ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ. Еуразиялық нарық институты А.Ə.БАЙМҰХАМЕТОВ, Қ.А.ҚАРАЖАНОВА ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА

Transcript

1 ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Еуразиялық нарық институты А.Ə.БАЙМҰХАМЕТОВ, Қ.А.ҚАРАЖАНОВА ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА (ЭКОНОМИСТЕРГЕ АРНАЛҒАН ДƏРІСТЕР) бөлім Оқулық Алматы 5

2 УДК 57 Баймұхаметов А.Ə., Қаражанова Қ.А. Жоғары математика (экономистерге арналған дəрістер). б.: Оқулық.- Алматы: ЕурАзНИ, б. Лекция материалдары бірінші семестрдің жоспарына сəйкес келетін экономистерге арналған математика курсы. Онда «Сызықты алгебра аналитикалық геометрия элементтерімен», «Векторлық жəне аналитикалық геометрия элементтері», «Бір айнымалы дифференциалдық есептелуі», «Интегралдық есептеу», «Дифференциалдық теңдеулер жəне қатарлар» бөлімдерінен негізгі ұғымдар мен теоремалардың тұжырымдары түсінікті деңгейде жазылған. Библиогр. 5 аталымдар. Рецензент Отарбаев Ж.О., техника ғылымдарының докторы, профессор (ҚазҰТУ) Еуразиялық нарық институттың ғылыми кеңесінде 5 жылғы наурыздың 9-шы жұлдызында басылымға бекітілген ISBN

3 МАЗМҰНЫ Кіріспе І Дəріс. Сызықтық алгебра.. Матрицалар (тікшемдер). -ші, -ші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері.. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар.. Матрицаларға амалдар қолдану.4. Матрица рангі Дəріс... Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ) Матрицалық əдіс жəне Крамер ережесі.. САТЖ зерттеудің жəне оның шешімін табудың Гаусс əдісі Дəріс... Көпсалалы экономиканың Леонтьев моделі (баланстық талдау) 4 Дəріс. Векторлық алгебра жəне аналитикалық геометрия элементтері 4.. Векторлар жəне оларға қолданылатын амалдар 4.. Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары 4.. Векторлардың түзуге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі жəне оның қасиеттері 5 Дəріс. 5.. Жазықтықтағы түзу 5.. Жазықтық теңдеуі 5.. Кеңістіктегі түзу 5.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар 6 Дəріс. 6.. Сызықты операторлар. Сызықты оператордың меншікті векторлары жəне меншікті мəндері 6.. Квадраттық формалар. Айнымалыларды ерекше емес сызықты түрлендірудегі квадраттық формалар 6.. Алмастырудың сызықты моделі 6.4. Сызықты теңсіздіктер жүйесі 7 Дəріс. Математикалық талдауға кіріспе 7.. Функциялар 7.. Шектер 8 Дəріс. Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеуі 8.. Туынды 8.. Туындының механикалық, геометриялық жəне экономикалық мағынасы 8.. Дифференциалдау ережелері 8.4. Функция дифференциалы 8.5. Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар 8.6. Лопиталь ережесі 8.7. Туындылардың көмегімен функцияларды зерттеу 8.8. Экономикалық теорияда туындыны қолдану 9 Дəріс. Көп айнымалы функциялар 9.. Көп айнымалы функциялар. Анықталу аймағы 9.. Функцияның дербес жəне толық өсімшелері. Шек жəне үзіліссіздік 9.. Туындылар мен дифференциалдар 9.4. Жоғары ретті дербес туындылар мен толық дифференциалдар Көп айнымалы функциялардың экстремумдері

4 Дəріс. Ең кiшi квадраттар əдiсi.. Ең кiшi квадраттар əдiсi Дəріс... Экономикалық ізденістерде дербес туындыларды қолдану.. Функцияның икемділігі Дəріс. Анықталмаған жəне анықталған интегралдар.. Анықталмаған интеграл. Интегралдар кестесі.. Интегралдау əдістері.. Анықталған интеграл анықтамасы, қасиеттері.4. Интегралдан оның жоғары шегі арқылы туынды алу. Ньютон-Лейбниц формуласы.5. Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру жқне бөлектеп интегралдау..6. Меншіксіз интегралдар Дəріс. Дифференциалдық теңдеулер.. Жалпы түсініктер.. Интегралданатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің негізгі класы.. Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер 4 Дəріс. 4.. Сызықты жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер 4.. Тұрақтыларды вариациалау əдісі (Лагранж əдісі) 4.. Сызықты біртекті коэффициенттері тұрақты 4.4. Оң жақ бөлігі арнайы түрде берілген сызықты, біртекті емес, коэффициенттері тұрақты теңдеулердің дербес шешімі 5 Дəріс. Қатарлар 5.. Сандық қатарлар жəне оларға амалдар қолдану 5.. Теріс емес мүшелі қатарлар 5.. Лейбниц қатары. Абсолютті (дəйекті) жинақты жəне шартты жинақты қатарлар 5.4 Функциялық қатарлар 5.5.Дəрежелік қатарлар. Тейлор қатары Əдебиеттер тізімі

5 Əр ғылымда сонша шындық бар, онда қанша математика болса Леонардо да Винчи КІРІСПЕ Математика нақты өмірдегі сандық қатынастар мен кеңістіктік формалар туралы ғылым. Математикада математикалық модельдер зерттеледі. Ол нақты құбылыстардың тура математикалық модельдері болуымен қатар осы модельдерді зерттеуге арналған (структуралар) объект болуы мүмкін. Бір математикалық модель тура мазмұны жағынан бір-бірінен қашық жатқан нақты құбылыстардың қасиеттерін көрсетуі мүмкін. Мысалы, бір дифференциалдық теңдеу халықтың өсу процессін де жəне макроэкономикалық динамикасын да көрсетеді. Математика үшін қарастырылып отырған объектілердің табиғи мəні емес, олардың арасындағы қатынастардың маңызы зор. Математика жаратылыс ғылымдарында, инженер-техникалық жəне гуманитарлық зерттеулерде маңызды роль атқарады. Ол көптеген білім бөлімдерінде тек қана сандық есептеу жасау үшін ғана емес, сонымен қатар дəлірек зерттеудің тəсілі жəне ұғымдар мен проблемалардың шекті тура тұжырымдарын беру құралы болады. Адам өміріндегі əртүрлі салалардағы прогресс жетілдірілген логикалық жəне есептеу аппараты бар қазіргі замандағы математикасыз мүмкін емес. Математика қолданбалы есептерді шешуге арналған күшті құрал жəне ғылымның əмбебап тілі ғана емес, сонымен қатар ол негізгі мəдениеттің элементі де болып есептеледі. Сондықтанда математикалық білім осы заманға экономистерді фундаментальды дайындау жүйесіндегі маңызды бөлім болады. Өткен ғасырлардағы көрнекті математиктер қатарында: Архимед, Р.Декарт, И.Ньютон, Г.Лейбниц, Л.Эйлер, Ж.Лагранж, К.Гаусс, О.Коши. Орыс математиктері: Н.И.Лобачевский, М.В.Остроградский, П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов. Осы замандағы математиктер: А.Д.Александров, П.С.Александров. В.И.Арнольд, С.Н.Бернштейн, Н.Н.Боголюбов, И.Н.Векуа, И.М.Виноградов, В.М.Глушков, Л.В.Канторович, М.В.Келдыш, А.Н.Колмогоров, М.А.Лаврентьев, Ю.В.Линник, А.И.Мальцев, П.С.Новиков, Ю.В.Прохоров, В.И.Смирнов, С.Л.Соболев, А.Н.Тихонов.

6 І ДƏРІС. СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРА.. Матрицалар (тікшемдер). -ші, -ші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері Анықтама. m өлшемді матрица деп L K A LLLL LLLL ij ( ij ) m Km m Lm түріндегі m жол (жатық жол) жəне бағаннан (тік жолдан) тұратын () ij түріндегі сандар кестесін айтады. ij - сандары оның элементтері деп аталады. Мұндағы - ші индекс осы элемент тұрған жол нөмірін, ал -ші индекс баған нөмірін білдіреді. m болса () квадрат матрица деп аталады, бұл жағдайда m (немесе ) саны оның ретін көрсетеді. - ші ретті квадрат матрица элементтен тұратыны түсінікті. Матрица - ғылыми-техникалық жəне экономикалық есептерде кестелік ақпараттарды жазу үшін қолданылады; бағдарламалау саласында матрицаларды екі өлшемді массивтер деп атайды. Кейде ыңғайлы болу үшін матрицаның өлшемін индекске жазады: A m. m өлшемді A m ( ij ) жəне B m ( b ij ) матрицаларының сəйкес элементтері тең болса b ), онда олар тең матрицалар деп аталады да A B деп белгіленеді. ( ij ij Квадрат матрица үшін осы матрицадан алынған анықтауыш матрица анықтауышы деп аталатын санын қарастыруға болады. Кейде анықтауыш det A ij ағыл. детерминант (анықтауыш) немесе Δ арқылы белгіленеді. - ші ретті матрица анықтауышы деп () санын айтады. - ші ретті матрица анықтауышы деп () санын айтады. () анықтауышты мына үшбұрыш ережесі арқылы есептейік. Оны еске ұстау үшін келесі схемалық жазу пайдаланылады: A - - _, ( элементтері орналасқан кесінді анықтауыштың бас диагоналі, ал ( элементтері орналасқан кесінді оның қосымша диагоналі деп аталады.,,,

7 Анықтама. A матрицасының жолдарын сəйкес бағандар етіп орнын T алмастырудан алынған A матрицасы A матрицасының транспонирленген матрицасы деп аталынады. T A мен A матрицаларының элементтері бас диагоналға салыстырғанда симметриялы орналасқан. Жолдарды бағандармен алмастыру амалы транспонирлеу деп аталады. Δ нықтауышынан транспонирлеу арқылы алынған анықтауышты Δ арқылы белгілейтін боламыз. Енді анықтауыштардың қасиеттерін қарастырайық. Түсінікті болу үшін оларды -ші ретті анықтауыштар үшін тұжырымдаймыз, алайда бұл қасиеттер реті кез келген анықтауыш үшін орындалады. Кейбір жағдайларда сөйлем ықшамырақ болу үшін жол немесе баған деген сөзді қатар деп атайтын боламыз.. Транспонирленген анықтауыштың мəні өзгермейді: Δ Δ, яғни. Анықтауыштың екі параллель қатарының орнын алмастырғаннан (бұл амал екі параллель қатарды транспозициялау деп аталады) анықтауыштың таңбасы өзгереді.. Параллель екі қатары бірдей (сəйкес элементтері тең) анықтауыш нөлге тең. 4. Егер қандай да бір қатардың барлық элементтері k санына көбейтілсе, анықтауыш мəні k санына көбейтіледі, басқаша айтқанда, қатардың ортақ көбейткішін анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады. Салдар. Егер екі параллель қатарлардың сəйкес элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нольге тең. 5. Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтері нөлге тең (нөл қатар) болса, онда анықтауыш мəні нольге тең. Бұл қасиет 4 - тен k үшін алынады. 6. Егер анықтауыштың белгілі бір қатарының əрбір элементі екі қосылғыштың қосындысы етіп берілсе, онда анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең. Бірінші анықтауыштың сəйкес қатары бірінші қосылғыштардан, ал екінші анықтауыштың сəйкес қатары екінші қосылғыш-тардан тұрады да, бұл екі анықтауыштың қалған сəйкес қатарлары өзара тең элементтерден тұрады. 7. Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтеріне осы қатарға параллель қатардың сəйкес элементтерін кез келген k санына көбейтіп қосса, анықтауыш мəні өзгермейді. Бұл қасиеттің дұрыстығын 6, 4 жəне қасиеттерді қолдана отырып көз жеткізуге болады. Δ.. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар Анықтауышты жол немесе баған элементтері бойынша жіктеу. Анықтама. A квадрат матрицасының ( элементінің миноры деп ij ij элементі тұрған жол мен бағанды алып тастап A матрицасының қалған қатарларынан құралған матрицаны айтады.

8 -ші ретті A матрицасының матрица болады. Oны MA ij арқылы белгілейміз. элементінің миноры реті -ге тең квадрат ij Минор түсінігін анықтауыштар үшін де қолданады. Анықтауыштың минорын Мысалы: M ij арқылы белгілесек, онда A болса, онда MA M. M ij MA ij. ij элементінің Анықтама. ij элементінің алгебралық толықтауышы немесе адъюнкті деп i j A ij ( ) M ij санын айтады. 8. Анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш шамасына тең: Δ A A A L A, i,,...,, () k ik ik i i i i Δ A A A L A, k,,...,. () i ik ik () - қосынды анықтауыштың i - ші жол элементтері бойынша жіктелуі, ал () қосынды анықтауыштың k - ші баған элементтері бойынша жіктелуі деп аталады. 9. Анықтауыштың қандайда бір қатар элементтерімен осы қатарға параллель басқа бір қатардың сəйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының көбейтін-ділерінің қосындысы нөлге тең. k k k k.. Матрицаларға амалдар қолдану Матрицаларға жасалатын келесі амалдарды қарастырамыз: санға көбейту, қосу, көбейту жəне кері матрица табу. Алдымен келесі түсініктерді енгізейік. Квадрат матрицаның бас диагоналінің сыртындағы (бас диагональ элементтерінен басқа) элементтердің барлығы нөлге тең болса оны диагональдік матрица дейді. -ші ретті диагональдык матрицаны келесі түрде жазуға болады d K d K. KKK K d Егер мұнда d d K d d болса, онда d жəне d үшін диагональдык матрица сəйкес бірлік матрица жəне нөлдік матрица деп аталады: k i k i

9 K K K K E, KKK. KKK K K Ескерту. Нөлдік матрица түсінігі кез келген тік бұрышты (квадрат емес) матрицалар үшін де енгізіледі. Анықтама. A ), i,, K, m; j,, K, матрицасы мен λ санының ( ij көбейтіндісі ( λ A) деп əрбір элементі сij λ ij тең C c ), i,, K, m; j,, K, матрицасын айтады. Бұл амал үшін келесі қасиеттер орындалады: ) ( λμ ) A λ( μa) сандық көбейткіштерге қатысты ассоциативті; ) ( λ μ) A λa μa сандарды қосуға қатысты дистрибутивті. Сонымен бірге A A, ( ) A A, A теңдіктері орындалады. Анықтама. Бірдей өлшемді A мен B матрицаларының қосындысы деп əрбір ( c ) b тең, өлшемі A немесе B өлшеміндей C ( cij ) A B элементі ij ij ij матрицасын айтады. Матрицаларды қосу амалы үшін келесі қасиеттер орындалады: ) A B B A коммутативтік; ) ( A B) C A ( B C) ассоциативтік; ) λ ( A B) λa λb ( матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивтік. Анықтама. A m ( ij ) жəне B p ( b ij ) матрицаларының көбейтіндісі деп элементтері ( ij c b, i,, K, m; j,, K p, () ij k яғни i - ші жол мен j - ші баған қиылысуындағы c ij элементі A матрицасының i - ші жолымен B матрицасының j -ші бағанының сəйкес элементтерінің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысына тең болатын C m p AB матрицасын айтады. Ескерту. Анықтамадан -ші матрицаның бағандар саны -ші матрицаның жолдар санына тең болатын матрицаларды ғана көбейтуге болатынын көреміз. Бұл мысалдан AB BA, яғни матрицаларды көбейту коммутативті емес екені көрінеді. Матрицаларды көбейту амалы келесі қасиеттерге ие: ) ( AB ) C A( BC) ассоциативті; ) ( A B) C AB BC жəне матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивті; ) Квадрат матрицалар үшін det( AB) det A det B, яғни көбейтінді анықтауышы көбейткіштер анықтауыштарының көбейтіндісіне тең. Сонымен бірге кез келген квадрат A матрица үшін AE EA A, A A, яғни бірлік матрица E бірлік сан сияқты, ал нөлдік матрица нөл саны сияқты роль атқарады. Анықтама. Егер AA A A E. (E - бірлік матрица) теңдіктері орындалса, онда A матрицасы A матрицасына кері деп аталады. ik kj

10 Анықтама. Анықтауышы нөлге тең емес квадрат матрица нұқсансыз (невырожденной), ал анықтауышы нөлге тең квадрат матрица нұқсанды (вырожденной) деп аталады. Ескерту. Нұқсанды немесе нұқсансыз түсініктері тек қана квадрат матрицалар үшін ғана қолданылатынын ескертеміз. det A det A det E теңдігінен нұқсанды матрица үшін кері матрица болмайтыны шығады ( det A ). Анықтама. A ( ij ) квадрат матрицасы берілсе, оның ij элементтерінің алгебралық A толықтауыштарынан құралған ij A A K A A A K A A KKKK A A K A матрицасын тіркелген матрица деп атайды. Тіркелген матрицаны алу үшін A матрицасының əрбір элементін оның алгебралық толықтауышымен ауыстырып, алынған матрицаны транспонирлеу керек. Кері матрица туралы Теорема. Нұқсансыз матрицалардың, тек қана солардың кері матрицалары бар жəне кері матрица A A K A A A K A A A det A det A KKKKK A A K A формуласы бойынша табылады. ().4. Матрица рангі Анықтама. A матрицасының k - ші ретті миноры деп A матрицасының кез келген k жолы мен кез келген k бағандарының қиылысуындағы элементтерінен құралған матрицаны айтады. Анықтама. A матрицасының рангі деп осы матрицаның нұқсансыз минорларының ең үлкен ретін айтады да (A) немесе A немесе ga символдарының біреуімен белгілейді. Нөлдік матрица рангі нөлге тең деп есептеледі. Егер A ші ретті нұқсансыз квадрат матрица болса, онда ( A) ; det A болса, онда A үшін ( A) < ; A m өлшемді матрица болса, онда ( A) m{ m, }. Матрица рангін табу үшін оның - ші ретті минорынан бастап барлық минорларын нұқсансыздыққа зерттесе болғаны.

11 ДƏРІС... Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ) Матрицалық əдіс жəне Крамер ережесі Анықтама. белгісізі бар m сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ) келесі түрде жазылады... b,... b, () L L L L m m... m bm. Мұнда,,..., айнымалылары жүйенің белгісіздері, ij, i,,..., m; j,,..., жүйе коэффициенттері; ал b i, i,,..., m бос мүшелер деп аталады. Жүйенің барлық теңдеулерін тепе-теңдікке айналдыратын,,..., сандары жүйенің шешімі деп аталады. Егер жүйенің шешімі бар болса ол үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз жүйе деп аталады. () -дегі белгісіздер коэффициенттерінен құралған m өлшемді матрицаны A арқылы (оны жүйе матрицасы деп атайды) A, L L L m m... m b бос мүшелері бағанын B арқылы, b B, L b m ал белгісіздер бағанын X арқылы X белгілейік. L Онда () САТЖ матрицалық түрде жазуға болады (тексеріңіз):... b... b, LLL mm... m bm немесе қысқаша AX B. () Егер A квадрат матрица болса жүйенің матрицалық түрінен кері матрицаны пайдаланып оның шешімін табуға болады. Теорема. САТЖ - нің матрицасы нұқсансыз болса, онда оның жалғыз шешімі бар жəне ол келесі формуламен есептеледі: X A B. ()

12 САТЖ -сін () формула арқылы шешу матрицалық əдіс деп аталады. Жүйенің Крамер ережесі деп аталатын басқа да түрде шешуді көрсетейік. () - С.А.Т.Ж. - ші ретті квадрат матрицасының детерминанты нөлге тең емес: Δ det A болсын. Онда () -жүйенің жалғыз шешімі бар жəне ол келесі формулалар арқылы табылады: Δi i, i,,..., Δ. (4) Мұндағы Δ i Δ анықтауышынан оның i -ші бағанын жүйенің бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы алынатын анықтауыш... САТЖ зерттеудің жəне оның шешімін табудың Гаусс əдісі Матрицалық əдіс пен Крамер ережесінің негізгі екі кемшілігі бар. Біріншіден - оларды нұқсансыз матрицалары бар теңдеулер жүйесіне ғана қолдануға болады; екіншіден - сандық теңдеулер жүйесін шешуде тиімсіз, өйткені ол əдістерді қолдану, Гаусс схемасына қарағанда, есеге жуық есептеу амалдарын жасауды керек етеді. Мысалы, болса, онда бұл əдістерді қолдану мүмкіндігі тіпті аз. Элементар түрлендіру (Гаусс) əдісі кез келген тік бұрышты (квадрат қана емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеп жəне шешімін табуға (жүйенің шексіз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді. Теңдеулер жүйесін зерттеу оның үйлесімді, немесе үйлесімсіз екенін, ал егер үйлесімді болса, онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау. Анықтама. САТЖ -нің кеңейтілген матрицасы деп жүйе матрицасының оң жағынан бос мүшелер бағанын тіркеп жазу арқылы алынған матрицаны айтады (тіркелген бос мүшелерді əдетте вертикаль сызықпен бөліп қояды). Мысалы () - САТЖ матрицасы A m өлшемді болса, онда оның кеңейтілген матрицасы A m ( ) өлшемді болады:... b... b. A L L L L m m... m b m Олардың рангтерінің екі жағдайы: ( A) ( A) немесе (A) > ( A) болуы мүмкін. Келесі теорема теңдеулер жүйесін зерттеуге мүмкіндік береді. Теорема (Кронекер-Капелли). Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің матрицасы мен кеңейтілген матрицасының рангілері тең болса, ( ( A) ( A)) жүйе үйлесімді болады. Енді теңдеулер жүйесін Гаусс схемасы бойынша зерттеу жəне шешу сұрақтарын қарастырайық. Гаусс əдісімен A жəне A матрицаларының рангілерін анықтау үшін A кеңейтілген матрицасын жазып алып (соңғы бос мүшелер бағанын өзгертпей) элементар түрлендірулер арқылы A матрицасы трапеция тəріздес матрицаға келтіріледі. Егер бұл түрлендірулерде бағандар орын алмасқан болса, оларды өздеріне сəйкес белгісіздермен белгілеп отырады. Трапеция тəріздес матрица рангісі туралы жоғарыда қарастырғанбыз. Сонымен (A) жəне (A) анықталды делік. Келесі жағдайлар болуы мүмкін.

13 ) ( A) > ( A). Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімсіз. ) ( A) ( A). Бұл жағдайда сол теорема бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімді сонымен бірге: а) егер болса, яғни матрицалардың рангілері белгісіздер санына тең болса, онда жүйе шешімі жалғыз болады; б) егер < болса, онда теңдеулер жүйесінің параметрлеріне ( c, c,..., c ) тəуелді шексіз көп шешімі болады. Ескерту. Қолданылған элементар түрлендірулер жүйенің шешімдер жиынын өзгертпейді, яғни жүйе бастапқы жүйеге мəндес болып қалады... Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі Анықтама. Егер бос мүшелерінің барлығы нольге тең болса САТЖ -сі біртекті, ал бос мүшелер бағаны нөл емес САТЖ -сі біртекті емес деп аталады. Біртекті САТЖ-сін келесі түрде жазуға болады....,...,.... m m... m, немесе матрицалық түрде AX. Мұнда нөл баған.... Біртекті жүйе əрқашанда үйлесімді, өйткені оның тривиал деп аталатын,,..., шешімі бар. Матрицалық əдіс жəне Крамер ережесін біртекті жүйені шешуге қолданудың реті жоқ. Өйткені, егер det A болса, онда ( A) ( A) ( A A) болады да жүйенің жалғыз тривиал шешімі бар; ал егер det A болса, онда бұл əдістер жарамайды. Сондықтан мұндай жағдайда біртекті жүйелерді шешудің Гаусс схемасын қолданамыз. Мысал. Аяқ киім фабрикасы үшін экономикалық есепті қарастырамыз Шикі зат түрлері Аяқ киім түрлерінің көлемі Бір парға шартты бірлік кететін норма Х Х Х күнде кететін шикі зат шартты бірлігі S S 9 S 6 Аяқ киімнің əр түрінен күнделікті қанша көлемде шығарылуын, яғни х, х, х терді табу керек. Келесі жүйені құрастырамыз:

14 Крамер əдісін қолданамыз: ( ) ( ),, ) ( (4) ) ( (4) 4 5 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Гаусс əдісі: (-) 6 (-) , / :5

15 Ответ (-)

16 ДƏРІС... Көпсалалы экономикадағы Леонтьев моделі (баланстық талдау) Баланс қатынасы келес теңдеумен көрсетіледі i j ij i, ( i,,... ) Онда i - жалпы (жалпы табыс) i -нші саланың өндіріс көлемі, ij - i -нші саланың өнімін j -нші салада жұмсау, i - i -нші саланың өндіріске жұмсалмайтын соңғы өнімнің көлемі ij ij,... j ( i, j, ) теңдеуі тура шығын коэффициенттерін анықтайды, яғни i -нші саланың өнімінің j -нші саланың бір өніміне кететін шығын. Онда бағалық өндіріс салалар арасындағы баланс түрі мынадай болады i j ij j i ( i,,... ) Осы жүйені матрицалық түрде жазуға болады: X AX Y, онда A , X., Y.. Өндіріс салалар арасындағы баланстың негізгі мақсаты тура шығын матрицасы А белгілі болғанда соңғы өнім векторы Y-ті қанағаттандыратын жалпы өнім векторы Х-ті табу болады. Соңғы матрицалық теңдеудің шешімі: Матрица S ( E A) X ( E A) Y болады. толық шығын матрицасы деп аталады. Егер кез келген вектор Y сəйкес Х шешімі бар болса, онда А матрицасы мен Леонтьев моделі тиімді деп аталады. А матрицасының тиімділік критерийлері келесілер:

17 - оның бағандарының элементтерінің қосындыларының максимумы ден асады; - кемінде бір бағанының элементтерінің қосындысы қатаң түрде бірден кіші. Мысал: Жауапты аралықта балансты орындау шартты ақша бірлігі арқылы таблица түрінде берілсін. Өндіріс Пайдалану Сала Энергетикада Машина жасауда Энергетика Машина жасау Соңғы өнім Жалпы өндіріс Егер энергетика саласында соңғы пайдалану екі рет өссе, ал машина жасау саласында бұрыңғы деңгейде қалғанда, онда əр саланың жалпы өнімінің қажетті көлемі қандай болу керегін есептеу керек. Шешуі: Берілгені, 5, 7,,, 5, 7,. Тура шығын коэффициенттерін табамыз: 7,7;,; Сонда А матрицасының түрі мынадай болады: 5 5 5,4,,7 A,,4, Өнімділік критериі қанағаттандырылады: m {,7,;,4,} m{,9;,4},4 Сондықтан кез келген соңғы өнім векторы У үшін қажетті жалпы өнім Х-тің көлемін мына формуламен табуға болады: X ( E A) Y Жалпы шығын матрицасы ( E A) S - табамыз:

18 ,9 -,4 E A. Оның анықтауышы E A,8. Онда кері -,,9,9,4 S E A.,8,,9 матрица: ( ) Есептің шарты бойынша соңғы өнім векторы Онда жалпы өнім векторы үшін табамыз: 44 Y.,9,8,,4, ,, 6,5 X яғни энергетика саласында жалпы өнімді 79, ш.бірлікке дейін өсіру керек, ал машина 6,5 шартты бірлікке дейін өсіру қажет.

19 4 ДƏРІС. ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА ЖƏНЕ АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТТЕРІ 4.. Векторлар жəне оларға қолданылатын амалдар Анықтама. Вектор деп бас нүктесі A соңғы нүктесі (ұшы) B болатын өзіне өзін параллель жылжытуға болатын, бағытталған AB кесіндісін айтады. Сонымен, ұзындықтары тең ( AB A B ) жəне бағыттары беттесетін екі AB жəне A B кесіндіні жалғыз ғана векторын анықтайды деп есептеп AB A B жазады (-сурет). Бұдан, вектор басы етіп кез келген нүктені алуға болатыны шығады. Егер A мен B нүктелері беттесе, онда ол AB AA арқылы белгіленеді де нөл вектор деп аталады. AB векторының модулі (ұзындығы) AB деп AB кесіндісінің ұзындығын айтады. Кейде AB AB деп те жазыла береді. Нөл вектордың модулі нөлге тең ( ), оның бағыты болмайды. Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар коллинеар деп аталады. Нөл вектор кез келген векторға коллинеар деп есептеледі. Коллинеар векторларды арқылы белгілейді. векторына коллинеар модулі тең, бағыты вектор бағытына қарама-қарсы бағытталған вектор векторына қарама-қарсы вектор деп аталады да арқылы белгіленеді (-сурет). Анықтама. векторы мен α санының көбейтіндісі ( ) ) модулі α α тең; -сурет α деп ) α ; ) α > болса, - векторымен бағыттас, ал α < болса, - векторына бағыты қарама-қарсы α векторын айтады. α болса, онда α. Анықтама. мен b векторларының қосындысы b деп, b векторының басы векторының ұшымен беттестірілген жағдайда, векторының басынан b векторының ұшына бағытталған c b векторын айтады ( - сурет). -сурет

20 мен b векторларының қосындысын табу үшін үшбұрыш ережесін пайдалануға болады: кез келген A нүктесіне AB жəне BC b векторларын тұрғызса b AB BC AC шығады; немесе параллелограмм ережесін пайдалануға болады; мен b векторларын ортақ A басына келтіреді де ( AB AD b), оларды қабырғалары етіп параллелограмм тұрғызады, оның A нүктесінен шығатын диоганалі Бірнеше b болады. i, i,,..., векторларды қосу үшін əрбір ке-лесі i AC векторының басын алдыңғы i векторының ұшы-мен түйістіріп бірінші векторының басы мен соңғы векторының ұшын қосып i i векторын тұрғызады ( - сурет) -сурет Бұл амалдар үшін келесі қасиеттер орындалады: (. α ( β) ( α β ) ассоциативті (сандық көбейткіш-терге қатысты); (. ( α β ) α β дистрибутивті (сандарға қосуға қатысты); (. b b коммутативті; 4(. ( b ) c ( b c) ассоциативті; 5(. α ( b ) α α b - дистрибутивті (векторларды қосуға қатысты). Анықтама. мен b векторларының айырымы b деп b векторымен қосындысы векторына тең болатындай b векторын айтады, яғни b болса, онда b. Бір нүктеден шығатын мен b векторының айырымын b салу үшін b векторының ұшын векторының ұшымен қосатын вектор тұрғызса болғаны немесе b OA OB BA (4 - сурет). b () b теңдігінің дұрыстығын тексеру қиын емес. Анықтама., b,..., век-торларының сызықтық комби-нациясы деп b c c... c cii векторын айтады. Мұндағы 4-сурет i

21 c i, i,,..., сандар. Анықтама. Бір жазықтыққа параллель аталады.,,..., векторлары компланар деп 4.. Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары Векторлық кеңістік деп кез келген сызықтық комбинациясы осы кеңістікте жататын векторлар жиынын айтады. Кез келген векторлық кеңістікте бірнеше векторларды таңдап алып осы кеңістіктің əрбір векторын, осы векторлардың бір мəнді сызықтық комбинациясы арқылы жазуға болады. Мұндай векторларды базистік деп атайды. Қысқа болу үшін түзу, жазықтық жəне кеңістік деп сəйкес векторлық түзу, векторлық жазықтық жəне векторлық кеңістіктерді атайтын боламыз. Анықтама. Түзудегі əрбір нөл емес e векторы түзу базисі деп аталады. Кез келген коллинеар емес { e, e } векторлар жұбы жазықтық базисі деп аталады. Кез келген компланар емес { e, e, e } векторлар үштігі кеңістік базисі деп аталады. Базис туралы теорема. Кеңістіктің əрбір а векторы e, e, e базистік векторлардың сызықтық комбинациясы болады жəне ол вектор үшін мұндай комбинация жалғыз ғана болады: e e ze. () Анықтама. Егер α α... α (() теңдігінен α... α α шықса, онда,,..., векторлар жүйесі сызықтық тəуелсіз деп аталады. Егер (() теңдігі орындалатындай барлығы бірдей бір мезгілде нөл емес α, α,..., α сандары бар болса, онда,,..., векторлар жүйесі сызықтық тəуелді деп аталады. Анық болу үшін α k деп алсақ, онда α α α k.... α k α k α k Сонымен, егер векторлар жүйесі сызықтық тəуелді болса, онда олардың бірі қалған векторлардың сызықтық комбинациясы болады. Ескерту. Базистік векторлар туралы теорема дəлелдемесінен: базистік векторлар жүйесі сызықтық тəуелсіз болатынын көреміз. () теңдікті векторының e, e, e базисі бойынша жіктелуі деп атайды да,,, z - сандарын векторының e,e, e базисіндегі координаталары деп атайды жəне {,, z} деп жазады. -теорема. Векторларды қосқанда олардың сəйкес координаталары қосылады, ол векторды санға көбейткенде оның барлық координаталары осы санға көбейтіледі. -теорема. Екі вектор тең болуы үшін олардың сəйкес координаталарының тең болуы қажетті жəне жеткілікті, яғни {,, z }, b { b, b, zb } болса, онда b,,z z b b b. - теорема. (Координаталы векторлардың коллинеарлық белгісі) жəне b,, z } ( o) берілсін. Онда { b b b {,, z} b b zb b λ, z яғни b, векторлары коллинеар болуы үшін олардың сəйкес координаталарының пропорционал болуы қажетті жəне жеткілікті.

22 Кеңістікте OXYZ тік бұрышты декарт координаталар жүйесі берілсін. Бұл жүйемен байланыста болатын, сəйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің бойында орналасқан i, j, k бірлік векторлары i j k кеңістік базисін құрайды (5 - сурет). ( ) Оларды сəйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің орттары деп атайды. A нүктесін алайық. OA Кеңістіктің кез келген векторы (басы координаталар бас нүктесінде, ұшы A нүктесі болатын) A - нүктесінің радиус-векторы деп аталады. Егер A {,, z} болса, онда 5-сурет OA i j zk (,,z ) тең-дігін жаза аламыз. Шынында да, i (,, ), j (,, ), k (,,), болғандықтан i j zk (,,) (,,) (,, k) (,, z). Тік бұрышты координаталар жүйесінде A {,, z}, B { b, b, zb} нүктелері берілсе, онда AB ( b, b, zb z ). Расында да, AB OB OA z z. ( b, b, b ) 4.. Векторлардың түзуге проекциясы. Векторлардың скаляр көбейтіндісі жəне оның қасиеттері Кейде { i, j, k} базисіндегі вектор координаталарын проекция ретінде жазу ыңғайлы. AB векторының бағытталған L түзуіне проекциясы ( Пр L ) деп A B векторын айтады, мұндағы A, B нүктелері A мен B нүктелерінің L түзуіне проекциялары (6(сурет). A B ПрL AB. A B векторының екі түрлі ғана бағыты бар: егер мен L -дің арасындағы бұрыш o сүйір, яғни < ω (, L) < 9 болса, онда оның бағыты L түзуінің бағытымен беттеседі де, ал доғал, o o 9 < ω (, L) < 8 болса, онда A B векторы L түзуінің бағытына қарама(қарсы болады. Сондықтан, векторының бағытталған L түзуіне проекциясын келесі түрде анықтайды. Анықтама. AB векторының L бағытталған түзуге проекциясы деп вектор ұзындығының векторы мен L түзуінің бағыты арасындағы ω бұрышының косинусына көбейтіндісін айтады:

23 Π cosω cos (,L ), ω π. () p L аламыз. b, векторларының берілген бағытқа проекциялары келесі қасиеттерге ие:. Π pl ( b) ΠpL ΠpLb ; (). Π p ( α ) α Πp () L L Π p ( b) Πp Πp b (4) Анықтама. мен b векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы ω бұрышының косинусының көбейтіндісіне тең (, b ), немесе b санын айтады: b (,b ) b cosω b cos (,b ). (5) () теңдікті ескеріп (5) теңдікті келесі түрде де жаза аламыз: b Πp b bπp. (6) Скаляр көбейтіндінің келесі қасиеттері бар: (, b) ( b, ), (7) (, b c) (, b) (, c), (8) (, α b) α(, b). (9) Нөл емес b, векторлары үшін: ) π векторлары ортогональ); (, b ) (, b ) ( b, (, b ) > < (, b ) < ; (, b (, b ) < < (, b ) < π ; (, b ) π ) сүйір бұрыш; ) π ) доғал бұрыш. Кез келген векторы үшін 6-сурет L L (, ). () Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінің координаттық орттары i, j, k үшін ( i, i ) ( j, j) ( k, k ), () ( i, j) ( i, k ) ( j, k ). () Егер { i, j, k} базисінде (,, z), b (,, z ) векторлары берілсе, онда (, b) z z. () b L

24 Дербес жағдайда b болса, онда () жəне () теңдіктерден z, бұдан (,, z) i j zk векторының ұзындығын аламыз: z. (4) Егер (,, z), b (,, z ) берілсе, онда (4) теңдіктен А мен В нүктелерінің ара қашықтығының формуласы шығады AB b ( ) ( ( z z) (5) (,, z) жəне b (,, z ) векторларының арасындағы ϕ бұрышы zz cosϕ (6) z z тең. (6) - теңдіктен (,, z) жəне b (,, z ) векторларының ортогональдық ( b ) белгісін алуға болады: z z (7)

25 5 ДƏРІС. 5.. Жазықтықтағы түзу Түзу геометриядағы алғашқы ұғымдардың (түсініктердің) бірі. Екі нүкте арқылы жалғыз түзу жүргізуге болатыны; түзу бойында жатқан нүкте арқылы осы түзуге перпендикуляр жалғыз түзу жүргізуге болатыны т.с.с. аксиомалар белгілі. Мектеп курсынан L түзуінің теңдеуі k l () түрінде жазылатынын білеміз. Мұнда k tgα -түзудің бұрыштық коэффициенті, ал α L түзуі мен өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш; l түзу мен өсінің қиылысу нүктесінің ординатасы ( l OB) (8 - сурет). A B C () теңдеуін қарастырайық. Мұндағы A, B, C белгілі сандар 8-сурет жəне A мен B бір мезгілде нөлге тең емес. Егер B болса, онда () ден A B A C түрінде немесе k, l арқы-лы белгілеп B B k l, яғни () теңдеу түрінде жаза аламыз. Егер B болса, онда ()- ді A C ( A ) C немесе () A түрінде жазуға болады. Бұл өсіне параллель түзу. Егер A, ( B ) болса, онда ()- ді C C немесе b b (4) B B түрінде жазар едік. Бұл өсіне параллель түзу. () жəне (4) теңдеулерінде жəне b болса, онда жəне, сəйкес өсінің жəне өсінің теңдеулері шығады. () -ді жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі деп атайды. Келесі L : A A C, (5) L : B B C, (6) түзулерінің арасындағы ϕ бұрышы AB A B A B cosϕ (7) A B A A B B C B I. Тік бұрышты (,, ) нүктеден шыққан векторы берілсін. 5.. Жазықтық теңдеуі координаталар жүйесі енгізілген R кеңістігінде -бас векторының ұшы арқылы өтетін, оған перпендикуляр жазықтық жалғыз ғана болады.

26 p, ν (cosα,cosα,cosα ) векторының орты α, α, α, ν векторының сəйкес,, өстерінің арасындағы бұрыштар белгілі болсын. (9 - сурет). (, ν ) p, p () теңдеуін жазықтықтың векторлық теңдеуі деп атайды. Егер оны векторлардың координаталары арқылы жазсақ, онда ол 9-сурет cosα cosα cosα p, p ( ) түріне ие болады да, оны жазықтықтың қалыпты теңдеуі деп атайды. II. ( ) - ін кез келген k санына көбейтіп, оған эквивалентті теңдеу аламыз: A A A B () A A ( A i k cosα i, i,, ; B k p ). Мұнда A, яғни A, A, A бір мезгілде нөл бола алмайды. () - ді жазықтықтың жалпы теңдеуі деп атайды. α : A A A C, α : B B B D түрінде берілген екі жазықтық арасындағы бұрыш AB A B A B A B cosϕ () A B A A A B B B 5.. Кеңістіктегі түзу Кеңістіктегі кез келген L түзуін қарастырамыз ( - сурет). Ол түзуде жатқан (,, ) нүктесі жəне нүктесінен шығатын L түзуінде жатқан,, ) векторы ( берілсін. L түзуінде жатқан кез келген нүктені,, ) арқылы белгілейік. ( -сурет

27 Онда векторын t (t - сан) түрінде жазуға болады. Егер t параметрі (,, ) аралығындағы мəндерді қабылдаса, онда t нүктесі бүкіл L түзуін береді. t ( < t < ) () теңдігін нүктесі арқылы өтетін жəне векторы бойымен бағытталған түзудің векторлық теңдеуі деп атайды. () -ді координаталар бойынша келесі үш теңдеу жүйесі түрінде жазуға болады: t, t, t. Бұл теңдеуді түзудің кеңістіктегі параметрлік теңдеуі деп атайды. () - ден t параметрін шығарып, оны келесі түрде жазуға болады: ( ) ( ) ( ) -ін түзудің канондық (дағдылы) теңдеулері дейді. (,, ) векторын L түзуінің бағыттаушы векторы деп атайды. Екі жазықтықтың теңдеулері жалпы түрде берілсін: A A A z C, () B B Bz D. (4) () пен (4) жазықтықтар параллель болмаса түзу бойымен қиылысады жəне () жəне (4) теңдеулер кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеулері деп аталады. p : A B Cz D жазықтығы мен L : z z l m түзуінің арасындағы ϕ бұрышын (-сурет) () -сурет формуласымен табуға болады. Al Bm C si ϕ cosψ A B C l m (5) 5.4. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар жүйесінде екінші дəрежелі айқындалмаған теңдеумен анықталған қисық берілсін: A B C D E F, () мұндағы A, B, C, D, E, F -берілген нақты сандар жəне A B C. Бұл қисықты екінші ретті қисық деп атайды. Эллипс. b, b >. ()

28 > b болсын, c b арқылы белгілейік. өсінен эллипстің фокустары деп аталатын F (,) жəне F (,) нүктелерін белгілейік. c -сурет c Анықтама. F, F фокустарына дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады (- сурет). () - ді эллипстің канондық (дағдылы) теңдеуі дейді, ал мен b эллипстің сəйкес үлкен жəне кіші ( > b) жарты өстері деп аталады. Егер болса, онда, яғни эллипс графигі өсін, нүктелерінде қияды. болса, онда b яғни эллипс графигі өсін b, b нүктелерінде қияды. Бұл нүктелерді эллипстің төбелері деп атайды. - ті ( ) -ке, -ті ( -ке ауыстырсақ () теңдеу өзгермейді, демек, эллипс өсіне жəне өсіне салыстырғанда сəйкес симметриялы, сондықтан o жəне o өстері эллипстің симметрия өстері деп аталады, эллипстің фокустері арқылы өтетін өс фокальдік (тоғысты) өс деп аталады. c b e - санын эксцентриситет деп атайды. Эллипс эксцентриситеті үшін e < теңсіздіктері орындалады. e c теңдеулерімен анықталатын (фокальдік өске перпендикуляр) түзулер эллипстің директрисалары деп аталады. Эллипс теңдеуін параметрлік түрде деп жазады. Шынында да яғни () - теңдіктерімен анықталған ) жатады. Гипербола. с cosθ, bsiθ, θ < π. cos θ b si θ cos θ si θ, b b (, нүктесі кез келген θ үшін () - гі эллипске b,, b > (). (4) b деп алып - өсінің бойынан (4) - гипербола фокустері деп аталатын F ( c,), F ( c,) нүктелерін белгілейік ( сурет). Анықтама. F жəне F фокустарға дейінгі қашықтықтарының айырымы тұрақты тең нүктелердің геометриялық орны гипербола деп аталады. (4) - теңдеу гиперболаның канондық (дағдылы) теңдеуі деп аталады. (4) - теңдеуден гипербола өсіне де өсіне де салыстырғанда симметриялы болатынын байқаймыз. Мұнда - өсіндегі [ ; ] кесіндісі жəне - өсіндегі [ b; b] кесіндісі гиперболаның сəйкес нақты жəне жорамал өстері деп аталады.

29 үшін e >. -сурет Егер болса, онда,, яғни гипербола - өсін ( ;) жəне (,) нүктелерінде қияды. Осы нүктелерді гиперболаның төбелері дейді. Егер болса, онда, ал бұл теңдеудің нақты b түбірі жоқ, демек гипербола - өсімен қиылыспайды. Эллипстегі сияқты, O - нүктесі гипербола центрі деп аталады. Гиперболаның эксцентриситеті, директрисалары элллипстегі сəйкес анықтамалар арқылы анықталады. Гипербола b Суретте ± теңдеуімен екі түзу сызылған. Олар гипербола асимптоталары деп аталады. Асимптота анықтамасы ілгеріде математикалық талдау курсында қарастырылады. Парабола - өсінде парабола фокусі деп аталатын директрисасы деп аталатын p, p >. (5) p түзуін жүргіземіз (4 - сурет). p F, нүктесін белгілеп, парабола Анықтама. Фокус пен директрисадан бірдей қашықтықта орналасқан A (, нүктелердің геометриялық орны парабола деп аталады 5-ші теңдеуді параболаның канондық (дағдылы) теңдеуі дейді, ал p > санын оның параметрі деп атайды. O - нүктесін парабола төбесі дейді. O өсі параболаның симметрия өсі деп аталады. Парабола эксцентриситеті бірге тең ( e ) деп есептеледі. 4-сурет

30 6 ДƏРІС. Анықтама. A ~ 6.. Сызықты операторлар операторы деп кез келген ~ A. векторын қоятын заңды айтады, яғни ( ) - векторының бейнесі, - векторының алғашқы бейнесі. R векторына сəйкес жалғыз m R Оператор сызықты деп аталады, егер келесі қасиеттер орындалса: ~ ~ ~ - A( A( ) A( - аддитивтік; ~ ~ - A( λ ) λ A( ) - біртектілік. Əр сызықты операторға берілген базистегі матрица сəйкес келеді жəне кез келген -ретті ~ A матрицаға - өлшемді кеңістіктегі сызықты оператор сəйкес келеді, яғни ( ) теңдеуін матрицалық түрде келесі теңдеумен көрсетуге болады Y AX. Мысал. A ~ операторы e, e, e Y AX формуласы бойынша e e 8e Ендеше базисінде келесі матрицаға берілсін 4 A Сызықты оператордың меншікті векторлары мен меншікті мəндері Анықтама. Сызықты оператор A ~ ның меншікті векторы деп A( ) λ орындалатын немесе матрицалық түрде белгілі бір сан λ үшін AX λx орындалатын векторын айтады. Анықтама. λ саны A ~ операторының ( A - матрицасының) векторына сəйкес болатын меншікті мəні деп аталады. Анықтама. A λ E, онда A λ E - анықтауыш, теңдеуі A ~ операторының немесе A - матрицасының мінездеме теңдеуі деп аталады. 4 Мысал. A матрицасымен берілген A ~ сызықты оператордың меншікті 9 мəндерімен меншікті векторларын табыңыз. ~

31 Шешуі. Мінездеме теңдеу құрамыз: λ 4 A λ E λ λ 5 λ 5, λ 7 - меншікті мəндері. 9 - λ λ 5 үшін меншікті () (, ) векторын келесі теңдеуден табамыз: ( A λ E) c десек, ,5 5 ( ) ( c;, c) Сол сияқты λ 7 меншікті вектор 6 9 векторын аламыз. ( ) c, c. 4 6 Анықтама. деп аталады. Мұндағы A L (,,... ) ij... ji 6.. Квадраттық формалар i j... ij i j өрнегі квадраттық форма - нақты сандар. Осы коэффициенттерден құрастырылған матрица , квадраттық форманың матрицасы деп аталады. Квадраттық форма матрицалық түрде көрсетілуі мүмкін: L X AX (,,... ) L,, 4 Мысал. Квадраттық форманы ( ) матрицалық түрде жазыңыз.

32 Шешуі., ; ; ; 4 яғни ; 6, яғни, ; 5 яғни екені белгілі. ji ij болғандықтан 5,, 6. Сондықтан ( ) ,, L Айнымалыларды нұқсансыз сызықты түрлендіргендегі квадраттық формалар CY X - нұқсансыз сызықты түрлендіру болсын. Онда квадраттық форма ( ) ( ) ( ) ( ), ) ( Y C AC Y A CY Y C A CY CY X AX L яғни квдраттық форма мынадай болады AC C A *. Анықтама. Квадраттық форманың i i ii L... бұл түрі канондық деп аталады. Теорема. Кез келген квадраттық форма айнымалыларды нұқсансыз сызықты түрлендіру арқылы канондық түрге келтіріледі. Мысал. ( ) 4,, L квадраттық форманы канондық түрге келтіру керек. Алдымен арқылы, содан соң арқылы толық квадраттарды бөлсек: ( ) ( ) ( ) L Сызықты түрлендірулер, 9 6, канондық түрді береді: ( ) ,, L.

33 Анықтама. Егер L (,,... ) анықталған деп аталады. Ал L (,... ) > айнымалылардың барлық мəнінде, онда L - оң, < болса, онда теріс анықталған болады. Сильвестр критериі. Оң анықталған болу үшін квадраттық форманың матрицасының басты емес минорлары Δ >, Δ >,.. Δ > оң болулары қажетті жəне жеткілікті. 6.. Айырбастаудың сызықты моделі Айырбастаудың сызықты моделі (халықаралық сауда моделі) ол матрицаның меншікті векторы мен меншікті мəнін табуға арнлаған есепке байланысты экономикалық процесстің математикалық моделі. S, S,..., S - ел болсын;,,... -олардың ұлттық табысы болсын; ij - S j - нші елдің бұйымын сатып алуға кеткен i ( j, ) ij,..., S i елдің ұлттық табысының бөлігі жəне, яғни елдің ұлттық табысы, сол ел ішіндегі бұйымды сатып алуға, не сырт елден импорт сатып алуға шығындалады. A сауданың структуралық матрицасы деп аталады, мұндағы кез келген бағаның элементтерінің қосындысы -ге тең. S i i,,..., ел үшін ішкі жəне сыртқы саудадан түскен табыс p i Кез келген ( ). i i... i Əр S i ел үшін сауда дефицитсіз болу үшін сауданың балансы болу қажет, ол p i i теңдігімен анықталады немесе матрицалық түрде AX X. Осы A матрицасының меншікті мəні λ сəйкес меншікті векторды іздеуге арналған есеп. Мысал. S, S, S үш елдің саудаларының структуралық матрицасы берілген: 4 A. 4 Сауда балансы болу үшін осы елдердің ұлттық табыстарын табыңыз. Шешуі. λ меншікті мəн үшін меншікті векторын мына теңдеуден табамыз: ( A E) X, яғни

34 4 4 - немесе. 4 4 Осы жүйені Гаусс əдісімен шешсек: c, c, c, яғни меншікті вектор c, c, c болады. Осыдан осы елдердің ұлттық табыстары : : қатынасындай немесе : 4 : Сызықты теңсіздіктер жүйесі Сызықты теңсіздіктер жүйесі берілген: 4 -ші теңсіздік ді қарастырайық. Оған сəйкес теңдеуі жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөлетін түзуді анықтайды жəне олар үшін жалпы шекара болады, ал теңсіздік осы жарты жазықтықтардың біреуін анықтайды. Қай жарты жазықтықты анықтайтынын білу үшін теңсіздіктің сол жағына шекарада жатпайтын кез келген нүктенің координаттарын қлю керек. Егер осы алынған нүктенің координаттары теңсіздікті қанағаттандыратын болса (көбінесе бас нүкте), онда осы нүкте жатқан жарты жазықтық іздестіріп отырған болады; керісінше болса, онда басқа жарты жазықтық шешімі. Сонымен үшін, яғни дұрыс теңсіздік. Ондаша, іздеп отырған жарты жазықтық бас нүкте O (,) жатқан жарты жазықтық. үшін - дұрыс емес теңсіздік. Ондаша іздестіріп отырған жарты жазықтық O (,) нүктесі жатпайтын жарты жазықтық. Сол сияқты 4 үшін 4 - дұрыс теңсіздік. Онда, іздестіріп отырған жазықтықта бас нүкте жатады. Берілген жүйенің шешімі осы табылған үш жарты жазықтардың қиылысуларының ортақ бөлігі. Чертежде ол область штрихталған.

35 -4 - -

36 7 ДƏРІС. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУҒА КІРІСПЕ.. Функция. Оның берілуі. D мен E сандар жиыны болсын. Əрбір 7.. Функциялар D санына E жиынының E санын сəйкес қоятын f ережесі D жиынында берілген сандық функция деп аталады жəне ол f (), D немесе f : D E деп жазылады. D функцияның анықталу аймағы (облысы), ал E { R : f ( ), D} функцияның мəндер аймағы деп аталады. аргумент немесе тəуелсіз айнымалы шама, ал аргументтің берілген мəніне сəйкес келетін f ( ) саны нүктесіндегі функция мəні деп аталады жəне оны кейде f ( ) арқылы да белгілейді. Функция түсінігі қарастырылған сандық функциялармен ғана шектелмейді. D мен E кез келген жиындар болсын. Анықтама. Əрбір D элементіне жалғыз f ( ) E элементін сəйкестендіретін бейнелеуді D жиынында анықталған функция деп атайды. E - оның мəндер аймағы деп аталады. Сандық функцияларды түрлі тəсілдермен беруге болады. Кестелік. Функция кесте түрінде берілуі мүмкін. Бұл тəсіл функцияны толық сипаттай алмайды, өйткені кестеге функцияның анықталу аймағындағы барлық нүктелерді кіргізу мүмкін емес.. Графиктік тəсіл. OXY жазықтығының D жəне f () болатын (, нүктелер жиыны f () функциясының графигі деп аталады. График функция түрін өрнекті сипаттайды.. Аналитикалық тəсіл. Мұнда формула көмегімен аргументінің əрбір мəні үшін f () функциясының сəйкес келетін мəнін есептеу алгоритмі нақты көрсетіледі. Бұл жағдайда əдетте функцияның D анықталу аймағы деп осы берілген формуланың мағынасы бар аргументінің жиынын айтады. Функция аналитикалық тəсілмен берілсе, онда оны кесте жəне графиктік түрде де беруге болады. f : D E функциясы, D, мəндеріне f ( ) f ( ) шарты орындалатындай мəндерді сəйкестендіре-тін функция болсын. Онда əрбір E санына f ( ) болатындай қандай да бір анықталған D санының сəйкес қойылуы мүмкін. Осылай анықталған жаңа f E D функция берілген f функциясына кері функция деп аталады. f : X Y жəне g : Y Z функциялары берілсе, онда олардың композициясы немесе күрделі функциясы деп h ( ) g( f ( )), X теңдігімен анықталған функцияны айтады. : h g o f : X Z

37 Егер f () функциясының " салыстырғанда симметриялы жəне "D анықталу аймағы нүктесіне D ( f ( ) f ( ) ( D, f ( ) f ( )) теңдігі орындалса, онда f () жұп (тақ) функция деп аталады. Егер R, f ( T ) f ( ) теңдігі орындалатындай T оң саны табылса, онда функция периодты (периоды T тең) деп аталады. Егер < болатын D( f ) сандары үшін: f ) f ( ) орындалса, онда f () кемімейтін; ( f ) f ( ) орындалса, онда f () өспейтін; ( f ) < f ( ) орындалса, онда f () өспелі; ( f ) > f ( ) орындалса, онда f () кемімелі ( функция деп аталады. X жиынында осы төрт қасиеттің тек біріне ғана ие болатын функцияны X - жиынында монотонды деп атайды.. Элементар функциялар α C, C -тұрақты, ( α ) - дəрежелік,, ( >, ) - көрсеткіштік, log ( >, ) - логарифмдік, si, cos, tg, ctg - тригонометриялық функциялары негізгі элементар функциялар деп аталады. Бұл функцияларға ақырлы санды арифметикалық амалдар мен функциядан функция алу (суперпозиция) амалдарын қолдана отырып элементар функцияларды аламыз. 7.. Шектер. Нақты сандар тізбегі жəне оның шегі Анықтама. Нақты сандар тізбегі деп натурал сандар жиынында анықталған f : N R функциясын айтады. Мұндай функцияның мəндерін f ( ), N немесе b, т.с.с. арқылы белгілейді де оларды тізбек мүшелері немесе элементтері, санын мүшесінің нөмірі деп атайды. Тізбекті { };,,..., ;,,... { } бірімен белгілейтін боламыз. ;, N;,,,... символдарының Анықтама. Егер əрбір (кез келген) ε > саны арқылы барлық > ε нөмірлері үшін < ε () теңсіздігі орындалатындай ε тізбегінің шегі деп аталады да { } оң саны (ε санына тəуелді) табылса, онда " " саны

38 lim немесе lim немесе ( ) арқылы белгіленеді жəне { } тізбегінің айнымалысының а санына тең шегі бар немесе { } тізбегі "" -ға ұмтылады немесе { } тізбегі айнымалысы "" санына жинақталады дейді. Егер N, болса, онда lim lim екені анық.. Функцияның шегі f ( ) функциясы а нүктесінің қандайда бір U ( ) маңайында анықталған болсын. ("" -нүктесінде функция анықталмауы да мүмкін). - анықтама. Егер кез келген ε > саны үшін f функциясының анықталу жиынында жататын жəне < < δ ( ε ) теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық сандары үшін теңсіздігі орындалатын "" нүктесіндегі шегі деп аталады да lim f ( ) A; f ( ) A f ( ) A < ε δ ( ε) > саны табылса, онда А саны () символдарының бірімен белгіленеді. - анықтама. Егер кез келген ε > саны үшін ( ) ; f ( ) A ( < ) < < δ δ < теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық үшін f функциясының f ( ) A < ε δ ( ε ) > саны табылса, онда " A " саны f () теңсіздігі орындалатындай функциясының "" нүктедегі оң жақ (сол жақ) шегі деп аталады да lim f ( ) A ; lim f ( ) A, f ( ) A, > lim f ( ) A, lim f ( ) A, f ( ) A < символдарының бірімен белгіленеді. Теорема. lim f ( ) шегі бар болуы үшін lim f ( ) пен lim f ( ) жəне олардың өзара тең болуы қажетті жəне жеткілікті, яғни lim f ( ) lim f ( ) A lim f ( ) A () - анықтама. Егер N санына жинақталатын əрбір { } тізбегінің шегі бар жəне ол " нүктедегі шегі деп аталады. Сонымен шектері бар, шартын қанағаттандыратын "" D( f ) тізбегіне сəйкес келетін { f ( )} "A санына тең болса, онда ол " A " саны функцияның "" lim f ( ) A( немесе f ( ) A ( ) Мұнда да жоғарыдағыдай бір жақты шектер ұғымын анықтауға болады.

39 () жəне () анықтамалар эквивалентті. Біз мұнда оның дəлелдеуіне тоқталмаймыз. жəне -анықтамаларды сəйкес Коши жəне Гейне анықтамасы дейді. Ескерту. функцияның "" нүктедегі шегі деген сөйлемді көбінесе х а - ға ұмтылғанда функцияның шегі, немесе қысқаша функция шегі деп айтады. 4-анықтама. Егер кез келген ε > саны үшін >δ(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық X үшін f ( ) A теңсіздігі орындалатындай δ ( ε ) > саны табылса, онда ке ұмтылғанда f () функциясының шегі бар жəне ол "A" санына тең дейді де < ε lim f ( ) A немесе f ( ) A ( ) символдарының бірімен белгілейді.. Шексіз аз жəне шексіз үлкен шамалар Қарастырылатын функциялар " анықталған (оның "" нүктенің өзінде анықталуы шарт емес). Анықтама. Егер lim f ( ), онда () шексіз аз (ш.а.) деп аталады. -теорема. " нүктесінің қандай да бір () U маңайында f функциясы - ға ұмтылғанда lim f ( ) A теңдігі орындалуы үшін f ( ) A α ( ) ( α( ) -ға ұмтылғанда (ш.а.) теңдігі орындалуы қажетті жəне жеткілікті. Сонымен, f ( ) A f ( ) A α ( ), α ( ) lim ( ) ) -теорема. Егер α ( ), α ( ),..., α ( шексіз аз болса, онда олардың қосындысы мен көбейтіндісі шексіз аз болады. -теорема. шексіз аз бен шектелген функцияның көбейтіндісі шексіз аз болады. Анықтама. Егер əрбір ε > саны арқылы( < <δε теңсіздіктерін f () > ε теңсіздігі орындалатындай қанағаттандыратын -тер үшін δ ε > саны бар болса( онда f () функциясы шексіз үлкен функция немесе қысқаша шексіз үлкен деп аталады да lim f ( ) немесе f () ( ) символдарының бірімен белгіленеді. Егер lim f ( ) жəне нүктесінің қандай да бір маңайында f ( ) > ( ( ) < ) f болса, онда lim f ( ) ( lim f ( ) ) деп жазады. 4-теорема. Егер нүктесінің қандай да бір U () маңайында f ( ) > M > жəне lim ( ) ϕ ( ), болса, онда ϕ ( )

40 5-теорема. Егер кез келген lim f ( ) ϕ ( ). нүктелерінде ϕ ( ) болса, онда limϕ ( ) lim. ϕ( ) ұмтылғанда бірдей таңбалы шексіз үлкен функциялардың 6-теорема. қосындысы осы таңбамен алынған шексіз үлкен болады. 7-теорема. маңайында шектелген функция қосындысы болады. ұмтылғанда шексіз үлкен функциясы мен нүктесінің ұмтылғанда шексіз үлкен функция 4. Функциялардың үзіліссіздігі Анықтама. Егер f () функциясы:. нүктесінде анықталған;. нүктесінің қандай да бір U δ ( ) маңайында анықталған;. f ( ) f ( ) lim болса, онда ол нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады. Бұл анықтаманы кванторларды пайдаланып былайша жазуға болады: f () функциясы нүктеде үзіліссіз ε >, δ > : Uδ ( ) f ( ) f ( ) < ε. () теңдікті f ( ) f lim () lim (4) деп те жазуға болады. Бұдан үзіліссіз функция белгісінің астына шекке өтуге болатынын көреміз. Анықтама. Егер f () функциясы: U. нүктесінде анықталған;. нүктесінің қандай да бір (, ) δ ( ( δ, )) lim f ( ) f ( U оң жақ маңайында δ ( δ ( сол жақ маңайында) анықталған;. ) o lim f ( ) f ( ) o нүктесінде оң жағында (сол жағында) үзіліссіз функция деп болса, онда ол аталады. f () функциясы нүктесінде үзіліссіз болуы үшін ол нүктесінің оң жағында жəне сол жағында үзіліссіз болуы қажетті жəне жеткілікті: lim f ( ) f ( ) lim f ( ). o o - теорема (монотонды функцияның үзіліссіздігі туралы). [, b] - кесіндісінде f () монотонды жəне [ f ( ), f ( b) ] кесіндісіндегі барлық мəндерді қабылдайтын