UDC: 623.566.4 HIDRODINAMIČKI MODEL PODVODNOG PROJEKTILA Pukovnik d Mioslav Radosavljević, dipl. inž. Vojna akademija Reime: Radi dobijanja kvalitetnog matematičkog modela podvodnog pojektila u adu su definisane ulane i ilane veličine, bine i ubanje pojektila. U adate uslove mogućeg ketanja pojektila definisan je model podvodnog pojektila sa šest jednačina. Ključne eči: podvodni pojektil, koodinatni sistemi, sile i momenti. VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 HIDRODINAMICAL MODEL OF AN UNDERWATER PROJECTILE ummay: The pape analyes an undewate pojectile. The input and output values, the pojectile speed and acceleation ae defined fo a quality definition of the pojectile mathematical model. With the conditions of the pojectile potential movement peviously set out, the topedo model is defined by six equations. Key wods: Undewate pojectile, coodinate systems, foces and moments. Uvod M odeni podvodni pojektili su kompleksni tehnički sistemi kojima upavljaju ačunai ugađeni u njih. Upavljanje takvim pojektilima je ahtevno, a sintea sistema ahteva kvalitetne matematičke modele. Analia pefomansi dobo upavljivih podvodnih pojektila neminovno ahteva detaljno ponavanje njihove dinamike, akustičkih senoa, ueđaja a meenje pojedinih veličina koje diektno ili indiektno definišu dinamiku podvodnog pojektila, kao i ponavanje poemećaja i uslova u kojima pojektil ivšava svoju misiju. Osnovu fomianja matematičkog modela podvodnog pojektila čini analia uslova i enegetskog bilansa koji vladaju pi ketanju podvodnog pojektila ko vodu. Na osnovu ponatih akona hidodinamike i enegetskih bilansa sistema pojektila i voda, dolai se do matematičkog modela dinamike podvodnog pojektila. Rešavanjem ovako dobijenih sistema jednačina dobija se stanje podvodnog pojektila u vodenom postanstvu u svakom momentu. 61
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 l. 1 Igled tipičnog podvodnog pojektila Ulane i ilane pomenljive Ulane pomenljive Posmatani podvodni pojektil je multivaijabilni sistem upavljanja. Boj ulanih pomenljivih je aličit i avisi od tipa upavljanja. Klasični podvodni pojektili imaju ti gupe upavljačkih ogana: komila (hoiontalna i vetikalna), eleone i pogon. Mada pomene pojedinih ulanih pomenljivih deluju dominantno na neku od ilanih veličina, ne može se anemaiti njihov uticaj na ostale ilane veličine. Štaviše, jedna ulana pomenljiva može, u odeđenom ežimu ada, delovati načajno na više ilaa. Dugim ečima, sintea kvalitetnog sistema upavljanja ahteva analiu dinamičkog ponašanja podvodnog pojektila kao multivaijabilnog sistema. Komila su klasični upavljački ogani podvodnog pojektila. Postoje od momenta kada se na a ovu vstu pojektila i u najvećem boju su adžali svoju ulogu i u današnje veme. Komila pedstavljaju kute povšine koje se ugađuju na samom kaju (po kmi) podvodnog pojektila. Postavljaju se u hoiontalnu i vetikalnu (međusobno nomalne) avan podvodnog pojektila. Otklon komila u jednu ili dugu stanu, u odnosu na avan simetije, geneiše l. 2 Igled ivšnih ogana kojima se sile i momente pod čijim uticajem se ostvauju ulane veličine menjaju ilane veličine. 62
Komila se postavljaju u paovima simetično u odnosu na efeentnu avan pojektila. Ovako postavljena, omogućavaju auimanje bilo kog položaja tačke u vodenom postanstvu, što odeđuje manevaske osobine podvodnog pojektila. U hoiontalnoj avni postavljaju se hoiontalna komila, po jedno sa svake stane u odnosu na vetikalnu avan. Njihovim otklonom ostvauje se upavljanje u vetikalnoj avni auimanje odeđene dubine. Vetikalna komila ugađuju se u vetikalnoj avni podvodnog pojektila čijim otklonom se dostiže bilo koja tačka u hoiontalnoj avni. Ulane pomenljive u modelu dinamike pojektila onačavaju se sa: otklon smenog komila δ RV i otklon dubinskog komila δ RH. Otklon komila od nultog položaja može biti veoma aličit. Pi odeđivanju pednaka otklona komila najvažniji kiteijum pedstavlja ibo odgovaajućih koodinatnih sistema. Među topedistima je uobičajeno da je otklon vetikalnih komila ulevo poitivan, gledajući sme ketanja pojektila. Kod hoiontalnih komila poitivan otklon komila je pema dole. Eleoni su upavljački ogani podvodnog pojektila namenjeni a oganičavanje ugla nagiba u vetikalno-popečnoj avni. vojim aketanjem geneišu silu i moment čijim delovanjem se vši stabiliacija pojektila u popečnoj vetikalnoj avni u željene okvie. Iađuju se u vidu dve kute povšine i postavljaju u hoiontalnoj avni. Otklon jedne kute povšine eleona je u supotnu stanu u odnosu na dugu komilnu povšnu. Otklon eleona u modelu podvodnog pojektila obeležavaće se sa δ e. Poitivan otklon je otklon leve povšine nadole, a desne nagoe, gledajući u smeu ketanja pojektila. Pogon podvodnog pojektila je upavljački ogan. vojim adom geneiše silu poiva koja, petežno, obebeđuje pojektilu ketanje u pavcu njegove udužne ose. Osnovni element sile poiva je boj obtaja popelea no [ / s. ] Vekto ulanih pomenljivih dat je sledećim iaom: T u t = n, δ, δ, δ (1) () [ ] v h e VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 Ilane pomenljive Ilane pomenljive podvodnog pojektila jednonačno odeđuju poiciju u vodenom postanstvu. Pedstavljaju meu delovanja ulanih pomenljivih i neželjenih spoljnih, poemećajnih, sila. Ilane veličinu su: kus podvodnog pojektila Ψ, ugao tima Θ, ugao nagiba ϕ, ugaone bine p s, q s i s i bine podvodnog 63
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 pojektila V x, V y i V na odgovaajućim osama i koodinate podvodnog pojektila u vodenom postanstvu x, y i. Kus podvodnog pojektila Ψ pedstavlja tadicionalno navigacijski kvantifikato, meu aketanja podvodnog pojektila, u hoiontalnoj avni. Definiše se uglom aketanja udužnice podvodnog pojektila od avni pavog meidijana na poiciji podvodnog pojektila. U ovom adu kus podvodnog pojektila onačava aketanje ulevo ili udesno od udužnice boda gađača, koja se pedstavlja x -osom inecijskog koodinatnog sistema. Poitivni ugao je aketanje podvodnog pojektila u desnu stanu gledano u odnosu na sme ketanja podvodnog pojektila ili u smeu ketnja kaaljke na satu. Ugao tima Θ jeste mea kojom se iažava aketanje podvodnog pojektila u vetikalnoj x avni. Ova avan leži u udužnici podvodnog pojektila i nomalna je na hoiontalnu x y avan u kojoj, takođe, leži udužnica podvodnog pojektila. Ove dve avni su avni simetije podvodnog pojektila. 1 Poitivni ugao aoketa tima je na pliće ili ketanje u vetikalnoj avni u smeu supotnom od ketanja kaaljke na satu. Ugao bočnog nagiba ϕ mei se odstupanjem popečne ose podvodnog pojektila u popečnoj vetikalnoj avni od hoiontalne avni. Poitivno aketanje je otklon - ose u odnosu na x y avan nadesno. Bina podvodnog pojektila pedstavlja napedovanje težišta podvodnog pojektila u smeovima odgovaajućih osa inecijskog koodinatnog sistema. Za ispavnu definiciju ketanja podvodnog pojektila moa se ueti ukupna bina koja se dobija iaom: V = V + V + V (2) 2 2 2 x y a sme sabianjem vektoskih komponenti bine. Koodinate položaja podvodnog pojektila u postou onačavaju dostignuti nivo centa mase u inecijskom koodinatnom sistemu. Inos vektoa R odeđuje se sledećim iaom: 2 2 2 R = x + y + (3) a sme se dobija smeom vektoskog bia komponenti x, i. Ilani vekto ima dvanaest pomenljivih pikaanih elacijom: T y = Vx, Vy, V, p, q,, Ψ, Θ, ϕ, x, y, (4) 1 Pojektil je dvoosno simetično telo. 64
Na slici 3. šematski su pikaane ulane i ilane pomenljive tipičnog podvodnog pojektila topeda. Hidodinamičke sile i momenti Vx Vy VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 n d v d h d e Dinamički model topeda V p q Y Q j x y Poemećajne sile i momenti l. 3 Blok-šema podvodnog pojektila kao multivaijabilnog sistema Koodinatni sistemi Za ešavanje aličitih poblema upavljanja podvodnog pojektila koistiće se aličiti koodinatni sistemi. Pavilan ibo koodinatnih sistema omogućuje dobijanje pogodnog oblika ešavanja matematičkog modela ketanja i upavljanja podvodnog pojektila. U ovom adu koišćeni su: inecijalni (nepoketni), veani i binski koodinatni sistemi. Poed navedenih mogu se koistiti i polubinski i poluveani. Na slici 4 pikaana su ti koodinatna sistema koji će se pimenjivati u adu. 65
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 y y 1 y x x x 1 l. 4 Igled inecijalnog, veanog i binskog koodinatnog sistema Inecijalni koodinatni sistem Pavougli koodinatni sistem Oxy nepomičan je u postou. Koodinatni početak se veuje a neku poivoljno iabanu tačku u postou. Osa Ox leži u smeu početnog ketanja podvodnog pojektila, O usmeena je vetikalno naniže ka centu gavitacije Zemlje, a osa Oy je postavljena tako da čini poitivno ketanje u smeu ketanja kaaljke na satu. Zanemaivanjem otacije Zemlje i ketanje boda gađača ovaj sistem se smata inecijalnim. U navedenom koodinatnom sistemu pikauju se putanje centa težišta mase podvodnog pojektila. Veani koodinatni sistem Veani koodinatni sistem Oxy čvsto je vean a centa mase podvodnog pojektila. Podužna i O -osa leže u avni simetije, pi čemu je Ox -osa usmeena u pavcu ketanja, a Oy -osa nomalna je na x avan i usmeena je udesno. Položaj veanog koodinatnog sistema pema inecijalnom odeđen je Ojleovim uglovima Ψ, Θ, ϕ. Veani koodinatni sistem često se naiva dinamički koodinatni sistem, a koisti se pi poučavanju i simulaciji samonavođenja podvodnog pojektila. Binski koodinatni sistem Binski koodinatni sistem vean je a putanju podvodnog pojektila i koisti se pi definisanju i poučavanju hidodinamičkih sila i momenata koji deluju na pojektil. Definiše se osama Oxy. 1 1 1 1 Koodinatni početak leži u centu mase podvodnog pojektila. Osa Ox 1 1kolineana je sa vektoom bine podvodnog pojektila, osa Oy 1 pomaknuta je a ugao β u odnosu na Oy -osu, a O -osa a ugao α u odnosu na O osu veanog koodinatnog sistema. 1 66
Tansfomacija koodinatnih sistema Položaj veanog koodinatnog sistema u odnosu na inecijalni odeđuje se međusobnim položajem odgovaajućih osa. Položaj veanog koodinatnog sistema u odnosu na inecijalni odeđuje se uglovima ΨΘϕ,,. l. 5 Pelaak i inecijalnog u veani koodinatni sistem VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 Petpostavimo da se ose veanog koodinatnog sistema Oxy u odeđenom tenutku poklapaju sa osama Oxy inecijalnog koodinatnog sistema. Tansfomacija i inecijalnog u veani kodinatni sistem ostvauje se peko ti sukcesivne jednoosne otacije, i to: otacijom oko ose O inecijalnog koodinatnog sistema a ugao Ψ, otacijom oko ose Oy inecijalnog koodinatnog sistema a ugao Θ, otacijom oko ose Ox inecijalnog koodinatnog sistema a ugao ϕ, pi čemu su matice sukcesivnih jednoosnih otacija [ Ψ],[ Θ ],[ ϕ] definisane na sledeći način: cos Ψ sin Ψ Ψ= sin cos Ψ Ψ 1 cos Θ sin Θ Θ = 1 sin Θ cos Θ [ ] 1 ϕ = cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ [ ] Nakon množenja matica sukcesivnih jednoosnih otacija dobija se tansfomacija i inecijalnog u veani koodinatni sistem. CiD [ ] [ ] [ ϕ] = Ψ Θ (8) (5) (6) (7) 67
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 Ova tansfomaciona matica je otogonalna, pa je tansfomacija i veanog u inecijalni koodinatni sistem definisana sledećom elacijom: C Di = C (9) T id cos ΨcosΘ sin Ψcos Θ sin Θ CiD = sinϕcos Ψsin Θ cosϕsin Ψ sinϕsin Ψsin Θ+ cosϕcos Ψ sin Ψsin Θ (1) cos ϕcos Ψsin Θ+ sinϕsin Ψ cosϕsin Ψsin Θ sinϕcos Ψ cosϕcos Θ Ugao Ψ pedstavlja ugao sketanja u hoiontalnoj avni i smata se poitivnim pi sketanju osa od x y, odnosno sketanju u smeu obtanja kaaljke na satu. Ugao Θ je ugao tima ili popinjanja, a poitivan sme mu je pi aketanju ose x ili aketanju koje je supotno ketanju kaaljke na satu. Ugao ϕ je ugao nagiba i smata se poitivnim pi sketanju ose y,odnosno aketanju koje je supotno ketanju kaaljke na satu. Položaj binskog koodinatnog sistema u odnosu na veani koodinatni sistem definiše se uglovima α, β. Binski koodinatni sistem se pevodi i veanog obtanjem odeđenih osa, kao što je pikaano na slici 4. Tansfomacija i binskog u veani koodinatni sistem ostvauje se peko dve sukcesivne jednoosne otacije, i to: otacijom oko ose O inecijskog koodinatnog sistema a ugao a i otacijom oko ose Oy inecijskog koodinatnog sistema a ugao β. cos β sin β β = sin β cos β 1 [ ] [ α ] cosα sinα = 1 sinα cosα (11) (12) Nakon množenja matica sukcesivnih jednoosnih otacija dobija se matica tansfomacija i binskog u veani koodinatni sistem. cosα cos β cosαsin β sinα C = [ α] [ β] = sin β cos β sinα cos β sinαsin β cos β (13) 68
Pošto je matica otogonalna matici tansfomacije, tada se tansfomacija i veanog u binski kodinatni sistem može pedstaviti sledećim iaom: Cb T = C (14) Ugao α je napadni ugao podvodnog pojektila i smata se poitivnim kada je pednji deo podvodnog pojektila usmeen pema povšini moa. Ugao β je ugao klianja, a smata se poitivnim kada stuja vode dolai pvo na epni deo podvodnog pojektila, pa na pednji. Bine i ubanja podvodnog pojektila VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 Za odeđivanje apsolutne bine i ubanja podvodnog pojektila u veanom koodinatnom sistemu petpostavlja se uopšteno ketanje kutog tela sa šest stepeni slobode. Koodinatni početak inecijalnog i veanog koodinatnog sistema se, u pincipu, ne podudaaju (sem u momentu lansianja). Veani koodinatni sistem leži u centu mase podvodnog pojektila. Ketanje podvodnog pojektila pedstavlja se ketanjem tačke težišta njegovog centa mase. Na slici 6. pikaani su smeovi komponenata vektoa bine V ( Vx, Vy, V) i ubanja Ω ( p, q, ) podvodnog pojekti- la, kao i uglovi koji daju sme bini i ubanju podvodnog pojektila. l. 6 Gafički pika smeova i položaja vektoa bine i ubanja podvodnog pojektila x y R p V x x α q V y V β V x 1 y 69
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 U nekom tenutku položaj težišta mase podvodnog pojektila u inecijalnom koodinatnom sistemu odeđen je adijusom vektoa R OG, a u dinamičkom koodinatnom sistemu sa R G. I slike 6 se vidi da vedi sledeća elacija: R = R + R (15) OG OO G ili ako se pimeni matica tansfomacije veanog koodinatnog sistema u inecijalni: ROG ROO = CDI RG (16) Ia (16) može se napisati i u sledećoj fomi: R = C R R ( ) G DI OG OO (17) Ukoliko težište podvodnog pojektila ima koodinate xg, yg, G, a na se da su i, j, k jedinični vektoi veanog koodinatnog sistema, onda se ia (15) može napisati u sledećem obliku: R = R + R = R + x i + y j + k (18) OG OO G OO G G G Ketanje podvodnog pojektila podaumeva tanslatono i otaciono ketanje centa mase u odnosu na inecijalni koodinatni sistem. Ovako definisano ketanje ove se apsolutno ketanje. Ukoliko se a ia (18) nađe pvi ivod, dobija se sledeći oblik bine ketanja centa mase podvodnog pojektila: dr dy di dj dk OG = ROO + xg + yg + G dt dt dt dt dt (19) Pimenom Poisonovog iaa a pvi ivod po vemenu iaa (19) na jedinične vektoe veanog koodinatnog sistema, i ako se ameni: Ω= p i + q j + k (2) dobija se sledeći ia: V = V +Ω R OG OO G (21) 7
Analiom dobijenih bina poiilai da je bina podvodnog pojektila jednaka V V. Ia (21) se u matičnom obliku može napisati: OO Vx i i j k Vx yg q G V = V j + p q = V x p y y G G V x k G yg G V q xg p y G (22) Apsolutno ubanje težište mase podvodnog pojektila u vektoskom obliku dobija se i iaa (21) i popima sledeći oblik: dω a = aoo +Ω ( Ω RG ) + R (23) G dt Ia (23) može se pedstaviti u matičnom obliku na sledeći način: V& x i j k ix j k a = V& y p q p q + + & & & (24) V& Vx yg + q G Vy + xg p G V q xg + p y G xg yg G VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 ili u matičnom obliku: ( 2 2) ( ) ( ) ( 2 2) ( ) ( ) ( 2 2) ( ) ( ) V& a x Vy + qv q + xg + pq & yg + p+ q& G x a= a = V& pv + V p + y + q p& + qp+ & x y y x G G G a V& qvx + pvy + q G + p q& xg + q+ p& G (25) Hidodinamički model podvodnog pojektila Osnovna petpostavka a odeđivanje matematičkog modela podvodnog pojektila jeste da se njegovo ketanje može dovoljno tačno pedstaviti modelom kutog tela u kvaistacionanom stujnom polju vode. Poed navedene, uvode se i sledeće petpostavke: ketanje okužujuće vode podvodnog pojektila nastaje jedino usled ketanja podvodnog pojektila; ketanje vode je bevtložno; oko pojektila postoji beskonačna tečnost; pojektil poseduje dve međusobno nomalne avni simetije; pojektilu se u odnosu na pavac ketanja mogu alikovati pednji, adnji, gonji i donji deo; pojektil pedstavlja kuto telo sa šest stepeni slobode keta- 71
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 nja; sistem pojektila i okužujuća voda ima isto toliko stepeni slobode kao i samo kuto telo; a pojektil je čvsto vean dinamički koodinatni sistem; hidodinamički koeficijenti sila i momenata avise od Rejnoldsovog boja, vektoa bine, ubanja, ugaone bine i otklona komandnih povšina; pojektil i hidodinamički efekti na tup podvodnog pojektila u ketanju potiču od sila i momenata koje nastaju usled ketanja vode i spoljne sile i momenata tih sila koje podaumevaju neinecijalne sile. Ketanje u idealnoj vodi Kaakteistike idealne vode su nestišljivost, homogenost i beviskonost. Za ketanje podvodnog pojektila i vode postoji potencijal ϕ p ( x, y,, t) bine ketanja vode u s. Pojekcija ove bine na ose inecijalnog koodinatnog sistema date su u sledećem obliku: ϕ ϕ ϕ u = ; u = ; u = (26) p p p sx sy s dx dy d ϕ p moa da adovolji La- U hidodinamici je ponato da potencijal plasovu jednačinu: ϕ ϕ ϕ Δ ϕ p = + + = 2 2 2 p p p 2 2 2 x y (27) Ganični uslovi ovog iaa su: na dovoljno velikim astojanjima voda miuje, što se matematički može pedstaviti iaom: ϕ ϕ ϕ lim = lim = lim = 2 2 2 p p p 2 2 2 y x (28) voda ne polai ko povšinu podvodnog pojektila (ne ulai u unutašnjost podvodnog pojektila): dϕ V dn gde je: V n bina vode u smeu nomale na povšinu tela, dϕ n nomalna bina čestica u dodiu sa pojektilima u istoj tački, dn n n = (29) 72
n spoljna nomala na element povšine podvodnog pojektila d, 2 2 2 V = x + y +. Potencijal ϕ p moguće je odediti samo ako se ponaju komponente bine pojedinih tačaka povšine podvodnog pojektila. Za centa mase podvodnog pojektila vean je koodinatni početak veanog koodinatnog sistema koji se keće binom V i ugaonom binom Ω. Bina bilo koje tačke M, poivoljno iabane na povšini podvodnog pojektila, u inecijalnom koodinatnom sistemu se u vektoskom obliku može pedstaviti: VM = V +Ω R (3) Ia R = x i + y j + k pedstavlja udaljenost iabane tačke M na povšini podvodnog pojektila od koodinatnog početka inecijalnog koodinatnog sistema. Nomalna komponenta bine bilo koje tačke na povšini podvodnog pojektila može se iaiti sledećim iaom : dϕ = = o = o + ( Ω ) o (31) dn Veličina bine u pavcu nomale na povšinu pema iau (32) je: n Vn V n V n R n VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V = V cos nx, + V cos ny, + V cos n, + n x y + p ycos n, ycos ny, + q cos nx, xcos n, + + xcos n, y ycos n, x. (32) Komponente tanslatone i ugaone bine su funkcije vemena, dok koodinate x, y, to nisu. I iaa (32) poiilai da se ganični uslovi, dati iaima (28) i (29), na povšini tela podvodnog pojektila mogu iaiti u obliku bia od šest članova, pi čemu je: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ p p1 p2 p3 p4 p5 p6 = Vx + Vy + V + p + q + n n n n n n n gde su ( i 1, 2,...,6) pi (33) ϕ = pojedini potencijali koji adovoljavaju Laplasovu jednačinu i uslov da je u beskonačnosti pi ϕ, a na povšini tela važe sledeći ganični uslovi: 73
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 ϕ p1 ϕp2 ϕp3 = cos ( nx, ); = cos ( ny, ); = cos ( n, ); n n n ϕ p4 = y cos ( n, ) ycos ( n, y) ; n ϕ (34) p5 = cos ( n, x) xcos ( n, ) n ϕ p6 = xcos ( n, y) ycos ( n, x) n Ganični uslovi na povšini tela ne avise od vemena, što navodi na ϕ i = 1, 2,...,6 avisi samo od oblika tela. Radi aključak da potencijal ( ) jednostavnijeg pisanja uvode se sledeće smene: 1 x 2 y 3 4 5 6 pi v = V ; v = V ; v = V ; v = p; v = q; v = (35) Koišćenjem iaa (2.35) potencijal iaom: 6 6 (,,, ) ( ) (,, ) ϕ x yt = v t ϕ xy = vϕ p i pi i pi i= 1 i= 1 ϕ pi može se pedstaviti sledećim (36) Kinetička enegija sistema pojektil okužujuća voda Kinetička enegija sistema definiše se kao bi kinetičkih enegija podvodnog pojektila i okužujuće sedine vode, odnosno: 1 T T = C D 2 C (37) gde je: T C= Vx, Vy, Vy, pq,, vekto opštih bina, D s matica inecije sistema koja se iačunava kao: D = DL + D (38) I hidodinamike je ponato da se kinetička enegija tečnosti može pedstaviti u obliku povšinskog integala povšine podvodnog pojektila s potencijalom ϕ p, ρ ϕ p TL = ϕ p d 2 n (39) 74
Ia (39) ivodi se uimajući spoljnu nomalu na kontolnu povšinu posmatane apemine. Negativni pednak potiče od spoljne nomale na povšinu tela u ketanju, što je supotno od pethodno uimanih. Ukoliko se ia (36) uvsti u ia (39) ia a kinetičku enegiju vode može se pikaati u sledećem obliku: 6 6 6 6 1 ϕ pk 1 TL = vv i k ρ pi d vv i k ik 2 ϕ = λ (4) i= 1 k= 1 n 2 i= 1 k= 1 gde je: λ = ρ ϕ ϕ ik smislu eči. pk pi d koja se ove piduženim masama 1 u šiem n [ λ ] [ λ ], ( 1,2,...,6; 1, 2,...,6) D = = i = k = (41) L ik ki Zbog simetičnosti članova matice od 36 elemenata, matica D L može se pedstaviti sa 21 elementom. Ravni simetije dalje smanjuju boj članova λik. Za pojektil koji ima dve avni simetije (xy) i (x) potebno je odediti samo 8 elemenata ik ima dimeniju mase [ ] λ : ( λ ) ik ik = 1,2,3 λ λ ima dimeniju statičkog momenta [kgm] i ( λ ) = 4,5,6 kg ; 26, 35 ik ima ik dimeniju momenta inecije [kgm 2 ]. obiom na postojanje avnine simetije (xy) i (xy), te postavljanjem koodinatnog početka u težište mase podvodnog pojektila i postavljanjem koodinatnih osa tako da pedstavljaju ose inecije I = I = I =, matica inecije podvodnog pojektila je: ( xy y x ) VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 m m m D = I xx I yy I (42) 1 Na osnovu Kihovljeve i Lambove teoije a odeđivanje hidodinamičkih sila pi ketanju kutog tela u idealnoj homogenoj tečnosti javlja se pojam o piduženoj vodi. Pidužena masa je neka amišljena masa vode sa svojstvom da se njena kinetička enegija pi ketanju binom jednakoj bini tela jednaka kinetičkoj enegiji celokupne tekućine koja okužuje telo. Inecijsko delovanje vode na telo jednako je povećanju mase tela u odgovaajućem smeu a odeđeni inos. 75
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 D Uvštavanjem (41) i (42) u (43) dobija se matica inecije sistema: m + λ11 m + λ22 λ26 m + λ λ 33 35 = I xx + λ44 λ53 I yy + λ55 λ62 I + λ66 (43) Uvštavanjem iaa (43) u (37) dobija se ia a kinetičku enegiju: 1 2 2 2 T = ( 11 ) ( 22 ) ( 33 ) 2 m+ λ Vx + m+ λ Vy + m+ λ V + (44) 2 2 2 ( I xx + λ44 ) p + ( Ixx + λ55 ) q + ( Ixx + λ66 ) Opšti oblik jednačine ketanja podvodnog pojektila Za inecijalni posto u kojem amatamo inecijalni koodinatni sistem, ponati akon dinamike (akon količine ketanja i momenta količine ketanja) u neoganičenom vodenom postanstvu može se napisati u obliku: d d ( Q B) R + = = F dt dt d d ( K I ) L + = = M dt dt gde su: R glavni vekto količine ketanja težišta mase podvodnog pojektila, Q glavni vekto količine ketanja tela, B glavni vekto količine ketanja vode, F glavni vekto spoljašnjih sila, L moment količine ketanja s obiom na težište, K glavni momenat količine ketanja tela, (45) (46) 76
I glavni momenat količine ketanja vode, M glavni momenat spoljnih sila, d onačava pvi ivod po vemenu u inecijalnom koodinatnom sistemu. dt Jednačina ketanja tela s hidodinamičkim kaakteistikama najčešće se avija u veanom koodinatnom sistemu. Njegova pimena ahteva ni tansfomacija. Imajući u vidu osobine pvog ivoda vektoske funkcije u veanom i inecijalnom postanstvu akoni dinamike su napisani u pikladnoj fomi u sledećem iau: d R dr = + ( Ω R) (47) dt dt d L dl = + ( Ω L) + ( V R) (48) dt dt gde su: Ω ugaona bina aketanja podvodnog pojektila, V tanslacijska bina ketanja podvodnog pojektila. Iai su pisani a opšti slučaj, kada težište centa mase i težište tela ne leže u istoj tački. Pvi član u iau (47) pedstavlja elativnu binu vha vektoa R u veanom koodinatnom sistemu, a dugi član je penosna bina. Teći član u iau (48) posledica je ketanja koodinatnog početka veanog koodinatnog sistema u odnosu na inecijalan. Pomoću iaa (49) mogu se iaiti jednačine ketanja u veanom koodinatnom sistemu: dr ( R) F dt + Ω = (49) dl ( L) ( V R) M dt + Ω + = (5) I teoijske mehanike ponate su pojekcije impulsne sile R = Q+ B i impulsnog momenta L = K + I na osama veanog koodinatnog sistema. Odeđene su pacijalnim ivodima ukupne kinetičke enegije sistema voda + pojektil, po odgovaajućim komponentama bine, odnosno ugaone bine: VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 77
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 T T T q V x V V y Fx T T T p F + = Y y x F T T T p q V V Vx d dt V V V T T T T T q Vy V V V p q y M x d T T T T T p V V x M Y dt q + + = p Vx V M T T T T T p q Vx Vy q p V Vx (51) (52) gde su: Fx, Fy, F udužna, bočna i popečna spoljašnja sila na telo podvodnog pojektila, M x, M y, M momenti bočnog nagiba, postanja i aketanja iavani spoljnim silama. Nakon jednostavnijih tansfomacija iai (51) i (52) mogu se jednostavnije napisati na sledeći način: dc D + B D C = P (53) dt gde je: T P = F, F, F, M, M, M vekto spoljnih sila i momenata, x y x y B kvadatna matica opštih bina oblika: q p q p B = V Vy p V Vx q Vy Vx q p (54) 78
Nakon svih množenja vektoske jednačine (53) dolai se do šest skalanih jednačina ketanja podvodnog pojektila u veanom koodinatnom sistemu: 2 2 ( m+ λ11 ) V& x ( m+ λ22 ) Vy λ26 + ( m+ λ33 ) V q+ λ35 q Fx ( m+ λ22 ) V& y + λ26 & + ( m+ λ11 ) Vx ( m+ λ33 ) V p λ35 p q F y ( m+ λ33 ) V& + λ35 q& ( m+ λ11 ) Vx q+ ( m+ λ22 ) Vy p+ λ26 p F ( Ixx + λ44 ) p& ( m+ λ22 ) Vx V λ26 V + ( m+ λ33 ) Vy V + λ35 Vy q M x ( Iyy + λ55 ) q λ35 V + ( I + λ66 ) q + λ26 Vy q = ( Iyy + λ55 ) q+ λ35 V& & + ( m+ λ11 ) Vx V ( m+ λ33 ) Vx V λ35 Vx q+ M y ( Ixx + λ44 ) p + ( I + λ66 ) p λ26 Vy p ( I + λ66 ) & + λ26 V& y ( m+ λ11 ) Vx Vy + ( m+ λ22 ) Vx Vy + λ26 Vx M ( Ixx + λ44 ) p q+ ( I + λ55 ) p q+ λ35 V p (55) VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 Zaključak povedenim modelovanjem podvodnog pojektila pokaano je da se adi o multivaijabilnom objektu sa šest stepeni slobode. Analiom objekta definisane su ulane i ilane veličine i njihove mee. Kvalitetnim iboom koodinatnih sistema omogućeno je dobijanje matematičkog modela a ešavanje na ačunau. Uvažavanjem osnovnih akona mehanike i uslova koji vladaju pi ketanju pojektila ko vodu uspostavljena je statička i dinamička avnoteža na osnovu kojih je fomian sistem od šest difeencijalnih jednačina. agledavanjem kaakteistika tipičnih pojektila boj jednačina sveden je na potebni (minimalni). U sistem jednačina uključena je masa vode (pidužene mase) koja se javlja pi ketanju pojektila ko vodu. Na desnoj stani sistema jednačina date su sile i momenti koji uavnotežuju sistem. Navedene sile, momenti i pidužene mase, svakako, taže dalje istaživanje. Liteatua [1] Podobij, G.M. i d.: Teoetičeskije osnovi topednogo oužija, Boennoe idateljstvo Ministastva obooni R, 1969. [2] Patašev, A.N. i d.: Pikladnaja gidomehanika, Ministastvo obooni R, Moskva, 197. [3] Voonjec, K., Obadović, N.: Mehanika fluida, Gađevinska knjiga, Beogad, 1979. 79
VOJNOTEHNIČKI GLANIK 3 / 8 [4] Gupa autoa: Podmonički tenaže, matematički model podmonice, Bodaski institut Zageb, 198. [5] Nenadović, M.: tabilnost i upavljivost letelica, pvi deo, NO, Beogad, 1981. [6] tojić, R.: Pilog sintei dinamičkog upavljanja letom aviona, doktoska tea, Tehnička vojna akademija, Beogad, 1984. [7] Zabnev, A. F.: Topednoe oužie, M. Boenoidat, Moskva, 1984. [8] Neimak J. I. i d.: Dinamičeskie modeli teoiji upavlenija, Nauka, Glavnaja edakcija fiiko-matematičeskoj liteatui, Moskva, 1985. [9] Doodni, V. P.: Topedi, DOAAF R, Moskva, 1986. [1] Mainković, M.: Dinamička analia topeda, Doktoska disetacija, Zageb, 1987. [11] Minović,.: Osnovi teoije samonavođenih aketa, VINC, Beogad, 1987. [12] Laaević, Ž.: Tehnička hidoakustika, MT Upava GŠ JNA, Beogad, 1987. [13] Rusov, L.: Mehanika - Dinamika Naučna knjiga, Beogad, 1988. [14] Radosavljević, M., Milovanović, M., Mataušek, M.: oftvesko i softvesko-hadveska simulacija samonavođenja akustičkog topeda na badu boda, XLII konfeencija ETRAN-a, Vnjačka banja, 1998. [15] Radosavljević, M.: Računaska ealiacija sistema samonavođenja topeda na tag boda, Vojnotehnički glasnik, juli avgust, 432 438, 1998. [16] Radosavljević, M. Modelovanje i softvesko-hadveska simulacija upavljanja akustičkim topedom, magistaki ad, ETF Beogad, 1998. [17] Milovanović, M., Radosavljević, M.: HIL simulacija samonavođenja akustičkog topeda na badu boda, Naučnotehnički pegled, b. 4, st. 15 23, Beogad, 1999. [18] Radosavljević, M.: Teoijski i ekspeimentalni načini odeđivanja piduženih masa vode pi ketanju podvodnih pojektila, Naučnotehnički pegled, b. 5, st. 81 86, Beogad, 21. [19] Tomašević, N.: Matematika 3 udžbenik, GŠVCG, Upava a školstvo i obuku, VA, Beogad, 22. 8