ΗΙΗ ΗΟΑΙΑ ΑΙΗΙΟ ΗΗ Εφαοα Μαα όηαμ Γρα Άερα αυαο Χώρο Μαα Καφε α Επ α εχοογα ώ
TETY Εφαρα αα θσβα ΙΙ: Γλαηηδεά Άζΰίλα Ύζβ: αυα α ααα, αα αυ, α πα, ααα α π, πυ α υ Δαυαοί χρο α δααα. δαΰωΰά Σα ΰθωΪ ηαμ δαθτηαα α α? Έα πυ πφα α α (π.. π) δϊθυηα ( α α υ ): α α πυ α α παφ π α α α υ υ,. π απ α α. (π.. α, αα). δαθυηαδεκέ χυλκδ: Χ πυ υ α υ ααα (α αυ). π α R 3, α α υ, α α R 2, α ππ. ΧαλαεβλδδεΫμ δδσβϋμ κυ R 3 (R 2 ) α υυα αυ υ R 3 (R 2 ) α υα υ R 3 (R 2 ) Γα υα υπ α α υ π α παπαα α αφ υα αα Η π αυ α αα α παα παπαα αα α α π α π υα α π α. Θα πυ αυ α α υ αυα υ π α α π υα α αφα ααα (πυ α α α ). υ ππ υ α αυα υ R 3 α R 2 : ωλδεσ ΰδθσηθκ: αυ a α b αα α α a b= a b cos(), (πυ α α a α b) π α. α α a, b α: Όα α παα; ΜΫλκ δαθτηακμ: a =a= (a a) /2 ( φυ υ a α α υα απυ α α απα α φυ a ). ΟλγκεαθκθδεΪ δαθτηαα: α α α (α) ααα, α. Γα α ααα αυ e i e j = ij ( ij α υ Kronecker, π α α α i=j α α i αφ απ j). Α υ R 2 α α α υα ααα ααα e α e 2, υα a υ R 2 π α αφ a=α e +α 2 e 2 (α υυα e α e 2
TETY Εφαρα αα 2 ( α α υυα;)). α α, α 2 α υ υ a υ α υα. φα α υα υ αα α α; υ αα αυ α α α υα (α π.. παφ). Άα αφ αα υ υ απ απ ααπαα υ αα α υα. π α αυ παπ παα ααα υ R 2 ( ααα α), π.. x, x 2, υα a υ R 2 π α αφ a= x + 2 ex 2 (α υυα x α x 2 ) (απα α φα α x, x 2 υα e α e 2 ). 2. Γθέευβ χυλκυμ πλδσλωθ δαϊωθ Αα R 2 α R 3 π α α αυα π απ α Γ, δαθυηαδεσμ χυλκμ, S, α α (α πα α ααα) π π α παπαα α α π πα απ υ α/: α υυα αυ υ υ α υα υ υ,. α a, b α υ S α, α (παα α) a+b α S Γα υα a υ S υπ α α υ, -a, a+(-a)=a-a=0 α α, 0, 0a=0 α a υ S ( υα) παπαα α αφ υα αα. Η π αυ α αα α παα,. α a, b, c υ S υ a+b=b+a, a+(b+c)=(a+b)+c παπαα αα α α π α π υα α π α,. α a, b α υ S α, α, (+)a=a+a, (a+b)=a+b, ()a=(a) Α α α πααπ φ α απ παα αυα S α παα. Α α α S α α. α α υ αυα υ α δαθτηαα. α ααα α απαα α α. π α υ αφ φυ αα απ α α ααα α παα αα α α. Θα υυ α ααα πα (bold) α αα (π.. a) α αυ υ Dirac (π.. a> a> (α υπυ πα α α) - π ). Παλαέΰηαα δαθυηαδευθ χυλωθ: α υ, R 3 n-α υ (υ υ αυ n-α)... α υ π υυ πυ ααα υα υ αα π α απ α απ πα (5-α )
TETY Εφαρα αα 3 α α (α αυα ) απ πυ α n - απ α υα, π.. υ υα π [0,] - απ αυα π α ωλδεσ ΰδθσηθκ αυ, π α υ υ υ υ R 3 α υ π α /α α υ. ωλδεσ ΰδθσηθκ αυ, a, b, α α α, π υ υα <a b>, α π ( ): (i) <a b>=<b a>* (ii) <a b+c>=<a b>+<a c> (iii) <a a> 0 (α υ αυα υ πυ α υυ ) ( * υ υυ α) α υα υ υ α bra α ket (απ bracket = πα) Χπα (i) α (ii) απ : (iv) <b+c a>=*<b a>+*<c a> υαα υ bra α υ ket. π πα α πααπ <a+b c+kd> υα <a c>, <a d>, <b c>, <b d>. αφ ααα απ παπαα πα; υ υ α α αα, : a 2 =<a a> (υ υ υ αα υ R 3 ). ααα ( ) π α α κλγκΰυθδα. Α ππ υ α α (ααα ααα), α κλγκεαθκθδεϊ. ααα α α υα υ ê (. απ, bold ). π <f f 2 > f = ê, f 2 =2ê +ê 2, πυ ê, ê 2 α. α α ααα i e iδ i f e ˆ ˆ = + e 2, 2 ˆ δ i f = e e e ˆ2 α; 2 2 2 2 Χ α πυ α : (i) (ii) Η αα υ Schwarz: <a b> a b (α πφα α α υ ααα;) Η αα: a+b a + b (απα πα αα υ Schwarz). αυα υ υα α : Α f(x) g(x) υα [a,b],
TETY Εφαρα αα 4 b b < g f >= g*( x) f( x) dx < g f >= g*( x) w( x) f( x) dx, a πυ υ w(x) ( υ) α υ υ α α α υ [a,b]. Απ υα π α π π απ (i) (ii) υ υ. 3. Χλάδημ Ϋθθκδμ δαθυηαδευθ χυλωθ Γλαηηδεά αθιαλβέα δαθυηϊωθ: α ααα x, x 2, x 3,, x n, αυα υ S α α αα α αα απ αυ π α αφ α υυα υππ. Η υ αυ α α, αα π, φα (απ ): α x, x 2, x 3,, x n α ΰλαηηδεΪ αθιϊλβα α υ x + 2 x 2 + 3 x 3 + + n x n =0 ααα υπα = 2 = 3 = = n =0. (παα α π απ α i α α υα π α π α α α αφ υα υππ). α α α ααα α αα (φα υ ααα α π π απ α ααα); α α α αα ααα α; φα: α α ααα f = ê, f 2 =2ê +ê 2, f 3 = ê 3 α αα; α g = ê, g 2 =ê +ê 2, g 3 = ê +ê 2 +ê 3 ; (α ê, ê 2, ê 3 α α ααα). α α ααα f =, f 2 =x, f 3 = x 2, f 4 = x 3 α αα; α f =, f 2 =-x+x 2, f 3 = x-x 2 +2x 3, f 4 =+x 3 ; ΒΪβ δαθυηαδεκτ χυλκυ: α α α αυ υ υ υα υ υ α π α αφ α υυα αυ. Α α ααα απ α αα α ππ α α, α α. Α α α (α α, α,. e i e j = ij ) ίϊβ α κλγκεαθκθδεά. α απ π ππ αυα. (αα α R 2 ;) δϊαβ δαθυηαδεκτ χυλκυ: α α α α αυ πυ π α αυ ( α αυ πυ αα α α φυ υα υ υ).. α α π α α αα ααα α παπ + α α α αα. α, α αα ααα α απ ; a
TETY Εφαρα αα 5 Έα αυα π α α α απα, π υα υ υ υα. φα: α α πυ, x, x 2, x 3, x 4 ; α α; υθδυμ δαθτηακμ: Έ α {x, x 2, x 3,, x n } αυα S n (α n). υα, y, υ S n α π α αφ y= x + 2 x 2 + 3 x 3 + + n x n α, 2, 3,, n α υθδυμ υ y {x, x 2,, x n } {x i } α αυ α α. Γα α αα (απ). υα y= x + 2 x 2 + 3 x 3 + + n x n φα π υ ( υα) α y=(, 2,, n ), α α δα i, πααπα α ααα, α πα α α. α π αυα αυ i φα α παα, α λ 2 y= y>= λ M λn Α υα φαα α υ παα αυ α υυ παα α, <y =( *, * 2,, * n ), α αα α παπαα π ( π φα). Γ υ υ αα αυ α υ υ α υα. (Χπ ααπαα αα α.) υθδυμ δαθτηακμ εαδ ωλδεσ ΰδθσηθκ: Έ α α {ê i } α -α αυα α υαα ααα N x>= x = λ eˆ i= i i N y >= y = μ eˆ π <x y> υα i, i. υ R 3. π x 2 =<x x> υα i. υ α αυ, φα υ υ. j= j j Θα α πααπ υπ π α υ ( i, i ) α π α ; π υα ππ α παπαυ x> α α 5 ; π α υ x>= x = < eˆ ˆ x> ei ; N i=
TETY Εφαρα αα 6 Ααπαα x> παα ( α) α y> παα α, υπ υ <x y> i, i. Ολγκΰωθδκπκέββ Gram-Schmidt: α πα π α ααυυ απ α α α αυ α α αυ. Θα φαυ ααα υ α αυ υυ υ R3. Έ α α α αα ααα υ R 3, v, v 2, v 3. Θα ααυυ απ αυ α α αυαα, ê, ê 2, ê 3. v, π απ αα υ, παα υα ê = v / v. Χπα v 2, ααυυ α υα, v 2, v (α ê ), αφαα απ v 2 υα υ πα ê : v 2 = v 2 - ê. αα ê v 2 =0, ππ =ê v 2. Άα, v 2 = v 2 (ê v 2 ) ê α ê 2 = v 2 / v 2. υα αα, ααυυ απ v 3 υα v 3 π α α ê α ê 2 αφαα υ v 3 πα α ê α ê 2 : v 3 = v 3 -ê 2 -ê 2. α α υπα απ α α ê v 3 =0 α ê 2 v 3 =0 (=ê v 3, =ê 2 v 3 ), α ê 3 απ υ v 3 (. α υ). Η ααα φαα αα α υ π α.
Σηώαα Σηωα ααφοά Copyright απ Κ, Μαα Καφέ «φαα Μααέ Γα Άα αυα Χ»έ Έμ έίέ Η βίηέ α απ υα υμ httpsμήήopencoursesέuocέgrήcoursesήcourseήviewέphp?id=337 Σηωα Αοόηη πα υ αα υ υ α χ Creative Commons αφ, Μ π Χ, Όχ α Έ ζέί [] α, Έέ αα α αυ α πέχέ φαφ, ααα έέπέ, α πα πχα αυ α α πα ααφα α υ υ χ υ «α Χ Έ»έ [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ω Μη πο α χμ πυ πα φ απ χ υ υ, α αα υ υ α αχ πυ πα υαα ππ α χ πα πυ ππ αα υ υ α αχ φ (πέχέ αφ) απ π υ υ αυα π αχ π α παχ αχ χ α α χπ α π χ, φ αυ υ έ αηη Σηωάω παπ ααπαα αυ υ υ α ππ α υπαμ α αφ α α
α υ υυυ υπυυέ Χηαοόηη πα παυ υ χ ααπυχ α παα υ παυ υ υ αέ «αα Μααα απ Κ» χ χα αααφ υ παυ υέ υπα πα υ πχα α «παυ α α υ Μ» α υχαα απ υπα Έ (υπα Κ α) α απ πυέ