Қазақстан Республикасының білім жєне ғылым министрлігі. Қарағанды мемлекеттік техникалық университеті

Transcript

1 Қазақстан Республикасының білім жєне ғылым министрлігі Қарағанды мемлекеттік техникалық университеті Бекітемін Бірінші проректор ҚарМТУ Исагулов А.З. 7 ж. ОҚЫТУШЫ ПӘНІНІҢ ОҚУ - ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ Ықтималдық теориясы және математикалық статистика пәні бойынша 574- «Есептеу техникасы және программалық қамтамасыз ету» 573- «Ақпараттық жүйелер» мамандығының студенттері үшін Ақпараттық технологиялар факультеті Автоматтандырылған ақпарттық жүйелер кафедрасы 7

2 Оқытушы пәнінің оқу-әдістемелік кешенін әзірлеген: аға оқытушы Сулейменова Л.К. Кафедра отырысында талқыланған ААЖ хаттама 7 ж Кафедра меңгерушісі 7 ж. Ақпараттық технологиялар факультетінің оку - әдістемелік бюросымен макұлданған хаттама 7 ж Төрағасы 7 ж.

3 Оқу әдістемелік кешенде ықтималдық теориясы және математикалық статистика курсын оқып үйрену жоспары баяндалған. Бұл пән жалпы ғылымдық және арнайы пәндерді оқып - үйренуге қажетті фундаментальды пән болып табылады. Семестр Оқу жұмыс бағдарламасы. Оқытушы туралы мәліметтер және байланыстық ақпарат Сулейменова Л.К., аға оқытушы, ААЖ кафедрасы ҚарМТУ дың бас корпусында Бульвар Мира 56, 3 аудиторяда орналасқан, байланыс телефоны , электронды мекен жайы lase.@stu.ru.. Пәннің еңбек сыйымдылығы Кредит саны Сабақ түрі Байланыс сағаттарының саны Дәрістер Практикалық сабақтар Зертханалық сабақтар СОӨЖ сағаттар ының саны Барлық сағат саны СӨЖ сағатта рының саны Жалпы сағат саны Бақылау формасы емтихан.3 Пәннің сипаттамасы «Ықтималдық теориясы және математикалық статистика» пәні кездейсоқ тәжірибелердің математикалық моделін оқып зерттеумен және оны шешумен, сол сияқты ықтималдықтар теориясының математикалық статистиканың кері есептерімен де айналысады. Пәннің зерттеу әдістері тәжірибелер теориясында, өлшеулерде қателіктерде физиканың статистикалық бөлімдерінде анықталмаған ситуацияларды негіздеуді оқып зерттеу және оларға шешім қабылдау пәндерінде, сол сияқты шектік теоремаларды қолданудың әртүрлі шектерін зерттеуде кеңінен қолданады..4 Пәннің мақсаты Пәнді оқып үйрену нәтижесінде студент ықтималдық сызбаларының негізін және есептеулерде оларды таңдай білу принциптерін кездейсоқ тәжірибелерге байланысты кездейсоқ шамалардың сандық параметрлерін есептеу әдістерін, ықтималдықтар теориясының шектік теоремаларын Муавр Лаплас, Пуассонның шектік теоремаларын, үлкен сандар заңдарының шектерін типтерін және орталық теоремаларды жақсы меңгеріп шығуы қажет. Математикалық статистика бөліміне қатысты, таңдамалар әдістерінің теориялық негізін, бағалаудың сандық сипаттамаларын, сенімділік аралықтарын интервалдарын құру, статистикалық болжамдарды тексере білу сияқты оқып зерттеуге, оларды жақсы меңгеру қажет. Ғылыми тәжірибелерді жүргізу барысында ықтималдық сызбаларын, кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларын және олардың баламаларын қарастырып теориялық зерттеулерде ықтималдықтың шектік тәжірибелерді жүргізу барысында ықтималдық сызбаларын, кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларын жєне олардың баламаларын қарастырып теориялық зерттеулерде ықтималдықтың шектік теоремаларын қолдануды негіздей біліп, вариациялық қатарларды талдауды және зерттеулерде статистикалық әдістерді қолдануды, болжамдарға статистикалық тексерулерді құра білуді, жалпы осы айтылғандарды толық орындай білу қажет. 3

4 Ықтималдық теориясы және математикалық статистика пәнді оқыту келесі бағыттарды - логикалық және алгоритмдік ойлауды дамыту; - ықтималдық теориясы және математикалық статистиканың есептерін шешу мен зерттеу әдістерін игеруді; - математикадағы сандық әдістерді игеруді; - өздігінен білімін кеңейту және қолданбалы инженерлік есептерді талдай білуді үйретуді мақсат тұтады..5 Пәннің міндеттері Пәнді оқытудың негізі физика мамандығы бойынша мамандар дайындаудағы жоғарғы кәсіби білім,мемлекеттік стандартта орнатқан талаптарды орындау жүзеге асыру. Пәнді оқытуда келесі міндеттер қойылады: а Студенттерді өздерінің практикалық жұмыстарында есептеу әдістерін қолдана білуге үйрету; б Студенттердің жалпы математикалық білім деңгейін жетілдіру, пән бойынша жүйелі білімді қалыптастыру; в Математикалық есептерді зерттеуде, талдауда болашақ мамандардың шығармашылық ойлау деңгейін дамыту; г Студенттерді оқу және ғылыми әдебиеттермен өздігімен жұмыс істеуге үйрету. Пәнді оқып-үйрену нәтижесінде студенттер білуге міндетті : - ықтималдықтың классикалық анықтамасы; - қарапайым теоремалардың қолданылуын; - кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамаларын; - үлкен сандар заңын; - таңдамаларды зерттеуді; - физикада жүргізілетін тәжрибелердінң нәтижелерін өндеп, талдап және қортынды шығара білуді.6 Айрықша деректемелер Пєн бойынша берілетін тапсырмаларды толық меңгеру ұшін мектеп курсындағы математиканы жақсы меңгеру қажет. Сонымен бірге - ші курстарда оқылатын математикалық талдау, алгебра және геометрия пәндерінен де жақсы түсінік болуы керек..7 Тұрақты деректемелер Оқиғалар. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Қарапайым теоремалар. Толық ықтималдық. Байес формуласы. Бернулли схемасы. Муавр Лапластың локальдық және интегралдық теоремалары. Пуассонның шектік теоремасы. Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Үлкен сандар заңы. Математикалық статистика. Статистикалық карталарды түзеу. 4

5 .8 Пәннің мазмұны.8.. Сабақтың түрі бойынша пәнің мазмұны және оның еңбек сіңіргіштігі Сабақтың түрі бойынша еңбек сіңіру сағаты.. Бөлімнің аты, тақырыптар Зертханалық Дәрістер СОӨЖ СӨЖ сабақтар Ықтималдықтар теориясы пәні. Оқиғалар және олардың түрлдері. Оқиғаларға амалдар қолдану және ол амалдардың қассиеттері. Геометриялық ықтималдық. 3 Ықтималдықтың негізгі теоремалары. Қосу және көбейту теоремалары. 4 Бернулидін қарапайым схемасы және оның жалпы түрі. 5 Кездейсоқ шамалар және олардың үлестіру заңдары. 6 Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. 7 Кездейсоқ шамалардың сипаттамалық функциялары және олардың қассиеттері 8 Үлкен сандар заңдары және олардың түрлері. 9 Ықтималдықтар теориясының аксиоматикасы. Ықтималдықтың аксиоматикалық анықтамасы. Математикалық статистиканың шешетін есептері, зерттеу әдістері. Таңдама бойынша сандық сипаттамалары. Белгісіз параметрлерді бағалау түрлері. Статистикалық гипотезаларды тексеру әдістер.статистикалық шешімдер. Регресиялық анализ. Регресиялық теңдеулер. Ең аз квадраттар әдісі. 3 Қарапайым кездейсоқ процестер. Пуасондын және Викоровтік процестер. Марков тізбегі, жаппай кызмет ету жүйелері туралы. 4 Қарапайым кездейсоқ кезулер. Туындатқыш функциялар. Тармақталғанпроцестердің талдауы. 5 Ақпараттар теориясы элементтер, экономикалық кодтау, энтропия ұғымы. Эксперементтерді жоспарлау туралы ұғым. Барлығы:

6 .9 Негізгі әдебиеттер тізімі. Бектаев Қ., Ықтималдықтар теориясы жєне математикалық статистика. Алматы, «Рауан», 99ж.. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері. Алматы, «Мектеп», 988ж. 3. Нұрсадық Ақанбай., Ықтималдықтар теориясы. «Қазақ Университеті», 99ж. 4. Матақаева Ғ., Ықтималдықтар теориясына арналған есептерді шешу. Алматы, «Қазақ Университеті» 99ж. 5. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 975, 648 с. 6. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей М: Наука, 973, 494 с. 7. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. М: Наука, 98, 8 с. 8. Розанов Ю.А. Случайные процессы. М.:Наука, 979, 38 с. 9. Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. М.: Наука, 968, 6 с.. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 98, 55 с.. Смирнов Н.В., Дунин Барковский Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 965, 5 с.. Справочник по теории вероятностей и математической статистики. Киев, Наукова думка, 978, 8 с. 3. Тутубалин Н.В. Теория вероятностей. Краткий курс. М.:Изд-во МГУ, 97, 3 с. 4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.:Мир,967,496 с. 5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 978, 84 с. 6. Ширяев А.И Вероятность. М.: Наука, 98, 575 с. 7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций под редакцией Свешникова. М: Наука, 97, 656с. 8. Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. М: Наука, 97, 9с. 9. Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 98, 59с.. Гмурман В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа,, 4с.. Қосымша әдебиеттер тізімі. Боровков А.А. Математическая статистика. Доп. главы. М: Наука, 989, 43с.. НечаевС.В. Математическая статистика. Новосибирск, 973, 76 с. 3. Ламперти Д. Вероятность. М.: Наука, 973, 83 с. 4. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. 5. М. Додж. Эффективная работа с Mcrosoft Ecel 97. Санкт-Петербург Лавренов С.М. EXCEL: Сб. примеров и задач. М.: Финансы и статистика,. 7. Кезешев М. Ықтималдықтар теориясы жєне математикалық статистика. Алматы, 5 6

7 . Студенттердін білімдерін бағалау критерийлері Пән бойынша емтихан бағасын шекаралық бақылау және аттестация қортындысы курстық жоба 5%-ке дейін бойынша үлгерімнің суммасы сияқты анықтайды және таблицаға сәйкес %-ке дейін мағынасын құрастырады. Әріп жүйесі бойынша баға Баллы %- тік ұстау Дәстүрлі жүйемен бағалау А цифрлік эквивалент 4, 95- А- 3, В+ 3, В 3, 8-84 В-, Өте жақсы Жақсы С+, С, С-, Қанағат D+, D, 5-54 F -49 Қанағаттандырылмаған Аралық бақылау оқудың 5-ші, -шы және 5-ші аптасында өткізіледі және бақылау түрінің келесі шықандарынан салынады. Бақылауды ң түрі %-дық Оқудың академиялық уақыты, аптасы барлығы, % Лекцияларға қатысуы, * * * * * * * * * * * * * * *,5 Практикалы сабақтарға, * * * * * * * * * * * * * * *,5 қатысуы Лекция бойынша СӨЖге,4 * * * * * * * * * * * * * * * 6 бақ. тапсыр Практ.сабақ бойынша СӨЖге бақ.,4 * * * * * * * * * * * * * * * 6 тапсырмасы. Тәжірибелі сабақтардыжазб,5 * * * * * * * 3,5 аша бақылау. СОӨЖ тақырыптарына,5 * * * * * * * * * * * * * * * 7,5 тапсырмалар Реферат 6 * 6 Теорет. модуль 6 * * * 8 Емтихан 5 5

8 Барлығы. Саясаты және процедуралары Студент оќытылатын лекция курсын ќысќаша мазмұнын жазып отыруы тиіс, практикалыќ жєне үй тапсырмаларын орындауы, сабаќќа кешікпей келуі керек, сабаќ уаќытында сөйлеспеуі, газет-журнал оќымауы, ұялы телефонды ағытып ќоюы және оќу процесіне белсенді ќатысуы тиіс. Баќылау жұмыстарын, коллоквиумдарды, емтихандарды уаќытылы тапсыруы тиіс. Студент сабаќќа міндетті тұрде ќатысуы ќажет. Себепсіз босатылған сабаќты студент оќу-әдістемелік кешенінде көрсетілген сабаќ көлеміне сәйкес ќайта тапсырылады. Курстың үштен бір бөлігін себепсіз босату оќудан шығарып жіберуге әкеледі..3 Пәннің оқу-әдістемелік қамтамасыз етілгендігі Автордың аты-жөні Бектаев Қ. Гмурман В.Е. Колмогоров А.Н. Жаңбырбаев Б.С. Оқулық - әдістемелік әдебиет аты Баспа, шығару жылы Негізгі әдебиет Ықтималдық теориясы және Алматы, «Рауан», математикалық статистика. 99ж. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Введение в теорию вероятностей. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері. Алматы, «Мектеп», 988ж. Даналардың саны Кітапха нада 5 М.: Высшая школа,, 4с. 45 М.: Наука, 98, 59с. Жаңбырбаев Б.С., Нұрсадық Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы. «Қазақ Университеті», 99ж. 7 4 кафе драда Крамер Г. Математические методы статистики. М.:Мир,975,648с. 5 Қосымша әдебиет Боровков А.А. Математическая статистика. М: Наука, 989, Доп. главы 43с. 5 НечаевС.В. Математическая статистика Новосибирск, 973, 76 с. 3 Кезешев М Ықтималдықтар теориясы Алматы, 5 жєне математикалық статистика. Лавренов С.М. EXCEL: Сб. примеров и задач. М.: Финансы и статистика, 3 Зубков А.М., В.П. Сборник задач по теории М.: Финансы и Севастьянов Б.А., вероятностей. статистика, Чистяков В.П. 5 Додж М. Эффективная работа с Санкт-Петербург 5 С.Д. Кузнецов Mcrosoft Ecel 97. PHP 4.. Руководство пользователя М.:Майор,. 6 8

9 Пән бойынша тапсырмаларды орындау және тапсыру кестесі Бақылау түрі Дәрістерғе қатысуы Практикалық сабаққа қатысуы -5 Дәрістер бойынша СӨЖ-ге бақылау тапсырмалар Практикалық сабақтар бойынша бақылау тапсырмалар ы СӨЖ - 5 Тапсырманың мақсаты мен мазмұны Тақырыптармен материалды меңгеруі, пта.3 баяндалған Тақырыптармен материалды меңгеруі, пта.4 баяндалған -7, 3 бөлімдер тақырыптарыменбілі мді тереңдету -7, пта4 бөлімдер тақырыптарыменбілі мді тереңдету Ұсынылатын әдебиет Тақырыпқа сәйкес п.3 дәріс Тақырыптарме н материалды меңгеруі, пта.4 баяндалған пта.3 дәріс бойынша Практикалық жұмысы бойынша пта.4 Орындалу ұзақтылығы 5 с 5с 5с 5с Бақылау формасы Қатысуш ыларды журналға белгілеу Қатысуш ыларды журналға белгілеу Жазба жұмысы Жазба жұмысы Тапсыру мерзімі Әрбір сабақта Әрбір сабақта Апта сайын Апта сайын СОӨЖ тақырыптары бойынша тапсырмалар Жазбаша бойынша мини-контр. пратикалық жұмыстар Рефераттар Теориялық модуль емтихан -7 бөлімдер тақырыптар бойынша білімді тексеру, пта.6 тақырыптың құрамы -7 бөлімдер тақырыптар бойынша білімді тексеру -7 бөлімдер тақырыптар бойынша білімді тексеру -7 бөлімдер тақырыптар бойынша білімді тексеру -7 бөлімдер тақырыптар бойынша білімді тексеру СОӨЖ тематика бойынша пта.6 Практикалық сабақ тақырып бойынша пта.4 [ 35] - и 3-4 бөлімдері бойынша -7 бөлмдері бойынша 3с,5с 5с,5c,5с Жаазба жұмысы Жазбаша отчет Реферат тақырыб ы Тестілік жүесінің отчеты Тестілік жүесінің отчеты Апта сайын,4,6,8,,,4 аптасын да 4 аптасын да 5, аптасын да 6 аптасын да 3. Дәрістердін қысқаша жазбасы тақырып Ықтималдықтар теориясы пәні. Оқиғалар және олардың түрлдері. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Дәрістер жоспары. Ықтималдықтар теориясының базалық түсінігі.. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. 9

10 Қазақ және орыс тілдерінде берілген ықтималдықтар теориясы бойынша оқулықтарда пәннің анықтамасы өте қарапайым айтылған. Мысалы: «Кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысқан математиканың бір саласы ықтималдықтар теориясы деп аталады». Ал, құбылыс ретінде дүниеге нәресте келуін алсақ, онда ұл туының ықтималдылығын деп алуға болады. Өйткені нәресте не ұл, не қыз, яғни екінің бірі дегенмағынада. Енді статистикалық деректерге жүгінсек, дүниеге келген балалардың дәл жартысы ұл болуы әруақытта орындала бермейді. Бірақ, ұлдар саны сол 5 санынын манында болады. Сол ұлдар саның ге бөлсек статистикалық жиілік Ге жақын келеді. Бұл ұғымдарды түсіндіруді мысалдардан бастайық. -мысал. Теңгені метал ақшаны теп-тегіс еденге лақтырайық, сонда мына төмендегі құбылыстарды байқаймыз. Теңгені лақтыру үшін өзімізді, белгілі бір қалыпқа келтіреміз. Одан соң бас бармақпен теңгенің бір ұшын жоғары қарай түртіп жібереміз. Сонда ол шыр көбелек айналып, белгілі бір биіктікке дейін көтеріліп, төмен қарай құлдилап, еденге түседі де, бірнеше рет секіректеп, жалпағынан не тиын жағы, не герб жағы жоғары қарап жатады. Сайып келгенде, теңге жалпағынан жатуы үшін көптеген қимыл әрекеттер жасалады, солардың жиыны комплексті шарт деп аталады. Оның тиын не герб жағының жоғары түсуі жатуы- осы комплексті шарттың орындалу нәтижесі- оқиға деп аталады. -мысал. 76мм қысымдағы суды С-ге дейін қыздырсақ, ол буға айналады. Судың буға айналуы-оқиға, ал осы бу пайда болғанға дейінгі барлық әрекеттер жиыны комплексті шарт болады. Комплексті шарт термині орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданамыз. Бұдан былай сынау нәтижесін оқиға деп ұғамыз. Әдетте оқиғаларды үлкен әріптер A,B,C,... арқылы, ал бұларға қарама-қарсы оқиғаларды A, B, C,... арқылы белгілейміз. Мысалы, теңгенің тиын жағының пайда болуы A A оқиғасы болса, герб жағының пайда болуы оқиғасымен белгіленеді және т.с.с. Сынау жүргізілгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Мұндай оқиғаларға,-мысал жатады, өйткені сынау нәтижесінде теңгенің кубтың белгіленген жағының пайда боларын күн ілгері айта алмаймыз. Сынау нәтижесінде оқиға А оқиғасы сөзсіз пайда болатын болса, ондай оқиғаны ақиқат оқиға дейді. Сынау нәтижесінде оқиғаның А оқиғасы пайда болуы мүмкін болмаса, ондай оқиғаны мүмкін емес оқиға дейді. Ақиқат оқиғаны U әрпімен, мүмкін емес оқиғаны V әрпімен белгілеу қабылданылған. Мысалы, қобдишаға салынған ақ шарлардың біреуін алсақ, оның ақ болып шығуы ақиқат оқиға да, басқа түсте болуы мүмкін емес оқиға. Сынау жүргізгенде екі оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда болмайтын оқиғаларды үйлесімсіз оқиғалар дейді. Мәселен - мысалдағы А, А бірінші және екінші нөмірлі жақтар оқиғалары- үйлесімсіз оқиғалар. Бұл мысалдағы кез келген екі оқиға да үйлесімсіз. Кез келген екі оқиғасы үйлесімсіз болатын оқиғалар жиынын қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар дейді. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Ықтималдықтың классикалық анықтамасын алғаш рет берген Лаплас еді. Ықтималдықтың бұл анықтамасы тең мүмкіндіктің саны шексіз элементар оқиғалар кеңістігінде қарастырылады және өте қарапайым. «Тең мүмкіндік» немесе «тең ықтималдық» ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар формальды анықтама беруді қажет етпейді. Жалпы сынау нәтижесінде бірнеше элементар оқиғалар нәтижелер, жағдайлар пайда болуы мүмкін болса және олардың біреуінің пайда болу мүмкіндігінің екіншісіне қарағанда, артықшылығы бар деп айта алмайтын болсақ, басқаша айтқанда, сынау нәтижесінің симметриялы қасиеті болса, мұндай элементар

11 оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді. Бұған алғашқыда келтірілген -мысал айғақ. йткені кубтың әрбір жағының пайда болу мүмкіндігі бірдей. Сондықтан бұлар тең мүмкіндікті яғни тең ықтималдықты элементар оқиғалар болады. е, е,..., е элементар оқиғалары тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын системасын құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін мүмкін болатын нәтижелерінің толық тобы немесе элементар оқиғалар кеңістігі деп айтатынын көрдік. Сонда { ω } { е, е,..., е т } кеңістігіндегі элементар оқиғалардың жалпы санын { ω } арқылы белгілесек, әрбір элементар оқиғаның шығу мүмкіндігінің мөлшері, ықтималдығы, Ρ. Ал тең мүмкіндікті, үйлесімсіз және { ω} оқиғалардың толық тобын құрайтын е, е,..., е элементар оқиғалардың біреуі я бірнешеуі бір А оқиғасының пайда болуын тудыруы мүмкін, яғни екінші сөзбен айтқанда, А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше элементар оқиғаларға бөлінеді және олардың кез келген біреуінің пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығатын болады. Мысалы, кубты бір рет лақтырғанда оның кез келген тақ нөмірі е, е е пайда болуынан А оқиғасы пайда болсын. Былайша 3, 5 айтқанда, А оқиғасы тақ нөмірлі е, е3, е5 үш оқиға бөлініп отыр. Бұл тақ нөмірлі элементар оқиғаларды осы А оқиғасының пайда болуына қолайлы оқиғалар дейміз. Бұлардың санын m { ω} арқылы белгілейміз m { ω} 3. Ұсыналатын єдебиеттер: [] 6- беттер; Қосымша єдебиет: [, 3] СДЖ арналған бақылау тапсырмалары. Ықтималдықтар теориясы пәні.. Оқиғалар және олардың түрлдері. 3. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. [] - 5,6, 7, бет. тақырып Оқиғаларға амалдар қолдану және ол амалдардың қассиеттері. Геометриялық ықтималдық. Дәрістер жоспары. Оқиғаларға амалдар қолдану және ол амалдардың қасиеттері.. Геометриялық ықтималдық. Өткен сабақта айтылған оқиғаларға қолданылатын бинарлық амалдарға келейік: А және В оқиғаланың қосындысы немесе бірігуі деп олардың ең болмағанда біреуінің орындалуын айтып, келесі түрде белгілейміз: А + В, немесе А В. Ал, оқиғалар саны көп болса, онда А U A A... A A + A + A A немесе A кейде болуы да мүмкін. А және В оқиғаларының көбейтіндісі немесе қиылысуы деп олардың екеуі де бірдей орындалуын айтып, келесі түрде белгілейміз: А В, немесе А В. Ал, оқиғалар саны көп болса, онда немесе А A + A + A A I A A A кейде A... болуы да мүмкін. 3 А және В оқиғаларының айырымы деп А ның орындалып, ал В ның орындалмауын айтып, келесі түрде белгілейміз: А \ В.

12 4 Санау нәтижесінде орындалған В оқиғасы екінші бір А оқиғаның орындалуын қамтамасыз етсе, онда «В оқиғасы А ны ілестіреді» деп айтып, келесі түрде белгілейміз: А В 5 Мына жағдайлардың орындалуын түсіну қиын емес а А А б С В және В А С А с В А А + В А, ал АВ В д А В және В А А В 6 А + А Ω, ал А А. Ω, ал А кезкелген А, А А. 7 А + В В + А, А + В + С А + В + С А + В + С, А В В А, А В С А В С, А + В С АС + ВС, АВ + С А + С В + С. 8 А В А В, А В А В, А В А В 9 Ω \ С С, А мен В үйлесімсіз болса, онда А В. Ықтималдықтың классикалық анықтамасын сынау нәтижесінің саны шексіз тең мүмкіндікті тең ықтималды тәжірибеге қолдануға болмайды. Осындай жағдайды сипаттауға ықтималдықтың геометриялық анықтамасы ыңғайлы. Ол үшін біз G жиынында нүкте бірқалыпты үлестірілген деп ұйғарамыз, ал мұның қандай да ішкі жиынын «g» деп белгілеуге болады -сурет. Ол уақытта G облысына лақтырылған нүктенің «g» облысына түсуін А оқиғасы деп белгілеп, оның ықтималдығына мынадай анықтама беруге болады. - сурет Анықтама. g обылысына лақтырылған кездейсоқ нүктенің A-оқиғасы осы обылысқа түсу ықтималдығы g өлшемінің G обылыс өлшеміне ұзындық, аудан, көлем қатынасына тең, яғни θлш. g P A θлш. G Мұнда да ықтималдықтың классикалық анықтамасында айтылған үш қасиет орын алды.. P g теріс таңбалы емес, яғни P g.. Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең, яғни PG. 3. Қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең. Бұл соңғы қасиет үйлесімсіз оқиғалар саны шекті және саналымды шексіз болса да орын алады дейміз. Геометриялық ықтималдықтар схемасы астрономия, атомдық физика, биология және т.с.с салаларда пәрменді қолданыс тауып отыр. Ескертетін бір жайт- реал құбылысты сипаттауға классикалық та геометриялық та схеманы алуға болады. Бірақ геометриялық ықтималдықтар схемасында алынған модель классикалық схемаға қарағанда айқын емес. Әрине бір нақты құбылысты сипаттайтын әр түрлі модельге сәйкес түрлі ықтималдықтарды алуға болады. Тарихи традициялық мына мысалды келтірейік. Қолданылатын єдебиеттер:: [] беттер. Қосымша єдебиет: [].

13 СДЖ арналған бақылау тапсырмалары. Оқиғаларға амалдар қолдану және ол амалдардың қасиеттері.. Геометриялық ықтималдық. [] - 4,5 79 бет; [] - 3,33 4,5 беттер. 3 тақырып Ықтималдықтың негізгі теоремалары. Қосу және көбейту теоремалары. Толық ықтималдықтын формуласы. Байес формуласы. Дәрістер жоспары. Ықтималдықтың негізгі теоремалары.. Қосу және көбейту теоремалары. 3. Толық ықтималдықтын формуласы. 4. Байес формуласы. Теорема. Үйлесімсіз екі А және В оқиғалар қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең, яғни РА+ВРА+РВ. Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін теңдіктегі үш ықтималдықты есептеп, олардың мәндерін қайтадан осы теңдікке қойып, дұрыстығына көз жеткізу жеткілікті. Шынында да, тең мүмкіндікті үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалар саны болсын. Олардың ішінде А оқиғасына қолайлысы m бұлар В үшін қолайсыз, В оқиғасына қолайлысы m бұлар А үшін қолайсыз болсын. Демек, РА m /, PB m /. А+В оқиғасына қолайлысы - m + m, өйткені А мен В үйлесімсіз. Сондықтан бір сынауда екеуіне де бірдей қолайлы элементар оқиғалар болмайды. Демек, РА+В m + m / m / + m /РА+РВ. Осымен теорема дәлелденді. Бұл қасиет оқиғалар саны -ден артық яғни саны болғанда орын алады. Теорема. Егер A, A,,A қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар болса, онда бұлардың қосындысының ықтималдығы әрқайсысының ықтималдықтарының қосындысына тең болады, яғни РA +А +...+А РА +РА +...+РА. Дәлелдеуі. Мұны толық математикалық индукция әдісімен дәлелдейік. болғанда теореманың дұрыстығы өткен теоремада дәлелденді. Бұл теорема үйлесімсіз A, A,,A оқиғалары үшін дұрыс, яғни РA +А +...+А РА +РА +...+РА болсын. Енді + болғанда да теорема дұрыс болатынын дәлелдейміз. Берілгені бойынша A +А +...+А, А + оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз, олай болса, A +А +...+А мен А + оқиғалары да үйлесімсіз. Демек, бұл екі оқиғаға формуласын пайдаланамыз, сонда РA +А +...+А +А +РA +А +...+А +А + A +А +...+А +Р А + болады.бұдан теореманың + үшін де дұрыс екенін көреміз. Олай болса, теорема - ның кез келген мәні үшін де дұрыс. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Тәуелсіз және тәуелді оқиғалар. Ықтималдықтар теориясында оқиғаларды элементар оқиғаларға бөліп қана қоймай, оқиғалардың өзара тәуелділігі мен тәуелсіздігінің де жігін айырып қарастырады. Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе, онда оларды тәуелсіз оқиғалар деп атайды. 3

14 -мысал. Қобдишада шар бар, оның төртеуі ақ, алтауы қызыл. Қобдишадан кез келген бір шарды алып, түсін белгілегеннен соң екіншісін алады. Бірінші алынған шар қызыл түсті болғанда екінші рет алынған шардың ақ түсті болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. Бұл мысалдың шешуі қобдишадан алынған бірінші шар түсі белгіленген соң екінші шарды алу алдында ол шар қайта қобдишаға салыну бірінші тәсіл, әлде қайта салынбауына екінші тәсіл байланысты ықтималдық мәні түрліше болады. Бірінші тәсіл. Қобдишадан бірінші рет алынған шар түсі қызыл болуы В оқиғасы болсын, онда B оқиғасы қобдишадан алынған бірінші шар түсі қызыл емес, яғни ақ шар шығуы болады. Екінші рет алынған шар түсі ақ шар болуы А оқиғасы болсын, онда A оқиғасы екінші ретте қызыл шардың шығуы болады. Бірінші алынған шар түсі белгіленгеннен кейін, ол шар қобдишаға қайта салынған себепті, шар екінші рет алынғанда да қобдишадағы шарлар саны бастапқыдай болады. Сондықтан А оқиғасының ықтималдығы оған дейін қабдишадан қызыл шар В оқиғасы шығуына байланысты емес, өзгермейді және ол,4-ке тең. Бұдан В оқиғасының пайда болуының А оқиғасының ықтималдығына әсері болмайтынын байқаймыз. Демек, А және В оқиғалары бір-біріне тәуелсіз. Бұл жерде А оқиғасының ықтималдығын есептегенде оның пайда болуына комплексті шарттан өзге ешқандай шек қойылмайды. Егер екі оқиғаның біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын µзгертетін болса, ондай екі оқиғаны тєуелді оқиғалар деп атайды. Екінші тєсіл. Тєжірибе шарты - мысалдағыдай, бірақ бірінші рет алынған шар қобдишаға қайта салынбайды. Б±л жағдайда екінші ретте А оқиғасының пайда болу ықтималдығы оның алдында қызыл шар В, не ақ шар B оқиғасы шығуына байланысты. Егер бірінші сынауда қызыл шар шықса, онда екінші сынауда ақ шар шығу ықтималдығы 4/9 болады. Егер бірінші сынауда B оқиғасы пайда болса ақ шар шықса, онда екінші ретте де ақ шар шығу А оқиғасы ықтималдығы 3/9/3-ке тең. Осы сияқты, егер бірінші сынауда қызыл шар B оқиғасы не ақ шар B оқиғасы шықты десек, онда екінші сынауда қызыл шар A оқиғасы пайда болу ықтималдығы сєйкес 5/9 жєне /3 сандарына тең. Екінші сµзбен айтқанда А жєне В оқиғалары- тєуелді оқиғалар, µйткені бірінші жолы В оқиғасының пайда болуы келесі жолы А оқиғасының пайда болу ықтималдығын µзгертіп отыр. Шартты ықтималдық. -мысалда А оқиғасының ықтималдығын есептегенде комплексті шарттан басқа В оқиғасының пайда болу, не пайда болмауы єсер етіп, А оқиғасының ықтималдығын µзгертіп отырды. Мұндай ықтималдықты шартты ықтималдық деп атайды. Шартты ықтималдықты былай белгілейді: РА/В немесе Р В А. Б±л былай оқылады: В оқиғасы орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы. Жоғарыда айтылғандарға сұйене отырып, А жєне В оқиғаларының тєуелсіздігін РА/В РА, Р В А РА тұрінде жазуға болады. Б±л жағдайда -мысалдан РАРА/В,4, РАРА/ B,4 сондай-ақ Р A Р A /В,6, Р A Р A / B,6 Егер А жєне В оқиғалары бір-біріне тєуелді болса, онда сол мысалдан РАРА/В, РА/В4/9, РА/ B /3; сондай-ақ Р A /В5/9, Р A /В/3. Шартты ықтималдықтың қасиеттері, шартсыз ықтималдық қасиеттеріндей.. Шартты ықтималдық мєні де, шартсыз ықтималдық мєні сияқты, нµл мен бір P A / B аралығында болады, яғни.. PU/B. 3. P V / B.. Егер A болса, онда P A / B P A /. 4 A B A / B P A / B 5. Егер A болса, онда P. A 4

15 . Егер A A,..., A оқиғалары қос-қостан ұйлесімсіз, яғни A A V жєне 6, A + A + A A... + болса, онда P A / B P A / B + P A / B P A / B.. A A,..., A қос-қостан ұйлесімсіз болса жєне олар оқиғалардың толық жұйесін 7, қ±раса, яғни U A + A A болса, онда P U / B P A / B + P A + P A / B 5 / B А мен A қарама-қарсы оқиғалар болса, онда РА/В-Р A /В. Ықтималдықтарды кµбейту теоремасы. Б±л теорема тєуелді немесе тєуелсіз екі жєне бірнеше оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын есептеуге мұмкіндік береді. Теорема. Екі тєуелді оқиға кµбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің шартсыз ықтималдығы мен сол оқиға пайда болғандағы екінші оқиғаның шартты ықтималдығының кµбейтіндісіне тең: РАВРАРВ/АРВРА/В. Толық ықтималдық. Күрделі оқиғалар ықтималдығын есептегенде ықтималдықтарды қосу, көбейту теоремаларын қатарынан жиі қолдануға тура келеді. Мұндай оқиғалардың ықтималдығын есептеуге арналған формуланы қорытудан бұрын мынадай мәселеге тоқтап өтейік. H, H,..., H оқиғалары қос қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын болсын. Ал B оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп, орындалады дейік. Оның үстінде PH, PH,..., PH және PB / H, PB / H,..., PB / H ықтималдықтары белгілі болсаын. Осы берілгендер бойынша B оқиғасының ықтималдығын анықтауға бола ма және ол неге тең деген сұрақ туады. Мұның жауабын толық ықтималдық формуласы береді. H, H,..., H қос қостан үйлесімсіз болғандықтан BH, BH,..., BH оқиғалары да қос қостан үйлесімсіз. Олай болса, B BH + BH BH BH. Бұл оқиғаларға қосу теоремасын қолдануға болады: теоремасы бойынша PBH PH PB / H,,..., болады. Демек, PBPH PB/H +PH PB/H + +PH PB/H, немесе PB PH PB / H. PB PBH. Көбейту Жоғарыдағы берілгендері бойынша B -ның ықтималдығын анықтайтын формуласын толық ықтималдық формуласы деп атайды. Әдетте, H, H,..., H оқиғалары гипотезалар болжамдар деп атайды. Байес формуласы Осы уақытқа дейін қарастырып келген ықтималдықтар интуитивті түрде теориялық болжамдарға сүйеніп, тәжірибе жүргізілмей ақ, комплексті шарт жөніндегі білім түсінік негізінде анықталып келді. Тәжірибеге дейінгі H, H,..., H гипотезалары оқиғалары ықтималдықтары сәйкес PH, PH,..., PH болатын ды. Тәжірибе жүргізілді дейік, соның нәтижесінде B оқиғасының пайда болғаны анықталды, енді осы B оқиғасының пайда болуына байланысты H, H,..., H гипотезалары

16 ықтималдықтарын қайта қаруға тура келеді. Мәселе PH / B, PH / B,..., PH / B ықтималдықтары мәндерін анықтауға тіреледі. Бұл ықтималдықтарды анықтау үшін, көбейту теоремесы мен толық ықтималдық формуласын B оқиғасы мен H пайдаланамыз. Тәуелді оқиғалар үшін көбейту теоремасы бойынша,,..., гипотезасының бірге пайда болу ықтималдығы 5.-і формуласын қараңыз мынаған,,..., тең: PH PB / H PBPH / B. Бұдан PH / B екені шығады. Бұл формулаға толық ықтималдық формуласындағы онда P H P B / H P H / B P H P B / H PB PH PB / H PB мәнін қойсақ, болады. Осы формуласы Байес формуласы деп аталады. Егер бірнеше сынақ жүргізсек, сонымен қатар әрбір сынақтағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы А болып, ол ешқандай басқа сынақтарға тәуелді болмаса, онда мұндай сынақ А оқиғасына қатысты тәуелсіз деп аталады. Әртүрлі тәуелсіз сынақтарында А оқиғасының ықтималдықтары әртүрлі немесе бірдей болуы мүмкін. Бұдан әрі біз әрбір тәуелсіз сынақта ықтималдықтары тұрақты болатын оқиғаларды ғана қарастырамы. Қолданылатын єдебиеттер: [] 45-5, 6-6 беттер; Қосымша әдебиет: [,3]. СДЖ арналған бақылау тапсырмалары. Оқиғаларға амалдар қолдану және ол амалдардың қасиеттері.. Геометриялық ықтималдық. [] - 4,5 79 бет; [] - 3,33 4,5 беттер. 4 тақырып Бернулидін қарапайым схемасы және оның жалпы түрі. Муавр- Лапластың локальдық және интегралдық теоремалары. Пуассонның шектік теоремасы. Дәрістер жоспары. Лапластың локальдық теоремасы.. Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы. 3. Пуассоның шектік теоремасы. Лапластың локальдық теоремасы. санының үлкен мәндерінде Бернулли формуласын қолдану өте күрделі. Егер саны айтарлықтай үлкен болса, -тәуелсіз сынақтардағы А оқиғасының тура m рет пайда болу ықтималдығын Лапластың локальдық теоремасынан асиптотикалық формула ретінде алуға болады. Дербес жағдай үшін, яғни, р болғандағы асиптотикалық формуланы 73 жылы Муавр тапқан. 783 жылы Лаплас кез келген р үшін р, р жалпыланған. Сондықтан, бұл теореманы Муавр-Лаплас теоремасы деп атайды. Муавр Лаплас локальдық теоремасы. Егер әрбір сынақтағы А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты р р болса, онда р т т ықтималдығы, яғни тәуелсіз сынақтағы А оқиғасының тура m-рет пайда болуы ықтималдығы жуықтап алғанда 6

17 мұндағы у e pq π m - p функциясының мәніне тең. pq х Аргументтің оң мәндері үшін ϕ х е π ϕ, pq функциясының мәндері анықталған арнайы кестелер бар. ϕх - функциясы жұп болғандықтан бұл кестемен аргументтің теріс мәндері үшін де қолдануға болады. Сонымен, - тәуелсіз сынақтардағы А оқиғасының тура m - рет пайда болу ықтималдығы жуықтап алғанда P m ϕ, м±ндағы pq m p. pq Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы. Айталық, әрқайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты p<p< болатын - сынақ жүргізілген болсын. Осы - сынақта А оқиғасының m -реттен аз емес және m -реттен көп емес пайда болуының ықтималдығын қалай табуға болады? Бұл сұраққа Лапластың интегралдық теоремасы жауап береді. Теорема. Егер әрбір сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты р р, р болса, онда, m, m ықтималдығы, яғни - тәуелсіз сынақтардағы А P оқиғасының m -реттен аз емес және m -реттен көп емес пайда болуының ықтималдығы жуықтап алғанда келесі анықталған интегралға тең. z P m, m e dz, м±ндағы m p ; m p e z π dz -қарапайым функциялар арқылы өрнектелмейтін-діктен есеп шығаруда арнайы кестені қолданамыз. Кестеде аргумент х-тің оң мәндері мен х үшін φ π e z dz функциясының мәндері беріледі φ -тақ функциясы болғандықтан бұл кестемен аргументтің теріс мәндері үшін де қолданамыз. Кестемен х5 дейін қолдануға болады. X>5 үшін φ 5 деп қабылдаймыз φ -функциясын Лаплас функциясы деп атайды. Сонымен, ізделініп отырған ықтималдық P m, m φ φ, м±ндағы m p m p Пуассоның шектік теоремасы. pq pq pq,. pq Теорема.Әр санауда А оқиғаның пайда болу ықтималдығы λ мұндағы λ саны тәуелсіз болып. Онда тәуелсіз санаулар саны өте үлкен болғанда яғна оқиғасының дәл m рет пайда болу ықтималды. нен А Бүл теореманың дәлелдеуі Бернули схемасы және е lm + екінші тамаша шекке сүйенеді. екенін алу қиын емес. P m ; λ P ; λ + P ; λ + P ; λ +... «-тәуелсіз сынақта А оқиғасының тура m рет пайда болу ықтималдығы қандай? -деген сұраққа жауап беріп көрейік. Біздің есебімізде А оқиғасының қатарынан m-рет пайда болуы міндетті емес. Мысалы, 4 тәуелсіз сынақта А оқиғасының тура 3 рет пайда болу мүмкіндіктері келесідей. A AAA, AA AA, AA A A, AAA A. 7

18 Ізделініп отырған ықтималдықты P m арқылы белгілейік. Қойылған есепті келесі түрдегі Бернулли формуласы арқылы шешуге болады m m m! m m P m C p q p q m! m! Қолданылатын єдебиеттер: [] 8-5 беттер; Қосымша әдебиет: [3]. СДЖ арналған бақылау тапсырмалары. Бернуллдін қарапайым схемасы және оның жалпы түрі.. Муавр-Лапластың локальдық және интегралдық теоремалары. 3. Пуассонның шектік теоремасы. [] -, бет; бет 5 тақырып Кездейсоқ шамалар және олардың үлестіру заңдары. Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалардын үлестіру түрлері. Үлестірудің интегралдық және дифференциалдық функциялары. Дәрістер жоспары. Кездейсоқ шамалар және олардың үлестіру заңдары.. Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалардын үлестіру түрлері. 3. Үлестірудің интегралдық және дифференциалдық функциялары. Кездейсоқ шамалар ұғымы. Кездейсоқ себептер нєтижесінде сандық мєні өзгеріп, оны анықтауға мұмкін емес болатын шамалармен жиі-жиі кездесіп отырдық. Оған төмендегі мысалдар айғақ. -мысал. Жаңа туған 5 нєрестенің нешеуі ұл бала болуы мұмкін? Жаңа туған 5 нєрестенің нешеуі ±л болуын алдын-ала айта алмаймыз. Өйткені ескеруге мұмкін емес кµптеген себептер нєтижесінде нєрестенің ±л бала болу саны,,,...,5 болып µзгеріп отырады. Б±лар кездейсоқ шаманың қабылдайтын мұмкін мєндері болады. -мысал. Кез келген мақта қауашағында неше шит болуы мұмкін? Қауашақта неше шит болуын алдын- ала айта алмаймыз, яғни б±л кездейсоқ шама. Ал қауашақтағы шит саны,,3,..., болуы сол кездейсоқ шаманың қабылдайтын мұмкін мєндері. 3-мысал. Ойын кубын лақтырғанда ±пай санының пайда болуын алдын-ала айта алмаймыз. Бұл мысалда ұпай саны- кездейсоқ шама, куб жақтарын кµрсететін,,3,4,5,6 сандарыкездейсоқ шаманың қабылдайтын мұмкін мєндер. 4-мысал. Қолдағы лотереяның ұтыс мµлшерін білмейміз. Лотереяның ұтыс мүлшерін- кездейсоқ шама, ал оның ұту мµлшерінің түрлі мәндерісол кездейсоқ шама қабылдайтын мұмкін мєндер. Бұл келтірілген мысалдардың бәрінде де қарастырып отырған шаманың пайда болуын алдын ала айтуға мүмкін емес. йткені, оның өзгеруі қандай да ескеруге болмайтын кездейсоқ себептерге байланысты. Сондықтан да олардың қабылдайтын мәндері әр түрлі, мәселен, бірінші мысалда,,,...,5, екіншіде,,3,...,, үшіншіде -,,3,4,5,6 сандары және т.с.с. Алдымен дискретті үзілісті кездейсоқ шамаларды қарастырайық. Келешекте кездейсоқ шамаларды Х,Y,... әріптерімен белгілейміз, ал олардың қабылдайтын мүмкін мәндерін,, 3,...,,, 3,... арқылы белгілейміз. Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары. Кездейсоқ шаманы білу дегенімізде, оның нақтылы сандық мәнін білу деп түсінуден аулақ болу керек. Мысалы, баланың бойы метр 5см болды десек, оның өсу мөлшері белгілі бір сандық мәнді қабылдап, кездейсоқ шама болудан өтті. Олай болса, сол кездейсоқ 8

19 шама туралы толық мәлімет алуымыз үшін не білуіміз керек деген сұрау өзінен-өзі туады. Осыған жауап қайырайық. Кездейсоқ шаманың қабылдай алатын барлық сандық мәндерін білу керектігі жоғарыда келтірілген мысалдарда айтылды. Былайша айтқанда, тәжірибе нәтижесінде кездейсоқ Х шамасы,,..., мәндерінің бірін қабылдасын, яғни қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын жасайтын Х, X,,X оқиғаларының бірі пайда болсын. Бірақ бұл жеткіліксіз. йткені х і мәнін қандай ықтималдықпен қабылдауын да білу қажет. Бұл оқиғалардың ықтималдықтарын сәйкес ρ,,..., арқылы белгілейміз, яғни ρ P X, ρ P X, ρ P X оқиғалардың толық тобын жасағандықтан, P X ρ, яғни кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері ықтималдықтарының қосындысы бірге тең. Мұны екінші сөзбен айтқанда, бірге тең бұл қосынды ықтималдық кездейсоқ шаманың дербес х і мәндері бойынша қандайда бір жолдармен үлестіріліп таратылып отыр. Сонымен, кездейсоқ шама мәндерімен оларға сәйкес ықтималдықтарды байланыстыратын ереже дискретті кездейсоқ шаманың үлестіру заңы делінеді. Бұл заң таблица, график немесе формула түрінде өрнектелуі мүмкін. Әрқайсысын жеке-жеке қарастырайық. І. Үлестіру таблицасы. Мұндай таблицада кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері саналады да оған сәйкес ықтималдықтар мәні көрсетіледі. Кездейсоқ шама мәндері Х х 3... Қосынды Кездейсоқ шама мәніне сәйкес ықтималдық Р X P p p 3 p Таблица түрінде берілген дискретті кездейсоқ шама ықтималдықтарының үлестіру заңын үлестірілуі қатары деп те атайды. ІІ.Үлестіру көпбұрышы. Енді таблица күйінде келтірілген кездейсоқ шама үлестіруін график түрінде де көрсетуге болатынын қарастырайық. Ол үшін абсциссалар осі бойына Х кездейсоқ шамасы мәндерін, d, ординаталар осі бойына сәйкес ықтималдық р і мәндерін саламыз,-суреттер. Сөйтіп, ықтималдықтар үлестіруінің графигін жасаймыз. Ол екі түрде көрсетілген. Бірінші суретте кездейсоқ шама мәндеріне сәйкес ықтималдықтар ординаталар осіне параллель кесінділермен берілген. Екінші суретте ординаталардың ұштары қосылған. Соның нәтижесінде көпбұрыш алдық. Ол көпбұрышты ықтималдықтардың үлестіру көпбұрышы немесе кездейсоқ шаманың үлестіру көпбұрышы деп атаймыз.,,3 мысалдардағы ықтималдықтардың үлестіру көпбұрышын сызуды оқырмандарға тапсырамыз. Енді үлестіру заңының функционалды тәуелділік формула түрін қарастырайық. Биномдық, пуассондық, геометриялық және гипергеометриялық үлестірулерді алайық. 9

20 . Биномдық үлестіру Р C p q,,,..., формуласымен берілетін-ді, мұнда P e p q.. Геометриялық үлестіру. Р pq формуласымен өрнектеледі:,,3, десек, бірінші мүшесі р еселігі q<q< болған геометриялық прогрессия р, pq, pq,..., pq аламыз. Осы себептен бұл формуланы геометриялық үлестіру деп атайды, мұнда pq 3-мысалды қараңыз. Математикалық кұтім орта Бул үғымға тұсінік беруден б±рын бір мысал келтірейік. -мысал. Кітаптарды тез сату мақсатымен ±тылыссыз лотерея ±йымдастырылған. Таратылған 5 лотерея билетінің бєрі де ±тады, бірақ ±тыс мµлшері єр тұрлі. М±ның 5-і тиыннан, 5-і тиыннан, 5-і 3 тиыннан, қалған 5-і 6 тиыннан ±тады. Сатып алынған бір лотерея билетінің орташа ±тыс мµлшері ±тқан кітаптың орташа бағасы неге тең? Шешуі. Кұтіп отырған орташа ±тысты анықтау ұшін сатылған кітаптардың жалпы сомасын анықтап, оны жалпы билеттер санына бµлеміз, яғни 5, + 5, + 5,3 + 5, 6 сом сом қосындысын 5-ге бµлеміз, сонда сом, сом болады. Ал б±л кұтім отырған орташа ±тысты анықтау ұшін єр ±тысқа 5 келетін билет санын олардың жалпы санына бµліп, сєйкес ±тыс мµлшеріне кµбейтіп те табуымызға болады, яғни , +, +,3 +,6 сом, сом Осы жазылғандарды ықтималдықтар теориясы тілімен айтсақ, онда ±тыс мµлшері кездейсоқ Х шамасы,;,;,3;,6 сом мєндерді сєйкес ,5;,3;,;, ықтималдықтарымен салыстырмалы жиілікпен қабылдайды дейміз. Сєйкес таблица мынадай болады: тыс Х мµлшері Ықтималдығы p,,,3,6,5,3,,, Б±л таблицадағы Х мєндерін p сєйкес мєндеріне кµбейтіп қоссақ, онда єрбір билетке сєйкес келетін орташа ±тыс мµлшері, сом екенін аламыз. Осы қарастырылған мысалға ±қсас орташа мєн орнына математикалық кұтім ±ғымын енгізейік. Анықтама. Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық кұтімі деп оның барлық мұмкін мєндерін сєйкес ықтималдықтарына кµбейтілген қосындысын айтамыз. Мысал. Бернулли схемасы бойынша ұлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық кұтімін анықтау керек. Шешуі. Бернулли схемасында биномдық ұлестіру P{ X C p q,,..., болатын. Олай болса, анықтама бойынша M X P X C p q

21 !! p q p p q p,!!!! яғни M X p. Математикалық кұтімнің қасиеттері Қасиеттердің дєлелдемесін дискретті кездейсоқ шамалар ұшін кµрсетеміз. Ал кездейсоқ шама ұздіксіз болса, онда оның берілген ықтималдық тығыздығы бойынша сєйкес формуланы пайдаланып, математикалық кұтімді табамыз. - қасиет. Т±рақты шаманың математикалық кұтімі сол т±рақтыға тең, яғни МСС. Дєлелдеуі. Х-тің барлық мєндері т±рақты С-ның µзіне тең, яғни... C болатын кездейсоқ шама деп қарастыруымызға болады. Сонда M C Cp C p C - қасиет. Т±рақтыны математикалық кұтім таңбасының сыртына шығаруға болады, яғни МСХСМХ. Дєлелдеуі. СХ-ті кездейсоқ шама деп қарастырамыз, сонда M CX C p C p CM X. 3 -қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық кұтімі олардың математикалық кұтімдерінің қосындысына тең, яғни M X + Y M X + M Y. Дєлелдеуі. Дєлелдеу ұшін қосындылау қасиетін пайдаланамыз, сонда M X + Y + p p + p p. p + p p + p M X + p P X Y M Y, м±ндағы. 4 - қасиет. Тєулесіз екі кездейсоқ шама кµбейтіндісінің математикалық кұтімі олардың математикалық кұтімдерінің кµбейтіндісіне тең, яғни M XY M X M Y. Дєлелдеуі. 3 - қасиетті дєлелдеудегі талқылауларды пайдаланамыз. Сонда M XY p p p p M Y M X M Y Дисперсия Қандай да тєжірибе болмасын кµптеген қайталаудан шыққан нєтиже туралы мєлімет қажет болғанда, математикалық кұтім мєнінің ролі зор екенін кµрдік. Бірақ бірінші тєжірибе мен екінші рет жасалған тєжірибе нєтижелерінің арасында алшақтық болып отырады. Б±л алшақтық кездейсоқ шама мєндерінің математикалық кұтім тµңірегінде қаншалықты шашырап ауытқып жатуына байланысты. Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық кұтімі айрымының квадратының математикалық кұтімі айырымының квадратының математикалық кұтімін дисперсия дейді. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын DX арқылы белгілесек, онда анықтама бойынша: DXM[X-MX], м±ны DXMX-a тұрінде де жазуға болады. Х дискретті кездейсоқ шама болса, дисперсия D X a формуласымен µрнектеледі. Х- ұздіксіз болса, онда дисперсия D X a f d p формуласымен есептеледі. Математикалық кұтімдегі сияқты б±л формуладағы fd-ті df - пен ауыстырып былай да жазуға болады: 3

22 D X a df. 4 Сонымен, квадраттық тұбірден алынған дисперсияны орташа квадраттық ауытқу дейміз. М±ны не σ, не σ X деп белгілесек, онда σ X D X не σ DX 5 болады. Олай болса, σ D X. Кездейсоқ шама дисперсиясын σ -пен, орташа квадраттық ауытқуды σ -мен белгілеуді жиі пайдаланамыз. Орташа квадраттық ауытқудың математикалық кұтімге қатынасын вариация коэффициенті деп айтады. М±ны V немесе VX арқылы белгілейік V σ / M X. 6 V кµп жағдайда процентпен беріледі. Вариация коэффициентін де кездейсоқ шаманың орташа мєнімен қаншалықты ауытқу шамасын кµрсететін параметр ретінде пайдаланады. Анықтама. Кездейсоқ шама х-тің қандай да бір С тұрақтыдан ауытқуынан Κ дәрежесінің математикалық күтімі осы С-ға қатысты Κ -ретті момент деп аталады. Μ Μ C Κ С Κ ретті алғашқы моментті Κ ν Μ дискретті кездесетін шама Κ ν p Κ Ал үздіксіз ν f Егер С - μ Х дәл-тті d Μ, онда Κ -ретті центрлік момент дейміз, ол M M M X μ M μ P μ f d және μ абсалют шамалардың мат-а кеткуімен алсақ абсалют алғашқы, абсалют центрлік моменттер деп аталды. Егер кездейсоқ шамамен к ретті моменті бар болса, онда r ретті r < ретті барлық моменттері бар болады. Бұны дәлелдеусіз аламыз. Қолданылатын єдебиеттер: [] 35-55,9- беттер; Қосымша әдебиет: [3]. СДЖ арналған бақылау тапсырмалары. Кездейсоқ шамалар және олардың үлестіру заңдары.. Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалардын үлестіру түрлері. 3. Үлестірудің интегралдық және дифференциалдық функциялары. [] есептер 95 бет; 7-3 есептер -3 бет. 6 тақырып Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Математикалық күтім, дисперсия және әртүрлі ретті моменттер. Дәрістер жоспары. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.. Математикалық күтім, дисперсия және әртүрлі ретті моменттер. Үлестіру заңы кездейсоқ шаманы сипаттайтын кµрдік. Кµптеген практикалық мєселелерді шешкенде кездейсоқ шаманың ұлестіру заңын іздестірмей-ақ, оны анықтау

23 кейде қиынға да соғады, сол ұлестірудің маңызды ерекшелігін қамтитын кейбір сандық сипаттамалармен характеристикалармен қанағаттануға болады. Математикалық кұтім орта Б±л ±ғымға тұсінік беруден б±рын бір мысал келтірейік. -мысал. Кітаптарды тез сату мақсатымен ±тылыссыз лотерея ±йымдастырылған. Таратылған 5 лотерея билетінің бєрі де ±тады, бірақ ±тыс мµлшері єр тұрлі. М±ның 5-і тиыннан, 5-і тиыннан, 5-і 3 тиыннан, қалған 5-і 6 тиыннан ±тады. Сатып алынған бір лотерея билетінің орташа ±тыс мµлшері ±тқан кітаптың орташа бағасы неге тең? Шешуі. Кұтіп отырған орташа ±тысты анықтау ұшін сатылған кітаптардың жалпы сомасын анықтап, оны жалпы билеттер санына бµлеміз, яғни 5, + 5, + 5,3 + 5, 6 сом сом қосындысын 5-ге бµлеміз, сонда сом, сом болады. Ал б±л кұтім отырған орташа ±тысты анықтау ұшін єр ±тысқа 5 келетін билет санын олардың жалпы санына бµліп, сєйкес ±тыс мµлшеріне кµбейтіп те табуымызға болады, яғни , +, +,3 +,6 сом, сом Осы жазылғандарды ықтималдықтар теориясы тілімен айтсақ, онда ±тыс мµлшері кездейсоқ Х шамасы,;,;,3;,6 сом мєндерді сєйкес ,5;,3;,;, ықтималдықтарымен салыстырмалы жиілікпен қабылдайды дейміз. Сєйкес таблица мынадай болады: тыс мµлшері Х,,,3,6 Ықтималдығы p,5,3,,, p Б±л таблицадағы Х мєндерін сєйкес мєндеріне кµбейтіп қоссақ, онда єрбір билетке сєйкес келетін орташа ±тыс мµлшері, сом екенін аламыз. Осы қарастырылған мысалға ±қсас орташа мєн орнына математикалық кұтім ±ғымын енгізейік. Анықтама. Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық кұтімі деп оның барлық мұмкін мєндерін сєйкес ықтималдықтарына кµбейтілген қосындысын айтамыз. Мысал. Бернулли схемасы бойынша ұлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық кұтімін анықтау керек. Шешуі. Бернулли схемасында биномдық ұлестіру P{ X C p q,,..., болатын. Олай болса, анықтама бойынша M X P X C p q!! p q p p q p, яғни!!!! M X p. Математикалық кұтімнің қасиеттері Қасиеттердің дєлелдемесін дискретті кездейсоқ шамалар ұшін кµрсетеміз. Ал кездейсоқ шама ұздіксіз болса, онда оның берілген ықтималдық тығыздығы бойынша сєйкес формуланы пайдаланып, математикалық кұтімді табамыз. - қасиет. Т±рақты шаманың математикалық кұтімі сол т±рақтыға тең, яғни МСС. 3

24 Дєлелдеуі. Х-тің барлық мєндері т±рақты С-ның µзіне тең, яғни болатын кездейсоқ шама деп қарастыруымызға болады. Сонда Cp C p C.... C - қасиет. Т±рақтыны математикалық кұтім таңбасының сыртына шығаруға болады, яғни МСХСМХ. Дєлелдеуі. СХ-ті кездейсоқ шама деп қарастырамыз, сонда C p C p M C M CX CM X. 3 -қасиет. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық кұтімі олардың мате матикалық кұтімдерінің қосындысына тең, яғни M X + Y M X + M Y. Дєлелдеуі. Дєлелдеу ұшін қосындылау қасиетін пайдаланамыз, сонда M X Y + p p + p м±ндағы + p + p p + p M X + M Y, p P X Y. 4 - қасиет. Тєулесіз екі кездейсоқ шама кµбейтіндісінің математикалық кұтімі олардың математикалық кұтімдерінің кµбейтіндісіне тең, яғни M XY M X M Y. Дєлелдеуі. 3 - қасиетті дєлелдеудегі талқылаулард ы пайдаланамыз. Сонда M XY p p p p M Y M X M Y Дисперсия Қандай да тєжірибе болмасын кµптеген қайталаудан шыққан нєтиже туралы мєлімет қажет болғанда, математикалық кұтім мєнінің ролі зор екенін кµрдік. Бірақ бірінші тєжірибе мен екінші рет жасалған тєжірибе нєтижелерінің арасында алшақтық болып отырады. Б±л алшақтық кездейсоқ шама мєндерінің математикалық кұтім тµңірегінде қаншалықты шашырап ауытқып жатуына байланысты. М±ны бағалау ұшін тұрлі µлшеуіштер алады. Біз дисперсия жєне орташа квадраттық ауытқу µлшеуіштерін алып қарастырайық. Мысалдан бастайық. Анықтама. Кездейсоқ шама мен оның математикалық кұтімі айрымының квадратының математикалық кұтімі айырымының квадратының математикалық кұтімін дисперсия дейді. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын DX арқылы белгілесек, онда анықтама бойынша: DXM[X-MX], м±ны DXMX-a тұрінде де жазуға болады. Х дискретті кездейсоқ шама болса, дисперсия D X a p формуласымен µрнектеледі. Х- ұздіксіз болса, онда дисперсия D X a f d p формуласымен есептеледі. Математикалық кұтімдегі сияқты б±л формуладағы fd-ті df - пен ауыстырып былай да жазуға болады: D X a df. Сонымен, квадраттық тұбірден алынған дисперсияны орташа квадраттық ауытқу дейміз. М±ны не σ, не σx деп белгілесек, онда σ X D X не σ DX 5 болады. Олай болса, σ D X. Ке здейсоқ шама дисперсиясын σ -п ен, орташа квадраттық ауытқуды 4 3 4

25 σ -мен белгілеуді жиі пайдаланамыз. Орташа квадраттық ауытқудың математикалық кұтімге қатынасын вариация коэффициенті деп айтады. М±ны V немесе VX арқылы белгілейік V σ / M X. 6 V кµп жағдайда процентпен беріледі. Вариация коэффициентін де кездейсоқ шаманың орташа мєнімен қаншалықты ауытқу шамасын кµрсететін параметр ретінде пайдаланады. Теорема. Тәуелді екі кездейсоқ шамалар қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына екі еселенген коррреляциялық моментті қосқанға тең. D + D + D + Κ Κ Μ[ Μ Μ ] Дәлелдеу. D + у Μ[ + M + ] M[ M + M ] M [ M + M M + M ] + D + M[ M M ] D Μ M M - корреляциялық момент немесе ковериация, немесе Х пен У [ ] K кездейсоқ шамалардың байланыс моменті дейміз. Әрине, егер Х пен У тәуелсіз болса, онда, өйткені M X M, M Y MY Егер, онда Х пен У корреляцияланбаған деп айтады. Керісінще, болғанмен Х пен У тәуелді болуы мүмкін, Былайша айтқанда Х пен У тің арас ындағы байланыссыз қосымшалар екенін көрсетеді. Теорема. Тәуелді екі кездейсоқ шамалар көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне корреляция моментін қосқанға тең. Μ Μ Μ + Κ Дәлелдеу. M [ M M M [ M M + M M ] M M M + M M M M M + M M M M M M M M r r, яғни δ D, δ D деп белгілейік D D δ δ r корреляциялық коэффецент деп атаймыз. r, яғни r Егер r X пен Y кері тәуелді, ал r X пен Y тура тәуелді. r қосымшасы нөлге жақын болса, Х пен Y тің арасындағы байланыс соншалықты аз болады. K K r S, S деп жазсақ, сәйкес S У - ке қатысты Х-ті δ δ δ δ P - Х ке қатысты У ті регрессия коэффенциенті деп ал амыз. Анықтама. Кездейсоқ шама х-тің қандай да бір С тұрақтыдан ауытқуынан дәрежесінің математикалық күтімі осы С-ға қатысты -ретті момент деп аталады. Μ С Μ C Κ Κ ретті алғашқы моментті ν Μ Κ дискретті кездесетін шама ν Κ p Κ K Κ 5