ФИЗИКАНЫҢ АРНАЙЫ ТАРАУЛАРЫ

Transcript

1 Коммерциялық емес акционерлік қоғам АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ Физика кафедрасы ФИЗИКАНЫҢ АРНАЙЫ ТАРАУЛАРЫ 5В73- Ақпараттық жүйелер мамандықтарының студенттеріне арналған дәрістер жинағы Алматы, 6

2 ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Ахметкалиев Р.Б., Сарсенбаева С.Н. Физиканың арнайы тараулары. 5В7-Ақпараттық жүйелер мамандықтарының студенттеріне арналған дәрістер жинағы. - Алматы: АЭжБУ, б. Бакалавриаттың Ақпараттық жүйелер мамандықтары үшін «Физиканың арнайы тараулары» пәні бойынша дәрістердің қысқаша мазмұны берілген. «Физиканың арнайы тараулары» пәні бойынша дәрістер жинағы оқу үдерісін әдістемелік қамтамасыз ету жүйесінің бір элементі болып табылады және дәрістік сабақтарда, сондай-ақ студенттердің өзіндік жұмыстарында теориялық мәліметтермен жұмыс істеуде, машықтандыру, зертханалық сабақтарына және емтиханға дайындық кезінде таратпа материал ретінде қолдануға болады. Студенттер мен жас оқытушыларға ұсынылады. Сур. - 34, әдеб. көр. -, атау - 75 Пікір беруші: к.т.н., проф. Ибраева Л.К «Алматы энергетика және байланыс университеті» комерциялық емес акционерлік қоғамының 6 жылғы жоспары бойынша басылады. Алматы энергетика және байланыс университеті,кеақ 6 ж.

3 Мазмұны Кіріспе Дәріс. Электродинамика негіздері. Ваккумдегі электростатика. Скалярлық потенциаль және оны нормалау..3 Электр статикалық өрістегі диэлектриктер.4 Стационарлиқ электромагнит өрісінің теңдеулері. Дәріс. Электромагнитті индукция. Максвелл теориясының негіздері. Электромагнитті индукция. Электромагнитті индукция заңдары 9. Өздік индукция құбылысы. Индуктивтілік. Өзара индукция.3 Магнит өрісінің энергиясы.4 Максвелл теориясының негіздері 4 3 Дәріс 3. Тербелмелі процестер 7 3. Еркін гармоникалық тербелістер 9 3. Гармоникалық тербелістер энергиясы Бір бағыттағы және өзара перпендикуляр тербелістерді қосу Еркін өшетін және еріксіз электромагнитті тербелістер. Резонанс 3 4 Дәріс 4. Толқындық процестер 3 4. Серпінді толқын және оның теңдеуі 3 4. Толқындық теңдеу Толқын энергиясы. Умов векторы Толқындық пакет. Топтық жылдамдық. Толқын дисперсиясы 34 5 Дәріс 5. Электрмагниттік толқындар Электрмагниттік толқынның дифференциалдық теңдеуі және оның 36 қасиеттері 5. Электрмагниттік толқын энергиясы. Пойтинг векторы Электрмагниттік толқынның сәуле шығаруы 38 6 Дәріс 6. Толқындық оптика 4 6. Жарық толқыны 4 6. Жарықтың интерференциясы. Когеренттілік Жарық дисперсиясы 43 7 Дәріс 7. Толқындық процестер Серпінді толқын және оның теңдеуі Толқындық теңдеу Толқын энергиясы. Умов векторы Толқындық пакет. Топтық жылдамдық. Толқын дисперсиясы 47 8 Дәріс 8. Электрмагниттік толқындар Электрмагниттік толқынның дифференциалдық теңдеуі және оның 49 қасиеттері 8. Электрмагниттік толқын энергиясы. Пойтинг векторы Электрмагниттік толқынның сәуле шығаруы

4 9 Дәріс 9. Толқындық оптика 5 9. Жарық толқыны Жарықтың интерференциясы. Когеренттілік 54 Дәріс. Кванттық статистика және оны қолдану 55. Ұқсас бөлшектердің ажыратылмаушылығы. Паули принципі. Кванттық үлестірілулер 56.3 Металдардағы электрондар үшін Ферми-Дирак үлестірілуі Дәріс. Қатты денелердің аймақтық теориясы 57. Кристалдардағы электрондардың энергетикалық спектрінің 58 аймақтық құрылымы. Металлдардағы, диэлектриктердегі және шалаөткізгіштердегі 58 энергетикалық аймақтар.3 Шалаөткізгіштердің өткізгіштігі 6 Қосымша 64 Әдебиеттер тізімі 55 4

5 Дәріс. Вакуумдегі электр өрісі Дәрістің мазмұны: Дәрісте Ваккумдегі электр өрісі мен заңы электростатикалық өріс үшін Максвелл теориясының негізі келтірілген. Дәрістің мақсаты: - электростатикадағы кернеу Гаусс теоремасын оқып үйрену Вакуумде электр өрісінін бір ғана вектормен, атап айтқанда электр өрісінің кернеулігімен сипаттауға болады: rot E, (.) dive, (.) E E, (.3) n n E E t t. (.4) (.) электр өрісінің потенциалдық сипаттамасы Векторлық талдауда егер векторлық өрістің ротары нөлге тең болса, ол өрісіті потенциалдық өріс деп атайды. Яғни, Максвелл теңдеуін (.) электр өрісінің потенциалды болуының керекті шарты деп қарастыруға болады. Осы теңдеудің интегралдық түрін қарастырайық. Ол үшін (.) өрнектің екі жағын да берілген S бетінің ауданы бойынша интегралдайық: roteds. (.5) S Стокс теоремасы арқылы (.5) өонегін мына түрге келтіруге болады: E dl. (.6) l L L контуры S бетін шектеп тұр. L Соңғы теңдік электростатикалық өрістегі бірлік зарядты тұйық контур бойымен қозғалғандағы істелінген жұмыстың нөлге тең екендігін дәлелдеп тұр. Басқа сөзбен айтқанда потенциалдық өрісте зарядты бір нүктеден екінші нүктеге орын ауыстырғандағы істелетін жұмыс зарядтың қозғалу жолының формасына байланысты емес, бастапқы және соңғы нүктенің орналасуына байланысты. Расында P, P нүктелері, екі түрлі A және B жолдармен қосылған екен делік (.с): P P.- сурет

6 Онда, (.6) теңдігі бойынша P l P ( A) P E dl E dl (.7) P ( B ) P нүктесінен P дейінгі зарядтың орын ауыстырған кездегі жұмысын оң деп алсақ, кері бағытта істелінген жұмыс теріс болу керек, бірінші жағадайда электр өрісі өзі жұмыс істейді десек, кері бағыттағы орын ауыстыру жұмысы электростатикалық өрісітің күштерінен басқа күштердің істеген жүмысы деп түсіну керек.. Скалярлық потенциал және оны нормалау. Градиент сызықтары Максвелл теңдеуі (.) электростатика өрісін скалярлық шама арқылы да сипаттауға болатынын көрсетеді. Расында егер вектордың ротары нөлге тең болса, ол векторды скалярлық функция градиенті арқылы өрнектеуге болады деген векторлық талдау теоремасын қолданайық: E grad (.8) Скалярлық шама r, скалярлық потенциал деп аталады. Осы теңдеудің екі жағына да ротор операциясын қолдансақ, (.) Максвелл теңдеуін қанағаттандыратынын көреміз, өйткені әруақытта: rotgrad (.9) ал, минус таңбасының принципиалды мағынасы жоқ, ол тарихи пайда болған нәрсе. Дегенмен, төменде көрсетілгендей, минус таңбасы электр өрісі сызықтарының басталу және аяқталу нүктелерін, сол нүктелердің потенциалдарымен белгілі ереже арқылы байланыстырады: электр өрісі кернулігінің бағыты потенциалдың максималды азаю бағытымен бірдей, басқа сөзбен айтқанда, кернеулік пен градиент сызықтарының бағыттары қарама - қарсы. (.с) grad E. - сурет Скалярлық потенциалдың физикалық мағынасын анықтау үшін (.8) теңдеуінің екі жағын да dl жол элементіне скалярлық түрде көбейтіп, A және B нүктелерінің арасында интегралдық: l 6

7 B B Edl A A grad dl, (.) grad i j k, (.) x y z dl dxi dyj dzk (.) екенін ескерсек: онда, (.) өрнек мына түрге келтіріледі. B A B Edl. (.3) Соңғы өрнек A және B нүктелерінің потенциалдар айрымының физикалық мағынасы бірлік оң зарядтың A нүктесі мен B нүктесіне орын ауыстырғандағы істелген жұмысқа тең екенін көрсетеді. Яғни, жеке бір нүктенің потенциалы мына шамаға тең деп айтудың физикалық мағынасы жоқ. Сондықтан, әрқашан потенциалдың мәнін кеңістіктің қандай нүктесінен бастап есептеу керектігіне келісіп алу керек. Оны потенциалды нормалау деп атайды. Нормаланған потенциал бірмәнді шама болатынына көз жеткізу қиын емес. Мынадай мысал қарастырайық. Үй қабырғасының кез келген нүктесінің биіктігі қанша болады деген сұраққа, алдымен қандай нүктеден бастап өлшейміз деген ой келмей ме? Еденнен бастаймыз ба, я болмаса, жер бетінен бе, теңіз деңгейінен бе? Келісімге келгеннен соң, кеңістіктегі кезкелген нүктенің биіктігін бір мәнді етіп өлшей аламыз. Сол сияқты, потенциалды нормаланған кезде әртүрлі әдістер қолданылады. Практикалық электротехникада жер потенциалы нөлге тең деп есептелінеді. Теориялық физикада егер зарядталған дене шекті облыста жатқан болса, онда, көбінесе, шексіздіктегі потенциал мәні нөл болады деген келісімге келеді. Осылай нормаланған потенциал, (.3) өрнек бойынша B нүктесі шексіздікте жатыр деп келіссек, онда B A Edl. (.4) A Орын ауыстыру жолы ерікті болғандықтан, қандай жолмен интегралдау ыңғайлы болатытын таңдап алған жөн. Егер зарядталған дене мөлшері шексіз болса, онда есептің ыңғайына қарай нормалаудың басқа әдістерін қолдануға болады, ал бірақ шексіздікте жатқан нүктенің потенциалы нөл деуге болмайды. Потенциалдар айрымын кернеудің өлшем бірілігі В /вольт/ пен өлшейді. Потенциалдың тағы бір қасиеті оның үздіксіздігі. Өйткені кернеуліктің шекті мәні үшін, (.8) формула бойынша потенциал дифференциалданатын болу керек. Сонымен, егер электр өрісінің кернеулігі E өрісітің күштік сипаттамасы болса, ал скалярлық потенциал энергиялық сипаттамасы болып табылады. A

8 .3 Нүктелік зарядтың және нүктелік зарядтар системасының потенциалы. Нүктелік заряд өрісі сфералық сииметриялы болғандықтан, дәл сондай симметрия нүктелік зарядтың потенциалына да тән қасиет. Нүктелік заряд кернеулігі одан r қашықтықта былай анықталады. q r E (.5) 4 r r Кернеуліктің мәнін (.4) өрнекке апарып қойсақ: q r Edl (.6) r 4 r нүктелік заряд q потенциалының r қашықтықтағы мәні осы қашықтықта кері пропорционал, заряд мөлшеріне тура пропорционал екендігін көреміз. Енді екі нүктелі заряд сипаттамасын қарастырайық, q және q. Олардың әрөайсысы берілген нүктеде E және E өрістерін тудырады, ал жалпы өріс суперпозиция принципі бойынша E E E (.7) анықталатын болғандықтан, олардың әрқайсысының потенциалы (.8) формула бойынша: E grad, E grad (.8) Онда E grad grad grad ( ) grad (.9) Яғни, нүктелік зарядтардың потенциалы, әрбір зарядтың потенциалының қосындысына тең. Ал жалпылай келе, кез-келген нүктелік зарядтар системасы үшін келесі формуланы жазуға болады: qi (.) 4 i ri r зарядының потенциалды анықтау нүктесіне дейінгі қашықтық. i q i.4 Үздіксіз таратылған зарядтар потенциалы. Егер заряд кеңістікте берілген көлем бойынша үздіксіз тығыздығымен тартылған болса, онда сол көлемді шексіз аз Vi элементтеріне бөледі. Олардың әрқайсысында Vi заряды бар. Осындай элементарлы зарядтар үшін (.) формуласын жазып Vi - көлемін нөлге ұмтылдырылған шекте қосындыны интегралмен алмастыруға болады: 8

9 ivi dv lim (.) 4 V i i ri 4 r r dv элементінен потенциал анықталатын нүктеге деңгейгі қашықтық. Сол сияқты, егер заряд S беті бойынша тығыздығымен таралған болса, онда ds. (.) 4 r Егер қарастырылып отырған аймақта көлемдік зарядтармен қоса беттік азрядтар болса, онда dv ds. (.3) 4 V r r Бірақ, (.) (.3) формулаларын тікелей қолдану әрқашан ыңғайлы бола бермейді, біріншіден, бұл әдіс математикалық есептеудің қиындауына әкеп соғады, екіншіден, зарядталған денелер өлшемі шектелмеген кезде арнаулы талдау жасау керек екендігін ұмытпаған жөн. (.) (.3) формулалары (.) формуласының салдары ретінде қарастырғанмен, олардың өзі орналасқан нүктеде r потенциал шексіздікке ұмтылады. Ал үздіксіз таратылған заряд потенциалдары r формулалар бойынша барлық нүктелерде шекті мәндері бар. Оны мысалы, сфералық кординаттар жүйесінде тексеру қиын емес (көлемдік элемент dv r sin dddr болатынын еске алса болғаны). Дәріс. Пуассон мен Лаплас теңдеулері және олардың жалпы шешімдері. Дәрістің мазмұны: Дәрісте Ваккумдегі электр өрісі мен заңы электростатикалық өріс үшін Максвелл теориясының негізі келтірілген. Дәрістің мақсаты: - электростатикадағы заряд потенциалын оқып үйрену Электростатика үшін Максвелл теңдеулерін (.), (.) шешудің бірнеше әдістері бар. Оның бірі, алдымен скалярлық потенциалды анықтау, содан кейін (.8) теңдеуін қолданып жәй дифференциалдау арқылы кернеулікті табу. Пуассон мен Лаплас теңдеулері - скалярлық потенциалға арналған дифференциалдық теңдеулер. Оларды алу үшін Максвелл теңдеуіне dive (.3) кернеулік пен потенциалдың арасындағы байланысты қолданайық: E grad (.4)

10 Егер екенін еске алсақ, онда: divgrad (.5) Декарт координаттар системасында x, y, z (.6) x y z (.3), немесе (.4) ізделініп отырған Пуассон теңдеуі. Егер, қарастырылып тырған аймақта болса, онда ол теңдеуді Лаплас теңдеуі дейді. (.7) Лаплас теңдеуінің жалпы шешімін нүктелік зарядтың потенциалы түрінде қарауға болады. Расында, нүктелік заряд үшін оның потенциалы (.6) формуламен анықталады:. 4 r Потенциалдың осы мәнін (.5) теңдеуге қойып көрейік Бірақ, ал, divgrad, онда q. 4 r divgrad r r r grad 3 r r diva agrad формуласын қолданайық. Енді div a r div 3 3 rgrad 3 r r divr r мұнда, 3r divr 3, grad 3 5 r r екенін ескере отырып, нәтижесін алдыңғы формулаға қойсақ, (.7) r

11 екенін дәлелдеген боламыз. Яғни, нүктелік зарядтың потенциалы Лаплас теңдеуін қанағаттандырады деген тұжырымға келеміз. Сол сияқты, Пуассон теңдеуінің жалпы шешімі (.3) формуламен анықталатын көлемдік зарядтарының потенциалы бола алатынын келесі dv 4 r өрнекті Пуассон теңдеуіне тікелей қою арқылы көз жеткізуге болады... Электростатикалық өрістегі өткізгіш. Мынадай мысал қарастырайық. Өткізгіштің зарядталуын қалай түсінуге болады? Оң зарядталған металдың денеде электрондар жетіспейді, ал ол дененің теріс зарядталғаны онда электрондардың артықшылығы бар болғаны. Яғни, өткізгіштің зарядталуын ондағы еркін қозғалыста бола алатын электрондардаң қасиетімен түсіндіруге болады. Расында, металдық шарды зарядтасақ, зарядтардың (мысалы, электрондардың) бір бірімен тебісуі нәтижесінде олар шардың өте жұқа бетінде орналасуы түсінікті. Олай болса, шардың ішінде зарядтар болмағаны. Электростатикалық Гаусс теоремасы бойынша E ds n. (.8) S Түйық беті S шардың ішкі аймағы бойынша центрі шардың центрімен сәйкестендіріп алынғандықтан, электростатикалық тепе теңдік пайда болғаннан кейін, шардың ішінде кернеулік нөлге тең болуы керек деген тұжырымға келеміз E. (.9) Яғни, өткізгіштерде көлемдік заряд бола алмайтынын түсіну қиын емес. Математикалық түрде, оны Максвелл теңдеуінің dive. Сол сияқты нөл болғандықтан, тығыздық та нөлге тең екендігін (.3) көруге болады. Егер зарядталған металдың денені сыртқы электр өрісіне енгізсек, ондағы беттік зарядтар жаңадан таратылуы мүмкін, бірақ металл ішіндегі өріс бәрібір нөлге тең. Бұл нәтижені электростатикалық Гаусс теоремасын пайдаланып та алуға болады. Айталық, зарядталған металл шар ішінен ойша радиусы шардың радиуысынан аз тұйық сфералық бет қарастырайық. Ол беттің ішінде заряд жоқ. Яғни, электр өрісінің кернеулігі шардың ішкі аймақта нөлге тең. Егер E E n E t (.3) n t

12 екенін ескерсек, онда металл ішінде (бірінші аймақ деп қарастырайық) E n, E t. (.3) Енді кернеулік үшін шекаралық шарттарды қарастырсақ En E n, Et E t Онда, металл бетіндегі шексіз аз қашықтықта (екінші аймақ) электр өрісінің кернеулігі былай анықталады. E n, Et. (.33) Векторлық түрде соңғы теңдіктер былай жазылады. E n. (.34).3 Өткізгіш потенциалы. Сиымдылық, Конденсатор. Электростатикалық өрістің негізгі бір ерекшілігі электростатикалық тепе теңдік орныққан кезде өткізгіштің кез келген нүктесінің потенциалы тұрақты шамасын сақтайды. (сыртқы әсер ететін күштер жоқ деп есептейік). Расында, электр өрісінің кернеулігі өткізгіш ішінде нөлге тең болғандықтан, (.3) формула бойынша A және B нүктелерінің потенциалдары бірдей шама A B. (.35) Сондықтан өткізгіш потенциалы деген ұғым енгізуге болады. Оның шамасы өткізгіштің формасына, зарядқа байланысты болатыны айтпаса да түсінікті. Егер жекелеген өткізгішті алатын болсақ (ондай өткізгіштер үшін айналадағы басқа өткізгіш зарядтар шексіз алыста жатқандықтан, олардың әсерін елемеуге болады), ол өткізгіштің сиымдылығы деп зарядтың потенциалға қатынасын айтады: q C. (.36) Сиымдылықтың өлшем бірлігі фарада (Ф). Ал, егер зарядталған өткізгіш жекелеген болмаса, оның потенциалы маңайдағы өткізгіштердің формасы, мен олардың орналасуына байланысты. Өйткені, айналадағы өткізгіштер зарядтың қайта таратылуына елеулі әсер етеді (электростатикалық индукция құбылысы). Өткізгіштер жүйесі осындай тәуелділіктен толық арылту үшін металдық экран, я болмаса электростатикалық қорғаныс қолданылады. Егер өткізгіштің іш жағын қуыстап, өте жуқа қабықшасын қалдырсақ (беттік заряд орналасқан қабықша), электростатикалық тепе теңдік болған жағдайда, ол қуыстағы электр өрісінің кернеулігі нөлге тең болуы айтпаса да түсінікті. Сондай

13 металлдық қабықша экран деп аталады. Экранның сыртындағы зарядтар қуыстық ішіндегі кеңістіктің электрлік күйін өзгерте алмайды, өйткені олардың әсерін экран бетінде индукция құбылысы арқылы пайда болған зарядтар жояды. Сол сияқты, қуыстың ішіне заряды бар өткізгіш орналастырсақ, онда қуыстың ішкі бетінде шамасы іштегі зарядпен бірдей, бірақ индукциялық теріс зарядтар пайда болады. Оны S тұйық беті арқылы жазылған электр өріс кернеулігінің ағыны арқылы түсіндіруге болады. Ал, ағыннның нөлге тең болатыны түсінікті нәрсе. Сурет..5 Ал енді қабықшаның сырт жағында (қарастырылған S бетінің сыртында) шамасы мен таңбасы қуыстың ішіндегідей зарядтар пайда болады. Іс жүзінде ол зарядтар сыртқы кеңістіктің электрлік күйіне әсерін елемеу үшін экранды жер потенциалымен теңестіру керек. Техникада көбінесе экранды көзі жиілеу келген металдық тордан жасайды. Потенциалдар айрымы заряд шамасымен анықталатын екі өткізгіштің жиынтығы конденсатор болады. Өткізгіштің өзін конденсатор жақтауы деп атайды. Ол жақтауларда шамасы бірдей, бірақ таңбасы қарама - қарсы зарядтар орналасады. Конденсатор заряды q деп екі жақтауда орналасқан шамасы бірдей, бірақ таңбасы қарама - қарсы зарядтардың әрқайсысының абсолюттік шамасын айтады. Сонда екі жақтаудық арасында пайда болған потенциал айырымы заряд шамасына пропорционал. Демек, әрбір конденсаторға тиісті сипаттама ретінде конденсатор зарядының потенциалдар айырымына қатынасын енгізуге болады. q C. Ол шама конденсатордың сиымдылығы. Екі өткізгіш жиынтығы конденсатор болуының тағы бір шарты жақтаулардың арасындағы қашықтық әр жақтаудың сызықтық мөлшерінен әлдеқайда кем болуы керек. Мысалы, конденсатордың ең қарапайым түрі жазық конленсатор. Оның жақтаулары па-

14 раллель орналасқан екі металдық пластина. Екі пластинаның арасындағы кеңістік неғұрлым толық электростатикалық қорғаныста болу шартымен байланысты. 3 Дәріс 3 Диэлектриктер. Стационарлы электромагнит өрісінің теңдеулері. Дәрістің мазмұны: Дәрісте Ваккумдегі электр өрісі мен магнит өрісі заңдары электростатикалық өріс үшін Максвелл теориясының негізі келтірілген. Дәрістің мақсаты: - электростатикадағы заряд потенциалын оқып үйрену. Максвеллдің вакуумге арналған теңдеулеріне /./ кіретін барлық шамалар уақытқа байланысты болмаса, онда ол теңдеулер стационарлық электромагнит өрісін сипаттайды және өздері екі топқа бөлінеді. rote, (.) dive, rotb j, (.) divb. Электр өрісі мен магнит өрісінің арасындағы байланыстар /9.../ үзіледі де /./ теңдеулері тек электростатикалық өрісіті, ал /./ - магнитостатикалық өрісті суреттейді. Яғни, электр және магнит өрістері бір-біріне тәуелсіз және олардың әрқайсысын жеке-жеке қарауға мүмкіндік туады, Стационарлық өрістердің негізгі бір ерекшелігі осында, /,/ теңдеулері бойынша электростатикалық өріс потенциалды өріс, оның кернеулігінің сызықтары зарядтан басталып, зарядпен аяқталады. Заряд электр өрісінің көзі ретінде қарастырылады. Электростатикалық өріс - құйыны жоқ өріс. Электростатикалық құбылыстар өрістің тек қана стационарлы болып қана қоймай, сонымен қатар электр тоғының болмауын талап етеді, яғни j қосымша шарты орындалуы керек. Ал /./ теңдеулерібойынша, кеңістіктің әрбір нүктесіндегі магнит өрісінің құйыны тоқ тығыздығының j шамасына байланысты, магнит өрісінің сызықтары әрқашан тұйық, немесе, табиғатта магнит зарядтары жоқ /магнитті қанша уақтағанмен оның екі полюсын ажырату мүмкін емес/. 3.. Беттік зарядтар. Электростатикалық өріс кернеулігі үшін шекаралық шарттар. E векторының нормальдық құраушысының секірісі. Айталық, S бетінде заряд беттік тығыздықпен орналасқан екен дейік 4

15 q dq. (.) lim S S ds Бұл жағдайда электр өрісінің кернеулігі E оның нормальдық E және тангенциалдық E t құраушылары арқылы анықталады. E ne t E n t. (.) n және t - S бетіне нормаль және жанама бағыттағы бірлік векторлар. Ендеше, E n, E t құраушыларының осы зарядталған бет айналасындағы мәндері қалай өзгереді? Бұл сұраққа кернеуіктің құраушыларына арналған шекаралық шарттар жауап бере алады. Айталық, еекі ортаны бөліп тұрған S беті тығыздығымен зарядталған делік. Оған сыртқы нормаль n тұрғызайық, оның ең бағыты бірінші ортадан екінші ортаға бағытталған деп келісейік. ds E n n h S ds E. - сурет Биіктігі h, табандары S, S кішкене цилиндр осы жазытықтың S бетін қиіп өткен болсын /.с/ Максвелл теңдеуінің dive (.3) екі жағын да осы цилиндр көлемі бойынша интегралдайық: q divedv dv. (.4) V V Енді осы алынған өрнектің сол жағына Гаусс теоремасын қолданайық та: divedv EdS. (.4) V S ц

16 S цилиндрдің түйық беті арқылы алынған интегралды, цилиндрдің жоғарғы ц S және төменгі S табандарының ауданы және S б бүйір бетінің ауданының қосындысы ретінде жазсақ, /.4/ формула мына түрге келтіріледі: q EdS EdS EdS. (.6) S S S б Цилиндр табандарының аудантары аз шама болғандықтан E векторының әрбір ортадағы өзгеру мүмкіндігін еске алмауға болады. Сонда: S EdS E S E cos EnS E n S. (.7) Бұл жерде ds векторының S бетіндегі бағыты өзіміз қалап алған n векторының бағытымен бірдей екні еске алынады. Ал интеграл S беті арқылы алынғанда ds векторының бағыты n векторына қарама-қарсы екенін естен шығармау керек: EdS E S. (.8) S S - бүйір беті арқылы алынған интегралды орталандыру теоремасы былай ц жазуға болады: EdS E S. (.9) E б S б б - кернеулік векторының бүйір бетіндегі орташа мәні. б n /.7/, /.8/. /.9/ өрнектерін еске алсақ, /.6/ теңдігі келесі түрге келтіріледі: q E S E S E S. (.) n n б б Енді, цилиндрдің биіктігін h нөлдге ұмтылдырайық h, онда S S S S, S. (.) Сондықтан ал, q S, болғандықтан, б E n q E S. (.) n n n 6 E E (.3) Электр өріс кернеулігінің нормаль құраушысы зарядталған беттерде секіріске ұшырайды/ Кернеуліктің күш сызықтары зарядталған беттің әр-жағында қарама-қарсы жаққа бағытталған. Егер, онда беттен сыртқы қарай, ал, бетке қарай бағытталған (.с)

17 E S S (.а) (.б). - сурет. векторының тангенсалдық құраушысы үшін шекаралық шарт. Екі ортаны бөлген шекаралық бетті L контурмен шектелген S тікбұрышты азғана ауданша қиып өтсін дейік (.3) сурет: E l E l б l E l.3 - сурет Айталық, S ауданшысының l, l жақтары шекаралық бетке параллель болсын, қиылысу сызығын l деп белгілейік. Бетті қиып өткен жақтарының ұзындығы l б болсын делік. Енді Максвелл теңдеуін rot E (.4) S беті бойынша интегралдайық: roteds. (.5) S S векторының бағыты L контурын (.3с) суретінде көрсетілгендей айналду бағытымен анықталсын. Стокс теоремасы бойынша (.5) өрнегін келесі түрге келтірейік S roteds L Edl l Edl l Edl l Edl. (.6) Бірлік t векторы - таңдап алынған оң таңбалы жанама бағыты болсын дейік, онда

18 Сол сияқты l l Edl Edl Орталандыру теоремасы бойынша E l cos E l cos l б Edl 8 E t E tl E t E tl E б l б. (.7). (.8). (.9) Сонымен (.5) өонекті мына түрге жазуға болады. E l E l E l t t б б. (.) Енді L контурын l - сызығына қарай қусырсақ, онда l l, l l, lб, S (.) болатынына ешқандай күмән жоқ. Сонда Eе E е l, я болмаса E E t t (.) Сонымен, электр өрісі кернеулігінің иангенциалдық құраушысы үздіксіз шама болып шықты. Элеткростатика жағадайында бұл шартты түсіну қиын емес, өйткені бетке жанама бағытта электр өрісінің күш сызықтары болуы мүмкін емес, ол бағытта зарядтарды қозғайтын күш болмауы керек. (.) шекаралық шарты айнымалы өріске де қолданылатынын айта кету кеткен жөн. 3.. Диэлектриктер. Диэлектриктің поляризациялануы. Поляризациялану векторы. Диэлектриктер электр тоғын өткізбейді, өйткені оларда металл эәне электролиттер сияқты ток алып жүретін бос зарядтар жоқ. Диэлектриктер нейтарлдық молекулалардан тұрады деп есептейік. (газ түріндегі және сұйық диэлектриктер). Осы қағиды арқылы диэлектриктерді сыртқы электр өрісіне енгізген кезде болатын құбылыстарды қарастырайық. Электр өрісінің әсерәнен диэлектрик құрамына кіретін зарядтар өз орнынан жұлынып кетпейді, тек өзінің тепе теңдік қалпынан ығыстырылады. Нейтралдық молекулаларда оң және теріс зарядтар өрістің күш әсері арқасында қарама - қарсы бағытта ығыстырылады ды, ал молекула деформацияланады. Осылай деформацияланған молекуланы электрлік диполь ретінде қарстыруға болады. Нейтралдық системаның электрлік моменті мына түрде анықталады, P q r i i (5.) i қосынды системадағы барлық элементарлық зарядтарға жайылады. (электрондарға, ядроларға), ал r i - еркін алдынған бастапқы нүктеден q зарядына i

19 тартылған радиус вектор. Осылай анықталған нейтралдық системаның электрлік моменті бірмінді болуы үшін, ол нүктесінен орын жайынан тәуелсіз болуы керек. Расында, бстапқы нүктені нүктесінен нүктесіне ауыстырып көрейік (5. сүрет): P q r q r a q r a q (5.) i i i i i i i i i i i q i r i a r i 4 Дәріс 4. Тұрақты электр тогы. Металлдағы электр тогы. Ом және Джоуль заңдары. Дәрістің мазмұны: Дәрісте тұрақты ток үшін Ом және Джоуль заңдары құбылысы мен заңы магнит өріс үшін Максвелл теориясының негізі келтірілген. Дәрістің мақсаты: - тұрақты ток үшін магнит құбылысын оқып үйрену Егер өткізгіштің ішінде электр өрісінің кернеулігі E нөл болмаса, онда зарядтар (электрондар) бір бағыттағы қозғалыста болады, яғни электр тогы пайда болады. Біз металлдағы электр тогын қарастырумен шектелеміз. Тұрақты ток үшін тәжірибе қорытындысы ретінде алынған негізгі заң - Ом заңы: I (4.) R I - өткізгіштегі ток күші, R - тізбек бөлімінің кедергісі, және - тізбек бөлімінің басы мен соңындағы потенциал мәні. Потенциалдар айырымы (4.) анықтама бойынша бірлік зарядты екі нүкте арасында жылжытсақ, керекті жұмыс: E l dl (4.) (4.) теңдігіндегі екі нүкте арасындағы сызықтық интегралды кернеу U дейді:

20 U El dl (4.3) Кернеудің өлшем бірлігі вольт (В). (4.3),(4.) формулаларын (4.)-ге қойсақ, IR El dl U (4.4) (4.4) және (4.) мағыналары бір болғанмен соңғы формула (.)-ге қарағанда тек тұрақты ток тізбек үшін емес, сонымен қатар айнымалы токтарға да пайдаланылады. (Айнымалы ток үшін потенциал ұғымының мағынасы жоқ). Өткізгіште ток жүргенде жылу бөлінетіні мәлім. Уақыттың бір кешемінде тізбек бөлімінен шығатын жылу мөлшері Q болсын, осы жылу мөлшерін есептейік. Өткізгіштегі ток күші I болса, аз уақыт dt ішінде кез-келген қима арқылы dq Idt заряд мөлшері өтеді. Мысалы, өткізгіштің кесіндісіндегі екі қиманың (,) арасындағы аймақты алсақ (4.c), онда -қима арқылы қарастырылып отырған аймаққа қанша заряд кірсе -қима арқылы сонша заряд аймақтан шығады. I - тұрақты ток болғандықтан зарядтардың орналасу жағдайы өзгермейді (бір заряд тура сондай басқа зарядпен орын ауыстырқанда ештеңе өзгермейді). Онда екі қима арасындаіы ток жүрісін электр өрісінің dq заряд мөлшерін -қимадан -қимаға жеткізгендегі істеген жұмысы ретінде қарастыруға болады: A dq El dl Idt El dl IdtU (4.5) I 4. сурет Сызықтық интеграл өткізгіштің ось сызығы бойынша алынған. Энергияның сақталу заңы бойынша осы жұмысқа эквивалентті басқа бір энергияның түріне (мысалы, бөлініп шығатын жылу түрінде) айналуы керек, яғни: Немесе Idt El dl Qdt

21 Ом заңы арқылы соңғы өрнек былай түрленеді: Q I El dl (4.6) Q IR. (4.7) Тұрақты ток үшін потенциалдар айырымы арқылы (.6) келесі түрге келтіріледі Q I. (4.8) Егер өткізгіш қозғалыста болмай және оның ішінде ешқандай химиялық реакция жүрмесе (мысалы, электролит) Q энергия мөлшері жылуға айналады. (4.6)- (4.8) теңдеулері Джоуль заңын сипаттайды. Q - бір өлшем уақытта бөлініп шыққан энергия болғандықтан, оның өлшем бірлігі Дж/с немесе Ватт (Bт). 4.. Ом және Джоуль заңдарының дифференциалдық түрі. Біртекті цилиндрлік өткізгіш үшін ток қима бойынша біркелкі таратылғандықтан ток тығыздығы j келесі түрде анықталады: I j. (4.9) S Ток тығыздығы j вектор болғандықтан (4.9) формулада көлденең қима S өткізгіштің осіне перпендикуляр етіп алынған, сондықтан дәлірек айтсақ j j n. Ал жалпы түрде j векторы нормальдық және тангенциалдық құраушылармен анықталуы керек (4.9c). j n ds n j t j 4.9 сурет j jnn jtt. (4.) n және t - өткізгіштің қимасындағы нормаль және жанама бағыттағы бірлік векторлар. (4.), (4.4) теңдеулерін - Ом және Джоуль заңдарының интегралдық түрі деп атайды, себебі ол заңдарға кіретін шамалар өткізгіштің шекті бөліктерін сипаттайды. Ал, бірақ өткізгіштің кез-келген нүктесін суреттей алмайды.

22 Ұзындығы l, көлденең қимасы S, меншікті кедергісі өткізгіш кесіндісінің кедергісі R M болатыны белгілі. Меншікті кедергі M өткізгіштік немесе электр өткізгіштік енгізсек M l S орнына, оған кері шама меншікті l R (4.) S Осы формуланы (4.) - Ом заңына апарып қойсақ, және (4.9) өрнекті ескерсек Il S E l j El dl l Тұрақты ток үшін электр өрісінің кернеулігінің оське проекциаланған құраушысы E l өткізгіштің бүкіл ұзындығы бойынша тұрақты болатыны сөзсіз, ендеше Сондықтан, E dl E l l dl dl E l l (4.) j E l Өткізгіштің әрбір нүктесіндегі ток бағыты электр өрісінің бағытымен сәйкес болғандықтан ток тығыздығы үшін векторлық теңдеу жазуға болады: j E l Бұны Ом заңының дифференциалдық түрі дейді, өйткені (4.) теңдеуінде ешқандай туынды болмағанмен, оған кіретін шамалар өткізгіштің әрбір нүктесін суреттейді. (4.) теңдеуін алғанда біз біртекті цилиндр формалы өткізгішті қарастырдық, бірақ осы тұрдегі Ом заңын өткізгіштің кез-келген формасына, сонымен қатар, біртекті емес өткізгіштерге де пайдалануға болады. Сонымен қатар, (4.) айнымалы электр өрісінде де осы түрде қолданылады, яғни, ол электродинамикадағы негізгі теңдеулердің бірі болып саналады. Джоуль заңын (4.4) дифференциалдық түрге келтіру үшін меншікті ток қуаты q шамасын енгізейік, ол өткізгіштің бір өлшем көлемінен бір секунд ішінде бөлініп шығатын жылу мөлшері:

23 Q q T V Ілгерідегідей, біртекті цилиндрлік формасы бар, көлденең қимасы S, ұзындығы l, көлемі V Sl өткізгіш қарастырсақ, (.7),(.) формулаларына сәйкес Q RI I q T j (4.3) V Sl S немесе Ом заңын (.) қолдансақ q T E je. (4.4) (4.3), (4.4) Джоуль заңының дифференциалдық түрі. (4.3) теңдеуінің қолданылу аймағы (4.4) ден гөрі әлдеқайда кең. Ол кез-келген өткізгішке пайдаланылады (өткізгіштің формасына, біртектілігіне, ток тұрақты ма әлде айнымалы ма, оларға байланысты емес). 5 Дәріс 5 Электромагниттік индукция. Дәрістің мазмұны: Дәрісте электромагниттік индукция құбылысы мен заңы электромагниттік өріс үшін Максвелл теориясының негізі келтірілген. Дәрістің мақсаты: - электромагниттік индукция құбылысын оқып үйреніп үйрену 5. Электромагниттік индукция. Электромагниттік индукция заңы Магнит өрістерінің әсерінен электр қозғаушы күштерінің пайда болуы электромагниттік индукция құбылысы деп аталады. Электромагниттік индукция құбылысын 83 ж. М.Фарадей ашты. Фарадей тәжерибелер нәтижесінде бірінші текті құбылыстар үшін электромагниттік индукция заңы (немесе Фарадей заңы) алынды: Тұйық контурда пайда болатын электромагниттік индукцияның ЭҚК сан жағынан осы контурмен шектелген бет арқылы өтетін магнит ағынының уақытқа байланысты өзгеру жылдамдығына тең және таңбасы бойынша қарамақарсы: i d Ф d t. (3.)

24 3.-сурет 3.-сурет Индукциялық токтың бағыты Ленц ережесі бойынша анықталады: индукциялық ток әрқашан өзін тудырған себепке қарама-қарсы әсер ететіндей болып бағытталады. Егер тұйық контур бір-біріне тізбектеліп жалғанған N орамнан (катушка немесе соленоид) тұрса, онда ЭҚК әрбір орамның ЭҚК-ң қосындысына тең, мұндағы магнит ағыны. d Ф d i N (3.) d t d t d N d Ф - ағын ілінісуі, яғни N орамнан өтетін толық 5. Өздік индукция заңы. Индуктивтілік. Өзара индукция Электромагниттік индукция контур арқылы магнит ағыны өзгергенде ғана пайда болады, бұл кезде ағынның өзгеру себептері маңызды емес. Егер электр тізбегінде уақыт бойынша өзгеретін ток жүрсе, онда осы токтың магнит өрісі де өзгереді, олай болса, магнит ағынының өзгерісі индукцияның ЭҚК-н тудырады. Бұл құбылыс өздік индукция деп аталады. Өздік индукцияның ЭҚК-і (3.) Фарадей заңынан анықталады (ферромагнетиктер жоқ кезде, егер L const жағдайда ) S : S L 4 d I d t. (3.3) Минус таңбасы S әрқашан ток күшінің өзгерісіне кедергі жасайтындай етіп бағытталады (Ленц ережесіне сәйкес), L - контурдың индуктивтілігі деп аталатын коэффициент, ХБ жүйесінде өлшем бірлігі -Генри (Гн). Контурдың индуктивтілігі L контурдың пішіні мен өлшемдеріне, сондай-ақ қоршаған ортаның магниттік қасиеттеріне тәуелді, ол ток күшінің өзгерісіне қатысты контурдың инерттілік мөлшері болып табылады. Ұзын соленоидтың индуктивтілігінің формуласы Мұндағы N L n V S. (3.4) N n - орамдардың сызықтық тығыздығы;

25 V S - соленоидтың көлемі. Ферромагнетик болмаған кезде контур арқылы өтетін магнит ағыны I ток күшіне пропорционал L I, (3.5) ферромагниттік орта бұл сызықтық (3.5) қатынас бұзылады. Әрбір контурдағы ЭҚК осы контурдағы токтың тудыратын магнит ағынының өзгеруі салдарынан ғана емес, басқа контурдағы токтың тудыратын магнит ағынының өзгерісі есебінен де пайда болады. Бұл өзара индукция деп аталады. Бір-біріне жақын орналасқан екі қозғалмайтын контурларды қарастырайық (3. суретті қара). Егер контурда I ток жүрсе, екінші контурда, осы сияқты екінші контурда I ток жүрсе, бірінші контурда пайда болатын ЭҚК-тері электромагниттік индукция заңына сәйкес d I d I L, L. (3.6) d t d t Мұндай контурлар магниттік байланысқан, ал L және L коэффициенттері бірінші контурдың екінші контурға қатысты және сәйкесінше екінші контурдың бірінші контурға қатысты өзара индуктивтілігі деп аталады. Сызықты орталарда, мысалы ферромагнетиктер жоқ кезде, L L. Өзара индуктивтілік магниттік байланысқан контурлардың геометриялық өлшемдеріне, олардың орналасуына және ортаның магниттік қасиеттеріне тәуелді. 5. Магнит өрісінің энергиясы Егер индуктивтілігі L контурда I ток жүрсе, онда тізбекті ажырату мезетінде жойылып кететін магнит өрісінің энергиясы есебінен d A S I d t жұмыс атқаратын индукциялық ток пайда болады. (3.5)-ны қолданып, d A LI d I өрнегін аламыз. Магнит өрісінің энергиясының кемуі токтың жұмысына тең, сондықтан W м L I d A L I d I. (3.7) Сонымен магнит өріс энергисы B BH H W м L I I немесе V V V I W м түрінде жазылады. Магниттік энергия магнит өрісі бар кеңістікте жинақталады және осы көлемде көлемдік тығыздықпен таралады: dwм B H BH w, (3.8) dv I

26 мұндағы dv - энергияның көлемдік тығыздығы барлық жерде бірдей деп есептелген шектегі магнит өрісінің аз аймағының көлемі. V көлемдегі магнит өрісінің энергиясы H W м BH dv B dv V V V Максвелл Фарадейдің электр және магнит өрістері туралы идеяларына сүйеніп, тәжірибелік заңдарын жалпылама жүргізіп, біртұтас электромагниттік өрістің теориясын жасады. 5.3 Құйынды электр өрісі Электромагниттік индукция құбылысын оқып үйрену кезінде айнымалы магнит өрісінде тыныштықта тұрған контурда индукциялық ток пайда болатыны байқалған. Магнит өрісі уақыт бойынша өзгергенде қозғалмайтын контурда индукцияның ЭҚК-ң пайда болуы Максвелл теорисы бойынша құйынды электр өрісінің пайда болуымен түсіндіріледі. Оның электростатикалық өрістен ерекшелігі осы өрісте бірлік оң зарядты тұйық контур бойымен орын ауыстырғанда атқарылған жұмыс нөлге тең емес, ол индукцияның ЭҚК-не тең L dv EBd, (3.9) мұндағы B - айнымалы магнит өрісімен индукцияланған электр өрісінің кернеулігі. Электромагниттік (3.) индукция заңынан Ф E B d B немесе Ed ds (3.) E t өрнектерін алуға болады. Соңғы өрнек Максвелдің бірінші теңдеуі. Электромагниттік өріске ойша енгізілген кез-келген қозғалмайтын тұйық контур бойынша алынған Ed - E L B векторының циркуляциясы теріс таңбамен алынған S беттен өтетін ds - S t магнит ағынының өзгеру жылдамдығына тең. Бұдан Максвелл теориясының бірінші тұжырымы: магнит өрісінің кез-келген өзгерісі құйынды электр өрісін тудырады. 5.4 Ығысу тогы L S t 6

27 Айнымалы ток тізбегінде (3.3 суретті қара) конденсатор астарлары арасында өткізгіштік токты тұйықтайтын қандай да бір процесс өтеді, бұл ығысу тогы болып табылады, ол токтың тығыздығы Мұндағы D t j ыг D t. (3.) -конденсатор астарлары арасындағы D электр ығысуының өзгеру жылдамдығы. Осыны ескеріп, түрде жазуға болады: мұндағы j j пр D t H d j Максвелдің екінші теңдеуін мына D d S t пр L S, (3.) - толық ток тығыздығы. 3.3-сурет (3.) теңдеу электромагниттік өріске ойша енгізілген кез-келген қозғалмайтын тұйық контур бойынша алынған Н магнит өрісінің кернеулік векторының циркуляциясы S беттен өтетін өткізгіштік және ығысу токтарының алгебралық қосындысына тең болатынын көрсетеді Максвелл теңдеулерінің жүйесі Максвелл теңдеулерінің жүйесі 3. кестеде көрсетілген.. кесте Интегралдық түрі Дифференциалдық түрі. Ed L B B ds rot E t t S D D rot H j пр t S t B ds di B L. H d j d S S D d S S V d V di D

28 5. D E 6. B H 7. j E Алғашқы екі теңдеуден маңызды қорытынды шығады: айнымалы электр және магнит өрістері біртұтас электромагниттік өріс жасап, бірбірімен тығыз байланысқан. Үшінші және төртінші теңдеулер электр өрісінің көздері электр зарядтары, ал магниттік зарядтардың болмайтынын көрсетеді. Сондықтан Максвелл теңдеулері электр және магнит өрістеріне қатысты симметриялы емес. 3. кестеде (5,6,7) қатынастары материялық теңдеулер деп аталады, себебі олар ортаның жеке қасиеттерін көрсетеді. Максвелл теориясы сол кездегі белгілі барлық тәжірибелік фактілерді түсіндірді және бірқатар жаңа құбылыстарды болжады. Оның теориясының негізгі салдары жарық жылдамдығымен таралатын электромагниттік толқындардың болуы жөнінде қорытынды болды, ол кейіннен жарықтың электромагниттік теориясын құруға алып келді. 6 Дәріс 6 Тербелмелі процестер Дәрістің мазмұны: Дәрісте механикалық және электромагниттік тербелістерге шолу жасалады Дәрістің мақсаты: - тербеліс үрдістерін оқып үйрену Қандай да бір дәрежеде қайталанып тұратын процестер (қозғалыстар немесе күй теңдеулері) тербелістер деп аталады. Жүйені тепе-теңдік күйден шығарғаннан кейін өздігінен өтетін тербелістер еркін (меншікті) тербелістер деп аталады. Сыртқы периодты күштің әсерінен жүйеде пайда болатын тербелістер еріксіз тербелістер деп аталады. Егер тербелмелі жүйені сипаттайтын барлық физикалық шамалардың мәндері бірдей тең уақыт аралықтарында қайталанып тұратын тербелістер периодтық тербелістер деп аталады. Гармоникалық тербелістер деп косинус (немесе синус) заңы бойынша өтетін процестерді айтады. 6. Еркін гармоникалық тербелістер Гармоникалық тербелетін S t шама үшін өрнекті мына түрде жазуға болады: S t Acos t. (6.) 8

29 Мұндағы A S m - тербеліс амплитудасы, өзгеретін S шаманың ең үлкен мәні; - меншікті дөңгелектік (немесе циклдік), уақыттағы толық тербеліс саны; t - кез-келген t мезетінде S мәнін анықтайтын тербеліс фазасы; - бастапқы фаза, яғни t бастапқы уақыт мезетінде тербеліс фазасы. Толық тербеліс жасайтын уақыт период деп аталады T, T /. Бірлік уақыт ішінде жасалатын толық тербеліс саны жиілік деп аталады. Гармоникалық еркін тербелістер екінші реттік біртекті дифференциалдық теңдеумен сипатталады S S ( S d S / dt ). (6.) (6.) теңдеуінің шешімі гармоникалық тербелістің теңдеуі (4.) болып табылады. Тербелмелі процестің физикалық табиғаты мен оның пайда болу «механизміне» қарай тербелмелі процестер механикалық, электромагниттік, электромеханкалық т.б. тербелістерге бөлінеді. 6.-сурет 6.-сурет Тербелмелі жүйе осциллятор, ал гармоникалық тербеліс жасайтын жүйені гармоникалық осциллятор деп атау қабылданған. Осцилляторларға маятниктер, тербелмелі контур, қатты денелердің молекулалары мен атомдары және т.б. жатады. Тербелмелі процестерді оқып үйрену табиғаты әр түрлі процестер арасында математикалық ұқсастықты қарастырғанда қиын болмайды. Себебі, олар түрі бойынша бірдей дифференциалдық теңдеулермен сипатталады. 6. кестеде әр түрлі осцилляторлар үшін дифференциалдық теңдеулер мен сипаттамалары келтірілген. 6. Гармоникалық тербелістердің энергиясы Механикалық тербелістердің W толық энергиясы кинетикалық W k және W потенциалдық энергиялардың қосындысы арқылы анықталады. А. n

30 кестедегі (қосымшада) формулаларды қолданып, олардың теңдеулерін m m A жазамыз: W k sin t және kx ka W n cos t осыдан толық энергия ka m A W W W W W const W, W және W уақытқа k n k max n max. k тәуелділік сызбалары А. суретте (қосымшада) көрсетілген. Тербелмелі контурда конденсатордың зарядталуы кезінде оның астарларының арасында энергиясы W э электр өрісі, разрядталу кезінде индуктивті катушкада Wм магнит өрісінің энергиясы пайда болады. W магнит және W электр өрістерінің энергияларының теңдеулері W м 4 э м LI LI cos t және W LI cos t ал W толық энергия m W W м W э э q c q c 4 n m m LI m const (6.3) өрнектерімен анықталады. Кинетикалық энергия мен магнит өрісінің энергиясының, потенциалдық энергия мен электр өрісінің энергиясының өзгеру заңдылықтары ұқсас, ал екі жағдайда да толық энергия А. суретте көрсетілгендей тұрақты болып қалады. 6.3 Бірдей бағыттағы және өзара перпендикуляр тербелістерді қосу Тербелмелі жүйенің бірмезгілде бірнеше тербелмелі процестерге қатысып, жүйеде өтетін қорытқы тербелістің заңдылығын анықтауды тербелістерді қосу деп қарастырады. Екі шекті жағдайлар қарастырылады: бірдей бағыттағы және өзара перпендикуляр бағыттағы тербелістерді қосу. Егер жүйе бірмезгілде: x A cos t, x A cos t, (6.4) теңдеулерімен сипатталатын екі тербеліске қатысса, онда қосуды векторлық диаграмма әдісін қолданып, жүргізуге болады (6.3 суретті қара). Қорытқы А векторының х осіне проекциясы қосылғыш векторлардың проекцияларының қосындысына тең x x x. 6.3 сурет бойынша қорытқы вектор косинустар теоремасымен A A A A A cos, (6.5) ал қорытқы тербелістің бастапқы фазасы тангенс бойынша анықталады A sin A sin tg. (6.6) A cos A cos 3

31 6.3-сурет Сонда қорытқы гармоникалық тербелістің теңдеуі x Acos t. Егер тербелістер бірмезгілде өзара перпендикулр х осі және у осі бойымен өтсе, онда олардың теңдеулері келесі түрде жазылуы мүмкін: x Acost, y Bcos t, (6.7) мұндағы - екі тербелістің фазалар айырымы (фаза ығысуы). Мұндай тербелістерді осциллографтың горизонталь және вертикаль басқарушы пластиналарына периодты гармоникалық сигналдар берген кезде бақылауға болады. Қорытқы тербелістің траекториясын анықтау үшін (4.3) теңдеудегі уақыттан құтылып, траекторияның теңдеуін шығарып аламыз x xy y cos sin. (6.8) A AB B Осы теңдеуден шығатын дербес жағдайлар А. кестеде (қосымша) көрсетілген. Егер өзара перпендикуляр тербелістердің жиіліктері бірдей болмаса, онда қорытқы қозғалыстың траекториялары Лиссажу фигуралары деп аталатын күрделі қисықтарды береді. 6.4 Еркін өшетін және еріксіз электромагниттің тербелістер.резонанс 6. кестеде (қосымша) идеал жүйелердің тербелістері қарастырылды, мұндай жүйелерде жүйенің энергиясы энергияның басқа түрлеріне ауыспайды, яғни энергия шығыны болмайды. Нақты тербелмелі контурдың идел контурдан (қосымшадағы А. кестені қара) ерекшелігі - конденсатор мен катушкаға тізбектей жалғанған кедергісі R резистордан тұрады. Өшетін электр тербелістердің дифференциалдық теңдеуін R кедергіні ескеріп, тізбектің - бөлігі үшін жалпылама Ом заңынан аламыз: q q q, (6.9) мұндағы - өшу коэффициенті, R. L Бұл теңдеуінің шешімі өшетін тербелістің теңдеуі болып табылады:

32 t q qm e cos t, (6.) мұндағы q m тұрақты (бастапқы амплитуда) және (бастапқы фаза) бастапқы шарттарға, яғни бастапқы уақыт мезетіндегі q және q мәндеріне тәуелді. Өшетін тербелістер периоды мен циклдік жиілігі T / және e есе азаятын уақыт аралығын релаксация уақыты / деп атайды. Өшетін тербелістің амплитудасының кему жылдамдығын сандық түрде сипаттау үшін өшудің логарифмдік декременті деген ұғымды қолданады. Өшудің логарифмдік декременті деп периодқа ерекшеленетін уақыт мезеттеріне сәйкес амплитудалардың мәндерінің қатынасының натурал логарифмін айтады: өрнектерімен анықталады. Өшетін тербелістің амплитудасы At T ln T, (6.) At T N e мұндағы N e - амплитудасы e есе азаятын уақыт аралығында жасайтын тербеліс саны. Еріксіз электромагниттік тербелістерді тудыру үшін контурдың R L C элементтерін айнымалы ЭҚК-не қосу қажет, берілген жағдайда тербелмелі контурдың теңдеуі келесі түрде жазылады di q L RI cost m dt c немесе q q q L m / cost, (6.) бұл еріксіз тербелістің дифференциал теңдеуі, оның дербес шешімі q q t m cos, (6.3) мұндағы q m - конденсатордағы зарядтың амплитудасы; -бастапқы фазасы және олар мына өрнектермен анықталады: m q және m tg. L 4 Осыдан меншікті жиілік пен айнымалы ЭҚК жиілігінің айырмасы неғұрлым аз болған сайын, q m амплитуда соғұрлым жоғары болады. Сыртқы әсер жиілігінің белгілі бір мәнінде еріксіз тербелістің амплитудасының күрт артуы резонанс деп аталады. Резонанс басталатын сыртқы әсердің (ЭҚК) жиілігі резонанстық жиілік деп аталады. Заряд (конденсатордағы кернеу) және ток күші үшін резонанстық жиіліктер келесі формулалармен анықталады, q рез Uс рез 7Дәріс 7 Толқындық процестер I рез. (6.4) 3

33 Дәрістің мазмұны: Дәрісте тербелістің таралу үрдісі, серпімді толқындар және толқындардың дисперсия құбылысы баяндалады. Дәрістің мақсаты: - толқындық үрдістерді оқып үйрену 7. Серпімді толқындар және оның теңдеуі Тербелістердің кеңістікте таралу процесі толқын деп аталады. Механикалық тербелістердің серпімді ортада таралу процесі серпімді толқын деп аталады. Егер серпімді ортада оның бөлшектерін тербеліске келтірсе, онда олардың арасындағы өзара әсерлесу салдарынан тербеліс бір бөлшектен екінші бөлшекке қандай да бір жылдамдықпен беріледі. Бұл кезде бөлшектер орын ауыстырмайды, тепе-теңдік маңында тербеледі. Сондықтан толқындардың негізгі қасиеті зат тасымалынсыз энергияны тасымалдау болып табылады. Тепе-теңдік маңайында (толқындардың бойлық немесе көлденең таралу бағыты) бөлшек қозғалысының бағытына қарай толқындарды қума және көлденең деп екіге бөледі. Көлденең толқындар ығысуға кедергі жасайтын ортада (қатты денелерде) таралады. Қума толқындар сығылуға және созылуға кедергісі бар орталарда (сұйық, газ тәрізді және қатты денелерде) таралады. Бірдей фазада тербелетін нүктелердің геометриялық орны толқындық бет деп, ал берілген уақыт мезетінде тербеліс келіп жеткен нүктелердің геометриялық орны толқын фронты деп аталады. Толқындық беттер көп болуы мүмкін, ал толқын фронты біреу ғана. Толқындық беттер қозғалмайды, ал толқын фронты орын ауыстырады. Толқындық беттің (толқын фронты) пішініне қарай толқындар жазық немесе сфералық болуы мүмкін. Толқын келесі параметрлермен сипатталады: - толқын ұзындығы, бұл бір тербеліс периоды аралығында толқынның жүретін қашықтығы; Т - период, бір тербелістің уақыты; v - жиілік, бірлік уақыт ішіндегі тербеліс саны. Олардың арасындағы байланыс: Т,. Ортаның қандай да бір нүктесінде қандай да бір уақыт мезетінде ауытқу одан қандай да бір қашықтықта белгілі бір уақыттан кейін байқалады, яғни белгілі жылдамдықпен таралады. Жалпы жағдайда толқынның теңдеуі уақыт пен үш кеңістіктік координатаның функциясы болып табылады. х осі бойымен ауытқулар таралғанда орта бөлшегінің тепе-теңдіктен ығысуы х координата мен t уақыттың функциясы болып есептеледі, яғни f x, t. Егер х= жазықтығында жататын нүктелердің тербелісі, t Acos( t ) функциясымен сипатталса, онда бөлшектердің тербеліс көзінен қандай да бір х қашықтықта ол уақыт бойынша x/ шамаға

34 кешігеді, - толқынның таралу жылдамдығы. х жазықтығында жататын бөлшектердің тербеліс теңдеуі x, t Acos t x /. Толқындарды сипаттау үшін k - толқындық сан қолданылады k. (7.) T Толқындық сан ұзындығы тең кесіндіге қанша толқын ұзындығы сәйкес келетінін көрсетеді. Сонда, x, t Acos( t kx ), (7.) мұндағы - толқынның бастапқы фазасы; ( t kx ) - жазық толқынның фазасы. (7.) теңдеуі энергия жұтпайтын ортада х осінің бойымен таралатын жазық қума толқынның теңдеуі. Кеңістікте энергия тасымалдайтын толқындар қума толқындар деп аталады. (7.) теңдеудегі жылдамдық толқынның фазалық жылдамдығы, ол толқын фазасының таралу жылдамдығы. Егер ортада энергия шығыны орын алса, онда x Ae cos( t kx ), мұндағы - толқынның өшу коэффициенті. Толқын фронтына перпендикуляр бағытталған бірлік n вектормен сипатталатын кез-келген бағытта жазық толқын таралғанда k толқындық вектор енгізеді k kn n. Бұл жағдайда жазық толқынның теңдеуі келесі түрде жазылады:, r t Acos( t kr ), мұндағы kr k x k y k z. 7. Толқындық теңдеу x y Материялық нүктенің барлық мүмкін болатын қозғалыстарын сипаттайтын динамиканың негізгі теңдеуі сияқты толқындық процестер үшін де толқынның түріне тәуелсіз жалпылама өрнек болып табылатын теңдеулер бар. Бұл теңдеулер - толқынды сипаттайтын кеңістік пен уақыттағы функцияның өзгерісін байланыстыратын дербес туынды түріндегі дифференциалдық теңдеулер. Оларды толқындық теңдеулер деп атайды. Толқындық теңдеуді алу үшін (7.) теңдеуді алдымен уақыт бойынша, сосын х бойынша екі рет дифференциал аламыз. х осі бойымен таралатын жазық қума толқынның толқындық теңдеуін аламыз 34

35 x t. (7.3) (7.) жазық толқынның теңдеуі (3.3) толқындық теңдеудің шешімі болып табылады. Жалпы жағдайда, ығысу төрт айнымалының функциясы болып табылады және ол келесі түрде жазылады мұндағы t, (7.4). x y x 7.3 Толқынның энергиясы. Умов векторы Толқын таралатын серпімді орта бөлшектердің тербелмелі қозғалысының кинетикалық энергиясына және ортаның деформациясынан пайда болатын потенциалдық энергияға ие болады. Барлық нүктелерде қозғалыс жылдамдығы және деформациясын бірдей деп есептеуге болатын және сәйкесінше х осі бойынша таралатын толқын үшін және тең болатын V аз көлемді ойша белгілеп аламыз. t x Белгіленген көлем ие, мұндағы m V - V W k m t t V t кинетикалық энергияға көлемдегі заттың массасы, A t kx sin. Теңдеуге, мәнін қойып, келесі өрнекті аламыз: t W k A sin t kxv. Қарастырылып отырған көлем потенциалдық энергияға ие E W n V, мұндағы E - Юнг модулі; - салыстырмалы ұзару немесе сығылу. x Қума толқындардың жылдамдығы E / екенін ескерсек, kasin t kx, потенциалдық энергияның өрнегін аламыз x W n A sin t kxv.

36 Ортаның V көлемдегі бөлшектердің потенциалдық және кинетикалық энергияларының теңдеулеріне жүргізілген талдау олардың максимум мәндерінің бірдей екендігін, W W уақыттың бірдей функциялары k және n болып табылатынын көрсетеді. Бұл заңдылық серпімді ортада кез-келген қума толқынға тән. Ол серпімді ортада таралатын тербелістердің таралу процестеріне қолданатын энергияның сақталу заңынан шығады. Серпімді толқындардың таралуы ортаның бір аймағынан екінші аймағына энергияның тасымалдануымен тығыз байланысты, сондықтан энергия координата мен уақытқа тәуелді. Толық энергия Wk мен Wn қосындысына тең W Wk Wn A sin t kxv. (7.5) Осы энергияны көлемге бөлсек, энергия тығыздығын аламыз W w V A sin t kx. Ортаның әрбір нүктесінде энергияның тығыздығы синустың квадраты бойынша өзгереді, сондықтан ортаның әрбір нүктесінде энергияның орташа тығыздығы w A. (7.6) Қандай да бір бет арқылы dt бірлік уақытта толқын тасымалдайтын энергия осы бет арқылы өтетін энергия ағыны деп аталады dw Ф. dt Беттің әр түрлі нүктесінде энергия ағыны әр түрлі болуы мүмкін, сондықтан энергия ағынының тығыздығы деген ұғым енгізіледі. Бұл энергия тасымалының бағытына перпендикуляр бағытталған бірлік аудан арқылы өтетін энергия ағыны: dф dw j. (7.7) ds dt ds Гармоникалық толқындар үшін (синусоидалық) толқынның энергия тасымалының жылдамдығы фазалық жылдамдыққа тең. Табанының ауданы ds және ұзындығы dt тең қиық цилиндр ішінде жинақталған энергия dw dw wdtds cos wdtds. Осы формуланы (7.7) - ге қойып, энергия ағынының тығыздығы үшін формуланы аламыз: j w. Ағынның тығыздығын және оның бағытын анықтау үшін j Умов векторын енгізеді, j w v, (7.8) 36

37 мұндағы n k v - модулі толқынның фазалық жылдамдығына тең берілген нүктеде толқынға нормаль жылдамдық векторы. Энергия ағынының тығыздығының уақыт бойынша орташа мәні толқынның қарқындылығы деп аталады: I j w A. 7.4 Толқындық түйдек. Топтық жылдамдық. Толқын дисперсиясы Толқындық сигналдың таралуы толқын топтарының (толқындық түйдек) тасымалдайтын тербеліс энергиясының орын ауыстыруымен анықталады. Сәуле шығару көбіне монохроматты бола бермейді, жіңішке жиіліктер интервалын құрайды. Осы жиілік мәндерінің жиынтығы жиіліктер спектрі деп аталады. Тербеліс сипатына қарай, спектр дискретті немесе үздіксіз болуы мүмкін. Жиіліктері бір-біріне жақын екі жазық толқынның суперпозициясы болып табылатын сызықтық ортада таралатын толқынның қарапайым тобы квазисинусоидалық толқынды қарастырамыз. A cos t kx және A cos dt k dkx, мұндағы k, k dk d/, d, dk k. Тербелістерді қосу нәтижесінде келесі өрнек шығады A cos td xdk/ cos t kx. Осы толқын синусоидалық толқыннан амплитудасымен ерекшеленеді, A A cos td xdk/. (7.9) Ол баяу өзгеретін х координата мен уақыттың функциясы болып табылады. Толқындық түйдектің таралу жылдамдығы ретінде A амплитудасы белгілі мәнге ие, көбіне максимал A A (толқындық түйдектің центрі) болатын нүктенің u орын ауыстыру жылдамдығы алынады. Себебі бұл нүктеде энергияның тығыздығы максимал, ендеше топтық жылдамдық толқын энергиясының тасымал жылдамдығы. Толқындық түйдектің центрі td xdk const заңы бойынша қозғалады бұдан топтық жылдамдық dx d u. dt dk k, k /, dk d / ( - толқын ұзындығы) болса, d d d онда u k. (7.) dk dk d (7.) теңдеуден топтық жылдамдықтың фазалық жылдамдықтан артық немесе кем де болуы мүмкін екенін көруге болады, ол фазалық жылдамдықтың толқын ұзындығына (жиілігіне), яғни ортаның қасиетіне

38 тәуелді болуына байланысты. Монохромат толқынның фазалық жылдамдығының жиілікке (толқын ұзындығына) тәуелділігі дисперсия деп аталады. Егер орта дисперсиялаушы орта болса, онда толқындық түйдектің пішіні жиіліктері әр түрлі гармоникалық толқындардың қосындысы болып шығады. Қорытқы толқын таралу шамасына қарай «жайылады», ал сигналдың «пішіні» өзгереді. Дисперсия жоқ кезде, мысалы, вакуумде электромагниттік 8 толқындар ф 3 м / с немесе ауада акустикалық толқындар ф 337 м / с таралғанда, олар өз пішіндерін сақтайды. 8Дәріс 8. Электрмагниттік толқындар Дәрістің мазмұны: Дәрісте электромагниттік толқындардың интенсивтілігі, энергиясы және дифференциалдық теңдеуі берілген. Дәрістің мақсаты: - электромагниттік толқындарды оқып үйрену Максвелл теориясы бойынша (.), айнымалы магнит өрісі айнымалы электр өрісін тудырады, және керісінше. Егер, кеңістіктің белгілі бір нүктесінде құйынды электр өрісін қоздырсақ, онда қоршаған ортада электр және магнит өрістерінің өзара айналымы пайда болады, яғни уақыт пен кеңістік бойынша таралатын айнымалы магнит өрісі пайда болады. Бұл процесс периодты және электрмагниттік толқын деп аталады. 8. Электрмагниттік толқынның дифференциалдық теңдеуі және оның қасиеттері Максвелл теориясына сәйкес, еркін электр зарядтарынан және макроскопиялық j токтардан қашықта орналасқан электромагниттік толқындар үшін (3.-кестедегі -4) теңдеулер мына түрде жазылады B D rote, roth, t t divd, divb. D E және B H байланысын ескеріп, жазатын болсақ H E rote, roth, dive, divh (8.) t t мұндағы және - ортаның тұрақты өтімділіктері. Жазық толқын х осі бойымен таралса, E мен H векторлары y және z осьтеріне тәуелді болмайды. Бұл жағдайда (8.) теңдеуінен екі тәуелсіз теңдеулер тобын аламыз: H H E z z y E y,, (8.) t t t 38

39 E H z y H y E z, x t, (8.3) x t және H x E, x. (8.4) t t (8.) өрнекті ескерсек E E y y H H z z және. (8.5) x t x t (8.5) теңдеуді (7.3) формуламен салыстырамыз, онда (8.5) электрмагниттік толқынның толқындық теңдеулері болып табылады. Бұл теңдеулердің шешімдері E E cost kx және y m H H cos t kx (8.6) z m (8.) - (8.6) теңдеулерінен электрмагниттік толқынның негізгі қасиеттері шығады. 8.. (8.4) теңдеуден E пен H x x кеңістік пен уақытқа тәуелді емес екені шығады. Сондықтан жазық толқынның айнымалы өрісі үшін E x H x және E мен H векторлары толқынның таралу бағытына перпендикуляр, яғни электрмагниттік толқындар көлденең толқындар болып табылады. 8.. (8.5) пен (8.3) теңдеулерін салыстырсақ, электрмагниттік толқындардың фазалық жылдамдығы ортаның қасиеттеріне тәуелді (8.7) Электрмагниттік толқындардың вакуумдегі жылдамдығы 8 c 3 м / с (6.5) теңдеуінен шығатыны: E және H векторлары өзара перпендикуляр,, E, H векторлары оң бұрандалы жүйені құрайды (6. суретті қара). 8. Сурет 8. Сурет

40 8..4 (8.6) теңдеудегі бастапқы фазалары тең және Em H. m Сондықтан, E және H векторларының тербелісі (8. суретті қара) синфазалы (бірдей фазалы) және олардың лездік мәндері өзара байланысты: E H. (8.8) Біртекті изотропты ортада таралатын жазық толқын теңдеуі векторлық түрде былай жазылады: E E cos t kx, H H cos t kx. m m 8..5 Электрмагниттік өрістің әрбір нүктесінде E және H векторлары бірдей жиілікпен гармоникалық тербеледі. Сондықтан электрмагниттік толқын монохроматты болып табылады. 8. Электрмагниттік толқын энергиясы. Пойтинг векторы Энергия тасымалы электрмагниттік толқынмен байланысты. Изотропты ортада электрмагниттік өріс энергиясының тығыздығы электр және магнит өрістерінің энергия тығыздықтарының суммасына тең: E H w. E және H векторларының байланысын ескерсек, электрмагниттік толқынның энергиясының көлемдік тығыздығы EH w E H EH EH (8.9) с мұндағы - толқынның жылдамдығы (6.7). (8.9) өрнекті жылдамдыққа көбейтсек, энергия ағыны тығыздығын шығады E мен H S w EH. (8.) векторлары өзара перпендикуляр және бағыттары оң бұрандалы жүйенің таралу бағытына сәйкес (6. суретті қара), сондықтан (4.) теңдеуі мына түрде жазылады S EH. (8.) S векторы Пойнтинг векторы деп аталады. Ол электрмагниттік толқынның таралу бағытымен бағыттас, ал модулі электрмагниттік толқынның таралу бағытына перпендикуляр бірлік аудан арқылы бірлік уақытта электрмагниттік толқынтасымалдайтын энергияға тең. Гармоникалық электрмагниттік қума толқын үшін энергия ағынының тығыздығы S / E cos t kx. m Толқын I қарқындылығы энергия ағынының тығыздығының орташа мәніне тең: I S ( / ) / E /, (8.) 4 m

41 өйткені косинустың квадратының орташа мәні ½-ге тең. 8.3 Электрмагниттік толқынның сәуле шығаруы Қоршаған ортада қайсыбір жүйенің электрмагниттік толқын тудыру процессі толқындардың сәуле шығаруы деп аталады, ал аталған жүйе сәуле шығаратын жүйе деп аталады. Электромагниттік толқындар өрісі сәуле шығару өрісі деп аталады. Классикалық электрдинамикада үдемелі қозғалыстағы электр зарядтары электрмагниттік толқын тудырады. Сәуле шығаратын қарапайым жүйе электрлік диполь болып табылады, оның р электрлік моменті уақыт бойынша өзгереді. Мұндай диполь қарапайым дірілдеткіш деп аталады. Егер сәуле шығаратын жүйе электрлік бейтарап болса, және оның өлшемі шығарылған сәуле толқын ұзындығынан аз болса, онда толқындық аймақта ( r, мұндағы r - жүйеден қашықтық) сәуле шығару өрісі осциллятордың сәуле шығару өрісімен шамалас. Сызықты гармоникалық осциллятордың моменті р уақыт бойынша төмендегі заңдылықпен өзгереді р р cost. (8.3) m Біртекті изотропты ортада толқынның дипольдан r қашықтықта орналасқан нүктелерге жету уақыты бірдей, тербеліс фазасы да бірдей. Сондықтан толқынды аймақта толқын шебі сфералық болады. Толқын амплитудасы дипольдан алыстаған сайын кемиді Em H m Q r sin мұндағы Q - дипольдің осі мен нүктенің радиус векторы r арасындағы бұрыш (4.3 суретті қара). Суреттен көрініп тұрғандай, E векторы толқындық беттің әр нүктесінде меридианға жанама бойымен бағытталған, ал H векторы параллельдерге жанама бойымен бағытталған, S Пойнтинг векторы, E және H векторлары өзара перпендикуляр бағытталған. Толқынның қарқындылығы I r sin Q. (8.4)

42 8.3 Сурет 8.4 Сурет Бұл тәуелділікті дипольдың сәуле шығару диаграммасынан көреміз (8.4- суретке қара). (8.4) теңдеу мен келтірілген диаграммадан байқайтынымыз, диполь экваторлық жазықтықта Q максималды сәуле шығарады, ал Q осі бойында сәуле шығармайды. Сәуле шығару қуаты тербеліс 4 жиілігіне тәуелді, және ол -не тура пропорционал. Мұндай электрмагниттік өрістің болуы сигналды алыс қашықтыққа жіберуге мүмкіндік береді, кез-келген сигнал жіберетін антеннаны нүктелік дипольдардың жиынтығы деп қарастыруға болады. Жекелеген оптикалық есептерді шешу кезінде атомды сәуле шығаратын диполь деп қарастырады, мұнда электрон ядроның айналасында тербеліс жасайды деп есептелінеді. 9Дәріс 9. Толқындық оптика Дәрістің мазмұны: Дәрісте толқындық оптиканың негізгі түсініктері келтірілген Дәрістің мақсаты: - толқындық оптиканың негізгі ұғымдарын енгізу 9. Жарық толқыны Электрмагниттік толқынның вакуумдегі жылдамдығы 8 с 3 м / с Бұл жарық жылдамдығымен дәл келеді. Осыны негізге ала отырып, жарық электрмагниттік толқын деген қорытынды жасаймыз. Электрмагниттік толқынның барлық қасиеттері жарыққа да сәйкес келеді. n (9.) n шамасы ортаның сыну көрсеткіші деп аталады. Ортадағы электрмагниттік толқын жылдамдығы Мөлдір заттар үшін с n 4.. (9.), сондықтан n. (9.3) Жарықтың ортадағы толқын ұзындығы мұндағы - вакуумдегі жарықтың толқын ұзындығы. n

43 Жарықтың I қарқындылығы Пойтинг (8.) векторымен анықталады, сондықтан I ne m na, (9.4) яғни жарықтың I қарқындылығы n ортаның сыну көрсеткішіне және жарық толқынының А амплитудасының квадратына тура пропорционал. Жарықты сипаттау үшін электр өрісінің кернеулік векторы қолданылады, себебі жарық физиологиялық, химиялық, фотохимиялық әсері электр өрісінің кернеулік векторының тербелісінен туындайды. 9. Жарықтың интерференциясы. Когеренттілік Жарықтың интерференциясы дегеніміз жарық толқындары қабаттасқанда кеңістіктің белгілі бір нүктесінде толқын қарқындылығының күшеюі және келесі бір нүктелерінде оның әлсіреу құбылысы. Интерференция құбылысын бақылау үшін толқындардың когерентті болуы шарт. Когеренттілік дегеніміз бірнеше тербелмелі немесе толқындық процесстердің кеңістік пен уақыт бойынша үйлесімді өтуі. Бұл шартты монохроматты толқын қанағаттандырады. Монохроматты тодқындар белгілі бір жиіліктегі және амплитудасы тұрақты толқындар. Реалды жарық көзінен монохроматты жарық алу мүмкін емес, себебі жеке атомдардың сәуле шығаруы бір біріне тәуелсіз және олардың фазаларының айырымы кездейсоқ шама. Кеңістіктің берілген нүктесінде екі тербелістің фазалар айырымы уақыт өтуімен өзгермесе, уақыт бойынша когеренттілік деп аталады. Бастапқы фаза кездейсоқ өзгерістер әсерінен бастапқы мәнінен шамасына өзгеше мән қабылдайтын уақыт когеренттілік уақыты деп аталады. Екі тербелістің фазалар айырымы толқын бетінің әр түрлі нүктесінде тұрақты болатын үйлесімділік кеңістік бойынша когеренттілік деп аталады. Фазалар айырымының мәні шамасына жететін арақашықтық когеренттілік ұзындығы деп аталады. Сонымен, толқындардың интерференциясының байқалу шарты төмендегідей: ) жиіліктері бірдей ) фаза айырымы уақыт бойынша тұрақты. Реалды жарық көзінен когерентті толқындарды алудың бір ғана жолы бар. Ол үшін бір жарық толқынын оптикалық жүйе арқылы екі бөлікке бөлеміз, сонда олардың оптикалық жолы әр түрлі болады, осыдан кейін екеуін қайтадан қосамыз. Жарық толқындары қабаттасқанда суперпозиция принципі орындалады, яғни кеңістіктің әрбір нүктесіндегі қорытқы кернеулік E E E. Егер E мен E векторлары бір бағытта тербелсе, векторлық диаграмма әдісін қолданып,

44 екі векторды қосамыз. (6.5) пен (9.4) өрнектерді ескерсек, қорытқы толқынның қарқындылығы I I I II cos. (7.5) Кеңістіктің cos болатын нүктелерінде, қарқындылығы I I I, ал cos болатын нүктелерінде, қарқындылығы I I I болады. Интерференциялық көріністі бақылау нүктесінде тербелістің фазалар айырымы S S S n S n L L мұндағы S,S - екі когерентті толқынның жарық көзінен интерференциялық көріністі бақылау нүктесіне дейінгі жүретін жолы; мен - сыну көрсеткіштері n мен n болатын орталардағы толқындардың фазалық жылдамдықтары; - вакуумдегі толқын ұзындығы. Жарық толқыны жолының S геометриялық ұзындығының ортаның сыну көрсеткішіне көбейтіндісі жолдың L оптикалық ұзындығы, ал L L оптикалық жолдар айырмасы деп аталады. Фазалар айырымы мен оптикалық жолдар айырмасы өзара байланысты (9.6) (9.5) өрнегінен қорытқы тербеліс қарқындылығының максимум және минимум шарттары шығады: I max егер m, мұндағы m,,,... және m k I min егер ( m ), мұндағы m,,,... және (m ). Жарық толқындары қабаттасқанда, оптикалық жолдар айырмасы жарты толқын ұзындығының жұп сандарына тең болатын нүктелерде олар бірін-бірі күшейтеді, ал тақ сандарына тең болатын нүктелерде әлсіретеді. 9.3 Жарық дисперсиясы Сыну көрсеткішінің жиілікке тәуелділігі жарықтың дисперсиясы деп аталады. Жарықтың дисперсиясы электромагниттік толқындардың заттың ішіндегі оптикалық электрондармен әсерлесу нәтижесі болып табылады. Оптикалық электрондар дегеніміз атомдар мен молекулалармен әлсіз байланысқан электрондар. Сондықтан Максвеллдің макроскопиялық электромагниттік теориясы бұл құбылысты түсіндіре алмады. Лоренцтің классикалық электрондық теориясы бойынша, дисперсия электромагниттік толқындардың затпен әсерлесу нәтижесі. Гармоникалық электромагниттік толқын әсерінен оптикалық 44

45 электрондар еріксіз тербеліс жасайды, олар өз кезегінде екінші реттік электромагниттік толқындар шығарады. Электронға үш күш әсер етеді: квазисерпімді күш, F m r, бұл ядромен және басқа электрондармен әсерлесу күші; кедергі күші, F m, бұл сәуле шығаруға жұмсалатын энергияны және атомның ілгерілемелі қозғалысына айналған тербелмелі қозғалыс энергиясын сипаттайды; еріксіз күш - электромагниттік толқынның электр өрісі тарапынан әсер ететін күш. Онда еріксіз тербелістерінің дифференциялдық теңдеуін мына түрде жазамыз: e r r r E cos t m m мұндағы r - оптикалық электронның ығысуы; m және - оның массасы мен тербелісінің меншікті жиілігі; - электронның еріксіз тербелісінің өшу коэффициенті; E m және - айнымалы өрістің кернеулік векторының амплитудасы мен жиілігі. Егер орта жарық жұтпайтын болса, онда еріксіз тербеліс амплитудасы eem r. m m Оптикалық электрондар ығысқанда орта үйектеледі, оның үйектеліну дәрежесі n e E P n e r E m мұндағы - заттың электрлік қабылдағыштығы; n - атомдар концентрациясы. Сонда n e. m (9.3) формулаға сәйкес n e n. (9.7) m а-суретте (9.7) теңдеуге сәйкес n тәуелділік қисығы көрсетілген. -ны - ден -ге дейін өсірсе n -дегі мәнінен бастап -ке дейін бірқалыпты өседі. Егер болса, n -нің мәні секірмелі түрде -тен -ке дейін өзгереді, ары қарай -ны -ден -ке дейін өзгертсек n тағы да бірқалыпты -тен -ге дейін өседі. кезінде n -нің шексіз өсуінің физикалық мағынасы жоқ.

46 9.-сурет Мұндай нәтиже екінші ретті толқындарды шығаруға, атомдар арасындағы соқтығыстарға жұмсалатын энергия шығынын ескермегенде алынады. 9. суреттегі тұтас қисықты тұрғызғанда энергия шығыны ескерілген. Жиіліктің мәні меншікті жиілікке жақындағанда, аномальды дисперсия орын алады dn / d, басқа жағдайларда қалыпты дисперсия болады dn / d. Заттарда бір емес, бірнеше резонанстық жиілік болуы мүмкін, себебі заттың әрбір атомы өз меншікті жиілігімен тербелетін гармоникалық осцилляторлар. Бұл осцилляторлардың барлығы жарық толқынының электр өрісі әсерінен еріксіз тербеліс жасайды, сондықтан аномальды дисперсия аймақтары бірнешеу болады. Дәріс. Кванттық статистика және оны қолдану Дәрістің мазмұны: Дәрісте атомдар мен молекулалардың заманауи физикасының элементтері баяндалады. Дәрістің мақсаты: - кванттық статистиканың элементтерімен, Паули принципімен танысу.. Ұқсас бөлшектердің ажыратылмаушылығы. Паули принципі Ұқсас бөлшектерің үлкен санынан тұратын кванттық жүйенің классикалық жүйеден елеулі ерекшіліктері болады. Кванттық физикадағы бұл ерекшелік микробөлшектердің табиғатымен, яғни олардың толқындық қасиеттері болғандығымен түсіндіріледі. Кванттық теорияға сәйкес барлық микробөлшектер екі кванттық статистикаға бағынатын, екі класқа бөлінеді. - жартылай спинді бөлшектер, оларды фермиондар және олар Ферми- Дирак статистикасына бағынады; - бүтін спинді бөлшектер - бозондар және олар Бозе-Эйнштейн статистикасына бағынады. 46

47 Екі кванттық статистика белгілі бір шарттарда жуықтап классикалық Больцман статистикасына өтеді. Барлық үш статистикада да микрокүйлер тең ықтималды деп есептелінеді. Олардың айырмашылықтары микрокүйлерді және статистикалық салмақтарын анықтау әдістерінде. Классикалық статистикада жүйедегі жеке бөлшектердің қозғалыстарын, олар ұқсас бөлшектер болса да, әрқашан бақылауға болады. Кванттық физикада бөлшектер жүйесінің теориясында ұқсас бөлшектердің ерекше қасиеттері - ұқсас бөлшектердің ажыратылмаушылық принципі деп аталады. Ол былай тұжырымдалыды: берілген квантық-механикалық жүйедегі барлық бірдей бөлшектер толығымен ұқсас болады. Екі кванттық статистикалардың физикалық табиғаттарының ерекшеліктері, яғни ұқсас бөлшектердің күйін сипаттайтын - толқындық функциясының симметриялы және антисимметриялы екі типі осы ажыратылмаушылық принципінен шығады. Толқындық функцияның симметриялы және антисимметриялы болуы олардың өзара әсерлесуіне тәуелсіз, бөлшектің спинімен анықталады. Фермиондардың ерекшелігі: олар Паули принципіне бағынады. Паули принципі: ұқсас фермиондардан тұратын кез-келген кванттық-механикалық жүйеде бір күйде тек қана бір фермион бола алады. Бозе-Эйнштейн статистикасында әрбір кванттық күйде бірнеше бөлшектер бола алады.. Кванттық үлестірілулер Кванттық статистиканың негізгі есебі барлық бөлшектер жүйесінің ең ықтимал күйін сипаттайтын параметрлердің орташа мәнін анықтау және осы параметрлерге сәйкес таралу функцияларын табу. Бөлшектердің W энергия бойынша кванттық үлестірілуін қарастырамыз. Бұл үлестірілу энергиясы W бір күйдегі бөлшектердің орташа санын анықтайтын, f W функция түрінде жазылады Фермиондар үшін Бозондар үшін f W w (.) / kt e f W w (.) / kt e мұндағы химиялық потенциал. Бұл үлестірулердің ерекшеліктері: фермиондар үшін f W функциясының мәні бірден артық болмауы керек, ал бозондар үшін кез келген мән бола алады; бозондар үшін (3.) өрнектегі мәні оң сан болуы мүмкін емес;

48 егер f W болса, онда екі үлестірілудің де алымдарындағы бірлікті ескермеуге болады және формула Болцман үлестірілуіне өтеді kt kt kt W e e Ae f (.3) мұндағы A нормалау коэффициенті. Бұл жағдайда бөлшектердің түрі өзгермейді (бозон бозон болып, фермион фермион болып қалады), формула сәйкес келеді..3 Металдардағы электрондар үшін Ферми-Дирак үлестірілуі Классикалық электронды теорияда металдардың көптеген қасиеттері еркін электрондар моделімен түсіндіріледі. Кванттық физикада еркін электрондары жуықтап тік бұрышты потенциалды шұңқырдағы фермиондардан тұратын идеал газ ретінде қарастыруға болады. Электрондардың энергетикалық спектрі дискретті, бірақ энергетикалық деңгейлері тығыз орналасқандықтан оларды квазиүздіксіз деп алуға болады. Абсалют нөл Т К температурадағы электронды газды қарастырамыз. W W 9.-сурет Бұл жағдайда f W, егер W f W, егер W суретте тұтас сызықпен f функциясының сызбасы көрсетілген. Сызбада энергиясы W барлық күйлер толтырылған, ал энергиясы W күйлер бос. Қарастырылып отырған жағдайда шамасын Ферми энергиясы немесе W F Ферми деңгейі деп атайды. Ферми энергиясы - T K жағдайда металдардағы еркін электрондардың энергиясының максимал мәні W F m 3 n / 3 e, (.4) мұндағы m - электрон массасы; n e - металдағы электрондардың концентрациясы. Металдар үшін: W F 5 эв. Еркін электрондардың орташа энергиясы есептеулер бойынша 3 W WF. (.5) 5 48

49 Классикалық газдарда мұндай орташа энергияға T ~ 5 4 K температура сәйкес келер еді. Бұл температура кез - келген металдың балқу температурасынан бірнеше есе артып кетеді. Ферми деңгейіндегі электрондардың жылдамдығы 6 м / с шамасында. Электронды газдың мұндай күйі (. суреттегі f W сызбасының тұтас қисық) толығымен азғындалған газ деп аталады. Ферми-Дирак улестірілуі T жағдайда еркін элетрондар мен атомдардың жылулық қозғалысының әсерлесу салдарынан Ферми деңгейінен (. суреттегі f W сызбасының пунктирлі қисық) асып кетеді. Асып кету аймағы шамамен жылулық қозғалыстың kt энергиясымен шамалас. Сондықтан тек Ферми деңгейіне жанасып жатқан ең жоғарғы деңгейлердегі электрондар ғана өзінің энергияларын өзгерте алады.. - сурет Электронды газ потенциалды шұңқырда орналасқан деп алып, электрондардың үлестірілуін қарастырамыз. Мұндағы U -потенциалды шұңқырдың тереңдігі. W F Ферми деңгейі, бұл деңгейден төменгі аймақ еркін электрондармен толтырылған, ал электрондардың металдан шығу жұмысының жамасы стрелкамен көрсетілген.. суретте көрсетілгендей, электрондардың металдан шығу жұмысы классикалық физикадағыдай, потенциалды шұңқырдың түбінен бастап емес, электрондармен толтырылған ең жоғарғы энергетикалық деңгейден бастап есептелінеді екен. Ферми энергиясы температураға тәуелді болғандықтан, шығу жұмысы да температураға тәуелді болады. Электрондардың кинетикалық энергиясы потенциалды шұңқырдың түбінен бастап есептелінеді. Металлдардың электр өткізгіштігінің кванттық теориясы классикалық электронды теориядан алынған j E Меншікті электр өткізгіштік өрнегі ne. (.6) m