2 СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

Transcript

1 СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУ ӘДІСТЕРІ Сызықты лгебрлық теңдеулер жүйенің шешімін сндық әдісте тур (дәл) және итерциялық әдістер деп бөледі ТУРА әдісте жүйенің шешімі рифметиклық млдрдың қырлы снымен шектелетіндігімен сипттлды Тіке әдіске жттындр: Крмер әдісі, белгісіздерді біртіндеп жою әдісі (Гусс әдісі) Прктикд сндрының реті -нн спйтын жүйелерді шешуде тур әдісті қолднды ИТЕРАЦИЯЛЫҚ әдістер жуықтуғ жтды Бұл әдістер жүйенің шешімін бірдей схеммен есептелген, тізбектелген жуықтулрдың шегі ретінде нықтйды Итерциялық әдістерге мынлр жтды: жәй итерция әдісі, Зейдель әдісі, грдиенттік әдістер Тур шешу тәсілдері Гусс әдісі () () - квдрт мтрицлы жүйе берілсін Жүйенің мтрицсы ерекше емес немесе йқындлмғн болсын Гусс әдісін прктикд белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те тйды Әдістің негізгі идеясы немесе мғынсы: берілген жүйенің мтрицсын үшбұрышты түрге келтіру, бұл тур жол деп тлды, сосын үшбұрышты мтрицны қолднып құрғн жң жүйеден белгісіздерді біртіндеп тбу, бұл кері жол деп тлды Сонд Гусс әдісі этптн тұрды: тур жол мтрицны үшбұрышты түрге келтіру кері жол белгісіздерді ең соңғысынн бстп кері қрй тбу Бұл әдіс тур тәсілге жтды Яғни белгісіздердің мәнін бстпқы жүйеге қойғнд теңдіктің оң жғындғы мәндер мен сол жғындғы мәндер бір біріне тең болды Мтрицны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындлды, қолднылтын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне бйлнысты Тур жол бсшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп ()- жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін бсшы элементке бөлу рқылы келесі теңдеуді лмыз: () Мұндғы

2 ,,,, () () - теңдеуді қолднып () - жүйенің -ші теңдеуінен, -ші теңдеуінен және -ші теңдеуінен х белгісізін жоюғ болды Ол үшін ()-ші теңдеуді,,, коэффициенттеріне көбейтіп шыққн нәтижелерді сәйкесінше - ші теңдеуден, -ші теңдеуден, тсс -ші теңдеуден зйтып деп белгілейміз:,,,, ;,,, () Сонд келесідей жүйе лмыз: () Алынғн () - жүйенің -ші теңдеуін элементіне бөліп, теңдеу лмыз: (8) мұндғы,,,, (9) х белгісізін қлй жойсқ, тур сол сияқты х белгісізін () - жүйеден жоямыз, сонд мындй жүйе лынды: мұндғы (),,,, ;,,, () () - жүйенің -ші теңдеуін элементіне бөліп () теңдеу лмыз Мұндғы,,,, () () - теңдеу көмегімен () - жүйеден х белгісізін жоямыз Осы әрекеттер тізімін мтриц толық үшбұрышты түрге келгенше жлғстырмыз д ()-ші, (8)-ші, ()-ші, тсс луғ болтын теңдеулерді жинқтп келесідей жүйе лмыз:

3 () Кері жол () - жүйенің ең соңғы -ші теңдеуінен белгісізін туып лып - ші теңдеуге қою рқылы - белгісізін тбуғ, сол сияқты кері қрй брлық белгісіздерді тбуғ болды Ескерту: Бұл әдіс мтрицның бсшы элементі нөлден өзгеше болғн жғдйд қолднылды Егер берілген жүйе мтрицсының бсшы элементі нөлге тең болс, жүйенің теңдеулерінің орындрын уыстыру рқылы, рифметиклық оперциялр қолдну рқылы бсшы элементтің нөлдігінен құтылуғ болды Прктикд есептеу жеңіл болуы үшін Гусс компктілі схемсын толтырды (-кесте ), мысл үшін белгісізді жүйе қрстырылды -мысл:,,,8,,,8,,8,,,8,8 () Тур жол Есептеу процесінің қлй өрбитінін бқылу үшін кесте толтырғн дұрыс (-кестені қрңыз) Кестенің I - бөлігіне жүйенің кеңейтілген мтрицсын толтырмыз Кестенің соңғы екі бғны, S есептеу қтелігін бқылуды ұйымдстырды I бөліктің ең соңғы бқылушы бғнындғы мәндер мтрицның әр жолындғы элементтердің қосындысы ретінде тбылды,, жолының бқылушы бғнындғы элементтер I бөліктің ең соңғы бқылушы бғнындғы мәндерді бсшы элементке бөлу рқылы тбылды II бөліктің бқылушы бғнындғы мәндер I бөліктің ең соңғы бқылушы бғнындғы мәндерге () - формулны қолдну рқылы нықтлды,, Дәл осылй бқылушы бғнның қлғн екі жолын д толтыруғ болды:, төменде көрсетілген, формуллры рқылы, S бғндрындғы мәндер бір - бірінен өте з уытқуы немесе тұтс беттесуі керек Сонд есеп дұрыс жүргізілген болды () - формулны қолднмыз:

4 8 ; ; ; 98 ; Бұл мәндерді кестенің жолын жзмыз () - формулны қолднмыз: 8 ; ( ) 98 ; ; Бұл сндрды кестенің II бөлігіндегі сәйкес орындрын жзмыз,8,8,88 (Бұл мән кестенің бғнынд орнлсды) ; 8 ( ) ; ; Бұл сндрды кестенің II бөлігіндегі сәйкес орындрын жзмыз,,8, ; (Бұл мән кестенің бғнынд орнлсды) () - формулны қолднмыз:,98 8, ;, 98 ;, ;,, Бұл сндрды кестенің жолын жзмыз () - формулны қолднмыз:,, (,98 ), ; -кесте Гусстың компктілі схемсы Бөлік тер X X X X = I B II

5 B III B IV V,9,,,9 ; Бұл сндрды кестенің III бөлігіне толтырмыз,,,8,89 (Бұл мән кестенің бғнынд орнлсды) Осы рд тур жол яқтлды, мтриц үшбұрышты түрге келеді Кері жол, және кестенің қолднып жүйе құрмыз: ең соңғы жолынд орнлсқн элементтерді Бұл жүйеден х =-,9; х =-,9; х =-,8 екендігі шығды - кесте () - есептің кестелік лгоритмі Бөліктер X X X S I ,,8 -, B - 98,8 8 II B III Гусстың бсшы элементті тңду әдісі

6 Бұл әдісті қолдну үшін жүйенің мтрицсының бсшы элементтері немесе дигонль элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([] қрңыз) Егер мтрицның бсшы элементтері нөлге тең болс, қндй д бір лмстырулр, уыстырулр қолдну рқылы нөлден құтылды Жордн - Гусс әдісін сондықтн бсшы элементті тңду әдісі деп те тйды Әдістің негізгі идеясы модулі бойынш ең үлкен элементті бсшы элемент деп лып, сол элемент орнлсқн жолдғы сәйкес белгісізді жою Бұл әдіс те тур және кері жолдн тұрды Келесі жүйе берілсін () Тур жол () жүйенің кеңейтілген мтрицсын құрмыз,,,, элементтерінің рсынн модулі бойынш ең үлкен элементті бсшы элемент деп тғйындймыз Оны pq деп белгілейік Брлық p мәндері үшін q m () pq көбейткішін есептейміз Әрбір бсшы емес жолдн m көбейткішіне көбейтілген бсшы жол элементтерін мүшелеп шегереміз: m,,,,,,,, () p Сонд q-шы бғнның бсшы элементтен бсқ элементтері нөлге йнлды q-шы бғн және бсшы жолды тстп кетіп жң М мтриц лсыз Бстпқы мтрицның бғны мен жол сны зяды М мтрицсын бстпқы пункттерді қйтлп қолдну рқылы М мтрицсын лмыз Осы процессті бір белгісізді бір жолдн тұртын теңдеу қлғнш жлғстырмыз Тстп кеткен бсшы жолдрдн жң жүйе құрстырмыз Кері жол Бсшы жолдрдн құрлғн мтрицны әлдебір уыстырулр рқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолднып оның лдындғы белгісізді, тсс брлық белгісіздерді кері бғытт нықтймыз

7 m сндры қншлықты зйғн сйын есептеу қтелігі де зяды Сондықтн ЭЕМ-ді қолднып есептеу уқытынд осы әдіс тиімді деп есептеледі Ескерту Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның брлық элементтерінің рсынн модулі бойынш үлкен элементті тбу қиынғ соқс бсшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, л бсшы элемент ретінде осы жолдың модулі бойынш ең үлкен элементін луғ болды -мысл: Есептеу қдмдрының нәтижелерін - кестеге толтыруғ болды: Тур жол =, бсшы элемент болды -жол бсшы жол деп тлды () - формул көмегімен m, =,, мәндерін нықтймыз: m 9, m, m 9 - кесте (8) есептің кестелік лгоритмі (8) Бөлік I m X X X X A тер I II III IV 9 () формул бойынш бсшы бғнд орнлсқн бсшы элементтен өзге элементтерді нөлге йнлдырмыз д қлғн жң элементтерді тбмыз: =; = болғнд m

8 =; = болғнд m 9 9 =; = болғнд m =; = болғнд m =; = болғнд 9 m =; = болғнд m 8 8 =; = болғнд m =; = болғнд m =; = болғнд m =; = болғнд m =; = болғнд m =; = болғнд m =; = болғнд m =; = болғнд m =; = болғнд m Тбылғн элементтерден жң мтриц құрып кестенің II-бөлігіне толтырмыз Жң мтрицдн модулі бойынш үлкен элементті тбмыз: ол - -жолды бсшы жол деп лмыз д жң көбейткіштерді нықтймыз: m m,9,,888,,9,8 -пункттегі сияқты () формул бойынш бсшы бғнд орнлсқн бсшы элементтен өзге элементтерді нөлге йнлдырмыз д қлғн жң элементтерді туып тғы жң мтриц құрймыз:

9 Осы жң мтрицдн модулі бойынш үлкені көбейткішті есептейміз:, 9 m Тғы -пункттегі сияқты () формул бойынш бсшы бғнд орнлсқн бсшы элементтен өзге элементтерді нөлге йнлдырмыз д қлғн жң элементтерді туып тғы жң мтриц құрймыз:,8,9,9, ;, 9 Кері жол Кестеде қоршлғн бсшы элементтер орнлсқн жолдрдн жүйе құрмыз: 9, Белгісіздерді біртіндеп тбмыз: X =9 X =989 X =9 X =88 8 Қрпйым итерция әдісі ()- жүйені қндй д бір млдр қолднып келесі түрге келтірейік, х немесе қысқш жзсқ:,,,, () ()

10 () жүйенің оң жғы - өлшемді векторлық кеңістікте (,,, ) нүктесін осы кеңістіктің (,,, ) нүктесіне йнлдыртын бейнелеу болып тбылды: F :,,,, () ( ) ( ) ( ) ( ) () жүйені қолднып, бстпқы (,,, ) нүктені тңдп лып - өлшемді векторлық кеңістікте нүктелердің итерциялық тізбегін құруғ болды: ( ) () ( ) ( ),,,,, () () итерциялық тізбек жинқты болс, оның шегі () итерциялық жүйенің шешімі болды Тізбектің жинқтылығын дәлелдеу үшін функционлдық нлиздің кейбір ұғымдры керек: -нықтм: Х жиынының х және у нүктелерінің р қшықтығын нықтйтын (, ) функциясы метрик деп тлды, егер төмендегі шрттр орындлс: (, ) ; (, ) (, ) (, ) ; (, ) (, z ) ( z, ) ; -нықтм:, егер х=у болғнд ғн; Метриксы енгізілген жиын метриклық кеңістік деп тлды -нықтм: Егер F толық метриклық кеңістікте нықтлғн қысыңқы бейнелеу болс: ( F ; F ) (, ) () онд =F болтын жлғыз қозғлмйтын нүкте тбылды Бұл жғдйд F бейнелеуіне құрылғн итерциялық тізбек кез келген бстпқы жуықтулрд х нүктесіне жинқтлды Мұндғы:,, E, F, F- х,у нүктелерінің бейнелері -нықтм: (қысыңқы бейнелеу принципі) Сызықты лгебрлық теңдеулер жүйесін төмендегі үш метриклық кеңістікте қрстыруғ болды: (, ) () m (, ) () (, ) ( ) (8) () метриклық кеңістікте:

11 m (9) теңсіздігі немесе () метриклық кеңістікте: m () теңсіздігі немесе (8) - метриклық кеңістікте: () теңсіздіктерінің ең болмғнд біреуі орындлс, онд () теңдеумен берілген F бейнесі қысыңқы бейнелеу болды және итерциялық процесс кез келген бстпқы жуықтулрд өзінің жлғыз шешіміне жинқтлды () түріне келтірілген итерциялық жүйеге крпйым итерция әдісін қолднбс бұрын жүйенің мтрицсының дигонльды элементтерінің бсым болғны дұрыс Яғни,,, Және коэффициенттер - ден кіші болуы керек: Бұл шрттың орындлуы қысыңқылық шрттрды қнғттндыртын қжетті шрт Ал жеткіліктілік шрт (9) () шрттрдың ең болмғнд біреуі орындлуы керек Егер дигонльдық бсымдылық болмс жүйеге қндй д бір уыстырулр мен лмстырулр, рифметиклық млдр қолднуғ болды Әдісті қолднуғ болды деген тұжырымғ келгеннен кейін өзіміз бстпқы жуықтулрды тңдп лып итерциялық процесс құрмыз: х,,,, Егер е- дәлдікке дейін шешім тбу керек болс, онд есептеу процесін немесе () ( ) ( ) (, ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) шрттры орндлғнш жлғстырды Мұндғы (, ) - евклид кеңістігіндегі соңғы, көрші жуықтулрдың р қшықтығы Бстпқы жуықтулр ретінде прктикд көбіне жүйенің бос мүшелері лынды - мысл: -х +х - х =-8 х - х - х =- -х - х +х =

12 Бұл жүйе мтрицсынд дигонльдық бсымдылық бр (9) () шрттрдың орындлуын ұйымдстыру керек Ол үшін жүйенің мтрицсын және бос мүшелер векторын Н мтрицсын көбейтейік: А Н ) - ; ; 8 ( Н 8 Бұл жүйе үшін жинқтылық шрттр орындлды Сондықтн жүйені итерциялық түрде жзмыз: 8 Итерцияның бстпқы жуықтулры ретінде бос мүшелерін лйық: ; ; 8 Келесі жуықтулр мын формулмен есептеледі: 8, =,,,, -мысл: (III) (II) 8 (I) Мұндғы теңдеулерді қолднуғ оңй болуы үшін рим цифрлрымен белгіледік Дигонльдық бсымдылықты лу үшін (I) теңдеудің орнын (II) теңдеуді, л -ші теңдеу етіп (I+II) теңдеуін жзмыз, (III) теңдеудің орнын (I ) теңдеуді жзмыз:

13 8,,, 9,9 (I) (II) (III) Бұл жүйеде дигонльдық бсымдылық бр Сондықтн итерциялық түрге келтіру үшін жүйенің әр теңдеуін мүшелеп дигонльдық элементіне бөлеміз де коэффициенті -ге тең белгісіздер рқылы өрнектейміз:,9 8 Жинқтылығын зерттейміз: -ші метриклық кеңістікте: m( ; 9; 99) 9 жинқтылық шрты бұл кеңістікте орындлмйды екен -ші метриклық кеңістікте: m( 89 ; 8; ) 8 жинқтылық шрты орындлды -ші метриклық кеңістікте: 9 9 Жинқтылық шрты орындлтыны бйқлды, яғни бстпқы жуықтулр ретінде бос мүшелерді лып итерциялық процесс құрмыз: ( ) ( ) ( ) 8 ; ; ;,9 =,,, 8 шрты орындлғнш итерция жүреді Зейдель әдісі () жүйе () итерциялық түрге келтірілсін Бұл жүйені қрпйым итерция әдісімен шешкенде итерциялық процесстің әр қдмы белгілі бстпқы жуықтудн белгісіздің жң жуықтуын көшуден тұртын еді Белгілі бстпқы жуықтудың элементтерін,,, деп, л

14 есептелетін келесі жуықтулрды,,, деп белгілейік Сонд есептеу формуллры келесі түрге көшеді:,,,, () Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерциялық процестің әр қдмынд -дің мәндерін есептеу брысынд оның лдынд есептелген,,, - мәндері қолднылды д () ны шып жзсқ, Зейдель формулсы келесідей болды: у (, ) (,) итерциялық процесінің жинқтылығы үш метриклық кеңістікте мын шрттрдың бірі орындлуымен бекітіледі: (, ) кеңістікте m m шрты (8) (, ) кеңістікте m шрты (9) (, ) ( ) кеңістікте шрты () Егер бұл шрттрдың біреуі орындлс, () итерциялық процесс кез келген бстпқы жуықтуд өзінің жлғыз шешіміне жинқтлды Зейдель әдісін жүйенің мтрицсы симметриялы элементтерден тұрғн жғдйд қолднды Егер мтриц симметриялы болмс оны симметриялы түрге келтіру үшін жүйенің мтрицсын және векторлрын трнспонирленген мтрицғ көбейтеді: А Т *А*х=A T * () Белгілеулер енгіземіз: A T *A=C A T *=D Сонд C=D () () жүйені қлыпты жүйе деп тйды Қлыпты жүйенің элементтері симметриялы және дигонльды элементтері нөлден өзгеше болды

15 Қлыпты жүйені лдынд қрстырғн млдрды қолднып () итерциялық жүйеге келтіруге болды () қлыпты жүйеге эквивлентті () келтірілген итерциялық жүйе үшін Зейдельдің итерциялық процесі өзінің жлғыз шешіміне кез келген бстпқы жуықтулрд жинқтлды Егер е дәлдік берілсе, итерциялық әдіс, =,,, шрты орындлғнғ дейін жлғсды -мысл: Берілген жүйе үшін мтрицсын, трнспонирленген мтрицсын құрып, жоғрыд йтылғн әрекеттерді орындймыз: A,, T A A A C T A D T Сонымен нықтлғн мтриц бойынш қлыпты жүйе құрймыз: Итерциялық түрге келтіреміз: Бұл жүйе үшін (8) () жинқтылық шрттры орынды Ендеше бстпқы жуықту тңдймыз: х =, х =, х = Зейдель процесі келесідей жзылды: Есептеу, =,,, шрты орындлғнғ дейін жлғсды Қулу әдісі Мтемтиклық физикның есептері көбінде үш дигонльді сызықты лгебрлық теңдеулер жүйесінің шешімін тбуғ шектеледі, үш дигонлді сызықты лгебрлық теңдеулер жүйесінің теңдеулерінде тек қн үш йнымлылрдың коэффициенттері нөлге тең емес, қлғн коэффициенттер нөлге тең

16 ,,,,,, f c (8) Сондй жүйенің мтрицсы үш дигонлді: f f f c c c Үш дигонлді сызықты лгебрлық теңдеулер жүйесін шешу тиімді әдісі болып қулу әдісі тбылды Қулу әдісінің бірінші кезеңі тур қулу Қулу коэффициенттері келесі формуллрмен тбылды:,,,,, c (9),,,,, c f Қулу әдісінің екінші кезеңі кері қулу Кері бғытт функцияның мәндері тбылды:,,,,,, () Қулу әдісін қолдну үшін әдістің жинқтылығы болуы керек Жиынктылық шрты :, ;,,,,,, c () Мысл

17 Жүйені қулу әдісімен шеш,,,;,, ;,,, ;,,8,,;,,9,,;,,8,,;,,,;,, 8,;, 8,; Шешім: Қулу әдісін қолдну үшін әдістің жинқтылығы болуы керек Жиынктылық шрты орындлды:,,, c,,,, ; Негізгі дигонль элементтері бсқ элементтер қосындысынн кем емес, мысл,>+, Сонымен, қулу әдісін қолднуғ болды,8,,,,,,,8,,,9,,,8,,,,,, 8,9,,,,,, кестеде қулу әдісін қолднудың нтижесі көрсетілген - кесте Қулу әдісін қолдну c f α β, -,8, -,9 - -,, -,,, -,8,9 -,9

18 , -,, -, -, -,99 -,, -,8, -, -,,,9, -,9,, -,, -,8, -,8,, -,9 -,,, -,, -, -,8, -,8, -,, -, -,,, 8, -,,, -,, -,8