Φυσική Ι. Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Transcript

1 Φυσική Ι Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

2 Σκοποί ενότητας Ανάλυση σύνθετων κινήσεων (υλικών σημείων και σωμάτων) σε μεταφορική και περιστροφική Ορισμός και εξοικείωση μέσω παραδειγμάτων με την έννοια της κύλισης (χωρίς και με ολίσθηση) Αξιοποίηση του θεωρήματος έργου-ενέργειας στην κύλιση Ορισμός κέντρου μάζας υλικών σημείων και στερεού σώματος 2

3 Περιεχόμενα ενότητας Σύνθετη κίνηση Παραδείγματα Κύλιση Παραδείγματα Κύλιση με ολίσθηση Θεώρημα έργου-ενέργειας στη κύλιση Παράδειγμα Κέντρο μάζας Παράδειγμα 3

4 Σύνθετη κίνηση Στερεό σώμα

5 Σύνθετη κίνηση Οποιαδήποτε κίνηση μπορεί να αναλυθεί σε δύο κινήσεις Κ.Μ. 1. Μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας Πέτρα ΣΣFF = ΜΜaa 2. Περιστροφική κίνηση του κέντρου μάζας ΣΣΣΣ = ΙΙΙΙ 5

6 Παράδειγμα 1 Στο παρακάτω σχήμα ένας φοιτητής εφαρμόζει μια κατακόρυφη εφαπτομενική δύναμη F=1.6 N σε μια μπάλα μάζας 0.1 kg και ακτίνας R=0.12 m για χρόνο 2 δευτερολέπτων. α) Να αναλυθεί η κίνηση της μπάλας κατά την διάρκεια αυτού του χρόνου εάν η μπάλα αρχικά βρίσκεται σε ισορροπία και β) να γίνει το ίδιο για τα επόμενα 2 δευτερόλεπτα. FF FF RR K.M. ΒΒ ΣΣFF = mmaa KKKK => FF BB = mmaa KKKK => aa KKKK = mm K.M = 6 mm/ss 2 K.M. ΒΒ mm K.M. RR vv = aa KKKK tt vv 1 = 6 2 = 12 mm ss vv = vv 1 gg(tt 2) ττ = FFFF = = NN mm ΙΙ = 2 3 mmrr2 = = kkkk mm 2 ΣΣΣΣ = ΙΙΙΙ => αα = ττ αα = = 20 rrrrrr/ss vv 1 = (4 2) = 8 mm ss vv = 0 tt 2 = vv 1 /gg = 12/10 = 1.2 => tt = 3.2 ss αα = ddωω dddd = 0 ωω = ωω 1 = 40 rrrrrr/ss ωω = αααα ωω 1 = 20 2 = 40 rrrrrr/ss. 6

7 Παράδειγμα 2 Στο παρακάτω σχήμα, αβαρές νήμα έχει τυλιχθεί γύρω από λεπτό δίσκο ακτίνας R και μάζας m ενώ η μια του άκρη προσδένεται σε οροφή. Ο δίσκος αφήνεται ελεύθερος και το νήμα ξετυλίγεται με την κίνηση αυτή. Να δοθεί μια έκφραση για την ταχύτητα v του κέντρου μάζας του δίσκου συναρτήσει του χρόνου ενώ το νήμα ξετυλίγεται. dddd = RRRRRR Οροφή ΤΤ dddd = dddd = RRRRRR vv = RRωω ΤΤRR = 1 2 mmrr2 aa KKKK RR ΤΤ = 1 2 mmaa KKKK ωω ΒΒ vv dddd dddd dddd aa KKKK = RRRR ττ = ΤΤRR ττ = ΙΙΙΙ ΒΒ ΤΤ = mmaa KKKK mmmm mmaa KKKK = mmaa KKKK => aa KKKK = gg/2 vv = aa KKKK tt = gggg/2 II = 1 2mmRR 2 7

8 Παράδειγμα 3 Στο παρακάτω σχήμα η τροχαλία μάζας Μ μπορεί και περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από το σταθερό σημείο Ο και τα νήματα είναι αβαρή. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας 2RR RR vv 1 ΤΤ 1 2RR RR ΤΤ 2 mm 1 Ο ΜΜ mm 2 mm 1 ggggggggθθ mm 1 ΤΤ 1 Α Ο ΜΜ Β mm 2 vv 2 ππ/6 ωω ΤΤ 2 mm 2 gg ττ 1 = ΤΤ 1 RR mm 1 ggggggggθθ = mm 1 gggggggg( ππ 6 ) = 1 2 mm 1gg ττ 2 = 2ΤΤ 2 RR 1 2 mm 1gg TT 1 = mm 1 aa 1 aa 1 = RRαα 1 2 mm 1gg TT 1 = mm 1 αααα ττ 1 + ττ 2 = ΙΙΙΙ => ΤΤ 1 RR 2ΤΤ 2 RR = 1 2 ΜΜRR2 αα 1 2 mm 1gg mm 1 αααα 4mm 2 αααα 2mm 2 gg = 1 2 ΜΜΜΜαα αα = mm 1 4mm 2 ΜΜ + 2mm 1 + 8mm 2 gg RR TT 2 mm 2 gg = mm 2 aa 2 aa 2 = 2RRαα TT 2 mm 2 gg = 2mm 2 αααα 8

9 Κύλιση Σώμα κυκλικής διατομής Επαφή με οριζόντιο δάπεδο (τριβή) Κύλιση χωρίς ολίσθηση Αναλογία μεταφορικής περιστροφικής κίνησης Ο Α θθ Α Β Β Ο RR Α Β Α Β xx = RRθθ xx vv = RRωω aa KKKK = RRαα 9

10 Παράδειγμα 4 Μια οριζόντια δύναμη 1.4 Ν εφαρμόζεται στο Κ.Μ. ενός λεπτού κυκλικού δίσκου μάζας 0.2 kg και ακτίνας 0.12 m ο οποίος βρίσκεται όρθιος επάνω σε δάπεδο. Να βρεθεί η γραμμική επιτάχυνσή του Κ.Μ. του δίσκου. FF ΤΤ = mmaa ΚΚΚΚ TT Ο RR FF ττ = ΤΤRR ΤΤRR = ΙΙΙΙ Δίσκος: ΙΙ = 1/2mmRR 2 ΤΤRR = 1 2 mmrr2 aa KKKK RR => TT = 1 2 mmaa KKKK FF 1 2 mmaa KKKK = mmaa ΚΚΚΚ => aa ΚΚΚΚ = 2 FF = 4.67 mm/ss2 3 mm 10

11 Παράδειγμα 5 Συμπαγής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R αφήνεται να κυλήσει ελεύθερα σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ. Να βρεθεί η γραμμική επιτάχυνσή του Κ.Μ. της σφαίρας. NN yy xx mmmmssssssθθ ΤΤ = mmmm KKKK ΤΤΤΤ = IIαα mmmmmmmmmmmm θθ TT mmmmccccccθθ σφαίρα ΙΙ = 2/5mmRR 2 ΤΤΤΤ = 2 5 mmrr2 aa KKKK RR => TT = 2 5 mmaa KKKK mmmmssssssθθ 2 5 mmaa KKKK = mmmm KKKK => aa KKKK = 5 7 ggssssssθθ 11

12 Συμπαγής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R δέχεται αρχική μεγάλη ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ. Η σφαίρα αρχικά ολισθαίνει περισσότερο παρά περιστρέφεται αλλά μετά από λίγο εκτελεί κύλιση. α) Να δειχθούν οι δυνάμεις που δρουν στην σφαίρα κατά την φάση ολίσθησης, β) Να δειχθούν οι δυνάμεις που δρουν στην σφαίρα κατά την φάση κύλισης, γ) Να βρεθεί η γραμμική επιτάχυνσή του Κ.Μ. της σφαίρας στη φάση κύλισης. Φάση Ολίσθησης NN Παράδειγμα 6 vv xx ΤΤ SS mmmmmmmmmmmm = mmaa ΚΚΚΚ ΤΤ SS RR = ΙΙαα => ΤΤ SS = 2 5 mmmmαα mmmmmmmmmmmm ΤΤ 0 θθ mmmmccccccθθ αα = aa ΚΚΚΚ /RR ΤΤ SS = 2 5 mmaa ΚΚΚΚ Φάση κύλισης NN vv ΤΤ ss yy xx ΤΤ SS mmmmmmmmmmmm = 5 2 ΤΤ SS => ΤΤ SS = 2 7 mmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmm θθ mmmmccccccθθ 2 7 mmmmmmmmmmmm = 2 5 mmaa ΚΚΚΚ => aa ΚΚΚΚ = 5 7 gggggggggg 12

13 Κύλιση με ολίσθηση Αμελητέα τριβή (π.χ. πάγος) x 0 και Rθ >> x Πολύ μεγάλη τριβή (π.χ. φρένο) θ 0 και Rθ << x ωω vv = ωωrr vv + vv = 2vv Ο Ο Ο vv vv = ωωrr vv vv = 0 Περιστροφή Μεταφορά Κύλιση 13

14 Θεώρημα έργου ενέργειας στην κύλιση Συνδυασμός όλων των κινήσεων Κινητική ενέργεια έργο μεταφορικής κίνησης Κινητική ενέργεια έργο περιστροφικής κίνησης Κίνηση Κινητική Ενέργεια Έργο Μεταφορική ΚΚ = 1 xx 2 2 mmvv2 WW = FFFFFF Περιστροφική ΚΚ = 1 2 IIωω2 WW = ττττττ θθ 2 θθ 1 xx 1 14

15 Παράδειγμα 7 Επανερχόμαστε στο Παράδειγμα 2 του προηγούμενου εδαφίου όπου μια συμπαγής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R αφήνεται να κυλήσει ελεύθερα σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ. Εάν η σφαίρα αφήνεται ελεύθερη στο πάνω άκρο του κεκλιμένου επιπέδου, να βρεθεί η γωνιακή της ταχύτητα όταν φτάσει στο κάτω άκρο α) από το θεώρημα έργου ενέργειας και β) από τα αποτελέσματα του παραδείγματος του προηγούμενου εδαφίου. yy aa KKKK = 5 7 ggssssssθθ NN xx ΚΚ ΒΒ ΚΚ ΑΑ = WW με ΚΚ ΑΑ = 0 mmmmmmmmmmmm TT h θθ ττττττ 0 θθ = TTTT dddd = TTTTTT 0 xx = 1 2 aa KKKKtt 2 => h ssssssss = ggssssssθθtt2 => tt = 1 ssssssss 14h 5gg θθ mmmmccccccθθ 1 2 mmvv BB IIωω BB 2 = mmmmmmmmmmmmmm ΤΤxx + TTTT vv ΒΒ = aa KKKK tt = 5 7 ggssssssθθ 1 ssssssss 14h 5gg = 10ggh mmrr2 2 1 ωω BB mmrr2 ωω 2 BB = mmmmmmmmmmmmmm xxxxxxxxxx = h ωω BB = vv BB RR = 1 RR 10 7 ggh 7 10 RR2 ωω BB 2 = ggh => ωωbb = 1 RR 10 7 ggh 15

16 Κέντρο μάζας Μεταφορά όλων των δυνάμεων Συγκέντρωση όλης της μάζας Σύνολο πεπερασμένων υλικών σημείων NN xx KKKK = 1 MM mm iixx ii ii=1 NN yy KKKK = 1 MM mm iiyy ii Στερεό Σώμα ii=1 xx KKKK = 1 xxxxxx ΜΜ yy KKKK = 1 yyyyyy ΜΜ 16

17 Παράδειγμα 8 Να βρεθεί το Κ.Μ. του παρακάτω λεπτού ημικυκλικού δίσκου ακτίνας R εάν είναι ομοιογενής. xx συνιστώσα του Κ.Μ. είναι 0 (στο κέντρο) αα = RR 2 yy 2 RR αα yy dddd dddd = 2ααdddd = 2 RR 2 yy 2 dddd dddd mm = dddd AA xx ΑΑ = 1 2 ππrr2 dddd = mm dddd AA = mm 4 RR2 yy 2 ππrr 2 dddd RR yy KKKK = 1 4 yyyyyy = mm ππrr 2 yy=0 RR yy=0 yy RR2 yy 2 dddd yy KKKK = 4 ππrr 2 RR 3 3 = 4 3ππ RR 17

18 Βιβλιογραφία Serway R.A., Jewett W. Jr., 2012, Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς : μηχανική, ταλαντώσεις και μηχανικά κύματα, θερμοδυναμική, σχετικότητα, Κλειδάριθμος, Αθήνα Halliday D., Resnick R., Walker J., 2008, Φυσική, τ.1. Μηχανική, Κυματική, Θερμοδυναμική, Gutenberg, Αθήνα Young H.D., 1994, Πανεπιστημιακή φυσική, 8 η έκδ., Παπαζήσης, Αθήνα Kittel C., Knight W. D., Ruderman M.A., 1985, Μηχανική, Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων, Αθήνα Wells D.A., Slusher H. S., 1983, Schaum's outline of theory and problems of physics for engineering and science, McGraw - Hill Book Company, New York 18

19 Τέλος Ενότητας

20 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 20

21 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών Δημήτριος Κουζούδης. «Φυσική Ι» Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 21

22 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 22