Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας Ενότητα 6: Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις & Αναπτύγματα Συνιστωσών του Πεδίου Βαρύτητας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

4 ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εξάμηνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Itroductio to gravity field Ακαδημαϊκή Χρονιά: Πρόγραμμα: Τετάρτη 9:00 3:00 Διδάσκοντες: Η.Ν. Τζιαβός, Γ.Σ. Βέργος

5 Ιστοσελίδες ΔΕΠ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Η. Τζιαβός ή Γ. Βέργος Μαθήματα - εργασίες

6

7 ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ o Δυναμικό έλξης και αρμονικές συναρτήσεις o Πολυώνυμα Legedre o Σφαιρικές Αρμονικές (ΣΑ) Συναρτήσεις Legedre Αναπτύγματα σε σφαιρικές αρμονικές Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές o Ανάπτυγμα του Γήινου δυναμικού έλξης σε ΣΑ Ανάπτυγμα του κανονικού δυναμικού έλξης σε ΣΑ Ανάπτυγμα του διαταρακτικού δυναμικού σε ΣΑ o Γεωμετρία του πεδίου βαρύτητας Θεμελιώδης εξίσωση της φυσικής γεωδαισίας Συνιστώσες του πεδίου βαρύτητας σε ΣΑ Σφαιρική προσέγγιση

8 ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΕΩΔΥΝΑΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ o Γεωδυναμικά μοντέλα Τύποι γεωδυναμικών μοντέλων o Υπολογισμός συντελεστών γεωδυναμικών μοντέλων Σύγχρονα γεωδυναμικά μοντέλα και συντελεστές Σύγχρονες δορυφορικές αποστολές παρακολούθησης του πεδίου βαρύτητας CHAMP GRACE GOCE Ακρίβεια γεωδυναμικών μοντέλων Συντελεστές μεταβλητότητας Συντελεστές μεταβλητότητας σφάλματος o Εφαρμογές - Ασκήσεις

9 F mm k l ΝΕΥΤΩΝΙΟ ΠΕΔΙΟ ΕΛΞΗΣ όπου k x0 cm g sec 8 3 l x y z F Fcos( l, x) x Εικόνα km( x ) 3 l Συνιστώσες έλξης: F Fcos( l, y) y km( y ) 3 l F Fcos( l, x) x km( z ) 3 l

10 Η ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΤΗΣ ΓΗΣ φυγόκεντρη δύναμη f = ω R cosφ g = F + f Εικόνα Στον ισημερινό η μέγιστη τιμή: f max = ω R = 3.4 gal g equ = gal Στους πόλους: f = 0 g pole = 983. gal

11 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ - ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑ Εικόνα 3 Όργανα μέτρησης σχετικών τιμών βαρύτητας

12 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ - ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑ Εικόνα 4 Όργανα μέτρησης απόλυτων τιμών βαρύτητας

13 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ - ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑ Εικόνα 5 Όργανα μέτρησης απόλυτων τιμών βαρύτητας

14 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ - ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑ Εικόνα 6 Όργανα μέτρησης σχετικών τιμών βαρύτητας από αέρα

15 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ - ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑ Εικόνα 7 Όργανα μέτρησης σχετικών τιμών βαρύτητας στη θάλασσα

16 ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Laplace: f f f 0 x y z. Πολυώνυμα και γενικευμένες συναρτήσεις Legedre. Πλήρως κανονικοποιημένα πολυώνυμα και πλήρως κανονικοποιημένες γενικευμένες συναρτήσεις Legedre 3. Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές και πλήρως κανονικοποιημένες επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

17 ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ Εξίσωση Laplace: V V V V V x y z 0 V Στο χώρο έξω από τις έλκουσες μάζες πυκνότητα σταθερή (έξω από τη συνοριακή επιφάνεια) ρ=0 οπότε το δυναμικό έλξης είναι αρμονική συνάρτηση. 0 Στο χώρο όμως εντός των ελκουσών μαζών είναι: Εξίσωση Poisso: f f f x y z V V 4 k

18 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ Το δυναμικό έλξης σε κάποιο σημείο του χώρου θα είναι: V m k l m m V k m i i l i m i Εικόνα 8

19 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ o Βαρύτητα gal = cm sec - mgal = 0-5 m sec - o Δυναμικό m sec - o Μεταβολή g κατά την κατακόρυφο E = 0-9 sec - (Eotvos)

20 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ dm V k k d l l dm d l V V V gradv V i j k x y z V l V l V l i j k l x l y l z Εικόνα 9 km 3 x i y j z k F l Χ Ζ m (ξ,η,ζ) Εικόνα 0 m (x,y,z) Υ

21 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ ΤΟ ΓΗΙΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ V = km l km a V( r,, ) Cm cosm Sm si m Pm (cos ) r r m 0 r,, : Μ a οι πολικές συντεταγμένες του σημείου υπολογισμού η μάζα της Γης ο μεγάλος ημιάξονας του ελλειψοειδούς αναφοράς C, S οι συντελεστές του γήινου δυναμικού έλξης m m Pm(cos ) οι πλήρως κανονικοποιημένες γενικευμένες συναρτήσεις Legedre

22 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ o Προσδιορισμός συνοριακής επιφάνειας o Εξομαλυσμένο πεδίο βαρύτητας (μικρές τιμές Δg, T)

23 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ o Πρόβλημα συνοριακών τιμών Stokes Nα υπολογιστεί η αρμονική συνάρτηση V στο εξωτερικό μιας επιφάνειας S από τον γραμμικό συνδυασμό της V και των παραγώγων της V/ επάνω στην S V r,, R e 0 R r Y, R T gs( ) d 4 S Stokes g T r T r

24 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Οποιαδήποτε συνάρτηση (ορισμένη από τις τιμές επάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας S) είτε είναι αρμονική είτε όχι, μπορεί να αναπτυχθεί σε επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές (δεν αποτελεί όμως λύση των προβλημάτων συνοριακών τιμών) f, amrm, bmsm, f 0 0 m 0 o Μία αρμονική συνάρτηση μπορεί πάντοτε να αναπτυχθεί σε στερεές σφαιρικές αρμονικές χρησιμοποιώντας τις συνοριακές τιμές της που είναι δοσμένες επάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια S (και αποτελεί λύση των προβλημάτων συνοριακών τιμών) R f, amrm, bmsm, r 0 m 0 f 0

25 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ - ΕΕΠ η προσέγγιση η γη προσεγγίζεται με ελλειψοειδές V Φ δυναμικό έλξης του ΕΕΠ φυγοκεντρικό δυναμικό Φ x y Εικόνα δυναμικό κανονικής γης (κανονικής βαρύτητας) κανονικό δυναμικό U= V + Φ

26 ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ - ΣΦΑΙΡΑ η προσέγγιση η γη προσεγγίζεται με σφαίρα O O V δυναμικό έλξης του ΕΕΠ Φ φυγοκεντρικό δυναμικό Εικόνα Φ x y δυναμικό βαρύτητας W = V + Φ

27 ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ o H πραγματική (θεωρητική) ποσότητα μείον ένα κανονικό μέρος (που αποτελεί το μεγαλύτερο τμήμα) και υπολογίζεται από κάποιο μοντέλο Διαταρακτικό δυναμικό Τ Τ = W - U o Το πραγματικό (θεωρητικό) γήινο δυναμικό βαρύτητας μείον ένα κανονικό μέρος (που αποτελεί το μεγαλύτερο τμήμα) και υπολογίζεται από κάποιο μοντέλο (ΕΕΠ)

28 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΘΕΤΟΣ & ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΣ Κάθετος θ Κατακόρυφος Η Γεωειδές Ν h θ απόκλιση κατακορύφου H ορθομετρικό υψόμετρο h γεωμετρικό υψόμετρο ΕΕΠ N υψόμετρο γεωειδούς Εικόνα 3

29 ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ W(x, y, z) = σταθερό P P W W W 3 W 4 P 3 P 4 Οι ισοδυναμικές επιφάνειες δεν είναι παράλληλες αλλά τέμνονται!!!!! P Ο W W 3 W Εικόνα 4 Η ισοδυναμική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας που προσεγγιστικά ταυτίζεται με τη μέση στάθμη των θαλασσών σε παγκόσμια κλίμακα αποτελεί το μαθηματικό μοντέλο της Γης και ονομάζεται ΓΕΩΕΙΔΕΣ (W=W O ) W Ο W 4

30 ΤΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΣΤΗ ΜΕΣΟΓΕΙΟ Εικόνα 5

31 ΤΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΛΛΑΔΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 6

32 ΑΝΩΜΑΛΙΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΣΤΟΝ ΕΛΛΑΔΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 7

33 ΤΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΛΛΑΔΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 8

34 ΤΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΛΛΑΔΙΚΟ ΧΩΡΟ Εικόνα 9

35 ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ Εικόνα 0

36 ΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΤΟΥ LEGENDRE P r,, P r,, 90 o Πολική γωνία l r r r r cos cos cos cos si si si Εικόνα t cos a r r

37 ΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΤΟΥ LEGENDRE l r r r r cos l r cos r r r r r l r r r t r w a, t l r at a r w, t t w, t παράγουσα ή γεννήτρια συνάρτηση

38 ΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΤΟΥ LEGENDRE Ανάπτυξη σε σειρά κατά Taylor w, 0,... 0! 0 w t w t w w 0 t w 0 3t 3 w, t t t... P t 0 P t! w P t πολυώνυμα Legedre

39 ΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΤΟΥ LEGENDRE Το αντίστροφο της απόστασης /l σε σειρά πολυωνύμων του Legedre r l r r 0 P cos l r 0r P cos P0 t P t t P t 3 t Αναδρομικές σχέσεις για τα πολυώνυμα του Legedre P tp P P3 t t t P4 t t t P5 t t t t 8

40 ΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΤΟΥ LEGENDRE Κλειστή σχέση (closed formula) για τα πολυώνυμα του Legedre P t j k 0 j j! t! j! j! j k ά k ό

41 ΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΤΟΥ LEGENDRE Άρτια πολυώνυμα Legedre P0 P P4 P6 P8 P0 0,8 0,6 0,4 0, ,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0, -0, 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9-0, -0,4-0,6-0,8 - Εικόνα

42 ΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΤΟΥ LEGENDRE Περιττά πολυώνυμα Legedre P P3 P5 P7 P9 0,8 0,6 0,4 0, ,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0, -0, 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9-0, -0,4-0,6-0,8 - Εικόνα 3

43 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ LEGENDRE o Τα πολυώνυμα του Legedre είναι ειδικές περιπτώσεις των γενικευμένων συναρτήσεων του Legedre P m (t) όπου βαθμός ανάπτυξης & m τάξη ανάπτυξης o Για τις γενικευμένες συναρτήσεις του Legedre P m (t) ισχύει πάντοτε ότι 0 m δηλαδή η τάξη ανάπτυξης της συνάρτησης δεν μπορεί να υπερβαίνει τον βαθμό ανάπτυξης P P t m m t cos

44 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ LEGENDRE P P t m m Αναδρομικές σχέσεις των συναρτήσεων Legedre P m t P m m P t, m, m, m t P, P m, m P, m tp m P m P, m, m, m m t P P tp, m, m, m P 00 P0 t P t m t P tp P, m, m, m

45 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ LEGENDRE m= t t 3t 3t t 3 t t 3 t 4 35t 30t t t 5 t t t t 4 Εικόνα 4 5 t 3/ 5 7t 8t 3/ 05 t 05 t

46 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ LEGENDRE Κλειστή σχέση για τις γενικευμένες συναρτήσεις του Legedre m m/ j t m / j! P t t j 0 j! j! m j! m j m Pm t tp, m t P, m t m m m t m P t m P m /, t P, t t m m m m

47 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Η εξίσωση του Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται V V V V cot V V r r r r r r r r si r 0 Λύση αυτής της εξίσωσης αποτελούν οι ομάδες συναρτήσεων V r Y 0, V 0 r Y, Y ry, & r, Y, Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές Στερεές σφαιρικές αρμονικές

48 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Συναρτήσεις Legedre X cosm sim Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές R, P cos cosm S, P cos sim m m m m Για =0 P00 cos P0 cos Για = P0 cos P cos P cos cos P cos si Για = P0 cos P cos P P cos cos P cos si cos cos P cos si

49 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ o οι αρμονικές μηδενικής τάξης (m=0) ταυτίζονται με τα πολυώνυμα Legedre, αλλάζουν φορές πρόσημο στο πεδίο ορισμού τους, είναι ανεξάρτητες από το λ και η γραφική τους παράσταση διαιρεί τη σφαίρα σε ζώνες (αρμονικές ζωνών) cos 90 si t 0 Εικόνα 5

50 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oοι αρμονικές για m 0 και m αλλάζουν πρόσημο (-m) φορές στο 0 θ π και οι συναρτήσεις cosmλ, simλ έχουν m ρίζες στο 0<λ<π, διαιρούν την επιφάνεια της σφαίρας σε τραπέζια, όπου τα πρόσημα των αρμονικών εναλλάσσονται (τραπεζοειδείς αρμονικές) cos 90 si t 0 Εικόνα 6

51 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oγια m= η σφαίρα διαιρείται σε θετικούς και αρμονικούς τομείς και οι αρμονικές ονομάζονται τομεοειδείς αρμονικές cos 90 si Εικόνα 7 t 0

52 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Εικόνα 8 Εικόνα 9

53 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ m 0 Degree ad Order Degree ad Order Degree ad Order 0 Εικόνα 30 Εικόνα 3 Εικόνα 3 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Εικόνα 33 Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Εικόνα

54 m 0 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ Degree 3 ad Order 0 Degree 3 ad Order Degree 3 ad Order 3 Degree 3 ad Order 3 Εικόνα 36 Εικόνα 35 Εικόνα 37 3,3 Εικόνα 38

55 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oγια m==0 τι αρμονικές θα έχω;

56 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oγια m==0 τι αρμονικές θα έχω; Εικόνα 39 =m=0 τομεοειδείς αρμονικές (0 τομείς)

57 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oγια =0 & m=4 τι αρμονικές θα έχω;

58 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oγια =0 & m=4 τι αρμονικές θα έχω; Εικόνα 40 =0 & m=4 τραπεζοειδείς αρμονικές

59 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oγια =50 & m=30 τι αρμονικές θα έχω;

60 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ oγια =50 & m=30 τι αρμονικές θα έχω; Εικόνα 4 N=50 & m=30 τραπεζοειδείς αρμονικές

61 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ o Όσο αυξάνεται ο βαθμός και η τάξη τόσο αυξάνεται και η διακριτική ικανότητα o Υπολογίζονται συνεχώς υψηλότερες σε τάξη αρμονικές δηλαδή μικρότερα μήκη κύματος υψηλότερες συχνότητες

62 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνες,, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 5, 6, 7, 30, 3, 3, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 4: Αραμπέλος Δ και Τζιαβός ΗΝ (007) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Εικόνες,, 3, 4: Leica (000) Leica GPS Basics. Leica Geosystems AG, v.0. Εικόνα 8: Physikalische_Geodaesie/LNErdm.pdf <Τελευταία επίσκεψη: > Εικόνα 3: Φωτογραφική λήψη εξοπλισμού του Τομέα ΓΤΟ, ΤΑΤΜ, ΑΠΘ Εικόνες 4, 5, 6, 7: =Gravity <Τελευταία επίσκεψη:.05.05> Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

63 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ηλίας Τζιαβός Γεώργιος Βέργος. «Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας. Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις & Αναπτύγματα Συνιστωσών του Πεδίου Βαρύτητας». Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

64 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

65 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δαλάκης Νικόλαος Θεσσαλονίκη, 6/9/04

66 ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ

67 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης