Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 0: Θέμα Εξαμήνου Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

4 ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εξάμηνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Introduction to gravity field Ακαδημαϊκή Χρονιά: Πρόγραμμα: Τετάρτη 9:00 3:00 Διδάσκοντες: Η.Ν. Τζιαβός, Γ.Σ. Βέργος

5 Ιστοσελίδες ΔΕΠ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Η. Τζιαβός ή Γ. Βέργος Μαθήματα - εργασίες

6 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (Ι) Εικόνα

7 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (IΙ) Εικόνα

8 Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM -D h(x, y) MxN έ έ x k x, k 0,,,..., M x T x M y l y, l 0,,,..., N y T y N u m u, m 0,,,..., M u F u M T x v m v, n 0,,,..., N v F v N T y Εικόνα 3

9 Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM -D H(m u,n v) M N k 0 l 0 h(k x,l y)e j (m uk x n vl y) x y x y M N k 0 l 0 h(k x,l y)e j (m uk x n vl y) x y T x M T y N H(m u,n v) T x M T y N M N k 0 l 0 h(k x,l y)e j mk ( M nl ) N h(k x,l y) u v M N k 0 l 0 H(m u,n v)e j (m uk x n vl y) T x T y M N k 0 l 0 H(m u,n v)e j mk ( M nl ) N

10 Ο ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM -D h(k, l) H(m, n) H(m,n) T x M T y N M N k 0 l 0 h(k x,l y)e j mk ( M nl ) N F[H(m, n)] h(k x,l y) T x T y M N k 0 l 0 H(m u,n v)e j mk ( M nl ) N F [H(m, n)] ό ύ ώ ό T x x, T y N y F u u, F v N v

11 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER N X πγ -X Y Δg r -Y dxdy N(x p,y p ) X Y πγ -X -Y Δg(x,y) (x p - x) + (y p - y) / dxdy [ ] l N (x,y) r (x,y) (x y ) -/ N(x,y) πγ Δg(x,y) l N(x,y) N(x,y) πγ F { ΔG(u;v) L N (u;v)} ΔG(u,v) F{Δg(x,y)} L N (u,v) F{L N (x,y)} (u v ) / N(x,y) πγ F ΔG(u;v) (u + v ) -/

12 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ Γεωειδές με το ολοκλήρωμα ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ Stokes ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ μέσω μετασχηματισμών Fourier FOURIER Εικόνα 4 N( x, y ) R πγ g dxdy r ΔG(u, v) F Δg(x, y) r x P x y P y L N (u, v) F l Ν (x, y) N( x, y ) R πγ Δg(x, y) l Ν ( x, y) dxdy (x, y) F ΔG(u, v) L N (u, v) l Ν r ( x, y)

13 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (III) o Προσοχή ότι τα δεδομένα στο Matlab για την πρόγνωση με FFT πρέπει να είναι διαθέσιμα σε μορφή D πινάκων (πίνακες 4x4)

14 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (IV) Εικόνα 5

15 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (V) % geoid computation using planar FFT by Stokes' formula %load the data load DGres.grid; load Negm08.grid; load Nrtm.grid; %load the latitude and longitude for the area in grid load phi.grid load dla.grid dx=.77; dy=3.67; nrow=4; ncol=4;

16 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VI) if mod(nrow,)==0 cx=nrow/+; else cx=round(nrow/); end if mod(ncol,)==0 cy=ncol/+; else cy=round(ncol/); end for i=nrow:-: for j=::ncol kernel(i,j)=/((dx*abs(cy-j))^+(dy*abs(cx-i))^); if kernel(i,j)==inf kernel(i,j)=0; end end end

17 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VII) kernels=sqrt(kernel); C=000./(*pi* ); DG=fft(DGres); kernel=fft(kernels); f=-; for i=nrow:-: for j=::ncol N(i,j)=DG(i,j).*kernel(i,j)*f^(i+j); end end DN=ifft(N); NNN=real(DN).*C*dx*dy; for i=nrow:-: for j=::ncol geoidfin(i,j)=negm08(i,j)+nrtm(i,j)+ NNN(i,j); %DG(i,j).*kernel(i,j)*f^(i+j); end end

18 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (VIII) fid=fopen('nfinal.dat','w'); for i=::nrow for j=::ncol fprintf(fid,'%5.3f',geoidfin(i,j)); end fprintf(fid,'\n'); end fclose(fid); subplot(3,,) imagesc(nnn) title('residual GEOID HEIGHTS') colorbar subplot(3,,) imagesc(negm08) title('egm GEOID HEIGHTS') colorbar subplot(3,,3) imagesc(geoidfin) title('final GEOID HEIGHTS') colorbar

19 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (IX) RESIDUAL GEOID HEIGHTS EGM GEOID HEIGHTS FINAL GEOID HEIGHTS Εικόνα 6

20 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (X) % % Make some plots % alternative method for plot % figure phigrid=(min(min(phi)):0.00:max(max(phi)))'; dlagrid=(min(min(dla)):0.00:max(max(dla)))'; [DLAI,PHI] = meshgrid(dlagrid,phigrid); DG_res = griddata(dla,phi,dgres,dlai,phi,'v4'); % % Use surf to do the plot % surf(dlai,phi,dg_res), hold shading interp % % place the data points if you wish % plot3(dla,phi,dgres,'^','markeredgecolor','k',... 'MarkerFaceColor','k','MarkerSize',6), hold off

21 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XI) % % axis labels xlabel('longitude','rotation',) ylabel('latitude','rotation',338) % % create colorbar h= colorbar; set(get(h,'xlabel'),'string', 'mgal', 'Rotation', 0,'FontSize',) title('plot of residual gravity anomalies','fontweight','bold','fontsize',)

22 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XII) Plot of residual gravity anomalies latitude Εικόνα longitude mgal

23 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XIII) Εικόνα 8

24 Στοχαστικές μέθοδοι Σημειακή προσαρμογή σημειακή προσαρμογή χωρίς σφάλματα (exact collocation) ελάχιστα τετράγωνα σημειακή προσαρμογή με σφάλματα (smoothing collocation) σημειακή προσαρμογή με παραμέτρους (parametric least squares collocation) Σημειακή προσαρμογή χωρίς σφάλματα Σημειακή προσαρμογή με σφάλματα Εικόνα 9

25 Σημειακή προσαρμογή χωρίς σφάλματα Aπό ένα σύνολο μετρήσεων (παρατηρήσεων) s i, i=,,...,r, οι οποίες σχετίζονται με το διαταρακτικό δυναμικό τη γης T και οι οποίες μπορεί να εκφραστούν ως τιμές ορισμένων γραμμικών συνεχών συναρτησιακών του διαταρακτικού δυναμικού σύμφωνα με τη σχέση s i L i T ζητείται να βρεθεί μία προσέγγιση για το T, η, η οποία να ικανοποιεί τις μετρήσεις si και τη συνθήκη T min Σημειώνεται ότι τα συναρτησιακά είναι ορισμένοι τελεστές, οι οποίοι μετατρέπουν συναρτήσεις σε πραγματικούς αριθμούς

26 Σημειακή προσαρμογή χωρίς σφάλματα T^P [ C P C P...C Pr ] C C... C r C C... C r C r C r... C rr - s s.... s r

27 Σημειακή προσαρμογή χωρίς σφάλματα C Pi C(T P, s i ) Cij C(si, sj) T^ P C Ps C- ss s ^' s k C s's C - ss s

28 Σημειακή προσαρμογή χωρίς σφάλματα Nˆ Nˆ ˆ ˆ N Nk T Nˆ k C ΝΔg C ΔgΔg Δg Δg Δg Δg Δg n T C ΔgΔg C Δg C Δg C Δg n,δg,δg,δg C Δg C Δg C Δg n,δg,δg,δg C Δg C Δg C Δg n,δg,δg,δg n n n C NΔg C N C N C N k,δg,δg,δg C N C N C N k,δg,δg,δg C N C N C N k,δg,δg,δg n n n E NN C ΔgΔg C NΔg C ΔgΔg C ΔgΝ σφάλμα πρόγνωσης

29 Ιδιότητες Σημειακής Προσαρμογής Κατανομή δεδομένων τυχαία ή σε πλέγμα Πρόγνωση σε τυχαία σημαία ή σε πλέγμα Αποτέλεσμα ανεξάρτητο από τον αριθμό των σημείων πρόγνωσης Δεδομένα και προσδιοριζόμενα σήματα μπορεί να είναι ετερογενείς παρατηρήσεις Βέλτιστη λύση, ακριβέστερη από οποιαδήποτε άλλη γραμμική προσέγγιση

30 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XIV) Εικόνα 0 t cosψ sinφ sinφ i j cosφ cosφ i j cos(λ i - λ j ) Εικόνα

31 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XV) Εικόνα

32 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XVI) Εικόνα 3

33 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XVII) Εικόνα 4

34 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XVIII) Εικόνα 5

35 ΘΕΜΑ ΕΞΑΜΗΝΟΥ (XIX) Εικόνα 6

36 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες Εικόνες,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6: Αραμπέλος Δ και Τζιαβός ΗΝ (007) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη.

37 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ηλίας Τζιαβός Γεώργιος Βέργος. «Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας. Θέμα Εξαμήνου». Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

38 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

39 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δαλάκης Νικόλαος Θεσσαλονίκη, 6/9/04

40 ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

41 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης