ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ЖОҒАРЫ ОҚУ ОРЫНДАРЫНЫҢ ҚАУЫМДАСТЫҒЫ А. Т.

Transcript

1 ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ЖОҒАРЫ ОҚУ ОРЫНДАРЫНЫҢ ҚАУЫМДАСТЫҒЫ А. Т. Мусин МАТЕМАТИКА II (Лекциялар. Тесттер жинағы) Оқу құралы Алматы,

2 ƏОЖ 5(75.8) КБЖ.я73 М 79 Баспаға Қарағанды «Болашақ» университетінің Ғылыми Кеңесі ұсынған Пікір жазғандар: физика-математика ғылымдарының докторы, профессор Е. С. Смаилов; физика-математика ғылымдарының докторы, профессор М. И. Рамазанов; физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент С. Қ. Пішенбаев. М 79 Мусин А. Т. Математика ІI (Лекциялар. Тесттер жинағы): Оқу құралы. Алматы: ЖШС РПБК «Дəуір»,. 39 б. ISBN Ұсынылатын оқу құралы университеттердің математика, физика, механика, информатика, ақпараттық жүйелер жəне оларға жақын мамандарды дайындайтын факультеттердің студенттеріне арналып жазылған. Жоғары математика курсының төмендегідей: көп айнымалыға тəуелді функциялардың дифференциалдық есептелінуі, дифференциалдық тең деулер, екі еселі жəне үш еселі интегралдар, қисықсызықты интегралдар, беттік интегралдар, өріс теориясы элементтері, ықтималдықтар теория сы жəне математикалық статистика элементтері атаулы тарауларының қыс қаша мазмұндамасын қамтиды. Соңғы жылдары университеттерде қалыптасқан бағдарламаға жəне жаңа оқу технологиясына сай жазылған. ƏОЖ 5(75.8) КБЖ.я3 ISBN Мусин А. Т., ҚР Жоғары оқу орындарының қауымдастығы,

3 I тарау. БІР ЖƏНЕ БІРНЕШЕ СКАЛЯР АРГУМЕНТТІ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯЛАР. Бір немесе бірнеше скаляр аргументті векторфункциялар. Олардың геометриялық мағынасы Векторлық алгебраны пайдалану нəтижесінде аналитикалық геометрияның негізгі мəселелерін баяндау жеңілдене түседі. Осыған ұқсас векторлық анализ, яғни аргументтері немесе мəндері скаляр немесе вектор болып келетін функциялар теориясы дифференциалдық геометрияны оқып үйренуге көмектеседі..-анықтама. Бір Т облысында өзгеретін t і (і =,, ) скалярлар жəне мəндерін A R векторлар жиынынан қабылдайтын 3 айнымалы ā векторы берілсін. Егер Т облысынан алынған əрбір t і скалярлар жинағына белгілі бір заңмен А жинағының бір ғана векторы сəйкес келсе, онда ā векторы скаляр аргументті вектор-функция деп аталып, былай белгіленеді ā = ā(t,...,t ) (.) Жалпы, скаляр аргументті вектор-функция дегеніміз - R - де жататын Т облысының А векторлар жиынына бейнеленуі. Егер кеңістікте i, j, k векторлық базисі берілсе, онда ā векторының координаталарын x, y, z арқылы белгілеп, ā = жіктемесіне келеміз (-сурет). x i + yj + zk -сурет. 3

4 Сонымен, (.) вектор-функциясының берілуі сол аргу менттерге тəуелді 3 скаляр x = x (t,., t ), y = y (t,., t ), (.) z = z (t,., t ) функцияларының берілуіне пара-пар. Бір жəне екі аргументті скаляр функциялары геометриялық тұрғыда қарапайым сипатталатындығы мəлім. Сол сияқты вектор-функцияның да геометриялық талқылауы бар екенін болжау заңды. Ол геометриялық сипатты бір немесе екі аргументті вектор-функцияның барлық мəндерін кеңістіктің бір нүктесінен салғаннан алуға болады. Егер де бұл нүктені координаталар басы деп есептесе, онда вектор-функцияның барлық мəндері r = r(t) немесе r = r( u, v) радиус-векторлары болады. Мынадай анықтама енгізген қолайлы..-анықтама. Бір немесе екі аргументті вектор-функцияның барлық мəндері болып келетін радиус-векторлар ұштарының геометриялық орны осы функцияның келбеті деп аталады. Аналитикалық геометрияда бет деп нүктелерінің декарт координаталары F(x, y, z) = (.3) теңдеуін қанағаттандыратын геометриялық орын, ал сызық деп нүктелерінің декарт координаталары сондай F( x, y, z) =, F( x, y, z) = (.4) екі теңдеуді қанағаттандыратын геометриялық орнын атайды. Дифференциалдық геометрияда сөз етілген ұғымдар үшін өзгеше анықтамалар алынады. = болғанда, (.) x = x(t), y = y(t), z = z(t) (.5) түріне келеді. 4

5 Бұдан t параметрінен құтылсақ (егер t өзгеру облысында ондай құтылу мүмкін болса), келбет (.4) теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын нүктелерден тұратындығын табамыз. Дəл сол сияқты (.)-ден = болғанда екі аргументті векторфункция келбеті нүктесінің координаталары үшін мынаны аламыз: x = x(t, t ), y= y (t, t ), z = z (t, t ) бұдан t, t -ны шығарып тастап, (.3) түріндегі теңдеуге келеміз. Сонда мынадай негізгі нəтижеге келеміз: Теорема.. Бір аргументті вектор-функция келбеті, жалпы айтқанда, сызық, екі аргументті вектор-функция келбеті, жалпы айтқанда, бет (-сурет). Қарапайым сызыққа өзімізге белгілі түзу сызық жатады. Оның теңдеуі аналитикалық геометрияда r = r + tl (.6) түрінде жазылады, мұнда r жəне l - тұрақты, ал r - айнымалы вектор. Айнымалы r радиус-векторын бір аргументті қарапайым вектор-функция ретінде қарастыруға болады (3-сурет). -сурет 3-сурет 4-сурет 5

6 Жазықтықтың теңдеуін екі аргументті вектор-функция арқылы жазуға болады. Тұрақты радиус-векторлары r, r, r3 болатын үш нүкте арқылы өткен жазықтықтың теңдеуі ( r a, b, c) = (.7) түрінде жазылады, мұнда a = r, b = r r, c = r3 r (4-сурет). Бірақ r a, b, жəне c векторларының компланарлық шартын тек (.7) түрінде ғана емес, былай да немесе r a = ub + vc r = a + ub + vc (.8) түрінде жазуға болады, мұндағы u жəне v - параметрлер, ал r олардың функциясы.. Векторларға қатысты шек теориясы Вектор-функциялардың геометриялық мағынасын ашқаннан кейін оларға анализдің негізгі ұғымдарын таратқан жөн. Сəл өзгешелігі бар екі вектордың модуль бойынша айырмасы да кіші болған соң, айнымалы вектордың шек ұғымын айнымалы скалярдың шек ұғымына келтіретіндей етіп енгізген жөн..3-анықтама. a (t) - айнымалы, a - тұрақты вектор, t - тұрақты сан болсын. Егер t аргументі t cанына ұмтылғанда lim a( t) a t t = (.9) болса, онда a векторын a (t) векторының шегі дейміз. Енді векторларға арналған шек қағидасының негізгі тео ремаларын дəлелдейік. Теорема.. Егер айнымалы вектордың шегі бар болса, онда оның модулінің де шегі бар жəне ол шектің модуліне тең, яғни 6 lim a( t) = a t t (.)

7 Дəлелдеме. Шектің анықтамасы бойынша lim a( t) a = (.) t t болатындығы дəлелдену керек. Үшбұрыштың белгілі қасиеті бойынша (үшбұрыштың кез келген қабырғасы қалған қабырғасының қосындысынан артпайды жəне олардың айырымынан кем емес) (5-сурет): a( t) a a a( t) Олай болса (.9) бірден (.)-ге келтіреді. Төмендегі теоремалардың тұжырымдарында a ( t), b ( t) вектор-функция ларының, m(t), (t), скаляр функцияларының t -ның t -ге ұмтылғанда шектері бар жəне олар сəйкес a, b,..., m,,... ге тең деп санаймыз, яғни lim a( t) = a, lim b ( t) = b,... t t t t lim m( t) = m, lim ( t) =,... t t t t (.) Теорема.3. Вектор-функциялар қосындысының шегі бар жəне ол қосылғыш вектор-функциялар шектерінің қосындысына тең. Дəлелдеме. Екі вектор-функцияның қосындысын алайық: a ( t) + b ( t).. Векторлар қосындысының модулі олардың модульдерінің қосындысынан артпайтындықтан, { a t) + b ( t) } { a + b } = { a( t) a } + { b ( t) b } a( t) a + b ( t). ( b Соңғы қосындыдағы əр қосылғыш (.9) жəне (.)-ге сүйене отырып, нөлге ұмтылады. Демек { a t) + b ( t) } { a + b } ( 7

8 8 Олай болса { } ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim t b t a b a t b t a t t t t t t + = + = +. (.3) Теорема.4. mt at at bt () (),( (), ()), ) ( ) ( t b t a түрін дегі көбейтінділердің шектері бар жəне олар сəйкес,, b a b a a m көбейтінділеріне тең. Дəлелдеме. { } { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a m m t a t a m t a m t a t m + = теңдігінен ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a m m t a t a m t a m t a t m + болатыны шығады. (.) қатынастарының күшімен соңғы теңсіздік тің оң жағындағы ) ( a t a жəне ) ( m t m көбейткіш тері t t жағдайында нөлге ұмтылады. Олай болса ) ( ) ( lim = a m t a m t t t яғни. ) ( ) ( lim a m t a m t t t = Əрі қарай, скаляр көбейтіндісінің белгілі қасиеттері бойынша ( ) ( ) ) (, ) (, ) ( ( ), ( ) ( ), ( b t b a t b a t a b a t b t a + =. Бұдан алдыңғыға ұқсас ( ) ) (, ) (, ) ( ( ), ( ) ( ), ( ( b t b a t b a t a b a t b t a + Кез келген p жəне q векторлары үшін q p q p q p q p = ), cos(

9 9 болғандықтан, at bt a b at a bt a bt b ( ( ), ( )) (, ) ( ( ) ( ) ( ) +. (.) қатынастары бойынша ) ( ( a t a жəне ) ( b t b көбейткіштерінің нөлге ұмтылуынан жазылған теңсіздіктің оң жағы нөлге ұмтылады, демек t t at bt a b lim( ( ), ( )). = Енді кез келген p жəне q векторлары үшін q p q p q p q p =, si болғандықтан ( ) ( ) ( ) ( ). ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b t b a t b a t a b t b a t b a t a b t b a t b a t a b a t b t a = (.) қатынастарының күшімен теңсіздіктің оң жағы нөлге ұмтылады, демек. ) ( ) ( ( lim b a t b t a t t = Теорема дəлелденді. 3. Вектор-функциялардың үзіліссіздігі мен дифференциалдануы. Вектор-функцияларды дифференциалдау ережелері Вектор-функция ұғымының арқасында аргументті векторфункциясы үзіліссіздігі мен дифференциалдануының анықта масын енгізейік.

10 .4-анықтама. Егер lim a( t) = a( t) t t болса, a (t) вектор-функциясы аталады..5-анықтама. a (t) вектор-функциясының шегі бар болса, оны вектор-функция дейміз. a( t) a( t) / lim = a ( t) t t t t (.4) t = t мəнінде үзіліссіз деп (.5) t = t мəнінде дифференциалданатын a ( t ) векторы айтылған вектор-функцияның t = t нүктесінде алынған туындысы делінеді. Егер a (t) вектор-функциясының туындысы t t t кесіндісінің əрбір t мəнінде бар болса, онда a (t) функциясы t - ға тəуелді вектор-функция болады. Егер a (t) функциясы үзіліссіз жəне дифференциалдамалы болса, оның туындысы a (t) вектор-функциясының екінші туындысы деп аталады да, a (t ) деп белгіленеді. Төменде екі жəне саны одан кем болмайтын скаляр аргументті вектор-функцияларды қарастырамыз. Бұл жағдайда кəдімгі анализдегідей дербес туындылар, аргументтерінің бірі арқылы туынды ретінде анықталады. Вектор-функция шегінің қасиеттерін пайдалана отырып, вектор-функция үзіліссіздігінің төмендегі қасиеттерін дəлелдеу қиын емес: ) үзіліссіз вектор-функциялардың қосындысы үзіліссіз вектор-функция болады; ) үзіліссіз вектор-функциялардың (бірі скаляр, бірі векторфунк ция) m ( t) a( t) көбейтіндісі үзіліссіз вектор-функция; 3) үзіліссіз вектор-функциялардың скаляр көбейтіндісі үзіліссіз функция;

11 4) екі үзіліссіз вектор-функциялардың векторлық көбей тіндісі үзіліссіз вектор-функция. Енді вектор-функцияларды дифференциалдау ережелеріне тоқтайық. Туындының r (t) белгілеуімен қатар, dr белгілеуін қолданамыз. dt Теорема.5. Векторлар қосындысының туындысы қосылғыштардың туындыларының қосындысына тең, яғни d da( t ) db( t ) { a( t ) + b( t ) +...} = (.6) dt dt dt Теңдеудің дəлелдеуін келесі теңдіктен алуға болады: { a( t) + b( t) +...} { a + b +...} a( t) a b ( t) b = t t t t t t Бұған қоса.3-теорема жəне.5-анықтаманы пайдалану керек. Теорема.6. Скаляр функцияның вектор-функцияға көбейтіндісінің туындысы ( m ( t) a( t)) = m ( t) a( t) + m( t) a ( t) (.7) формуласы бойынша есептелінеді. Теореманың дəлелдемесі m( t) a( t) m a t t m( t) m a( t) = a + m( t) t t t a t тендігі негізінде алынады. Салдар. Векторлы немесе скалярлы тұрақты көбейткішті туынды белгісінің сыртына шығарып алуға болады, яғни λ = cost, c = cost болғанда

12 d ( λa(t )) = λ da(t), d ( m(t )c) = dm(t) c dt dt dt dt (.8) Теорема.7. Вектор-функциялардың скаляр жəне векторлық көбейтінділерінің туындысы төмендегі формулалар арқылы есептеледі: d da db ( a,b ) =,b + a,, (.9) dt dt dt d da db ( a b) b = + a dt dt dt Бұл теореманың дəлелдемесі төмендегі ( ) ( ) at (), bt () a, b at () a bt () b =, bt ( ) + a,, t t t t t t a( t) b ( t) a t t b a( t) a b ( t) = b ( t) + a t t t b t ( теңдіктерінен шығады. Теорема.8. ) t = t(s) скаляр функциясының қайсібір s=s нүктесінде t s = t s ) туындысы болып; ) r = r(t) векторфункцияcының сəйкес t ( s) = t нүктесінде r t = r ( t ) туындысы болсын. Сонда күрделі r t = r ( t ) вектор-функцияcының s = s нүктесіндегі туындысы r (t) жəне t (s) функциялары туындыларының көбейтіндісіне тең, яғни / s Теореманың дəлелдемесі r / / ( t() s ) r t t s / = (.)

13 r ( t() s ) r( t( s )) r() t r( t ) t() s t( s ) s s = t t теңдігінен шығады, мұнда t( ) s t =. s s Бұл теорема скаляр айнымалыны ауыстырғанда векторфунк ция туындысының бағыты өзгермейтінін, ал ұзындығы өзгеретінін көрсетеді теоремаларынан вектор-функцияларды дифференциалдаудың негізгі ережелері скаляр функциялардың сəйкес ережелерімен беттесетіндігі шығады. Аралас көбейтіндінің туындысы ( a b, c ) = ( a, b, c ) + ( a, b, c ) + ( a, b, c ), (.) формуласы бойынша есептеледі. Дербес туындыларды есептеу ережелері мен формулалары кəдімгі анализдегідей. Оларға мынадай белгілеулер қолданамыз Δ lim u lim Δv r r ( u + Δu, v) r( u, v) Δu ( u, v + Δv) r( u, v) Δr r = = ru, u r = = rv. v (.) Теорема.9. r () t вектор-функциясының үзіліссіздігі мен дифференциалдануының қажетті жəне жеткілікті шарты оның x = x(t), y = y(t), z = z (t) координаталарының үзіліссіздігі мен дифференциалдануында. Дəлелдеме. Жеткіліктілікті дəлелдейік. x = x(t), y = y(t), z = z(t) скаляр функциялары үзіліссіз (дифференциалдамалы) болсын, онда қосынды мен көбейтіндінің үзіліссіздігі (дифференциалдану) қасиеттерінен () t = x() t i + y() t j z()k t r + вектор-функциясы үзіліссіз (дифференциалдамалы). 3

14 Қажеттілік. r () t вектор-функциясы үзіліссіз (дифференциалдамалы) болсын. Скаляр көбейтіндісінің үзіліссіз (дифференциалдамалы) болу қасиетінен x (, k ) () t = ( r() t, i ), y() t = ( r() t, j), z() t = r() t координаталарының да үзіліссіз (дифференциалдамалы) болатындығы шығады. Теорема дəлелденді. 4. Вектор-функция туындысының геометриялық мағынасы Үзіліссіз жəне дифференциалдамалы r () t вектор-функциясын жəне оның келбетін қарастырайық. t аргументінің белгілі мəнінде О нүктесінен салынған r () t вектор-функциясының ұшы келбетте r( t) = OM болатындай кейбір М нүктесін береді. t аргументіне кейбір Δ t өсімшесін берсек, t + Δt мəніне r( t + Δt) векторы мен келбеттің М нүктесі сəйкес келеді. ( Δ ) ( ) MM = OM OM = r t + t r t 5-cурет 6-cурет векторы, яғни r () t вектор-функциясының өсімшесі М жəне М нүктелерін қосатын вектор болып табылады. 4

15 r ( t + Δt) r() t Δt (.3) векторы MM векторына параллель, атап айтқанда, хордамен бағыттас. Енді Δ t нөлге ұмтылсын. r () t вектор-функциясы үзіліссіз болғандықтан ( t + Δt) r() t lim{ r } = Δt яғни ММ хордасының ұзындығы Δt жағдайында нөлге ұмтылады. Демек Δt болғанда, М нүктесі М нүктесіне ұмтылады. Сондықтан вектор-функция үзіліссіздігі оның келбетінің үзіліссіз болуымен сипатталады. Δ t нөлге ұмтылғанда (.3) векторы r () t туындысына ұмтылады, ал М нүктесі келбет бойымен М нүктесіне ұмтылады. ММ қиюшысы кеңістікте М нүктесін айнала өзінің шектік орналасуына - r () t векторына параллель болатын MN түзуіне ұмтылады (6-сурет). ММ қиюшысының MN шектік орналасуы сызықтың М нүктесіндегі жанамасы деп аталатыны мəлім. Сонымен төмендегідей тұжырым дəлелденді. Теорема.. Егер t аргументінің берілген мəнінде r () t вектор-функциясының r () t туындысы бар болып, нөлден өзгеше болса, онда ол берілген нүктеде осы функция келбетінің жанамасына параллель. r Екі аргументті r = r( u, v) вектор-функциясының u дербес туындысының да қарапайым геометриялық мағынасы бар. Оның есептелуі ( u,v ) v cost = = v болғанда, бір u айнымалыға тəуелді r = r функция келбеті үшін жүреді. Бұл келбет, əрине, ( u v) r, функция келбеті болып келетін бетте орналасатын кейбір L сызығы., 5

16 r u туындысының өзі L сызығының жанамасына параллель (бұл сызықты «u» сызығы немесе «v = cost сызығы» деп атайды). r Осыған ұқсас v туындысы «v сызығының» немесе «u = cost сызығының» жанамасы болып келеді. 5. Вектор-функция үшін Тейлор формуласы T t T аралығында жеткілікті дифференциалданатын r = r t век тор-функциясын қарастырайық. Оны əрдайым () () t = x() t i + y() t j z()k t r + түрінде жіктеуге болады. Мұнда x, y, z - r векторының бекітілген i, j, k базисіне қатысты координаталары..9. теоремасы бойынша x = x(t), y = y(t), z = z(t) скаляр функциялары - жеткілікті дəрежеде дифференциалданатын функциялар болып келеді. Оларға Тейлор формуласын қолданып, мынадай жіктемелерге келеміз: x y ( t + Δt) = x( t) + x ( t) Δt + x () t ( t + Δt) = y( t) + y ( t) Δt + y () t... * Δt + + x!! ( )! ( )! ( ) () ( t Δt + x )( t ) Δt,... * Δt + + y!! ( ) () ( * t Δt + y )( t ) Δt, z ( t + Δt) = z() t + z () t Δt + z () t... * Δt + + z!! ( )! ( ) () ( ** t Δt + z )( t ) Δt, мұндағы t *, t **, t *** мəндері t жəне t + Δt аралығында жатады, жалпы, бір-бірінен өзгеше. Жазылған теңдіктердің біріншісінің екі жағын i векторына көбейтіп, екіншісінің екі жағын j векторына көбейтіп, үшінші теңдіктің екі жағын k векторына көбейтіп, шыққан теңдіктерді мүшелеп қоссақ 6

17 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xt+δ ti+ yt+δ t j+ zt+δ tk= xti+ yt j+ ztk + + { x ( t) i + y ( t) j + z ( t) k} Δ t+ { x ( t) i + y ( t) j + z ( t) k} Δ t +...! ( ) ( ( ) ) ( ( ) )... + ( ) ( ) { x t i + y t j + z t k} Δ t +! ( ) * ( ( ) ) ** ( { x t i y ( t ) j z ) *** ( t ) k}! немесе r / ( t + Δt) = r() t + r () t Δt + r () t! теңдігіне келеміз. Мұнда Δt r! ( ) + q Δt! (.4) ( ) ( ) () t Δt ( ) * ( ( ) ) ** ( ( ) ) *** ( ) q = x t i + y t j + z t k. (.5) Біздің болжауымыз бойынша, x(t), y(t), z(t) функциялары өздерінің туындыларымен бірге T t T аралығында үзіліссіз болғандықтан, бұл аралықта олар t-ның барлық мəндерінде шектеулі келеді. Ал q векторының координаталары кез келген t *, t **, t *** мəндерінде шектеулі болса, бұл вектордың модулі де шектеулі шама болып келеді, атап айтқанда ( ) ( ( ) [ ) ( t ( )] [ ) ( )] * ** *** ] + y t + z t C q = [ x (.6) Мұнда С cаны - [T, T] аралығынан алынған кез келген t жəне t + Δt мəндеріне бірдей тұрақты оң шама. Демек (.4) формуласындағы соңғы мүше модулінің кішілік реті - нан кем емес. Кəдімгі анализдегі Тейлор формуласынан өзгешелігі - q векторы r () t вектор-функциясының [ t, t + Δt] аралығында жататын кейбір t мəнінде есептелген -ші ретті туындысы болмайды

18 6. Вектор-функция дифференциалы Вектор-функция дифференциалы ұғымын енгізу үшін r () t вектор-функциясын қарастырып, ол үшін = болғанда Тейлор формуласын жазайық: Мұнан r ( t + Δt) = r( t) + r () t Δt + q Δt 8 Δt Δ r = r( t + Δt) r() t = r () t Δt + q (.7) Бұл формуланың қызық геометриялық мағынасы бар. Δ r = r( t + Δt) r() t векторы берілген М нүктесін r () t векторфункциясы келбетінің жақын М нүктесімен қосатын MM векторымен беттеседі. MM () t Δt нүктесіндегі жанамасына параллель жəне () t = r векторы келбеттің М r вектор-функ циясы Δ өсімшесінің «сызықтық бөлігі» болады (7-сурет). M / M t = q векторы - шексіз кіші вектор. Оның модулі - аргументтің Δt өсімшесімен салыстырғанда - шексіз кіші шама. Сонымен, келбеттің жақын нүктелерін қосатын MM векторы жанамамен бағытталған жəне t аргументінің өсімшесіне пропорционал M M векторы мен Δt-мен салыстырғанда модулі жоғары ретті шексіз кіші шама болатын M M векторының қосындысына тең..6-анықтама. MM = r () t Δt векторы r () t вектор-функциясы Δ r өсімшесінің басты сызықтық бөлігі немесе r () t вектор-функциясының дифференциалы деп аталады. r вектор-функциясы дифференциалын d r арқылы белгілейді. Анықтама бойынша

19 dr = r ( t) dt, (.8) мұнда t аргументінің dt дифференциалы, əдеттегідей оның өсімшесімен беттеседі. Бұдан dr r ( t) = dt белгілеуінің мағынасы ашылады: r () t туындысы dr дифференциалын скалярға көбейткенге тең. dt 7. Тұрақты ұзындығы бар вектор-функциялар. Айналымды вектор-функциялар Бұл тармақта төменде қолданылатын үш лемма дəлелденеді. Лемма. Тұрақты ұзындығы бар r () t вектор-функциясының () t r t векторына перпендикуляр. r туындысы () Дəлелдеме. Егер r () t вектор-функциясы тұрақты модульге ие болса, онда () t = ( r() t, r() t ) cost r = Бұл теңдікті t бойынша дифференциалдаса ( r () t, r() t ) = теңдігіне келеміз. Бұдан r () t векторының r () t векторына перпендикуляр екені шығады. «Бірлік» m () t вектор-функциясын алайық, яғни m () t =. t аргументіне Δt өсімшесін беріп m () t жəне m( t + Δt) векторларын бір нүктеден жүргізейік. Олардың арасындағы бұрышты ϕ деп белгілеп, бірлік m () t вектор-функциясының айналу бұрышы дейміз. Лемма. Бірлік m = m() t вектор-функция Δm өсімшесі 9

20 модулінің ϕ айналу бұрышына Δt ұмтылуындағы қатынасының шегі бірге тең. Дəлелдеме. 8-суреттен Бұдан ϕ Δm = si ϕ ϕ si si Δm = = ϕ ϕ ϕ. Δt ұмтылуынан ϕ ұмтылатыны туындайды. Сонда ϕ si lim Δt ϕ = (-тамаша шек) 7-cурет 8-сурет 9-cурет Демек Лемма дəлелденді. Δm lim = ϕ. Δt Егер шексіз кіші айналу бұрышын ϕ арқылы белгілесек, біздің нəтижеміз түріне. келеді. dm = ϕ

21 Енді Оху жазықтығында Ох осінің оң бағытымен θ бұрышын жасайтын бірлік e ( θ ) вектор-функциясы берілсін. Oz осінің оң бағытынан қарағанда θ бұрышы сағат тіліне қарсы есептеледі деп санаймыз. e ( θ ) вектор-функциясын айналымды вектор-функция дейміз. Оның ( θ ) i cosθ j siθ e = + (.9) түрінде берілетінін жəне оның келбеті бірлік радиусты шеңбер болатынын байқау қиын емес (9-сурет). Бұл теңдікті дифференциалдау нəтижесінде / ( θ ) = i siθ + j cosθ, e ( θ ) = i cosθ jsiθ e (.3) немесе e ( θ ) = e θ +, e ( θ ) = e( θ ) / π теңдіктеріне келеміз. Сонымен, мынадай нəтиже шықты: Лемма 3. (.9) формуласымен анықталатын ( ) θ e векторфункциясын дифференциалдау e векторын сағат тіліне қарсы π бұрышына бұрғанға келтіріледі.

22 IІ тарау. КӨП АЙНЫМАЛЫҒА ТƏУЕЛДІ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЕСЕПТЕЛУІ. Көп айнымалыға тəуелді функцияның анықтамасы Көптеген жағдайларда кездесетін қатынастар осыған дейін ұйғарылғандай екі емес, бірден бірнеше шамаларды байланыстыруы мүмкін. Басқаша айтқанда, қызықтыратын шама бір айнымалыға емес, бірнеше айнымалыға тəуелді болуы мүмкін. Алғашқы тарауларда, екі айнымалы шаманың біреуі еркін сан мəндерін қабылдайтын, екіншісі біріншісінің өзгеруіне тəуелді түрде өзгеріп отыратын, яғни х пен у-тің арасындағы тəуелділік ұғымымен таныстық. Ал табиғат кұбылыстарында, практиқалық есептерде, бір шаманың басқа екі не одан да көп айнымалының өзгеруінен тəуелді болып келетіні жиі кездеседі. Мысалы, тік бұрышты төртбұрыштың ауданы оның қабырғаларының өзгеруіне тəуелді. Физикада электр тогының күші электр тізбегінің кернеуі мен U кедергінің арасындағы байланыс Ом заңы бойынша I = формуласымен беріледі. Бұдан біз ток күшінің шамасы кернеу мен R кедергінің өзгеруіне тəуелді екенін көреміз. Жалпы, дененің физикалық қасиеттерінің бір нүктеден екінші нүктеге көшкеннен өзгеріп отыратындығын байқауға болады. Мысалы, тығыздық, температура, электр потенциалы, тағы басқа шамалардың барлығы да нүкте координаталарына тəуелді функциялар. Егер бұл шамалар уақытқа да байланысты өзгеріп отырса, онда бұл тəуелсіз айнымалыларға t уақыт қосылады. Бұл жағдайда функция бір-біріне тəуелсіз төрт айнымалыға тəуелді болады. Бірнеше айнымалыға тəуелді функция ұғымын анықтауды алдымен тəуелсіз айнымалылар саны екеу болатын қарапайым жағдайдан бастайық..-анықтама. Егер белгілі бір ереже немесе заң бойынша ХОY жазықтығының D облысындағы х, у тəуелсіз айнымалыларының əрбір жұп мəніне Z жиынының тек қана бір z мəні сəйкес келсе, онда z айнымалыcы D жиынындағы х, у тəуелсіз айнымалыларының

23 функциясы деп аталады жəне z=f(x,y) немесе z=φ(x,y) немесе z=f(x,y) түріндегідей белгіленеді. Мұндайда D - функцияның анықталу облысы, х жəне у z функциясының аргументтері деп аталады. х пен у нақты сандарының реттелген (х,у) жұбына Оху жазықтығының жалғыз А(х,у) нүктесі сəйкес болғандықтан жəне керісінше əрбір А(х,у) нүктесіне жалғыз (х,у) сандар жұбы сəйкес келетіндіктен, екі айнымалыға тəуелді фунцияны жазықтықтағы А(х, у) нүктесінің функциясы ретінде қарастыруға болады, сондықтан f(x, y) өрнегінің орнына кейде z=f(а), z= φ(а), z=f(а) деп те жаза береміз. f(x,y ) саны f(x,y) функциясының М (x,y ) нүктесіндегі дербес мəні деп аталады. Енді анықталу облыстары көрсетіліп, аналитикалық жолмен немесе формуламен берілген функция лар дың бірнеше мысалдарын келтірейік. z = х + у формуласы барлық х, у қос мəндері үшін фунцияны аңықтайды. z = x y формуласы x + y теңсіздігін қанағат тандыратын (x,y) қос мəндерінде ғана мағыналы, демек функцияны аңықтайды. Ал z = жəне z = arcsi x y a x y + arcsi b формулалары сəйкесінше x + y < жəне a < x < a, -b < y < b теңсіздіктерін қанағаттандыратын (x,y) қос мəндерінде ғана функцияны анықтайды. Бұл мысалдардан бір айнымалыға тəуелді функция үшін аргументтің өзгеру облысы шектелген немесе шектелмеген аралық болса, ал екі айнымалыға тəуелді функция үшін аргументтің өзгеру облысы есептің шартына қарай түрліше жəне күрделі болып келетінін көреміз. Енді осы қарастырылған екі аргументті функция ұғымына ұқсас кез келген саны бар айнымалыға тəуелді (п аргументті) функция ұғымын да енгізуге болады.-анықтама. Егер белгілі заң немесе ереже бойынша х, х,..., х аргументтер мəнінің əрбір жиынына и айнымалысының бір мəні сəйкес койылатын болса, онда и айнымалысын аргуметті функция деп атайды жəне былай белгілейді: 3

24 u=f(х, х,..., х ), u=φ(х, х,..., х ), u=f(х, х,..., х ). ал х, х,..., х нақты сандарынан құралған əрбір реттелген (х, х,..., х ) жиынына -өлшемді кеңістікте бір Р(х, х,..., х ) нүктесі сəйкес келетін болғаңдықтан, аргуметті функцияны -өлшемді кеңістіктегі нүктенің функциясы деп түсінуге болады, яғни u=f(р), u=φ(р) немесе u=f(р). Егер u=f(х, х,..., х ) функциясы х, х,..., х аргументтерінің -өлшемді кеністіктегі М жиынының құрамынан шықпайтын нақты мəндерінің əрбір жиынына u=f(х, х,..., х ) функциясының толық анықталған бір мəні сəйкес келсе, онда М жиыны берілген u=f(х, х,..., х ) функциясының анықталу облысы деп аталады. Баяндауды жеңілдету мақсатымен бұдан былай екі немесе үш айнымалыға тəуелді функцияларды қарастырумен шектелеміз, өйткені оларға қатысты айтылғанның бəрін көп айнымалылы функцияларға қолдана беруге болады. 4. Ашық жəне тұйық жиындар Өлшемі -ге тең кеңістіктің нүктелерінен кұралған жиындар мен ол жиындардың кұрамындағы нүктелер, оларға қойылған белгілі шарттардың орындалуына қарай, бірнеше топқа бөлінеді. Жаңа ұғымдар түсінікті болу үшін оларды біз екіөлшемді кеңістік немесе ХОY жазықтығы үшін енгіземіз. ХОY жазықтығының А(x,y ) нүктесі жəне кез келген δ > саны берілсе, онда А нүктесінің U (A) түріндегі δ δ -маңайы деп берілген А нүктесінен ρ (А,В) қашықтығы берілген δ > санынан кіші болатын, яғни ρ( АВ, ) < δ теңсіздігін қанағаттандыратын В нүктелер жиынын айтады. Басқаша (х - х ) + (у - у ) < δ шартын қанағаттандыратын В ={ М(x,y) } нүктелер жиынын А(x,y ) нүктесінің δ-маңайы деп атайды (-сурет)..3-анықтама. Егер жазықтықтағы нүктелерден кұралған М жиынының кез келген екі нүктесін түгелдей сол жиынның нүктелерінен тұратын үзіліссіз қисықпен қосу мүмкін болса, М байламды жиын деп аталады..4-анықтама. Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған М жиынының кұрамындағы А (A М) нүктесі өзінің қандай да бір

25 -сурет. -сурет. U(A) δ маңайымен бірге осы жиынның ішінде жатса, А нүктесі М жиынының ішкі нүктесі деп аталады..5-анықтама. Егер жазықтықтағы нүктелерден кұралған М жиынының кез келген нүктесі жиынның ішкі нүктесі болса, М ашық жиын деп аталады. Яғни, тек ішкі нүктелерден құралған жиынды ашық жиын дейді..6-анықтама. Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған М байламды ашық жиын болса, онда оны облыс деп атайды..7-анықтама. Егер В нүктесінің кез келген Uδ ( В) маңайында М жиынының нүктелерімен бірге ол жиынның кұрамында жоқ нүктелер де жатса, онда В нүктесі М жиынының шекара нүктесі деп аталады. Шекара нүктелердің жиыны сол жиынның шекарасын кұрайды (-сурет)..8-анықтама. Егер М жиынының барлық шекара нүктелері сол жиынның құрамына кіретін болса, ондай жиынды тұйық жиын деп атайды. Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған М жиыны тұтасымен қандай да бір дөңгелекке енсе, ол шектелген жиын деп аталады. 3. Көп айнымалыға тəуелді фунцияның шегі Бізге ХОY жазықтығының Q облысында анықталған z = f(x, y) функциясы берілсін жəне (x, y ) осы облыстың бекіген бір нүктесі болсын..9-анықтама. Егер z = f(x, y) функциясы (x, y ) нүктесінің 5

26 кейбір маңайында анықталып, (x, y )-ге ұмтылатын қандай да болмасын (x k, y k ) нүктелер тізбегі үшін lim f ( x, y ) = A 6 x x, y k k y шегі бар болса (жазылуы ( x, y ) ( x, y ) ұмтылуында f(x, y) А ), онда f(x,y) функциясы (x, y ) нүктесінде lim f ( x, y ) = A k k x x y y түрінде белгіленетін жəне А санына тең шекке ие болады..-анықтама. z = f(x, y) функциясы М (x, y ) нүктесінің кейбір маңайында анықталған болсын (бірақ М (x, y ) нүктесінің өзінде анықталмауы да мүмкін) деп ұйғарайық. Егер ε > саны бойынша δ > саны табылып, < ρ( M,M ) < δ теңсіздігін қанағаттандыратын М(x, y) нүктелері үшін f ( x,y) A < ε теңсіздігі орындалатын болса, онда А санын f ( x, y) функциясының x x,y y ұмтылуындағы (немесе M( x,y) M( x,y ) -ге ұмтылуындағы) шегі деп атайды жəне оны былай жазады: lim f( x, y) = Aнемесе lim f( x, y) = A, М М x x y y ( M = M( x y) Q M = M( x y) Q),,,. Бұл екі анықтама өзара эквивалентті анықтамалар. Бір аргументті функциялардың шектері жəне оларды есептеу əдістері түгелдей көп аргументті функцияларға да қолданылады. Үш, төрт жəне одан да көп айнымалы функциялардың шектерін жəне оларды есептеу дəл осылайша анықталады. Көп айнымалы функциялардың үзіліссіздігі де бір айнымалы функцияның үзіліссіздігіндей анықталады. 4. Көп айнымалыға тəуелді функцияның үзіліссіздігі Айталық, z = f(x,y) функциясы Q облысында анықталған болсын жəне М(x,y) нүктесі Q жиынында жатқан осы жиынның шекара нүктесі болсын..-анықтама. Егер z = f(м ) функциясының М М нүктесіне ұмтылғандағы шегі оның М нүктесіндегі f(м ) мəніне тең, яғни lim f(м) = f(м ) болса, онда f(м) функ- М М

27 циясы М нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады. Мұндайда lim f(m) = f(m ) немесе lim f(x,y) = f(x,y ) деп жазатын М М x x, y y M x,y Q. Қысқаша, егер lim f(x) = f(x ;y ) болса, онда у=f(x) функциясы М (х ;у ) боламыз. Мұндағы M( x,y) Q жəне ( ) x x у у нүктесінде үзіліссіз функция делінеді. Функция шегінің анықтамасын еске алсақ, функцияның М нүктесіндегі үзіліссіздігінің тағы да бір мынадай анықтамасын келтіруге болады:.-анықтама. Егер ε > санына сəйкес δ = δ( ε) > саны табылып, < ρ( M,M ) < δ теңсіздігін қанағаттандыратын М нүктелері үшін f ( М) f ( М ) < ε теңсіздігі орындалса, U = f( М) функциясы М нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады. Мына х x = Δх, у y = Δу шамаларының əрқайсысы берілген z = f(x,y) функциясының х, у аргументтерінің сəйкес өсімшелері, ал f ( x,y) f ( x,y ) айырымы функцияның өсімшесі, яғни Δz = Δf ( x,y) = f ( x,y) f ( x,y ) екенін ескерсек, функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің жоғарыда берілген анықтамасын былайша тұжырымдауға болады: егер аргу менттердің ақырсыз кіші өсімшелеріне берілген функцияның да ақырсыз кіші өсімшесі сəйкес келсе, онда функция М(x,y) нүктесінде үзіліссіз деп аталады. Демек, егер z = f(x,y) функциясы М нүктесінде үзіліссіз болса, lim Δz = lim Δf ( x, y) = М М М М болады. Егер z = f(x,y) функциясы Q облысының əрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл функцияны Q облысында үзіліссіз функция деп атайды. Енді ХОY жазықтығының кейбір Q облысында үзіліссіз болатын z = f(x,y) функциясының қасиеттеріне тоқтайлық. Олар аралықта үзіліссіз болатын бір айнымалыға тəуелді функцияның қасиеттеріне ұқсас. ) Егер z f(м ) = функциясы шектелген тұйық облыста үзіліссіз болса, онда ол осы облыста шектелген функция болады. Демек: 7

28 K: f(x,y) < K. ) Егер z = f(м ) функциясы шектелген тұйық облыста үзіліссіз болса, онда ол осы облыста өзінің дəл төменгі жəне жоғары мəніне жете алады. 3) Егер z = f(x,y) функциясы шектелген тұйық облыста үзіліссіз болса, ол сол облыста бірқалыпты үзіліссіз болады. 5. Бірнеше айнымалыға тəуелді функциялардың дербес туындылары мен дербес дифференциалдары 5.. Үш айнымалыға тəуелді функцияның дербес туындылары Бізге кеңістіктің Q облысында анықталған үзіліссіз U = f(x,y,z) функциясы берілсін. Осы облыстан М( x, y, z) нүктесін аламыз. Егер y пен z-ке тұрақты y мен z мəндерін беріп, x-ті өзгертетін болсақ, онда U = f(x,y,z) бір айнымалы x-тің (x төңірегінде) функциясы болады. Енді х = x мəніне Δ х өсімшесін берсек, онда функция Δ U= Δ f(x,y,z) = f(x + Δx,y,z) f(x,y,z) x x өсімшесін иемденеді, мұны функцияның x бойынша алынған дербес өсімшесі деп атайды. Ал мына Δ U f(x + Δx,y,z) f(x,y,z) lim = lim Δx Δx x Δx Δx шегін U = f(x,y,z) функциясының М(x,y,z) нүктесінде x бойынша алынған дербес туындысы деп атайды да U, x f(x,y,z),u / / x,f х (x,y,z). x өрнектерінің бірімен белгілейді. Бұл символдардың төменгі жағында тұрған əріп туындының қандай айнымалы бойынша алынатынын көрсетеді. 8

29 Сондай-ақ x-пен z -ті тұрақты, ал y-ті айнымалы деп санап, Δ U у f(x,y + Δу,z ) f(x,y,z ) lim = lim Δу Δу Δу Δу шегін қарастыруға болады. Бұл шекті U = f(x,y,z) функциясының М(x,y,z) нүктесіндегі y бойынша алынған дербес туындысы деп атайды. Бeрілген U = f(x,y,z) функциясының z бойынша алынған М(x,y,z) нүктесіндегі дербес туындысы да осылай анықталады. Дербес туындыны есептеудің жай туындыны есептеуден айтарлықтай айырмашылығы жоқ. 3 Мысалдар: ) z = x xy + y функциясы берілсін. Онда бұл функцияның дербес туындылары z z = x y, = 4xy+ 3 y. x y Бұлардың біріншісі y = cost болғандағы, ал екіншісі x = cost болғандағы дəрежелік функцияның туындысы. x ) Егер z = arctg z y z болса, онда xy y y x x y, = = y x 3) U = x + y + z функциясы үшін U x + y + z U xy U xz =, =, = x y z ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) 5.. Екі айнымалыға тəуелді функцияның дербес туындыларының геометриялық мағынасы z = f(x,y) функция графигі кейбір бет болып табылатыны белгілі. z = f(x,y ) функция графигі осы z = f(x,y) бетінің у = y жазықтығымен қиылысу сызығы болып келеді. Бір айнымалыға тəуелді функция туындысының 9

30 / геометриялық мағынасына сүйене, f (x,y ) = tgα х екенін тұжырымдаймыз, мұндағы α - Ох осі мен z = f(x,y ) қисығына М( x,y f(x,y ) ) нүктесінде жүргізілген жанама арасындағы / бұрыш (-сурет). Сол сияқты f (x,y ) = tgβ y. -сурет. 3-сурет Дербес дифференциалдар Бeрілген U = f(x,y,z) функциясының кез келген бір аргументі бойынша нүктедегі дербес туындысы мен сол аргументтің өсімшесінің көбейтіндісі функцияның дербес дифференциалы деп аталады жəне былай белгіленеді: U U du= Δx, du= Δz x z x z Егер тəуелсіз айнымалы х-тің dx дифференциалын Δ x U өсімшесі деп түсінетін болсақ, онда d x U = dx, сол сияқты x U U d U = dy, d U = dz түрінде жазылады. y z y z 3

31 6. Көп айнымалыға тəуелді функцияның толық өсімшесі, толық дифференциалы жəне дифференциалдану шарты Егер тəуелсіз айнымалылардың х = x, у = y, z = z мəндеріне сəйкес Δx, Δу, Δ z өсімшелерін берсек, онда U = f(x,y,z) функциясы да ΔU = Δf(x,y,z ) = f(x + Δx,y + Δу,z + Δz) f(x,y,z ) (.) түріндегі өсімшеге ие болады. Берілген функцияның осы өсімшесін оның толық өсімшесі деп атайды. / / / Теорема.. Егер f ( x,y,z), f ( x,y,z), f ( x,y,z) х y z дербес туындылар М(x,y,z) нүктесі мен оның кейбір U(М) δ маңайында бар болып жəне осы нүктеде ( x,y,z-тің функциясы ретінде) үзіліссіз болса, онда берілген U = f(x,y,z) функциясының толық өсімшесі ΔU= f (x,y,z) Δх+ f (x,y,z) Δу+ f (x,y,z) Δz+ αδх+ βδу+ γδz / / / х y z түрінде жазылады. Мұндағы α, β, γ шамалары Δх, Δу, Δ z өсімшелеріне тəуелді жəне Δх, Δу, Δz -да α, β, γ шамалары да -ге ұмтылады. Теорема.. Егер Q облысында берілген U = f(x,y,z) функциясының сол облыстағы ( x,y,z ) Q мен (x + Δx,y + Δу,z + Δz) Q нүктелері үшін толық өсімшесі ΔU = Δf(x,y,z ) = Аdх + Вdy + Сdz + ( ρ ) (.) түрінде жазылатын болса, (A, B, C - тұрақтылар, ρ = Δx + Δy + Δz ) берілген функцияның (x,y,z ) нүктесінде дербес туындылары бар болады..3-анықтама. Егер U = f(x,y,z) функциясының толық өсімшесі (.) немесе (.) формулаларының бірімен өрнектелетін болса, ол функция (x,y,z ) нүктесінде дифференциалданатын функция деп аталады. Сонымен, бірге берілген функцияның толық өсімшесінің / / / U Δх+ U Δу+ U Δz х y z түріндегі басты сызықты бөлігі оның толық дифференциалы деп аталады да, du немесе df ( x, y,z ) түрінде белгіленеді. 3

32 Сонымен, үзіліссіз дербес туындылары бар кез келген көп аргументті функциялар дифференциалданатын функция бо ла ды. x, y, z аргументтерінің өсімшелері олар үшін əрі дифференциалдар болатынын ескерсек, f ( x,y,z) функциясының толық дифференциалы / / / du = U dх + U dу + U dz х y z немесе 3 df(x,y,z ) = f (x,y,z )dх+ f (x,y,z )dу+ f (x,y,z )dz / / / х y z түрінде жазылады. Яғни, көп аргументті функцияның толық дифференциалы оның дербес дифференциалдарының қосынды сына тең. Екі айнымалыға тəуелді z = f(x,y) функциясының толық дифференциалы айтқанға сəйкес z z dz = dx + dy (.3) х y түріндегідей жазылады. xy -мысал. Берілген z = е функциясының толық дифференциалы dz -ті табу керек болсын. Бұл функцияның дербес туындылары z = у е, z = x е. Демек dz = у е dx + x е / xy / xy xy xy dy. х у x -мысал. z = ltg функциясының толық дифференциалын табайық. y Шешімі: z z x x = =, = = х x x y x y x x y x tg cos y si tg cos y si y y y y y y болғандықтан, x dz = dx dy x x. ysi y si y y Теорема.3. Егер U = f(x,y,z) функциясы Q ашық облысының кез келген нүктесінде дифференциалданатын, ал

33 x ϕ(t), y ψ(t), z θ(t), t a,b функцияларының мəндері Q облысында жататын жəне олар t аргументі бойынша дифференциалданатын болса, онда U = f( ϕ(t), ψ(t), θ(t)) күрделі функциясы t аргументi бойынша дифференциалданады жəне оның туындысы = = = ( ) du U dx U dy U dz = + + (.4) dt х dt y dt z dt формуласымен анықталады. Дəлелдеу. t тəуелсіз айнымалыға өсімше берсек, онда x, y жəне z те сəйкес Δх, Δ у жəне Δ z өсімшелерін, ал u функциясы Δ u өсімшесін иемденеді. Сондықтан U = f(x,y,z) функциясы М( x,y,z) нүктесінде дифференциалданатын болғандықтан, / / / du = U Δх+ U Δу+ U Δz+ αδх+ βδу+ γδz х y z кескінделуі орынды. Мұнда Δх, Δу, Δz жағдайында αβγ,,. Тендіктің екі жағын Δt -ға бөліп, онан соң Δt -да шекке көшсек, Ал бұдан себебі ΔU Δx Δy Δz lim = U lim + U lim + U lim + Δt Δt Δt Δt / / / Δ t х Δ t y Δ t z Δ t Δx Δy Δz + lim α + lim β + lim γ. Δ t Δt Δ t Δt Δ t Δt du U dx U dy U dz = + + dt х dt y dt z dt Δx dx Δy dy Δz dz lim =, lim =, lim =. Δt dt Δt dt Δt dt Δ t Δ t Δ t Сонымен бірге, ϕ(t), ψ(t), θ (t) функциялары t нүктесінде дифференциалданатын функциялар болғандықтан, бұл нүктеде олар үзіліссіз, демек Δt да Δх, Δу, Δz. Сондықтан Δt -да αδх, βδу, γδz. Мысал. x z xsi, x 3t, y t y = = + = + болсын

34 34 Сонда 3 si cos cos. dt х dt y dt y y y y + t y dz z dx z dy x x x x t x = + = + Егер U = f(x,y,z) функциясының x,y,z аргументтері өз алдына t, θ екі айнымалыға тəуелді болып жəне осы х = х( t, θ), у = у( t, θ), z = z( t, θ) функцияларының t, θ аргументтері бойынша алынған туындылары бар деп ұйғарсақ, онда ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) U = f t, = f(x t,, у t,, z t, ) күрделі функциясының t жəне θ тəуелсіз айнымалылары бойынша алынған дербес туындылары U U x U y U z U U x U y U z = + + ; = + + (.5) t х t y t z t θ х θ y θ z θ түріндегідей өрнектеледі: -мысал. z = x y, x = u+ v, y =. Сонда алдыңғы формулалар бойынша v u z z x z y z z x z y u = + = + = + = + u х u y u v v х v y v v xy yx, xy yx. -мысал. Егер z = x y, x = ucosv, y = иsivболса, онда (.5) формулалары бойынша z z = x cos v y si v, = xи si v yu cos v. u v 7. Толық дифференциалды жуықтап есептеуде қолдану z = f(x,y) функциясының дифференциалы анықтамасынан Δ х пен Δу -тің жеткілікті кіші болуында Δz dz (.6) жуықталған теңдігі туындайды. Функцияның толық өсімшесі Δz = f ( x+ Δх,у+ Δу) f ( x,y) түрінде кескінделетіндіктен, алдыңғы жуық теңдікті / / ( ) ( ) ( ) ( ) f x+ Δх,у+ Δу f x,y + f x,y Δх+ f x,y Δу (.7) х y

35 түрінде көшіріп жазуға болады. (.7) теңдігін жуықталған есептеулерде қолданады. 3, Мысал., өрнегінің жуықталған мəнін табу талап етіледі. y Шешімі. z = x функциясын қарастырамыз. Сонда 3, ( ) у + Δ, = x + Δх у, мұнда х =, Δх =,, y = 3, Δу =,. (.7) форму ласын пайдаланайық. Алдын ала z / х жəне z / y дербес туындыларын табамыз: / / ( ) у ( ) z = x = у x, z = x = x lx. / y y / y y х х у 3, Демек, + 3, + l,, атап айтқанда 3,,,6. Салыстыру үшін осы өрнектің микрокалькуляторда есептелген мəні -, 3,, Толық дифференциал нұсқасының инварианттылығы Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданып, толық дифференциалдың инварианттылық қасиетке ие болатынын көрсетуге болады. Атап айтқанда, z = f(x,y) функциясының толық дифференциалы оның аргументтері айнымалы немесе тəуелсіз айнымалылардың функциялары болуына қарамастан түрін өзгертпейді. Шынында, z = f(x,y) болсын, мұнда х пен у - тəуелсіз айнымалылар. Онда (-ретті немесе толық дифференциал) z z dz = dx + dy х y түріндегідей жазылады ((.3) формула). х жəне у айнымалылары түрінде кескінделген х = х(u,v), y = y(u,v) z = f(x,y) = f ( х(u,v), y(u,v) ) = F(u,v) күрделі функциясын қарастырайық, мұнда u,v - тəуелсіз айнымалылар. Сонда 35

36 36 F F z z z x z y dz = du + dv = du + dv = + du + u v u v х u y u z x z y z x x z y y + + dv = du + dv + du + dv. х v y v х u v y u v Мұндағы соңғы жақшалардағы өрнектер х = х( u, v) жəне y = y( u, v) функцияларының x x dx = du + dv жəне u v y y dy = du + dv u v түріндегі толық дифференциалдары болып табылады. Демек осы жағдайда да z z dz = dx + dy х y болуын көріп отырмыз. 9. Айқындалмаған функцияны дифференциалдау z-ке қатысты шешілмеген Fxyz (,, ) = (.8) теңдеуімен берілген z = f(x,y) функциясын айқындалмаған функция дейді. (.8) теңдеуімен берілген айқындалмаған z z функцияның х жəне y дербес туындыларын табайық. Ол үшін теңдеудегі z-тің орнына f(x,y) функциясын енгізіп, Fxyf (,, ( xy, )) тепе-теңдігін аламыз. Тепе-тең нөлге тең функциясының дербес туындылары да нөлге тең: F F z F(x,y, f (x,y)) = + = (у-ті тұрақты деп санаймыз), х х z х F F z F(x,y, f (x,y)) = + = (х-ті тұрақты деп санаймыз). у у z у

37 Осыдан z F F / =, =, ( Fz ). х F y F / / х z y / / z z (.9) Ескерту. (.8) түріндегі теңдеу бір айнымалыны қалған екі айнымалыға тəуелді айқындалмаған функция ретінде əрдайым анықтай бере алмайды. Мəселен, x + y + z 4 = теңдеуі x + y 4 дөңгелегінде z = 4 x y, z = 4 x y функцияларын анықтайтын болса, z = 4 x y функциясын у болуында x + y 4 дөңгелегінде анықтайды, 3 т.с.с., ал cos( x + y + 3z) 4 = теңдеуі бірде-бір функцияны анықтамайды. Айқындалмаған функцияның бар болу теоремасы орынды: Егер F(x,y,z) функциясымен бірге оның / / / F ( x,y,z), F ( x,y,z), F ( x,y,z) дербес туындылары х y z М(x,y,z) нүктесінің кейбір аймағында анықталып, үзіліссіз / жəне F(x,y,z) =,F(x,y,z) болса, онда (.8) теңдеуі z (x,y ) нүктесі аймағында үзіліссіз жəне дифференциалдамалы, f(x,y ) = z болатындай жəне жалғыз z = f(x,y) функциясын анықтайтындай М(x,y,z) нүктесінің аймағы табылады. Ескерту. Бір айнымалыға тəуелді у = f(x) айқындалмаған функциясы F(x,y) = теңдеуімен беріледі. Айқындалмаған функцияның бар болу шарттары орындалатын болса (келтірген теоремаға ұқсас теорема бар), онда айқындалмаған функцияның туындысы / / Fх / ух =, ( F / у ) F у формуласы бойынша есептелінеді. z -мысал. e + z x y+ = теңдеуімен берілген z функциясының дербес туындыларын табу талап етіледі. z / / Шешімі. Мұнда F(x,y,z) = e + z x y +, F = ху, F = x, х y / z F = e +. (.9) формулалары бойынша z z ху z х =, =. z z х e + y e + 37

38 3 -мысал. у = f(x) айқындалмаған функциясы y + у = х теңдеуімен берілген. dу туындысын табу талап етіледі. dх 3 / / Шешімі. Мұнда F( x, y) = y + у х, Fх =, Fy = 3y +. / Демек ух =, 3y + атап айтқанда dу =. dх 3y Беттің жанама жазықтығы мен нормалі Екі айнымалыға тəуелді функция туындыларының геометриялық қолданбасын қарастырайық. z = f(x,y) функциясы кейбір D R облысының (x,y ) нүктесінде дифференциалдамалы болсын. z функциясын бейнелейтін S бетін х = х жəне у = y жазықтықтарымен қияйық (3-сурет). х = х жазықтығы S бетін қандай да z ( у ) сызығы бойынша қиятын болсын; сызықтың теңдеуі бастапқы z = f(x,y) функциясындағы х-ті M санымен алмастырғаннан z = f(x,y) түрінде шығады. М(x,y,f(x,y)) нүктесі z ( у ) сызығына тиіс. z функциясының М нүктесінде дифференциалдамалы болғандықтан, z ( у ) функциясы да у = y нүктесінде дифференциалдамалы болады. Демек осы нүктеде х = х жазықтығындағы z ( у ) сызығына l жанамаcын жүргізуге болады. у = y қимасына айтқанға ұқсас талқылау өткізіп, z ( х ) қисығының х = х нүктесінде l жанамаcын жүргіземіз. l жəне l түзулері α жазықтығын анықтайды. Оны S бетінің M нүктесіндегі жанама жазықтығы дейді. Осы жазықтық теңдеуін құрайық. α жазықтығы М(x,y,z) нүктесі арқылы өтетіндіктен, оның теңдеуін ( ) ( ) ( ) A x x + B y y + C z z = түрінде жазуға болады. Теңдеудің екі жағын С-ға бөліп, А В = А, = В белгілеулерін енгізген соң, оны С С ( ) ( ) z z A x x B y y = + (.) түріне келтіреміз. A жəне B -ді табайық. l жəне l жанамаларының теңдеулері сəйкесінше

39 ( ) ( ) z z = f ( x, y ) y y, x = x, / y / х (, ), z z = f x y x x y = y түрінде жазылады. l жанамасы α жазықтығына тиісті, демек l -дің барлық нүктелерінің координаталары (.) теңдеуін қанағаттандырады, олай болса осы айтқанымызды ( ) / z z = fy ( x, y) y y, x = x, z z = А( x x) + В( y y) жүйесі түрінде кескіндеуге болады. Жүйені В -ге қатысты шешіп, / В = f (x,y ) y болатынын шығарып аламыз. / l жанамасына осы істегенімізді қайталап, А = f (x,y ) х екенін шығарып аламыз. А жəне В мəндерін (.) теңдеуіне енгізіп, жанама жазықтықтың ізделінді теңдеуін ( ) ( ) z z = f (x,y ) x x + f (x,y ) y y (.) / / х y түрінде табамыз. Мұндайда М нүктесін жанасу нүктесі дейді..4-анықтама. М жанасу нүктесіндегі жанама жазықтыққа перпендикуляр түзуді сол нүктедегі беттің нормалі дейді. Түзу мен жазықтықтың перпендикуляр болу шартын пайдалана (Математика І, VI тарау) еш қиындықсыз нормальдың теңдеулерін x x y y z z = = / / f ( x, y ) f ( x, y ) (.) х y түрінде шығарып аламыз. Егер S беті Fxyz (,, ) = теңдеуімен берілсе, онда (.) жəне (.) теңдеулері, дербес туындылардың, айқындалмаған функцияның дербес туындылары арқылы F ( x, y ) f x y f x y (, ) (, ) / / / Fх ( x, y) / у х(, ) =, у( /, ) = / Fz x y Fz x y өрнектелулеріне байланысты ( 9,(.9) формулалары) сəйке - сінше 39

40 ( ) ( ) ( ) F ( x, y ) x x + F ( x, y ) y y + F ( x, y ) z z = жəне / / / х у z x x y y z z = = F ( x, y ) F ( x, y ) F ( x, y ) / / / х у z түріне келеді. Ескерту. Беттің жанама жазықтығы мен нормалінің теңдеулері жай нүктелер үшін, атап айтқанда беттің ерекше емес нүктелері үшін жазылып отыр. Барлық дербес туындыларын нөлге айналдыратын немесе, ең болмағанда, бір дербес туындысын болғызбайтын M нүктесін ерекше нүкте дейді. Мұндай нүктелерді қарастырмаймыз. Мысал. z = x + у айналу параболоидының M (,,5) нүктесінде жүргізілген жанама жазықтығы мен нормалінің теңдеулерін жазу талап етіледі. / / / / Шешімі. Мұнда z = x,z = y;z(, ) = 4,z(, ) =.(.) х y х y жəне (.) теңдеулері бойынша жанама жазықтықтың теңдеуін z 5= 4( х ) + ( у ) немесе түрінде жəне нормаль теңдеуін 4x+ y z 5= түрінде табамыз. х у z 5 = = 4 4. Жоғары ретті дербес туындылар мен дифференциалдар Егер U = f( x, y, z) функциясының Q облысында аргу менттердің бірі бойынша дербес туындысы болса, онда бұл туындыны x, y, z айнымалыларының функциялары деп қарастырып, одан бір М ( x, y, z ) нүктесінде сол аргумент немесе одан басқа аргумент бойынша дербес туынды алуға болады. Сонда берілген U = f( x, y, z) функциясы үшін соңғы туындылар екінші ретті дербес туындылар болады.

41 Егер бірінші туынды х бойынша алынса, онда оның x, y, z бойынша алынған дербес туындыларын U f( x, y, z ) U f( x, y, z ) U f( x, y, z ) = ; = ; = ; х х х y х y х z х z немесе U = f ( x, y, z ), U = f ( x, y, z ), U = f ( x, y, z ) // // // // // // х х ху ху хz хz өрнектерімен белгілейтін боламыз. Бұл дербес туындыларды екінші ретті дербес туындылар дейді. Одан жоғары 3-ші, 4-ші, тағы с.с. ретті туындылар да осылайша анықталады. Əртүрлі аргументтері бойынша алынған жоғары ретті туындыларды аралас дербес туынды дейді. z = si x+ y + х функциясының бірінші жəне екінші ретті дербес туындыларын есептеу талап етіледі. Шешімі. -мысал. ( ) ( x y z ) y ( x y ) z = cos + +, = cos + ; х х у ( x y ) z z = = si +, х х х 4х х z z = = уsi ( x+ y ); х у у х z z = = cos( x+ y ) 4y si ( x+ y ); у у у z = уsi ( x+ y ). у х 4 3 -мысал. z = x + 4x y + 7xy+ функциясының бірінші жəне екінші ретті дербес туындыларын есептеу талап етіледі. Шешімі. z = 4x + 8xy + 7 y, z = x y + 7 x; / 3 3 / х y z = x + 8 y, z = 4 x y, z = z = 4xy + 7. // 3 // // // хх yу ху ух 4

42 Аралас дербес туындылар үшін мынадай теореманы қолданған орынды: Теорема.4. U = f( x, y, z) функциясы Q облысында анықталған жəне осы облыста f, f, f, f / / // // х y ху ух туындылары бар болып, сонымен бірге f // пен ху f // туындылары ( x, y, z ) Q ух нүктесінде үзіліссіз болса, онда f // ( x, y, z ) = f // ( x, y, z ) теңдігі орындалады. ху ух Q облысында z = f( x, y) функциясының бірінші ретті үзіліссіз туындылары бар болса, онда функцияның dz толық дифференциалы деп 4 z z dz = dx + dy х y өрнегін айтатын боламыз. Функцияның толық дифференциалын бірінші ретті дифференциал деп те атайды. x жəне y тəуелсіз айнымалыларының Δ x жəне Δ у өсімшелерін олардың дифференциалдарына теңестіреді, атап айтқанда Δ x = dx жəне Δ у = dy деп ұйғарылады. z = f( x, y) функциясының екінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болсын. Функцияның бірінші ретті дифференциалын z = f( x, y) функциясының екінші ретті дифференциалы деп атайды да, оны dz= ddz ( ) формуласы бойынша табады. Дифференциалдау ережесін пайдалана, оның шығарылуын көрсетейік. Бұдан z z z z d z = d ( dz) = d dx + dy = dx + dy х y х y z z z z dx + dx + dy dy = dx + dy dx + х y х y x z z + dx + dy dy х y y / y. z z z d z = dx + dxdy + dy. (.3) х х y y / x

43 Символдық түрде мұны d z = dx + dy. z х y өрнегімен кескіндейді. Осыған ұқсас үшінші ретті дифференциал үшін 3 dz= d( dz) = dx+ dy. z х y формуласын шығарып аламыз, мұнда dx + dy = dx + 3 dx dy + 3 dх dу + dу. 3 3 х y х х y х у у Математикалық индукция əдісімен п п d z = dx + dy z N х y., теңдігінің орындалатынын көрсетуге болады (мұнда əрдайым п п dz= dd ( z) ). Айта кетер жайт: тағайындалған формулалар z = f( x, y) функциясының x жəне y айнымалылары тəуелсіз болғанда ғана күшін сақтайды. 3 Мысал. z = 3x + 5xу 8 y функциясының екінші ретті дифференциалы - dz -ті есептеу талап етіледі. Алдымен берілген функцияның екінші ретті дербес туындыларын табамыз: 3 z х z = 6х+ 5 у, = 5х 4 y ; y z z z = 6, = 5, = 48 y. х х y y Табылған туындыларды (.3) формулаcына енгізгеннен ізделінді дифференциал түрінде шығады. d z = 6dx + dxdy 48уdy 43

44 44. Көп айнымалыға тəуелді функция үшін Тейлор формуласы Теорема.5. Егер z = f( x, y) функциясы жəне оның (п + )- ( ші ретке дейінгі барлық үзіліссіз туындылары x, y ) нүктесінің маңайында анықталған болса, онда ол функцияның осы нүктедегі толық өсімшесін ( ) Δ f( x, y ) = f( x +Δ x, y +Δу) f( x, y ) = d f( x, y ) + (.4) ( + ) 3 d f( x, y ) d f( x, y ) d f( x, y ) d f( x +θδ x; y +θδy) ! 3!!! ( + ) түрінде жазуымызға болады. Мұнда <θ< жəне Δ x = dx, Δ у = dy (.4) формуласын z = f( x, y) функциясы үшін жазылған Тейлор формуласы деп атайды. 3 Функцияның экстремумы, оның бар болуының қажетті жəне жеткілікті шарттары. Шартты экстремум Кеңістіктің Q облысында анықталған үзіліссіз z = f( x, y) функциясын қарастырайық, ( x, y ) осы облыстың бекіген бір ішкі нүктесі болсын..4-анықтама. Егер М ( x, y ) нүктесінің ( x δ, x +δ, y δ, у +δ) тіктөртбұрышы болып келетін U ( М δ ) маңайында жатқан барлық нүктелер үшін f( x, y) < f( x, y ), ( f( x, y) > f( x, y ) ) немесе f( x, y) f( x, y ) <, ( f( x, y) f( x, y ) > ) теңсіздігі орындалса, онда z = f( x, y) функциясы М ( x, y ) нүктесінде максимумге (минимумге) қол жеткізеді дейді. Көп аргументті функцияның минимумы мен максимумын біріктіріп функцияның экстремумдары деп айтады. Теорема.6. (функцияның экстремумы болуының қажетті шарты). М ( x, y ) нүктесінде z = f( x, y) функциясының экстремумы бар болу үшін оның бірінші ретті дербес туындылары / / осы нүктеде нөлге тең, яғни f х ( x, y ) =, f y ( x, y ) = болуы қажет.