Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Transcript

1 Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 7: Εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

2 Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να μελετήσει και να επιλύσει την εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες. 2

3 Περιεχόμενα ενότητας Τεμνόμενες πλάκες δυναμικού V υπό γωνία β (πρόβλημα πολικών συντεταγμένων) Εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες 3

4 Πλάκες δυναμικού V υπό γωνία β Θεωρούμε δυο τεμνόμενες πλάκες. Η μία βρίσκεται στον άξονα x και η άλλη στον άξονα y. Σχηματίζουν γωνία β. Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος είναι Φ r, φ = 0 = V, Φ r, φ = β = V. Ψάχνουμε το δυναμικό στον χώρο. Έχουμε πρόβλημα διδιάστατο και θα γίνει χρήση πολικών συντεταγμένων. Η γενική λύση της Laplace είναι: Φ r, φ = a 0 + b 0 lnr + ν=1 C ν sinνφ + D ν cosνφ A ν r ν + Β ν r ν. 4

5 Εφαρμογή συνοριακών συνθηκών Για να μην έχουμε απειρισμό του δυναμικού όταν r 0, θέτουμε b 0 = 0 και Β ν = 0. Από την συνοριακή συνθήκη Φ r, φ = 0 = V, έχουμε: V = a 0 + r ν Α ν D ν ν=1 Για να έχει νόημα η παραπάνω ισότητα θα πρέπει V = a 0, D ν = 0. Άρα η γενική λύση γίνεται Φ r, φ = V + C ν sinνφr ν Με την εφαρμογή της δεύτερης συνοριακής συνθήκης Φ r, φ = β = V έχουμε V = V + ν=1 C ν sinνβr ν sinνβ = 0 νβ = mπ ν = mπ. β ν=1 5

6 Υπολογισμός ηλεκτρικού πεδίου και επιφανειακής πυκνότητας Η λύση για το δυναμικό είναι λοιπόν της μορφής Φ r, φ = V + C m sin mπ φr mπ β m=1. β Αν ψάχνουμε το δυναμικό πολύ κοντά στην γωνία, τότε r 0, m = 1. Επομένως Φ r, φ = V + C 1 sin π π φr β. β Για το ηλεκτρικό πεδίο θα ισχύει Ε = Ε r e r + E φ e φ. Υπολογίζουμε την κάθε συνιστώσα ξεχωριστά: Ε r = Φ = C r 1 sin π φ π π r β 1, Ε β β φ = 1 π Φ = C π r φ 1 r β 1 cos π φ. β β Για την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου έχουμε σ = 1 1 Φ 4π r φ = 1 4π C π π 1 β r β 1 cos π β φ. 6

7 Εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες Η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι 1 r 2 r 2 rφ + 1 r 2 sinθ θ sinθ Φ + 1 θ r 2 sin 2 θ Φ = Φ r, θ, φ. Εφαρμόζουμε την Μ.Χ.Μ και θέτουμε Φ r, θ, φ = R r P θ Q φ. 2 φ 2 Φ = 0,όπου Αντικαθιστώντας την λύση στην εξίσωση καταλήγουμε rsin 2 d2 1 θr dr 2 rr + d sinθp 1 dθ dp sin θ dθ + Q 1 φ d2 d 2 Q φ = 0 φ 7

8 Μορφή Q(φ) Θέτουμε Q 1 φ d2 Q φ = d 2 φ m2 (1) και rsin 2 1 d2 θr rr + dr 2 sinθp 1 d dp sin θ = dθ dθ m2. (2) Από την πρώτη εξίσωση έχουμε d2 Q(φ) + d 2 φ m2 Q φ = 0 Q φ = e imφ Θα πρέπει Q φ = Q φ + 2π e i2πm = 1 m Z. Σε περίπτωση αζιμουθιακής συμμετρίας έχουμε m = 0. Άρα Q φ = 0 Q φ = Α + Βφ, και επειδή πρέπει να ικανοποιείται η περιοδικότητα (δηλ. Q φ = Q φ + 2π ), ισχύει ότι Q φ = Α. (Τα Α και Β είναι σταθερές). 8

9 Εξίσωση Legendre Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές στην εξίσωση (2) και καταλήγουμε στις εξισώσεις d2 rr 1 dr 2 rr = 1 d sinθ P 1 dθ sinθ dp dθ + m2 sin 2 θ Για το γωνιακό κομμάτι της παραπάνω εξίσωσης έχουμε 1 d dp m2 sinθ + l l + 1 sinθ dθ dθ sin 2 θ P θ = 0. = l l + 1. Πραγματοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητής θέτοντας cosθ = x, οπότε sinθ = 1 x 2 και dx = sinθdθ, καταλήγουμε στην γενικευμένη εξίσωση Legendre: d dp(x) 1 x2 + l l + 1 m2 P x = 0. dx dx 1 x2 9

10 Πολυώνυμα Legendre Λύσεις της γενικευμένης εξίσωσης Legendre είναι τα γενικευμένα πολυώνυμα Legendre. Στην περίπτωσή μας για απλότητα θα θεωρήσουμε ότι υπάρχει αζιμουθιακή συμμετρία, (δηλ. m = 0) και η εξίσωση Legendre γίνεται: d 1 x 2 dp(x) + l l + 1 P x = 0. dx dx Θεωρούμε λύση απειροσειρά της μορφής P x = a n x n n=0. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση καταλήγουμε στον αναδρομικό τύπο για τον προσδιορισμό των συντελεστών l l n(n + 1) α n+2 = a (n + 2)(n + 1) n Επιθυμούμε την σύγκλιση της απειροσειράς. Συγκλίνει για x < 1. Θέλουμε όμως να συγκλίνει και για x = 1, δηλ. στους πόλους. Για να συμβεί αυτό, πρέπει κάποια στιγμή να τερματίζεται, δηλ. l l + 1 = n n + 1. Ο μέγιστος δείκτης της απειροσειράς θα είναι λοιπόν για n = l. 10

11 Σχέση ορθογωνιότητας πολυωνύμων Legendre Τα πολυώνυμα Legendre βρίσκονται απ ευθείας από τον τύπο του Rodriguez, P l x = 1 d l 2 l l! dx l x 2 1 l. Τα πολυώνυμα Legendre είναι ορθογώνια στο διάστημα 1, +1. Η +1 σχέση ορθογωνιότητας είναι P l x P l x dx = 2 δ l l. 1 2l+1 Άρα τα κανονικοποιημένα πολυώνυμα Legendre είναι τα U l x = 2l P l x. Συναρτήσει της γωνίας η σχέση ορθογωνιότητας είναι π P l cosθ P l cosθ sinθdθ = 2 2l + 1 δ l l 0 11

12 Ακτινική εξίσωση και γενική λύση Η ακτινική εξίσωση όπως έχουμε αναφέρει είναι d 2 l l + 1 R rr = 0 dr2 r R r = A l r (l+1) + B l r l Η γενική λύση της εξίσωσης Laplace για σφαιρικές συντεταγμένες και στην περίπτωση της αζιμουθιακής συμμετρίας είναι Φ r, θ = A l r l+1 + B l r l P l cosθ. l=0 12

13 Πρόβλημα ημισφαιρίων με διαφορετικά δυναμικά Θα σκιαγραφήσουμε το πρόβλημα μιας σφαίρας ακτίνας α που στην επιφάνειά της έχει δυναμικό V θ. Η συνάρτηση του δυναμικού μπορεί να είναι V θ = V, 0 θ π 2 V, π 2 θ π Ψάχνουμε το δυναμικό στο εσωτερικό της σφαίρας. 13

14 Επίλυση Όπως είδαμε η γενική λύση είναι της μορφής Φ r, θ = l=0 A l r l+1 + B l r l P l cosθ. Για να μην έχουμε απειρισμό της λύσης καθώς r 0, θέτουμε A l = 0. Άρα η λύση γίνεται Φ r, θ = l=0 B l r l P l cosθ. Από την συνθήκη Φ r = α, θ = V θ, έχουμε ότι V θ = B l α l P l cosθ. l=0 14

15 Εύρεση συντελεστή Κάνουμε χρήση της σχέσης ορθογωνιότητας των πολυωνύμων Legendre προκειμένου να προσδιορίσουμε τον συντελεστή B l. Όταν προσδιορίσουμε τον συντελεστή έχουμε ουσιαστικά την ολοκληρωμένη λύση για το δυναμικό στον χώρο. Επομένως 0 π V θ P l cosθ sinθdθ = B l a l P l (cosθ)p l cosθ sinθdθ 0 π π l=0 π 0 V θ P l cosθ sinθdθ = B l a l 2 2l + 1 δ l l l=0 B l = 2l+1 1 V θ P 2 a l l cosθ sinθdθ 0 Ανάλογα με την μορφή που έχει κάθε φορά το δυναμικό V θ, υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα. 15

16 Τέλος Ενότητας

17 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 17

18 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Ανδρέας Τερζής. Ανδρέας Τερζής «Κλασική Ηλεκτροδυναμική. Εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 18

19 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 19