ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ

Transcript

1 ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ ШӘКӘРІМ атындағы СЕМЕЙ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ 3 деңгейлі СМЖ қҧжаты ПОӘК ПОӘК студентке арналған пәннің бағдарламасы «Дискретті математикалық логика» ж. басылым ПОӘК /0-04 ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ «Дискретті математикалық логика» 5B00900 «Математика» 5В000 «Информатика» мамандықтары ҥшін СТУДЕНТКЕ АРНАЛҒАН ПӘННІҢ БАҒДАРЛАМАСЫ Семей 04

2 ӘЗІРЛЕНГЕН Қҧрыстырушы 04ж. Анияров А.А., Батырова Қ.А. «Математика және МОӘ» кафедрасының доцент м.а. ТАЛҚЫЛАНДЫ. «Математика және МОӘ» кафедра отырысында хаттама, 04ж. Кафедра меңгерушісі Жолымбаев О.М.. Физика-математика факультетінің оқу-әдістемелік бюросында хаттама, 04ж. Тӛраға Батырова Қ.А. 3 БЕКІТІЛДІ Университеттің Оқу-әдістемелік кеңесінің отырысында басып шығаруға мақҧлдаған және ҧсынылған хаттама, 04ж. ОӘК тӛрағасы 4 АЛҒАШ РЕТ ЕНГІЗІЛГЕН

3 Мазмұны Жалпы мағлҧматтар Пән мазмҧны және сабақ тҥрлері бойынша сағаттарды бӛлу 3 Пәнді меңгеру бойынша оқу-әдістемелік нҧсқаулар 4 Курс форматы 5 Курс саясаты 6 Баға қою саясаты 7 Әдебиеттер 3

4 . Жалпы мағлұматтар. Оқытушы және пән туралы қысқаша мағлұматтар Оқытушының аты-жӛні Анияров А.А., доцент м.а. Кафедра Математика және математиканы оқыту әдістемесі Байланыс жҥйелері 3 оқу корпусы, 6-кабинет Пәннің ӛтілу орны 3 корпус Пән атауы Дискретті математикалық логика Кредит саны 3. Пән мазмұнының қысқаша сипаттамасы Әртҥрлі шаруашылық істерін басқару әдістерін жетілдіру кӛбінесе экономикалық, ақпараттық технологияның ғылым мен практикада тҥрлі математикалық зерттеулер әдістерін кеңінен қолдануға әкеліп отыр. Қазіргі кезеңде кҥрт дамып келе жатқан есептеу техникасын қарқынды тҥрде пайдалану математиканы табысты қолдану мҥмкіндігін айтарлықтай кеңейтеді. Математика экономикалық, ақпараттық технология ілімнің кӛптеген салалар ҥшін сандық есептеу қҧралы болып қана қоймай, сонымен қатар, дәл зерттеу әдісі және әртҥрлі тҥсініктер мен проблемаларды бҧлжытпай тҧжырымдайтын қҧрал болып отыр. Сондықтан, математикалық білімді қазіргі заманның мҧғалім, программист, инженер маманын сапалы дайындау жҥйесінің маңызды бір бӛлігі деп қарауға болады. Оқу бағдарламасы инженерлік мамандықтар бойынша жоғары білімді мамандарға математика бойынша мемлекеттік жалпы білім беру стандарты талабына сәйкес қҧрастырылған. «Дискретті математикалық логика» пәні логиканың кейбір негізгі ҧғымдарынан басталады. Ары қарай алгебра, кибернетикалық теориясы әдістерін кҥрделі қҧбылыстар және оның мҥшелерін тиімді қолдануға реттеуге және комбинаториялық сипаттамада есептеу алгоритмдерін қҧруға және модельдеуге қолдана білуге бейімдеу ҥйретіледі. Оқулық техникалық және экономикалық мамандықтарын, сол сияқты оқытушыларға, сырттай оқу, арақашықтық оқу тҥріндегі студенттері ҥшін арналған. Жиындар, логикалық функциялар, Жегалкин алгебрасы, комбинаторика, графтар, комплектер теориясы, ЖЖБ кіріспе және т.т. бӛлімдер оқулық қҧрамына енгізілген..3 " Дискретті математикалық логика " курсының мақсаты Студенттерде математикалық ойлауды, қолданбалы есептерге математикалық талдау және негізгі математикалық әдістермен зерттеу жҥргізуге дағдыландыру. - есептердің ҥлгісін жасауға, оны талдауға және қажет болса компьютерлік техникамен шешуге кӛмегін тигізетін математикалық аппаратты меңгеру; - студенттердің маман ретінде болашақ қызметітінде орын алатын әртҥрлі ҥрдістер мен қҧбылыстарды ҥйренуге және болжам жасауға мҥмкіндік беретін математикалық әдістемелерді меңгеруге жәрдемін тигізу; - логикалық алгебра, кибернетикалық теориясы әдістерін кҥрделі қҧбылыстар және оның мҥшелерін тиімді қолдануға реттеуге және комбинаториялық сипаттамада есептеу алгоритмдерін қҧруға және модельдеуге қолдана білуге бейімдеу, ҥйрену. - жҧмысын жетілдіру жолында ғылыми ізденске талаптандыруын дамыту; - әлеументтік-экономикалық ӛзгерістер кезеғіндегі қойылатын талаптарға сәйкес ғылымизерттеу жҧмыстарын жҥргізгенде студенттердің негізгі практикалық шеберлігін шыңдау.4 Курсты оқытудың негізгі міндеті - студент ӛзінің логикалық және алгоритмдік ойлау қабілетін дамыту; - математикалық тҥрде қалыптасқан есептерді шешу және зерттеу әдістерін меңгере білу; 4

5 - студент қарапайым сандық әдістерді жетік білім, оны есептеу машиналарында іске асыру деңгейін жету. - іргетасты математикалық дайындықты жоғарылату, курстың қолданбалы бағытын арттыру; - қолданбалы есептерді шешуде студенттердің математикалық әдістерді пайдалануға бағыттап оқыту; - студенттерде логикалық және алгоритмдік ойлауды қалыптастыру; - студенттердің ӛз бетімен математикалық білімді алып, оны тереңдетуге дағдыландыру..5 Курсты өткеннен кейінгі білімі мен дағдысы: - Буль функциясы ҧғымын, функцияға қолданылатын амалдарды, функцияны кҥнделікті ӛмірде қолдана білу; - ӛмірде кездесетін практикалық жағдайларда математикалық әдістерді қолдану. - математикалық тҥрде қалыптасқан есептерді шешу және зерттеу әдістерін меңгере білу; - студент қарапайым сандық әдістерді жетік білім, оны есептеу машиналарында іске асыру деңгейін жетік меңгеруі тиіс; - студент дискретті математикалық логика курсының материалын және математикалық әдебиеттер мен жҧмыс істей білуі керек..6 Курстың пререквизиті: орта мектептің бағдарламасы деңгейінде арифметика, алгебра, геометрия курстарын білу..7 Курстың постреквизиті: бітіртіп шығарушы кафедралар оқитын пәндер Курс Семестр Кредиттер ЛК (сағ) СПС (сағ) ЗТ (сағ) 5 СОӚЖ (сағ) кесте Оқу жоспарынан кӛшірме СӚЖ (сағ) Барлығы (сағ) Қорытынды бақылаудың нысаны ,5 67,5 35 емтихан Пән мазмұны және сабақ түрлері бойынша сағаттарды бөлу кесте Тақырыптың атауы Сағат саны әдебиетт Д Т Л СОӚЖ СӚЖ ер Жиындар және оның ӛрнектелуі. Жиындармен операциялар 4 Сәйкестік және оның қасиеттері 5 3 Жиындардың қуаты 4 4 Қатынастар. Бинарлы қатынастар 5 5 Математикалық логика элементтері 4 6 Логикалық алгебра функцияларын аналитикалық тҥрде жазу. ДҚФ, КҚФ, 5 МДҚФ, МКҚФ 7 Ақиқат кесте бойынша берілген Буль функциясына формула қҧру әдісі. Буль 4 функцияларының мҥмкіндік принципі 8 Буль функцияларының толық жҥйелері. Пост теоремасы 5 9 Комбинаторика. Орналастыру және теру 4 0 Жиындарды бӛліктеу 5

6 Графтар. Қасиеттері. Операциялар 4 Графтар саны. Графтың цикломатикалық саны 5 3 ЖЖБ кіріспе 4 4 Комплекттер теориясы 5 5 Транспорттық желілер 4, ,5 3 Пәнді меңгеру бойынша оқу-әдістемелік нұсқаулар Аталған пәнді жетістікпен оқып ҥйрену ҥшін барлық сабақтарға қатынасу, оқытушының барлық тапсырмаларын орындау, машықтану сабақтарға, СӚЖ ӛз уақытында дайындалу қажет. Машықтану сабақтары барысында екпінді қатынасқаны жӛн. Барлық сабақтарға қатынасу қатаң тҥрде тексеріледі. Сабақты босатқан жағдайда оқылған материалға жауап бересіз. Себепсіз босатылған сабаққа ҧпай есептелмейді. Машықтану сабақтарына, СӚЖ дайындалу барысында сәйкес теориялық материалдарын білу қажет. Семестр бойы екі межелік бақылау жҥргізіледі. Қорытынды емтихан барлық теориялық сҧрақтармен практикалық тапсырмаларды қамтиды Курс форматы және саясаты Келесі талаптар қойылады:. Студент дәріс, машықтану және зертханалық сабақтарына міндетті тҥрде қатынасуы қажет;. Сабақтарға кешікпей келу қажет; 3. Сабақ уақытында ҧялы телефонды ағытып қою керек; 4. Зертханалық сабақтарда техника қауіпсіздігін сақтау қажет; 5. Орнатылған программалар мен бӛгде қҧжаттарды жоюға қатаң тҥрде тиым салынады; 6. Сабақ уақытында сабақ ӛткізуге кедергі жасайтын болса, бірден «қанағаттанарлықсыз» бағасы қойылады; 7. Ӛздік жҧмыстарды уақытында тапсыру қажет, кешіктірілген жҧмыс қабылданбайды. Межелік аттестация студенттің сабаққа қатынасуына, тапсырмаларды уақытында орындауына, бақылау жҧмыстарының бағасына қатысты қойылады. Соңғы қорытынды баға соңғы аттестацияның 60 және емтихан бағасының 40 қҧрайды. 6 Әдебиеттер тізімі Негізгі әдебиеттер тізімі:. Қажи Нҧрсҧлтанов «Математикалық логика бастамалары». томдық кітап. Алматы қаласындағы «Республикалық баспа кабинетінде» 994, 995 жж.. Қажи Нҧрсҧлтанов «Дискретті математикалық логика». Семей Қ.Нҧрсҧлтанов «Ойлау логикасы» оқу-әдістемелік қҧрал. Семей 006 ж. 4. Қ. Жетпісов. Математикалық логика және дискретті математика «Дәуір» Алматы: б. 5. Омаров А.Ы., Досанбай П.Т., Заурбеков С.С. Математикалық логика және алгоритмдер теориясының негіздері. Алматы: Досанбай, П. Т. Математикалық логика. Алматы: б. 7. Нефедова В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.: из-во МАИ,99 6

7 8. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.:ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Спб.: Питер,00 0. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. М.: из-во МГТУ им.н.э.баумана, 00. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергия,980. Мутанов Г.М., Акбердин Р.А. Теория графов. Алматы, изд-во «Рауан», Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М.: Наука- Физматгиз, Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математичекой логике и теории алгоритмов. М.: Наука, Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. М.: Техносфера, Капитанова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математике. Спб.: «БХВ- Петербург», Галушкина Ю.И., Марьямов А.Н. Конспект лекций по дискретной математике. М.: Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических занятий. Спб.: «БХВ-Петербург», 005 Қосымша әдебиеттер тізімі: 9. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 984. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М.: Наука, 979. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: «Высшая школа», Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Киев, Техника, Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики, М.: Наука, Кристофидес Н. Теория графов: алгоритмический подход. М.: Мир, Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 970, -44 с. 9. Экономико-математический энциклопедический словарь. М.: Издательский Дом «ИНФРА-М», 003,-688 с. 30. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 964,-608 с. 3. Цой С., Цхай С.М. Прикладная теория графов. Алма-Ата, Наука, 97, -500 с. 3. Токмакова И.Б. Дискретный анализ. Алма-Ата, 980, АИНХ, -54 с. 33. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. М.: Мир, 984, - 63 с. 34. Берж К. Теория графов и ее применения. М.: ИЛ, 96, -39 с. 35. Зыков А.А. Основы теории графов. М.: Наука, 987, -384 с. 36. Оре О. Теория графов М.: Наука, 968, -35 с. 7

8 Кіріспе Дискретті математика (ДМ) бҧл математиканың ақырлы, сол сияқты ақырсыз дискретті қҧрылымын қарастыратын бӛлімі []. Дәлірек айтсақ, ДМ: комбинаторика және графтар теориясы; буль функциялары; кӛпмағыналы логика; автоматтар теориясы; кодтар теориясының дискретті басқару жҥйесінің қҧрылымын және атқарылуын оқып ҥйретеді. Тереңірек қарастырылған ДМ-ға математикалық шек және ҥзіліссіздік ҧғымдарын ескермейтін бӛлімдері: натурал және рационал сандар теориясы, дискретті алгебра теориясы (группа, сақина, ӛріс және т.с.с.), математикалық логика және т.с.с. қарастырылады. ДМ элементтері ӛте ертеден, натурал сандар теориясы және ақырлы жиындар қасиеттерін зерттеу барысында пайда болған. Бҧл зерттеу нәтижесінде сандар теориясы және кибернетика негіздері туындаған. Кейініректе ойындар есептерінің негізінде комбинаториканы қолдануға болатын дискретті ықтималдықтар теориясы пайда болды. ДМ 9 ғасырда дискретті алгебралық қҧрылымдарды оқып ҥйренуде қарқынды дами бастады. Сонымен қоса, математикада аналитикалық талдау ДМ-ға математикалық логика бӛлімін әкеліп қосты. Ӛмірге кибернетиканың және оған қолданылатын математикалық аппараттары математикалық кибернетиканың келуі ДМ-ның одан ары дамуына әсер етті. ДМ-ның ең негізгі бӛлімі комбинаторика болып табылады. Комбинаторика ақырлы және ішкі жиындарының жҥйелері ӛздеріне тән қасиеттерімен қарастырады. Комбинаториканың ӛте жиі қарастыратын бӛлімдері орналастыру, ауыстыру және теру. Кҥрделі қҧрылымдарға ақырлы геометрия, блок-схемалар, жиындар айырмасы және т.б. жатады. Комбинаторикалық қҧрылымның негізгі класы қатынас (унарлы, бинарлы, n арлы қатынастар). Жиыншалар жҥйесінің арасында маңызды болып граф деп аталатын екі элементті жиыншалар жҥйесі табылады. Графтар теориясының дамуына бинарлы қатынастардың қолданылуы, яғни объектілер жҧбы арасындағы байланыстар кӛп ықпал етті. Мысалы, екі кәсіпорынның жҥйесінде ӛзара экономикалық тікелей байланыстары кӛрсетілген болса, онда бағытталмаған граф, ал олардың арасындағы қатынас біріне-бірі байланысты болмаса, онда бағытталған деп қарастырылады. Графтар теориясы тақырыптары комбинаториялық және геометриялық сипаттағы сҧрақтарды қарастырады. Графтар қҧрылымын оқып ҥйренуде, сол сияқты графтар бӛлігін зерттеу барысында комбинаторика сҧрақтарымен тығыз байланыстылығын айқын кӛруге болады. Ал, геометриялық сипаттағы сҧрақтардың мысалы ретінде графтарды жазықтықта бейнелеу, коммивояжер есептерін қарастыруға болады. 8

9 Графтар теориясы әдістері мен тілі транспорттық есептердегі тиімді тасымалдау, желідегі байланыстарда, кестелер теориясында және т.с.с. кеңінен қолданылады. Сонымен қатар, графтар теориясының бір саласы ықтималдықтар теориясымен қиылысында (желідегі байланыстың ҥміті туралы есеп). ДМ-ның ең бір ҥлкен бӛлімі қолданылатын амалдары анықталған дискретті жиын. Оның ішінде қостық қатынастар теориясы. Яғни, қандай да бір элементтер а в, а в және т.с.с. Мысал ретінде натурал сандар жиынындағы қосу және кӛбейту амалдары. Жиындағы бір бинарлы амалдың ішінде а в жиындағы жарты группа ретінде ерекшеленеді және ҥш элемент ҥшін ассоциативті қасиеті ( а в) с а ( в с) орындалады. Сонымен қатар, жарты группада кез келген а және в элементтері ҥшін а х в және х а в теңдеулері шешіледі. Егер кез келген а және в элементтері ҥшін а в в аорындалса, онда қарастырылып отырған группа немесе жарты группа коммутативті деп аталады. Жиындар ішінде маңызды ҧғымдар сақина және ӛріс. а в амалына байланысты сақина коммутативті группа және кез келген à, â және ñэлементтері ҥшін сақинада ( а в) с ( а с) ( в с) және с ( а в) ( с а) ( с в) дистрибутивті заңы орындалады. Егер кӛбейту амалы ҥшін сақина коммутативті болса, онда оны ӛріс деп атаймыз. Осы қасиет орындалатын математика бӛлімі жалпы алгебра деп аталады. Ақырлы группа және сақина ДМ-ның кӛптеген бӛлімдеріне алгебраның нәтижелерін қолдануға ҥлес қосады. ДМ ақпараттарды сҧрыптау мәселелерінде маңызды роль атқарады. Ақпараттарды енгізуде қарапайым айнымалылар - 0 және мәндерін қабылдасын. Мҧндай айнымалыларды бульдік немесе логикалық айнымалылар деп атаймыз. Экономикада бҧл айнымалыларды қандай да бір ресурстардың қолда бар болуы немесе жоқ болуы деп тҥсінеміз. Осы тҧрғыдан, y f ( x, x,..., xn ), мҧндағы x, x,..., xn тек 0 және мәндерін қабылдайтын бульдік функция деп қарастырылады. Бульдік функциялар математикалық логикада қарастырылады. 9

10 . Дәрістік сабақ конспектілері. дәріс. Жиындар және олардың өрнектелуі. Жиындармен операциялар. Дәріс конспектісі: Жиын ҧғымы негізгі математикалық терминдердің бірі болып саналады. Жиынның нақтылы анықтамасы жоқ. Жиынды ортақ бір белгі бойынша біріккен объектілердің жиынтығы деуге болады. Мысалы натурал сандар жиыны, тҥзудің бойындағы нҥктелер жиынтығы, кітап беттерінің жиынтығы, натурал сандар жиыны, кітап бетіндегі тҥрлі символдар жиыны, студенттер тобы, компьютерді жинау кезіндегі орындалатын операциялар тобы, Элегант фирмасының қызметкерлер тобы т.б. мысалдарды кӛптеп келтіруге болады. Егер х объектісі М жиынының элементі болса, онда х М-ге тиісті делінеді және х М болып белгіленеді. х-ң жиынға жатпауы х M немесе х M белгіленеді.әдетте жиын латын алфавитінің бас әріптерімен, ал оның элементтері кіші әріптерімен белгіленеді. А- «Элегант» фирмасының қызметкерлер жиыны; М компьютер жинау кезіндегі барлық операциялар жиыны; М «Силует»фирмасы ҧсынатын қызметтер жиыны; N 00 аспайтын натурал сандар жиыны; R барлық натурал сандар жиыны т.б.. Жиындардың өрнектелуі. Жиындарды ӛрнектеу ҥшін оған қандай элементтердің жататындығын кӛрсету керек. Оны бірнеше әдістермен жасауға болады.. Жиынға жататын элементтер тізімін көрсету арқылы. Тізіммен тек ақырлы жиындарды кӛрсетуге болады. Тізім фигуралы жақшамен қоршалады. M={a,a,,a k }. Мысалы, процессор a, монитор b, клавиатура c және принтерден d тҧратын компьютер А жиынын тӛмендегідей ӛрнектеуге болады: A a,b, c, d.. Жиын элементтерінің (сипаттамалық предикат арқылы) немесе қандай да бір қасиетін көрсету арқылы. Айталық Р(х) А жиынының элементтері қанағаттандыратын я қанағаттандырмайтын қандай да бір қасиет болсын. Олай болса А жиынының Р қасиетін қанағаттандыратын барлық элементтерінен тҧратын М жиыны M x Px немесе M x : Px болып жазылады. Ескерту: Сипаттамалық предикат Р(х) логикалық тҧжырым формасындағы шарт (немесе логикалық мән қайтаратын процедура). Егер жиын элементі ҥшін шарт орындалса элемент жиынға жатады, әйтпесе жатпайды. Мысалы, барлық натурал жҧп сандар жиыны x : x n, n N M n M n 0

11 болып, ал компъютердің сыртқы қҧрылғылар жиыны А = {х : х - PC сыртқы қҧрылғылар жиыны} болып ӛрнектеледі. 3. Туындатқыш процедура арқылы: M={x x : = f } Туындатқыш процедура дегеніміз - алдыңғы алынған элементтерден немесе обьектілерден жиын элементтерін алу әдісі болып табылады. Туындатқыш процедура іске қосылған кезде алынған объектілер жиынның элементі болып отырады. Мысалы, -ң дәрежесі болып табылатын барлық бҥтін сандар жиынын, n N, ( M n,, 4, 8, 6,... ) рекурсивті немесе индуктивті M n деп аталатын тҥрлі тәртіппен алынатын туындатқыш процедура арқылы ӛрнектеуге болады а) M m M m M. ; б) егер n, онда n n Мысал: Барлық натурал сандар жиынын әртҥрлі әдістермен ӛрнектеңіз:,,3,... Шешуі: N натурал сандар жиыны шексіз болғандықтан оны тізім арқылы ӛрнектеуге болмайды. Туындатқыш процедура екі ережеден тҧрады: a) N ; б) егер n N, онда n N N жиыны элементтнрінің қасиеттерін сипаттау арқылы: N = {х : х бҥтін оң сан}. Анықтама. Егер А жиынының барлық элементтері В жиынында жатса, онда А жиыны В жиынының ішкі жиыны деп аталады да, АВ болып белгіленеді, А жиыны В жиынына кіреді деп оқылады ( АВ А В-ның ішкі жиыны емес ). Бҧдан шығатын тҧжырым:. А В х (x A x B), яғни кез-келген х ҥшін, егер х А, онда хв. Анықтама. А мен В жиындары тең болады, егер АВ және ВА болса, яғни тең жиындар бірдей элементтерден қҧралады. (АВ ВА) А, В жиындары бір бірінің ішкі жиыны. Мысалдар: N Z, Z Q, Q R, R C дҧрыс. M ={x sinx =} және M = {x x= / +k, kz} жиындарының тең екендігін ( M =M ) дәлелдеу керек болсын. Шешімі: a) Егер хм болса, онда х sinx= теңдеуінің шешімі болғаны,яғни оны x= /+k, kz деуге болады. Демек, жиынның анықтамасы бойынша хм. Олай болса М М. в) Егер хм болса, х=/+k, kz деуге болады, яғни онда х sinx= теңдеуінің шешімі. Демек, M M бҧдан M =M. Анықтама. Егер А В және А В болса, онда А жиыны В-ға қатаң кіреді дейміз және А жиыны В-ның меншікті ішкі жиыны деп аталады. Анықтамаларға байланысты тӛмендегідей тҧжырымдарды жазуға болады:

12 . х ХХ ;. М ={} М ; 3. Егер ХУ, ал УZ онда ХZ; 4. ХУ, ал УХ онда Х=Ҥ; Жиындардың теңдігін дәлелдеу ҥшін олардың бір-біріне ішкі жиын болатындығын кӛрсету керек. Элементтің жиынға жатуы () мен жиынның басқа жиынның ішкі жиын болуын (), яғни жиынның басқа жиынға кіруі ҧғымдарын шатастырмау керек (, ). О{о} және {o}={{o}} болғанымен O{{o}} деу дҧрыс емес, себебі {{o}} жиынының жалғыз ғана элементі {o} бар. (о элементі бола алмайды). Анықтама. Элементтердің ақырлы санынан тҧратын жиын, ақырлы жиын деп аталады, керісінше болса ақырсыз жиын деп аталады. Мысалы, N,R жиындары ақырсыз. Анықтама. Ақырлы жиындардағы элементтердің саны жиынның қуаты деп аталады және белгілерімен қоршалып жазылады. Мысалы, М ақырлы жиын болса, оның қуаты M. Қуаты 0-ге тең жиын, яғни элементтері жоқ жиын бос жиын деп аталады және белгіленеді =0. ( {} =емес) Бос жиын кезкелген жиынның ішкі жиыны болады деп есептеледі.егер А және В жиындары тең болса, олар тең қуатты жиындар деп аталады. Мысалдар:. А={,,3}, B={3,4,5} AB. A={,,3,4}; B={4,3,,}; A=B себебі AB, BA; 3. A={,,3}; B={,4,6}; C={,,3,4,5} AC; B A; Анықтама. А жиынының барлық ішкі жиындарының жиынтығы булеан немесе дәрежелі жиын деп аталады және Р(А) болып белгілінеді ( А болып та белгіленеді). Сонымен, А =P(A) {B BA} немесе А. Мысал: Егер А={,,3} болса, P (A)={,{},{},{3},{,},{,3},{,,3}} Анықтама. Қарастыруға болатын барлық мҥмкін элементтерден тҧратын жиын универсал немесе универсум деп аталады және U болып белгіленеді..3 Жиындармен операциялар (амалдар). P(U) булеанындағы операцияларды және олардың геометриялық кескінделулерін қарастырамыз.. Қиылысу операциясы. Егер A,B P(U) онда, осы А, В жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден тҧратын жиынды А, В жиындарының қиылысуы деп атайды және ол тӛмендегідей ӛрнектеледі: AB {x xa & xb}; Мысалы, A{,,3}, B{3,4,5} болса AB={3};. Бірігу операциясы. А,В жиындарының ең болмаса біреуіне тиісті элемент терден тҧратын жиынды А,В жиындарының бірігуі деп атайды және ол тӛмендегідей ӛрнектеледі: AB {x xa xb}

13 Мысалы, A={,,3,4}; B={4,3,6,7} болса, AB={,,3,4,6,7} А,В жиындарының қиылысуын олардың кӛбейтіндісі (А*В), ал бірігуін олардың қосындсы (А+В) деп те атайды Жиындардың айырымы. А жиынының В-ға кірмейтін элементтерінен тҧратын жиынды А,В жиындарының айырымы деп атаймыз және ол тӛмендегідей ӛрнектеледі: А\В A-B {x xa және хв}. A{,,3}, B{3,4,5} болса, A\B={,}; B\A ={4,5}; 3. Сақиналы қосынды. А,В жиындарының ӛзара айырымдарының бірігуін сақиналы қосынды немесе симметриялық айырым деп атайды AB (A\B)(B\A) болып белгіленеді. (А\В)(В\А). Жоғарыда қарастырылған А,В ҥшін: A={,,3,4}; B={4,3,6,7}; А \ B ={,,3,4} \ {3,4,6,7}={,}; B \ А ={3,4,6,7} \ {,,3,4}={6,7}; АВ={,,6,7}; Симметриялық айырымның тағы бір формуласы: A B=A B = A B (AB) \ (AB); A B={,,3,4,6,7}\{3,4}={,,6,7} 4. Жиынның толықтауышы. U универсумындағы А-ға тиісті емес элементтер U универсумындағы А жиынының толықтауышы деп аталады (А-ны U-ға дейін толықтыратын) Ā U\A болып белгіленеді. Мысалы, Жоғарыдағы мысал ҥшін A={,,3,4} жиынының толықтауышы. Ā ={6,7}; B={4,3,6,7} жиынының толықтауышы В ={,}; {,,} операциялары буль операциялары деп аталады. Анықтама. Жиындардың геометриялық кескіндері Эйлер- Венн диаграммалары деп аталады. Біріктіру, қиылысу операцияларын кез-келген жиындардың жиыны болатын А i (мҧндағы і І жиынының элементтерін қабылдайды) жиынына да анықтауға болады: Айталық І элементтері индекс ретінде қолданылатын қандай да бір жиын болсын және іі ҥшін А і белгілі болсын. Олай болса, қиылысу A i i I мен бірігуді A i i I тӛмендегідей анықтауға болады. A i i I={x x A і (кезкелген,барлық) іi ҥшін}; A i i I ={x x A і, (ең болмағанда бір і I ҥшін} теңдіктерімен беріледі. Кӛбінесе, A i i I, A i i I орнына Ai, Ai немесе текстің мәтінінен І жиынының қандай екендігі белгілі болса ii ii жай ғана А, і Аі белгілерін қолданады. Ai = {x x A I, і I }; 3 ii

14 Ai ii = {x x A I, і I}; Егер I={,,,n} болса A A A 3 A n ; A A A 3 A n ; n n A және i Ai i i белгілеулері қолданылады. Жиындарға қолданылатын операциялардың қасиеттері. Айталық U универсумы берілсін. Олай болса А,В,С U тӛмендегідей қасиеттер орындалады:., операцияларының ассоциативтігі A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C., операцияларының коммутативтігі AB=BA; AB=BA 3. Дистрибутивті заң (ҥлестіру заңы) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 4. Идемпотенттік заң AA=A; AA=A 5. Жҧтылу заңы A(AB)=A; A(AB)=A 6. Де Морган заңы A B= A B A B= A B 7. Нӛл мен бір заңы Айталық 0, U онда А=A; A=; A=; A=A; A A=; A A= 8. Қос терістеу заңы (инволютивность) A A 9. Толықтыру заңы. A A A U; A Жиындарға қолданылатын операциялардың қасиеттерінің дҧрыстығына бірнеше тәсілдермен кӛз жеткізуге болады: ) Нақтылы жиындар мен амалдарды орындау арқылы (екі жағынан бірдей нәтиже шығады) ; ) Венн диаграммасын сызу арқылы; 3) Амалдардың анықтамасын пайдалану арқылы. операциясының ассоциативтігін дәлелдейік: Дәлелдеуі: Ассоциативті заңды дәлелдеу A(BC) = (AB)C (Теру заңы); A { a, b}; B { a, c, d}; C { b, c, d, e} болсын. -тәсіл. Амалдарды орындайық. A ( B C) ( A B) C ; Сол жағы: { a, b} { a, b, c, d, e} { a, b, c, d, e}; Оң жағы: ({ a, b} { a, c, d}) { b, c, d, e} { a, b, c, d} { b, c, d, e} { a, b, c, d, e}; Демек жиындар тең. -тәсіл. Диаграммасын салайық: 4

15 Диаграммаларының бірдейлігінен жиындар тең деген қорытындыға келеміз. 3-тәсіл. а) x A( B C) x A x B C x A x B x C x A B x C x ( A B) C; Бҧдан A ( B C) ( A B) C. Енді екінші жағынан, б) x ( A B) C x ( A B) x C x A x B x C x A x ( B C) x A( B C) демек, ( A B) C A( B C) ; Яғни, A(BC)=(AB)C.3 Жабу және бөліктеу. Айталық, {A i ii} А жиынының бос емес ішкі жиындары болсын. A i A Анықтама. Егер A = A болса, яғни А жиынының әр элементі А і i I i жиындарының ең болмаса біреуіне кірсе, онда бос емес {A i ii} жиыны А жиынының жабуы деп, ал егер ij болғанда A i A j = болса, жабу бӛліктеу деп аталады ( I, ji ij = A i A j = ). Басқа сӛзбен айтқанда А жиынының бос емес {A i ii} ішкі жиындары қиылыспаса, яғни А-ның әр элементі бос емес А і жиындарының тек біреуіне ғана кіретін болса, онда {A i ii} жиыны А жиынының бӛліктеуі деп аталады. Мысалы, А={,,3} болса, онда {{,}, {,3}, {3,}} А жиынын жабады, ал {{}, {}, {3}} А жиынының бӛліктеуі болады. Жиындардың Декарт көбейтіндісі. х...х n n элементтен тҧратын реттелген тізбекті (x,x,,x n ) немесе <x,x,,x n > деп белгілеуге болады. Мҧндағы дӛңгелек, бҧрышты жақшалар элементтердің жазылу ретін кӛрсету ҥшін ғана қолданылады. Мҧндай нӛмірлерінің ретіне қарай орналасқан тізбек ҧзындығы реттелген тізбек немесе ҧзындығы n болатын кортеж деп аталады. хi -элемент <x,x,,x n > кортежінің і- координатасы деп аталады. Мысалдар;. {a,b,c} және {,} жиындарынан ҧзындығы -ге тең 6 кортеж қҧруға болады: (a,), (a,), (b,), (b,), (c,), (c,). Кез-келген әріптерден қҧралған сӛз кортеж, натурал сандардың ондық жҥйедегі жазылуы цифрлардан тҧратын кортеж т. б. 3. Кез-келген координаттары әртҥрлі реттелген ақырлы жиын кортеж.ҧзындығы -ге тең кортеждер реттелген жҧптар, ҧзындығы 3-ке тең кортеждер реттелген ҥштіктер, ҧзындығы n-ге реттелген n-діктер деп аталады. Жиындар екі элементпен алу амалының кӛмегімен тӛмендегі ережеге сәйкес кодталады. < >, <x > x, <x, x > {{x },{x,x }}, <x,,x n > < <x,x,,x n >, x n+ > 5

16 Анықтама. Екі кортеж ҧзындықтары бірдей, әрі бірдей нӛмірлі координаттары тең болса ғана тең болады. Яғни x=(x,x,,x n ), y=(y,y,,y n ) кортеждері x =y ; x =y,,x n =y n болғанда ғана тең болады ( x=y ). Мысалы, (,, 3 ) және (, 6, 8) кортеждері тең. (,,3) және (3,,) әртҥрлі; (,,3) және (,,3,4) әртҥрлі; (,)(,) ал {,} және {,} жиындары тең. Кортеждердің координаттары жиын, кортеж т. б. болуы мҥмкін. Мысалы, ({a,b},c) = ({b,a},c) себебі {a,b}={b,a}, ал ((a,b ), c ) және ((b,a), c ) кортеждері тең емес, себебі (a,b)(b,a). Бір де бір координаты жоқ кортеж (ҧзындығы 0) бос кортеж деп аталады. Сонымен жиын мен кортеж ҧғымдарының айырмашылығы: а) жиындардың элементтерінің орны, реті бәрі бір, ал кортеждерде элементтерінің ҧзындығы бірдей болып элементтерінің реті басқаша болса тең емес (қҧрамы бірдей болса да); б) жиында элементтер әртҥрлі, кортежде бірдей бола береді. Анықтама. А және В жиындарының тура (декарт) кӛбейтіндісі деп элементтері реттелген (х, у) жҧбынан тҧратын жиынды айтамыз. Мҧндағы, ха, ал ув. Декарт кӛбейтіндісі әр тҥрлі жиын элементтерінен қҧралады, А В болып белгіленеді: А В = {(х,у) ха және ув}. A, A,..., A n жиындары ҥшін Декарт кӛбейтіндісі: т A A... A n = A i = {( x, x,..., xn ) x A, x A,..., xn An } болады. m Егер A =A = =A n =A болса, онда A х A х,, х A n жиыны А жиынының n- ші Декарт дәрежесі деп аталады және А n болып белгіленеді. Анықтама бойынша A 0 {} Мысалдар:. A={,}, B={3,4} берілсін. AхB={ (,3),(,4),(,3),(,4) }; BхA={ (3,),(3,),(4,),(4,) }; AхA={ (,),(,),(,),(,) }; Бҧл мысалдардан AхBBхA.. (Шахмат тақтасы). A={a,b,c,d,e,f,g,h}; B={,,3,4,5,6,7,8} жиындары берілсін. Олай болса әр (х,у) жҧбына x,yaхb шахмат тақтасының торлар жиыны сәйкес келеді. 3. [0,] жиыны {(a,b) 0 a, 0 b}; Бҧл жиынға жазықтықтың -ден аспайтын теріс емес координаттары бар нҥктелер жиыны сәйкес келеді. 4. A={a,b,c}; B={,}; AхB={(a,), (a,), (b,), (b,), (c,), (c,)}; BхA={(,a), (,a), (,b), (,b), (,c), (,c)}; AхB BхA 5. А={,,3}; АхА={(,), (,), (,3), (,), (,), (,3), (3, ), (3,), (3,3)}; 6. X { x, x,..., xm} ; Y { y, y,..., yn} ; X, Y - жиындарының Декарт кӛбейтіндісін табайық. Декарт кӛбейтіндісінің элементтері әр тҥрлі жиын элементтерінен алынған жҧптардан тҧратындығы белгілі. 6

17 Оларды кестеге орналастырайық: Бҧл кестеде m жол, n бағаннан тҧратын элементтер жҧбын кӛреміз. ( x, y) - саны х-элементтерінің жиыны мен ҥ элементтерінің жиындарының кӛбейтіндісіне тең. ( x, y) ( x) ( y) () Бҧл жиындарды кӛбейту ережесі. Егер декарт кӛбейткіштері n жиыннан тҧрса, онда () тӛмендегідей жалпылауға болады: ( x * x *...* xn) ( x ) ( x)... ( xn) () A х B х C; (A х B) х C; A х (B х C) жиындары да әр тҥрлі. A х B х C- (a,b,c); (A х B) х C - ((a,b), c) aa, bb, cc; A х (B х C)=(a, (b,c)); Егер А,В жиындарының бірі бос болса, олардың Декарт кӛбейтіндісі де бос деп есептеледі. A х = х A = х = ; Мысал, А={a,a,a 3 }, B={b,b,b 3 }; АхВ ab a b a3b a b 3 a b a b ab a b3 a3b3 Негізгі әдебиет: [5-9]; [0-6] Қосымша әдебиет: 7[9-34] Бақылау сҧрақтары:. Қандай жиынды ішкі жиын деп атайды?. Қандай жиындар тең болады? 3. Жиындармен орындалатын негізгі операцияларды қандай? 4. Бірігу,қиылысу,толықтыру операцияларының негізгі қасиеттерін атаңыз. 5. Жиындарды ӛрнектеудің қандай әдістері бар? ; 7

18 -Дәріс. Сәйкестік және оның қасиеттері Функциялар мен бейнелеулер. Дәріс конспектісі: Сәйкестіктер жиын элементтерінің арасындағы ӛзара байланысты беру тәсілі. Оның дербес жағдайлары: функциялар, бейнелер, тҥрлендірулер, т.б. Анықтама. А, В жиындарының арасындағы сәйкестік деп бҧл жиындардың тура (декарт) кӛбейтіндісінің G ішкі жиынын айтады. G AхB Егер (a,b)g болса, G сәйкестігінде b a-ға сәйкес деп айтады. G ={a (a,b)g} G сәйкестігінің анықталу облысы, ал G ={b (a,b)g} мәндер жиыны деп аталады. Анықтама. Егер G =A болса толық анықталған сәйкестік, A A болса толық емес (жартылай) сәйкестік болады. (толық анықталмаған). Анықтама. Егер G =B сюръективті сәйкестік деп аталады. (В-ның әрбір элементінің А прообразы бар) -сурет Анықтама. А жиынының әрбір aa элементіне B жиынының G сәйкестігіндегі а-ға сәйкес барлық bb элементтерінің жиыны a элементінің образы, ал әрбір bb элементіне А жиынының G сәйкестігіндегі b-ға сәйкес барлық aa элементтерінің жиыны b элементінің А жиынындағы прообразы деп аталады. Анықтама. Барлық ас G элементтерінің образдарының жиыны С жиынының образы деп аталады. Барлық bd G элементтерінің прообраздарының жиыны D жиынының прообразы деп аталады. Анықтама. Егер анықталу облысынан ( G ) алынған кез-келген а элементінің мәндер жиынында ( G ) бір ғана образы b G болса, G функционал (бір мәнді) сәйкестік деп аталады. Анықтама. Егер G сәйкестігі толық анықталған, сюръективті, функционалды және b G элементінің анықталу облысында бір ғана прообразы a G болса, онда G ӛзара бір мәнді сәйкестік болады. Егер А мен В жиындарының арасында ӛзара бір мәнді сәйкестік болса, онда олардың қуаттары тең және олар тең қуатты жиындар A = B деп аталады. Бҧл фактілер жиынды санамай-ақ, олардың тең қуаттылығын анықтауға болатындығын кӛрсетеді. Қуаты белгілі немесе оңай санауға болатын басқа жиынмен ӛзара бір мәнділігін дәлелдеу арқылы жиын элементтерін санамай-ақ оның қуатын анықтауға болады. N натурал сандар жиыны мен тең қуатты жиындар саналымды жиын деп аталады. R нақты сандар жиынымен тең қуатты сандар континуальды деп аталады. 8

19 -мысал. Айталық, G (x-3) +(y-) қатынасын қанағаттандыратын барлық (х,у) нақты санды сандар жиыны болсын. G={(x,y) x,y R ҥшін (x-3) +(y-) } сәйкестігінің графикалық кескіні центрі (3,) нҥктесінде болатын, радиусы -ге тең дӛңгелек. Бҧл суреттегідей G дӛңгелегі R мен R арасындағы сәйкестік (яғни ОХ ӛсі мен ОУ ӛстерінің арасындағы сәйкестік). -сурет а), 3, 4 сандарының образы мен прообраздарын табу керек. Шешуі: G G сәйкестігіндегі образы жалғыз ғана G, 3-ң G сәйкестігіндегі образы [,3] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны, 4-ң образы. G сәйкестігінің мәндер жиыны G алынған ( G ) санының G сәйкестігіндегі прообразы [,4] G ; 3 G G сәйкестігіндегі прообразы 3 G, 4 G G сәйкестігінде прообраздары жоқ б) ) [,3] G сандарының образы осы [,4] кесіндідегі барлық образдарының бірігуі, яғни [,3] G ; ) Осыған ҧқсас [,4] кесіндісінің G сәйкестігіндегі образы [,3]; 3) [,3] кесіндісінің прообразы [,4] ; [,4] G прообразы [,4]; Егер G сәйкестігі нақты сандар жиынында анықталған десек, яғни GRхR онда: ) G толық анықталмаған себебі, G R ( G R) ) Сюръективті емес себебі, G R ( G R) 3) Функционалды (бір мәнді) емес, себебі [,4]= G ҥшін ( мен 4-тен басқа) образдар жалғыз емес. 4) Ӛзара бір мәнді болудың қажетті шарттары (,,3 шарттар) орындалмағандықтан сәйкестік ӛзара бір мәнді емес. Егер сәйкестік G [, 4]х[, 3] болса G толық анықталған және сюръективті, бірақ функционалды және ӛзара бір мәнді емес. -мысал. Айталық G сәйкестігі x-=y, x,y 0 тҥзуінің бойындағы нҥктелер жиыны G={(x,y), x-=y, x,y 0}; G={элементтері x-= қатынасын қанағаттандыратын нҥктелер жиыны}. G сәйкестігінің қандай қасиеттері бар? Шешуі:. Егер G нақты сандар жиынында берілген сәйкестік (GRхR ) болса, онда: ) G толық анықталмаған сәйкестік, себебі G =[, )R; ) Сюръективті емес, себебі анықталу облысы G =R + =[0, ] нӛлмен қоса алғанда барлық нақты сандар жиыны. 3 -сурет 3) Функционалды, себебі x G, G анықталу облысынан алынған әрбір х-ке бір ғана y G сәйкес (х-ң бір ғана образы бар). 4) Ӛзара бір мәнді емес, себебі толық анықталмаған және сюръективті емес. 9

20 . G сәйкестігі нӛлмен қоса алғандағы R + жиынында яғни G R + R + берілген болса, онда G сәйкестігінің тӛмендегідей қасиеттері болады: - толық анықталмаған, себебі G = [, ) және G R + ; - сюръективті, себебі анықталу облысы G = R + ; - функциональды; - Ӛзара бір мәнді емес, себебі толық анықталмаған. 3. G сәйкестігі G [, ) х R + болса: - в толық анықталған; - сюръективті; - функциональды; - ӛзара бір мәнді, себебі алдыңғы аталған қасиеттерге қоса, анықталу облысынан алынған кез келген y G ҥшін бір ғана прообраз бар. Функциялар мен бейнелеулер. Айталық, А, В жиындарында f AхB сәйкестігі бар болсын. Анықтама. Егер f =A, f =B және ( x, y ) f, ( x, y) f болғандығынан y y болса, онда f A B сәйкестігі функция деп аталады ол f: AB немесе А f B болып жазылады. Бҧл анықтамадан функция дегеніміз функционал сәйкестік екендігін кӛреміз және f функциясының типі АВ деп оқылады. f функциясы анықталу облысының әрбір элементіне (х) мәндер облысынан бір мәнді (у)сәйкестендіреді және у = f (х) болып белгіленеді. (х аргумент, у функцияның мәні) болып жазылады (у х-тың образы). Мысалдар: f={(,),(,3),(3,)} функция; f={(,),(,3),(,3)} - функция емес; {(x,x -x+3), xr} функция; бҧл функция әдетте y=x ; y =x+3 болып жазылады. Анықтама. Толық анықталған функция f: AB А-ны В-ға іштей бейнелеу деп аталады. f : A iштей B ( f =A, f B) толық анықталған функция Анықтама. Егер f = B болса функция сюръективті функция деп аталады. Анықтама. Егер функция толық анықталған ( f =A) және сюръективті ( f =B) болса, онда ол А-ны В-ға толық бейнелеу деп аталады: f: A толык B болып жазылады. Анықтама. А iштей А бейнелеу А жиынын тҥрлендіру, ал А толык А бейнелеуі А-ға алмастыру деп аталады А Алмастыру А болып та белгіленеді. f және g функциялары тең болады, егер тӛмендегі шарттар орындалса: - Олардың анықталу облыстары біреу - ол А жиыны; - Кез-келген а A ҥшін f(a) = g (a). 0

21 Сәйкестік Функция А-ны В-ға іштей бейнелеу А-ы В-ға толық бейнелеу Міндетті тҥрде болу керек қасиеті Функционалды Толық Сюръективті анықталған f: А А...А n В типті функция п орынды функция деп аталады.бҧл жағдайда функцияның п аргументі бар деп тҥсіну келісілген: f (а,..., а n ) = b, мҧндағы а А,..., а n А n, bв. Айталық, G A х B сәйкестігі берілсін. Тек (а,b)g болса ғана (b, a)н болатын HBхA сәйкестігі, G-ң кері сәйкестігі деп аталады және G - болып белгіленеді. Анықтама. Егер f : AB сәйкестігіне кері сәйкестік функционалды болса (яғни әрбір b f ҥшін бір ғана a f болса), онда ол f функциясына кері функция деп аталады, f - болып белгіленеді. Кері сәйкестікте образ бен прообраздың орындары ауысып келетіндіктен f функциясына кері функция болу ҥшін f: AB f функциясының мәндер жиынының әрбір b f элементінің жалғыз ғана образы болу керек. Бҧдан f: AB функциясы ӛзінің анықталу облысы мен мәндер облысының ӛзара бір мәнді сәйкестігі болса ғана оған кері функция болатындығы кӛрінеді. Егер h(x) = g(f(x)), мҧндағы, ха.орындалса h: А С функциясы f және g функцияларының композициясы деп аталады және f(g) белгіленеді. Кӛбіне h функциясы f-ті g ң орнына қойғаннан алынды деп айтады. Кӛп орынды f: А т В, g: В n С функциясы ҥшін f-ті g ға қоюдың әртҥрлі варианттары бар. Нәтижесінде әртҥрлі типтегі функциялар алынады. Мысалы, т = 3 және п = 4 ҥшін h = g (x, f(у,у, у 3 ), х 3, х 4 ) функциясында 6 аргумент бар ал оның типі В А 3 В С. Аргументтерін басқаша атап f,...,f n функцияларын бір-біріне қойғаннан алынған функция f,...,f n функцияларының суперпозициясы деп аталады. Бҧл суперпозицияны және функционалдық белгі мен аргументтердің символдарын сипаттайтын ӛрнек формула деп аталады. Функциялардың берілу тәсілдері: - График тҥрінде; - Кесте; - Функцияны басқа функциялардың суперпозициясы тҥрінде сипаттайтын формула тҥрінде; Анықтама. Егер f - сәйкестігі толық емес функция болса, яғни x, x f ҥшін, x x болғандығынан f(x )f(x ) болса, f функция инъективті (инъекция) функция деп аталады. Егер f инъекция болса f : болып белгіленеді.

22 Анықтама. Егер G = B болса f: AB функциясы сюръективті (сюръекция) толыќ функция деп аталады f: А В. Анықтама. Егер f инъективті және сюръективті болса, ол биективті деп аталады: f : AB Анықтама. Егер f А-ы В-ң әр тҥрлі мәндеріне бейнелесе, онда f функциясы ӛзара бір мәнді сәйкестік немесе биективті функция (биекция) деп аталады. Сонымен, егер функция сюръективті және инъективті болса, функция биекция болады. Егер f А мен В арасындағы биекция болса, f: AB болып жазылады. f: AA биекциясы А жиынының алмастыруы деп аталады. Суретте графиктік тҥрде функциялар берілген f i :[0,] [0,], i {,,3,4} f сюръективті, инъективті емес f инъективті, сюръективті емес f 3 инъективті, сюръективті биекция f 4 инъективті де емес, сюръективті де емес - мысал: Ҥш функцияны қарастырайық 4- сурет x f i : R R, i,,3: ) f ( x) e инъективті, сюръективті емес ) f ( x) x sin x сюръективті, инъективті емес 3) f ( x) x биективті. 3 Негізгі әдебиет: [0-4]; [0-6] Қосымша әдебиет: 7[9-34] Бақылау сҧрақтары:. Сәйкестік,бейнелеу,функциональды бейнелеу дегеніміз не?. Қандай бейнелеулер инъективті, сюръективті, биективті деп аталады? 3. Кері функция бар болудың қажетті және жеткілікті шарты? 4. Сәйкестіктегі элементтің образы,прообразы дегендер не? 3- дәріс. Жиындардың қуаты. Дәріс конспектісі: Берілген А және В ақырлы жиындарының қуаттарының теңдігін олардың элементтерін санау арқылы білуге болады. Мысалы, A={a, b, c, d, e, f}; B={α, β, γ, δ, ε, δ}; A = B =6. Жиындардың теңдігін білудің басқа да жолы бар: A a b c d e f B α β γ δ ε δ Егер а A ҥшін бір ғана bb сәйкес болса және керісінше әрбір bb ҥшін бір ғана aa сәйкес болса, онда А және В жиындарының арасында ӛзара бір мәнді сәйкестік бар дейді.мҧндай жиындар эквивалентті немесе тең қуатты жиындар деп аталады. Айталық, N натурал сандар жиыны болсын,, 3, 4,,

23 M олардың квадраттарының жиыны:, 4, 9, 6,. Олай болса, N ~ M. Натурал сандар жиынына эквивалентті жиындар саналымды жиындар деп аталынады. Саналымды жиын туралы мынадай теорема бар: -Теорема. Қандай да бір жиын саналымды болу ҥшін, оның элементтерін шексіз тізбек тҥрінде кескіндеу қажетті және жеткілікті. -Теорема. Саналымды жиынның кез-келген ішкі жиыны саналымды жиын. 3-Теорема. Ақырлы немесе саналымды жиындардың бірігуі - саналымды жиын. Салдар. Рационал сандар жиыны саналымды жиын. Шынында да барлық оң рационал сандарды шексіз кесте тҥрінде ӛрнектеуге болады: /, /, /3, /4, /5, /, /, /3, /4, /5, 3/, 3/, 3/3, 3/4., 3/5, 4/, 4/, 4/3, 4/4, 4/5,, Бҧл кестені сол жақ жоғарғы бҧрыштан бастап диагональ бойымен айналуға болады. Бірақ, барлық шексіз жиындар саналымды емес. Кантор теоремасы. [0;] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны саналымды емес. Теореманы кері жорып дәлелдейміз. Айталық, бҧл жиын саналымды болсын. Демек, бҧл жиынның барлық элементтерін шексіз тізбек тҥрінде ӛрнектеуге болады. Α = 0,а а а 3 а 4 Α = 0,а а а 3 а 4 Α 3 = 0,а 3 а 3 а 33 а 34 Тӛмендегі тәртіппен В = b b b 3 b 4 шексіз ондық бӛлшек тізбегін b a, b a, b 3 a 33 және т.б. қҧрайық. Бҧл бӛлшек айтылған тізбекке енбейді, себебі тізбектің бірінші мҥшесінен оның бірінші цифры ӛзгеше, екіншісінен екінші цифры ӛзгеше т.б. Ендеше [0;] кесіндісінің барлық нақты сандар жиыны саналымды емес. Бҧл жиынның қуаты континуум (С қуатты), ал С қуатты жиын континуальды жиын деп аталады. Теорема. [a,b] кесіндісінің барлық нақты сандар жиыны континуум қуатты. Шынында да y=a+(b-a)x функциясы [0;] және [a;b] кесіндісінің нҥктелерінің арасында ӛзара бір мәнді сәйкестік орнатады, демек [a;b] кесіндісіндегі нақты сандар жиынының қуаты [0;] кесіндісіндегі нақты сандар жиынының қуатындай. Теорема. Континуум қуатты ақырлы немесе саналымды жиындардың жиыны континуум қуатты жиын болып табылады. Салдар. Барлық нақты сандар жиыны континуум қуатты. R k {[ k ; k[ [ k; k [} Салдар. Барлық иррационал сандар жиынының қуаты С. I =R / Q 3

24 Негізгі әдебиет: [-0]; 3[0-43] Қосымша әдебиет: 7[9-34] Бақылау сҧрақтары:. Қандай жиын саналымды жиын деп аталады?. Қандай жиындар континуум қуатты? 3. Ақырлы жиынға, континуум қуатты жиындарға мысал келтіріңіз. 4. Жазықтықтағы нҥктелер жиынының қуаты қандай? 5. Екінің дәрежесі болатын сандардан қҧралған жиынның қуаты қандай? 4- Дәріс. Қатынастар. Бинарлы қатынастар. Дәріс конспектісі: Қатынастар жиын немесе жиындар элементтерінің арасындағы ӛзара байланыстарды беру тәсілдері. Қатынастардың ішінен унарлы, бинарлы қатынастар кӛбірек белгілі. Унарлы (бір орынды) қатынастар бір жиын элементтерінің белгілі бір R қасиетінің болуын бейнелейді. М жиынының R қасиетімен (белгісімен) ерекшеленетін элементтерінің жиыны М-ң бір ішкі жиынын қҧрайды.(мысалы, қобдишадағы шарлардың бір бӛлігінің ақ болуы) Оларды унарлы қатынас деп атайды, R мен белгіленеді, яғни ar, RM. Бинарлы қатынастар. Бинарлы қатынастар М жиынының бір жҧп элементтерінің қандай да бір ӛзара қарым-қатынасын анықтауға қолданылады. Мысалы, М адамдар жиыны десек адамның бір қалада тҧруы, бір ҧйымда қызмет істеуі, біреуінің екіншісінен жас болуы, әке мен бала болуы т. б. Анықтама. Екі орынды немесе бинарлы Р қатынасы деп А, В жиындарының декарт (тура) кӛбейтіндісінің (a,b) жҧптарынан тҧратын ішкі жиынын айтады және (a,b)p, PA x B болып белгіленеді. А Р қатынасының анықталу облысы, ал В мәндер облысы деп аталады. Айталық, PA x B қатынасы мына суреттегідей кескінделсін: Бинарлы қатынас бір жиынның ішінде болса, мысалы М-жиынында болса Р қатынасы (a,b)p, PMхM=M немесе (a,b)p, арb болып белгіленеді. Жалпы жағдайда n орынды R қатынасы деп n жиынның тура (декарт) кӛбейтіндісінің R ішкі жиынын айтады: R M x M x x M n 4

25 Егер (a,a,,a n )R, ал (a M,,a n M n ) онда a,a,,a n элементтері R қатынасында делінеді. Егер n орынды R қатынасы М жиынында болса, яғни M =M = =M n, онда RM n. Бинарлық қатынастардың берілу тәсілдері. Бинарлық қатынастар жиын болғандықтан, жиынның берілу тәсілдерінің бәрімен беріле алады. Ақырлы жиындарда берілген қатынастар әдетте тӛмендегідей әдістермен беріледі:. Бинарлы қатынас орындалатын жұптардың тізімі арқылы. Мысалы, A={,3,4,5,6,7,8} жиыны берілсін. P={(x,y) x,ya, y x-ке бӛлінеді және x 3} бинарлы қатынасын P={(,), (,4), (,6), (,8 ), (3,3), (3,6)} тҥрінде жазуға болады.. Графиктік түрде: Графиктік кескіндеудің бірнеше тҥрлері бар:. Координат осьтеріне қатынастың элементтерін белгілеу арқылы. Алдыңғы мысалды графикалық тҥрде суреттегідей кескіндеуге болады.. А мен В жиындарының элементтерінің 5-сурет арасындағы Р қатынасын стрелкалар арқылы кӛрсетуге болады. Мысалы, A={a,b,c}; B={,,3} жиындары берілсін. Олардың элементтерінің арасындағы P ={(a,),(b,),(c,)} қатынасын тӛмендегі 6- суретпен кескіндеуге болады. 6-сурет 7-сурет.3 Граф арқылы да кескіндеуге болады. Мысалы, P ={(a,b),(b,b),(c,a)} қатынасының граф тҥріндегі бейнесі 7- суреттегідей болады. 3. Бинарлы қатынастың матрица арқылы берілуі. A={a,a,,a n } және B={b,,b n } ақырлы жиындары және PAхB бинарлы қатынас берілген. Р бинарлы қатынастың [P]=(P ij ) mхn мӛлшерлі матрицасын тӛмендегі ережемен анықтаймыз: P i j =, егер ( аі, b j ) P егер бинарлы ќатынас бар болса 0, егер ( а, b ) P егер бинарлы ќатынас жоќ болса і j Алынған бҧл матрица элементтер арасындағы байланыс туралы толық ақпарат береді және оны компьютерге ӛрнектеу мҥмкіндігі бар. Мысалы, 8-суретте кӛрсетілгендей PA A={,,3} бинарлы қатынасының матрицасы 5

26 [P]= ; P={(,),(,),(,3),(,3),(3,)} Мысал. M={,,3,4,5,6}. Егер Р қатаң кіші болуды білдірсе РМ х М қатынасын тізім және матрица тҥрінде бейнелеу керек: Р қатынасы М жиынының a b болатын элементтер жҧбынан 6 8-сурет тҧрады. Р= { ( a, b) a, b M; a b }. Олай болса, Р қатынасын тізім және матрицамен беруге болады: Р={(,), (,3), (,4), (,5), (,6), (,3), (,4), (,5), (,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6)}; Анықтама. Кез-келген жиын ҥшін анықталған 0 Id A ={(x,x) xa} қатынасы тепе-теңдік қатынас немесе диагональ қатынас деп аталады, ал U A A универсалды немесе толық қатынас деп аталады. Айталық, Р бинарлы қатынас болсын. P {x (x,y)p қандай да бір Y ҥшін} жиыны Р қатынасының анықталу облысы деп, ал P Р {y (x,y)p қандай да бір Х ҥшін} жиыны Р қатынасының мәндер жиыны деп аталады. Мысалы, A={,3,4,5,6,7,8} жиынының P={(x,y) x, ya, у x-ке бӛлінеді және х 3} қатынасы ҥшін P={(,),(,4),(,6),(,8),(3,3),(3,6)) қатынасы мен х={3} ҥшін анықталу облысы Р ={,3}. Мәндер аймағы Р ={,3,4,6,8}ю Бинарлы қатынастарға қолданылатын операциялар. Бинарлы қатынастар PM хm (PM, M =M =M) жиын болғандықтан оларға жиынға қолданылатын барлық амалдар орындалады. Олар:. Бірігу Р Р ; Р Р ={(a,b) (a,b) P немесе (a,b) P }. Қиылысу P P ; P P ={(a,b) (a,b) P және (a,b) P } 3. Айырым P \P ; P \P ={(a,b) (a,b) P және (a,b) P } 4. Толықтауыш ; =U\P, мҧндағы U=M хm (U=M ) 5. Кері қатынас P - ; P - ={(a,b) (b,a) P}. P - {(y,x) (x,y)p} жиыны Р қатынасына кері қатынас деп аталады. Мысалы, Р-жас болу болса, P - ҥлкен болу, Р-баласы болу болса, P - әкесі болу. P (x)={y (x,y)p қандай да бір х ҥшін} Х жиынының Р -ға қатысты образы (бейнесі) деп, ал P - (x) Х жиынының Р-ға қатысты прообразы деп аталады. Мысалы, A={,3,4,5,6,7,8} жиыны берілсін. P={(x,y) x,ya,y x-ке бӛлінеді және x 3} бинарлы қатынасына кері қатынас P - ={(,), (4,),(6,), (8,),(3,3),(6,3)}; X-ң Р-ға қатысты образы P(x)={3,6}; X-ң Р-ға қатысты прообразы немесе P - (x)={3,6}. Бинарлы қатынастың кӛбейтіндісі немесе Р мен Р композициясы Р Р

27 Айталық А, В, С жиындары және Р, Р қатынастары берілсін. Р АхВ және Р ВхС бинарлы қатынастарының кӛбейтіндісі немесе Р мен Р композициясы бар болады яғни (a,b) Р Р егер (a,z)p және (z,b)p болатындай zb элемент табылса; Р Р ={(a,b) aa, bc және (a,z)p }. Дербес жағдайда, егер Р қатынасы М жиынында анықталған болса PM, онда Р Р={(a,b) (a,c),(c,b)p} Мысалы Р-баласы болу болса, онда Р Р-немересі болу. Бинарлы қатынастардың қасиеттері.. А жиынында берілген бинарлы қатынас болсын: РА. Кез-келген ха ҥшін хрх қатынасы бар болса, Р қатынасы рефлексивті деп аталады (бір жиын ішіндегі жҧптар қатынасы мысалы бір қалада тҧру - рефлексивті).. Егер хрх қатынасы А жиынның бір де бір элементі ҥшін орындалмаса Р қатынасы антирефлексивті (баласы болу қатынасы - антирефлексивті). Антирефлексивті матрицаның бас диагоналы тек нӛлдерден тҧрады. 3. Егер кез-келген х,уа ҥшін (х,у)р(у,х)р болса, яғни Р - = P немесе [P] T =[P] болса, Р қатынасы симметриялы деп аталады. Егер xay болудан уах болса (бір фирмада жҧмыс жасайды), онда А симметриялы. 4. Егер ( х,у ) Р және (у,х) Р болғандығынан х=y болса, яғни P P - Id A, онда Р қатынасы антисимметриялы деп аталады, яғни х Р у және у Р х қатынастары әртҥрлі х пен у-тың ешқандай жҧбында бір уақытта орындалмаса (баласы болу, бастық болу - антисимметриялы), онда бҧл қатынас антисимметриялы. 5. Егер (x,y)p және (y,z)p болғандығынан (x,z)p болса, (яғни РРР) онда Р транзитивті қатынас деп аталады, яғни х Р у және у Р z болудан x P z болса (жасырақ болу, інісі болу) Р-транзитивті болады. Ескерту:. Антисимметрия мен симметрия емес ҧғымдары бірдей емес. Мысалы A={,,3} жиынындағы Р={(,),(,3)(3,)} қатынасы симметриялы емес ((,)Р, ал (,)Р) антисимметриялы да емес, себебі (,3)Р, (3,)Р бірақ 3. Id A қатынасы бір уақытта симметриялы да, антисимметриялы да болады. Бинарлы қатынастар матрицалдарының негізгі қасиеттері.. Егер P, Q AхB, [P] =(p ij ), [Q]=(q ij ) болса, oнда [PQ]=( p ij + q ij ) және [PQ]=( p ij * q ij ), мҧндағы қосу [PQ]=[P]+[Q], 0+0 0, ережесімен, ал [PQ] кӛбейту [P] мен [Q] сәйкес элементтерін тура кӛбейтуден алынады: [PQ]=[P]*[Q] 7

28 Мысалы, [P]= [PQ]=[P][Q]= [PQ] =[P]*[Q] = 0 P,Q қатынастарының матрицасы болса, онда 0, [Q]= = ; х 0 = Егер PAхB, Q=B х C, онда [PQ]=[P][Q]; Мҧнда [P] және [Q] матрицаларын кӛбейту матрицаларды кӛбейтудің әдеттегі ережесімен, ал [P] мен [Q] алынған элементтердің кӛбейтіндісі мен қосындысы пунктегі ережелермен жҥргізіледі. Мысалы, 0 P 00 ; Q 0 ; онда [PхQ]= 00 х 0 0. P - кері қатынастың матрицасы Р қатынасының транспонирленген матрицасы: [P] - =[P] T. PQ; [P]=(p ij ), [Q]=(q ij ) болса, онда p ij q ij Тепе-теңдік Id A қатынастың матрицасы бірлік матрица. 0 0 = d A 0 ; Эквивалентті қатынастар. Анықтама. Рефлексивті, симметриялы және транзитивті Р бинарлы қатынасы эквивалентті қатынас немесе жай ғана эквивалентті деп аталады. Эквиваленттілік Е символымен немесе ~ белгісімен белгіленеді. х Е у немесе х~у. Мысалы, х=у болу қатынасы кез-келген А жиынында эквивалентті қатынас. x=x болғандықтан рефлексифті. x=yy=xсимметриялы. x=y, y=zx=z транзитивті.. Адамдар жиынында бір қалада тҧру эквиваленттік.. 7 бӛлгендегі бірдей қалдық болу қатынасы эквиваленттік. R={(a,b) a,bn, a/7, b/7 қалдық бірдей} R жиындағы эквиваленттік. Бҧл қатынас (, 46 ), (4, 70) жҧптарына орындалады. ҚазЭУ студенттер жиынынан бір топқа жату эквиваленттілік эквивалентті қатынас.айталық, М жиынында R эквиваленттілігі берілсін (R эквивалентті қатынас берілсін). Белгілі бір тәртіппен М-ң ішкі жиындарын қҧрайық. Ішкі жиындарды класс деп атайық. С класы а М және оған эквивалентті элементтен қҧралсын; С класы а М және оған эквивалентті элементтерден қҧралсын т.с.с. осылай жалғаса берсін. С, С,...,С і кластар жҥйесі қҧралады. М жиынының кез-келген элементтері ең болмағанда бір класқа кіреді, яғни 8