Εισαγωγή στην Πληροφορική

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Πληροφορική"

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 2: Ψηφιακή Λογική Ι Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΚΠΟΝΗΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΩΤΣΙΔΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΕΛΛΗ ΛΑΓΟΥΤΑΡΗ ΕΛΕΝΗ ΚΑΣΟΥΜΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ ΛΕΥΚΑΔΑ, 2009

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΆΛΓΕΒΡΑ BOOLE... 1 ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ HUNTINGTON... 1 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ... 3 Λογική πράξη Αντιστροφής Λογική Πύλη ΝΟΤ (ΟΧΙ)... 3 Λογική πράξη Σύζευξης Λογική Πύλη AND (KAI)... 4 Λογική Πράξη Διάζευξης Λογική Πύλη OR (Ή)... 5 Λογική πράξη Αποκλειστικής Διάζευξης Λογική Πύλη XOR... 6 Λογική πράξη Αντίστροφης σύζευξης Λογική Πύλη NAND... 7 Λογική πράξη Αντίστροφης διάζευξης Λογική Πύλη NOR... 8 Λογική πράξη Αντίστροφης αποκλειστικής διάζευξης Λογική Πύλη XNOR... 9 Αριθμός εισόδων μιας λογικής πύλης Αριθμός εισόδων μιας λογικής πύλης ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΞΙΩΜΑΤΑ... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ. ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΧΑΡΤΗ KARNAUGH ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ NAND ΚΑΙ NOR ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ. ΜΑΝΔΑΛΩΤΕΣ ΚΑΙ FLIP-FLOPS... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ. ΜΗΧΑΝΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ. ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΕΣ... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ.

4 2. Άλγεβρα Boole Ο μαθηματικός George Boole, ) [1] παρουσίασε το 1847 μια μορφή άλγεβρας με μεταβλητές δύο τιμών (που καλούνται "λογικές μεταβλητές"), π.χ. 0 ή 1. Ουσιαστικά παρουσίασε με τα μαθηματικά της εποχής του την Αριστοτέλεια λογική του είναι ή δεν είναι. Σήμερα η άλγεβρα αυτή ονομάζεται Άλγεβρα Boole, ή δυαδική άλγεβρα, ή διακοπτική άλγεβρα και έχει βρει ευρεία εφαρμογή στην σχεδίαση του λογισμικού και των κυκλωμάτων των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, επειδή είναι ιδανική για χειρισμό λογικών συναρτήσεων και πράξεων στο Δυαδικό Σύστημα. [2] Ο παρακάτω ορισμός της άλγεβρας Boole στηρίζεται σε συγκεκριμένα αξιώματα που παρουσίασε το 1933 ο μαθηματικός Edward Vermilye Huntington, ). 2.1 Αξιώματα του Huntington Αξίωμα Α1: Ισοδυναμία Υπάρχει ένα σύνολο Κ με αντικείμενα ή στοιχεία, που υπακούουν σε μια σχέση ισοδυναμίας, α = β (όπου το σύμβολο = διαβάζεται είναι ίσο με), που ικανοποιεί την αρχή της αντικατάστασης. Αν το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Κ, γράφουμε [α Κ], (όπου το σύμβολο διαβάζεται ανήκει στο). Γράφοντας α = β, εννοούμε ότι το α μπορεί να αντικατασταθεί από το β, σε οποιαδήποτε λογική έκφραση που περιέχει το α, χωρίς να επηρεαστεί η τιμή της έκφρασης αυτής. Ιδιότητες της σχέσης ισοδυναμίας είναι η ανακλαστική ιδιότητα (α = α), η συμμετρική ιδιότητα (α = β <=> β = α), (όπου το σύμβολο <=> διαβάζεται ταυτίζεται με το), και η μεταβατική ιδιότητα (α = β και β = γ => α = γ), (όπου το σύμβολο => διαβάζεται συνεπάγεται). Αξίωμα Α2.1: Πράξη πρόσθεσης Ένας κλειστός νόμος (σύμβολο + διαβάζεται συν), που θα τον λέμε πρόσθεση, ορίζεται έτσι, ώστε αν α Κ και β Κ, τότε (α + β) Κ. Αξίωμα Α2.2: Πράξη πολλαπλασιασμού Ένας κλειστός νόμος (σύμβολο διαβάζεται επί), που θα τον λέμε πολλαπλασιασμό ορίζεται έτσι, ώστε αν α Κ και β Κ, τότε (α β) Κ. Αξίωμα Α3.1: Ουδέτερο στοιχείο πρόσθεσης Υπάρχει μόνο ένα στοιχείο 0 Κ τέτοιο, ώστε (για κάθε α Κ) (α + 0) = α. Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. 1

5 Αξίωμα Α3.2: Ουδέτερο στοιχείο πολλαπλασιασμού Υπάρχει μόνο ένα στοιχείο 1 Κ τέτοιο, ώστε (για κάθε α Κ) (α 1) = α. Το 1 λέγεται ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Αξίωμα Α4.1: Αντιμετάθεση προσθετέων Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική, δηλαδή (α + β) = (β + α). Αξίωμα Α4.2: Αντιμετάθεση παραγόντων Ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικός, δηλαδή (α β) = (β α). Αξίωμα Α5.1: Επιμεριστική πρόσθεση Η πρόσθεση είναι επιμεριστική επί του πολλαπλασιασμού, δηλαδή α + (β γ) = (α + β) (α + γ). Αυτό είναι ένα αξίωμα της άλγεβρας Boole που δεν ισχύει στην άλγεβρα των πραγματικών αριθμών! Αξίωμα Α5.2: Επιμεριστικός πολλαπλασιασμός Ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός επί της πρόσθεσης, δηλαδή α (β + γ) = (α β) + (α γ). (Σημείωση : Όταν δεν υπάρχει περίπτωση παρανόησης, παραλείπουμε την αναγραφή του επί και χρησιμοποιούμε απλή παράθεση των παραγόντων. Για παράδειγμα, η σχέση εδώ μπορεί να γραφτεί έτσι : α (β + γ) = α β + α γ). Αξίωμα Α6: Συμπληρώματα Για κάθε στοιχείο α Κ υπάρχει μόνο ένα στοιχείο α', για το οποίο ισχύει ότι α + α' = 1 (A6.1) και α α' = 0 (A6.2) Αξίωμα Α7: Διακριτά στοιχεία Υπάρχουν τουλάχιστον δυο στοιχεία α και β μέσα στο Κ που δεν είναι ισοδύναμα. Ανάλογα με το πλήθος και το είδος των στοιχείων του Κ, καθορίζεται και μια άλγεβρα. Η απλούστερη άλγεβρα Boole έχει μόνο δυο στοιχεία, δηλαδή το Κ = {0, 1}. Για τα στοιχεία αυτά ισχύουν τα εξής : 1' = 0 και 0' = 1, = 0 και 1 1 = 1, = 1 και 1 0 = 0, = 1 και 0 1 = 0, = 1 και 0 0 = 0 (Α7). 2

6 2.2 Λογικές πράξεις λογικές πύλες Ορίζονται ως βασικές πράξεις της Άλγεβρας Boole οι ΛΟΓΙΚΗ ΑΡΝΗΣΗ (NOT), ΛΟΓΙΚΟ ΣΥΖΕΥΞΗ (KAI - AND),ΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΖΕΥΞΗ (Ή - OR), ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΖΕΥΞΗ (XOR), ΑΡΝΗΣΗ ΣΥΖΕΥΞΗΣ (NAND), ΑΡΝΗΣΗ ΔΙΑΖΕΥΞΗΣ (NOR), ΑΡΝΗΣΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗΣ ΔΙΑΖΕΥΞΗΣ (XNOR). Παρακάτω ακολουθεί μια συνοπτική παρουσίαση τους, όσο αφορά το σύμβολο που χρησιμοποιείται για τη μαθηματική (προτασιακή) αναπαράσταση, το γραφικό τους σύμβολο για τη σχεδίαση κυκλωμάτων και τον πίνακα αληθείας τους Λογική πράξη Άρνησης Λογική Πύλη ΝΟΤ (ΟΧΙ) Η πύλη ΝΟΤ εκτελεί την πράξη της αντιστροφής. Το λογικό της σύμβολο φαίνεται παρακάτω σχήμα. Έχει μόνο μία είσοδο και μία έξοδο (την αντίστροφη λογική τιμή της εισόδου)όπως φαίνεται στην Εικόνα 1. Εικόνα 1 Η λογική πύλη NOT Η αναπαράσταση της αντιστροφής σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α F = F = Α Η λειτουργία της πύλης ΝΟΤ περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα αλήθειας (ως πίνακα αληθείας θεωρούμε τον πίνακα που καταγράφει την έξοδο για οποιοδήποτε συνδυασμό εισόδων). Πίνακας 1 Πίνακας αληθείας της NOT Α F

7 2.2.2 Λογική πράξη Σύζευξης Λογική Πύλη AND (KAI) Η πύλη ΑND εκτελεί την λογική πράξη ΚΑΙ. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 2 Η λογική πύλη AND Η αναπαράσταση της λογικής πράξης ΚΑΙ σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α B Η λειτουργία της πύλης AND περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 2 Πίνακας αληθείας της AND A B F

8 2.2.3 Λογική Πράξη Διάζευξης Λογική Πύλη OR (Ή) Η πύλη OR εκτελεί την λογική πράξη Ή. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 3 Η λογική πύλη OR Η αναπαράσταση της λογικής πράξης Ή σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α + B Η λειτουργία της πύλης OR περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 3 Πίνακας αληθείας της OR A B F

9 2.2.4 Λογική πράξη Αποκλειστικής Διάζευξης Λογική Πύλη XOR Η πύλη XOR εκτελεί την λογική πράξη Αποκλειστικό Ή. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 4 Η λογική πύλη XOR Η αναπαράσταση της λογικής πράξης Αποκλειστικό Ή σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α B Η λειτουργία της πύλης XOR περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 4 Πίνακας αληθείας της XOR A B F

10 2.2.5 Λογική πράξη Άρνησης σύζευξης Λογική Πύλη NAND Η πύλη NΑND εκτελεί την λογική πράξη ΟΧΙ ΚΑΙ. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 5 Η λογική πύλη NAND Η αναπαράσταση της λογικής πράξης OXI ΚΑΙ σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Η λειτουργία της πύλης NAND περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 5 Πίνακας αληθείας της NAND A B F

11 2.2.6 Λογική πράξη Άρνησης διάζευξης Λογική Πύλη NOR Η πύλη OR εκτελεί την λογική πράξη ΟΧΙ Ή. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 6 Η λογική πύλη NOR Η αναπαράσταση της λογικής πράξης Ή σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Η λειτουργία της πύλης NOR περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 6 Πίνακας αληθείας της NOR A B F

12 2.2.7 Λογική πράξη Άρνησης αποκλειστικής διάζευξης Λογική Πύλη XNOR Η πύλη XOR εκτελεί την λογική πράξη Όχι Αποκλειστικό Ή. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 7 Η λογική πύλη XNOR Η αναπαράσταση της λογικής πράξης Όχι Αποκλειστικό Ή σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α B ή F = Η λειτουργία της πύλης XNOR περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 7 Πίνακας αληθείας της XNOR A B F

13 2.2.8 Αριθμός εισόδων μιας λογικής πύλης Όλες οι λογικές πράξεις (εκτός της αντιστροφής) που παρουσιάστηκαν μέχρι τώρα έχουν δύο εισόδους. Η γενική λογική όμως βρίσκει εφαρμογή και στην περίπτωση που απαιτούνται περισσότερες είσοδοι. Η χρησιμοποιούμενη λογική πύλη αντίστοιχα μπορεί να είναι μια πύλη πολλαπλών εισόδων ή ένας συνδυασμός λογικών πυλών με λιγότερες εισόδους. Εναπόκειται επομένως στο σχεδιαστή ενός κυκλώματος να αποφασίσει (με κριτήρια την ταχύτητα, το κόστος και την επιφάνεια ολοκλήρωσης της πύλης πολλαπλών εισόδων) με ποιο τρόπο θα την υλοποιήσει. 2.3 Λογικές Συναρτήσεις Μια λογική έκφραση μπορεί να εμπεριέχει περισσότερες λογικές πράξεις, συνδυασμό αυτών που παρουσιάστηκαν νωρίτερα. Σε αυτή την περίπτωση η συνδυαστική λογική έκφραση αναπαρίσταται από μια σύνθετη λογική συνάρτηση, με μεταβλητές τις εισόδους του κυκλώματος και επεξεργασία αυτών μέσω των απαιτούμενων λογικών πράξεων. Παράδειγμα σύνθετης λογικής συνάρτησης είναι η έκφραση: F = (W + Z) Y, όπου τρεις μεταβλητές (είσοδοι του κυκλώματος) παράγουν ένα αποτέλεσμα F, με την χρήση δύο λογικών πράξεων, της λογικής πράξης διάζευξης ( W OR Z) και στη συνέχεια της λογικής σύζευξης του προηγούμενου αποτελέσματος με το Y. Προκειμένου να υλοποιηθεί μια συνδυαστική λογική, που βασίστηκε στο συνδυασμό λογικών πράξεων, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι απαιτούμενες λογικές πύλες συνδεδεμένες με ηλεκτρικούς αγωγούς (wires). Έτσι προκύπτουν σύνθετες πύλες οι οποίες υλοποιούν την συνδυαστική λογική που επιθυμεί ο σχεδιαστής. Στο παρακάτω παράδειγμα βλέπετε τον συνδυασμό μιας OR πύλης και μιας AND πύλης, προκειμένου να παραχθεί η σύνθετη λογική έκφραση: F = (W + Z) Y. Εικόνα 8 Υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλες 10

14 Θα μελετήσουμε αργότερα την υλοποίηση μιας λογικής έκφρασης με τη χρήση λογικών πυλών, καθώς και τις τεχνικές απλοποίησης που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε προκειμένου να μειωθεί στο ελάχιστο ο αριθμός των χρησιμοποιούμενων λογικών πυλών και υπό συνθήκες η συνολική επιφάνεια ολοκλήρωσης (και κατά συνέπεια το κόστος). Εκτός όμως από τις «γραφικές-οπτικές» τεχνικές που θα παρουσιαστούν αργότερα, μπορεί να επιτευχθεί απλοποίηση στον ίδιο βαθμό,,με τη χρήση θεωρημάτων και αξιωμάτων της Άλγεβρας Boole. Ακολουθεί ένας πίνακας στον οποίο παρατίθενται βασικά θεωρήματα και αξιώματα της άλγεβρας Boole. Πίνακας 8 Θεωρήματα και αξιώματα της Άλγεβρας Boole Ουδέτερο στοιχείο x + 0 = x x 1 = x x + x = 1 x x = 0 x + x = x x x = x x + 1 = 1 x 0 = 0 Διπλή άρνηση ( x ) = x Αντιμεταθετική ιδιότητα x + y = y + x x y = y x Προσεταιριστική ιδιότητα x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y) z Επιμεριστική ιδιότητα x (y + z) = x y + x z x + y z = (x + y) (x + z) De Morgan (x + y) = x y (x y) = x + y Απορρόφηση x + x y = x x (x y) = x Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f(x,y,z)=x + yz + y. Με χρήση του Πίνακα των θεωρημάτων και αξιωμάτων της Άλγεβρας Boole, 8, να απλοποιήσετε την f(x,y,z). Επίλυση Η απλοποίηση της συνάρτησης f(x,y,z)=x+yz +y γίνεται f(x,y,z) = x+yz +y = x+y(z +1) = x+y, δηλαδή τελική μορφή f(x,y,z)= x+y 11

15 2.4 Συναρτήσεις, Κανονικές και Πρότυπες μορφές Μια δυαδική μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται είτε με την κανονική της μορφή (x) είτε με την συμπληρωματική της μορφή (x ). Μπορούμε να αναπαραστήσουμε οποιονδήποτε συνδυασμό τιμών διαφόρων μεταβλητών χρησιμοποιώντας την κανονική ή συμπληρωματική τους μορφή. Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζονται οι ελαχιστόροι (minterms) και οι μεγιστόροι (maxterms) για τρεις δυαδικές μεταβλητές. Για n εισόδους/μεταβλητές υπάρχουν 2 n ελαχιστόροι (και αντίστοιχα μεγιστόροι) Πίνακας 9 Ελαχιστόροι και μεγιστόροι για τρεις δυαδικές μεταβλητές Ελαχιστόροι Μεγιστόροι x y z Όρος Ονομασία Όρος Ονομασία x' y z m 0 x + y + z M x' y z m 1 x + y + z M x' y z m 2 x + y + z M x' y z m 3 x + y + z M x y z m 4 x' + y + z M x y z m 5 x' + y + z M x y z m 6 x' + y + z M x y z m 7 x' + y + z M 7 Όπως μπορεί κάποιος εύκολα να παρατηρήσει κάποιος ο κάθε ελαχιστόρος είναι το συμπλήρωμα του αντίστοιχου μεγιστόρου και αντίστροφα. Αν θέλουμε να αναπαραστήσουμε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας τους ελαχιστόρους, τότε η συνάρτηση λέμε ότι είναι άθροισμα ελαχιστόρων. Αντίστοιχα αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τους μεγιστόρους,, τότε η συνάρτηση είναι γινόμενο μεγιστόρων. Μια πολύ σημαντική ιδιότητα, είναι ότι οποιαδήποτε συνάρτηση F μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ελαχιστόρων ή γινόμενο μεγιστόρων. 12

16 Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση F(x,y,z)=xyz + xy z + xyz + xyz. Να εκφραστεί σε άθροισμα ελαχιστόρων και γινόμενο μεγιστόρων. Το ίδιο να γίνει και με την αντίστροφη συνάρτηση F. Τι παρατηρείτε; Επίλυση Ο πίνακας αληθείας είναι ο κάτωθι: Χ Υ Ζ F Η συνάρτηση F(x,y,z)=xyz + xy z + xyz + xyz γράφεται ισοδύναμα ως : F(x,y,z) = m 3 + m 5 + m 6 + m 7 ή F (x,y,z) = M 3 M 5 M 6 M 7 F (x,y,z) = m 0 + m 1 + m 2 + m 4 ή F(x,y,z) = M 0 M 1 M 2 M 4 Παρατηρούμε ότι με το γινόμενο των αντίστοιχων μεγιστόρων εκφράστηκε η αντίστροφη λογική συνάρτηση, έκφραση ισοδύναμη με το άθροισμα των υπόλοιπων ελαχιστόρων. 13

17 2.4.1 Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Έστω η συνάρτηση f(x,y,z)=x + yz + y. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αληθείας και να απλοποιηθεί η λογική έκφραση χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα και τα αξιώματα της άλγεβρας Boole. Επίλυση Η απλοποίηση της συνάρτησης f(x,y,z)=x+yz +y γίνεται f(x,y,z) = x+yz +y = x+y(z +1) = x+y, δηλαδή τελική μορφή f(x,y,z)= x+y O πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x,y,z)=x+yz +y είναι ο Πίνακας 10 Πίνακας αληθείας Χ Υ Ζ F Παρατηρούμε πως όπως περιμέναμε σε όποιο συνδυασμό εισόδων η μεταβλητή x είτε η μεταβλητή y έχει την τιμή 1, τότε και το αποτέλεσμα της συνάρτησης είναι 1. Σε αντίθετη περίπτωση η τιμή της συνάρτησης f είναι 0. 14

18 Παράδειγμα 2 Έστω η συνάρτηση f(x,y,z)=zy + x(y + z) + zx y. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αληθείας και να απλοποιηθεί η λογική έκφραση χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα και τα αξιώματα της άλγεβρας Boole. Επίλυση Η απλοποίηση της συνάρτησης f(x,y,z)=zy + x(y + z) + zx y γίνεται f(x,y,z)=zy + x(y + z) + zx y = zy + zx y + x(y + z) = zy (1 + x ) + x(y + z) = zy + xy + xz O πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x,y,z)= zy + xy + xz είναι ο Πίνακας 11 Πίνακας αληθείας Χ Υ Ζ F

19 Απλοποίηση με τη χρήση χάρτη Karnaugh Αν και οι συναρτήσεις Boole μπορούν να απλοποιηθούν με αλγεβρικούς τρόπους, όπως παρουσιάστηκε παραπάνω, η δυσκολία όσο αυξάνει ο αριθμός των λογικών μεταβλητών αυξάνει επίσης αλλά εκθετικά. Νέα εργαλεία είναι απαραίτητα τα οποία να είναι εύχρηστα και να οδηγούν εύκολα στην απλοποίηση της όποιας συνάρτησης Boole. Η «μέθοδος του χάρτη» είναι μια απλή μέθοδο που πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Veitch [3] ως επέκταση του διαγράμματος Venn. Η μέθοδος στη συνέχεια τροποποιήθηκε από τον Karnaugh [4], για να προκύψει ο «χάρτης Karnaugh», ο οποίος επιτρέπει την «οπτική απλοποίηση» μιας συνάρτησης Boole. Ο σκοπός απλοποίησης με αυτή τη μέθοδο είναι πρώτα να εντοπίσουμε με οπτική παρατήρηση τους μεγαλύτερους δυνατούς υποκύβους μίας δοθείσας λογικής συνάρτησης f και δεύτερον να σχηματίσουμε την συνάρτηση αθροίζοντας τον ελάχιστο αριθμό (μικρότερο άθροισμα) από υποκύβους. Mια βασική αρχή σχετικά με τη χρήση του πίνακα αυτού είναι ότι σε κάθε χάρτη Karnaugh υπάρχουν τόσα τετραγωνίδια όσοι οι δυνατοί συνδυασμοί τιμών των μεταβλητών. Οι ομάδες των bits επιλέγονται έτσι ώστε να γίνονται οι λιγότερες επικαλύψεις στα «1» της συνάρτησης τα οποία βρίσκονται συμμετρικά ως προς κάποιο επίπεδο συμμετρίας. Υπάρχει και το ενδεχόμενο της αδιάφορης κατάστασης Χ οπού δεν δίνεται η τιμή του bit στον πίνακα Karnaugh αλλά είναι στο χέρι του χρηστή να επιλέξει ο ίδιος τη τιμή που θα δώσει έτσι ώστε να φτάσει τη συνάρτηση στη πιο απλή μορφή της και ταυτόχρονα να καταφέρει αυτό με όσο το δυνατόν λιγότερους συνδυασμούς από «1». Ανάλογα με τον αριθμό των μεταβλητών από τις οποίες εξαρτάται η λογική συνάρτηση που πρέπει να απλοποιηθεί χρησιμοποιώ και τον αντίστοιχο «Χάρτη Karnaugh», όπως φαίνεται παρακάτω. 16

20 Εικόνα 9 Χάρτες Karnaugh για διάφορες συναρτήσεις με διαφορετικό πλήθος μεταβλητών Προσοχή στην αρίθμηση των γραμμών και των στηλών του χάρτη. Οι συνδυασμοί «11» και «10» αλλάζουν θέση μεταξύ τους με αποτέλεσμα να εμφανίζεται πρώτα ο συνδυασμός «11». Αν χρησιμοποιηθούν περισσότερες είσοδοι από δύο (2) τότε θα πρέπει να γίνει η απαρίθμιση κατά κώδικα Gray. Για να γίνει κατανοητή η απλοποίηση με χάρτη Karnaugh δίνονται στη συνέχεια μερικά παραδείγματα Παράδειγμα 1 Έστω η συνάρτηση f(x,y,z)= x yz + xy z + xyz + xyz. Να απλοποιηθεί με «Χάρτη Karnaugh» και να υλοποιηθεί με λογικές πύλες Επίλυση Εξετάζω την συνάρτηση και παρατηρώ ότι εξαρτάται από τρεις μεταβλητές (τις x,y,z). Στη συνέχεια συμπληρώνω τον πίνακα αληθείας όπως προκύπτει εύκολα από τους ελαχιστόρους. Επειδή εμφανίζονται οι ελαχιστόροι x yz, xy z, xyz, xyz, όπως μπορούμε να 17

21 επαληθεύσουμε από τον Πίνακας 9, η συνάρτηση γίνεται αληθής για τους συνδυασμούς 011, 100, 110, 111 (για τα x,y,z) αντίστοιχα. Άρα ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x,y,z)= x yz + xy z + xyz + xyz είναι: Πίνακας 12 Πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x,y,z)= x yz + xy z + xyz + xyz Χ Υ Ζ F Στη συνέχεια δημιουργώ ένα «χάρτη Karnaugh» για τρεις μεταβλητές, όπως παρακάτω και συμπληρώνω στα αντίστοιχα κελιά ελαχιστόρους. x \ yz Το επόμενο βήμα είναι να εντοπίσω τετράπλευρα τα οποία θα περικλείουν μόνο κελιά με «1» ΚΑΙ το πλήθος τους θα είναι δύναμη του 2. Άρα μόνα ορθογώνια τετράπλευρα που περικλείουν 2, 4 ή 8 bits στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Η προσπάθεια είναι να βρω όσο μεγαλύτερα γίνεται (επιτρέπονται οι επικαλύψεις). x \ yz

22 Παρατηρώ πως έχω εντοπίσει δύο περιοχές (μπλε και καφέ) οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη για την επιλογή των «1». Για να βρω τη λογική έκφρασή τους ελέγχω ποια κελιά περικλείουν διαβάζοντας τις «συντεταγμένες τους». Παρατηρώ πως στην «καφέ» περιοχή και οι δύο «1» έχουν κοινό x=1 καθώς και z=0, ενώ το y δεν διατηρεί σταθερή μια τιμή. Άρα η «καφέ» περιοχή μπορεί να γραφτεί ως xz. Παρομοίως η «μπλε» περιοχή μπορεί να γραφτεί ως yz. Άρα η απλοποίηση της συνάρτησης f(x,y,z)= x yz + xy z + xyz + xyz με «Χάρτη Karnaugh» μας δίνει f(x,y,z)= xz + yz. Εικόνα 10 Υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλες 19

23 Παράδειγμα 2 Έστω o ακόλουθος πίνακας αληθείας. Να απλοποιηθεί η συνάρτηση με «Χάρτη Karnaugh» και να υλοποιθεί με λογικές πύλες Πίνακας 13 Πίνακας αληθείας Χ Υ Ζ W F X X X X X Επίλυση Δημιουργώ ένα «χάρτη Karnaugh» για τέσσερεις μεταβλητές και συμπληρώνω στα αντίστοιχα κελιά ελαχιστόρους. 20

24 xy \ zw X 0 01 X X X X 0 0 Το επόμενο βήμα είναι να εντοπίσω τετράπλευρα τα οποία θα περικλείουν μόνο κελιά με «1» ΚΑΙ το πλήθος τους θα είναι δύναμη του 2. Άρα μόνα ορθογώνια τετράπλευρα που περικλείουν 2, 4,8 ή 16 bits στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Η προσπάθεια είναι να βρω όσο μεγαλύτερα γίνεται (επιτρέπονται οι επικαλύψεις). xy \ zw X 0 01 X X X X 0 0 Στόχος είναι να περικλείσω όλα τα «1» και όχι να συμπεριλάβω όλους τους αδιάφορους όρους. Οι αδιάφοροι όροι χρησιμοποιούνται μόνο χάρη της απλοποίησης, και μόνο όσοι απαιτούνται. Από την απλοποίηση προκύπτει πως η συνάρτηση μετατρέπεται στην f(x,y,z,w)=yw + yz ή f(x,y,z,w) = y(z+w) δηλαδή ανεξάρτητη της μεταβλητής x. 21

25 Εικόνα 11 Υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλες 22

26 Υλοποίηση με NAND και NOR Οι λογικές πύλες NAND και NOR χρησιμοποιούνται πολύ συχνά από τους σχεδιαστές ψηφιακών κυκλωμάτων ως κύρια επιλογή, επειδή μπορούν να υλοποιηθούν από πολύ λίγα τρανζίστορ (σε τεχνολογία CMOS από 4 τρανζίστορ). Αυτό έχει σαν συνέπεια, να παρουσιάζουν υψηλή ταχύτητα, μικρή επιφάνεια και χαμηλό κόστος, δηλαδή όλα εκείνα τα χαρακτηριστικά που κάνουν ένα σχεδιασμό ανταγωνιστικό. Ένα άλλο επιπλέον κίνητρο, είναι η διάθεση ολοκληρωμένων TTL, τα οποία περιέχουν 4 NAND ή 4 NOR λογικές πύλες σε ένα package (βλέπε σειρά 74LS -00 για NAND και -01 για NOR) με χαμηλό κόστος. Λόγω αυτή της προτίμησης έχει αναπτυχθεί μια τεχνική σχεδίασης ψηφιακών κυκλωμάτων με μόνο πύλες NAND (ή NOR). Η αρχή της τεχνικής βασίζεται στην εισαγωγή διπλής αντιστροφής ανάμεσα σε δύο πύλες. Ακολουθεί ένα παράδειγμα υλοποίησης μιας συνάρτησης μόνο με τη χρήση πυλών NOR. Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f(x,y,z,w) = y(z+w) η οποία υλοποιήθηκε στην Υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλεςεικόνα 11. Θα μετατραπεί σε υλοποίηση με μόνο NOR λογικές πύλες με τον παρακάτω τρόπο. f(x,y,z,w) = y(z+w) = { [y(z+w)] } = { y + (z+w) } άρα Εικόνα 12 Υλοποίηση της συνάρτησης f της Εικόνας 10 με λογικές πύλες NOR 23

27 ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] George Boole, 1848, "The Calculus of Logic, Cambridge and Dublin Mathematical Journal III: [2] Λήμμα Άλγεβρα_Boole της Βικιπαίδειας, (23/3/2010) [3] E.W. Veitch, A chart method for Simplifying Truth Functions, Proc. of ACM (May 1952), [4] M. Karnaugh, A Map Method for Synthesis of Combinational Logic Circuits, Trans AIEE, Comm. And Electron., 72, Part I (November 1953), [5] Morris M. Mano, Ψηφιακή σχεδίαση, 3 η έκδοση, εκδόσεις Παπασωτηρίου,

28 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

29 Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων διαθέσιμο με άδεια CC-BY διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain διαθέσιμο ως κοινό κτήμα χωρίς σήμανση Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

30 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

31 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 12: Ηλεκτρικός Ισολογισμόςς Πλοίου Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 1: Ο Νόμος του ΟΗΜ και ο Χρωματικός Κώδικας Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...9 ΚΕΦ. 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΚΩΔΙΚΕΣ 1.1 Εισαγωγή...11 1.2 Τα κύρια αριθμητικά Συστήματα...12 1.3 Μετατροπή αριθμών μεταξύ των αριθμητικών συστημάτων...13 1.3.1 Μετατροπή ακέραιων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 6: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να μετατρέψετε τον δεκαδικό 16.25 σε δυαδικό. 2. Να μετατρέψετε τον δεκαδικό 18.75 σε δυαδικό και τον δεκαδικό 268 σε δεκαεξαδικό. 3. Να βρεθεί η βάση εκείνου του αριθμητικού

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 6: Αντιστάθμιση γραμμών μεταφοράς με σύγχρονους αντισταθμιστές Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR

ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ OR, NOR, XOR Σκοπός: Να επαληθευτούν πειραµατικά οι πίνακες αληθείας των λογικών πυλών OR, NOR, XOR. Να δειχτεί ότι η πύλη NOR είναι οικουµενική.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 8: ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Παραχώρηση (Franchising) Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων

Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων Διοίκηση Τουριστικών Μονάδων Ενότητα 4: Ξενοδοχειακή Βιομηχανία. Γιανναράκης Γρηγόρης ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΓΡΕΒΕΝΑ) ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Επιδημιολογία καρκίνου του πνεύμονα Ενότητα 1: Ογκολογία Πνεύμονα Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Επιδημιολογικά στοιχεία καρκίνου του πνεύμονα Ο καρκίνος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 2: Βασικές αρχές λειτουργίας και χρήσης του υπολογιστή Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Μικροοικονομική Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής και χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης

Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης Μάρκετινγκ Επιχειρήσεων Λιανικής Πώλησης Ενότητα 4: Συλλογή Εμπορευμάτων Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική, Χρηματοοικονομική Ενότητα των Επιχειρήσεων, :Εισαγωγή Ενότητα βασικές : έννοιες, Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ-Ανοικτά

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ

Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ Δημιουργία ανοικτών μαθημάτων- ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ- ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ- ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ 2. ΑΔΕΙΕΣ Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ Στόχος αυτού του Κεφαλαίου είναι η γνωριμία με τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις στο εσωτερικό του Υπολογιστή. Όπως ήδη έχει αναφερθεί, η Κεντρική Μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Εκτέλεση πράξεων. Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς. Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 24-5 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (λογικές πράξεις) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης ; Ποιες κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική Χρηματοοικονομική των,δημοσιονομική Επιχειρήσεων, πολιτική, Ενότητα : Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΚΑΙ ΗΠΕΙΡΟΥ- ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 1: Μηχανολογικό Σχέδιο - Εισαγωγή Διάλεξη 1η Παναγής Βοβός Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΧΝΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Εισαγωγή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ. e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1

2. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ. e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 2. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΟΙ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND ΚΑΙ OR Οι βασικές πράξεις της Άλγεβρας Boole είναι οι πράξεις NOT, ANDκαι OR. Στα ψηφιακά

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι

Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι 4 η Θεµατική Ενότητα : Συνδυαστική Λογική Ύλη Λογικού Σχεδιασµού Ι Κεφ 2 Κεφ 3 Κεφ 4 Κεφ 6 Συνδυαστική Λογική 2 Εισαγωγή Λογικά Κυκλώµατα Συνδυαστικά: Οι έξοδοι είναι συνάρτηση των εισόδων Ακολουθιακά:

Διαβάστε περισσότερα

Πολυμεσικές Εφαρμογές

Πολυμεσικές Εφαρμογές Πολυμεσικές Εφαρμογές Ενότητα 7: ΒΙΝΤΕΟ Γεώργιος Στυλιαράς Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Αναλογικό και ψηφιακό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Λειτουργικά

Εισαγωγή στα Λειτουργικά Εισαγωγή στα Λειτουργικά Συστήματα Ενότητα 9: Αρχεία ΙΙ Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 1.1 Τι είναι Πληροφορική;...11 1.1.1 Τι είναι η Πληροφορική;...12 1.1.2 Τι είναι ο Υπολογιστής;...14 1.1.3 Τι είναι το Υλικό και το

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua.gr)

Λογική Σχεδίαση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua.gr) Λογική Σχεδίαση Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών Διδάσκων: Θωμάς Καμαλάκης (thkam@hua.gr) Μέρος Ι Εισαγωγή Ψηφιακά Συστήματα και Ψηφιακοί Υπολογιστές Οι ψηφιακοί υπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

Βρογχοσκόπηση. Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Βρογχοσκόπηση. Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις. Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Βρογχοσκόπηση Ενότητα 3: Διαγνωστικές εξετάσεις Κυριάκος Καρκούλιας, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Βρογχοσκόπηση (καλωσόρισμα) Εύκαμπτο βρογχοσκόπιο Επιθεώρηση βρογχικού δέντρου

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική υπολογιστών

Αρχιτεκτονική υπολογιστών 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αρχιτεκτονική υπολογιστών Ενότητα 12 : Δομή και Λειτουργία της CPU 2/2 Φώτης Βαρζιώτης 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Θετικών Επιστημών

Ιστορία των Θετικών Επιστημών Ιστορία των Θετικών Επιστημών Ενότητα 13: Η Επιστημολογία από το 1800 έως το 1950 Ευθύμιος Ντάλλας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας, Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Σκοποί Ενότητας Η γνώση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ. Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή. Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία

ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ. Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή. Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία ΥΔΡΟΧΗΜΕΙΑ Ενότητα 11: Ιοανταλλαγή Ζαγγανά Ελένη Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Γεωλογία Σκοποί ενότητας Κατανόηση του φαινομένου της ιοντικής ανταλλαγής Περιεχόμενα ενότητας 1) Ρόφηση 2) Απορρόφηση

Διαβάστε περισσότερα

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ 6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΥΟ ΕΙΣΟ ΩΝ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Απλοί ή στοιχειώδης Τ.Δ. Ακέραιος τύπος Πραγματικός τύπος Λογικός τύπος Χαρακτήρας Σύνθετοι Τ.Δ. Αλφαριθμητικός 1. Ακέραιος (integer) Εύρος: -32768 έως 32767 Δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

Πυελική μάζα. Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου

Πυελική μάζα. Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου Πυελική μάζα Ενότητα 3: Πύελος Παθολογία πυέλου Γεώργιος Α. Ανδρουτσόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Ιατρική Σχολή Μαιευτικής - Γυναικολογίας Πανεπιστημίου Πατρών Σκοποί ενότητας Παρουσίαση Πυελικής Μάζας Πρόπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική των επιχειρήσεων

Διοικητική των επιχειρήσεων Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Διοικητική των επιχειρήσεων Ενότητα 13 :Ιστορία της Διοικητικής Σκέψης Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας και Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 12. Γλύπτες του 4 ου αι. π.χ. Σκόπας, Ευφράνωρ,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Υγιεινή. Πρωτεΐνες. Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών

Υγιεινή. Πρωτεΐνες. Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών Υγιεινή Πρωτεΐνες Λεοτσινίδης Μιχάλης Καθηγητής Υγιεινής Ιατρική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών Αποτελούνται από αμινοξέα ενωμένα με πεπτιδικούς δεσμούς. Μέση σύσταση: Ν: 16 % C: 50 % H: 7 % O: 22 % S: 0,5-3%

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΟΜΑΔΑ Α Α1. Για τις ημιτελείς προτάσεις Α1.1 και Α1. να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης

Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Εργαστήριο Ψηφιακής Σχεδίασης 8 Εργαστηριακές Ασκήσεις Χρ. Καβουσιανός Επίκουρος Καθηγητής 2014 Εργαστηριακές Ασκήσεις Ψηφιακής Σχεδίασης 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σύνολα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ορισμός Συνόλου Σύνολο είναι μια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Συστήματα. Σημείωση

Ψηφιακά Συστήματα. Σημείωση Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του υποέργου 2 με τίτλο «Ανάπτυξη έντυπου εκπαιδευτικού υλικού για τα νέα Προγράμματα Σπουδών» της Πράξης «Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο» η οποία έχει ενταχθεί στο Επιχειρησιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Εισαγωγή στη C - Αλγόριθμοι Καθηγήτρια Εφαρμογών: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ. Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση. Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας

ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ. Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση. Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΙΣΤΟΡΙΑ Διάλεξη 1 Βυζαντινή Ιστορία: Ορολογία Περιοδολογήσεις - Iδεολογικοποίηση Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος Τμήμα Φιλολογίας Σκοποί ενότητας Με την εισαγωγική διάλεξη επιδιώκεται η εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Θεωρητική εισαγωγή

7.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 7 ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΑΝ ΑΛΩΤΕΣ FLIP FLOP Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των βασικών ακολουθιακών κυκλωµάτων. Θα µελετηθούν συγκεκριµένα: ο µανδαλωτής (latch)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας και Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9. Ναοί του 4 ου αι. π.χ. στην ηπειρωτική Ελλάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΣΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Θεματική Ενότητα: Πολλαπλές Ερμηνευτικές Προσεγγίσεις Βασίλειος Τσακανίκας Γεώργιος Τσαπακίδης vasilistsakanikas@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός: Δικαιώματα. Πνευματικής Ιδιοκτησίας

Οδηγός: Δικαιώματα. Πνευματικής Ιδιοκτησίας Οδηγός: Δικαιώματα Πίνακας περιεχομένων 1. Εκπαιδευτικό υλικό... Error! Bookmark not defined. Διάκριση εκπαιδευτικού υλικού... Error! Bookmark not defined. Πνευματικής Ιδιοκτησίας Υλικό που έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις ΗΜΥ 2: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 25 Μαρ-5 ΗΜΥ-2: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 25 Κεφάλαιο 4 -i: Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Περίληψη Συναρτήσεις και συναρτησιακές (λειτουργικές)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008 ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Διδάσκοντες: Θ.Ανδρόνικος - Μ.Στεφανιδάκης Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ»

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΕΙΣ ΣΕ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ (ΠΛΣ-5) ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΈΤΟΣ 2007 2008 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.1 Παράσταση ενός φυσικού αριθμού 1 1.2 Δεκαδικό σύστημα 1 1.3 Δυαδικό σύστημα 2 1.4 Οκταδικό σύστηνα 2 1.5 Δεκαεξαδικό σύστημα 2 1.6 Μετατροπές από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος Ενότητα: Σημειώσεις Εργαστηρίου Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. 2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα