομικής μαθηματικής γνώσης του κάθε μαθητευόμενου και μαθητευόμενης μέσα από προβλήματα που τους κεντρίζουν το ενδιαφέρον και τους οδηγούν προς την ανακάλυψη νέων μαθηματικών εργαλείων. Αντίθετα με αυτό, παρατηρείται άγχος και φόβος σε πληθώρα μαθητών/τριών, τόσο σε σχολικό επίπεδο όσο και σε πανεπιστημιακό. «Η επιτυχία στο μάθημα των μαθηματικών δεν εξαρτάται από μια ιδιοτροπία της φύσης, όπως το έμφυτο ταλέντο, αλλά βασίζεται κυρίως στη σκληρή προσπάθεια και ενασχόληση με το αντικείμενο, όπως εξάλλου και η κατάκτηση οποιασδήποτε δεξιότητας.» (Τουμάσης) 5.2.2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ ΠΡΟΣ ΤΟ ΕΠΙΣΗΜΟ Καταλληλόλητα του Ορισμού Ο τρόπος που ορίζουμε μία έννοια είναι εξαιρετικής σπουδαιότητας για την μαθηματική εκπαίδευση (Winicki Landman & Leikin, 2000). Σύμφωνα με τον Poincare (1952), «για τον επιστήμονα ένας καλός ορισμός είναι αυτός που εφαρμόζεται σε όλα τα αντικείμενα που πρόκειται να οριστούν και μόνο σε αυτά, είναι αυτός που ικανοποιεί τους κανόνες της λογικής. Στην εκπαίδευση, ωστόσο, δεν είναι αυτός, είναι αυτός που μπορεί να γίνει κατανοητός από τους μαθητές». Αυτό, έχει ως αποτέλεσμα, σε κάθε διδακτική απόφαση σχετικά με έναν ορισμό που απευθύνεται στους μαθητές, να πρέπει να λαμβάνει υπόψη τη φύση της μαθηματικής διαδικασίας, τους διδακτικούς στόχους που εξυπηρετεί και τέλος το γνωστικό υπόβαθρο των μαθητών προς τους οποίους απευθύνεται. 52

Σύμφωνα με τους Mariotti & Fischbein(1997), είναι χρήσιμο να εισάγεται ένας ορισμός διαμέσου μιας προβληματικής κατάστασης, από την οποία να αναδεικνύεται η σημαντικότητα του νέου αντικειμένου που ορίζεται. Η αντικατάσταση της οριζόμενης έννοιας και η σχηματοποίηση της μέσα από ένα σύμβολο, αποκτούν νόημα για τους μαθητές, όταν δημιουργείται η δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων με ευκρινέστερο και ταχύτερο τρόπο από πριν. Σύγκριση Ορισμών Λυκείου Πανεπιστημίου ΟΡΙΟ Σχολικός Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής a, x ) ( x, ). Θα λέμε ότι η f έχει στο x 0 όριο ( 0 0, όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε x, x ) ( x, ) ( 0 0 με 0 x x, να ισχύει: f (x) 0 (σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου έκδοση 2019) Έστω Πανεπιστημιακός Ορισμός f : A μία συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του A. Λέμε ότι το όριο της f στο σημείο x 0 είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) δ=δ(ε)>0 τέτοιο ώστε: αν x A και 0 x x, τότε f ( x) L. 0 (https://el.wikipedia.org/wiki/όριο_(μαθηματικά)#όριο_συνάρτησης) Ξεκινώντας από τον ορισμό του ορίου, διακρίνουμε ήδη προβλήματα στην κατανόηση του, λόγω των πολλών ποσοδεικτών. Παρατηρούμε ότι στον σχολικό ορισμό υπάρχει πληθώρα συμβολισμών που έχουν ήδη διδαχτεί οι μαθητές, με σκοπό την συντομότερη καταγραφή του ορισμού, αλλά έχει ως αποτέλεσμα να δυσχεραίνει την κατανόηση του. Αντίθετα, στον Πανεπιστημιακό ορισμό παρουσιάζεται μία διαφορετική διατύπωση του ορίου με λιγότερους συμβολισμούς. Μάλιστα, υπάρχει επεξήγηση για το και το δ καθώς το δ είναι εξαρτώμενο από το ε, κάτι το οποίο δεν διευκρινίζεται στον σχολικό ορισμό αποσκοπώντας στην απλούστευση του. 53

Παράγωγος Σχολικός Ορισμός Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το lim f ( x ) f ( x x x0 x x0 0 ) και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και συμβολίζεται με f x ). Δηλαδή: f ( x 0 ) = lim ( 0 f ( x) f ( x x x0 x x0 (σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου έκδοση 2019) 0 ) Πανεπιστημιακός Ορισμός Αν y = f (x) και το x0 βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της f, τότε με τον όρο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της f στο x0 εννοούμε το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής μεταξύ των x0 και x0 + x, καθώς το x προσεγγίζει το 0: y f ( x0 + x) f ( x0 ) lim = lim x 0 x x 0 x με την προϋπόθεση ότι αυτό το όριο υπάρχει. Αυτό το όριο ονομάζεται επίσης παράγωγος της f στο x 0 (F. Ayres, E. Mendelson, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός) Στην αναδιάρθρωση του ορισμού της παραγώγου, παρατηρούμε την προσθήκη της ισότητας y = f (x) καθώς και του όρου στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής και, έπειτα, επεξηγείται η έννοια του. Σε αυτόν τον Πανεπιστημιακό ορισμό, αντίθετα με του ορίου, γίνεται περισσότερη χρήση της συμβολικής γλώσσας και παρουσιάζεται ένας ακόμα τρόπος συμβολισμού της παραγώγου, χωρίς να διευκρινίζεται ο χαρακτηριστικός συμβολισμός που έχουν συνηθίσει οι φοιτητές: f x ). Η μεγαλύτερη διαφορά, όμως, είναι αυτή του x και πώς αυτό χρησιμοποιείται. ( 0 54

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αόριστο Ολοκλήρωμα: Σχολικός Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει F ( x) = f ( x), για κάθε x. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα, ισχύει f ( x) dx = f ( x) + c, c Πανεπιστημιακός Ορισμός Αν F ( x) = f ( x) τότε η F ονομάζεται αντιπαράγωγος (ή παράγουσα) της f. Η αντιπαράγωγος ολοκλήρωμα. f x) dx ( ονομάζεται και αόριστο (F. Ayres, E. Mendelson, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός) (σχολικό βιβλίο Γ Λυκείου έκδοση 2019) Τέλος, για το αόριστο ολοκλήρωμα, τόσο ο ορισμός της παράγουσας, όσο και του αόριστου ολοκληρώματος είναι αρκετά συντομότεροι. Ο σχολικός ορισμός, σε αντίθεση με τον Πανεπιστημιακό, της αρχικής συνάρτησης ξεκινά ορίζοντας το διάστημα της συνάρτησης και της παράγουσας και τονίζει την παραγωγισιμότητα της για κάθε x του πεδίου ορισμού της. Στη συνέχεια, για το αόριστο ολοκλήρωμα η κύρια διαφορά είναι η μη αναφορά του πραγματικού αριθμού c στον δεύτερο ορισμό. Επίσης, στον πρώτο τονίζεται ξανά η παραγωγισημότητα της συνάρτησης. 5.3 ΕΜΠΕΙΡΗ ΣΚΕΨΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΟΜΗΣ Οι μαθητές μπορούν να εξελιχθούν με διάφορους τρόπους, καθώς η φυσική τους υπόσταση στηρίζεται στη δόμηση συσσωματωμένων νοητικών εικόνων των εμπειριών τους ή λειτουργίες σχετικές με την εμπειρία χειρισμού συμβόλων ή -πιο επίσημα- να κάνουν μειώσεις από επίσημους ορισμούς. Επίσης, ορισμένοι μπορεί να μαθαίνουν διαδικαστικά αποδείξεις για να τις κάνουν χρήση σε εξετάσεις. Όταν σε έναν μαθητή παρουσιάζεται μία λίστα από αξιώματα, το πρώτο βήμα είναι αποδείξει κάποια αρχικά θεωρήματα που ικανοποιούν τα αξιώματα και τους ορισμούς, για να μπορούν να χρησιμοποιηθούν με πιο ευέλικτους τρόπους. Αυτό αναπτύσσεται από μία πολυδομημένη λίστα σε μία αυξανόμενη σχεσιακή δομή της επίσημης γνώσης. Αργότερα, μπορεί να εμπλουτιστεί ως μία κρυσταλλική έννοια. Ο ανθρώπινος νους μπορεί να συμπιέσει παραπάνω τις ιδέες, όχι μόνο σε έννοιες στις οποίες υπάρχουν ισοδύναμες διατυπώσεις/εκδοχές, αλλά και σε μία κρυσταλλική έννοια: το ένα και μόνο πλήρες σύνολο το οποίο έχει εξίσου επίσημες, συσσωματωμένες και συμβολικές εκδοχές. Διαφορετικά είδη προχωρημένης Μαθηματικής σκέψης 55

«Είναι αδύνατο να μελετήσουμε την δουλειά σπουδαίων μαθηματικών, ή ακόμα και των μικρότερων, χωρίς να παρατηρήσουμε και να διακρίνουμε δύο αντίθετες τάσεις, είτε δυο εντελώς διαφορετικά είδη μυαλών. Το ένα είδος είναι πάνω από όλα απορροφημένο με τη λογική, για να διαβαστεί η δουλειά τους, κάποιος βρίσκεται σε πειρασμό να πιστέψει πως έχουν γίνει προχωρημένοι ακολουθώντας μόνο βήμα προς βήμα, σύμφωνα με τον τρόπο ενός Vauban που έχει ωθεί στα χαρακώματα ενάντια του πολιορκημένου τοπίου, χωρίς να αφήνει τίποτα στην τύχη. Το άλλο είδος οδηγείται από την διαίσθηση και στο πρώτο εγκεφαλικό κάνουν γρήγορες αλλά κάποιες φορές επισφαλείς κατακτήσεις, όπως οι τολμηροί ιππείς της προηγμένης φρουράς.» (Poincaré, 1993, σελ. 210) Πώς γίνεται μία μαθηματική έρευνα; Για τον MacLane (1994) μία μαθηματική έρευνα σημαίνει απόκτηση και κατανόηση των απαραίτητων ορισμών ή ενασχόληση με αυτούς, για να προβεί σε συμπέρασμα για το τι μπορεί ναι είναι αληθινό, ώστε στο τέλος να επινοηθούν νέα θεωρήματα "δομής". Για τον Atiyah (1988), σήμαινε να σκεφτεί σκληρά μία κάπως ασαφής και αβέβαιη κατάσταση, προσπαθώντας να μαντέψει τι μπορεί να ανακαλυφθεί, και μόνο τότε να αναζητήσει ορισμούς, τα σίγουρα θεωρήματα και αποδείξεις. (Maclane, 1994, p. 190 191.) Από τα παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα Μαθηματικά μπορούν να μελετηθούν με δύο τρόπους, εκ των οποίων ο ένας είναι πολύ αυστηρός, όπου μπορεί να φανεί πολύ χρήσιμος στην Άλγεβρα και στη Γεωμετρία. Όμως, ο άλλος μπορεί να φανεί πολύ χρήσιμος στην τεχνολογική εξέλιξη. Ο Pinto και Tall (1999) εμφάνισαν ένα ευρύ φάσμα της διαδικασίας της σκέψης σε προπτυχιακούς φοιτητές μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων που κατασκευάζουν επεξηγήσεις των ορισμών βασισμένων σε δικές τους εμπειρίες και άλλους που παίρνουν τους ορισμούς από άλλους και χτίζουν κυρίως νόημα, αφαιρώντας τα θεωρήματα. Οι τελευταίοι μαθητές, φαίνονται πιο επιδεκτικοί σε ένα μάθημα δράσης της APOS από τους πρώτους, ενώ οι πρώτοι βασίζονται σε μια ολόκληρη σειρά συσσωματωμένων γνωστικών κατασκευών. 56

ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 6.1 ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ένα μεγάλο μέρος των ερευνητών που ασχολούνται με τους τομείς όπως αυτούς της εκπαίδευσης, τις κοινωνικές επιστήμες και τα επαγγέλματα υγείας, ενδιαφέρονται άμεσα για τα πρακτικά αποτελέσματα της έρευνας και κυρίως για την βελτίωση της πρακτικής στον τομέα τους. Ωστόσο, στόχος δεν είναι μόνο να «γνωρίσουμε τα δεδομένα και να κατανοήσουμε τις σχέσεις χάριν της γνώσης. Θέλουμε να γνωρίσουμε και να κατανοήσουμε προκειμένου να μπορέσουμε να δράσουμε, και μάλιστα να δράσουμε καλύτερα από ό,τι στο παρελθόν» (Langeveld 1965: 4). Αυτό βέβαια δε σημαίνει ότι αρνούμαστε τη σπουδαιότητα που έχει η έρευνα, η οποία μπορεί να μην έχει κανένα άμεσο πρακτικό αποτέλεσμα. Ο Eggleston (1979) μας υπενθυμίζει τη σημασία των μακροπρόθεσμων αντικειμενικών στόχων και της αναγκαιότητας να δούμε πέρα από τις σημερινές πρακτικές, κατά τη γνώμη του, θα την άφηνε «εκτεθειμένη στην κατηγορία ότι μοναδική της λειτουργία είναι να αυξήσει την αποτελεσματικότητα του υπάρχοντος συστήματος όσον αφορά τα αποδεκτά κριτήρια, και θα της αρνούνταν την ευκαιρία να διερευνήσει δυνητικά πιο αποτελεσματικές εναλλακτικές λύσεις» (Eggleston 1979: 5). Κατά την πάροδο των τελευταίων χρόνων έχει διεξαχθεί πληθώρα ερευνών με επίκεντρο τις διδακτικές στρατηγικές που ακολουθούν οι διδάσκοντες των μαθηματικών με σκοπό την μετάδοση της επιθυμητής γνώσης και πώς ανταποκρίνονται σε αυτές οι διδασκόμενοι. Ξεκινώντας από τα πρώτα στάδια της μαθητικής ζωής ενός νέου ατόμου, έχουν παρατηρηθεί ορισμένες επαναλαμβανόμενες συμπεριφορές ανάλογες των εμπειριών τους οι οποίες, τις περισσότερες φορές, οδηγούν σε προβλεπόμενα αποτελέσματα. Καθώς, όμως, προχωρά την μαθηματική του εμπειρία, οι σχετικές έρευνες τείνουν να μειώνονται, παρά το γεγονός ότι ο νέος μεγαλώνει και εξελίσσεται τόσο νοητικά όσο και εμπειρικά. Σύμφωνα με την Sfard (2001), υπάρχει αναγκαιότητα σε πολλές περιπτώσεις να εφαρμόζονται διαφορετικές προσεγγίσεις στην ανάλυση της διαδικασίας μάθησης, προκειμένου να βρίσκεται ποια παρέχει την καλύτερη λύση σε δεδομένο πρόβλημα. Είναι πολύ ενδιαφέρον να μελετήσουμε τον τρόπο σκέψης, λειτουργίας και αντίδρασης των νέων μεγαλύτερης ηλικίας, έπειτα από την βασική διαμόρφωση των στάσεων και των πεποιθήσεων που έχουν βιώσει στα πρώτα στάδια της μαθητικής ζωής τους και πώς αυτό τους έχει διαμορφώσει. Αξίζει, επίσης, να σημειωθεί πως, παρά την κλίση των μαθητών στις μαθηματικές σχολές, δεν ανταποκρίνονται όλοι με τον ίδιο τρόπο σε θέματα κατανόησης, απόδοσης και διαχείρισης των γνώσεων, 57

1 1 1 3 4 8 10 11 13 15 19 22 21 24 23 22 24 28 32 31 32 35 37 40 42 καθώς είναι εμφανείς οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι περισσότεροι στην ένταξη της φοιτητικής επιμόρφωσης, ειδικότερα κατά τα πρώτα έτη σπουδών. Είναι αναγκαίο, λοιπόν, να μελετηθεί πού οφείλονται οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι νέοι στην μελέτη των Μαθηματικών, σε τι διαφέρουν εκείνοι οι οποίοι επέλεξαν να ασχοληθούν βαθύτερα με αυτά και, έπειτα, γιατί βρίσκουν εμπόδια στην κατανόηση των Πανεπιστημιακών μαθηματικών. Στρέφοντας το ενδιαφέρον στις πανελλήνιες εξετάσεις, στο μάθημα των μαθηματικών διάφορων ετών, παρατηρούμε πως ο μέσος όρος των βαθμολογιών κυμαίνεται στο 9-10,5. Στον παρακάτω πίνακα θα βρούμε περισσότερες γενικές πληροφορίες που αφορούν τις επιδώσεις μαθητών/τριών γενικών ημερησίων λυκείων (νέου συστήματος), οι οποίες συγκεντρώθηκαν από την διαδικτυακή σελίδα «Εκπαιδευτική κλίμακα» (edu.klimaka.gr). (Τα ποσοστά είναι στρογγυλοποιημένα, με αποτέλεσμα να χάνονται κάποιες δεκαδικές αξίες). ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ ΗΜ. ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ Βαθμ. [0,10) [10,20] Έτος 2020 59 41 2019 61 39 2018 70 30 2017 69 31 2016 63 36 2020 2019 2018 2017 2016 [0,5) [5,10) [10,15) [15,19) [19,20] ΠΙΝΑΚΑΣ 6.1: ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΕΣ ΑΝΩ ΚΑΙ ΚΑΤΩ ΤΟΥ 10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ ΗΜ ΑΝΑ ΕΤΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.1: ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ ΗΜ. ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΑΝΑ ΕΤΗ Με την βοήθεια του παραπάνω ραβδογράμματος, συμπεραίνουμε πως το μεγαλύτερο ποσοστό των μαθητών και μαθητριών, 64,4% κατά μέσο όρο, που συμμετέχουν στις Πανελλαδικές εξετάσεις επιτυγχάνουν βαθμό μικρότερο του 10 και μόλις το 35.4% βαθμολογείτε με μεγαλύτερο ή ίσο του 10. Επιπλέον, μελετώντας τα στατιστικά των βαθμολογιών, κρίθηκε χρήσιμο να ερευνηθούν και τα ποσοστά των επιλογών των νέων προς τις ομάδες προσανατολισμού (το 2020), η συγκεκριμένη πληροφορία συγκεντρώθηκε από την ίδια διαδικτυακή σελίδα, «Εκπαιδευτική κλίμακα» (edu.klimaka.gr). 58

ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ανθρωπιστικών σπουδών, 30% Μουσικών σπουδών, 0.3% Θετικών σπουδών, 21% Σπουδών υγείας, 15% Σπουδών οικονομίας και πληροφορικής, 33% ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.2: ΠΟΣΟΣΤΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΗΣ ΚΑΘΕ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΑΤΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 2020 Στο παραπάνω διάγραμμα παρατηρούμε πως το 54% των μαθητών/τριών, που εξετάζονται πανελλαδικά, επιλέγουν ομάδα προσανατολισμού η οποία εμπεριέχει τα Μαθηματικά, αλλά, κατά μέσο όρο, το 64,4% αυτών βαθμολογείται με κάτω από 10 στα 20. Έτσι, κρίνεται απαραίτητο να μελετήσουμε τις στάσεις και τις πεποιθήσεις των μαθητών/τριών αυτών, που τους οδηγούν στην επιλογή να εξεταστούν σε μία ομάδα μαθημάτων, όπου περιέχονται τα Μαθηματικά, αλλά και γιατί δεν καταφέρνουν μία καλύτερη επίδοση. Στην συνέχεια, μπορούμε να αναρωτηθούμε για τα μέσα με τα οποία θα μπορούσε -ίσως- να διαμορφωθεί η διδακτική και μαθησιακή διαδικασία, με σκοπό να βελτιωθούν οι επιδώσεις των μαθητών/τριών. Επομένως, ο σκοπός της έρευνας είναι να μελετήσει τα πιστεύω, τις εμπειρίες αλλά και τις γνώσεις των μαθητών διαφορετικών μορφωτικών επιπέδων πάνω στα μαθηματικά. Η παρούσα ερευνητική εργασία αποσκοπεί να μελετήσει: 1. Την σχέση και τις απόψεις τους με τα Mαθηματικά. 2. Αν η προσωπική τους άποψη για τις γνώσεις τους συντρέχει με τις επιδώσεις τους. 3. Αίτια δυσκολιών μετάβασης στα Πανεπιστημιακά Μαθηματικά. Οι υποθέσεις που προέκυψαν στο προπαρασκευαστικό στάδιο αυτής της έρευνας είναι οι εξής: 1. Μαθητές/τριες και φοιτητές/τριες διαφορετικών τάξεων θα προσέγγιζαν διαφορετικά τις ασκήσεις. 2. Φοιτητές του τμήματος Μαθηματικών θα είχαν θετικές απόψεις για τα Μαθηματικά. 3. Οι γνώσεις των μαθητών/τριών θεωρητικών κατευθύνσεων θα ήταν ελλείπεις. 4. Ερωτήματα εκτός ύλης θα έμεναν άλυτα. 5. Άτομα τα οποία φοβόντουσαν τα Μαθηματικά θα είχαν χαμηλές αποδώσεις στις ασκήσεις. 59

6.2 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Τα ερωτηματολόγια της παρούσας έρευνας μοιράστηκαν στους μαθητές και τις μαθήτριες Β και Γ τάξη Λυκείου, καθώς και σε φοιτητές Μαθηματικών τμημάτων. Πριν την χορήγηση του ερωτηματολογίου στους/στις μαθητές/τριες της Γ Λυκείου, η ερευνήτρια επικοινώνησε αρχικά με τους διευθυντές και τις διευθύντριες όλων των γενικών λυκείων της πόλης της Ρόδου και της Σύμης, με σκοπό να της χορηγηθεί άδεια να απασχολήσει και να μοιράσει τα ερωτηματολόγια στους/στις μαθητές/τριες. Εδώ, θα πρέπει να σημειωθεί, πως οι περισσότεροι/ρες διευθυντές/τριες δεν ήθελαν να μοιραστούν τα ερωτηματολόγια στους/στις μαθητές/τριες της τρίτης τάξης, διότι ήθελαν να αποφύγουν την σύγχυση και τη δημιουργία άγχους εν όψει των πανελλήνιων εξετάσεων. Αντίθετα, οι περισσότεροι ήταν σύμφωνοι με την απασχόληση των μαθητών/τριων της Β τάξης του Λυκείου. Εν τέλει, η διαδικασία χορήγησης των ερωτηματολογίων στα παιδιά της Γ Λυκείου πραγματοποιήθηκε στις 26 με 30 Απριλίου του 2018 στο 2 ο Λύκειο Ρόδου, της Β Λυκείου έγινε το τελευταίο δεκαήμερο του Απριλίου του 2019 σε διάφορα σχολεία της Ρόδου, συγκεκριμένα στο 1ο, 2ο, 3ο και μουσικό σχολείο Ρόδου. Εν συνεχεία, το διαδικτυακό ερωτηματολόγιο διανεμήθηκε από 13 Ιουλίου έως 30 Οκτωβρίου του 2019 σε φοιτητές/τριες της Ελλάδας, οι οποίοι φοιτούσαν στα Πανεπιστήμια, Αιγαίου, Κρήτης, ΕΚΠΑ, Πάτρας, Αριστοτέλειο, Εθνικό Μετσόβιο, και Ιωαννίνων. Τα περισσότερα ερωτηματολόγια δόθηκαν παρουσία της ίδιας της ερευνήτριας με σκοπό να εξακριβωθεί και να διασωθεί η αξιοπιστία και η ποιότητα της έρευνας (συγκεκριμένα η ερευνήτρια ήταν παρούσα στα Λύκεια 2 ο,3 ο και στο μουσικό σχολείο). Η εκπαιδευτική της ιδιότητα, αποτέλεσε καθοριστικό παράγοντα στο να εξυπηρετηθεί και να βοηθηθεί από τους εκάστοτε συναδέλφους. Στα σχολεία και τις περιοχές όπου η πρόσβαση της ερευνήτριας κρίθηκε για κάποιο λόγο δύσκολη, τα ερωτηματολόγια μοιράστηκαν από τους εκπαιδευτικούς του σχολείου, αφότου είχε υπάρξει επικοινωνία με την ερευνήτρια σχετικά με την ενημέρωση τους για τους σκοπούς της έρευνας, τους στόχους, τις πιθανές απορίες των μαθητών/τριών και γενικές οδηγίες για τη διαδικασία συμπλήρωσης του ερωτηματολογίου. Η διαδικασία έλαβε μέρος μία σχολική μέρα, χωρίς να έχουν ενημερωθεί νωρίτερα οι μαθητές (εκτός από τους μαθητές του 1 ου Λυκείου, όπου ο διευθυντής του σχολείου μοίρασε τα ερωτηματολόγια μόνο στους μαθητές που ήταν πρόθυμοι να συμμετάσχουν στην έρευνα). Αρχικά, γνωστοποιήθηκε σύντομα στους ερωτώμενους ο λόγος της έρευνας, για να κατανοήσουν τη σημασία της και να εκφράσουν ακριβώς αυτό που σκέφτονται και μάλιστα με σαφήνεια και αμεροληψία. Τονίστηκε ιδιαίτερα ότι το ερωτηματολόγιο ήταν ανώνυμο και αντιπροσωπεύει μια έρευνα αντιλήψεων και όχι γνώσεων, για αυτό το λόγο δεν βαθμολογείται και κάθε απάντηση θεωρείται σωστή. Επίσης, παροτρύνθηκαν να απαντήσουν με βάση τις δικές τους εμπειρίες και συνήθεις και όχι με το τι θεωρούν ότι θα έπρεπε να πράττουν. Αυτό έπαιξε καθοριστικό ρόλο κατά τη συμπλήρωση, καθώς απέβαλε το άγχος των μαθητών/τριών. Τέλος, δόθηκαν κάποιες διευκρινίσεις για τον τρόπο απάντησης των ερωτήσεων και έπειτα ξεκίνησαν την συμπλήρωση του. Η ολοκλήρωση του ερωτηματολογίου διήρκησε 60

κατά μέσο όρο 30 λεπτά, όπως ακριβώς ήταν και ο στόχος της ερευνήτριας. Το ερωτηματολόγιο κρίθηκε ευχάριστο από τους περισσότερους μαθητές, διότι είχε ως στόχο την έρευνα για την διδασκαλία των Μαθηματικών και όχι την μέτρηση γνώσεων. Έπειτα της συμπλήρωσης των ερωτηματολογίων, συλλέχθηκαν από την ερευνήτρια και τοποθετήθηκαν συγκεντρωτικά ανά τάξη. Για την αξιολόγηση των φοιτητών και φοιτητριών των Μαθηματικών τμημάτων, η ερευνήτρια επικοινώνησε με αρχικά με τις γραμματείες των τμημάτων με σκοπό να της χορηγηθεί άδεια και να σταλούν τα ερωτηματολόγια σε όλους τους/τις φοιτητές/τριες. Στην επικοινωνία αυτή κατεστήθη σαφές στα μέλη της γραμματείας του κάθε τμήματος ο σκοπός της έρευνας, καθώς και το Πανεπιστήμιο από όπου διεξαγόταν η έρευνα. Η άλλη μέθοδος που ακολουθήθηκε για τον διαμοιρασμό των ερωτηματολογίων για τους φοιτητές/τριες ήταν η προώθηση του μέσω των διαδικτυακών ομάδων του κάθε πανεπιστημίου. Στην συγκεκριμένη περίπτωση η ερευνήτρια επικοινώνησε με τους διαχειριστές των ομάδων και τους ενημέρωσε για τον σκοπό του αιτήματος της. Έπειτα της αποδοχής, αναρτήθηκε στις ομάδες το ερωτηματολόγιο με την σημείωση ότι προοριζόταν για έρευνα πάνω στην διδακτική των Μαθηματικών στο πλαίσιο πτυχιακής εργασίας. 6.3 ΜΕΣΑ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η συμπεριφορά των μαθητών στα μαθηματικά προκύπτει από νόρμες που δημιουργούνται με το χρόνο και ριζώνονται από τη δύναμη της συνήθειας (Γαγάτσης, Λοΐζου, Στυλιανού, Τοφάρου (2006)). Έτσι, κρίθηκε σκόπιμο, η έρευνα να μην περιοριστεί στο ηλικιακό φάσμα των πρωτοετών φοιτητών, αλλά να επεκταθεί και σε κοντινές ηλικίες (μαθητές Β Λυκείου έως φοιτητές πανεπιστημίου). Για την συλλογή των δεδομένων της έρευνας, έχοντας σκοπό την καταγραφή προσωπικών σκέψεων και απόψεων των νέων στο πλαίσιο της σχέσης τους με τα Μαθηματικά, ώστε να μπορέσουν στη συνέχεια να ερευνηθούν, κρίθηκε απαραίτητος ο καταρτισμός ενός ερωτηματολογίου. Για την κάλυψη του αρχικού σκοπού της έρευνας, λοιπόν, έπρεπε να διαμορφωθούν οι απαραίτητες ερωτήσεις με συναφή τρόπο. Οι ερωτήσεις είχαν απλό ύφος (για παράδειγμα: Φοβάμαι τα Μαθηματικά ) με απαντήσεις όσο το δυνατόν συντομότερες και πρακτικές για τους/ις μαθητές/τριες. Όλα τα ερωτηματολόγια κατασκευάστηκαν από την ερευνήτρια υπό την εποπτεία και καθοδήγηση του επιβλέποντος καθηγητή. Το πρώτο (για την Γ Λυκείου) κατά την χρονιά 2018, το δεύτερο (για την Β Λυκείου) και το διαδικτυακό το 2019. Οι θεωρητικές ερωτήσεις συγκεντρώθηκαν από πληθώρα ερωτηματολογίων που είχαν ως κεντρικό θέμα διερεύνησης τις στάσεις, τις πεποιθήσεις και τις απόψεις μαθητών/τριών για την διδασκαλία των Μαθηματικών. 61

Σχεδιάστηκαν και δομήθηκαν με τρόπο, ώστε να αξιολογούν διαφορετικά αλλά σχετιζόμενα θέματα, καταγράφοντας τις στάσεις, πεποιθήσεις, την αυτογνωσία και τις γνώσεις ενός μεγάλου ηλικιακού φάσματος ερωτώμενων. Τα ερωτηματολόγια που δόθηκαν στο δείγμα ήταν τριών ειδών με αρκετά κοινά στοιχεία μεταξύ τους. Γενικά, υπήρξε η προσπάθεια, οι ερωτήσεις να μην διαφέρουν πολύ, όμως προσαρμόστηκαν ανάλογα την ηλικία των κάθε ερωτώμενων. Το πρώτο ερωτηματολόγιο χορηγήθηκε σε μαθητές/τριες Γ τάξης Λυκείου σε χρονική περίοδο που είχε ολοκληρωθεί όλη η διδακτέα ύλη. Οι ερωτήσεις ήταν χωρισμένες σε τρία μέρη, το πρώτο περιλάμβανε τρεις ερωτήσεις που αφορούσαν ορισμένα δημογραφικά στοιχεία (φύλο, ηλικία αλλά και την κατεύθυνση/ομάδα προσανατολισμού). Το δεύτερο μέρος είχε μορφή πίνακα με 18 ερωτήσεις όπου οι απαντήσεις χρησιμοποιούσαν την κλίμακα Likert, με τέσσερις διαβαθμίσεις (Διαφωνώ, Διαφωνώ Λίγο, Συμφωνώ Λίγο, Συμφωνώ) και αναφερόταν στις στάσεις και τις πεποιθήσεις (π.χ. «Φοβάμαι τα μαθηματικά»). Οι 17 πρώτες ερωτήσεις υπάρχουν και στα τρία ερωτηματολόγια που μοιράστηκαν, για να είναι εφικτή η σύγκριση του τρόπου σκέψης των μαθητών/τριών και φοιτητών/τριών σε κάθε ηλικιακή βαθμίδα. Οι υπόλοιπες ερωτήσεις είχαν ως στόχο να μελετηθεί η επάρκεια των γνώσεων και η αυτογνωσία τους. Έτσι, ορίστηκαν με βάση τις μαθηματικές γνώσεις, ανάλογα την τάξη των μαθητών, με σκοπό τη μελέτη του επιπέδου των παιδιών και τον τρόπο που ανταποκρίνονται σε διαφορετικού τύπου ασκήσεις. Αξίζει να σημειωθεί πως οι ερωτήσεις σε όλα τα ερωτηματολόγια σκόπιμα είχαν μικρές απαντήσεις για να κρατήσουν το ενδιαφέρον των μαθητών. Το δεύτερο ερωτηματολόγιο, είχε το ίδιο μέγεθος και δομή με το αρχικό και απευθυνόταν σε μαθητές/τριες Β λυκείου. Το πρώτο και δεύτερο μέρος έμειναν ίδια και στο τρίτο μέρος υπήρχαν ερωτήσεις ορισμών, θεωρίας καθώς και 9 ασκήσεις βασισμένες στις συναρτήσεις και τις γνώσεις που απέκτησαν σε εκείνη τη χρονιά (π.χ. Τι καλείται συνάρτηση στα μαθηματικά;), από τις οποίες ένας μικρός αριθμός ερωτήσεων ήταν ίδιες με αυτές του ερωτηματολογίου της Γ λυκείου. Το τρίτο ερωτηματολόγιο, το οποίο ήταν και μεγαλύτερο σε έκταση μοιράστηκε διαδικτυακά, με χρήση online ερωτηματολογίου σε φοιτητές και εκπαιδευτικούς σε όλα τα ελληνικά πανεπιστήμια μαθηματικών (αν και κίνησε το ενδιαφέρων και σε άλλα τμήματα). Σε αυτό υπήρχαν εξίσου οι ερωτήσεις πρώτου τύπου (σχετικές με τις στάσεις και τις πεποιθήσεις), καθώς ήταν ενδιαφέρον να μελετηθούν περισσότερες πληροφορίες σχετικές με την διδακτική των μαθηματικών από άτομα όπου έχουν επιλέξει να ασχοληθούν περισσότερο με τα Μαθηματικά. Για τον λόγο αυτό, προστέθηκαν παραπάνω ερωτήματα στο δεύτερο μέρος του, αλλά προστέθηκαν και κάποιες επιπλέον ερωτήσεις σύντομης απάντησης (π.χ. Προσδιορίστε κάποιο ιδιαίτερο λόγο για τον οποίο σας αρέσει να διδάσκετε ή να μη διδάσκετε Μαθηματικά). Τέλος, στο τέταρτο μέρος υπήρχαν 16 ασκήσεις που απαρτίζονταν από τα ερωτήματα των δύο προηγούμενων ερωτηματολόγιων και κάποια παραπάνω. 62

6.4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ Το ερωτηματολόγιο που χορηγήθηκε στην Β τάξη Λυκείου, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, ήταν χωρισμένο σε τρία μέρη. Το πρώτο μέρος αφορούσε δημογραφικά στοιχεία των μαθητών/τριών (φύλο, ηλικία και κατεύθυνση/ομάδα προσανατολισμού) το οποίο στόχευε περισσότερο στην διαχώριση των παιδιών ανάλογως των προτιμήσεών τους για τα θεωρητικά μαθήματα ή τα θετικά. Το δεύτερο μέρος απαρτιζόταν από 18 ερωτήσεις των οποίων οι απαντήσεις χρησιμοποιούσαν την κλίμακα Likert με τέσσερεις διαβαθμίσεις (Διαφωνώ, Διαφωνώ Λίγο, Συμφωνώ Λίγο, Συμφωνώ) οι οποίες αφορούσαν τις στάσεις (οι στάσεις περιγράφουν θέσεις ή προδιαθέσεις σε σχέση με συγκεκριμένα συναισθήματα που προκαλούνται από ιδιαίτερα μαθηματικά περιβάλλοντα), τις πεποιθήσεις (μία σύντομη εννοιολογική επεξήγηση για τις πεποιθήσεις είναι οι υποκειμενικές γνώσεις, θεωρίες και αντιλήψεις, στις οποίες καταλήγει για λόγους υποκειμενικούς και κατά κανόνα υποσυνείδητους ένα άτομο) και την αυτογνωσία τους (η αυτογνωσία εμπεριέχει μια σαφή αντίληψη της προσωπικότητάς μας). Από αυτές, 8 ερωτήσεις αποσκοπούσαν στο να συγκεντρωθούν πληροφορίες για τις στάσεις τους, 6 για τις πεποιθήσεις και 4 για την αυτογνωσία. Το τρίτο μέρος του ερωτηματολογίου περιείχε 9 ερωτήσεις σύντομης ανάπτυξης (οι περισσότερες περιείχαν και άλλα ερωτήματα, επομένως αν διαχωριστούν τα ερωτήματα ήταν 23) από τις οποίες 6 μελετούσαν τις γνώσεις στην θεωρία και 3 στις ασκήσεις. Το τελευταίο μέρος του ερωτηματολογίου προστέθηκε με σκοπό την μελέτη της γνωστικής επάρκειας των μαθητών/τριών, καθώς και την σύγκριση της αυτογνωσίας τους με την επάρκεια των γνώσεων τους. Σε αυτό το μέρος του ερωτηματολογίου, ερωτήσεις βασίστηκαν στην διδακτέα ύλη της τάξης (Ιδιότητες συναρτήσεων, μονοτονία-ακρότατα-συμμετρίες συνάρτησης, κατακόρυφη-οριζόντια μετατόπιση καμπύλης). Το ερωτηματολόγιο που χορηγήθηκε στην Γ τάξη Λυκείου, είχε αρκετές ομοιότητες με αυτό της Β λυκείου. Αναλυτικότερα, ήταν χωρισμένο επίσης σε τρία μέρη, όπου το πρώτο μέρος αφορούσε δημογραφικά στοιχεία των μαθητών/τριών (φύλο, ηλικία και κατεύθυνση/ομάδα προσανατολισμού). Το δεύτερο μέρος απαρτιζόταν από 18 ερωτήσεις όπου οι απαντήσεις χρησιμοποιούσαν την κλίμακα Likert με τέσσερις διαβαθμίσεις (Διαφωνώ, Διαφωνώ Λίγο, Συμφωνώ Λίγο, Συμφωνώ), οι οποίες αφορούσαν τις στάσεις, πεποιθήσεις και την αυτογνωσία τους. Από αυτές, πάλι οι 8 ερωτήσεις αποσκοπούσαν στο να συγκεντρωθούν πληροφορίες για τις στάσεις τους, 6 για τις πεποιθήσεις και 4 για την αυτογνωσία. Οι σημαντικές διαφορές (στο δεύτερο μέρος) με το ερωτηματολόγιο της Β λυκείου ήταν στις ερωτήσεις 4 και 18 (στην 4 της Β λυκείου: «Ντρέπομαι να ρωτήσω τον καθηγητή μου για κάτι που δεν κατάλαβα στα μαθηματικά», στην Γ λυκείου: «Φοβάμαι να ρωτήσω τον καθηγητή μου για κάτι που δεν κατάλαβα») στην 18 η ερώτηση στην Β λυκείου ερευνήθηκαν σχετικά με την μονοτονία και τη συνέχεια συνάρτησης, ενώ στην Γ λυκείου για συνέχεια, παραγώγιση και ολοκλήρωση συναρτήσεων. Το τρίτο μέρος του ερωτηματολογίου περιείχε 10 ερωτήσεις σύντομης ανάπτυξης (οι περισσότερες περιείχαν και άλλα ερωτήματα, επομένως αν 63

διαχωριστούν τα ερωτήματα ήταν 17) από τις οποίες 5 μελετούσαν τις γνώσεις στην θεωρία και 5 στις ασκήσεις. Οι κοινές ερωτήσεις με το ερωτηματολόγιο της Β τάξης αφορούσαν στην έννοια της συνάρτησης π.χ. «Υπάρχουν πολλοί τρόποι αναπαράστασης-έκφρασης μιας συνάρτησης;». Τα υπόλοιπα ερωτήματα διέφεραν και βασίζονταν στην συνέχεια, παράγωγο και ολοκλήρωση συναρτήσεων. Για την σύνταξη του τρίτου ερωτηματολογίου, που αφορούσε φοιτητές μαθηματικών τμημάτων, χρησιμοποιήθηκαν και τα δύο προηγούμενα ερωτηματολόγια. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο μέρος που αφορούσε τα δημογραφικά στοιχεία, προστέθηκαν οι ερωτήσεις για το τμήμα όπου φοιτούσαν ( Μαθηματικών ή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών) και το Πανεπιστήμιο. Στο δεύτερο μέρος (27 ερωτήσεις) παρά το ότι χρησιμοποιήθηκαν θεωρητικά οι ίδιες ερωτήσεις, διατυπώθηκαν με αναλυτικότερο τρόπο π.χ. η ερώτηση 2 «Το ενδιαφέρον μου για τα μαθηματικά ήταν το ίδιο σε όλες τις τάξεις.» αναλύθηκε σε διαφορετικές κατηγορίες για το γυμνάσιο και το λύκειο. Επίσης, προστέθηκαν ορισμένες επιπλέον ερωτήσεις για τις απόψεις τους στην ύλη και την διδασκαλία που δέχτηκαν στο λύκειο. Συγκεκριμένα, 10 είχαν σκοπό να μελετήσουν τις στάσεις, 9 τις πεποιθήσεις, 8 την αυτογνωσία και 2 την σχέση των γονέων τους με τα μαθηματικά. Στη συνέχεια, το τρίτο μέρος αυτού του ερωτηματολογίου υπήρχε μόνο σε αυτό. Οι απαντήσεις στις 7 ερωτήσεις του, δίνονταν με σύντομο γραπτό λόγο και είχαν ως στόχο την μελέτη των εμπειριών τους (4 ερωτήσεις), τις απόψεις και τις πεποιθήσεις τους (3 ερωτήσεις). Στο τέταρτο και τελευταίο μέρος (16 ερωτήσεις) υπήρχαν τα περισσότερα έργα και ασκήσεις των δύο προηγούμενων ερωτηματολογίων με την αλλαγή του τελευταίου ερωτήματος, διότι δεν ήταν εφικτό να σχεδιαστούν σχήματα ως απαντήσεις. 6.5 ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η έρευνα διεξήχθη στη Ρόδο δια ζώσης και Πανελλαδικά διαδικτυακά και το δείγμα αποτελείτο από 419 άτομα. Συγκεκριμένα, συμμετείχαν 217 μαθητές Λυκείου από την πόλη της Ρόδου και 181 φοιτητέςκαθηγητές Πανεπιστημίων από όλη την Ελλάδα. Ειδικότερα, οι μαθητές λυκείου διαχωρίζονται σε 181 μαθητές Β Λυκείου ηλικίας 16 με 19 χρόνων και σε 36 μαθητές Γ Λυκείου 17-18 χρόνων. Ακόμα, τα διαδικτυακά ερωτηματολόγια προήλθαν από 30 φοιτητές 17 έως 19 χρόνων, 51 φοιτητές 20 έως 21, 59 φοιτητές 22 έως 25 χρόνων και 36 άτομα 26 έως 50 ετών. Τέλος, 26 άτομα δεν διευκρίνισαν την ηλικία τους. Πρέπει να σημειωθεί πως τα διαδικτυακά ερωτηματολόγια προήλθαν από 164 φοιτητές Μαθηματικών τμημάτων και 18 φοιτητές Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. 64

Ηλικία Δείγματος Εκπαίδευση Δείγματος δεν απάν. 26-50 3% 9% 22-25 15% 20-21 13% 18-19 7% 17-18 9% δεν συνεργ. 0% 16-17 44% Τριτοβάθ μια 41% Δεν απάντ. 9% Δευτερο βάθμια 50% ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.3: ΠΟΣΟΣΤΑ ΗΛΙΚΙΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.4: ΠΟΣΟΣΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Το συνολικό δείγμα του πληθυσμό αναλύεται σε 177 άντρες και 221 γυναίκες. Αναλυτικότερα, υπήρχαν 110 κορίτσια και 90 αγόρια δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (10 άτομα δεν απάντησαν και 1 δεν συνεργάστηκε), 111 γυναίκες και 87 άντρες τριτοβάθμιας εκπαίδευσης και ενήλικες (4 άτομα δεν απάντησαν). Να σημειωθεί πως η ηλικιακή ομάδα 16-17 αναφέρεται σε μαθητές και μαθήτριες Β Λυκείου ενώ οι ηλικίες 17-18 σε μαθητές και μαθήτριες Γ Λυκείου. Φύλο Δείγματος δεν απάντ. 5% Φύλο Δείγματος (ανά ηλικία) 221 177 Άντρες 42% Γυναίκες 53% 110 90 111 87 10 4 14 Λύκειο Πανεπιστήμιο Σύνολο Γυναίκες Άντρες Δεν απάντ. Δεν συνεργ. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.5: ΠΟΣΟΣΤΑ ΦΥΛΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 6.6: ΠΟΣΟΣΤΑ ΦΥΛΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΑΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ Για την επιλογή του δείγματος της συγκεκριμένης εργασίας, χρησιμοποιήθηκε δειγματοληπτική έρευνα. Ο πληθυσμός ολόκληρου του νησιού, βέβαια, δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένος, με αποτέλεσμα να κριθεί αναγκαίο να πραγματοποιηθεί τυχαία δειγματοληψία για την συλλογή των δεδομένων. Για την πραγματοποίηση της έρευνας χρειάστηκε δείγμα τριών διαφορετικών ομάδων. Η 65