М. Өтемісов атындағы Батыс Қазақстан мемлекеттік университеті

Transcript

1 М. Өтемісов атындағы Батыс Қазақстан мемлекеттік университеті Бекітемін Жаратылыстану жəне математика факультетінің деканы Медешова А.Б. 2011ж. Физика, математика кафедрасы «Геометрия негіздері» Пəн бойынша оқу - əдістемелік кешен «Математика» мамандығының 3-курс студенттеріне арналған кредиттік оқыту технологиясы бойынша Барлығы 2 кредит Курс 3 Семестр - 6 Лекция 15 Практикалық сабақ 15 ОЖСӨЖ 30 СӨЖ 30 Емтихан 4,5 Барлығы - 90 сағат Орал 2011 ж «Математика» мамандығының 3-курс студенттері үшін Геометрия негіздері пəнінен кредиттік оқыту технологиясы бойынша Абай атындағы ҚазҰПУдың алгебра, геометрия жəне қолданбалы логика кафедрасының типтік оқу бағдарламасы негізінде құрастырылды. Алматы,2005 Құрастырған : аға оқытушы Камкиева Ж.С

2 Физика жəне математика кафедрасының отырысында талқыланды ж. Кафедра меңгерушісі (қолы) Кульжумиева А.А. (аты-жөні) Факультеттің хаттама 2011 ж. оқу-əдістемелік кеңестің отырысында қарастырылды. Факультеттің оқу-əдістемелік кеңесінің төрағасы (қолы) Теміралиева С.Б. (аты-жөні) 1. Пəннің типтік оқу бағдарламасы «Математика» мамандығының 3-курс студенттері үшін Геометрия негіздері пəнінен кредиттік оқыту технологиясы бойынша Абай атындағы ҚазҰПУдың алгебра, геометрия жəне қолданбалы логика кафедрасының типтік оқу бағдарламасы негізінде құрастырылды. Типтік бағдарламаның орналасқан жері: корпус 1, каб Пəн бойынша оқыту бағдарламасы SYLLABUS

3 Оқытушы (оқытушылар) туралы мəліметтер: Камкиева Ж.С.- БҚМУ дың математика кафедрасының аға оқутышысы Қызметі: аға оқытушы Оқитын курстары: Аналитикалық геометрия, дифференциалдық геометрия, геометрия негіздері, жоғары математика, математика тарихы жəне əдіснамасы, алгебра жəне геометрия. Курстың атауы: Геометрия негіздері Офис: физика жəне математика кафедрасы, ауд. 307 адрес: Достық даңғылы,162 Пəн туралы мəлімет Курстың атауы: Геометрия негіздері Сабақ кестесі: Оқу тоқсаны 15 оқу аптасынан жəне 2 сынақ аптасынан тұрады. Аптасына 2 кредит-сағат жоспарланады, оның əрбір кредит-сағат бір байланыс сағатынан ( дəріс, практика) жəне оқытушының басқарумен жүретін студенттердің өзіндік жұмысынан (ОЖСӨЖ, СӨЖ) Сабақт ар Байланы с сағаты 1 (дəріс 1) Өткізіл Сабақтар у уақыт ы 50 мин. Байланыс сағаты 2 Практикал ық сабақ 1 сағат Өткізіл у уақыты Сабақт ар 50 мин. СОӨЖ 2 сағат Өткізілу уақыты мин. Сабақт ар СӨЖ 2 сағат Өткізіл у уақыты мин Оқу жоспарынан көшірме: Курс Семестр Кредит саны Дəрістер Семинарлар ОЖСӨЖ СӨЖ Барлығы Бақылау түрі емтихан Кіріспе Грек оқымыстысы Евклид геометрияны меңгеру кезінде бірінші рет аксиоматикалық əдісті қолданды əсіресе, соңғы екі ғасырда координаттар əдісі шексіз аз шамалар талдауларымен евклидті емес геометрияның пайда болуына байланысты

4 математиктер осы облыста үлкен табыстарға жетті. Г. Вейль, Н. И. Лобачевский, Гитьбердтің əрқайсысы өз аксиомалар жүйесін ұсынды. Аксиоматикалық əдістің алғашқы ұғымдарымен оқушылар мектеп геометрия курсын оқыған кезде танысады. Курстық қысқаша сипаттамасы. Пəнді оқытудың мақсаты-бұл курсты оқу нəтижесінде басқа пəндерді математикалық талдау, математикалық логика, математиканы оқыту əдістемесі жəне т.б. пəндерді саналы түрде менгерту.геометриядағы негізгі əдістер жəне тұжырымдармен болашақ мектеп оқушыларын таныстыру. Пəнді оқытудың міндеттері: Кеңістік, логикалық жəне алгоритмдік ойлауды дамыту; Негізгі методикалық көзқарасын қалыптастыру; Геометрия негіздерінің негізгі зерттеу əдістерін меңгерту; Өзінше математикалық білімді кеңейту жəне аксиомалар жүйесімен математикалық структураларды талдай білу; Бізді қоршаған орта туралы көзқарастарын қалыптастыру. Оқушыларды, өз еркімен еңбектеніп оқуға тəрбиелеу. Пререквизиттер: мектеп математика курсы, аналитикалық геометрия, математикалық талдау, қазіргі табиғат тану ғылымдарымен экология туралы көзқарастар, фізика. Постреквизиттер: математика тарихы жəне методологиясы, математика оқыту əдістемесі, мамандыққа арналған пəндер. Сабақ кестесі Семестр 15 оқу аптасынан жəне 2апта сессиядан тұрады.аптасына 3 кредит сабағы :соның ішінде 1 контактлі сағат ( лекция, практикалық сағат) жəне 2 сағат оқытушымен жұмысы(ожсөж,сөж) 1 - апта Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Аксиоматиканың жалпы мəселелері Мазмұны: 1. Математикалық структура а) Бинар, тернар қатынастар б) Структура ұғымы, аксиомалары, базасы в) Структуралар теориясы г) Структураның моделі д) Аксиомалық əдіс 2. Аксиомалар жүйесінің интерпретациялары (моделдері) а) қайшылығы бар аксиомалар жүйесі ұғымы қайшылықсыз аксиомалар жүйесі ұғымы б) Аксиомалар жүйесінің интерпретациясы в) стрктураның моделі Əдебиет: [1], 4-бөлім, І-тарау, 1, 2

5 СОӨЖ тақырыбы: Структуралық изоморфизмі Мазмұны: 1. Изоморфты структуралар ұғымы 2. Изоморфты модельдер ұғымы 3. Жиынның автоморфизмі ұғымы Əдебиет: [1], 4-бөлім, І-тарау, 3 СОЖ тақырыбы: Тарау соңындағы есептерді шешу Əдебиет: [1], 4-бөлім, І-тарау Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Аксиомалар жүйесіне қойылатын талартар. Мазмұны: 1. Аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы 2. Аксиомалар жүйесінің тəуелсіздігі 3. Аксиомалар жүйесінің толықтығы Əдебиет: [1], 4-бөлім, І-тарау, 4 [2], 4-бөлім, І-тарау, 4 СОӨЖ тақырыбы: Структуралық изоморфизмі Мазмұны: 1. Изоморфты структуралар ұғымы 2. Изоморфты модельдер ұғымы 3. Жиынның автоморфизмі ұғымы Əдебиет: [1], 4-бөлім, І-тарау, 3 СОЖ тақырыбы: Тарау соңындағы есептерді шешу Апта 2 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Вейль бойынша евклидтік геометрияға негіздеме Мазмұны: 1. үш өлшемдік евклидтік кеңестікке арналған Вейль аксиомалары жүйесінің қайшылықсызлығы мен толықтығы. а) Евклидтік Е 3 кеңестік стрктурасы. Скаляр көбейтінді б) Вейль аксиомалар жүйесінің аксиомалары в) Вейль аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы туралы теорема г) Вейль аксиомалар жүйесінің толықтылығын негіздеу. Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІ-тарау, 5 [2], 4-бөлім, ІІ-тарау, 5 СОӨЖ тақырыбы: Түбірлердің, жазықтықтардың, кесінділердің, сəулелердің, бұрыштардың анықталуы. Мазмұны: 1. Түбірдің анықтамасы, векторлық теңдеуі 2. Жазықтықтың анықтамасы, векторлық теңдеуі 3. кесіндінің, сəуленің, бұрыштың анықталуы Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІ-тарау, 6 СОЖ тақырыбы: Планиметрияның кейбір теоремаларын дəлелдеу Мазмұны: теоремалар (1-6) Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІ-тарау, 7 Кредит сағат 2 Практикалық сабақ тақырыбы: Σ н жүйесінің І,ІІтоп аксиомаларын Вейль аксиомалар жүйесі теориясында теорема ретінде дəлелдеу Мазмұны: 1. Тиістілік аксиомаларын дəлелдеу 2. Рет аксиомаларын дəлелдеу

6 Əдебиет: [2], 71 СОӨЖ тақырыбы: Түбірлердің, жазықтықтардың, кесінділердің, сəулелердің, бұрыштардың анықталуы. Мазмұны: 1. Түбірдің анықтамасы, векторлық теңдеуі 2. Жазықтықтың анықтамасы, векторлық теңдеуі 3. кесіндінің, сəуленің, бұрыштың анықталуы Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІ-тарау, 6 СОЖ тақырыбы: Планиметрияның кейбір теоремаларын дəлелдеу Мазмұны: теоремалар (1-6) Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІ-тарау, 7 Апта 3 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Евклидке дейінгі геометрия. Мазмұны: 1. Мысыр жəне Вавилон елдеріндегі геометрия 2. Фалес Милетскийдің геометрияға қосқан үлестері 3. Пифагор мектебі 4. Демократтың геометрияға енгізген жаңалықтары Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІІ-тарау, 9, 10 СОӨЖ тақырыбы: Евклид «Бастамаларының» 13 кітаптарының əрқайсысында қарастырылған тақырыптар. Мазмұны: 1. Анықтамалар 2. Аксиомалар 3. Постулаттар Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІІ тарау 10 СӨЖ тақырыбы: Фалес, Евдокс, Пифагор, Платон, Демократ, Аристокль оқымыстылар туралы реферат дайындау. Əдебиет: [6], 1 Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Евклид «Бастамаларына» шолу. Мазмұны: 1. Евклид туралы 2. Евклид «Бастамаларының» мазмұны 3. «Бастамаларыдың» жазылу ерекшеліктері Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІІ тарау 10; [6], 1 СОӨЖ тақырыбы: Евклид «Бастамаларының» 13 кітаптарының əрқайсысында қарастырылған тақырыптар. Мазмұны: 1. Анықтамалар 2. Аксиомалар 3. Постулаттар Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІІ тарау 10 СӨЖ тақырыбы: Фалес, Евдокс, Пифагор, Платон, Демократ, Аристокль оқымыстылар туралы реферат дайындау. Əдебиет: [6], 1

7 Апта 4 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Евклид «Бастамалары». Евклид системасын сынау. 5 постулат. Мазмұны: 1. Бастамалардың кемшіліктері. 2.Евклид коментаторлары 3. 5-ші постулат проблемасы 4. Прокл, Валлис дəлелдемелері 5. 5-постулатқа эквивалентті сөйлемдер Əдебиет: [6], 4 СОӨЖ тақырыбы: 5-ші постулаттың дəлелдемелері Мазмұны: 1. Прокл дəлелдемесі 2. Валлис дəлелдемесі Əдебиет: [6], 5 СӨЖ тақырыбы: Евклид коментаторы туралы реферат Мазмұны: Прокл, Птолемей, посидонит, Валлис, Ломбарт, Лежантр, Ф.Бояй, Санкери, Насыр Эудин, Омар Хайям, Эл-Фараби. Əдебиет: [6], 6 Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: 5-постулатқа эквивалентті сөйлемдердің эквиваленттігін дəлелдеу Мазмұны: 1. Прокл, Плейфер, Валлис сөйлемдері 2. Лежандр,Ф.Бояй сөйлемдері 3.Посидонт,Лежандр сөйлемдері Əдебиет: [6], 5 СОӨЖ тақырыбы: 5-ші постулаттың дəлелдемелері Мазмұны: 1. Прокл дəлелдемесі 2. Валлис дəлелдемесі Əдебиет: [6], 5 СӨЖ тақырыбы: Евклид коментаторы туралы реферат Мазмұны: Прокл, Птолемей, посидонит, Валлис, Ломбарт, Лежантр, Ф.Бояй, Санкери, НасырЭудин, Омар Хайям, Эл-Фараби Əдебиет: [6], 6 Апта 5 Кредиттік сағат 1 Дəрістің тақырыбы: Евклидтік емес геометрияның ашылуы Дəрістің мазмұны: 1. 5 постулат проблемасын шешуге жақын келген оқымыстылар 2. 5 постулат проблемасын шешкен математиктер Əдебиет: [1], 4 бөлім, ІІ тарау, 12 [6], 6 СОӨЖ тақырыбы: 5 постулат прблемасын шешуге жақын клеген ғалымдар Мазмұны: 1. Санкери, 2. Ламберт, 3. Швейкерт, 4. Ламберт Əдебиет: [6], 6 СӨЖ тақырыбы: 5 постулат проблемасын шешкен математиктер

8 Мазмұны: 1. К.Гаус, 2. Я.Бояй, 3: Н.И.Лобачевский Əдебиет: [6], 6 Кредиттік сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Лобачевский жəне оның геомертиясы. Мазмұны: 1. Лобачевскийдің өмірбаяны 2. 5 постулат проблемасын шешкен математиктер 3. Лобачевский аксиомасы 4. Параллельдік бұрыш 5. Эквидистанта, Орицикл ұғымдары 6. Евклид геоиетриясы Лобачевский геометриясының жеке жағдайы. Əдебиет: [2], 70, [6], 7 СОӨЖ тақырыбы: 5 постулат прблемасын шешуге жақын клеген ғалымдар Мазмұны: 1. Санкери, 2. Ламберт, 3. Швейкерт, 4. Ламберт Əдебиет: [6], 6 СӨЖ тақырыбы: 5 постулат проблемасын шешкен математиктер Мазмұны: 1. К.Гаус, 2. Я.Бояй, 3: Н.И.Лобачевский Əдебиет: [6], 6 Апта 6 Кредиттік сағат 1 Дəрістің тақырыбы: Гильберт аксиомалар жүйесі. Салдарлары Дəрістің мазмұны: 1. Тиістілік аксиомалары 2. Рет аксималары 3. Конгруэнттік аксималары 4. Үздіксіздік аксималары 5. Параллельдік аксималары 6. Салдарлары, Əдебиет: [3], 713 СОӨЖ тақырыбы: Гильберт аксиомалар жүйесінің салдар теормалары Əдебиет: [3], 72 СӨЖ тақырыбы: Д. Гильберттің «Геометрия негіздері» кітабына шолу Əдебиет: [7]. Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Гильберт аксиомаларын пайдаланын есептер шығару Мазмұны: 1. I-II топ аксиомалары пайдаланылу 2. III-V топ аксиомалары пайдаланылу Əдебиет: [1],III тарау 11 СОӨЖ тақырыбы: Гильберт аксиомалар жүйесінің салдар теормалары Əдебиет: [3], 72 СӨЖ тақырыбы: Д. Гильберттің «Геометрия негіздері» кітабына шолу Əдебиет: [7].

9 Апта 7 Кредиттік сағат 1 Дəрістің тақырыбы: Евклид геометриясында көпбұрыштың ауданы Дəрістің мазмұны: 1.Сынық сызық, көпбұрыш. 2.Оринтирленген көпбұрыштың характеристикасы. 3.Характеритиканың қасиеттері 4.Көпбұрыштың ауданын өлшеу ұғымы 5.Көпбұрыштың ауданы бар жəне біреу болуы туралы. 6.Теңшамалас теңқұрамдас көпбұрыштар. Əдебиет: [3], 88,89 СОӨЖ тақырыбы: Көпбұрыштың ауданы бар жəне біреу болуы туралы теорема Əдебиет: [3], 89 СӨЖ тақырыбы: Характеристиканың қасиеттерін дəлелдеу Əдебиет: [3], 88,89 Кредиттік сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Кесіндінің ұзындығы Мазмұны: 1. Кесіндінің ұзындығын өлшеу ұғымы 2. Кесіндінің ұзындығы бар жəне біреу болуы туралы теорема Əдебиет: [3], 86,87 СОӨЖ тақырыбы: Көпбұрыштың ауданы бар жəне біреу болуы туралы теорема Əдебиет: [3], 89 СӨЖ тақырыбы: Характеристиканың қасиеттерін дəлелдеу Əдебиет: [3], 88,89 Апта 8 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Метрикалық кеңістіктер. Топологиялық кеңістіктер. Дəріс мазмұны: 1. Метрикалық кеңістіктің анықтамасы, мысалдары. 2. Ашық жиын, жиынның ішкі нүктесі. 3. Жиынның сыртқы нүктесі, шекаралық нүктесі. Шектелген жиын ұғымы. 4. Метрикалық кеңістіктің барлық ашық жиындарының жиынының негізгі қасиеттері. 5. Топологиялық кеңістіктің анықтамасы, мысалдары. 6. Топологиялық кеңістіктің базасы. Базаның негізгі қасиеті. 7. Жиынның тұйық болу шарты. 8. Ішкі топологиялық кеңістік. Əдебиет: [1], 35, 36. СОӨЖ мазмұны: Ішкі, сыртқы жəне шекаралық нүктелер. Жиынның шекарасы.[3],

10 СӨЖ Топологиялық кеңістіктің базасы. Базаның негізгі қасиеті. [3], Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Үздіксіз бейнелеу. Гомеоморфизм. Мазмұны: 1. Үздіксіз бейнелеудің анықтамасы. 2. Бейнелеудің үздіксіз болу шарты. 3. Гомеоморфизм анықтамасы. 4. Гомеоморфизм эквивалентті қатынас. 5. Гомеоморфты жиындардың мысалдары. 6. Гомеоморфизмнің қарапайым қасиеттері. 7. Топологиялық кеңістіктердің үш класы. Əдебиет: [1], 37, 38. СОӨЖ мазмұны: Үздіксіздік жəне гомеоморфизм.[3], СӨЖ мазмұны: Гомеоморфты жиындардың мысалдары. [3], Апта 9 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Скаляр аргументтің вектор функциясы. Дəріс мазмұны: 1. Вектор функцияның анықтамасы, шегі, үздіксіздігі. 2. Вектор функцияның туындысы. 3. Вектор функцияның координаттары. 4. Вектор функцияны дифференциялдау ережелері. 5. Лемма. 6. Вектор функцияның жоғары ретті туындылары. Əдебиет: [1], 48. СОӨЖ мазмұны: Бірөлшемді жəне екіөлшемді көпбейнелік.[3], СӨЖ Вектор функцияның координаттары. [3], Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Сызық ұғымы. Мазмұны: 1. Сызық туралы түсінік. 2. Элементар сызық. 3. Сызықтың анықтамасы. 4. Сызықтың нүктелерінің түрлері. Əдебиет: [1], 49. СОӨЖ мазмұны: Көпжақтар үшін Эйлер теоремасы. [4], бет СӨЖ Сызықтың теңдеулерінің түрлері [4], бет Апта 10 Кредит сағат 1

11 Дəріс тақырыбы: Тегіс сызықтар. Дəріс мазмұны: 1. Тегіс сызық ұғымы. 2. Бөлік тегіс сызық ұғымы. 3. Тегіс сызықтардың мысалдары. 4. Бөлік тегіс сызықтардың мысалдары. Əдебиет: [1], 50. СОӨЖ мазмұны: Қисықтың қисықтығы СӨЖ Қисықтың қисыктығын есептеу [3], Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Қисыққа жанама жəне нормаль. Мазмұны: 1. Қисыққа жүргізілген жанаманың анықтамасы. 2. Жанама туралы теорема. 3. Жанаманың əртүрлі теңдеулері. 4. Нормаль жазықтық. Əдебиет: [1], 51. СОӨЖ мазмұны: Қисықтың бұралуы.[3], СӨЖ Жанаманың теңдеуін құру [3], Апта 11 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Доғаның ұзындығы. Дəріс мазмұны: 1. Кеңістіктегі параметрлік теңдеумен берілген сызық доғасының ұзындығының формуласы. 2. Доға ұзындығы функциясының қасиеттері. 3. Сызықты табиғи параметрлеу. Əдебиет: [1], 51. СОӨЖ мазмұны: Қисықтың жылжымалы репері. [4], бет СӨЖ Доғаның ұзындығын есептеу [4], бет Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Қисықтың қисықтығы. Мазмұны: 1. Сызықтың қисықтығының анықтамасы, қисықтық радиусы. Қисықтың формуласы. 2. Қисықтық туралы теорема. 3. Сызықтың жылжымалы репері. Əдебиет: [1], 52. СӨЖ [2], СОӨЖ мазмұны: Беттегі сызықтың ұзындығы.[2], Апта 12

12 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Қисықтың бұралуы. Дəріс мазмұны: 1. Қисықтың бұралуының анықтамасы. 2. Бұралудың формуласы. 3. Жазық сызық, оның қасиеттері. 4. Сызықтың жазық болу шарты. Əдебиет: [1], 52. СОӨЖ мазмұны: Бет бойындағы екі сызықтың арасындағы бұрыш. [2], СӨЖ Френе формулалары қорту [2], Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Кез келген параметр жағдаында сызықтың қисықтығын жəне бұралуын есептеу. Мазмұны: 1. τ, ν, β векторларының формулалары. 2. Кез келген параметр жағдайында қисықтың формуласы. 3. Кез келген параметр жағдайында бұралудың формуласы. 4. Винттік сызық, оның қисықтығы жəне бұралуы. Əдебиет: [1], 53. СОӨЖ мазмұны: Беттің ауданы.[4], СӨЖ [4], Апта 13 Кредит сағат 1 Тақырыбы: Бет ұғымы. Дəріс мазмұны: 1. Екі скаляр аргументтің вектор функциясы. 2. Вектор функцияның шегі, үздіксіздігі, туындысы, дифференциалы. 3. Элементар бет ұғымы. 4. Бет ұғымы. 5. Кəдімгі нүкте, ерекше нүкте, жəй бет ұғымдары. 6. Беттің параметрлік теңдеулері, векторлық теңдеуі. Əдебиет: [1], 54 СОӨЖ мазмұны: Бет бойындағы сызықтың қисықтығы. [4], бет СӨЖ Беттің параметрлік теңдеулері, векторлық теңдеуі. [4], бет Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Тегіс беттер. Мазмұны: 1. Тегіс беттің анықтамасы. 2. Бет бойындағы нүктенің қисық сызықты координаталары. 3. Координаттық тор. 4. Беттің тегіс болу шарты. 5. Геликоид. Əдебиет: [1], 55 СОӨЖ мазмұны: Бас қисықтықтар. [2],

13 СӨЖ [2], Апта 14 Кредит сағат 1 Тақырыбы: Бетке жанама жазықтық жəне нормаль. Дəріс мазмұны: = 1. r r ( u, v) теңдеуімен берілген беттің бойындағы нүктеде жүргізілген жанамалар жиыны. 2. Бетке жанама жазықтық. 3. Жанама жазықтықтың əртүрлі теңдеулері. 4. Бетке нормаль, оның теңдеуі. Əдебиет: [1], 56 СОӨЖ мазмұны: Тұрақты қисықтықты бет.[2], СӨЖ Бетке жанама жазықтықтың теңдеуін құру [2], Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: беттің бірінші квадрат формасы. Мазмұны: 1. Бірінші квадрат форма. 2. Бет бойындағы сызық доғасының ұзындығы. 3. Бет бойындғы екі сызықтың арасындағы бұрыш. 4. Беттің бөлігінің ауданының формуласы. Əдебиет: [1], 57 СОӨЖ мазмұны: Геодезиялық сызықтар.[2], СӨЖ [2], апта Кредит сағат 1 Тақырыбы: Беттің екінші квадрат формасы. Дəріс мазмұны: 1. Екінші квадрат форма. 2. Нормаль қисықтық. 3. Беттің қисығының инкатрисасы. Əдебиет: [1], 58 СОӨЖ мазмұны: Винттік сызық.[2], СӨЖ Беттің екінші квадрат формасын есептеу [2], Кредит сағат 2 Практикалық сабақтың тақырыбы: Екінші квадрат форма. Мазмұны: 1. Беттің екінші квадрат формасы. 2. Сфералық бейнелеу. 3. Нормаль қисықтық. Əдебиет: [4], СОӨЖ мазмұны: Винттік сызықтар [4], СӨЖ [4],

14 Геометрия негіздері пəні бойынша əдебиеттер тізімі: 1. Базылов В. Т., Дуничев К.И. Геометрия,ІІ бөлімі Алматы, Атанасян Л.С.,Базылов В.Т. Геометрия, ІІ часть, Москва, Погорелов А.В. Геометрии М., Александров П.С. Основания геометрии М. 5. Ефимов Н.В. Высшая геометрия М., Кенжегулов Х. К. Геометрия негіздерін құру тарихына шолу 7. Атанасян Л.С. Геометрия. М., Просвещение, ч. І., Атанасян Л.С.,Гуревич Г.Б. Геометрия. М., Просвещение, ч. ІІ., Атанасян Л.С. Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии М., Просвящение, 1973 ч.і 10. Погорелов А.В. Дифференцияльная геометрия. М., Наука Сборник задач по геометрии/ Под ред. В.Т. Базылева. М., 1980 Қосымша əдебиеттер 1. Дубровин Б.А., Новикрв С. П.., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М., Наука Егоров И.П. Геометрия М., Егоров И.П. Основания геометрии. М., Погорелов А.В. Основания геометрии М., Наука Пəн бойынша тапсырмаларды орындау жəне тапсыру кестесі. Жұмыс түрі Тапсыр маның мақсаты мен мазмұн ы Ұсынылат ын əдебиеттер Орындау мерзімі жəне тапсыру уақыты (аптасы) Балл Бақылау түрі 1 Үй тапсырмас ы (СОЖӨЖ) Сараптау жəне танымал қабілетін дамыту Силлабус бойынша тақырыпқа арналған əдебиеттер Əр апта сайын СОӨЖ тақырыбы бойынша кестге сəйкес 100 Реферат 2 Коллоквиу м Теориял ық сұрақтар ды меңгеруі н тексеру Силабуста көрсетілген 7-апта жəне 14- апта 100 Реферат 3.. Жеке Теориян Силабуста 5-апта жəне Реферат

15 тапсырма 4 Бақылау жұмысы ың қолданы луын,сту денттің тақырып ты меңгеру қабілетін тексеру Деңгейл енген тапсырм аларды орындау қабілетін тексеру көрсетілген Силабуста көрсетілген апта 6-апта жəне 13- апта 100 Реферат 4. ПƏННІҢ ОҚУ-ƏДІСТЕМЕЛІК ҚАМТЫЛУ КАРТАСЫ Барлығы Əдебиет атауы кітапханада кафедрада Студенттердің қамтылу пайызы (%) Электронды түрі Ескерту Базылов В. Т., Дуничев К.И. Геометрия,ІІ бөлімі 4 экз. Алматы, Атанасян Л.С.,Базылов В.Т. Геометрия, ІІ часть, 30 экз. Москва, Погорелов А.В. 5 экз Геометрии М., Александров П.С Основания геометрии М. 0 5 Ефимов Н.В. Высшая геометрия М., Кенжегулов Х. К. Геометрия негіздерін құру 8 экз

16 тарихына шолу 7 Атанасян Л.С. Геометрия. М., Просвещение, ч. І., Атанасян Л.С.,Гуревич Г.Б. Геометрия. М., Просвещение, ч. ІІ., экз. 7 экз Дəрістік кешен 1 - апта Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Аксиоматиканың жалпы мəселелері Мазмұны: 1. Математикалық структура а) Бинар, тернар қатынастар б) Структура ұғымы, аксиомалары, базасы в) Структуралар теориясы г) Структураның моделі д) Аксиомалық əдіс 2. Аксиомалар жүйесінің интерпретациялары (моделдері) а) қайшылығы бар аксиомалар жүйесі ұғымы қайшылықсыз аксиомалар жүйесі ұғымы б) Аксиомалар жүйесінің интерпретациясы в) стрктураның моделі Əдебиет: [1], 4-бөлім, І-тарау, 1, 2 Аксиоматиканың жалпы мəселелері 1. Математикалық структура туралы ұғым 1. Қатынас ұғымын еске түсірейік. Ешқайсысы бос жиын болмайтын М 1, М 2,... М n жиындары берілсін. Кез келген M 1 M 2... M n бөлімше жиын М 1, М 2,... М n жиындарының ішінде анықталған n-ар (немесе n- орынды) қатынас деп аталады. Егер ( m 1, m2... m n ) болса, онда m m,... m элементтері қатынасында дейді. 1, 2 m n, мұнда ( i M i ) Егер M = M =... = M = n 1 2 n M жəне сондықтан, M 1 M 2... M n = M болса (мұнда n n M дəрежесі М жиынының n-нші декарттық дəрежесі), онда M n-ар қатынасы М жиыны ішінде анықталған дейді. M 1 M 2 бинар қатынас болған жағдайда ( n= 2)( m1, m2) орнына m 1 m2 деп жазады. Егер E Øжиыны үстінде ϕ : E E E 3 Алгебралық операция (композицияның ішкі заңы) анықталған болса, онда оны E бөлімше = a, b, c E 3 ϕ a, b = c ретінде алып, Е жиынының ішінде анықталған { } жиын арқылы, мұнда ( ) ( ) тернар қатынас ( n= 3) ролінде қарастыруға болады. Егер Е жиынының үстінде операторларының жиыны Λ болатын f: Λ E E

17 Композициясының сыртқы f заңы анықталса (мультипликативтік түрде жазғанда f болады), онда оны Λ E E бөлімше жиын арқылы, = ( λ a, b) Λ E Eλa= { b} ( λ, a) = λa, ретінде алып, Λ, E жиындарының ішінде анықталған тернар қатынас ролінде қарастыруға болады. 2. Егер біз M 1 M 2... M n декарттық көбейтіндіден əр түрлі екі бөлімше жиын, мысалы, 1 мен 2 бөліп шығарсақ, онда біз М 1, М 2,... М n жиындарының системасында əр түрлі екі қатынасты анықтаймыз. 1 2 болғандықтан, 1 қатынасының 2 қатынасынан қасиеттері бойынша өзгешелігі болмай қоймайды. Сонымен, P ( M 1 M 2... M n ) жиынындағы əр түрлі элеметтердің саны қанша болса, М 1, М 2,... М n жиындарының системасында сонша əр түрлі қатынас болады. Егер M i жиындарының ең болмағанда біреуі шексіз жиын болса, онда олар арқылы анықталатын қатынастардың саны шексіз болады. Сондықтан берілген М 1, М 2,... М n жиындарының системасындағы болуға мүмкін қатынастардың бəрінің қасиеттерін зерттеп білу жөнінде мəселе қою өнбес іс болады, одан жемісті нəтиже шықпайды. Математика (оның дамуы практиканың талаптарына қарай анықталғандығы мəлім) өзінің алдына ондай мақсат қоймайды да. Математиктер белгілі бір мағынада мəселені керісінше қарастырады деуге болады: олар қасиеттері алдын ала берілген (бізге қажет қасиеттері берілген) қатынастары болатын жиындарды іздеп тауып, соларды зерттейді. 3. Бос емес əр түрлі жиындардыңбір шекті системасын алайық. Қарапайымдылық үшін үш жиынды E, F, G жиындарын аласақта болады. E, F,G жиындарының системасында анықталатын қатынастарды 1, 2,..., k арқылы белгілейік. Бұл қатынастарды E F G декарттық көбейтіндінің алдын ала берілген бөлімше жиындары ретінде қарастырмай-ақ, тек айқын тұжырымдап, берілген A 1, A2,..., A t (1) Қасиеттерді қанағаттандыруы туралы ғана талап қояйық. Берілген қасиеттерді қанағаттандыратын { 1,..., k} = σ қатынастарының системасы бір емес, болуы да мүмкін (өйткені j E F G( j = 1,2,..., k) бөлімше жиындары бірнешеу болуы мүмкін). Мұның бір қарапайым мысалы мынадай. - нақты сандардың R жиыны үстінде анықталған алгебралық операция болсын ( 3 операциясын R қатынасы ретінде қарастыруға болатындығы жоғарыда айтылған), біз осы қатынастың мынадай қасиеті болуын талап етейік: A1 : ( a, b) = ( b, a), a, b R (коммутативтік). R жиынының үстінде болатын екі коммутативтік операция бар (басқаша айтқанда, А 1 қасиеті бар қатынасының екі мəні болады), олар нақты сандардағы ` - қосу жəне ` - көбейту. Əрқайсысының алдын ала берілген (1) қасиеттері болатын 1, 2,..., k қатынастарының барлық σ = { 1,..., k } системаларының жиынын Т арқылы белгілейік. Егер Т Ø болса, онда σ T элементі E, F, G жиындарының үстінде Т текті структураны (дəлірек айтқанда Т текті математикалық структураны) анықтайды дейді. Т жиынын анықтайтын, айқын түрде тұжырымдалған (1) қасеттер Т текті структураның аксиомалары деп аталады, E, F, G жиындары Т текті структураның базасы деп аталды. Тектері бірдей бірнеше структураға бір арнайы атау беріледі, мысалы: грппалар структурасы, n өлшемді евклидтік кеңістіктің структурасы т.с.с. Мысал (группалар структурасы). Базасы бір ғана Е Ø жиынынан тұрады, қатынастар системасы бір ғана қатынасынан тұрады, ол төмендегі төрт аксиоманы қанағаттандырады: А 1 : қатынасы - Е жиыны үстінде анықталған алгебралық операция; A2 : ( ( a, b), c) = ( a, ( b, c) ), a, b, c E ( ассоциативтік); A3 : a E ( a, e) = ( e, a) = a, a E (бейтарап элементтің болуы); ( a, a ) = ( a a) e A 4 : a E a E, = (а элементіне симметриялы a элементінің болуы). Белгілі текті структура анықталған жиынға арнайы атау беріледі. Сонда жоғарыда қарастырылған мысалда біз «Е группа» дейміз, ал толық түрде айтқанда былай деу керек: «Е жиыны үстінде группа структурасының текті структурасы анықталған».

18 Егер база бірнеше жиыннан, мысалы үш, атап айтқанда E, F, G жиындарынан құралса, онда əдетте олардың біреуі, мəселен Е жиыны, басты роль атқарады. Ондай да бұл структуралар Е жиыны үстінде анықталған дейді де, F пен G жиындарын көмекші жиындар ретінде қарастырады. Мəселен, берілген К өрісі үстіндегі n -өлшемді векторлық кеңістікің структурасын анықтағанда база екі жиыннан, атап айтқанда, V жиыны (оның элементтері векторлар) мен К жиынынан құралады, бірақ онда К көмекші роль атқарады. 4. Т текті структуралар теориясы дегеніміз - əрқайсысы Т-ні анықтайтын аксиомалардың логикалық салдары болып табылатын сөйлемдердің (теоремалардың) Г(Т) жиыны. Группалар теориясы, сақиналар теориясы, аффиндік кеңістіктердің теориясы (геометриясы) евклидттік кеңістіктердің геометриясы т.с.с.осындай Т текті структуралардың теориялары болып табылады. Математикада математикалық структуралар ғана зерттеледі. Оның негізгі əдісі аксиоматикалық əдіс: онда əрбір тектің структурасы өзіне сəйкес аксиомалардың тізімі бойынша анықталады, одан əрі таза логикалық жолмен сол тектің структурасының теориясы жасалады. Сонымен, қазіргі заманғы математика, көптеген тараларға жəне бір қарағанда зерттеулердің бірінен-бірі алшақ əр түрлі бағыттарына бөлініп кететін білімдердің ұлан-байтақ саласы болып көрінетіндігіне қарамастан, біртұтас ғылым дей аламыз. Оның зерттеу пəні математикалық структуралар жиыны, оның негізгі аксиоматикалық əдіс. 2. Аксиомалар системасының интерпретациялары (модельдері) 1. Əрбір Е жиыны үстінде кез келген структураны анықтауға болады деп ойламау керек. E = 0,1,2,3,4,5 жиыны үстінде R өрісі үстіндегі n өлшемді векторлық кеңістік Мысалы, { } стркутурасын анықтауға болмайды, алайда ол структура R n = R R... R (n рет) жиыны үстінде оңай анықталады. Сондықтан математикалық структураны анықтағанда Т=Ø жағдайы екі себептен туады, ол себептер мынадай: а) берілген база қажетті текті структураны құруға мүмкіндік бермейді, бірақ базаны басқа бір жолмен таңдап алғанда структура құрылады; б) қажет структураны құруға мүмкіндік беретін база болмайды (база қалай алынса да, Т=Ø бола береді). Соңғы жағдайда Т жиынын анықтайтын A 1, A2,..., At аксиомалары системасының қайшылығы бар дейді. Ал егер қарастырылған структураны анықтайтын база болса (демек, Т=Ø болса), онда ол аксиомалардың системасын қайшылықсыз дейді. 2. 1, 2,..., k қатынастарына нақты мағына береліктей жəне A 1, A2,..., At аксиомалары орындалатын бір нақты М жиыны табылды делік (демек, М жиыны үстінде Т текті структура анықталады делік). Ондайда A 1, A2,..., At аксиомалары системасының өзін Т текті структураның моделі дейді. Мысал. М жиыны элеметтері нақты сандар болатын екінші ретті квадрат матрицалар жиыны болсын. Əдеттегі əдіспен матрицаларды қосу жəне оларды R өрісіндегі нақты сандарға көбейту операцияларын қолданып, М жиыны нақты сандардың R өрісі үстіндегі 4 өлшемді векторлық кеңістіктің моделі болатындығын көреміз. Сонымен, A 1, A2,..., At аксиомалары системасының қайшылықсыздығын дəлелдеу үшін оның əйтеуір бір интерпретациясын құру жеткілікті болады. Ескертпе. Егер Т текті структураларды анықтайтын база болса, онда ол текті структуралардың A 1, A2,..., A t аксиомалары системасы қайшылықсыз система (басқаша айтқанда, берілген аксиомалар системасының интерпретациясын құруға болатын система) деп аталады дедік. Кейде аксиомалардың мұндай системасын мағынасы бойынша қайшылықсыз система деп атайды. Егер системадан логикалық жолмен бірі екіншісін теріске шығарарлық екі түрлі қорытынды жасалмайтын болса, онда аксиомалардың ол системасын ішкі қайшылықсыз система деп атайды. Берілген аксиомалар системасының ішкі қайшылықсыздығын тексеру үшін аксиомалардан шығатын логикалық сөйлемдердің қорытылу техникасын зерттеу керек. Бұл мəселе математикалық логиканың негізгі есептерінің бірі болып табылады. Біз бұл арада мына бір мəселені ғана атап

19 өтеміз. Егер аксиомалар системасының мағынасы бойынша қайшылықсыз екендігі мəлім болса, яғни оның интерпретациясы құрылған болса, онда ол аксиомалар системасының ішкі қайшылықсыздығы жөніндегі проблема сол интерпретацияны құрғанда пайдаланылған ұғымдар системасының ішкі қайшылықсыздығы жөніндегі мəселеге келтіріледі. Егер бұл ұғымдар системасының ішкі қайшылықсыздығы мəлім болса, онда берілген аксиомалар системасының мағынасы бойынша қайшылықсыздығын да дəлелдеген боламыз. Сонымен, егер математикалық логика заңдылықтары арқылы логикалық қорытындылар шығару техникасын зерттеп қарастырмай, тек геометрия мəселелерімен шектелсек, біз аксиомалардың берілген системасының мағынасы бойынша қайшылықсыздығы жөніндегі мəселені ғана шеше аламыз. 3. Структуралардың изоморфизмі 1. A 1, A2,..., At аксиомаларының системасы қайшылықсыз (мағынасы бойынша) жəне, сондықтан, негізгі қатынастары 1, 2,..., k болатын Т текті структураларды анықтайтын болсын. M жиыны үстінде j қатынастарға нақты 1, 2,..., k мағыналар берілсін де, солар бойынша A 1, A2,..., At аксиомаларының бəрі де орындалатын болсын. Сонда M жиыны үстінде σ T структурасы анықталады деуге болады. Сондай əдіспен M жиыны үстінде j қатынастарының нақты 1, 2,..., k мағыналары болатындай σ T структурасы анықталсын. Егер f : M M ( x, y,..., v ) j ( f( x ), f( y ),..., f( v )) j, яғни x, y,... v M элементтері j қатынасында, оларға сəйкес f x, f y,... f v элементтері j қатынасында биекция бар ( ) ( ) ( ) M болса (əдетте изоморфизм деп аталатын), онда σ жəне σ структуралары изоморфты структуралар деп аталады (ал M жəне M модельдері изоморфты модельдер деп аталады). Мысал. Т абельдік группа структурасының тегі болсын. Осы тектегі нақты екі структураны қарастырайық: σ - аддитивтік группа ретінде нақты сандардың R жиыны, σ - мультипликативтік групп ретінде оң сандардың R жиыны. заңы арқылы берілетін ln xy ln x+ ln * + * ( x) = x, x R f ln + * f : R + R биекциясын қарастырайық. f xy = f x + f y, демек, σ жəне σ структуралары ( ) = y болатындықтан, ( ) ( ) ( ) * изоморфты структуралар болады (немесе, кейде айтылатынындай, R мен R + группалары изоморфты группалар дейді). Үстінде σ структурасы анықталған М жиынының өзіне - өзінің изоморфизмі сол жиынның автоморфизмі деп аталады. Мысал. n - өлшемді векторлық кеңістік үстінде анықталған əрбір азғындамайтын сызықтық оператор сол кеңістіктің автоморфизмі болып табылады. (Өздеріңіз тексеріңіздер). 4. Аксиомалар системасына қойылатын талаптар 1.Біз бір A 1, A2,..., At аксиомаларының системасын тұжырымдадық делік. Ол аксиомалар системасы арқылы анықталатын Т текті структуралар туралы сөз етуден бұрын Т Ø екенін (яғни осы текті структуралар болатындығын жəне берілген аксиомалар системасының мағынасы бойынша қайшылықсыздығын) тексеру керек. Ол үшін аксиомалардың осы системасының бір интерпретациясын құру жеткілікті болатындығын білеміз. Интерпретацияны құрғанда біз системаның ішкі қайшылықтары болмайтындығына көзімізді əбден жеткізетін «жеткілікті түрде сенімді» ұғымдарды ғана пайдалануымыз керек. Тек сол жағдайда ғана A 1, A2,..., At аксиомаларының системасы ішкі қайшылықсыз болады жəне Т теориясынан, біз ол теорияны қайшылықты ұзаққа дамытсақ та, бірін бірі теріске шығаратын екі теорема шықпайды.

20 Егер A 1, A2,..., At аксиомаларының системасы қайшылықты болса (яғни Т=Ø), онда ол система ешқандай структураны анықтамайды: қатынастарында A 1, A2,..., At қасиеттері болалық база - E, F, G жиындары болмайды. Сондықтан аксиомалардың ондай системасы пайдасыз болады, айтуға тұрарлық нəтиже бермейді. Жоғарыда айтылғандай, аксиомалар системасының ішкі қайшылықсыздығы жөніндегі мəселені тек математикалық логика заңдылықтары арқылы ғана шешуге болады. Геометрияда қарастырылатын аксиомалар системаларының структураларын анықтайтын интерпретациялар құрғанда біз əр түрлі сандар жиындарын пайдаланамыз, онда арифметикадан алынатын ұғымдарды «өте-мөте сенімді» ұғымдар деп есептейміз. Сондықтан берілген A 1, A2,..., At аксиомалары системасының қайшылықсыздығын, математикалық логика заңдылықтарына жүгінбей-ақ, біз мына ұйғарымға келеміз. «Егер арифметика қайшылықсыз болса, онда A 1, A2,..., At аксиомаларының системасы да қайшылықсыз». = A A,..., аксиомаларының системасы айқын тұжырымдалған, базаның E, F, G 2. Бізге { } 1, 2 A t жиындары үстінде анықталатын 1, 2,..., k қатынастары қанағаттандыратын, талаптардың тізбесі екендігі мəлім, бірақ мұндағы қатынастардың өздері E F G декарттық көбейтіндінің бөлімше жиындары ретінде анықталып берілмеген. аксиомаларының системасы 1, 2,..., k нақты қатынастардың σ = { 1, 2,..., k} системаларының системасындағы аксиомаладың бəрін де қанағаттандыратын бүкіл Т жиынын анықтайды. Аксиомалардың системасы қайшылықсыз болсын, басқаша айтқанда, Т текті структуралардың (Т) теориясын құру мүмкін болсын.cонда мынадай сұрақ туады: берілген текті структураларды анықтау үшін системасындағы аксиомалардың бəрі де қажет пе, яғни, Т жиынын өзгертпей, айтылып отырған аксиомалардың санын кемітуге болмас па екен? А аксиомасы системасындағы аксиомалардың бірі жəне = \{ A} болсын. Егер системасының кез келген интерпретациясы системасының да интерпретациясы болып табылса (демек, системасы да сол Т жиынын анықтайтын болса), онда А аксиомасы системасының қалған аксиомаларына тəуелді аксиома деп аталады. Бұл жағдайда системасының аксиомалары орындалса, А аксиомасы да орындалады. Демек, (Т) теориясында А сөйлемі системасындағы қалған аксиомалардың салдары болады. системасындағы бір А аксиомасын оны теріске шығаратын A аксиомасымен (бұл белгі «А * емес» деп оқылады) ауыстырайықта, аксиомалардың содан кейін құралған жаңа системасын деп белгілейік. Сонда: = { A} *. * системасының əрбір интерпретациясы системасының да интерпретациясы болады. Егер А аксиомасы ( A аксиомасы да орындалатын) * системасының интерпретациясында да орындалуға тиіс. Бірақ j қатынастарының қайсысы болса да əрі А, əрі A аксиомаларының қасиеттеріне қатарынан ие бола алмайды. Сондықтан, А аксиомасы * системасының қалған аксиомаларына тəуелдіболса, онда аксиомалардың системасы қайшылықты болып шығады (яғни оның интерпретациясы болмайды) Сонымен, A аксиомасының системасындағы қалған аксиомаларға тəуелсіздігін дəлелдеу үшін, аксиомалардың * = ( \{ A} { A} ) системасы мағынасы бойынша қайшылықсыз болатындығын дəлелдеу жеткілікті. Мысал. Абельдік группалар структурасын анықтайтын аксиомалардың системасы А 1 -А 4 аксиомаларынан ( 1, п 0 3) жəне A5 : ( a, b) = ( b, a), a, b E аксиомасынан құралады. А 5 аксиомасының А 1 -А 4 аксиомаларына тəуелсіз екендігін дəлелдейік. * = A, A, A, A, A5 системасының қайшылықсыздығын дəлелдеу Ол үшін аксиомалардың { } 1 жеткілікті, мұндағы A 5 аксиомасы А 5 аксимасының терістеуі, атап айтқанда ( a, b) ( b a) A : a, b E,. 5

21 * Алайда системасының қайшылықсыздығы коммутативті емес группалардың болуынан шығады (мысалы, реті n 2 болған жағдайда нақты сандардың R өрісі үстіндегі азғындамаған квадрат матрицалардың GL ( n, R) мультипликативтік группасы комутативті болмайды). Ескертпе. Егер А аксиомасы системасындағы қалған аксималарға тəуелсіз болса, онда * * аксиомаладың системасы қайшылықсыз болады жəне ол Т текті структуралардан өзгеше T текті структураларды анықтайды. Ондай жағдайлармен ІІІ тарауда, Гильберт аксиомаларының системасын қарастырғанда, кездесеміз. 3. 1, 2,..., k қатынастарының қасиеттерін сипаттайтын аксиомалардың қайшылықсыз системасы берілсін. Төмендегі шарттарды қанағаттандыратын А аксиомасы бар делік: а) А аксиомасы жаңа қатынастар тудырмайды; б) ол системасының аксиомаларына тəуелсіз; в) аксиомалардың { A} системасына қайшылықсыз. Осы үш шарт орындалғанда аксиомалардың системасы толымсыз система деп аталады. Ал, егер ондай А аксиомасы болмаса, онда системасы аксиомалардың толық системасы деп аталады. Аксиомалардың системасы толымсыз босын, яғни жоғарыда айтылған а), б), в) шарттарды қанағатандыратын А аксиомасы табылсын. Сонда в) шарт бойынша аксиомалардың = { A} системасы қайшылықсыз болады, ал б) шарт бойынша А аксиомас системасындағы системасы да қайшылықсыз болады. системасының интерпретацияларының бірін M арқылы, системасының интерпретацияларының бірін M арқылы белгілейік. жəне болғандықтан, M пен M интерпретациялары да аксиомалардың системасының интерпретациялары болып табылады. Бірақ M интерпретациясында А аксиомасы орындалып, M интерпретациясында A аксиомасы («А емес») орындалатындықтан, системасы үшін M пен M интерпретациялары изоморфты болмайды. Сонымен, аксиомалардың системасы толымсыз болса, онда оның өзара изоморфты болмайтын интерпретациялары болады. Сондықтан, аксиомалардың системасының толық екендігін (яғни толымдылығын) дəлелдеу үшін, оның барлық интерпретациялврыныңөзара изоморфты екендігін дəлелдеу жеткілікті болады. 1-мысал. Біз кітаптың 2 бөлімінде R өрісі үстіндегі барлық n - өлшемді аффиндік кеңістікке аксиомаларға тəуелсіз болғандықтан, аксиомалардың = { A} арналған Вейль аксиомаларының {,2} 1 системасы толық система болады. R өрісі үстіндегі n - өлшемді евклидтік E кеңістікке арналған Вейль аксиомаларының { 1,2,3} n системасының да толымдылық қасиеті болады. Бұл жəйт тосын адамға қисынсыз болып көрінуі мүмкін: E n кеңістігі аксиомаларының системасы 3-аксиоманы қосу арқылы A n кеңістігі аксиомаларының системасынан құрастырылатын еді ғой. Мəселе мынада: айтылып отырған 3-аксиома системаға жата қатынас көрушілер кеңістігінде векторлардың ортогональдық қатынасын енгізеді. Сондықтан 1,2,3 аксиомалары E n кеңістігінің { } A кеңістігінің {,2} 1 аксиомалары анықтайтын Т анықтайтын T структурасының тегі n структурасының тегінен өзгеше болады жəне T T болады. 2-мысал. Группалап структурасын анықтайтын А 1 -А 4 аксиомаларының системасына жаңа қатынас енгізбейтін жəне алдыңғыларға тəуелсіз А 5 аксиомасын қосу арқылы қайшылықсыз А 1 -А 5 аксиомаларының системасын құруға болатындығы А 1 -А 4 аксиомалары системасының толымсыздығы жөнінде қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Аксиомалардың системасы қайшылықсыз жəне Т текті структураларды анықтайтын болсын. Егер осы структуралардың бəрі изоморфты болса, онда (Т) теориясынбір мəнді теория дейді. Ал, Т текті структуралардың кейбіреулері ғана изоморфты болып, кейбіреулері изоморфты болмаса, онда (Т) теориясын көп мəнді теория дейді. Біз енді A n кеңістігінің геометриясы мен E n кеңістігінің геометриясы бір мəнді теориялар, ал группалар теориясы көп мəнді теория дей аламыз. «Көп мəнді теорияларды зерттеу қазіргі

22 математиканың классикалық математикадан айырмашылығын сипаттайтын ең көрнекті белгісі» (Н.Бурбаки). Қазіргі аксиомалау əдісінің пайда болуы. XIX-ғасырда геометрия мəселелері қарқынды түрде зерттеле бастады, оның ішінде геометрия негіздері, дифференциалдық геометрия, проективтік геометриялар айрықша дамыды. Басында мақсаттары, əдістері əртүрлі болғанмен ғасыр аяғында олар тығыз жақындасып, кейбір мəселелерді қарастыруда бірігіп кетті. Бұл үлкен табыстарға жеткізді, жаңа проблемалар туғызды, олар осы күндерге дейін зерттелуде. Геометрия негіздерінің екі бас мақсаты бар. 1.Геометрияны мүмкіндігінше аз санды аксиомаларға таянып логикалық түрде құру. 2. Геометрия сөйлемдерінің арасындағы логикалық тəуелділікті тексеру. Бұл мақсаттарды жүзеге асыруды Евклид бастап, оның комментаторлары жалғастырған болатын. 5-постулат проблемасын шешуге арналған зерттеулер осы постулаттың басқаларынан тəуелділігі туралы болған еді, сондықтан бұлар геометрия негіздеріне жатқызылады. Лобачевский 5-постулаттың қалғандарынан тəуелсіздігін дəлелдеп, геометрия негіздерінің іргелі мəселесінің бəрəн шешті жəне геометрия мағынасын түсінуді кеңейтіп, оны негіздеу мақсаттарын жаңартып қойды. Бұл бағытта маңызы күшті келесі жұмыстың авторы Б.Риман болды. Ол өзінің 1854ж. басылған «Геометрия негіздерінің болжамдары туралы» деген еңбегінде геометрияның аналитикалық принциптерін дамыта отырып, Евклид, Лобачевский геометрияларынан басқа жаңа геометриялық теория жасады. Бұл геометрияда түзуде жатпайтын нүкте арқылы сол түзуге паралель болатын бірде-бір тузу жүргізуге болмайды, үшбұрыш бұрыштарының қосындысы екі тік бұрыштан артық болады. Сөйтіп, Риман абсолют геометрия аксиомалар жүйесін өзгертіп жіберді. Сонымен, XIX-ғасырдың ортасында геометрия негіздерін құру бағытында елеулі жұмыстар істеліп жарияланды. Бірақ, элементар геометрияның толық аксиомалар жүйесі əлі де болса құрылмаған еді. Бұл жұмыспен көптеген ғалымдар, атап айтқанда Паш, Пеано, Пиери, Гильберт, Вейль, Бахман, т.б. айналысқан. Олардың ішінде ерекше орын алатын Д.Гильберттің «Геометрия негіздері» /1899ж/ деген еңбегі. Бұл еңбектің авторы 1903 жылы халықаралық Лобачевский атындағы сыйлықтың лауреаты болды. Гильберт бұл кітабында Евклид геометриясының толық аксиомалар жүйесін айқындап, геометрияны логикалық жолмен құруды бірінші рет мүлтіксіз орындады, жəне ол ұсынылған аксиомалардың тəуелсіз екенін дəлелдеп көрсетті. Гильберттен кейін де геометрия аксиомалар жүйесін құру жұмысымен айналысқан адамдар болды, олардың ішінде елеулілері деп Вейль мен Бахманды атауға болады. Қазіргі кездегі аксиомалау əдісінің Евклид «Бастамаларынан» түбірлі өзгешелігі бар. Негізгі геометриялық ұғымдардың сипаттамасы немесе анықтамасы болмайды, тек сондай тетіктер жиыны бар деп есептеледі. Мысалы, Гильберт аксиомалар жүйесінде «нүктелер», «түзулер», «жазықтықтар» жиындары құр емес деп жарияланады. Олар айқын тағайындалған шарттарды қанағаттандыруы керек. Ондай шарттар мыналар: 1.Нүктелер, түзулер, жазықтықтар, олардың кейбір ішкі жиындары /кесінділер, бұрыштар/ үшін тиісті "тиісті", "арасында","тең" деген қатынастар тағайындалған. 2.Бұл тетіктер, қатынастар қабылдаған аксиомаларды қанағаттандыруы керек. Таңдалған негізгі ұғымдар, қатынастар, аксиомалардың түпкі тамыры тəжірибеден шығады, бірақ осыларға сүйеніп геометриялық теория құру үшін олардың аксиомаларда тағайындалған логикалық қатынастан басқа қасиеттері, мысалы, түр-

23 түсі көрнекілігі керек емес, ондай қасиеттер аксиомаларда еске алынбайды.сондықтан "нүкте ", "түзу", "жазықтық " дегендер не болса да бəрі бір, тек олардың өзара қатынастары аксиомаларда қойылған талаптарды қанағаттандырса болғаны. Геометрияның негізгі ұғымдарына осындай көзқарастың қалыптасуы төмендегі жайттарға байланысты. 1.Геометрия ұғымдары тəжірибеге негізделіп қалыптасқанмен бертін келе абстрактылық сатыға көтеріліп, өздерінің физикалық жəне басқа қасиеттерінен толық арылып, тек логикалық қатынастарын сақтап қалды. "Нүкте", "түзу", "жазықтық "сияқты сөздер айтылғанда ойға келіп, көзге елестейтін образдардың логикалық ой қалыптастыруға ешқандай пайдасы жоқ, сондықтан олар негізгі қасиеттер арасында аталмауы керек. 2.Геометрия жалғыз емес. Үйреншікті Евклид геометриясынан басқа Лобачевский жəне Риман геометриялары да бар. Егер Евклид геометриясының ұғымдары түсінікті, көңілге жатық болса, Лобачевский немесе Риман геометрияларындағы сондай ұғымдар, олардың қасиеттері көрнектілікке сəйкес келмейді. Негізгі ұғымдар ортақ болуы үшін көрнектіліктен толық бас тартып, олардың тек логикалық қатынастарын қарастырған дұрыс болады. Бұл айтылғандарға сəйкес геометриялық кеңістік дегеніміз элементтердің арасындағы қатынастар берілген аксиомалар жүйесін қанағаттандыратын кез келген жиын болып табылады.осылайша қарастырғанда Евклид кеңістігі деп элементтері Евклид геометриясының аксомалар жүйесін қанағаттандыратын қандайда болмасын жиынды айтатын боламыз. Тыянақты жиын алып, оның элементтеріне нүкте, түзу жəне жазықтық деген атаулар беріп, олар үшін берілген аксиомаларды қанағаттандыратын "тиісті", "арасында жатады", "тең" деп аталатын қатынастар тағайындалса, аксиомалар жүйесінің интерпретациясы /лат.interpretatio-түсіндірме/, немесе моделі, немесе жүзеге асырылуы /реализация/ берілді дейді. Интерпретация аксиомалар жүйесінің қайшылықсыз екендігін дəлелдеуге қолданылатын негізгі əдіс болып табылады. Осы тұрғыдан алып қарағанда Евклид аксиомалар жүйесін əртүрлі тиянақты жиындардың көмегімен интерпретациялауға /модельдеуге/ болады. Əртүрлі тиянақты интерпретацияға байланысты теоремалар да тиянақты мағынаға ие болып түсіндіріледі. Осыдан тиянақты интерпретацияға Лобачевский, Риман геометриялары үшін де жасалады. Геометрияның алғашқы ұғымдарын осы мағынада түсіндіру көрнектілік айқындықты мүлдем жоққа шығарып, геометрияның логикалық қаңқасын ғана қалдырады, жəне осы логикалықнегізгі қаңқаны əр-турлі тиянақты мазмұнмен толтыруға мүмкін болатынын көрсетеді. Олай болса, геометрияны абстрактылы логикалық жолмен құрғанда, оның болмыс дүниемен байланысы үзілмейді, қайта оны қолдану бағыттары кеңейіп, маңызы арта береді. Геометрияның негізгі ұғымдарына, аксиомаларына жоғарыда айтылған абстрактылы логикалық жалпы көзқарас аксиомалар жүйесінің өзін зерттелуге тиісті мəселеге сəкестіріп таңдауа мүмкіндік береді. Сондықтан да аксиомалау əдісі геометриядан математиканың басқа салаларына, механикаға, физикаға көшіріліп, азіргі кездегі абстрактылы кеңістіктерді қарастыруға жағдай туғызды. Осы бағытта қазір функциялар кеңісігі, түрлендірулер кеңістігі, т.с.с. кеңістіктер математикада үлкен орын алып отыр. Геометрияның осындай жалпы идеясының қолданылуына тамаша

24 мысал бола алатынкеңістіктердің бірі Минковский кеңістігі. Ол арнаулы салыстырмалық теорияда қарастырылатын маңызды кеңістіктердің бірі болып табылады. Геометриялық кеңістік ұғымының осылайша жалпылануына дифференциалдық геометрия əдістері үлкен əсер етті. 1827ж. Гаусстың «Қисықтың беттер туралы жалпы зерттеулер» деген мемуарында беттердің ішкі геометриясы қарастырылған. Ал 1868ж. Бельтрами, жоғарыда айтылғандай, Лобачевский планиметриясы белгілі шектеулермен псевдосфераның ішкі геометриясымен бірдей екенін көрсетті. Осы параграфтың басында аталған геометрияның тағы бір тармағы проективтік геометрия. Бастапқыда оның əдістері аксиомалау əдісінен, дифференциал геометрия əдістерінен мүлдем өзгеше болғанмен, кейін келе ол үшеуі араласып кетті. Оған себепкер болған Кэлидің, əсіресе Клейннің зерттеулері. XIX-ғасырдың 70- жылдарында Клейн белгілі Евклид, Лобачевский, Риман геометриялық жүйелерін біріктіріп қарайтын жалпы түсініктеме берді. 1872ж. жарыққа шыққан «Жаңа геометриялық зерттеулерді салыстырмалы шолу» /«Эрланген бағдарламасы»/ деген еңбегінде Клейн геометрияға группалық көзқарасты баяндады. Ол əрбір геометрия белгілі бір түрлендірулер группасының инварианттарының теориясы болады деп түсіндірді. Бұл көзқарас басты геометриялық жүйелерді жіктеп, бір ретке келтіруге мүмкіндік берді. Аналитикалық əдісті тереңдете отырып, Риман, Евклид, Лобачевский жəне өзі енгізген эллипстік геометриялар кеңістіктерін жалпылайтын кеңістік теориясын құрды. Оны жалпы Риман кеңістігі деп атайды. Бұл кеңістік теорияның физика үшін өте пайдалы болды, қазіргі кезде де зерттелу үстінде. Айта кететін нəрсе, жалпы Риман кеңістігі Клейн Классификациясына сыйыспайтындығы дəлелденді. Апта 2 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Вейль бойынша евклидтік геометрияға негіздеме Мазмұны: 1. үш өлшемдік евклидтік кеңестікке арналған Вейль аксиомалары жүйесінің қайшылықсызлығы мен толықтығы. а) Евклидтік Е 3 кеңестік стрктурасы. Скаляр көбейтінді б) Вейль аксиомалар жүйесінің аксиомалары в) Вейль аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы туралы теорема г) Вейль аксиомалар жүйесінің толықтылығын негіздеу. Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІ-тарау, 5 [2], 4-бөлім, ІІ-тарау, 5 СОӨЖ тақырыбы: Түбірлердің, жазықтықтардың, кесінділердің, сəулелердің, бұрыштардың анықталуы. Мазмұны: 1. Түбірдің анықтамасы, векторлық теңдеуі 2. Жазықтықтың анықтамасы, векторлық теңдеуі 3. кесіндінің, сəуленің, бұрыштың анықталуы Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІ-тарау, 6 Апта 3 Кредит сағат 1 Дəріс тақырыбы: Евклидке дейінгі геометрия. Евклид «Бастамалары»

25 Мазмұны: 1. Мысыр жəне Вавилон елдеріндегі геометрия 2. Фалес Милетскийдің геометрияға қосқан үлестері 3. Пифагор мектебі 4. Демократтың геометрияға енгізген жаңалықтары Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІІ-тарау, 9, 10 СОӨЖ тақырыбы: Евклид «Бастамаларының» 13 кітаптарының əрқайсысында қарастырылған тақырыптар. Мазмұны: 1. Анықтамалар 2. Аксиомалар 3. Постулаттар Əдебиет: [1], 4-бөлім, ІІІ тарау 10 Евклидке дейінгі геометрия Біздің заманымызға дейінгі III-ғасырда жазылған Евклидтің əйгілі «Бастамалары» 2000 жылдан астам уақыт ішінде геометрия ғылымын таза дедуктивті жолмен баяндаудың үлгісі болып келі. Ал, осы «Бастамалардың» өзі-сол кезге дейіңгі геометрияның өсіп дамуының нəтижесі болатын. Геометрияның алғашқы деректері ежелгі Египет жəне Вавилонияда пайда болған деп есептеледі. Аристотельдің философия мектебінің қайраткері Родостық Евдем былай деп жазған: «Геометрия көптеген деректер, пікірлер бойынша Египетте жер өлшеу жұмысына байланысты пайда болған. Мұндайжер өлшеулер Ніл өзенінің тасуының нəтижесінде жер үлестерінің шекаралары бұзылып, шайылып кетуіне байланысты болған. Басқа ғылымдар сияқтыгеометрияның да адамның мұқтажын өтеу үшін пайда болуы таң қалаларлық іс емес. Сезім арөылы ұғынылып жарыққа шыққан геометрия біртіндеп біздің зерттеулеріміздің пəніне айналды,ал, ең соңында, ақыл-ойымыздың құрамына енді./в.с.каган, Основания геометрия, т.п,1956, М., Гостехиздат/. Египеттіктер тік төртбұрыштың, үшбұрыштың, трапецияның аудандарын таза білген, жəне оларды есептеу əдістері осы күнгі формулаларға сəйкес. Дөңгелектің ауданын қабырғасы осы дөңгелектің диаметрінің 8/9 бөлігіне тең квадраттің ауданына теңеген, бұл π санының 3,1605 ке тең жуық мəнін анықтайды. Египеттіктер фигуралар ұқсастығын түсіне білген. Олардың тамаша жетістіктерінің бірі-табаны квадрат болатын дұрыс қиық пирамиданың көлемін формуласымен есептеу.бұл жерде а,в пирамиданың жоғарғы жəне төмеңгі табаңдарының қабырғалары, ал, һ- биіктігі. Тарихи зерттеулер Вавилонияда геометриялық білім деңгейі египеттіктерден қалыспағаның көрсетеді, жəне олар көптеген мəселелерді шешу үшін алгебралық тəсілдер қолданған. Геометрияның бұдан əрі дамуы ежелгі Грецияға байланысты. Тарихи аз уақыт (б.з.дейінгі VII-II ғасырлар) ішінде Фалес, Пифагор,Демокрит,Платон, Евдокс философиясының мектептеріндегі зерттеулер геометрияны абстрактылығы жоғары сатыға көтерілген теориялық ғылымға ұластырды. Милет қаласынан шыққан Фалес (б.з.дейіңгі жылдар) грек ғылымының атасы деп есептеледі. Оның геометрияға қосқан жаңалықтар: жарты щеңберге іштей