МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ

Transcript

1 Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДЫҒЫ ЕҰУ КІТАПХАНАСЫ Зара СЫЗДЫҚОВА Андрей ИБАТОВ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ ОҚУЛЫҚ АСТАНА

2 ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДЫҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ ОҚУЛЫҚ АСТАНА

3 УДК 5(75.8) ББК.3я73 М3 Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің Ғылыми кеңесі ұсынған Пікір жазғандар: Ә.Түнғатаров физика математика ғылымдарының докторы профессор Қ.А.Бекмағанбетов физика математика ғылымдарының кандидаты доцент М3 Сыздықова З. Ибатов А. Математикалық физика теңдеулері: математика техникалық ғылымдар және технологиялар бағытындағы мамандықтарға арналған оқулық \ Астана: Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ 35 б. SBN Оқулықтың негізін доценттер З.Н.Сыздықова мен А.Ибатовтың «Математикалық физика теңдеулері» базалық курсы бойынша механика математика факультеті студенттеріне ұзақ жылдар бойы оқыған дәрістері құрайды. Курста екінші ретті дербес туындылы теңдеулер дербес жағдайда толқындық теңдеу жылуөткізгіштік теңдеуі және Лаплас теңдеуі қамтылған. Сонымен қатар интегралдық теңдеулер мен арнаулы функциялар теорияларының қарапайым мәселелері баяндалған. «Математикалық физика теңдеулері» оқулығы жоғарғы оқу орындарының математика техникалық ғылымдар және технологиялар бағытындағы мамандықтарға арналған. УДК 5(75.8) ББК.3я73 ISBN Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ. Сыздыкова З. Ибатов А.

4 МАЗМҰНЫ АЛҒЫСӨЗ МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ДЕГЕН НЕ? ТАРАУ. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР.. Жай дифференциалдық теңдеу..... Дербес туындылы дифференциалдық теңдеу Лаплас операторы Бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу... 3 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ЕКІНШІ РЕТТІ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ.. Екінші ретті дербес туындылы сызықты дифференциалдық теңдеулердің типін анықтау Екінші ретті жоғарғы ретті туындыларына байланысты сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді канондық түрге келтіру. Сипаттама ұғымы...46 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ШТУРМ ЛИУВИЛЛЬ ЕСЕБІ 3.. Шекаралық есептің қойылуы Штурм Лиувилль есебінің меншікті мәндері мен өзіндік функцияларының негізгі қасиеттері Штурм-Лиувилль есебінің шешімін табу Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ФУРЬЕ ҚАТАРЫ. БЕРІЛГЕН ФУНКЦИЯНЫ ФУРЬЕ ҚАТАРЫНА ЖІКТЕУ 4.. Фурье қатары Штурм Лиувилль есебінің өзіндік функциялары арқылы берілген функцияны Фурье қатарына жіктеу Кейбір қарапайым тұжырымдар Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ЕКІНШІ РЕТТІ ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРІЛЕТІН ЕСЕПТЕР ЖӘНЕ ОЛАРҒА ҚОЙЫЛАТЫН ҚОСЫМША ШАРТТАР 5.. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін негізгі есептер Ішектің тербеліс теңдеуін қорытып шығару Жылуөткізгіштік теңдеуін қорытып шығару Стационар теңдеу... 3

5 5.5. Математикалық физика теңдеулеріне қойылатын қосымша шарттар Шекаралық шарттар... Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ШЕКАРАЛЫҚ ЕСЕПТЕР 6.. Стационар емес теңдеулер үшін шекаралық есептер Стационар теңдеулер үшін шекаралық есептер Дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық есептің корректілі қойылуы. Корректілі емес шекаралық есептерге мысалдар Коши есебі. Коши Ковалевская теоремасы...7 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТИПТІ ТЕҢДЕУЛЕР 7..Толқын теңдеуі R t кеңістігінде берілген толқын теңдеуі үшін Коши есебі Біртекті емес толқын теңдеуі үшін Коши есебі R t кеңістігінде берілген толқын теңдеуі үшін Коши есебі. Пуассон формуласы R кеңістігінде берілген толқын теңдеуі үшін Коши есебі. Д'аламбер t формуласы Тәуелділік облысы әсер ету облысы және анықталу облысы ұғымдары Жартылай шектелген ішек тербелісіне қойылатын бастапқы-шекаралық есептер Ішек тербелісі үшін Гурса және Дарбу есептері Сызықты гиперболалық жалпы теңдеу үшін Коши және Гурса есебі. Біртіндеп жуықтау әдісі Коши және Гурса есептері шешімін құру үшін Риман әдісі...7 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ПАРАБОЛАЛЫҚ ТИПТІ ТЕҢДЕУЛЕР 8.. Жылуөткізгіштік теңдеуі. Фундаменталдық шешім Жылуөткізгіштік теңдеуге қойылатын бастапқы бірінші шекаралық есебі. Максимум белгісі. Шешімнің жалғыздығы және орнықтылығы Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін Коши-Дирихле есебі Жылуөткізгіштік теңдеуінің фундаменталдық шешімінің физикалық мағынасы Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын Коши-Дирихле есебінің шешімін табу Жартылай сан өсінде берілген жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы- бірінші шекаралық есебінің шешімін табу...95 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар

6 9-ТАРАУ. ФУРЬЕ ӘДІСІ 9.. Фурье әдісінің жалпы схемасы Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу Біртекті емес жылу өткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу Шекаралық шарттары біртекті емес болатын біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы-бірінші шекаралық есепті шешу Фурье әдісіне байланысты жалпы ескертулер Толқындық теңдеу үшін қойылатын есептің шешімін табу Ұштары қатты бекітілген еркін емес ішек тербелісіне қойылған бастапқы бірінші шекаралық есепті шешу Ұштары жылжып отыратын еркін ішек тербелісіне қойылатын бастапқы-бірінші шекаралық есепті шешу Декарттық координата жүйесіндегі тік төртбұрышты мембрананың тербеліс теңдеуі үшін Фурьенің айнымалыларға жіктеу әдісі Жазықтықтағы берілген толқындық теңдеу үшін қойылатын бастапқы және шекаралық есептің шешімін табу Дөңгелекте берілген эллиптикалық теңдеу үшін қойылатын бірінші шекаралық есептің шешімін табу Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...4 -ТАРАУ. ИНТЕГРАЛДЫҚ ТҮРЛЕНДІРУЛЕР ӘДІСІ.. Лаплас Фурье және Меллин түрлендірулері Дербес туындылы дифференциалдық теңдеу үшін қойылатын есептерге интегралдық түрлендірулерді қолдану Ішек тербелісіне қойылатын Коши есебінің шешімін Фурье түрлендіруі арқылы құру функциялар үйірткісі (ұйыспасы) Дирактың функциясы...55 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ПОТЕНЦИАЛДАР ТЕОРИЯСЫ.. Кеңістіктегі Лаплас және Пуассон теңдеулері Максимум принципі Гриннің бірінші және екінші формуласы Гриннің негізгі формуласы Қос қабаттық жай қабаттық және көлемдік потенциалдар Гармониялық функцияның негізгі қасиеттері Гармониялық функцияның оқшау ерекше нүктелері Гармониялық функцияның шексіздіктегі тәртібі Кеңістіктегі Пуассон теңдеуі. Ньютон потенциалы Пуассон теңдеуінің шешімін құру Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар

7 - ТАРАУ. ШАР ҮШІН ДИРИХЛЕ ЕСЕБІНІҢ ШЕШІМІ.. Дирихле есебі үшін Грин функциясы Шар үшін сыртқы Дирихле есебінің шешімі... 8 Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ЖАРТЫ КЕҢІСТІК ҮШІН ДИРИХЛЕ ЖӘНЕ НЕЙМАН ЕСЕПТЕРІ 3.. Дирихле және Нейман есептері шешімдерінің жалғыз болуы туралы теорема Дирихле және Нейман есептерінің шешімдерін құру Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. КӨЛЕМДІК ҚОС ЖӘНЕ ЖАЙ ҚАБАТТЫҚ ПОТЕНЦИАЛДАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ 4.. Көлемдік потенциал Ляпунов беті Қос қабаттық потенциал Жай қабаттық потенциал Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар ТАРАУ. ДИРИХЛЕ ЖӘНЕ НЕЙМАН ЕСЕПТЕРІН ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРГЕ КЕЛТІРУ 5.. Есептердің қойылымы және олардың шешімдерінің жалғыздығы Шектік есептер үшін интегралдық теңдеулер Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар...37 ӘДЕБИЕТ ТҮСІНДІРМЕ СӨЗДІК

8 АЛҒЫСӨЗ Оқулық жоғары білім берудің мемлекеттік стандартына және оқытудың кредиттік технологиялар жүйесіне бойынша құрылған типтік бағдарламаға сай жазылған. Математикалық физиканың қарастыратын мәселелері әртүрлі физикалық үрдістермен тығыз байланысты. Гидродинамикада серпімділік теориясында электродинамикада және т.б. салаларда зерттелетін құбылыстарды талдауға құрылған математикалық есептердің жиі кездесетін ортақ элементтері математикалық физика пәнінің мағынасын айқындайды. Ғылымның осы саласында қолданылатын әдістер шын мәнінде математикалық зерттеу болып табылады. Алайда физикалық мәселелермен тікелей байланысты болғандықтан математикалық физика есептерінің өзіндік ерекше белгілері бар екенін атап өту қажет. Ұсынылып отырған оқулықта математикалық физиканың дербес туындылы теңдеулерге келтіретін есептері қарастырылған. Теңдеудің әр типін зерттеу оған қатысты қарапайым физикалық есептерді талдаудан басталады. Есептің математикалық қисынды қойылуына қарапайым есеп шешімдерінің нақты қатаң тілде мазмұндалуына және алынған нәтижелердің физикалық мағыналауына ерекше назар аударылған. Материалды таңдау мен баяндауды қалыпты физикалық үрдістердің сипаттамасына жақындату үшін материалдардың орналасу реті теңдеулердің негізгі типтеріне сәйкес келтірілген. Әр тарауда техникалық дағдыларды дамытуға қалыптастыруға бағытталған есептер бар. Әр тараудың соңында негізгі мәтінде талданған әдістерді әртүрлі физикалық және техникалық есептерге қолдану мысалдары келтірілген сонымен қатар негізгі сұрақтар аясынан тыс есептер де қамтылған. Сөз жоқ қажетті жағдайда ондай нұсқаларды күрделігіне қарай молынша таңдауға болады. Оқулыққа математикалық физика әдістері курсы бойынша материалдың тек санаулы бөлігі ғана кірді. Кітапта интегралдық теңдеулер мен вариациялық әдістер қамтылмаған. Оқулықта қазіргі заманғы математикалық физика зерттеулеріне шолу жасаған Ресей ғалымы В.С. Владимировтың «Математикалық физика деген не?» атты мақаласының [5] аудармасы берілген. Оқулық негізін авторлардың Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің механика және математика факультетінде ұзақ жылдар бойы оқыған дәрістерінің толықтырылып қайта өңделген нұсқасы құрайды. 7

9 Математикалық физика деген не? Математикалық физика физикалық құбылыстардың математикалық модельдерінің теориясы. Ол математикалық ғылымдарға жатады. Оғанақиқаттың критерийін математикалық дәлелдеу тән. Алайда таза математикалық ғылымдардан айырмашылығы математикалық физикада физикалық есептер математикалық деңгейде зерттеледі. Нәтижелері теоремалар графиктер кестелер т.б. түрінде көрсетіліп физикалық интерпретацияланады. Математикалық физиканың осындай кең түсінігінде оған механиканың бөлімдері гидродинамика серпімділік теориясын жатқызуға болады. Бастапқыда математикалық физика дифференциалдық теңдеулердің шектік есептері үшін келтірілетін. Бұл бағыт классикалық математикалық физика пәнін құрайды қазіргі кезде де маңызды мәнін сақтаған. Классикалық математикалық физика Ньютон заманынан бері физика мен математиканың дамуымен қатар дамыған. XVII ғасырдың аяғында дифференциалдық және интегралдық есептеулер (И.Ньютон Г.Лейбниц) және классикалық механиканың негізгі заңы мен дүниежүзілік тартылыс заңы (И.Ньютон) тұжырымдалды. XVIIІ ғасырда ішектің стерженьнің маятниктердің тербелістерін сонымен қатар акустика мен гидродинамикаға байланысты есептерді шығару барысында математикалық физиканың тәсілдері қалыптаса бастады және аналитикалық механиканың негіздері қаланды (Ж.Д'аламбер Л.Эйлер Д.Бернулли Ж.Лагранж П.Лаплас). XIХ ғасырда жылуөткізгіштік диффузия серпімділік теориясы оптика электродинамика сызықты емес толқын құбылыстары және т.б. есептеріне байланысты математикалық физика тәсілдері жаңа бағытта дамыды; потенциалдар теориясы мен қозғалыс орнықтылығы теориясы қалыптасты (Ж.Фурье С.Пуассон П.Дирихле Л.Больцман О.Коши М.В.Остроградский Б.Риман С.В.Ковалевская Д.Стокс Дж.К.Максвелл Г.Р.Кирхгоф А.Пуанкаре А.М.Ляпунов В.А.Стеклов Ж.Адамар). ХХ ғасырда газдың динамикасы бөлшектердің орын ауыстыру теориясы және плазма физикасында жаңа есептер туындады. Классикалық математикалық физиканың көптеген есептерінің арасында төмендегі қарапайым математикалық физика теңдеулерінің үш типі: Пуассон теңдеуі ( f болғанда Лаплас теңдеуі) мұндағы -Лаплас операторы u f u u( ) (... ) G R ().... 8

10 жылуөткізгіштік теңдеуі u t u f u u( t) G R t () толқын теңдеуі u t u f u u( t) G R t (3) қарастырылады. () (3) теңдеулерінде t уақытты білдіреді. t уақытқа тәуелді емес () (3) теңдеулері стационарлы деп аталады. Стационарлы () (3) теңдеулері Пуассон () теңдеуіне келтіріледі. Дифференциалдық теңдеулер сәйкесінше шектік шарттар арқылы толықтырылады. Мысалы () теңдеу u ( ) u немесе ( ) S S (4) шекаралық шарттары арқылы толықтырылса онда ()-(4) сәйкесінше Дирихле немесе Нейман есебін анықтайды (-сурет). Егер () теңдеу -сурет u ( ) u ( ) R (5) бастапқы шарты ал (3) теңдеу u u ( ) u ( ) u( ) R (6) t t бастапқы шарты арқылы толықтырылса онда ()(5) және (3)(6) Коши есебін анықтайды. () мен (5) теңдеулері үшін аралас есептер қоюға болады. Аралас есептер (4) шекаралық шарттар мен (5) бастапқы немесе (6) бастапқы шартты қамтиды (-сурет). 9

11 -сурет Дирихле мен Нейманның шекаралық есептерін зерттеген кезде мына теңсіздікті: егер G облысы шектелген оның шекарасы S кесек тегіс жазықтық ал f функциясы G тұйық облысында бір рет үзіліссіз дифференциалданатын және мына ) f d немесе b) f шарттардың біреуін қанағаттандыратын болса онда G f f f f d C G d G G ( )... болатынын ескерген жөн. Бұл теңсіздік К.Фридрихстың атымен аталады дегенмен де а) жағдайын А.Пуанкаре дәлелдеген (894 ж.) ал b) жағдайын В.А.Стеклов дәлелдеген (896 ж.). Олар C( G) тұрақтыларының дәл мәндерін көрсетті мұндағы а) жағдайында Нейман есебінің ең кіші өзіндік мәні б) жағдайында Дирихле есебінің ең кіші өзіндік мәні. Сондықтан бұл теңсіздікті Пуанкаре-Стеклов теңсіздігі деп атаған жөн болар еді. болған кезде бұл теңсіздік мына түрге келеді: S l f l l ' ( ) d f ( ) d. Кванттық механика мен ядролық электрониканың дамуына байланысты теңдеулердің жаңа түрлері және математикалық физиканың жаңа шектік есептері пайда болды. ( t) толқындық функциясы үшін Шредингер теңдеуі h ih V t m (7)

12 (... ) мұндағы h -Планк тұрақтысы. Шредингер теңдеуі үшін Коши есебі қойылады. Шредингердің стационар теңдеуі h V ( ) m (8) 3 үшін шекаралық шарт L ( R ) шексіздіктегі шешімді сипаттайтын түрде болуы мүмкін. Гельмгольц теңдеуі k f ( ) (9) сәйкес шексіздіктегі шекаралық шарт келесі түрде беріледі ik( ) ( ) e ( ) мұндағы () функциясы Зоммерфельд шағылуы шартты ( ) ( ) O( ) ik( ) o( ) () қанағаттандырады. Мұндағы ) 33 ( 3). 3 вектордың Евклид ұзындығы ( және векторлардың скаляр көбейтіндісі Изотропты шашырау үшін бөлшектің орын ауыстыруының біржылдамдықты теңдеуі ( ) ( gd ) t 4 ' ' ( t) d ' F () мұндағы ( t) ) нүктесіндегі t мезетінде бағытында ( 3 жылдамдықпен қозғалатын бөлшектің тығыздығы. Коши есебі қойылады. Бөлшектің орын ауыстыруының стационар теңдеуі ( ) ' ' gd ( ) ( t) d F( ) () 4 ' үшін шекаралық шарт дөңес облыс ( сурет) үшін

13 егер ( ) (3) S түрде болуы мүмкін (3) бөлшектің құлайтын ағынының жоқтығын сипаттайды. Айтып кетейік ()-(3) шекаралық есеп Пайерлстың интегралдық теңдеуі ep ) 4 ( G t ( t) пара-пар ал орташа тығыздығы үшін ( ) d 4 dt ( ) ( ) F( d Классикалық математикалық физика есептерін зерттеудегі негізгі математикалық құралдар дифференциалдық және интегралдық теңдеулер теориясы функционалдық анализ функциялар теориясы вариациялық есептеулер ықтималдықтар теориясы есептеу математикасы және жуықтау әдістері. Математикалық физика теңдеулеріне қойылатын есептердің ішінде шешімі бар ол жалғыз және шешім есептің берілгендеріне байланысты үзіліссіз тәуелді болатын яғни Адамар бойынша қисынды қойылған есептердің маңызы өте зор. Бір қарағанда бұл талаптардың орындалуы айқын сияқты болғанмен оларды қабылданған математикалық модельге сәйкес дәлелдеу қажет. Қисындылықты дәлелдеу математикалық модельдің бірінші апробациясы: модель қайшылықсыз (шешім бар болуы) модель физикалық құбылысты бірмәнді суреттейді (шешім жалғыздығы) модель физикалық өлшемдердің есептеу қателіктеріне байланысты аз сезінеді (шешімнің орнықтылығы). Мысалы жоғарыда келтірілген шектік есептер қисынды қойылған. ХХ ғасырда физиканың жаңа салалары пайда болады: кванттық механика кванттық өріс теориясы кванттық статистикалық физика салыстырмалы теориясы гравитация (А.Пуанкаре Д.Гильберт П.Дирак А.Энштейн Н.Н.Боголюбов В.А.Фок Э.Шрёдингер Г.Вейль Р.Фейнман Дж.Фон Нейман В.Гейзенберг). Бұл құбылыстарды зерттеу барысында қолданылатын математикалық әдістемелердің көбі едәуір кеңейтілді: дәстүрлі математикалық бағыттармен қатар операторлар теориясы жалпылама функциялар теориясы комплекс айнымалы функциялар теориясы топология және алгебралық әдістер сандар теориясы асимтотикалық және есептеу әдістер кең қолданыла бастады. ЭЕМ-нің пайда болуымен бөлшектік анализ жасалатын математикалық модельдердің класы кеңейді; нақты есептеу тәжірибесін жүргізуге мүмкіндік туды мысалы атом бомбасының жарылуын немесе атом реакторының

14 жұмысын уақыттың шыңайы көлемінде модельдеу. Қазіргі заманғы теориялық физика мен қазіргі заманғы математиканың интенсивті әсерлесуі жаңа облысты қазіргі заманғы математикалық физиканы тудырды. Оның модельдері әр уақытта дифференциалдық теңдеулерге қойылатын шектік есептерге келтіріле бермейді олар көбіне аксиомалар жүйесі түрінде беріледі. ХХ ғасырдағы теориялық физиканың даму тенденциясын П.Дирак жақсы түсінген. 93ж. ол өзінің позитронның бар болуы жайлы атақты мақаласында: «Бұл үзіліссіз абстракциялау процесі жалғаса береді және алдағы уақытта физиканың жетістіктері үлкен дәрежеде математикалық негізде аксиомаларды жалпылау мен модификациялауға сүйенетіндігінің ықтималдығы» деп жазған. Теориялық физиканың кейінгі дамуы Дирактың бұл тұжырымын растады. 5-ші жылдары теориялық физикада бірінші болып Н.Н.Боголюбов ұсынған кванттық өріс теориясын аксиоматизациялау аксиоматизация әдісінің жасалуы мен қолданылуына бірден-бір мысал болады. Сол кездері гамильтондық формалдауды қолданған кезінде ультракүлгіндік ажырау маңызды мәселе болды. Боголюбов бұл мәселені шешудің жаңа әдісін ұсынды. Ең алдымен ол гамильтондық формалдаудан бас тартып Гейзенберг енгізген шашырау матрицасын теория негізінде алды. Ол шашырау матрицасының элементтері ретінде оператор мәнді жалпыланған функциялар болсын деп ұйғарып мүмкін болатын математикалық обьектілер жиынын едәуір кеңейтті. Бұл жағдайда шашырау матрицасы физиканың негізгі постулаттарын (аксиомаларын): релятивті ковариантты унитарлы себептілікті спектрлікті қанағаттандыру керек деген талап қойылды. Н.Н.Боголюбов математиканы тек есептеуге арналған құрал ғана емес сонымен қатар математика көмегімен бірнеше айқын аксиомалардан жаңа білімді алу құралы ретінде қарастырған (Адамс пен Леверьенің Нептун планетасының орбитасын есептеуін топтар теориясының көмегімен жаңа бөлшек ашқаны тәжірибелік жолмен тексеруге болатын кванттық өріс теориясындағы дисперсиондық қатынасты алуын еске түсірейік). Н.Н. Боголюбов ұсынған кванттық өрістер теориясын аксиоматизациялау жүйесі Д.Гильберттің VI проблемасын («Математиканың ролі өте маңызды физикалық ғылымдарды дамыту») шешуге бірінші нақты қадам болып табылды. Н.Н.Боголюбовтың шығармашылығындағы математика мен физиканың әдемі үлесуі оған қазіргі математикалық физиканың негізін қалауға мүмкіндік берді. 963 жылда-ақ оның «Кванттық өріс теориясының негізгі түсініктері мен әдістері күннен күнге математикалық болып келе жатыр» деген тұжырымды айтуға толық негізі болған. Одан да айқынырақ ол қазіргі замандық теориялық және математикалық физикадағы тенденцияларды кванттық өріс теориясының проблемаларына арналған Халықаралық жиналысының ашылуында (Алушта 98ж.) былай бағалады: «Соңғы жылдарда біздің көз алдымызда ғылымның мүлде басқаша аймағы пайда болды оны ең дұрысы қазіргі замандық математикалық физика деп атаған жөн. Оның классикалық математикалық физикамен генетикалық шығу тамыры бір.... Физиктер өздерінің сұрақтарына дұрыс жауаптарды алу үшін зерттеу обьектілерінің математикалық табиғатын 3

15 мысалы жалпыланған функциялар шектелмеген операторлар сияқты ұғымдарды тереңірек түсіну аргументацияның дәлелдеу күшінің қабылданған стандартын көтеру қажеттілігіне көз жеткізді. Олар артық және қажетілігі жоқ детальдаудан арылу үшін теорияны құруда аксиоматикалық жолдарды іздеді. Сонда қазіргі замандағы математикалық әдістер өте күшті нәтижелер алуға мүмкіндік береді. Физиктердің қазіргі замандағы математикалық әдістерге жүгінуі ал математиктердің кванттық физика есептеріне қызығушылығы екі жаққа да пайдалы». Біз көріп тұрғандай қазіргі замандық математикалық физика терминін 98 жылы ақ Н.Н.Боголюбов енгізді. Енді «Теориялық физика үлкен дәрежеде математикалық физика болып жатыр» деп айтуға болады. Математикалық физиканың есептерін зерттеуде жалпыланған функциялар мен олармен тығыз байланысқан жалпылама шешім концепциясы үлкен роль атқарады. ХІХ ғасырда жалпылама шешімдер мен функциялар белгілі бір дәрежеде Г.Р.Кирхгоф Дж.Максвелл және О.Хевисайдтың жұмыстарында қарастырылған. ХХ ғ.-дың -3 жылдарында жалпыланған туынды (функция тәріздес) және жалпылама шешім түсінігі белгілі бір дәрежеде Д.Эванс Л.Тонелли Ч.Морри К.О.Фридрихс Ж.Лере сияқты математиктердің жұмыстарында кездеседі. Алайда оданда бұрын Л.Эйлер өзінің фундаменталдық «Iteglechug» жұмысында (83ж.) жалпылама шешім туралы айқын айтқан. Біртекті ішектің кішкене көлденең тербелістері үшін u t u (4) толқын теңдеуінің жалпы шешімін келесі u( t) f ( t) g( t) (5) түрде алып ол: «Осы жолмен бұл көреген ғалым Д'аламбер толық интегралды алды бірақ енгізілген үзіліссіз f g функцияларының орнына үзіліссіз қасиетке ие болмайтын да функцияларды алуға болатындығын көрмей қалды»-деп жазған. Атап айтқанда Эйлер уақытында үзіліссіз функция деп аналитикалық функцияны айтқан. Сонымен біз Эйлер бойынша (4) теңдеудің үзіліс функциясы ретінде үзілудің ыдырауын сипаттайтын (34 суреттер): u( t) H( ) u t t R (6) бастапқы шартты қанағаттандыратын Коши есебінің жалпылама шешімі (34- суреттер) 4

16 u( t) [ H( t) H( t)] (7) үзілісті функциясын түсінеміз. Мұндағы åãåð áîëñà H( ) åãåð áîëñà - Хевисайд функциясы. 3-сурет 4-сурет -шы жылдардың соңында өзінің кванттық механикалық зерттеулерінде Дирак -функцияның (қазіргі аты Дирак) математикалық қисынды анықтамасын () үздіксіз функциясына оның нөлдегі () мәнін сәйкестендіретін сызықтық функционал ретінде кіргізді. Оны символикалық түрде былай жазамыз: ( ) ; ( ) ( ) d () ( ) (8) 5- суретте «формальдық» -функциясы ал 6- суретте () -«жуықталған» функциясы ( ) d көрсетілген. 5 сурет 6 сурет Сонымен (8) теңдеуге сәйкес мына қатынас орындалады: 5

17 ( ) ( ) d () ( ) Бұл қатынастың мағынасы «жуықталған» функцияларының () тізбегі -функциясына әлсіз жинақталады дегенді білдіреді ал екінші жағынан ол нүктелік жинақтылық мағынасында «формальдық» - функциясына жинақталады яғни нөлдік функцияға (5- сурет). Жалпыланған функция мен оның туындыларының дұрыс анықтамасын беру үшін көптеген жылдар мен көптеген математиктердің (Ж.Адамар С.Бохнер М.Рисс С.Л.Соболев Л.Шварц) еңбектері қажет болды. Жалпыланған функциялардың математикалық теориясының негізін қалаған және оны гиперболалық теңдеулер үшін жалпыланған Коши есебін шешу үшін сәтті қолданған С.Л.Соболев (936ж.). Векторлық локалдық дөңес топологиялық кеңістіктер теориясына сүйеніп соғыстан кейінгі жылдарда Л.Шварц жалпыланған функциялардың жүйелі теориясын құрастырып және олардың бірқатар маңызды қолданылуларын өзінің атақты «Theoie des distibutios» монографиясында келтірген. (95-95жж.). Кейіннен жалпыланған функциялар теориясы математикалық физикада кеңінен қолданылып ары қарай дамыды. Қазіргі заманда бұл теория математикада физика мен техника салаларында кеңінен қолданылады. Жалпыланған функциялардың классикалық математикалық талдаудың мүмкіндіктерін кеңейтетін бірқатар ерекше қасиеттері бар мысалы: кез-келген жалпыланған функция шексіз дифференциалданады (жалпыланған мағынада) жалпыланған функциялардың жинақталатын қатарларын мүшелеп шексіз рет дифференциалдауға болады жалпыланған функцияның Фурье түрлендіруі әрқашан бар. Сондықтан жалпыланған функциялардың техникасы қарастырылатын есептердің қатарын кеңейтті және элементар операцияларды автоматтандырып едәуір жеңілдіктерге әкелді. Күрделі стационарлы емес (динамикалық) есептерді талдау кезінде сақталу заңдары үлкен роль атқарады. Белгісіз u ( t) функцияға (векторға матрицаға) қатысты динамикалық жүйенің сақталу заңы деп t уақыты бойынша ' жүйенің u шешімін де сақталатын кез келген J( t) J( u u...; t) операторды айтамыз. Мысалы u ( ) u( l t) нөлдік шекаралық шарттарды қанағаттандыратын (4)-ші теңдеу үшін сақталу заңдарының бірі энергияның сақталу заңы (кинетикалық пен потенциалдық энергиялардың қосындысы): Тағы бір мысал: u u J ( t) d cost t. (9) t g ( t) si ( t) () R 6

18 маятниктің тербеліс теңдеуі үшін сақталу заңы J( t) g cos Cost R () 7 сурет теңдеуі түрінде берілді. Бұл төңіректік сақталу заңы. Төңіректік емес сақталу заңы J( t) cost () теңдігі түрінде берілетін заңдардың ішінде қамтылған. Мұндағы g si (3) R сызықты теңдеудің ()-шы теңдеуге сәйкес келетін шешімі. Егер ()-ге (3) теңдеудің төңіректі емес шешімін апарып қойсақ онда ()-шы теңдеу үшін t ( t) C( t) d (4) ( ) төңіректі емес сақталу заңын аламыз. Мұндағы C -тұрақты (7-сурет). -адикалық математикалық физика. Соңғы 5- жылда қазіргі замандық математикалық физиканың жаңа тармағы -адикалық математикалық физика пайда болып тез қарқынмен дамып жатыр. Бұл альтернатив математикалық физика ондағы ( t) кеңістік уақыт координаттары -адикалық сандармен алмастырылған. Бұл ненің әсерінен болды? 3 Соңғы уақытқа дейін R евклидтік кеңістік реалды физикалық кеңістік үшін дұрыс математикалық модель болып саналған. Бірақ гравитацияны 7

19 елегендегі кванттық теорияда (М.А.Марков және т.б.) ұзындығын өлшеудегі қателіктер үшін теңсіздігі орындалатындығын көрсетті. Мұндағы hg l pl 33 cm (5) 3 c l pl Планк ұзындығы G - гравитициалық тұрақты c -жарық жылдамдығы. (5)-ші теңсіздіктен Планк ұзындығынан кіші ұзындықтарды өлшеу мүмкін еместігі шығады. Бұдан планктік арақашықтықтарда кеңістіктің (уақыттың) құрылымы архимедтік емес болып табылады (Архимед аксиомасы орындалмайды). Сонымен мұндай арақашықтықтарда кеңістік пен уақыт архимедтік құрылымы бар нақты сандар өрісімен емес басқа жаңа архимедтік емес өріспен сипатталуы тиіс. Бұл жаңа өріс өзінде Q рационал сандар өрісі - физикалық бақыланатын сандарды қамтуы қажет. Сондықтан жаңа өрісті құру үшін Q - өрісінде жаңа архимедтік емес норманы табу керек және өрісті осы норма арқылы тұйықтау керек. Математика бұл сұраққа жауап береді. Жәй p сандармен нөмірленетін эквивалентті емес (тривиалдық емес) осындай нормалардың шексіз көбін ХІХ-ғасырда К.Гензель ашқан. Q өрісінде нормасын келесі түрде былай енгізеді: Q жиынында жатқан кез келген х элементі p b түрінде бірмәнді жазылады. Мұндағы b -бүтін сандар сонымен қатар және b сандары p -ға бөлінбейді. Анықтама бойынша p p p. (6) Q өрісінің нормасы бойынша тұйықталуы Q p p р-адикалық сандар өрісін құрайды. нормасы қарапайым қасиеттерге ие: Q p p өрісінде жатқан кез келген және элементтері үшін. p. p p p p 3. m( ) p p p p p. 3) үшбұрыш теңсіздігі p 3'. R классикалық теңсіздікке қарағанда күштірек ол еместігін көрсетеді. Сонымен ультраметрлік кеңістік Q p өрісінің архимедтік нормасы архимедтік емес ал p p Q 8

20 Рационал сандар үшін евклидтік норма және p 3... норма мынадай p p адикалық Q (7) p p адельдік формуласынмен байланысты. Бұл формула евклидтік кеңістіктегі ұштары х және рационал (физикалық бақыланатын) болатын кесіндісінің ұзындығын өлшеу оның ұзындығын барлық p -адикалық кеңістіктердегі өлшеуге эквивалентті емес екенін білдіреді. Бұл Островскийдің ``мүмкін болатын эквивалентті нормалармен рационалдық сандар өрісін толтыра отырып тек евклидтік және p -адикалық өрістерді құруға болады`` деген атақты теоремасымен сәйкес келеді. Мысалдар.. p p... қатары Qp -да жинақталады және оның қосындысы ( p) тең.!!... қатары барлық Q p да жинақталады. B () [ Q арқылы сәйкесінше радиусы p : p p ] S p центрі () [ Q Qp p : p p нүктесіндегі p адикалық диск пен p адикалық шеңберді бейнелейік. Q p кеңістігінің геометриясы өте ерекше: ондағы барлық үшбұрыштар теңқабырғалы; дискінің әр нүктесі оның центрі болып табылады. Шекарасы жоқ диск радиусы кішірек қиылыспайтын дискілердің ақырлы санының жиыны; егер екі диск қиылысса онда олардың біреуі екіншісінде жатады; диск пен шеңбер ашық компактілер. Qp өрісі иерархиялық құрылымы бар төңіректік компактілік байланыссыз векторлық кеңістік. p 3 болғанда бұл жағдай ерекше граф-ағаш түрінде бейнелеген. Бұл графтың шекарасы Q 3 өрісі болып табылады (8-сурет). ] 8 - сурет Қазір p адикалық аргументі комплекстік (нақты)-мәнді функциялардың p адикалық талдауы: интегралдау Фурье түрлендіруі 9

21 псевдодифференциалдық операторлар жалпыланған функциялар спектралдық теория және т.б. негіздері қалыптасуда. p адикалық талдау негізінде p адикалық математикалық физиканың келесі бағыттары дамып келе жатыр: - p -адикалық кванттық механика және кванттық өріс теориясы; - p -адикалық кернеу мен суперкернеу; - спиндық әйнектер биологиялық және басқада иерархиялық құрылымдар; - p -адикалық ықтималдық теориясы; - динамикалық p адикалық жүйелер; - бейнені анықтау; - тахиондық кернеулер мен өрістер динамикасы; - сана мен эмоциялардың модельдері.

22 ТАРАУ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР Дифференциалдық теңдеулер ізделініп отырған функция қамтитын тәуелсіз айнымалылардың санына байланысты жай және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер болып екі класқа бөлінеді... Жай дифференциалдық теңдеулер. Жай дифференциалдық теңдеулер теориясы төменгі курста қарастырылғандықтан бұл пунктте ілгеріде керек болатын негізгі ұғымдар мен теоремаларды қарастырамыз...-анықтама. х -тәуелсіз айнымалысын оған байланысты анықталатын ' " ізделінді функциясын және оның... туындыларын байланыстыратын теңдеуді жай дифференциалдық теңдеу деп атайды. Қысқаша жай дифференциалдық теңдеуді F '... (..) теңдігі түрінде жазады. Егер (..) теңдеуі ізделінді функциясының жоғарғы ретті туындысына байланысты шешілетін болса онда оны ' f... (..) теңдігі түрінде жазуға болады. Жай дифференциалдық теңдеу (..) түрінде берілсе оны айқындалмаған ал (..) түрінде берілсе айқындалған түрде берілген теңдеу деп атайды. (..) - теңдеуіне қатысатын ізделінді функциясының туындыларының ең жоғарғы реті жай дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады... - анықтама. ) C b ' ) F... b интервалында анықталған жоғарыда көрсетілген )- ) шарттарды қанағаттандыратын функциясын жай дифференциалдық теңдеудің классикалық шешімі деп атайды. ' (..) теңдеуінің... қосымша шарттарды қанағаттандыратын шешімін іздестіруді Коши есебі деп атайды. Мұндағы b... - берілген белгілі сандар. Жеке жағдайда бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеуге қойылатын Коши есебі

23 ' f (..3) Ал екінші ретті жай дифференциалдық теңдеуге қойылатын Коши есебі " ' f ' (..4) жүйелері арқылы анықталады. Коши есебінің қай уақытта шешімі бар және жалғыз болатындығы туралы сұраққа Пикар теоремасының тұжырымы жауап береді. Екі дербес жағдай үшін осы теореманың тұжырымын келтірейік. жағдай. нүктесін қамтитын D R облысында f функциясы анықталған үзіліссіз және осы облыста аргументі бойынша үзіліссіз дербес туындысы f бар болсын. Онда бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеуге қойылатын Коши есебінің маңайында жалғыз шешімі бар болады. 3 жағдай. нүктесін қамтитын R функциясы анықталған үзіліссіз және оның осы облыста бойынша үзіліссіз f f нүктесінің D облысында f ' ' аргументтері дербес туындылары бар болсын. Онда екінші ретті жай дифференциалдық теңдеуге қойылатын Коши есебінің нүктесінің маңайында жалғыз шешімі бар болады. Сызықты теңдеу жай дифференциалдық теңдеулердің ішіндегі ең қарапайым жақсы зерттелген теңдеу. Ізделінді функция мен оның туындыларының тек бірінші дәрежесі қатысатын және теңдеудің коэффициенттері тек тәуелсіз айнымалыға байланысты анықталатын теңдеуді сызықты жай дифференциалдық теңдеу деп атайды. Сызықты жай дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі... f (..4) теңдігі түрінде анықталады. Мұндағы... - теңдеудің коэффициенттері ал f - бос мүшесі деп аталады. Бұлар белгілі функциялар. Егер f болса онда мұндай теңдеу біртекті ал f болса онда біртекті емес сызықты жай дифференциалдық теңдеу деп аталады... - теорема. ( -ші ретті біртекті сызықты жай дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы). Егер

24 ... теңдеудің коэффициенттері b интервалында үзіліссіз болса онда оның жалпы шешімі c c... c теңдігі түрінде анықталады. Мұндағы... тәуелсіз дербес шешімдерінің жүйесі ал - теңдеудің сызықты с i i - кез-келген тұрақтылар... - ескерту функциялар жүйесі b интервалында сызықты тәуелсіз жүйе деп аталады егерде... функцияларынан құралған с сызықтық комбинация b с... с интервалында барлық с i i... болғанда ғана нөлге тепе тең болатын болса... - теорема. ( -ші ретті біртекті емес сызықты жай дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы). Егер (..4) теңдеудің коэффициенттері мен онда оның жалпы шешімі f бос мүшесі b * Y интервалында үзіліссіз болса теңдігімен анықталады. Мұндағы Y - біртекті сызықты теңдеудің жалпы шешімі ал * - біртекті емес сызықты теңдеудің қандай да бір дербес шешімі... Дербес туындылы дифференциалдық теңдеу. Мұнда және ілгеріде көп айнымалы... функциясын қарастырамыз. Мұнда. Егер болса онда тәуелсіз айнымалыларды немесе t арқылы белгілейміз. Әдетте уақытты t ал түзудің бойындағы нүктенің координатасын деп аламыз. 3 болған кезде тәуелсіз айнымалылар z немесе t әріптерімен белгіленеді. Көп айнымалы функцияларының дербес туындыларын t t t t t tt т.с.с. түрінде белгілеген өте ыңғайлы... анықтама.... тәуелсіз айнымалыларын ізделінді... k функциясын және оның i i k i i... i дербес 3...

25 туындыларын байланыстыратын теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Қысқаша дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді k i i F (..)... теңдігі түрінде жазады. Мұндағы i i... i k (..) теңдеуіне қатысатын ізделінді... функциясының дербес туындыларының ішіндегі ең жоғарғы реті теңдеудің реті деп аталады. Мысалы теңдігі бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді анықтайды... анықтама. )... C D i k ) F i... D R облысында анықталған жоғарыда көрсетілген )- ) шарттарды қанағаттандыратын... функциясын дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің классикалық шешімі деп атайды. Осы кезде дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясы да өте қатты даму үстінде. Мұндай теңдеулерді жалпы жағдайда зерттеу өте қиын. Осы теңдеулердің ішінде сызықты теңдеулер толығырақ зерттелген. Біздің курста осындай теңдеулерді қарастыратын боламыз. Ізделінді функция мен оның дербес туындыларының тек бірінші дәрежесі қатысатын және теңдеудің коэффициенттері тек тәуелсіз айнымалыларға байланысты анықталатын теңдеулерді сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер деп атайды. Ізделінді функция екі тәуелсіз айнымалыға байланысты анықталатын бірінші ретті сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі b c f (..) түріндегі теңдік арқылы анықталады. Мұндағы b c -теңдеудің коэффициенттері ал f - бос мүшесі. Бұлар белгілі функциялар. Ізделінді функция екі тәуелсіз айнымалыға байланысты анықталатын екінші ретті сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі: f 3 (..3) 4

26 түрінде жазылады. Мұндағы 3 коэффициенттері және оң жағындағы f функциясы белгілі екі айнымалы функциялар. Егер (..) немесе (..3) сызықты теңдеудің оң жағындағы f функциясы теңдеу қарастырылатын D облысында нөлге тепе тең болса онда (..) немесе (..3) теңдеуін біртекті ал кері жағдайда яғни D облысында f нөлге тең болмаса онда біртекті емес сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Екінші ретті сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің ішінде ерекше маңызды теңдеулер бар. Соларды атап өтейік:. Толқындық теңдеу (бірөлшемді) (..4) tt. Жазықтықтағы толқындық теңдеу (екі өлшемді) 3. Кеңістіктегі толқындық теңдеу (үш өлшемді) 4. Жылуөткізгіштік теңдеуі (бірөлшемді) tt tt (..5) zz (..6) (..7) t 5. Жазықтықтағы жылуөткізгіштік теңдеуі (екі өлшемді) 6. Кеңістіктегі жылуөткізгіштік теңдеуі (үш өлшемді) 7. Жазықтықтағы Лаплас теңдеуі t t (..8) zz (..9) 8. Кеңістіктегі Лаплас теңдеуі (..) (..) zz Тек осы теңдеулер негізгі математикалық физика теңдеулері болып табылады. Бұлар нақты физикалық процестің қарапайым моделіне сәйкес 5

27 келеді. Біз 5 ші тарауда осы теңдеулердің кейбіреулерін қорытып шығаруды және олардың шешімдерінің қасиеттерін қарастырамыз. Дифференциалдық теңдеулерді зерттеген кезде оларды классификациялаған өте ыңғайлы өйткені теңдеудің және оның шешімдерінің қасиеттері оның қандай класқа (типке) жататынына байланысты болады. Оларды әр түрлі белгілер арқылы классификациялауға болады. Дифференциалдық теңдеулер сызықты сызықты емес болып бөлінеді. Ізделінді функция мен оның туындыларының әр түрлі дәрежесі кіретін теңдеуді сызықты емес теңдеу деп атайды. Мысалы p q Бернулли теңдеуі - сызықты емес теңдеу. Сызықты жай дифференциалдық теңдеу мен сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің кейбір ортақ қасиеттері бар. Сонымен бірге сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің өзіне тән қасиеттері де болады. Бірінші сызықты теңдеулердің ортақ қасиеттеріне тоқталып өтейік. Ол үшін сызықты дифференциалдық оператор ұғымын енгізейік. (..4)- теңдеуін қарастырайық және осы теңдеудің сол жағын L... (..) деп белгілейік. (..) өрнегін белгісіз функциясына байланысты дифференциалдық оператор деп атаймыз. Сызықты дифференциалдық оператор ұғымын сандық функцияның жалпыламасы ретінде түсінген жөн. Шынында да f функциясы әрбір санына жаңа f санын сәйкес қоятын болса L операторы әрбір " ' функциясына жаңа L функциясын сәйкес қояды. Мысалы L " 3 ' 3 3 болсын. Онда функциясы үшін L 6 функциясын аламыз яғни функциясына L 6 функциясы сәйкес қойылады. Дәл осы сияқты si функциясына Lsi si cos функциясы сәйкес қойылады. (..) және (..3) теңдеулерінің сол жағын жоғарыдағы сияқты сәйкесінше және b C L (..3) L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3( ) (..4) деп белгілейік. 6

28 L және L өрнектері де сызықты дифференциалдық операторлар олардың (..) - өрнектен айырмашылықтары: олар екі тәуелсіз айнымалылардан тәуелді функциясы мен оның дербес туындыларын қамтиды. Ілгеріде L - деп дербес туындыларды қамтитын кез келген сызықты дифференциалдық операторды белгілейміз.сызықты операторлар төмендегі шарттарды қанағаттандырады: ) егер k cost онда Lk kl (біртектілік); ) L L L (аддитивтік). Бұл қасиеттер кез келген ретті туындының қасиеттерінен шығады. ) ) шарттарды біріктіріп L k k kl kl (..5) теңдігі түрінде жазуға болады. Мұндағы k және k кез - келген тұрақты сандар. (..5) теңдігінің орындалатындығын мысалы (..3) өрнегі арқылы анықталатын L операторы үшін дәлелдейік L k k k k b k k c k k k k b k b k c k c k k b c k b c k L k L Бірнеше функциялардың сызықты комбинациясы үшін де осы қасиет орындалады яғни L k k... k k L k L... k L m m m m (..6) (..6) қасиетін пайдаланып сызықты теңдеулердің шешімдерінің қасиеттерін алу қиын емес. Кез келген жай немесе дербес туындылы сызықты теңдеуді L f түрінде жазуға болады. Егер f болса онда L біртекті теңдеуге келеміз. 7

29 қасиет. Егер.... m функциялары L сызықты біртекті теңдеудің шешімдері болса онда осы функциялардың сызықты комбинациясы да теңдеудің шешімі болады. Дәлелдеу: (..6) теңдікті пайдаланып L k k... k k L k L... k L m m m m (..7) теңдігін аламыз. Шарт бойынша әрбір i ( i ) функциясы сызықты біртекті теңдеудің шешімі болғандықтан L i болу керек. Осыны ескеріп (..7) теңдіктен L k k... k m m тепе-теңдікті аламыз. Демек.... m функцияларының сызықты комбинациясы да сызықты біртекті теңдеудің шешімі болғандығы дәлелденді. қасиет. Егер және функциялары L f - сызықты біртекті емес теңдеудің шешімдері болса онда олардың. айырымы сызықты біртекті теңдеудің шешімі болады. Дәлелдеу: (..6) теңдігін. айырымына қолданып L L L (..8) теңдігін аламыз. Шарт бойынша теңдіктен L f және L f екенін ескеріп (..8) L L L f f тепе-теңдігін аламыз. Демек айырымы сызықты біртекті теңдеудің. шешімін анықтайды. 3 қасиет. Егер функциясы. L f сызықты біртекті емес ал функциясы L сызықты біртекті теңдеудің шешімі болса онда олардың. қосындысы да сызықты біртекті емес теңдеудің шешімі болады. Дәлелдеу: (..6) теңдігін қосындысына қолданып. L L L (..9) теңдігін аламыз. Шарт бойынша теңдіктен L f және L екенін ескеріп (..9) L L L f f 8

30 тепе теңдігін аламыз. Демек. қосындысы сызықты біртекті емес теңдеудің шешімін анықтайды. Жоғарыда көрсетілген қасиеттерімен бірге сызықты дербес туындылы теңдеудің басқа да өзіне тән қасиеттері бар. Ол қасиеттерді мысалдар арқылы түсіндірейік. Әуелі " жай дифференциалдық теңдеуді қарастырайық. Оның жалпы шешімі " теңдеуін екі рет тізбектеп интегралдау арқылы с c түрінде табылады. Мұндағы с және с - кез келген тұрақты сандар. Дәл осы сияқты кез келген екінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі c c теңдігі түрінде жазылады (сызықты біртекті емес теңдеудің шешімінің құрылымы туралы теореманы қараңыз). Енді екінші ретті дербес туындылы теңдеуді шешуді қарастырайық. Ол үшін бірінші рет осы теңдеуді айнымалысын тұрақты деп есептеп айнымалысы бойынша интегралдаймыз яғни d d d c c c. с - функциясының алғашқы функциясы Мұндағы с кез - келген айнымалысына байланысты функция. Сонымен теңдеудің жалпы шешімі кез - келген екі функцияға байланысты анықталады. Мысалы si tg l т.с.с. функциялардың теңдеудің шешімі болатындығын тексеру қиын емес. Ілгеріде біз кез келген саны ақырлы шешімдерден тұратын жүйесі сызықты тәуелсіз болатын шексіз көп шешімдері бар дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді зерттейміз. Осыған байланысты мүшелері қандай да бір нақты шарттарды қанағаттандырған кезде дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімін анықтайтын қатарлармен танысамыз. Осы айтқанымызды түсіндіру үшін теңдеуін қарастырайық және si cos... функциясы берілген теңдеудің шешімі болатындығын тексерейік. Шынында cos cos si cos si si si cos Табылған туындыларды теңдігіне апарып қойып si cos si cos 9

31 тепе - теңдігін аламыз. Олай болса si cos функциясы берілген теңдеудің шешімдерін анықтайды. Бұл шешімдер шексіз көп және олардың ақырлы санынан құралған жүйе сызықты тәуелсіз жүйені құрайды. Осы функциялардан с si cos с si cos... c si cos... c si cos (..) қатарын құрайық. Бұл қатар жинақталатын және екі рет мүшелеп дифференциалданатын болсын деп ұйғарайық. Онда мүшелеп дифференциалдаудан шыққан өрнектерді теңдігіне апарып қойып тағы да тепе - теңдік аламыз. Демек (..) функционалдық қатары да берілген теңдеудің шешімін анықтайды... - ескерту. Жай дифференциалдық теңдеулер де шексіз көп шешімге ие бірақ сызықты тәуелсіз болатын шешімдер саны ақырлы болады. (Біртекті және біртекті емес сызықты теңдеулердің шешімінің құрылымы жайлы теореманы қараңыз). Алдағы тақырыптарда функционалдық қатарларды мүшелеп дифференциалдау және интегралдау жиі кездесіп отырады. Қандай жағдайларда қатарларды мүшелеп дифференциалдауға интегралдауға болады деген сұраққа жауап беру өте қиын. Сондықтан оған көп толық тоқталмай біз жоғарыда көрсетілген амалдардың барлығы орындалатын функциялардан құралатын қатарларды қарастыратын боламыз..3. Лаплас операторы. Жазықтықта ал кеңістікте zz өрнегін Лаплас операторы деп атайды. Бұл екінші ретті дербес туындыларды қамтитын сызықты дифференциалдық оператор. Сондықтан кез-келген сызықты операторларға байланысты қасиеттер бұл оператор үшін де орындалады. Осы қасиеттермен қатар оның өзіне тән қасиеттері де бар. Сол қасиеттерінің арқасында оның математикада соның ішінде математикалық физикада алатын орны өте зор. Лаплас операторының бұл қасиеттеріне кейінірек тоқталып өтеміз. Лаплас операторының көмегімен (..5) толқындық теңдеуін (..8) жылуөткізгіштік теңдеуін tt t ал (..) стационар теңдеудін түрінде жазуға болады. Көптеген есептерді шығару кезінде лапласиан өрнегінің басқа полярлық цилиндрлік және сфералық координаталар жүйесіндегі түрі қажет болады. Жазықтықтағы нүктенің декарттық координаталары оның полярлық координаталары арқылы cos si түрінде өрнектелетіндігі белгілі. Сондықтан tg. 3

32 3 z 9 сурет. сурет. сурет. Осы байланыстардан si cos cos si cos si si si cos si cos si cos si cos si si cos cos si cos si cos z () (z) z ()

33 cos si si cos si si cos cos si si cos si cos si cos cos cos si cos. табылған екінші ретті дербес туындыларды Лаплас операторын анықтайтын өрнекке апарып қойып теңдігін аламыз (9-сурет). Соңғы теңдіктен полярлық координаталар жүйесіндегі лапласиан айнымалы коэффициенттерге ие болатындығын көруге болады. Кеңістікте Лаплас операторын цилиндрлік ( сурет) кейде сфералық ( сурет) координаталар арқылы жазған ыңғайлы болады. Бұл қарастырылып отырған есептің қандай облыста қарастырылғанына байланысты. Кеңістіктегі нүктенің z декарттық координаталары мен z цилиндрлік координаталары cos si z z байланыстары арқылы берілетін болғандықтан Лаплас операторының цилиндрлік координаталар жүйесіндегі түрі zz теңдігі түрінде анықталады. Кеңістіктегі нүктенің z декарттық координаталары мен сфералық координаталар арасындағы байланыс күрделірек. Олар cos si si si z cos түрінде беріледі. Сондықтан екінші ретті дербес туындыларды өрнектеу формулалары өте үлкен болады. Осыны ескеріп біз соңғы нәтижені бірден жазамыз яғни zz cos si si zz..4. Бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу D R облысында анықталған u u u Lu b b... b (.4.) 3

34 сызықты біртекті дифференциалдық теңдеуін қарастырайық. Мұндағы... ал b b... b - D облысында... тәуелсіз айнымалылары бойынша үзіліссіз дифференциалданатын және бір уақытта нөлге айналмайтын берілген функциялар..4.-анықтама. (.4.) бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі деп D D облысында анықталған өзінің бірінші ретті дербес туындылары мен үзіліссіз және... тәуелсіз айнымалылары бойынша (.4.) теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын u... функциясын айтады. (.4.) теңдеумен қатар осы теңдеуге сәйкес келетін d b... dt d b... dt... d b... dt (.4.) жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық. (.4.) теңдеулер жүйесін d d d... (.4.3) b b b симметриялық формада да жазуға болады..4.-анықтама. (.4.) жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін (.4.) бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің характеристикалық теңдеулер жүйесі ал оның интегралдық қисықтарын (.4.) теңдеудің характеристикалары деп атайды. b k k коэффиценттеріне қойылған шарттан (.4.) немесе (.4.3) жүйесі үшін D облысының әрбір нүктесі арқылы жалғыз интегралдық қисық өтетін болады. t t... t (.4.4) (.4.) жүйенің шешімі (интегралдық қисығы ) болсын..4.3-анықтама. Егер u... функциясы (.4.) жүйенің әр бір интегралдық қисығында тұрақтыға тепе-тең болса яғни t t C... онда C теңдеуін осы жүйенің бірінші интегралы деп атайды

35 .4.-теорема. u... функциясы сызықты біртекті дербес туындылы теңдеудің шешімі болу үшін... C жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы болуы қажетті және жеткілікті. u... (.4.)теңдеудің шешімі болсын. Онда Дәлелдеуі. Қажеттілігі b b... b Екінші жағынан (.4.4) интегралдық қисық бойында функциясы тек t аргументіне байланысты болады яғни сондықтан t t... t t. d d dt dt d... dt. t... t - (.4.) жүйенің шешімі болғандықтан d b dt b t t t C Олай болса... C жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы болады. Жеткіліктігі.... C жай дифференциалдық теңдеуінің бірінші интегралы болсын. Онда (.4.4) интегралдық қисық бойында. Сондықтан t t... t ) C. ( d d dt dt d... dt. t t - дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімі болғандықтан Олай болса d dt d b... dt b ү 34

36 b Яғни u... b... b функциясы сызықты біртекті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімі болады..4. мысал. D z: - облысында u u u z z теңдеуінің шешімін табу керек. Шешімі. -қадам. Берілген дербес туындылы дифференциалдық теңдеуге сәйкес келетін жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз: d d dz z -қадам. Интегралдық комбинациялар құрамыз: d d c c c d dz c z c z c z d dz z c3 z c 3 z c 3 Бұдан z c z z c 3 z c3 теңдеулері жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралдары болатындығын көреміз. Сондықтан.4.- теорема тұжырымы бойынша z u z u z z u3 z функциялары D - облысында берілген дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімдерін анықтайды. (... ) c (... ) c (... ) c... z 35

37 D - облысында анықталған (.4.) жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралдары болсын. Егер I Якобианы D облысында нөлден өзгеше болса (егер -тәуелсіз айнымалы және D облысында b... болса) онда... c c бірінші интегралдары сызықты тәуелсіз болады.4.-теорема. Егер D облысында (... ) c (... ) c жай дифференциалдық теңдеулер жүйесінің сызықты тәуелсіз бірінші интегралдары болса онда u... ( -кез-келген өзінің аргументтері бойынша үзіліссіз дифференциалданатын функция... ) функциясы (.4.) дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін анықтайды..4.-мысал. u u теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешімі. -қадам. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін құрамыз: -қадам. Бірінші интегралды табамыз: d d c c 3-қадам. Жалпы шешімін құру..4.-теорема тұжырымы бойынша u zc берілген теңдеудің жалпы шешімін анықтайды..4.3-мысал. u u d d 36

38 біртекті емес сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімін табу керек. Шешімі. Жай дифференциалдық теңдеулер жүйесін құрып d d du тәуелсіз бірінші интегралдарды табамыз: d Онда d c c c u c d d du du d d du d du d du c u c u u c Бұл табылған бірінші интегралдар сызықты тәуелсіз. Сондықтан берілген теңдеудің жалпы шешімі u теңдігі арқылы анықталады. Мұндағы -кез-келген үзіліссіз дифференциалданатын функция. Бақылауға арналған сұрақтар және тапсырмалар. Қандай теңдеуді дифференциалдық теңдеу деп атайды? Оның түрлерін атаңыз.. Дифференциалдық теңдеудің ретін қалай анықтайды? Оның классикалық шешімі деп нені атайды? 3. Сызықты (біртекті біртекті емес) дифференциалдық теңдеу деп қандай теңдеуді атайды? 4. Біртекті және біртекті емес сызықты жай дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімінің құрылымы туралы не білесіз? 37

39 5. Квазисызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп қандай теңдеуді атайды? 6. Қандай теңдеулерді математикалық физиканың негізгі теңдеулері деп атайды? 7. Сызықты дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің қасиеттерін атаңыз. 8. Жай дифференциалдық теңдеу мен дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің сызықты тәуелсіз болатын шешімдерінің саны қанша? 9. Лаплас операторы деп қандай операторды атайды? Оның полярлық цилиндрлік және сфералық координатындағы түрі қандай?. Бірінші ретті сызықты дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің характеристикалық теңдеулер жүйесі деп қандай жүйені атайды? Қандай теңдеуді характеристикалық теңдеулер жүйесінің бірінші интегралы деп атайды?. Теңдеулердің ретін анықтау керек: а) ( ) ә) ( ) ( ) б) ( ). Теңдеулердің қайсысы сызықты (біртекті немесе біртекті емес) қайсысы сызықты емес (квазисызықты) болатынын анықтау керек. а) si( ) cos 3 ә) 3 6 б) ( ) 6si в) ( ) 6 3. Теңдеулердің жалпы шешімін табу керек: ( ) ( ) ( ) ( ) z z ( z) ( z ) ( ) z а) ә) б) в) 38