Κλασική Ηλεκτροδυναμική

Transcript

1 Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 18: Νόμοι Maxwell Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

2 Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσίασει τις εξισώσεις Maxwell. 2

3 Περιεχόμενα ενότητας Νόμος επαγωγής-faraday Οι εξισώσεις Maxwell Βάθμωση Coulomb και Lorentz Η κυματική εξίσωση Helmholtz 3

4 Νόμος Faraday Μέχρι στιγμής μελετήσαμε τι συμβαίνει στην μαγνητοστατική. Η ερώτηση που προκύπτει είναι τι επακολουθεί, όταν το μαγνητικό πεδίο αλλάζει με τον χρόνο. O Faraday παρατήρησε ότι οι κινούμενοι μαγνήτες ή τα κινούμενα καλώδια ηλεκτρικού ρεύματος ή η αλλαγή του ρεύματος στα καλώδια, μπορεί να προκαλέσει την δημιουργία ρεύματος σε κοντινά καλώδια. Αυτό σημαίνει ότι μαγνητικά πεδία που μεταβάλλονται με τον χρόνο, δημιουργούν ηλεκτρικά πεδία, τα οποία προκαλούν το ηλεκτρικό ρεύμα. Μαθηματικά ο νόμος Faraday αποτυπώνεται σε ολοκληρωτική μορφή ως Ε dl = 1 d B n da. c dt Το " προκύπτει από τον κανόνα του Lenz. Σύμφωνα με αυτόν, η διεύθυνση του επαγόμενου ρεύματος θα είναι αντίθετη της αλλαγής που το προκάλεσε. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Stokes και προκύπτει ότι Ε + 1 B c t = 0. 4

5 Μια ανακεφαλαίωση των νόμων Άρα μέχρι στιγμής έχουμε συμπεράνει ότι οι εξισώσεις που περιγράφουν τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία είναι 1. Ε = 4πρ tot, Νόμος Gauss 2. Ε + 1 c B t = 0, Νόμος επαγωγής Faraday 3. B = 0, Νόμος μη ύπαρξης μαγνητικών μονοπόλων 4. Β = 4πJ tot, Νόμος Ampére για στατικά ρεύματα c 5

6 Το πρόβλημα αυτών των εξισώσεων Αυτές οι εξισώσεις είναι ανεπαρκείς, αν θεωρήσουμε μη στατικές καταστάσεις. Πιο συγκεκριμένα, το πρόβλημα που εμφανίζεται είναι το εξής: Παίρνουμε την απόκλιση και στα δύο μέλη στον νόμο Ampére και έχουμε: Β = 4π J tot. Η απόκλιση του στροβιλισμού είναι c πάντα μηδέν. Επομένως θα πρέπει πάντα J tot = 0. Αυτή η εξίσωση ισχύει μεν για στατικές καταστάσεις, αλλά για μη στατικές παίρνει την μορφή J tot = ρ tot. Προφανώς t έρχεται σε αντίθεση με αυτά που μόλις αναφέραμε. 6

7 Νόμος Ampére με την διόρθωση Maxwell Παίρνουμε την εξίσωση συνέχειας και χρησιμοποιούμε τον νόμο Gauss: ( Ε) J tot = 4π t Αν προσθέσουμε στην εξίσωση την ποσότητα c ( Β), δεν αλλάζει ουσιαστικά κάτι γιατί είναι μια μηδενική ποσότητα. Έχουμε λοιπόν Ε J tot = + c ( Β). 4π t Ολοκληρώνουμε και στα δύο μέλη και καταλήγουμε στον διορθωμένο από τον Maxwell νόμο Ampére: Β = 4π J c tot + 1 c t Η φιλοσοφία λοιπόν του Maxwell ήταν να προσθέσει ένα επιπλέον όρο στον νόμο Ampére, τέτοιον ώστε να ισχύει η εξίσωση συνέχειας και να εξαλειφθεί αυτή η αντίθεση που προέκυπτε. E 7

8 Οι νόμοι Maxwell Έτσι καταλήγουμε στους τέσσερις νόμους Maxwell που περιγράφουν το σύνολο της ηλεκτροδυναμικής: 1. Ε = 4πρ tot, 2. Ε + 1 c 3. B = 0, B t = 0, 4. Β = 4π c J tot + 1 c E t. 8

9 Σχέση βαθμωτού και διανυσματικού δυναμικού Επειδή B = 0, μπορούμε να ορίσουμε το μαγνητικό πεδίο συναρτήσει του στροβιλισμού του διανυσματικού δυναμικού, δηλαδή B = A (διότι A = 0). Αντικαθιστούμε στον νόμο Faraday και έχουμε Ε + 1 ( A) = 0 c t Ε + 1 Α = 0 c t Άρα υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση Φ τέτοια ώστε Ε + 1 Α c t = Φ. 9

10 Μετασχηματισμοί βαθμίδας Αν αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση στους νόμους Gauss και Maxwell- Ampére παίρνουμε 2 Φ + 1 c t A = 4πρ tot και Α + 1 Φ 2 A A = 4π J c t c 2 t 2 c tot. Υπάρχει μια ελευθερία στο πώς θα επιλέξουμε τα δυναμικά, με σκοπό φυσικά η επιλογή μας να μην μεταβάλει κάθε φορά τις τιμές των πεδίων. Επειδή B = A, μπορούμε να πραγματοποιήσουμε το μετασχηματισμό A A = A + Λ. Με αυτόν τον μετασχηματισμό είναι φανερό, ότι το πεδίο B παραμένει αναλλοίωτο. Για να μην μεταβληθεί το πεδίο E της σχέσης Ε + 1 c ταυτόχρονα τον μετασχηματισμό Λ Α t = Φ, πραγματοποιούμε Φ Φ = Φ 1. Αυτή η εξίσωση μαζί με την A c t A = A + Λ είναι οι λεγόμενοι μετασχηματισμοί βαθμίδας. 10

11 Συνθήκη Lorentz Η ελευθερία επιλογής των δυναμικών μας επιτρέπει να επιλέξουμε δυναμικά τέτοια ώστε να ικανοποιούν την εξίσωση Α + 1 Φ = 0. c t Με αυτήν την συνθήκη, οι εξισώσεις 2 Φ + 1 A = 4πρ c t tot και Α + 1 Φ 2 A A = 4π J c t c 2 t 2 c tot γίνονται ανεξάρτητες. Δηλαδή καταλήγουμε στις 2 Φ 1 2 Φ = 4πρ c 2 t totκαι 2 Α 1 2 Α = 4π J 2 c 2 t 2 c tot. Η συνθήκη Α + 1 Φ = 0 καλείται συνθήκη Lorentz. c t 11

12 Βαθμίδα Lorentz Σύμφωνα με τα παραπάνω μπορούμε να έχουμε ότι Α + 1 Φ c t = 0 = A + 1 Φ c t + 2 Λ 1 2 Λ c 2 t 2 Άρα αν βρεθεί μια συνάρτηση Λ, που να ικανοποιεί την 2 Λ 1 2 Λ = A + 1 Φ, τότε τα νέα c 2 t 2 c t δυναμικά Α, Φ ικανοποιούν την συνθήκη Lorentz. Οι συνθήκες A A = A + Λ, Φ Φ = Φ 1 c 2 Λ 1 2 Λ c 2 t 2 = 0, απαρτίζουν την βαθμίδα Lorentz. Λ t, 12

13 Χρησιμότητα βαθμίδας Lorentz Η βαθμίδα Lorentz χρησιμοποιείται ευρέως κυρίως για δύο λόγους: 1)Οδηγεί στις κυματικές εξισώσεις 2 Φ 1 2 Φ = 4πρ c 2 t 2 tot και 2 Α 1 2 Α = 4π J c 2 t 2 c tot, οι οποίες αντιμετωπίζουν τα Α και Φ ισοδύναμα, 2) είναι ανεξάρτητη από το σύστημα συντεταγμένων γεγονός που «ταιριάζει» στις απαιτήσεις της ειδικής σχετικότητας. 13

14 Βαθμίδα Coulomb Στην βαθμίδα Coulomb επιλέγουμε Α = 0. Τότε οι αρχικές εξισώσεις 2 Φ + 1 c t Α + 1 c A = 4πρ tot και Φ t 2 A + 1 c 2 2 A t 2 = 4π c J tot καταλήγουν στις 2 Φ = 4πρ tot και 2 A 1 c 2 2 A t 2 = 4π c J tot + 1 c Φ t. Η πρώτη εξίσωση είναι η ίδια με της ηλεκτροστατικής. Αυτό σημαίνει ότι όταν η πυκνότητα φορτίου μεταβάλλεται με τον χρόνο, το βαθμωτό δυναμικό συμπεριφέρεται σαν στατικό. Το διανυσματικό δυναμικό ικανοποιεί την κυματική εξίσωση γεγονός που επιβάλει μέγιστη ταχύτητα διάδοσης c. 14

15 Κυματική εξίσωση Helmholtz (Ι) Η βασική δομή των κυματικών εξισώσεων είναι της μορφής 2 Ψ x, t 1 2 c 2 t 2 Ψ x, t = 4πf x, t, όπου f x, t είναι ο όρος πηγής. Αναφέρουμε τον μετασχηματισμό Fourier: Ψ x, t = 1 Ψ 2π Ψ x, ω = 1 2π x, ω e iωt dω, Ψ x, t e iωt dω. Όταν οι αναπαραστάσεις των Ψ x, t, f x, t εισέρχονται στην κυματική εξίσωση, τότε αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός Fourier Ψ x, ω ικανοποιεί την μη ομογενή εξίσωση Helmholtz: 2 + k 2 Ψ x, ω = 4πf x, ω. 15

16 Κυματική εξίσωση Helmholtz (ΙΙ) Πράγματι κάνοντας την αντικατάσταση έχουμε: 1 2 Ψ x, ω + iω 2 2π c 2 Ψ x, ω e iωt dω = 4π 1 f x, ω e iωt dω 2π Ισχύει ότι k 2 = iω 2. Επομένως καταλήγουμε στην c 2 εξίσωση Helmholtz 2 + k 2 Ψ x, ω = 4πf x, ω. 16

17 Τέλος Ενότητας

18 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 18

19 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Ανδρέας Τερζής. Ανδρέας Τερζής «Κλασική Ηλεκτροδυναμική. Νόμοι Maxwell». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 19

20 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 20